（基础数学专业论文）关于完全正的代数整数的绝对长度与绝对mahler测度的研究.pdf

两南大学硕十学位论文摘要 关于完全正的代数整数的绝对长度 与绝对m a h l e r 测度的研究 基础数学专业硕士研究生牟全武 指导老师吴强教授 摘要 对于d 次完全正的代数整数口，c j s m y t h 1 ，2 1 和v f l a m m a n g 3 ，4 1 研究 了集合e = 兄( q ) ) 与c = q ( 口) 】- 这里r ( q ) 是q 的绝对长度，定义为r ( q ) = l ( q ) ；q ( q ) 是及的绝对m a h l e r 测度，定义为q ( a ) = m ( q ) 去l ( a ) 和m ( q ) 分别 是口的长度和m a h l e r 测度。v 。f l a m m a n g 证明了在区间厶= 2 ，2 3 6 1 1 0 1 4 ) 中， 仅包含6 个e 中的元素；在区问屯= ( 1 ，1 7 2 0 5 6 6 ) 中，仅包含6 个c 中的元素 在本文中，我们改进了v f l a m m a n g 的结果：将 的右端点改进为2 3 6 4 5 5 6 ，将 厶的右端点改进为1 7 2 1 8 9 9 作为研究生期间研究工作的一部分，我们最后讨论了不定方程z 3 1 = 1 0 3 y 2 ， 给出了其全部整数解5 1 关键词：完全正的代数整数绝对长度绝对m a h l e r 测度辅助函数 半无限线性规划法l l l 算法不定方程 西南大学硕十学位论文 a b s t r a c t s t u d i e so i lt h ea b s o l u t el e n g t ha n dt h ea b s o l u t e m a h l e rm e a s u r eo ft o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i c i n t e g e r m a j o r ：e l e m e n t a r ym a t h e m a t i c s n a m e ：m uq u a n w u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw uq i a n g a b s t r a c t f o rt o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e rao fd e g r e ed ，c j s m y t h 1 ，2 】a n dv f l a m m a n g 3 ，4 】c o n s i d e r e dt h es e teo fv a l u e so fl ( 口) 去= r ( q ) a n dt h es e t o f v a l u e so fm ( q ) 去= q ( a ) ，w h e r el ( q ) i st h el e n g t ho faa n dm ( q ) i st h em a h l e r m e a s u r eo fq v f l a m m a n gp r o v e dt h a tt h e r ea r eo n l ys i xe l e m e n t so fei nt h e i n t e r v a lj r l = 【2 ，2 3 6 1 1 0 1 4 ) a n ds i xe l e m e n t so fci nt h ei n t e r v a l 2 = ( 1 ，1 7 2 0 5 6 6 ) i nt h i sw o r k ，w ei m p r o v ev f l a m m a n g st h e o r e m ，t h a ti st os a y , w ei m p r o v et h e r i g h te n d p o i n to f1 1u pt o2 3 6 4 5 5 6a n dt h er i g h te n d p o i n to f 如u pt o1 7 2 1 8 9 9 f i n a l l y w ed i s c u s st h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nz 3 1 = 1 0 3 y 2a n dg i v ei t sa l lt h e i n t e g e rs o l u t i o n s 5 k e y w o r d s ：t o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e r ，a b s o l u t el e n g t h ，a b s o l u t em a h l e r m e a s u r e ，a u x i l i a r yf u n c t i o n ，s e m i - i n f i n i t el i n e a rp r o g r a m m i n g ，l l la l g o r i t h m ，d i o - p h a n t i n ee q u a t i o n 1 1 独创性声明 学位论文题目：差王塞全垂鲍岱数整数鲍绝殖量度皇丝殖丛垒垫! 曼! 测 廑鲍盈究 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：牟金战 签字日期： 加口7 年3 - 月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：牟金武 签字日期：伽。7 年，月初日 导师签名：欲1 7 ) 亏 签字日期：7 1 年f 月力z 日 听南人学硕十学位论文第1 章引言 第1 章引言 对于任意d 次复系数多项式尸，不妨设 d p = a o x d + a l x d 一1 + + 口d = o o l - i ( x 一口 ) ， 口o 0( 1 0 1 ) 这里口l = p 的m a h l e r 测度定义为 d m ( p ) = 川m a x 1 ，1 ( 2 t b i - - - - - 1 对于代数数q ，定义a 的m a h l e r 测度m ( q ) 为q 的极小多项式的m a h l e r 测度如 果p z 】，显然有m ( p ) 1 ，并且由k r o n e c k e r 定理知m ( p ) = 1 当且仅当p 是分圆多项式和z 的某个幂的乘积1 9 3 3 年，d h l e h m e r 6 】提出了如下问题： 是否存在常数c 0 ，使得对于任意代数数q ，如果m ( q ) 1 ，那么 m ( q ) 1 + c ? 这样，寻找具有小m a h l e r 测度的多项式就是一件很有意义的事情如果多项式p 满足p ( 1 x ) = 尸( z ) ，我们称p 为互反多项式当代数数口的极小多项式互反时， 我们也称q 是互反的代数数1 9 7 1 年c j s m y t h 7 】证明了如果代数数q 0 ，l ， 并且不是互反的，那么 m ( a ) o o = 1 3 2 4 7 1 7 这里8 0 是最小的p i s o t 数，它是多项式z 3 一z 一1 的实根当a 互反且m ( q ) 1 时，d h l e h m e r 发现了m ( n ) 的最小值1 1 7 6 2 8 0 8 ，它是以下多项式( 称之为 l e h m e r 多项式) 的m a h l e r 测度： l ( x ) = z l o + z 9 一z 7 一z 6 一z 5 一z 4 一z 3 + z + 1 在互反情形下，v f l a m m a n g ，g r h i n ，j m 。s a c e p e e 8 】找出了m a h l e r 测度 小于1 3 2 4 7 1 7 且次数不超过3 6 的所有整系数不町约多项式，以及m a h l e r 测度 小于1 。3 1 的3 8 次和4 0 次整系数小可约多项式。g ，r h i n ，j 。m s a c e p e e 9 】还利用 统计学的方法给出了次数小于3 0 0 的一些具有较小m a h l e r 测度的多项式 尸的绝对m a h l e r 测度定义为 q ( p ) = m ( 尸) 也称作q 的绝对m a h l e r 测度，记作q ( q ) 1 曲南人学颁+ 学位论文第1 章引言 给定扇形区域v = z ：ia r g z l 令 ，这里0 口 l 使得q ( q ) = l 或q ( a ) 以c ( o ) 表示西的最大值，g r h i n 和 c j s m y t h 1 l 】给出了 0 ，2 1 r 3 】内不相交的9 个闭区间中c ( o ) 的确切值后米 g r h i n 和q w u 1 2 进一步改进了这一结果，给出了【0 ，7 r 】里刁i 相交的1 3 个闭区 间中c ( o ) 的确切值，并且扩大了原来的9 个区间 多项式p 的长度l ( p ) 定义为 d ( 尸) = 蚓 k = o 也称作q 的长度，记作l ( q ) 同样地，可以定义p 的绝对长度r ( 尸) ： 兄( p ) = l ( p ) 吾 也称作o l 的绝对长度，记作r ( q ) 由定理2 2 2 ( r a l 第二章) 知l ( p ) 与m ( p ) 有密切 的关系，从而r ( p ) 也与n ( p ) 密切相关 除了特别说明外，以下假定p 是首一不可约整系数多项式，且具有( 1 0 1 ) 的 形式此时a 是代数整数 如果p 的所有根0 1 1 = q ，a 2 ，口d 全部是正数，则称p 足完全正的，也称 o l 是完全j 下的，即a 是完全正的代数整数 对于集合e = r ( p ) i p 完全正) ，c = 1 2 ( p ) i p 完全正) ，c j s m y t h 1 3 】证明 了 定理1 1 存在正常数b l ，岛，c l ，q ，2 乏b 1 b 2 ，1 a c 2 。， 使得en 2 ，b 1 ) 与n ( 1 ，c 1 ) 仅包含有限个元素，而e 在 b 2 ，o 。) 内以及在 【岛，。) 内均处处稠密，而且c 2 可取1 7 2 7 3 注1 上述“处处稠密”是指对于任意z e ( 或z c ) ，存在一个完全正的多 项式序列 只 ，使得当i 呻o o 时，兄( 忍) 呻z ( 或q ( 只) _ z ) v f l a m m a n g 3 ，4 】证明了以下定理 定理1 2 对于任意d 次整系数首一不可约多项式p ，如果p 是完全正的，那 么必有 ( i ) 兄( p ) 2 3 6 1 1 0 1 4 | r e s u l t 。n t ( p , q j ) i 寻 2 ( i i ) 这里， 1 0 q ( 户) 1 。7 2 0 5 6 6 u l t n n t ( p , 毋) f 孚 i = 1 q l ( x ) = z q 2 ( z ) = z 一1 q 3 ( x ) = z 2 3 x + 1 q 4 ( x ) = z 4 7 x 3 + 1 3 x 2 7 x + 1 q s ( z ) = z 6 一l l x 5 + 4 1 x 4 6 3 x a + 4 1 x 2 一l l x + 1 q 6 ( z ) = z 8 1 5 x 7 十8 3 x 6 2 2 0 x 5 十3 0 3 x 4 2 2 0 x 3 + 8 3 。2 1 5 z + 1 q t ( x ) = z 8 1 5 x 7 + 8 4 x 6 2 2 5 x 5 + 3 1 1 x 4 2 2 5 x 3 + 8 4 x 2 1 5 z + 1 q s ( z ) = 护一4 x + l e l = 0 3 1 7 8 4 8 9 9 e 4 = 0 0 1 5 0 1 1 1 5 e 7 = 0 0 0 3 2 11 3 0 e 2 = o 1 1 6 2 1 2 6 6 ， e 5 = 0 0 0 6 2 4 4 2 1 e 8 = o 0 0 11 9 5 1 4 e 3 = 0 0 3 8 2 4 0 2 9 e 6 = 0 0 0 5 7 5 2 2 8 只( z ) = q f ( z ) ，1 i 7 玛( z ) = z 4 8 x 3 + 1 5 x 2 8 x + 1 玛( z ) = z 6 1 2 x 5 + 4 4 x 4 6 7 x a + 4 4 x 2 1 2 x + 1 f l o ( z ) = z 1 6 - 3 1 x 1 5 + 4 1 3 x 1 4 _ 3 1 4 1 x 1 3 + 1 5 2 6 1 x 1 2 5 0 1 8 7 2 1 1 + 1 1 5 4 1 0 2 1 0 1 8 9 0 3 6 2 9 + 2 2 2 6 2 1 x 8 1 8 9 0 3 6 x 7 + 1 1 5 4 1 0 x 6 5 0 1 8 7 x 5 + 1 5 2 6 1 x 4 3 1 4 1 2 3 + 4 1 3 2 2 3 1 z + 1 c 1 = 0 2 0 3 3 3 6 0 7 c 4 = 0 0 1 6 8 8 9 4 3 c 7 = o 0 0 0 6 9 1 6 0 ， c 1 0 = 0 0 0 1 9 5 8 4 6 c 2 = 0 3 2 5 0 6 1 7 7 ， c 5 = o 0 0 2 9 2 3 6 0 c s = 0 0 0 11 8 5 6 0 c 3 = 0 0 4 5 3 6 2 4 3 c 6 = 0 0 0 5 6 9 4 4 1 c o = 0 0 0 0 8 7 9 3 3 注2 由上述定理，v f l a m m a n g 给出了b l = 2 3 6 1 1 0 1 4 及c 1 ：1 7 2 0 5 6 6 3 西南大学硕+ 学位论文 第1 章引言 v f l a m m a n g 4 构造了如下的完全正的多项式序列 坼p o ( x ) ，= ：x 扣- 。1 忆一z + ，。礼刈 n 妣， i p n ( z ) ：扣( ) ( 时一2 ) ( 礼1 ) q 刀2 序列( 兄( r ) 收敛于2 3 7 6 8 ，这给出了岛= 2 3 7 6 8 令 q 5 1 = z 3 5 x 2 - 4 - 6 x 一1 q 5 2 = z 3 6 x 2 + 5 x 一1 q 7 l = z 4 7 x 3 + 1 4 x 2 8 x + 1 q 7 2 = z 4 8 x 3 + 1 4 x 2 7 x + 1 我f 门有q 5 = q 5 l q 5 2 ，q 7 = v 7 1 q 7 2 v f l a m m a n g 3 】给出en 【2 ，b 1 ) 的全部元素 r ( q 2 、= 2 r ( q a l = 5 考= 2 2 3 6 0 6 7 r ( q 4 ) = 2 9 1 = 2 3 2 0 5 9 5 r ( q s l ) = r ( q 5 2 ) = 1 3 1 = 2 3 5 1 3 3 4 r ( q 6 ) = 9 4 1 = 2 3 5 3 4 1 6 r ( q n ) = r ( q 7 2 ) = 3 1 i = 2 3 5 9 6 1 1 及n ( 1 ，q ) 的全部元素 4 】 q ( q 3 ) = 1 6 1 8 0 3 3 q ( q 4 ) = 1 6 8 5 3 8 9 q ( q 6 ) = 1 7 1 0 1 9 7 q ( q 5 1 ) = q ( q 5 2 ) = 1 7 1 5 5 3 4 q ( q 7 1 ) = q ( q 7 2 ) = 1 7 1 9 3 8 8 q ( f l o ) = 1 7 2 0 0 6 1 由定理1 1 可以看出，e 和c 仅分别在区问 b 1 ，b 2 ) 和【g ，q ) 上的结构尚 不清楚因此，尽可能地提高占1 和q ，降低岛和q 是一件很有意义的工作，但这 是一个凼难的问题 4 西南大学硕十学竹论文 第1 章引言 在本文里我们改进了v f l a m m a n g 的结果具体来说，是将定理1 2 中关于 r ( p ) 与f l ( p ) 的两个不等式右边的常数分别改进为2 3 6 4 5 5 6 和1 7 2 1 8 9 9 第2 章 介绍研究过程中所需要的预备知识；第3 章介绍研究中用到的主要理论；第4 章针 对完全正的代数整数的绝对长度与绝对m a h l e r 测度这两个具体问题，详细阐述了 研究的过程及我们的结果：第5 章介绍了卜定方程z 3 1 = 1 0 3 y 2 5 幽南大学硕十学位论文 第2 章预备失| l 识 第2 章预备知识 本章主要介绍我们在研究过控中所需要的一些预备知识主要包括代数数和 代数整数，多项式，l l l 算法及线性规划的基础知识 2 1代数数和代数整数 定义2 1 如果o t 足一个有理数多项式 扩+ a l z ”一1 + + a n l z + a n 的根，则称q 为一个代数数，若上述多项式的系数都是整数，则称o t 为一个代数整 数a 所满足的次数最低的多项式称为乜的极小多项式，极小多项式的次数称为o l 的次数 显然，每个代数整数一定是代数数，反之不真实代数数与代数整数的极小多 项式是唯一的 定理2 2 一个有理数是代数整数当且仅当它是有理整数 定理2 3 在通常的复数加法与乘法下，全体代数数构成一个域，全体代数整数 构成一个环。 定理2 4 假设o t 是多项式 a o x n + a l z n l + + a n - l x + a n 的根，如果a o ，a l ，都是代数数，那么q 一定是代数数j 如果a o ，a l ，a n 都是代数整数，且a o = l ，那么q 一定是代数整数 定义2 5 设a 是一个代数整数，它的共扼定义为q 所满足的极小多项式的所 有根 关于代数数和代数整数更详细的介绍町参考文献【1 4 和【1 5 】 2 2多项式 定理2 6 如果( x ) 与g ( x ) 是域f 上的两个多项式，且g ( x ) 0 ，那么存 在唯一的g ( z ) ，r ( z ) f i x ，使得，( z ) = g ( z ) 夕( z ) + r ( z ) 。这里r ( z ) = 0 ，或者 d e gr ( z ) d e g9 ( z ) 6 西南大学硕十学位论文 2 2 多项式 定义2 7 如果数域k 上次数1 的多项式p ( x ) 不能表示成数域p 上的两 个次数比p ( x ) 低的多项式的乘积，则称p ( x ) 为数域p 上的不可约多项式 定理2 8 ( e i s e n s t e i n 判别法) 设f ( x ) = a n t , “+ a n - i x ”1 + + a l x + a o 是一 个整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得 j p 十a n 2 ，p l a n 一1 ，a n - 2 ，o o 3 p 2 十a o 那么f ( x ) 在有理数域上是不可约的 关于多项式在给定区间根的个数的判定，有以下法则： 定理2 9 ( f o u r i e r b u d a n ) 如果f ( x ) 是几次多项式，a b ，f ( a ) f ( b ) 0 ， 令n ( x ) 表示序列厂( z ) ，( z ) ，( ”) ( z ) 正负号的变化次数，那么f ( x ) 在区间 ( a ，b ) 内的根的个数停根按重数计算) 不超过n ( a ) 一( 6 ) 定理2 1 0 ( d e s c a r t e sr u l e ) 多项式 f ( x ) = a o x n + a l x ”一1 + + 的正根的个数不超过序列a o ，a 1 ，a 。的正负号变化次数 给定多项式，( z ) ，令f l ( x ) = ，7 ( z ) ，我们用e u c l i d 算法计算f ( x ) 与f l ( x ) 的 最人公约数 f = q l f l 一 2 。 、= q 2 1 2 1 鲁， n 一2 = q n 一1 n 一1 一l 凡 m 一1 = q n l 仇 序列， ，厶一1 ，厶称作多项式，的s t u r m 序列 定理2 1 1 ( s t u r m ) 令u ( z ) 表示序列，( z ) ， ( z ) ，厶( z ) 的正负号变化 次数，a b ，f ( a ) f ( b ) 0 ，则多项式，( z ) 在区间( a ，b ) 内根的个数仟按重数计 算，等于u ( o ) 一u ( 6 ) 我们把多项式矿一1 = 0 的根称为n 次单位根如果o z 是一个几次单位根， 且o t 彳i 是一个更低次的单位根，则我们称o t 为佗次本原单位根 设o t l ，o t 2 ，q 妒( 。) 是全体n 次本原单位根，将妒( n ) 次多项式 西。( z ) = ( z q 1 ) ( z q 2 ) ( z o l 妒( 。) ) 称为n 次分圆多项式 7 西南大学硕十学何论文 2 2多项式 定理2 1 2 分圆多项式圣。 ) 是不可约的整系数多项式 除了引言部分介绍的长度和m a h l e r 测度，下面再介绍几个与多项式有关的范 数及有关性质 若p 为d 次复系数多项式，a o ，a l ，a d 为尸的系数，a l = o t ，a 2 ，蛳 为p ( z ) 的d 个根，即 p = o d k x 知= 咖i i ( z q 七) 0 七d1 蠡d 定义2 1 3 多项式p 的高定义为 h ( p ) = m a x l a i l 也称作口的高，即日( a ) 关于m a h l e r 测度，容易证明 性质2 1 4 m ( f 9 ) = m ( f ) m ( g ) m ( 一p ( 三) ) = m ( p ( 州 m ( p ( x ”) ) = m ( p ( z ) ) 引理2 1 5 ( j e n s e n 公式) 如果函数f ( z ) 在l z f 1 里是解析的，并且在f z l 1 里有零点z l ，z 2 ，( 按重数计算) ，则有 去卜彬f 刊d 妒= l o gl ，( o ) l _ 晏i 推论2 1 6 m ( p ) = e x p l o gf p ( e 2 州。) 陋 定义2 1 7 多项式p 的e u c l i d 范数定义为 i i p l l = ( l a k l 2 ) 引理2 1 8 1 a k l ( ：) m ( p ) ，0 k d 8 曲南大学硕+ 学何论文 2 2多项式 推论2 1 9 l ( p ) 2 d m ( p ) ，l ( p ) d h ( p ) 定理2 2 0 对任意正整数d 和正实数m ，仅有有限个多项式p z ( z ) ，满足 d e gp d ，m ( p ) m 引理2 2 1 ( g o n c a l v e s 不等式) m ( p ) 2 + l a o a d l 2 m ( 尸) 一2 ii p1 2 定理2 2 2 m ( p ) f i p i l l ( p ) 2 d m ( p ) 特别地，如果p 是一个2 d 次互反多项式，记 2 dd p _ n o 娶( 一) q = a oi 僦i ( 护 汁劫 则有 u d m ( p ) l ( q ) 3 d m ( p ) 这里“，是黄金分割率学= 1 6 1 8 0 3 3 定理2 2 3 如果o 和p 分别是m 次和n 次代数数，则有 m ( a + p ) 2 m n m ( q ) n m ( p ) m ， m ( a f ) m ( n ) n m ( p ) m 定理2 2 4 m ( p ) 1 1p1 1 ( 芋) m ( p ) 定义2 2 5 q 的绝对对数高( t h ea b s o l u t el o g a r i t h m i ch e i g h t ) 定义为 九( q ) = t l o g m ( a ) 显然，我们有f l ( p ) = e h ( 定理2 2 6 若多项式，和g 的次数分别是d l 和d 2 ，则有 l ( f g ) l ( f ) l ( g ) 2 d l + d 。l ( f g ) 9 西南大学硕十学位论文 2 ，2多项式 定理2 2 7 ( k r o n e c k e r 定理) ( i ) 如果8 是一个非单位根的代数整数，口0 ， 那么q 的共扼元之中至少有一个其模严格大于1 ( i i ) 如果p 是一个完全实的代数 整数( 即p 及其共扼元全部是实数) ，p 2c o s r 7 r ，这里r q ，那么p 的共轭元 之中至少有一个其模严格大于2 由k r o n e c h e r 定理，我们可以知道m ( p ) = l 当且仅当多项式p 是分圆多项 式 下面介绍关于结式的一些性质 nm 考虑多项式f ( x ) = a i t n 一和g ( x ) = 玩俨一，a o 0 ，b o o 。我们构造下 i = 0i = 0 面的m + n 阶矩阵 s ( f ，g ) = a oa l 0 0 矩阵s ( ，g ) 称作多项式，和9 的s y l v e s t e r 矩阵s ( ，9 ) 的行列式称作，和 g 的结式，记作r ( ，9 ) 定理2 2 8 多项式，和夕有公因子当且仅当冗( ，g ) = 0 定理2 2 9 设o 1 ，q 2 ，q n 是多项式，的所有根，卢l ，侥，风是多项 式g 的所有根，则 r ( f ，夕) = n o m ( t 一岛) = o 孑i i9 ( n t ) = 培，( 屈) 1 墨l n1 i n1 s l n l s j s ml j s nl j s m 推论2 3 0 r ( f ，g ) = ( 一1 ) r ( g ，f ) 推论2 3 1 如果f = g q + 7 ，则 r ( ，9 ) = 6 字9 ，一咖r p ，g ) 这里6 0 是多项式9 的首项系数 1 n 跏 咖 掰 跏 现 知h 一h 以的 曲南大学硕十学位论文2 3 l l l 算法 推论2 3 2 r ( ，g h ) = r ( f ，g ) r ( ，h ) 有关多项式的内容十分丰富，可以参阅文献【1 6 卜【1 9 】这里不再过多介绍 2 3l l l 算法 l l l 算法是计算数论的重要工具之在我们的研究工作中，为了构造好的辅 助函数，需要寻找好的牟 | j 助多项式q 这些辅助多项式的产生，很大程度上依赖于 l l l 算法关于l l l 算法的基础知识呵见【2 0 】及【2 9 】 r 是实数集，r “为n 维欧氏空间r n 中的元素用列向量表示，取r n 中通常内 积： ( ) ：r ”r n r 此内积定义了酞“中的长度| j j j ： ( z ，y ) hx t y ：r n 叫r 0 z h ( z 。z ) 由r n 中的一组r 一基所构成的一个n 维自由z 一模l 称作r n 的一个格取定l 的一组基“，1 ，u 2 ，w n ，那么 l = 踟1 + + z u n 行列式的绝对值l d e t ( w l ，。) f 称作l 的判别式，记作d ( 己) 为叙述方便，以后内积( ) 也用表示，即z y = x t y 对r n 中的任一组线性无 关向量0 j 1 ，0 j 2 ，利用g r a m s c h m i d t 正交化过程，均可得到一组正交基 u ；，嵋，“，这里 0 3 i = 纰一胁，j q ，- q d = 恍，q q q ( 1 j i n ) j = l 这两组基生成相同的向量空间 定义2 3 3 ( l l l 约简基) 如上所述，如果以下两个条件成立 胁，t 互1 ， v 1 歹 一 玩玩 = z 一 o 。芦 曲南人学硕十学佗论文 2 4 线性规划 定义0 3 8 满足非负条件( 2 4 3 ) 的基本解称为基本可行解，否则称为基本不 可行解 定义2 3 9 对应于基本可行解的基称为町行基 利用单纯形法我们可以求解线性规划问题单纯形法的基本思想足：先找到一 个初始呵行基，得到个初始基本可行解然后判断该解是否最优如果不是最优 解，则施行基变换，找到一个新的可行基，使新的基本可行解比原来的要好这样跌 代下去，直至找到最优解为止 关于线性规划更详细的介绍可参考文献 2 1 】和【2 2 】 1 4 曲南人学硕十学位论文 第3 章研究方法及相关理论 第3 章研究方法及相关理论 本章将详细介绍研究中用到的主要方法和理论我们的研究以辅助函数为主 要工具为了优化构造出来的辅助函数，需要寻找好的辅助多项式q ，( 或弓) 及系 数e j ( 或c f ) 而寻找辅助多项式q j ( 或马) 主要依靠整超限直径的理论和l l l 算 法；通过半无限线性规划的方法，能得到最优的e f ( 或c ，) 因此，我们首先举例说明 辅助函数的应用，再阐述整超限直径的理论，辅助函数与整超限直径的关系，最后 介绍了半无限线性规划法 3 1辅助函数的应用 构造辅助函数是计算数论的重要研究方法和手段之一该方法被c j s m y t h 1 3 ， v f l a m m a n g ，g r h i n 2 3 】等人广泛应用例如下面著名的s c h u r s i e g e l s m y t h 问题 1 3 】： 对于完全正的代数整数q ，除去有限个例外，给出笔搿的最好下界 c j s m y t h 在研究上述问题时，构造了如下的辅助函数 m ) = z 一勺l o g 恸( z ) 1 j ， ( 3 1 1 ) 这里q 是非零的整系数多项式，e j 是j 下实数假设q 是d 次完全正的代数整数， 它的极小多项式是p ，p 的所有根足c t l = q ，a 2 ，a d ，我们用m 表尔f ( x ) 当 z 0 时的最小值，假定p 不整除任何锄，则有 f ( o l i ) m d 1 t d 及 讹c e ( q ) 一q l m d + e j 1 。g 1 s i s d1 s j s ， q ( 啦) 1 i d 由于兀q ( q 1 ) 是p 和q 的结式，它是非零有理整数，所以啦m d 即 1 d i i 1 7 7 1 9 d e g ( a ) 一 1 5 两南人学硕十学何论文 3 2 整超限直径 3 2 整超限直径 设k 是c 中的一个紧集，p 是一个多项式且p c 】令i p i 。o ，k = s u pl p ( z ) 1 k 的整超限直径定义为 z e k 定义3 1 t z ( k ) = l i m 。i 。n f 珊ji p f 留k n d 8 9 p = f l 对于任意n 1 ，如果某个多项式r 满足 r i o 。，k2p m 。i ni p i 。，k d e g p = n 则称r 是c h e b y s h e v 多项式满足上式的r 通常不是唯一的目前已知：如果 k 是一个实区间，彳i 妨没k = 陋，6 ，则当b n 4 时，t z ( k ) = 宁；当b a 0 ，虿= ( e l ，e 2 ，e n ) 乏n ，e 0 ，c = ( c l ，c 2 ，c n ) r 帆，c 0 ，锄z 纠，r j z 吲，1 j n 1 0 9 + ( z ) = m a x ( o ，l o g ( x ) ) q 是任意给定的完 全正的d 次代数整数，p 是o t 的极小多项式，其全部根o l l = o t ，o t 2 ，a 为正实 数即 4 1 1 关于绝对长度问题辅助函数的构造 为了研究r ( 尸) ，我们考虑辅助函数 如果m ( 虿) = r a 。) i n 。f l ( x ，虿) ，则有 从而 1 9 z 0 ( 4 1 1 ) m ( 虿) 1 = 0 d口一 z d 僦 0 0 i f d o + z d o + 一d z0 + d z o o = p z qg oe n 硝 一z + l g 0 = 一ez ， d 一 a qg o 勺 。硝 d 澍 一q+ g o 。汹 西南大学硕十学位论文 4 1 辅助函数 所以 1 。g ( 1 + q t ) = e j l 。gi q j ( a i ) i + d 仇( 虿) i = li = 1j = l nd = e j l o gi q a q d l + d r e ( e ) 5 = 1 1 = 1 = e j l o gi r e s ( p q j ) i + d r e ( e ) j = 1 当pfq j ( 1 歹n ) 时，i r e s ( p , q ) i 1 ，这时有 d l o g ( 1 + 啦) d r e ( e ) 4 = 1 另一方面，由于p 是完全正的，p 的系数必然正