（基础数学专业论文）分担值与正规族(2).pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：垒l 盛塾日期：! 竺i ：2 兰：妒 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：女i 噱使 导师签名：露r 不w 、 日期：塑：鲨：塑 日期： u6 r 、2 u 摘要 本文主要证明了如下的结论：设，为定义在区域d 内的一族亚纯函数，口1 ， 2 和。3 分别为三个互异的有限复数，如果对于任意的，有，和，分 担集合s = 1 ，2 ，n 3 ，那么，在d 内正规 关键词：亚纯函数，正规族，分担集合 2 a b s t r a e t l e t ，b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so nt h eu n i td i s c ，a n d0 1 ，2 a n d a r et h r e ed i s t i n c tc o m p l 麟删m b e r sh f o re v e r y ，a n d ， 8 i l a r e 8t l l es e ts = m ，0 2 i ) ，t h e n ，i sn o r m a lo n k e y w o r d s ：m e m m o r p h i cf u n c t i o n ，n o n n a jf a m i l y j8 h a t ea8 e t 3 第一节引言及结果 十九世纪末期，数学家e p i c a r d 和e b o r e l 对于整函数和亚纯函数的根进 行了研究，并且取得了系列突出的结果，他们的工作以及后来的一系列数 学家的贡献，构成了整函数与亚纯函数值分布论的基础在值分布论的发展 中，r n e 、，a n l i n n a 做出了巨大的贡献他在1 9 2 5 年引入了亚纯函数的特征函 数，并且建立了n e v a n l i i l l l a 第一和第二基本定理，特征函数的概念和这两个 定理在很长时间内成为了值分布理论的基础后来，人们提出了结台导数的 值分布的问题，并取得了相关的成果，例如m i l i o u x 不等式，h a y m a n 不等式等 等 在二十世纪初，p m o n t e i 引入了正规族的概念，正规族本质上是一族全纯 函数或者亚纯函数的列紧性m o n t e l 将函数族的正规性与函数族的取值联系 了起来，建立了著名的m o n t e l 砥规定则在函数族正规性的判断上，很长一段 时间以来，都是采用直接计算的方法，通过判断函数族的球面导数是否内闭 一致有界来实现的直到以色列数学家z a l c m a n 提出了z a l c m a n 引理，提出 如果函数族，不正规，那么可以在原函数族的基础上构造一列函数内闭一 致收敛到c 上的某个非常值亚纯函数+ 这样就可以用反证法来研究些正 规族的问题庞学诚教授对该定理做了重要的也是实质性的推广，使之可以 运用到导函数上，从而可以用来研究涉及导数的正规族的判定问题 首先，我们给出本文所需要的概念和记号的定义 设，是c 上的亚纯函数，定义 m ( r ，) 2 嘉1 0 9 + m e 仲) 脚 ( r ，) ：f ! i 二掣d z 十n ( o ，) l 。g r j 0 o 其中n ( r ，) 为亚纯函数，在弘：h r 内极点的个数( 重级极点计算重 数) ，n ( o ，) 为。作为，的极点的重数( 如果。不是，的极点，那么( o ，) = o ) 丙n ，) = f 7 里生生掣班+ 瓦( o ，) l o g ， j n “ 其中瓦( r ，) 为亚纯函数，在f z ： o ，使得对于任意的z c ，有，o ( z ) m 在f 7 l 中w s c h w j c k 证明了： 定疆a 设，为定义在区域d 内的一族亚纯函数，0 1 ，2 和。3 分别为 三个互异的有限复数，如果对于任意的，有 劢( 啦) = 可，知1 ) ，( 1 1 ：l ，2 ，3 ) ， 5 那么，在d 内正规 在f 6 j 中，庞学诚和z a j c m a l t 推广了s c h w ；c k 的结果证明了： 定理b 设，为定义存区域d 内的。族亚纯函数，o l 和0 2 为两个互异 的有限复数，如果对于任意的，厂，有 西，( o i ) = 面，心。) ，( 江1 ，2 ) 那么，存口内正规。 方明亮从另外的角度对s c h w i c k 的结果加以推广，提出了分担集合的概念 定义6 设，与g 是区域口内的两个亚纯函数，。1 ，。2 和船为c 上的 三个互异的复数，我们称，与9 分担集台s = o l ，口2 ，。3 ) ，如果 ，一1 ( s ) = z 上) 一，( 2 ) s ) = 9 1 ( s ) = 。d ：9 0 ) s 在f 2 】中他证明了如下的结果： 定理c 设，为定义在区域d 内的一族全纯函数，口l ，眈和分 别为三个互异的有限复数，如果对于任意的，f 有，和，分担集合 s = 。1 ，0 2 ，3 ) ，那么，在d 内正规 在这篇文章中，我们继续探讨分担值和正规族的关系，将方明亮的结果推 广到亚纯函数的情况，证明了如下的结果： 定理1 设，为定义在区域d 内的一族亚纯函数，口1 ，0 2 和0 3 分别 为三个互异的有限复数，如果对于任意的，f ，有，和，7 分担集合 s = f 0 1 ，0 2 ，幻 ，那么，在d 内正规 显然，这也是对s c h w j c k 结果的一种推广但是，列于分担由两个互异的有 限复数值组成的集合的提应结论不成立，即使是全纯函数也是如此，我们有 如下的反例 例设口= z ：h 1 ) ，s = 1 ，一1 ) ，我们设，= ( ：n = 1 ，2 ，) 萁 中 她) = 等，2 + 等e ， 那么我们有n 2 ( 靠一1 ) = ( 尼) 2 1 这就意味着 和矗分担集合s ，但是 显然，在_ d 内不正规 6 第二节基本公式和引理 引理1 设，是定义在单位圆盘上的族亚纯函数，如果对于任意一 个，和，( z ) = o ，存在一个正数a ，使得i ，7 ( 2 ) i a 那么如果，不正 规，则对于任意的0 ns l ，存在 ( n 实数0 r l ； ( i i ) 复数列，f 知f 2 个互 异的有限复数，那么有 三1 l ( r ，) + 芝一仇( r ，去) 2 t ( n ，) 一1 ( r ) + s ( _ ，) ， = l 。一” 这里l ( r ) = 2 ( _ ，) 一( r 1 ，) + ( n 击) 和s ( r ，) = o ( ，( r 1 ，) ) ，r _ o 。 对于至多除去个对数测度为有穷的集合e 外成立 引理3 设，是c 上的有穷级亚纯函数，8 l ，0 2 和n 3 是三个互异的有限 复数假设，( 2 ) 仅有有限多个零点并且满足，( z ) = o 哥，( z ) s = 口1 ，2 ，n 3 ，那么，一定是有理函数 证明我们对，使用引理2 ，这时取q = 3 那么可得 ”( ”，) + “( n j i 三i ) 十“( 7 ，7 毛) 十r ”( ，7 南) 2 t ( n ，7 ) 一l p ) 十s ( n ，7 ) 这里1 p ) = 2 ( n ，) 一( _ ，”) + ( r ，南) 这样就有 。 2 t ( r ，7 ) 丙( r 1 ，) + ( 7 ，7 去) 十( n 7 去) 十丙( n 7 去) + s ( 一，7 ) = ( n ，) + ( r ， ) + s ( ，7 ) j 因为，是非常值的有匆级亚纯函数，所以，与，具有相同的级，故有 s ( n ，) = o ( 1 z - r ) 此外，仅有有限多个零点，那么我们就可以得到 剪( r ， ) = o ( 】nr ) ，因此既有2 丁( r ，7 ) ( r ，) + o ( 1 nr ) ，t ( r ，7 ) o ( 1 nr ) ， 这就意味着，是有理函数 7 第二节定理的证明 假世f 在d 上不正规，我们不妨设d = 那么，由引理1 ，存在复数 列。m l ，函数列 ，和正数列m ，p 。呻0 使得 ( e ) = 所。( 卜e ) _ 妒( e ) 在c 上按照球面距离内闭致收敛，这里口是c 上的非常值亚纯函数 我们断言9 ( ) s = f o h o z ，哪 = = 寺g ( ( ) = o 假设存在0 c ，使得口) s ，那么存存某个t 1 ，2 ，3 】，使 得9 ( 岛) = o ；，丑j 么由于9 ( ) n 。，故存在“，( 仉一白，使得跏( 靠) = ( 粕+ 肌白) = 瞰，由定理的假设条件，鼻( z 。+ 脚矗) s ，这就意味着存在 a = m 矾“u l ，i n 2 i ，n 3 m 使得l 矗( + m 矗) i 曼a ，那么就有 f ( c 0 ) 掣h i n 脚丘( + 脚矗) = o 凶为口小是常值凼数，所以不妨对丁“l ，g ( ( ) 一u 】在c 上肯零点考虑函 数 州) = 掣 我们有( g 。 在g ( ( ) 一。1 的零点处不一规事实上，如果设如是 目一0 1 的某个零点，那么由于g ( a n 】o ，故存在一列矗，h 一( n ，使得 ( 矗) ! ，札( 2 。+ m 矗) = 这样的话就有g 。( 矗) = 0 然而，存在一个正 数d ，使得9 ( ) 。l ，在o k 一白l ( 6 上成立，那么对于任意的，只要 o l 一0 l d ，就有鼽( ( ) 0 1 ，如果n 充分丈我们可知g ( ) = 0 0 ，对 于所有的( ，0 ，n ( + p r t ( ( 扎+ 岛) ) 口l ， 则 ) = 熙丛业黑芈 这就与f ( 如) = 毗矛盾所以，存在 厶) 的子列( 不妨仍记为 ) ) ，使得 对于每个n ， ( + ( 矗+ 咖矗) ) = n 1 ，所以 f ( f o ) 2 拦 厶( 磊+ 脚( 靠+ 靠) ) 一8 t 加晰i = 0 现在，我们完成最后的证明由引理3 可知f 是一个有理函数又因为如 果g k 在( 。点不正规，那么( o 一定是9 ( ( ) 一o l 的零点所以g k 在白的某 9 个领域内全纯( 只要n 充分大就可以) ，这就意味着r ( ) = g 。( 岛+ ) 在半径r 趋向于无穷的圆盘d = f ： 研内全纯因为f n ( ) 在c 上按照球面距离内闭一致收敛到f ( ) ，所以f ( f ) 是c _ 卜的全纯函数这样 的话f 就是次数为p 的多项式假设f ( f ) = c 0 p + c 1 o + + 唧，这 里岛“= 1 ，2 ，j ) ) 是复系数且c 0 o 那么有t ( r ，f 7 ) = 加一1 ) ( 1 n r ) ， ( n f ) = p ( 1 n r ) 和s ( r ，f 7 ) = 0 ( u 当r o 。时这样我们就有 2 扫一1 ) ( 1 n7 ) p ( 1 n r ) + d ( 1 ) ， 当r 一o 。时 我们可得p 2 如果p = 1 ，那么f ( f ) 是一个线性函数，不妨设为 f ( 9 = + d ，这里c ( ) o ，d 是有限复数然而，由断言的后半部分( 2 ) ，我 们有对于所有的，存在某个z ，使得f ( ) = 吼，并且必定为f 的零点：这 就与f ( ) 仅有个零点矛盾如果p = 2 ，那么对于所有的 ，啦o 且f ( ) 必定为如下的形式c ( f 一d ) ( f 一1 ) ，这里c ( o ) ，岛自是三个有限复数 那么有f ( f ) = c ( 2 毒一岛一f 1 ) 且( 吼+ c ( 如+ 1 ) ) 2 c 是f ( ) 一m 的零点， 但是这是三个互不相同的复数，这就与f ( ) 仅有两个零点矛盾综上所述， 定理就得到了证明 1 0 参考文献 1 】c h e ni u a i l i & g uy o n g x i n g ， 8 n di t sa p p l i c a t i o n j 】，s c i c h i n a ，s e r a ni m p r o v e m e mo fm a r t y 8c r i e r i o n a ，3 6 ( 1 9 9 3 ) ，6 7 4 6 8 1 【2 】f a l l gm i n i a n g ，an o t eo n8 l l a r i n gv a l u e sa n ( 1 士1 0 r m a h t yj o u r n a lo f m a t h e m a t i c a ls t u d y l l 9 9 6 ，2 92 9 3 2 【3 】f h n gm i n g l i a n g & z a l c m a n ，l ，n o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s st h e o r e n l sf c 口e n 七j r ef u n c t j o n 8 【4 】h a y m a n ，w k ，p i c a r dv a l u e so fm e r o m o r p l l i cf u n c t i o n sa n dt 1 1 e i r d e r i w 址i v e 8 【j 】，a n n o fm a t h ，7 0 ：2 ( 1 9 5 9 ) ，9 4 2 f 5 jp a n gx u e c h 曲g ，b l o c h sp r i n c i p l ea n dn 0 瑚a lc r j t e r j o nm s dc h i n 8 ， s e ra ，3 2 ( 1 9 8 9 ) ，7 8 2 7 9 1 【6 】p a n gx u e c h e n g & z a l c m a n ， a r i k i v 曲m a t h e m a t i k ，3 8 ：l ( 2 0 0 0 ) ， l ，s h a r i n g 、脚u e sa n dn o r m a i l i t y 【j 1 7 1 1 8 2 【7 】s c h w i c k ，w ，s h a r i n gv a l u e sa n d