（基础数学专业论文）d空间及其推广.pdf

原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 致家连 日期：丝丑童竺 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：苤叠堡导师签名：咝垒日期：坐! ：! ：! 山东大学硕士学位论文 d 空间极其推广 吴家超 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 本文由四章组成，主要介绍了d 空间的一些推广，以及最近一段时间所做 的一些结果。 第一章主要介绍了d 空间的定义及其几个推广：a d - 空间，b d 空间，以及 弱a d 空间。并且引入了局部d 空间的概念。 第二章讨论了上述这些空间的映射性质。主要是关于完备映射和连续闭映射 的性质：完备映射的象空间和原象空间保持上述性质：d 空间，a d - 空间，b d - 空间以及局部d 空间。由此推出d 空间( a d 空间，b d 空间以及局部d 空间) 与紧空间的乘积空问是d 空间( a d 空间，b d 空间以及局部d 空间) 。 第三章讨论了他们的并空间的性质。若d 空间( a d 空间，b d 空间，弱a d - 空间以及局部d 空间) 可以表示为两个闭的d - 子空间的并，则该空间也是d - 空间( a d 空间，b d 空间，弱a d 空间以及局部d 空间) 。介绍了定理3 3 ，并 将其推广到a d 空间。给出了局部d 空间的性质：一族局部有限的闭的局部d 空间的并是局部d 空间。 第四章介绍了d 空间的推广与其他一些覆盖性质( 如：次仿紧空间、m e t a 紧空间、护- 力n 细空间、甜加细空间等) 的关系。 关键词： d 空间，a d 空间，b d 空间，局部d 空间，局部有限，邻域约定。 坐垄盔兰堡主兰堡丝苎 d - s p a c e sa n d i t sg e n e r a l i z a t i o n s w uj i a c h a o ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s m a i n l yi nt h i sp a p e r , li n t r o d u c es o m e g e n e r a l i z a t i o n so l d s p a c e s ，a n dw h a t ld oa b o u td s p a c e sr e c e n t l y h it h ef i r s tc h a p t e r , i tg i v e st h ed e f i n i t i o no fd s p a c e sa n di t sg e n e r a l i z a t i o n s ： a d s p a c e s ，b d s p a c e sa n dw e a k l ya d s p a c e s a sa l o c a l i z a t i o no f d s p a c e s ，ig i v et h e d e f m i t i o no fl o c a l l yd - s p a c e s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d yt h em a p p i n gp r o p e r t yo f t h es p a c e sa b o v e t h em a i n r e s u l t sa 坤t h a td - s p a c e s ( a d - s p a c c s , b d s p e sa n dl o c a l l yd s p a c e s ，r e s p e c t i v e l y ) 撇 i x e s e r v e db yt h e i rp e r f e c ti m a g ea n di n v e r s ei m a g e i tf o l l o w st h a tt h ep r o d u c to f a d - s p a c e ( a na d - s p a c e , ab d s p a c ea n dal o c a l l yd - s p a c e , r e s p e c t i v e l y ) a n dac o m p a c t s p a c ei sad - s p a c e ( a na d - s p a c e ，ab d s p a c e a n dal o c a l l yd s p a c e ，r e s p e c t i v e l y ) w ep r e s e n tt h ep r o p e r t yo ft h e i ru n i o ns p a c e si nc h a p t e rt h r e e i fas p a c ec a n h e r e p r e s e n t e da st h eu n i o no ft w oc l o s e dd - s u b s p a c e s ( a o - s u b s p a c e s ，b d - s u b s p a c e s , w e a k l ya d - s u b s p a c ea n dl o c a l l yd - s u b s p a c e s ，r e s p e c t i v e l y ) ，t h e ni ti sa l s oad s p a c e ( 觚a d s p a c e ，ab d - s p a c e ，aw e a k l ya d - s p a c ea n d al o c a l l yd - s p a c e ，r e s p e c t i v e l y ) w e i m r o d u c et h et h e o r e m3 3a n de x t e n di tt oa d - s p a c e s w ea l s og e tt h es t a t e m e n t ：t h e u n i o no f ac o l l e c t i o no f c l o s e dl o c a l l yd s u b s p a c e si sal o c a l l yd s p a c e i nt h el a s tc h a p t e r , w es h o wt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h eg e n e r a l i z a t i o no f d - s p a c e s a n do t h e rc o v e t i n gp r o p e r t i e s ( s u c ha s ：s u b p a r a c o m p a c ts p a c e s ， m e t a c o m p a c ts p a c e s ，0 一r e f i n e m e n ts p a c e s ，8 0 一r e f i n e m e n ts p a c e ，e t c ) k e y w o r d s ： d - s p a c e ，a d s p a c e ，b d s p a c e , w e a k l ya d - s p a c e ，l o c a l l yd s p a c e ，l o c a l l yf i n i t e ， n e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t 2 山东人学硕士学位论文 引言 1 9 7 9 年，e k v a nd o u w e n 在他的文章 2 2 1 中首次提出d 空间的概念。但在 稍后的一段时间内，关于d - 空间的研究，进展相对缓慢。直到1 9 9 1 年，在c r b o r g e s 与a c w e h d y 合作的文章 1 3 1 发表以后，对d - 空间的研究才取得比较大 的进展。在该文中，c r b o r g e s 与a c w e h r l y 指出：d 空间在完备映射下的 原象是d - 空间，连续闭映射保持d 空间。并由此证明了d 空间的乘积性质以及 某些空间和d - 空间的关系。在这之后，关于d 宅间的文章比较多的发表了一些。 特别，在2 0 0 2 年a va r h a n g e l s k i i 和r z b u z y a k o v a 合作的文章【3 坤，又证 明了：具有点可数基的空间是d - 空间。这为d - 空间的判定提供了很好的工具， 由此得出许多关于d 空间的性质。 之所以研究d - 空间，是因为d 空间具有很好的性质。一方面，在d 空间中： e x t e n t 与l i n d e l s f 数相等；可数紧的d 空间是紧空间。这使得d 空间成为研究 覆盖性质的有效工具。另一方面，d k 空间又是一类非常广的空间：度量空间是 d - 空间；m o o r e 空间是d 空间；强空间是d 空间。 然而，正则l i n d e l s f 空间是否为d 空间，甚至遗传l i n d e l s f 空间是否为d - 空间都未能证明。e k v a i ld o u w e n 还提出是否存在次仿紧空间或m e t a 紧空间 不是d 空间。这些问题至今未能解决。e k v a nd o u w e n 和h h w i c k e 在文章 【2 3 】中，构造了一个空间r ，它满足h a u s d o r f f ，局部紧，局部可数，可分，第 一可数，次可度量化，盯- 离散，实紧且具有呸对角线，但是，它不是d 空间。 山东大学硕：卜学位论文 第一章定义及基本性质 定义1 1 空间x 的子集a 称为局部有限的( 离散的) ，如果对空间x 的任意一 点x ，都存在点x 的邻域o x ，使得a n o 。为有限集( 至多只有一个点) 。 不难证明，在t t 空间，闭离散集与局部有限集等价。在本文中，所有空间 均假定为t 1 空间。 定义1 2 空间x 的e x t e n te ( x ) 是指满足对每一局部有限集a ，a 的势i a i 墨j r 的 最小基数r 。 定义1 3 从空间x 到它的拓扑的映射妒称为拓扑空间x 的一个邻域约定，如 果对任意x e x ，有x e ( 曲。 定义1 4 空间x 称为d - 空间，如果对空间x 的任意邻域约定西，存在空间x 的 一个局部有限( 闭离散) 的子集a ，使得( a ) 覆盖空间x 。 注：e k v 锄d o u w e n 在他的文章 2 2 1 q 】首次提出d 空间的概念时，用的是“闭 离散”的概念。但在很多情况下，“闭离散”不如“局部有限”易证。又在t l 空间，闭离散集与局部有限集等价，而我们研究的大部分空间都满足t l 的条件。 于是，a va r h a n g e l s k i i 将其推广为“局部有限”。在后面定义的a d 一空问，b d - 空间以及弱a d 空间，也是类似。 易知，空间x 是d 空间，它的闭子空间也是d 空间。 由于d 空间性质比较强，很难判定一个空间是否是d 空间。于是， a r h a n g e l s k i i 提出了下面几种空间。 4 山东大学硕士学位论文 定义1 5 空间x 称为a d 空间，如果对任意闭子集f e - x 和空间x 的任意开覆 盖，都存在一个局部有限集a c ，和映射妒：a 哼，使得对任意a a ， 口妒( ，并r e ( a ) = ( 口) ：a a ) 覆盖f 。该映射妒被称为( 从集合a 到y 的) 一个p o i n t e r 。 不难证明，任意d 空间是a d 空间。而且，a d - 空间也具有闭遗传性。 定义1 6 空间x 称为弱a d 一空间，如果对空间x 的每一开覆盖，都存在空间x 的局部有限的子集a ，以及映ax r 的可数子族形成的集合的映射，使得 v a a ，v ( a ) ，a v 并且集族u 庐( 口) ：a e a ) 构成空间x 的开覆盖。 定义1 7 空间x 称为是b d 一空间，若空间x 是弱a d - 空间且可以挑选西( a ) 只 含有一个元素。 显然有a d - 空间是b d 空间，b d 空间是弱a d 空间。若b d 空间也具有闭遗 传性，则该空间是a d - 空间。 a v a r h a n g e l s k i i 在【6 1 中证明了e k v a nd o u w e n 和h h w i c k e 在文章 【2 3 】中构造的空间r 不是弱a d 一空间，进而，不是a d 一空间或b d - 空间。也就是 说这三个空间都不是d 空间的局部化。为此我提出以下的局部d 空间。一 定义1 8 空间x 称为局部d 空间，如果对空间中任意一点x ，存在一个邻域o x ， 使得瓦是d 空间。 由于d 空间具有闭遗传性，局部d - 空间( 瓦) 也就具有闭遗传性。同时， 不难验证以下结果。 定理1 9d 空间是局部d 空间。 山东大学硕士学位论文 由紧空间是d 空间，容易得到下面的定理。 定理1 1 0 局部紧空间是局部d 空间。 从而，上述空间r 是局部d 空间。所以，局部d 空间不是弱a d 空间，也 就无法推出其他几种空间。 6 山东人学硕士学位论文 第二章映射性质 c r b o r g e s ，a c w e h r l y 在文章【1 3 】中证明了：d 空间关于完备映射的逆 象是d 空间，d 空间关于连续闭映射的象空间是d 空间。 定理2 1d - 空间在完备映射下的原象空间是d - 空间。 证明：设映射，：x y 为到上的完备映射，且y 为d - 空间。 玑：x x 为空 间x 的任一邻域约定。对任意x c = x ，选取有限多个 ，一( 计c f d f ( x ) ，使 得，4 f ( x ) c 氓u u 吒。然后，选取开集以= f 。1 厂( 玩) 使得，f d f ( x ) c e c u x , u u 。( 这由f 是闭映射可知) 。令函数伊：y - - x 满足尹( y ) e f 4 ( y ) ( 不需要连续) 。令 v y ：y y 为空间y 的一个邻域约定，其中。v y = ( 嵋，) ) 。因为y 是d 一空间，存在空间y 的闭离散子集d 使得 v y ：y e d 覆盖y 。 令d 幸= u 毛，一( ) ：y c d 且x 伊( y ) 。 d + 是闭离散的：这是由于f - a ( d ) 作为闭的离散紧子集族 ，4 ( y ) ：y e d 的 并是x 中的闭集。由于d + nf 4 ( y ) 是有限集，对每一y e d ，立即就可以得到 d + 是闭离散的。 因为 u ；：x e d * 明显是空间x 的覆盖，证明结束。 注：不难发现，定理2 1 中fd ( y ) 只要是d 空间即可。 推论2 2 紧空间与d 空间的及积空间是d - 空间。 定理2 3 d 空间在连续闭映射下的象空间是d 空间。 证明：设映射：x 斗y 为到上的连续闭映射，且x 为d - 空间。 u y ：y y 为空 间y 的一个邻域约定。对每一y e y 及x 1 ( ”，v 。= ，1 ( u y ) 。那么， v x ： 山东大学颁l 学位论文 x x 就是空间x 的一个邻域约定。令d 是空间x 的一个闭离款子集，满足v 。： x d 覆兼x 。选取d c d ，使得对每一y e y ，d nf 4f y ) 是单点粲。因j l ：，f ： x e d 也魑空间x 的开覆箍( 这是因为，如果x hx 2 ed nf 4 ( y ) ，那么我们肖 k2 。 因为d 仍然是闭离散集，我们可以很容易地得到，( d ) 也怒闭离散的。由 予i d 楚一对一戆欧瓣，取： d ”= y ( x ) rlx ed 且( x p y ( x ) 。 从两 ly ( x ) d ” 是空闻y 的殍覆盖，且d ”是翅离散予嶷。证孵结浆。 下面我将尝试着将这两个定理推广到a d 空间( 定理2 4 、2 6 ) 、b d 空问( 定 理2 7 、2 9 ) 衮局部缀阕( 定理2 1 瓢2 1 2 ) 。 定理2 4a d - 空间在完备映射下的原象斑间是a d - 空间。 涯餮：设跤瓣，：x _ v 先竞冬映射，基y 秀国空惩。f 为空瓣x 懿任意灏 集，为空间x 的任一歼覆盖。只需寻找闭离散子集a 与p o i n t e r ，使得妒( a ) 覆盖f 令，= u y ：u n f 妒 u x f 。显然，f ( f ) 为y 中阕集。对任意y e y ， ，。1 ( y ) 为x 中紧集，在，中存在有限于集，y ，使得，y 覆盖厂1 0 ，) 。令u 广u ，y ， 则存在开集v y c y ，使得。( y ) c f 。( y ) c t j y 。于魑， v y ：y y ) 构成空间y 的 开覆盖囊予y 是a 疆空蠲，存在浚莉妒：y _ v y ：y 斟 藕y 中闭离散集b c ，( f ) ， 使得缈( b ) 覆盖，( f ) 。取 a 尹 勤：v u e y y ，在u f n f o 巾蘧掇取一杰勖 ， 则a y 是有限集。令a = u ，ba y 。于是，我们得到一个局部有限的闭集a 包含 于f 中。我们如下取：a 斗，满足# v x ve a ，妒( 而) = u i 8 山东大学硕士学位论文 不难发现，妒c a ) u x f 构成f 麴开覆盖。默露，妒( a ) 憝f 的开覆藏。 即空间x 楚a d - 空间。证完。 注：苓戆发瑗，定遴2 3 孛歹。秭必瑟是国一空蠲帮霹。 推论2 s 紧空间与a d - 空间的积空间怒a d - 空闻。 涯嗳：鸯该获空羯到该a d - 空蠢豹浚麓是完善获瓣，获悉童遴定瑾簿谨。 定理2 6a d - 空同在连缫闭映射下的象空间是a d - 黛间。 汪秘：羧浃瓣歹：x 叶y 为弱主戆逶续翅浃袈，强x 为a d - 空阕。f 为空溺y 的任意闭熊，为空间y 的任一开覆蘸。只需寻找闭离散子集a 妁p o i n t e r 妒，使 r e ( a ) 覆蔻f 。显然，4 玲为x 审耀集，嚣，。1 ，产，+ ( 国：u y 为空 间x 的开覆盖。由于x 是a d - 空间，存在x 中闭离散集b c ，4 ( f ) 和映射矿： x 斗f 。 。易 知，a 2 ，( b ) e f 扫y 中的闭离散集。我们取庐：a 专，满悬 v y e a , ( y ) * ，( 矿，( y ) ，、b ) 。 不难发现，一( a ) 构成f 的开覆盏。证完。 定理2 7b d 空间在完蓊映射下的鞭象空间是b d - 空间。 证明：设映射，；x 呻y 为到上的究备映射，且y 为b d - 空间。，为空间x 的 任一秀瀵簇。哭震寻我蠲离散子集a 岛映麓多，整褥痧( a ) 覆盖x 。慰任意y e y ， 9 山东大学颁i _ ：学位论文 ，。1 f y ) 为x 中的紧集。程芦中存在蠢隈予集y y ，使褥y y 覆盖，+ ( y ) 。令，= u ，y ，则存在开集0 c y ，使得厂。1 ( y ) 。f 1 ( y ) c u 。于是， ：y y ) 构成窳 问y 的开覆盏。由于y 慰b d 空间，存在映射缈：v 一 ：y e y 和y 中闭离散 集b 使得妒( b ) 覆盏y 。取 a y = x u ：v u e 7 ，在u n 厂。( y ) o 中随机取一点x u ， 蹦冬燕蠢隈集。令a = u ；e t $ 冬。予鼹t 我餐褥刭窆麓x 豹一个弱帮寿限豹阕 集a 。我们如下取：a 啼，满足： vb e a ，妒( x u ) = u 。 不难发现，庐( a ) 构成x 的开覆盖。即空间x 是b d 一空间。证究。 注：不难发现，定理2 6 枣f ( y ) 哭簧楚b d 空麓帮霹。 推论2 8 紧密闻与b d - 空间的积空闻怒b d 一空闻。 证臻：垂该积空藏到该b d 空闯酶映射是完备谈瓣，筑丽赉上述定理得证。 定理2 9b d - 空闻在连续蠲映射下的象空问是b d - 空间。 证明：设酸射，：x _ y 为蜀上静迄绫阅映莉，鼠x 为b d - 空湖。，隽空间y 的任一开裰旅。只需寻找闭离散子集a 与映射毋，使得庐( a ) 覆盏y 。显然，“ f ，净 ，1 ( 秭：u ，；为窝翔x 豹开甏箍。垂予x 惫b 空瓣，移在x 中阉骞数 集b 和映射妒；x _ + ，“( ，) 满足： v y ￥，v x l ，x 2 毫f 。 x 尹x i 声矿( x 2 ) ， ( 搴) 使得p ( b ) 覆盖x 。取b c b ，使得b n f 4 ( y ) 为单点集，则妒( b ) 仍为f _ 1 ( ，) 的开覆盖，戴b 也是闭离敬集( 由条件( ) 躲，这是霹以傲到的) 。易懿，a = f 。 c f 为y 中的闭离散集。我们取：a 一，满足： 1 0 山东大学硕士学位论文 v y e a ，( y ) = ，( 矿( ，d ( y ) n b ) ) 。 不难发现，( a ) 构成f 的开覆盖。证完。 定理2 1 0 局部d 空间在完备映射下的原象空间是局部d 空间。 证明：设映射，：x 专y 为到上的完备映射，且y 为局部d 一空间。对任意x e x ， 存在，( x ) 的开邻域0 ，) ，使得0 ( ，) 的闭包f 是d - 空p 。则由定理2 i 知，f 。( f ) 是d 空间，且，“( 0 ( ，) ) 是包含点x 的开集。因为d 一空间具有闭遗传性， f ( o i ( ，) ) 的闭包f cf 4 ( f ) 是d - 空间。即：空间x 是局部d 一空间。证完。 注：不难发现，定理2 9 中，4 ( ) ，) 只要是d 一空间即可。 推论2 1 1 紧空间与局部d 空间的积空间是局部d - 空间。 证明：由该积空间到该局部d 空间的映射是完备映射。从而由上述定理得证。 定理2 1 2 局部d 空间在完备映射下的象空间是局部d 空间。 证明：设映射，；x 寸y 为到上的完备映射，且x 为局部d - 空间。对任意y e y ， ，- 1 ( y ) 为空间x 中的紧集。由于x 是局部d 一空间，对每一x f - 1 0 ) ，存在点 x 的一个开邻域o x ，使得瓦为空间x 的d 一子空间。由，“c v ) 的紧性知，存在有 h 限个而，使得u 嚷3 f - 1 ( y ) 。由定理3 1 和定理2 2 知，( u 吼) 为空 z l，l l 间y 中包含点y 的闭集，且为d 一子空间。又因为厂是闭映射，存在y 的开邻域 v ，满足： h 厂1 ) c f 。( y ) c u 吃 ，；l n 则。( 矿) c ( u q ) 为点y 的邻域，且是d - 子空间。证完。 j ；i 山东人学硕l ：学位论文 推论2 1 3 局部d 空间在准完备映射下的象空间是局部d 空间。 证明：由定理2 1 l 的证明及定理3 3 即知。 山东大学硕： 学位论文 第三章并空间的性质 a v a r h a n g e l s k i i 在【4 】中给出了d - 空间和a d 一空间的一些有限并的性质。 主要结果如下。 引理3 1 如果x = y u z ，其中y 是a d 空间( d 空间) ，是x 中的闭集，且z 中 每一闭于空间x 的集合是a d 空间( d - 空间) ，则x 也是a d 空间( 相应的，d 空间) 。 这里只给出d 空间的证明，a d 空间的证明类似。 证明：设声：x 一，为空间x 的任一邻域约定，则庐l y ：y 专另by 的一个邻域 约定。于是，y 中存在一个局部有限集d 1 满足：i y ( d i ) 覆盖y 。那么，我们 有x 、u i y ( d i ) 为空间x 的闭集。于是存在) ( u 矿i y ( d 1 ) 中的局部有限集 d 2 ，满足：( d 2 ) 覆盖) ( 、u 妒i y ( d 1 ) 。从而，矿( d j u d 2 ) 覆盖空间x ，且 不难发现，d 1 ud 2 为空间x 中的局部有限集。证完。 推论3 2 如果x 手y u z ，其中y 、z 是a d 空间( d 空间) ，y 是x 中的闭集， 则x 也是a d 空间( 相应的，d 空间) 。 证明：由于d - 空间( a d 空间) 具有闭遗传性，从而满足引理3 1 的条件。于是， 空间x 为d 空间( a d 一空间) 。得证。 c r b o r g e s 与a c w e h d y 在文章 1 3 1 q b 给出如下定理。 定理3 3 若空间x 是可数个闭的d 子空间的并，那么，x 是d 空间。 证明；设x = u e ，f n 为空间x 的闭d - 子空间，映射为空间x 的任一邻域约 h l l 定。现在，我们用归纳的思想来寻找空间x 的局部有限子集d ，满足；u 毋( d ) = x 。 山东大学硕仁学位论文 由于巧是d 一空间，我们可以得到d i 满足：( d 1 ) 覆盖巧。由推论3 i 的 证明知，存在d 2 c 五u ( d 1 ) ，使得( d 2 覆盖五u 妒( d 1 ) 。类似地 依次选取局部有限集见满足： 舻i，卜l d ncc 、u ( u 日) 且u 妒( 见) 3c 、u 妒( ud j ) 。 i = l，= i 于是，我们得到一列局部有限集见：n = l ，2 ，。令d = u d n ，则d 为局部有 限集，且u ( d ) = x 。证完。 先将其推广到a d 空间，有如下类似的结果。 定理3 4 若空间x 是可数个闭的a d 子空间的并，那么，x 是a d 空间。 证明：设x = u c ，f n 为空间x 的闭d - 子空间，集族溯空间x 的任一开覆盖， 擀l 。 f 为空间中任一闭集。易知f = u ( ，n c ) ，记( = f n 只，n = l ，2 ，。现在， 我们用归纳的思想来寻找空间f 的局部有限子集d 和p o i n t e r ，满足：( d ) = f 。 由于巧是a d - 空间，我们可以得到d l 及旃满足：磊( d 1 ) 覆盖f ne 。由 推论3 i 的证明知，存在唬及d 2 亡五、u 磊( d 1 ) ，使得办( d 2 ) 覆盖( f n e ) 、u 磊( d i ) 。类似地依次选取局部有限集见及映射丸满足 扣l，-l d n c ( f n c ) u u 谚幢) 且u 丸( 见) 3 ( f r a c ) 、u u 谚( q ) 。 于是，我们得到一列局部有限集见及映射九：n = l ，2 ，a 令d 2 u d 。，( x ) = 九( x ) ，x 见，则d 为局部有限集，且u ( d ) = f 。证完。 1 4 山东大学硕士学位论文 现将他们推广到b d 空间以及弱a d 空间。 引理3 5 如果x - y u z ，其中y 是b d 空间，是x 中的闭集，且z 中每一闭于 空间x 的集合是b d 空间，则x 也是b d 空间。 证明：设集族彩为空间x 的任一开覆盖。我们可以得到，y 中存在一个映射识： y _ 髟及局部有限集d l 满足：奴( d i ) 覆盖y 。那么，我们有) ( u 唬( d 1 ) 为空间x 的闭集。于是存在映射如和) ( u 磊( d i n ) 中的局部有限集d 2 ，满足： 如( d 2 ) 覆盖u 畦( d 1 ) 。令妒( x ) = 丸( x ) ，x 见，贝峥( d i u d 2 ) 覆 盖空间x ，且不难发现，d 1ud 2 为空间x 中的局部有限集。证完。 推论3 6 如果x = y u z ，其中y 是b d 空间，z 是a d 空间且y 是x 中的闭集， 则x 也是b d 一空间。 证明：由于a d 空间具有闭遗传性，且a d - 空间是b d 空间，从而满足引理3 5 的条件。于是，空间x 为b d 空间。得证。 引理3 7 如果x = y u z ，其中y 女蒙i d 空间，是x 中的闭集，且z 中每一闭于 空间x 的集合女蓖细- 空间，则x 也悬k i d 一空间。 证明：设集族髟为空间x 的任一开覆盖。我们可以得到，y 中存在一个映 射识：y 斗 溯可数子集族) 及局部有限集d l 满足：u 氟( d i ) 覆盖y 。那么， 我们有) ( 、u u 氟( d 1 ) 为空间x 的闭集。于是存在映射如和) ( 、u u 办( d i ) 中的局部有限集d 2 ，满足：u 晚( d 2 ) 覆盖) ( 、u u 氟( d 1 ) 。令妒( x ) = 九( x ) ， x 见，则u 妒( d i u d 2 ) 覆盖空间x ，且不难发现，d i u i ：h 为空间x 中的局 部有限集。证完。 推论3 8 如果x = y u z ，其中y 是弱a d 空间，z 是a d 空间且y 是x 中的闭集， 则x 也是弱a d 空间。 证明：由于a d 空间具有闭遗传性，且a d 空间是弱a d 空间，从而满足引理3 7 山东大学硕l 学位论文 的条件。于是，空间x 为弱a d 空间。得证。 定理3 9 ：如果x = y u z ，其中y 、z 是局部d 空间，且y 、z 是x 中的闭集， 则x 也是局部d 空间。 证明：对任意x e x ，我们来寻找他的一个闭的d 邻域。我们分下列三种情况来 讨论： i 若石y 。，由于y 是局部d 空间，存在点x 在y 中的开邻域u ，使得u c y 为d 空间。于是，我们有u n y 是点x 的在y 。中的开邻域，从而，为空间x 中 的开邻域。继而，我们可以得到u n y 。cucy 为空间x 中的d 子空间。 若石z 。，由于z 是局部d 空间，存在点x 在z 中的开邻域u ，使得u c z 为d 空间。于是，我们有u n z 。是点x 的在z “中的开邻域，从而，为空间x 中的开邻域。继而，我们可以得到u n z 。cu 亡z 为空间x 中的d 子空间。 i i i 若不是上述两种情况，我们可以得到x 0 y n a z ，即：x 在y 与z 的 边界上。由于y 和z 都是局部d - 空间，分别存在点x 的邻域u 和，使得以n 】， 和u z n z 分别是包含于空间y 和z 的d 一子空间。令u = u r n u z ，则u 也是点 x 的开邻域，而且丽c 瓦7 可和u n z c 玩i 乏也都是d - 空间。从而，由 推论3 2 ，u = u n y u u n z 也是d 空间。 综上所述，对任意点x x ，总存在它的开邻域u ，使得u 为d 空间。即： 空间x 为局部d 空间。证完。 推论3 1 0 若空间x 是有限多个闭的局部d 子空间的并，那么，x 是局部d 空 问。 证明：由上述定理3 1 0 立即得知。 推论3 1 1 若空间x 是一族局部有限的闭的局部d 子空间的并，那么，x 是局部 d 空间。 1 6 山东人学硕士学位论文 证明：设x 2 u x 。，其中， x 。l a r 为一族局部有限的闭的局部d - 子空间。 对空间x 中的任意一点x ，则x 存在开邻域“，至多只与有限多个x 。相交，设 为如( i - l ，2 ，k ) 。从而，一u o 包含于这有限多个以( i _ l ，2 ，k ) 的 ii 并。由推论3 1 1 ，我们知道u k 为局部d 一空间。从而，瓦f r 为u x , , 的闭子 空间为局部d - 空间。存在点x 在一u o 中的开邻域( ，。，使得一u ic u o 为d 空间。 于是，我们得到u = u l n u o 为空间x 中包含点x 的开集( 这是因为u o 为开集， u = un 为乩中的开子集) ，且西c u l 为空间x 的d 子空间。证完。 山东人学硕仁学位论文 第四章与其它空间的关系 f h 3 中的重要性质：每一具有可数e x t e n t 的a d 空间是l i n d e l s f 空间。a v a r h a n g e l s k i i 在【4 】中得到下述命题，它可以由来判定很多空间不是a d - 空间： 性质4 童具有可数e x t e n t 的伪紧的a d _ 空间是紧空间。 c r b o r g e s ，a c w e h r l y 在文章【1 3 】证明了： 定理4 2 每一次仿紧空间是a d 空间。 若空间x 的开覆盖玎没有真子覆盖，我们称其为极小开覆盖。空间x 是不 可约的是指空间x 的每一开覆盖具有极小开加细。不难发现，t l 空间x 是不可 约的当且仅当x 是b d - 空间( 见 1 2 ，1 3 】) 。因此，有下述定理： 定理4 3 1 6 1t l 空间x 是a d 空间当且仅当x 的每一闭子空间是不可约的。 不可约空间的闭子空间未必是不可约的( 例子见【2 0 】。从而，b d 空间小具 有闭遗传性，也就不一定是a d 空间。 下述定理说明t y c h o n o f f 空间未必是弱a d - 空间。 性质4 4 1 6 1 具有可数e x t e n t 的弱a d 空间是l i n d e l s f 空间。 推论4 5 【6 l 可数紧的弱a d 空间是紧空间。 b o o n e 在文章【l l 】中证明了： 定理4 6 1 1 1 1 每一口加细空间是a d 空间。 1 8 山东大学硕十学位论文 因此，每一m e t a 紧空间是a 阻空间。尽管，我们还不清楚t y c h o n o f f f 拘m e t a 紧空间是否为d 空间。 m a s h b u m 在【2 8 】中给出如下命题： 定理4 7 2 8 】每一t 1 的8 0 加细空间是不可约的。 考虑到甜加细空间具有闭遗传性，由定理4 3 得到下述定理： 定理4 8 n 每一t i 的8 0 力口细空间是a d 空间。 在没有t 1 分离性公理的条件下，有如下结果： 定理4 9 【6 】每一帮加细空间是弱a d 空间。 可以看出，弱a 口空间是一类非常广的空间。由定理4 8 立即可以得到a u l l 7 】 的下述结果： 定理4 1 0 n 具有可数e x t e n t 的硼功口细空间是l i n d e i j f 空间。 山东大学硕亡学位论文 参考书目 i r a r e n s ，j d u g u n d j i ，r e m a r ko nt h ec o n c e p to f c o m p a c t n e s s ，p o r t u g a l m a t h 9 ( 1 9 5 0 ) 1 4 1 - 1 4 3 2 a va r h a n g e l s k i i o nr e l m i o n sb c t w ni n v a r i a n t so ft o p o l o g i c a lg r o u p sa n d t h e i rs u b s p a c e s ，r u s s i a nm a t h s u r v e y s3 5 ( 3 ) ( 1 9 8 0 ) 3 - 2 2 3 a v a r h a n g e l s k i i ，r z b u z y a k o v a , a d d i t i o nt h e o r e m sa n dd s p a c e s ，c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n 4 3 ( 4 ) ( 2 0 0 2 ) 6 5 3 - 6 6 3 4 a v a r h a n g e l s k i i d - s p a c e sa n df i n i t eu n i o n s , p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a n m a t h i m a t i c a ls o c i e t y , 1 3 2 7 ( 2 0 0 4 ) 2 1 6 3 - 2 1 7 0 5 a v a r h a n g e l s k i i r z b u z y a k o v a , o ns o m ep r o p e r t i e so fl i n e a r l yl i n d e l f f s p a c e s ，t o p o l o g yp r o c 2 3 ( 1 9 9 8 ) ，1 - 1 1 6 a v = a r h a n g e l s k i i ，d - s p a c e sa n dc o v e t i n gp r o p e r t i e s ，t o p o l o g y a n di t s a p p l i c a t i o n s1 4 6 1 4 7 ( 2 0 0 5 14 3 7 - 4 4 9 7 1 1 1 2 1 3 1 4 c e a u l i 。ag e n e r a l i z a t i o no fat h e o r e mo fa q u a r o ，b u l l a u s t r a l m a 恤s o c 9 ( 1 9 7 3 ) 1 0 5 - 1 0 8 z b a l o g h ，gg m e n h a g e ，v t k a c h u k , a d d i t i v i t yo fm e t d z a b i l i t ya n dr e l m e d p r o p e r t i e s ，t o p o l o g ya p p l 8 4 ( 1 9 9 8 ) ，9 1 - 1 0 3 d p b a t u r o v , s u b s p a c e so ff u n c t i o ns p a c e s ，m o s c o wu n i v m a t h b u l l 4 2 ( 4 ) ( 1 9 8 7 ) 7 5 7 8 h r b e n n e t t d j l u t 2 e r , an o t eo nw e a k0 - r e f i n a b i l i t y , g e n t o p o l o g ya p p l 2 ( 1 9 7 2 ) 4 9 - 5 4 j r ，b o o n e ，o ni r r e d u c i b l es p a c e s ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c 1 2 ( 1 9 7 5 ) 1 4 3 - 1 4 8 j b o o n e ，o ni r r e d u c i b l es p a c e s ，2 ，p a c i f i cj m a t h 6 2 ( 2 ) ( 1 9 7 6 ) 3 5 1 - 3 5 7 c r b o r g e s ，a c w e h d y , as t u d yo f d s p a c e s ，t o p o l o g yp r o 1 6 ( 1 9 9 1 ) 7 - 1 5 d k b u r k e , an o t eo nr h b i n g se x a m p l egi n ：p r o c v e i t o p o l o g y c o n f e r e n c e ，s p r i n g e r , b e r l i n ，1 9 7 4 d k b u r k e ，c o v e t i n gp r o p e r t i e s ，i n ：k k u n e n ，j v a u g l 锄( e d s ) ，h a n d b o o ko f s e t - t h e o r e t i ct o p o l o g y , n o r t h - h o l