（基础数学专业论文）非线性算子方程的解及其应用.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 非线性算子方程的解及其应用 张晓燕 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 摘要 对于数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、控制论等科学领域中出现 的各种非线性问题，已日益引起人们的广泛重视目前，非线性泛函分析已成为现 代分析数学中的一个重要分支学科，它为研究各种非线性问题提供了有效的理论工 具，它主要包括半序方法、拓扑度方法、变分方法和解析方法等内容，它在处理应 用学科中提出来的各种非线性方程和偏微分方程问题中发挥着不可替代的作用 关于非线性算子的不动点理论，在数学的许多领域，特别是在各种非线性微分方 程和非线性积分方程中有着广泛的应用1 9 3 0 年，j s c h a u d e r 得到了在现代数学领 域中处于重要地位的s c h a u d e r 不动点定理但是，这一结论要求算子是全连续的， 这是一个很大的限制为了克服这一限制，人们提出了凝聚算子的概念，把s c h a u d e r 不动点定理中的金连续算子的条件放宽为凝聚算子，得到了著名的s a d o v s k i i 不动 点定理，见文献 1 5 ：7 这一结论也被广泛的应用于各种非线性方程的研究，见文 献【1 6 由于应用数学中许多高阶微分方程等可通过适当的变量替换转化为由菲 线性算子定义的积分方程，因此非线性算子的研究对于这些方程有一定的价值 非线性脉冲微分方程理论是微分方程理论中的一个重要的新分支，它在生物 学、生物医学、经济学中最优控制和航天技术等领域都有广泛的应用，为许多数学 工作者所感兴趣，已出现了一大批的研究成果，例如可见文献f 3 ，2 3 ，3 6 5 6 _ 卜这个 理论比以往的微分方程理论要丰富得多，因为它所呈现的结构有其深刻的物理背景 和现实的数学模型，与自然界中的许多现象极其吻合，因此研究脉冲微分方程就具 有其内在的价值 非线性微分方程的奇异边值问题是微分方程中一个非常重要的研究领域，它出 现在各种应用学科中，例如核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、非线性光 学等关于奇异p - l a p l a c i a a 非线性边值问题正解存在性的研究日益受到人们的重 视，所用到的方法有拓扑度理论、s c h a u d e r 不动点定理、上下解方法、打靶法等 在本文中，我们首先提出了凸幂凝聚算子的耨概念，并证明了它的不动点定 理，以及一类合参数的非线性算子方程解的存在唯一性及其解对参数的连续相依 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 性定理，并将所得结果应用到抽象半线性发展方程和b a u a c h 空间中非线性混合型 微分一积分方程我们还在非常弱的条件下，研究了b a n a c h 空间中一类非线性脉 冲v o l t e r r a 型积分方程的唯一解和方程组的整体解。并应用于无穷维脉冲非线性 v o l t e r r a 型积分方程组最后我们还建立了一维奇异p - l a p l a c i a n 非线性边值问题三 解和2 n 一1 个解的存在性定理，推广并丰富了以往结论全文共分四章 在第一章中，我们从研究微分方程和积分方程的需要出发，提出了凸幂凝聚算 子的新概念，对凝聚算子的概念作了本质的推广，并把关于凝聚算子的s a d o v s k i i 不 动点定理进一步推广到凸幂凝聚算子作为应用，我们利用本章所获得的新的不动 点定理研究了b a n a c h 空间中一类具有非紧半群的半线性发展方程初值问题 攀训驰 。 整体m i l d 解和正m i l d 解以及最小最大m i l d 解的存在性利用本章关于凸幂凝聚算 子的不动点定理，我们完全删除了人们在讨论同样或者类似问题时，对紧型条件中 的非负常数加上的很强的限制( 见文献 3 ，8 】及其所引甩的文献) 由此可以看到凸幂 凝聚算子概念的提出，是有着广泛的应用背景的，凸幂凝聚算子是比凝聚算子更广 泛的一个算子类由此也可以看出本章所得到的凸幂凝聚算予不动点定理的意义 在第二章中，利用锥理论和b a j a a c h 压缩映象原理研究了b a n a c h 空间中一类含 参数的非线性算子方程 。= a ( ，。)( 2 1 i ) 解的存在唯一性问题，其中a 是参数，a i ，i = h6 】c r 1 ，r 1 = ( 一，+ o 。) 关 于不含参数的这类算子方程，已出现了一系列的研究结果，可以参见郭大钧教授的 专著 2 3 以及文【7 ，2 4 2 6 _ 已有结果中大都使用了上、下解条件或紧性条件，这 对于许多具体的非线性算子验证起来是困难的在本章中，我们对算子a 的连续性 和紧性没作任何假定，在不要求存在上、下解的情况下，得到了方程( 2 1 1 ) 解的存 在唯性及其解对参数的连续相依性定理，并应用到b m m c h 空间中含参数的二阶 非线性混合型微分- 积分方程初值问题 在第三章中，我们首先考虑b a n a c h 空间e 中非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程 邢旧) + f o e h ( t , s , z ( s ) 肌。三。邮删堋正 ( 3 1 1 ) v i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 其中x 0 p c i j , e ，h v i m e ，e 1 ，d = ( ，s ) j j t s ) ，五c e ，e 】，a i e 【墨，r 1 l 耳= o 】( = l ，2 ，p ) 在3 2 中，我们不使用锥理论，也不要求存在上、下解，只在l i p s c h i t z 条件 下，研究了积分方程( 3 1 1 ) 整体解的存在唯一性问题，并应用于无穷维脉冲v o l t e r r a 型积分方程组本节中的方法与文献【3 ，2 3 ，3 6 5 6 中的方法有着本质的区别由 于脉冲微分方程具有脉冲现象：其解的连续性受这种脉冲性质的影响，在某瞬间会 出现一定的舅i 跃度，从而给这类问题的研究带来很大的困难( 见文献 3 6 ) 本节通 过利用归纳法和一定的运算技巧以及b a a a c h 压缩映射原理，克服了这一困难，得 到了积分方程( 3 1 1 ) 的唯一解 其次，我们考虑e 中非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程组 坤) = 州上。即 ) 洲圳d s + ，t v ( ”= y o ( t ) + 耳( t ，s ，z ( 8 ) ，y ( s ) ) d s + j 0 n ”0 ) 五j ( z ( ) ，( 勺) ) ，t j t 乩，( t ) 五j ( z ( 如) ，v ( ) ) ，t j t ( 3 1 2 整体解的存在性，其中x o ，y o p c i j , 司，h ，耳c f e e 明，f = ( t ，s ) l ，_ ，1t s ，厶，i i j c exe ，e 】a , j ，b , j g f 五，r 1 ， j = t m i 。f u ) ，n 在3 3 中，我们完全删掉了文献 3 ，3 9 中对紧性条件中的非负常数所加的很强 的限制条件虽然文( 5 7 】讨论了无穷区间只t 上的方程组( 3 1 2 ) 的整体解，去掉了 积分部分的紧性限制，但对脉冲项部分亦给予了较强的限制本节利用锥理论首先 改进和推广了文 5 8 】中关于混合单调算子耦合不动点的迭代解定理，建立了b a n a c h 空间中一类非线性算子方程组最小最大解的存在性定理；然后，利用一个新的比较 结果，解决了方程组( 3 1 2 ) 的整体解问题 在第四章中，我们考虑如下p - l a p l a c i a n 边值问题 ( 妒( u ) ) 7 + o ( ) ，( u ) = 0 ，0 t l ， u ( 0 ) = “( 1 ) = 0 和 ( 妒( u 7 ) ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 - l a p l a e i a n 边值问题三个解的结果还不多见本章应用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究 了奇异p - l a p l a c i a n 边值问题( 4 1 1 ) 和( 4 3 4 ) 的三解和2 n 一1 个解的存在性问题， 推广并丰富了以往结论 关键词：凸幂凝聚算子，不动点定理， 方程。脉冲v o l t e r r a 型积分方程和方程组， 抽象发展方程，岛半群，非线性算子 p - l a p l a c i a n 算子 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n s o l u t i o n so fn o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n s a n da p p l i c a t i o n s z h a n gx i a o y a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s h a n d o n gu n i v e r s i t y , 3 i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sr e s u l t i n g6 口j f jm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y ， b i o l o g y 、m e d i c i n e 、e c n o m i c s 、c y b e r n e t i c sa n d s o0 1 2h a v e b r o u g h tp e o p l e sw i d ea t t e n - t i o n a tp r e s e n t ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h o fl e a r n i n gi nm o d e r nm a t h e m a t i c s i tp r o v i d e sa ne f f e c tt h e o r e t i c a lt o o lf o rs t u d y i n g m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m s ，m a i n l yi n c l u d i n gp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d 、t o p o l o g i c a ld e g r e e m e t h o d 、v a r i a t i o n a lm e t h o da n da n a l y t i cm e t h o da n ds oo n i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nd e a l i n gw i t hn o n l i n e a re q u a t i o n sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gi na p p l i e d m a t h e m a t i c s t h ef i x e dp o i n tt h e o r y o fn o n l i n e a ro p e r a t o r sh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si n m a n y f i e l d so fm a t h e m a t i c s e s p e c i a l l yi na l ls o r t so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a - t i o n s i n1 9 3 0 j s c h a u d e re s t a b l i s h e dt h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mw h i c hp l a y sa n i m p o r t a n tp o s i t i o ni nm o d e r nm a t h e m a t i c sb u t lt h i sc o n c l u s i o nd e m a n d st h a to p e r a t o r sa r ec o m p l e t e l yc o n t i n u o u s i no r d e rt oo v e r c o m et h i s c o n t r a c t i o n ，p e o p l er a i s e dt h e c o n c e p to fc o n d e n s i n go p e r a t o ra n do b t a i nt i mf m n o u ss a d o v s k i if i x e dp o i n tt h e o r e n l s e e 1 5 ，7 】t h i sc o n c l u s i o nh a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt ot h es t u d yo fm a n yk i n d so f n o n l i n e a re q u a t i o n s s e e 1 6 b e c a u s em a n y h i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na p p l i e d m a t h e m a t i c sc a l lb ec h a n g e dt oi n t e g r a le q u a t i o n sd e f i n e db yn o n l i n e a ro p e r a t o r sb yn s i n gp r o p e rv a r i a b l er e p l a c e m e n t t h er e s e a r c ho nn o n l i n e a ro p e r a t o r sh a sc e r t a i nv a h mf o r t h e s ee q u a t i o n s t h et h e o r yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si san e wa n di m p o r t a n t b r a n c hi nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i th a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt ob i o l o g y 、b i o l o g i c a lm e d i c i n e 、o p t i m u m c o n t r o li ne c o n o m i c sa n d s p a c e f l i g h tt e c h n i q u ea n d s oo n i ti si n t e r e s t e db ym a n ym a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r s t th a sa r i s e nas e r i e so f r e s e a r c h r e s u l t sa b o u tt h i sa s p e c t ，s e e 3 ，2 3 ，3 6 5 6 】t h i st h e o r yi sm o r ep l e n t i f u lt h a nb e f o r e t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r eo fi t se m e r g e n c eh a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e la n dc o i n c i d e sw i t hm a n y p h e n o m e n ai n n a t u r e t h e r e f o r et h er e s e a r c ho n i m p u l s i v ed i f i e r e n t i a le q u a t i o n si sv a l u a b l e s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a l d i s s e r t a t i o n t h e s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l di nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c ha r i s e si na l ls o r t so fa p p l i e db r a n c ho f l e a r n i n g ，s u c ha sn u c l e a rp h y s i c s 、g a sd y n a m i c s 、f l u i dm e c h a n i c s 、t h e o r y o fb o u n d a r y l a y e r 、n o n l i n e a ro p t i c sa n d s oo n t h er e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r s i n g u l a rp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a sb r o u g h tp e o p l e sa t t e n t i o na n dt h o s e r e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e db yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y 、s c h a u d e rf i x e dp o i n t t h e o r e m 、u p p e r l o w e rs o l u t i o n sm e t h o da n ds h o o t i n gm e t h o d a n ds oo n i nt h i sp a p e r ：w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p to fak i n do fn e wo p e r a t o r c o n v e x p o w e rc o n d e n s i n go p e r a t o r a n de s t a b l i s hi t sn e wf i x e dp o i n tt h e o r e m a n dt h ec o n t i n u o u s d e p e n d e n c et h e o r e m so fs o h l t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n so nap a r a m e t e r ，a n dt h e n ，w ea p p l yt h em a i nr e s u l t st oa b s t r a c ts e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d n o n l i n e a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p ei nb a n a c hs p a c e s w ea l s os t u d ? t h eu n i q u es o l u t i o nf o rac l a s so fn o n l i n e “i m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sa n dt h e g l o b a ls o l u t i o n sf o ri t ss y s t e mo fe q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s ，a s a na p p l i c a t i o n ，w ea p p l yt h i sr e s u l tt oi n f i n i t es y s t e m so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ev o t t e r r ai n 。 t e g r a le q u a t i o n sf i n a l l y 、w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft h r e es o l u t i o n s a n d2 n ls o l u t i o n s f o rs i n g u l a rp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h er e s u l t sp r e s e n t e dh e r eg e n e r a l i z e m a n yk n o w n r e s u l t s t l i i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fak i n do fn e wo p e r a t o r c o n v e x p o w e r c o n d e n s i n go p e r a t o rf o r t t i en e e do fs t u d y i n gd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n s w h i c h g e n e r a l i z e st h ec o n c e p to fc o n d e n s i n go p e r a t o ri ne s s e n c e w ef u r t h e rp r o v ean e wf i x e d p o i n tt h e o r e ma b o u tt h ec o n v e x p o w e rc o n d e n s i n go p e r a t o r w h i c hg e n e r a l i z e st h ef a m o u s s a d o v s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma sa p p l i c a t i o n s b yu s i n gt h en e wf i x e dp o i n tt h e o r e mi n t i f f sc h a p t e r ，t h eg l o b a le x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sa n d p o s i t i v em i l d s o l u t i o n sa n dm i n i m a l a n dm a x i m a lm i l ds o l u t i o n so ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fs e m i l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sw i t hn o n e o m p a c ts e m i g r o u pi nb a n a c hs p a c e s ( 。) 枷) = f ( t , u f 。) ) ，注-( 1 3 1 ) iu ( t o ) = x o i so b t a i n e d ，b yu s i n gt h i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi nt h i sc h a p t e r ，w ec r o s so u tc o m p l e t e l y t h es t r o n g e rr e s t r i c t i o no nn o n n e g a t i v ec o n s t a n t so fc o m p a c t n e s sc o n d i t i o n si n 3 ，8 a n d r e l a t i v ep a p e r sw h e nd i s c u s s i n gt h es a m eo rs i m i l a rp r o b l e m s p r o mt h i s ，w ec a l ls e et h e r a i s i n go ft h ec o n c e p to fc o n v e x p o w e ro p e r a t o rh a se x t e n s i v ea p p l i e db a c k g r o u n d t h e s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n c o n v e x - p o w e rc o n d e n s i n go p e r a t o r i sak i n do fm o r ee x t e n s i v e o p e r a t o rt h a n t h ec o n d e n s i n g o p e r a t o r h e n c ew ec a n a l s os e et h em e a n i n go ft h i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r 2 ，b yn l e a n so fc o n et h e o r ya n db a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，w e s t u d y t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sp r o b l e m so fs o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n sw i t hap a r a m e t e ri nb a n a c hs p a c e s z = a ( a z 1( 2 1 1 ) w h e r e i sap a r a m e t e r ，a ，i = 【a ，b cr 1 r 1 = ( 一。+ 。) i th a s a p p e a r e da s e r i e so fr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tt h i sk i n do fo p e r a t o re q u a t i o n sw i t h o u tp a r a m e t e r s s e ef 7 ， 2 3 2 6 t h eu p p e r l o w e rs o l u t i o n sc o n d i t i o no rc o m p a c t n e s sc o n d i t i o na r em o s t l yu s e d i nt h e s er e s u i t s ，w h i c hi sd i f l c u l tt ov e r i 如f o rt h ec o n c r e t en o n l i n e a ro p e r a t o r s j nt h i s c h a p t e r w e h a v en o ts u p p o s et h e c o n t i n u i t ya n dc o m p a c t n e s s o f o p e r a t o ra t h ee x i s t e n c e o fu n i q u es o l u t i o no f e q u a t i o n ( 21 1 1 a n dt h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n o na p a r a m e t e ra r eo b t a i n e dw i t h o u td e m a n d i n gt h ee x i s t e n c eo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra r ea p p l i e dt oi n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e r i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p ew k h ap a r a m e t e ri nb a u s c hs p a c e s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s tc o n s i d e rt h en o n l i n e a ri m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o ni n b a n a c hs p a c e se 旧m ，+ f h ( t s x 胁+ 。聂。州忡m ， c 。， w h e r e 。o p c j , e 1 日c d e ，e 】，d = ( ( t s ) j jf t2 s ，t c e ，e o ， c 【露，r 1 j ，曩= 融，o ( i = 1 ，2 ，p ) i n 3 2 ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fk e r a t i v es o l u t i o n sf o ri n t e g r a le q u a t i o n ( 3 1 1 ) a r ei n v e s t i g a t e dw i t h o u tu s i n gc o n et h e o r y , t h ee x i s t e n c eo fu p p e ra n dl o w e rs o l u - t i o n sa n dt h en o n d e c r e a s i n gc o n d i t i o n so fn o n l i n e a rt e r m s a sa na p p l i c a t i o n ，w ea p p l y t h i sr e s u l tt oi n f i n i t es y s t e m so fn o n l i n e a r i m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n s t h e m e t h o do fo u rp r o o fi sd i f f e r e n tf i - o mt h o s eu s e di n f 3 ，2 3 ，3 6 5 6 i ne s s e n c e b e c a u s e t h ec o n t i n u i t yo fs o l u t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hi s s u b j e c t e dt ot h e i m p u l s i v eq u a l i t i e sm a ye m e r g ec e r t a i ni m p u l s i v et e r m si ns o m ei n s t a n t a n e o u st i m e t h i s l e a d ，t ol a r g ed i f f i c u l t yf o rt h i sk i n do fp r o b l e m ( s e e 3 6 】) i nt h i ss e c t i o n ，w eo v e r c o m e t h i sd i f f i c u l t yb yi n d u c t i o na n dc e r t a i na r i t h m e t i c t e c h n i q u ea n db a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r v a n do b t a j nt h em a i nr e s u l to n l yu n d e r l i p s c h i t zc o n d i t i o n s s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n n e x t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o rs y s t e mo fn o n l i n e a ri m p u l s i v e v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n si ne 卜一水，+ z t 聃，小h + 。蠹 c 。文矧础也鲋拼，托， 【。) 2f “+ z 面。， z 如) _ y 拈”d s + 。，。b i j ( t ) t i j ( x 。，g 力l 。z ( 3 - 1 2 ) w h e r ez o ，g o p c i j , e h ，再e l f e e 、e l ，f = ( t s ) jxj | t s ) 厶j ，i i j c e e ，e ，a i j b i j e 【 j r 1 五j ；【m m 饵j o i n53 3 ，w ec r o s so u tt h er e s t r i c t i o n0 1 2n o n n e g a t i v ec o n s t a n t so fc o m p a c t n e s sc o n d i t i o n si n 【3 ，3 9 】c o r n p i e r e l y a l t h o u g ht h e g l o b a ls o l u t i o n s f o rs y s t m no fe q u a t i o n s ( 312 ) o n u n b o u n d e di n t e r v a lr + h a v ed i s c u s s e di n 5 7 a n dt h er e s t r i c t i o no nn o n n e g a t i v ec o n s t a n t s o fc o m p a c t n e s sc o n d i t i o n si nt h ei n t e g r a lp a r t sw a sc r o s s e do u t t h es t r o n g e rr e s t r i c t i o n i nt h ei m p u l s i v ep a r t si ss t i l lg i v e n i nt h i ss e c t i o n w ef i r s tu s ec o u et h e o r yt oi m p r o v e a n dg e n e r a l i z et h et h e o r e mo fi t e r a t i v es o l u t i o n sa b o u tt h ec o u p l e df i x e dp o i n t so fm i x e d m o n o t o n eo p e r a t o ri n 【5 s a ne x i s t e n c et h e o r e n lo fm i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o n sf o ra c l a s so fs y s t e m so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si no r d e r e db a n a c hs p a c e si se s t a b l i s h e d a n dt h e n ：b yu s eo fan e wc o m p a r i s o nr e s u l t ，t h ep r o b l e mo fg l o b a ls o l u t i o n sf o rs y s t e m o fe q u a t i o n s ( 3 1 2 ) i sr u l e d i nc h a p t e r4 w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h r e es o l u t i o n sa n d2 n ls o l u t i o n st b r t h ef o l l o w i n gp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 妒( 0 ) ) + a ( t i ( ) = 0 0 t l u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ( 妒( u ，) ) + a ( t ) f ( n ) = 0 ，0 t 1 4 1 1 ) ( 4 3 4 ) i nr e c e n ty e a r s ，i th a sa p p e a r e dm a n yr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e s o l u t i o n sf o rp l a p l a c i a nb o