（应用数学专业论文）二元极值混合模型的模拟研究.pdf

中文摘要 近些年来，极值理论已经有了非常快速的发展，而且在其它领域也有 非常广泛的应用，它对于处理一些实际问题具有十分重要的意义。本文 首先对极值理论作了总体的介绍，其中包括极值理论的发展与应用；一 元极值理论的概念，阈值的选取，极大似然估计；二元极值理论的模型 号性质。然后重点是对二元极值? 昆合模型进行研究，由于二元极值混合 模型不能反映相关性很强的极值c o p u l a ，因而在应用上受到一定限制， 但是对某一范围内的相关性，它仍是一个很好的模型。特别，本文给出 了二元极值混合模型的一些基本性质以及随机数产生的方法，并且用随 机模拟的方法研究了对来自其它不同的极值c o p u l a 的随机样本，用混合 模型拟合对于相关参数和边际参数可能产生的影响。结果表明，如果以 k e n d a l lr 表示极值变量间的相关性，在一定范围内，混合模型能够很好 的反映其它模型所具有的相关性，且对渐近独立模型边际参数估计的偏 差也不太大。最后，应用 昆合条件分布与g e v 条件分布分析了英镑对 美元与英镑对加元两支汇率日对数回报收益率的风险相关性，这对于防 范外汇市场的风险具有重要的指导意义。 关键词：广义极值分布，二元极值分布，c o p u l a ，混合模型，条件分 布，风险的相关性 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，e x t r e m ev a l u et h e o r yh a sd e v e l o p e dr a p i d l y ，a n di sb e c o m i n g w i d e l yu s e di nm a n yo t h e rd i s c i p l i n e s i ti si m p o r t a n ti np r a c t i c e i nt h i sp a p e r ， w ef i r s t l yi n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fe x t r e m ev a l u et h e o r y ，w h i c hi n c l u d e s t h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fe x t r e m ev a l u et h e o r ht h ec o n c e p t ，t h r e s h o l d c h o i c e ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o no fu n i v a r i a t ee x t r e m ev a l u et h e o r ya n d s e v e r a lb i v a r i a t ee x t r e m ev a l u em o d e l sa n db e h a v i o r s e c o n d l y , w ee m p h a s i z eo n a n a l y s i so fb i v a r i a t ee x t r e m em i x e dm o d e l b i v a r i a t ee x t r e m em i x e dm o d e lc a n n o tr e a c ht h ec o m p l e t ed e p e n d e n c eo fe x t r e m ev a r i a b l e s ，s oi th a sar e s t r i c t i o ni n a p p l i c a t i o n h o w e v e r ，i ns o m er a n g eo fd e p e n d e n c eb i v a r i a t ee x t r e m em i x e dm o d e l i ss t i l lag o o dm o d e l s p e c i f i c a l l y ，w eg i v es o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tb i v a r i a t e e x t r e m em i x e dm o d e la n dt h em e t h o do fg e n e r a t i n gs t o c h a s t i cd a t a w ea i mt o a s s e s st h ee f f e c t so fd e p e n d e n c ep a r a m e t e ra n dm a r g i n a lp a r a m e t e r st h r o u g ha s i m u l a t i o ns t u d yw h e nab e vd i s t r i b u t i o nw i t hm i x e dm o d e l d e p e n d e n c ei sf i t t e d t od a t af r o mo t h e rb i v a r i a t ee x t r e m ev a l u ec o p u l a a sar e s u l t ，i fw em e a s u r e d e p e n d e n c eb yk e n d a l l sr ，w ef i n dt h a tt os o m e e x t e n tm i x e dm o d e lc a nc a p t u r e t h ed e p e n d e n c eo fo t h e rm o d e l s ，a n df o ra s y m p t o t i c a l l yi n d e p e n d e n tm o d e l ，t h e b i a si nt h em a r g i n a lp a r a m e t e r si sn o ts e v e r e f i n a l l y , w eu s em i x e dc o n d i t i o n a l m o d e la n dg e vc o n d i t i o n a lm o d e lt oa n a l y z et h ed e p e n d e n c eo nr i s ko ft h ed a t a a b o u tt h ed a yl o g - d a l l yr e t u r n so ft w oe x c h a n g er a t e s ：u ks t e r l i n ga g a i n s tb o t h t h eu sd o l l a ra n dt h ec a n a d i a nd o l l a r i ti s i m p o r t a n tt oa v o i dr i s kf o rf o r e i g n e x c h a n g em a r k e t k e y w o r d s ： b i v a r i a t ee x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ；c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n ； c o p u l a ；d e p e n d e n c eo nr i s k ；g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ；m i x e d m o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果， 除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得苤鎏! 垄茎或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 签字日期：) 一叼弓年，月) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞鲞苤堂有关保留、使用学位论文的规定。特授权 垂= 蓬盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位做储躲。盖暂 签字日期：) ，弓年，月 日 导师签名 摹勘亏 签字日期：协0 1 年r l 月t 。日 绪论 1 绪论 近5 0 年来，极值理论已发展成为应用科学中一个非常重要的统计方法，而且 在其它领域也有非常广泛的应用。例如：保险业中索赔额的估计，金融市场的风险 评估，通信业中的事故预测以及海洋水利事业的风险防范等关于极值模型在不 同领域应用的文章也很多。如；合金强度的预测 1 ；海洋波浪模型 2 ；记忆元 失效 3 ；风力工程 4 ；管理策略 5 ；地震的热力研究 6 ；气象变化的评估 7 】 ；非线性的光波动 8 ；和食品科学 9 等。 极值理论是专门研究极端事件在特殊情况发生的概率，而不是我们通常所观察 的一般情况。极值现象曾受许多学者的关注，如自然界环境中百年不遇的洪水， 地震，干旱，这些事件常打破自然界相对平衡状态，对自然界以及人类生活带来重 大影响；在社会环境中也有极值现象发生，如金融领域中股市价格出现与连续平 滑波动完全不成比例的异常变化，这些变化可视为由经济中的某些不寻常情况带 来的非正常变化，如突发战争，一国政变，重大政治事件，人为投机等，此类事件 的发生造成股市爆涨，爆跌；保险领域中因异常罕见的自然灾害造成的重大损失 索赔等等。这些异常事件的发生会对人类社会，经济生活产生重大影响。 随着人类社会的发展，人们为了更好的战胜自然，征服自然，人们对与人类生 活息息相关的极值事件开始研究。3 0 年代初，d p d d ，f r e c h e t ，f i s h e r 和t i p p e t t 开始对极值理论进行研究，f i s h e r 和t i p p e t t 证明了极值极限分布的三大类型定 理，为极值理论的发展研究奠定了基石。随后，m i s e s 及g n e d e n k o 对极值理论进 行了进一步研究，g n e d e n k o 给出了三大类型定理的严格证明及三类极限分布存 在的充要条件。h a a i l 针对吸引场问题给出了完整理论，w e i b u l l 最先强调了极 值概念在材料强度判断中的重要性，g u m b e l 的著作反映了极值概率模型的统计 应用成果，系统地归纳了一元极值理论。由于人们很难获得极值的精确分布，所以 通常利用经验数据拟合极值分布，对极值的渐近分布进行研究。结果表明：极值分 布可以对极大值或极小值分布进行很好的描述，即可以用f r e c h e t ，g u m b e l ，w e i b u l l 分布对此类随机变量进行拟合研究。此后，极值理论有了进一步发展，j e n k i n s o n 把该理论应用于极值风险研究，研究了广义极值分布模型，进一步完善了一元极 值理论。p i c k a n d s 证明了经典极限定理，为8 0 年代、9 0 年代完善建模做出了巨 大贡献。此外，在8 0 年代，许多学者研究了不平稳序列的极值特性。8 0 年代中 期，多变量极值理论的统计推断有了进一步的发展，而且成为目前极值理论研究 绪论 2 的热点问题，其中1 0 1 给出了一些具体的参数模型。 在概率理论发展的促进下，近二十年来对于一元和多元极值问题的研究出现了 一些新的统计方法。一元极值理论以及它在各个领域的成功应用促进了多元极值 理论的发展，也使多元极值理论的研究成为目前较为关注和热门的研究方向。由 于在各个领域有关极大值和极小值的研究越来越引起了人们的重视，同时人们也 发现了许多应用上存在的问题，因而这就促使学者们对一元极值理论不断完善的 圊时抛强了对多元极值理论的研究，如 1 0 j 一【1 2 分别给出了一些二元和三元极值 l o g i s t i c 模型参数估计的例子， 13 和 1 4 给出了二元和多元极值分布的l o g ：i s t i c 模型的f i s h e r 信息阵。尽管我们从文献上看到许多关于多元极值的讨论，但是由 于多元极值模型的多样性以及不统一性使得对多元极值的研究比起一元极值来就 显得更加复杂，所以多元极值理论还很不完善，因而对于二元极值混合模型的研 究更是少之甚少。 本文就是在以上理论研究的基础上，对二元极值混合模型进行更深入的分析， 并且应用所得到的结论分析外汇市场汇率波动的风险相关性，研究当一只汇率上 涨或下跌，另一只汇率是否会有同样的同期走势。汇率虽然不像资本，土地，劳动 力和技术一样直接作为经济增长的要素，但是在一定条件下，汇率的起伏会直接影 响一国的国际竞争力，间接的对一国的经济增长产生影响，因而运用二元极值条 件模型研究汇率波动的相关性对于防范和控制本国货币的风险具有重要的意义。 在研究二元极值分布时，若问题是关于独立变量，则可以直接把二元极值问题 转化为一元极值统计问题，见f 1 5 ， 1 6 和f 1 7 ；若问题是关于相关变量，如果 应用得当，二元极值相关模型将优于简单的一元极值模型，f 1 8 1 讨论了如何建立 沪深股市的极值模型，在预先指定的一些c o p u l a 参数族中，如何选择一个在某种 意义上最优的模型，1 1 9 给出了c o p u l a 的变换，使变换后得到的新的c o p u l a 在 拟合数据方面比原c o p u l a 更好。如果模型选择不当，基于一个错误模型的统计推 断，究竟会对结果有什么样的影响， 2 0 给出了应用l o g i s t i c 模型拟合来自其它 不同c o p u l a 的数据时，对于相关结构及边际参数估计产生的偏差而本文将应用 已有的知识来探求二元极值混合模型在拟合来自其它不同c o p u l a 的数据时会产生 怎样的影响。 本文在第一章介绍了一元极值理论，主要给出了一元极值的基本概念及类型定 理，阈值的选取以及极大似然估计的方法。在一元极值理论的基础上，第二章介 绍了二元极值的定义，模型以及它的一些性质。第三章至第五章是本文研究的重 绪论 3 点，在第三章我们给出了二元极值混合模型的分布函数，密度函数，计算并给出了 其秩相关系数p 和r ，以及随机数生成的方法。第四章采用模拟研究的方法，首 先生成混合模型，l o g i s t i c 模型，h i s l e r - r e i s s 模型和二元正态模型的随机数，样 本大小为5 0 ，p 取不同情况，然后用混合模型的极大似然估计方法对数据进行参 数估计，分析由于模型错误假定对相关参数p 与边际参数估计产生的偏差。第五 章给出两种不同形式的条件分布，一种是由混合模型的联合分布与边际分布得到 的混合条件分布，另一种是把变量y 作为x 的协变量而得到的g e v 条件分布， 并且应用这两种条件分布分析英镑对美元与英镑对加元两支汇率日对数回报收益 率的风险相关性。第六章是对本文所研究内容的一个总结。 第一章一元极值理论 4 第一章一元极值理论 极值理论是专门研究一个过程在极大或极小情况的随机性质，特别关心在特殊 情况发生极端事件的概率，而不是通常所观察的一般情况，因而极值理论在分析 一些实际问题时具有十分重要的意义。 1 1 1 次序统计量与极值分布 第一节基本概念 设x 1 ，j ，n 是来自总体的一个样本，该样本的第i 个次序统计量，记为x ， 它是如下的样本函数，每当该样本得到一组观测值。1 j 一，x 。时，将它们从小到大 排列为 x o ) 。( 2 ) s 茁( n ) 其中第i 个值g ( ) 就是x ( f ) 的观测值。称( 五l 矿一，甄。) ) 为该样本的次序统计量 。x ( 1 ) = m i n x l ，五。) 和五。) = m a x x 1 ，j 气 分别为该样本的极小值和 极大值，统称为样本极值，它们的分布称为极值分布由极值构成的数据具有独立 同分布的特点。 设毋( z ) 为总体的分布函数，f 1 ( x ) 为极小值分布函数，f n ( z ) 为极大值分 布函数，则分别可以得到： 日) = 尸( 置，) z ) = 1 一p ( x ( 1 ) z ) = 1 一p ( 盖( 1 ) 芝z ，x ( 2 ) z ，五。) z ) = 1 一 1 一如( 。) “ ( 1 | 1 1 ) r ( z ) = p ( x x ) = p ( 强1 ) sx ，x ( 2 ) x ，五。) z ) = 瑕( 。)f 1 1 2 ) 第一章一元极值理论 5 ( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 两式，可以从总体分布得到其极值分布，但大多数情况下， 总体分布是未知的，因而就需要依据渐近理论的方法，人们常用的就是当札- 。 时所得到的极值渐近分布。 1 1 2 标准极值分布的三种形式 应用渐近理论，假设存在一列常数 。 o 和 k ) ，有x 南1 ：查盟二堕 利用中心化极限定理，研究礁1 的极限分布，见【2 1 】。 1 9 4 3 年，统计学家g n e d e n k o 证明了以下极值分布。 定理1 1 ：( 极值类型定理) 如果存在常数序列a 。 o ) 和 k ) ，使得对某非退化分布g ，当n _ 0 0 时 有 、， p 掣sz ) 寸g ( 。) 则g 是下列三种类型分布函数之一： i ：a ( z 1 = i i ：a ( z ) = i i i ：a ( z ) = e x p 一e x p 一( 三) ) ，一。 0 , b ，对于i i 和i i i 有q 0 ，i , i i ，1 1 1 分别称为g u m b e l ，f r c h e t w e i b u l l 分布。 1 _ 1 3 广义极值分布 在以前的应用中，我们通常是选择其中某一种分布，然后对其参数进行估计 但是这就存在一个问题对于现有的数据哪一个分布更适合? 为了解决这个问题 对定理1 1 进行了很好的改进，把分布i , i i ，i i i 合并为一个统一的分布，即 g ( 。) = e x p 一 ，+ ( 孚) _ 1 膳) ( 1 1 3 ) 其中 。：1 十( 。一卢) 肛 o ) ，一o 。 弘 0 且一o 。 o ，一o 。 弘 0 且一o o o 和 k ，当扎一。o 时，对于非退化 分布函数g ，有 p ( 厶一k ) n 。s 。 _ g ( z ) 那么在 o ) 上，g 属于极小值的g e v 分布族： h f 1 一( 孚) _ 1 膳) 其中一。 卢 0 以及一o 。 啦鬻胗o ( 1 2 1 1 ) 如果f 已知，( 1 2 1 ) 式超阚量分布也就知道了。在实际应用中，f 往往是未知 的，这就需要考虑一种渐近分布。 定理1 4 ：设x 1 ，局，k 为独立同分布随机变量，分布函数为f 令且死= m a x x 旷一，) ，记任意的x 。为x ，假定f 满足定理1 2 ，使得 p 坻s 。) a ( z ) g ( z ) = e x p 卜 1 + ( 等) r ) 其中肛，o - 0 ，那么，对于足够大的乱，在x , 的条件下，x 一乱的分布近 似为 日( ) = 1 一( 1 + 警) 叫 ( 1 删 其中定义域为 ”： 0 , 1 + 警 o ) ，且 厅= 盯+ ( u p )( 1 2 3 ) 由( 1 , 2 2 ) 式定义的分布族称为广义p a r e t o 分布族。定理1 4 表明，如果极大 值近似服从g e v 分布，则超阈量分布相应的服从广义p a r e t o 分布，而且超阈量 所服从的广义p a r e t o 分布中的参数由相应的g e v 分布的参数唯一确定。特别， ( 1 2 2 ) 式中的参数等同于相应的g e v 分布的参数选择一个很大的，但是不 同的n ，会影响到g e v 分布的参数值，但是相应的超闽量所服从的广义p a r e t o 分布中的f 不随礼变化，同时( 1 2 3 ) 式中的子不随卢和( 9 - 的变化而变化，肚和 口的变化相互抵消。 g e v 分布和广义p a r e t o 分布族之间的关系表明，形状参数亭决定了广义 p a r e t o 分布的性质，这一点和g e v 分布一样。如果 0 ，分布没有上侧极限；如果f = 0 ，分布没有端 点。在( 1 2 2 ) 式中令- 0 ，就有 日( y ) = l e x p ( 一詈) ， o ( 1 - 2 4 ) 这是参数为喜的指数分布。 u 1 2 2 广义p a r e t o 分布的证明 这一节给出定理1 4 的证明，更详细的讨论参见 2 2 。 设x 的分布函数为f ，由定理1 2 的假定，对于足够大的n f “( 。) p _ ，+ ( 等) r ) 其中参数弘，盯 0 ，于是 n l o g f ( 牡：一 1 + f ( 等) r 肛 ( 1 2 5 ) 但是对于大的z ，由泰勒展开式可知 l o g f ( z ) 一 1 一f ( g ) 代入( 1 2 5 ) 式得 t 一脚) 去 + ( 半) r 这里是比较大的值，类似的，对y 0 其中 凇刊x u ，朵群鬻 ：f ! ( 兰! 二些2 马一t 肛 o 1 + f ( u p ) 加j = ，+ 帮_ 膳 半 第一章一元极值理论 1 0 1 2 3 阈值的选取 结合定理1 4 ，假设原始数据是一个独立同分布序列。- ，岳。，选取一个比较 大的阈值u ，定义超阈值为 ：她 u ) ，记为x o ) ，。( 。) ，超阈量记为 y i = z ( j ) 一i t ，j 一1 ，k 由定理1 4 ，y j 近似服从某一广义p a r e t o 分布 如果观测值超过了一个大的阈值，可以把阚值方法和极大值方法作一下比较 但是阈值的选取类似于极大值方法中样本大小的选取，包含了偏度和标准差之间 的平衡。在阈值情况下，阈值太小会破坏模型的渐近原则，阈值过大的话，超阈量 的个数就很少，用这些数据估计出的模型会有大的偏差。标准的做法是选取一个 尽可能低的阈值，然后得出一个合适的极限模型。实现这一目标有两种方法：一种 是在估计模型之前做试探法，另一种是对所估计参数的稳定性作评价，这种方法 通过在一定范围内选择不同的阈值来对模型拟合 更详细的来说，第一种方法基于广义p a r e t o 分布的均值。若y 服从参数为盯 和f 的广义p a r e t o 分布，则 e ( y ) = 与( 1 2 6 ) 1 一 钍) = 1 一 ：堕掣兰型( 1 驯 1 一 所以，对于 u o ，e ( x u i x ) 是u 的线性函数。而且e ( x 一扎x “) 是对应于阈值u 的超阈量的均值，由超阈量样本均值给出( 1 2 7 ) 式的一个经验估 计。由( 1 2 7 ) ，这些估计随钍线性变动，与水平乱对应的广义p a r e t o 分布是合 适的，由此产生下面的步骤。定义点集 1n “ ( “，忙( t ) 一扎) ) ：札 0 是不依赖于0 的量，常取k = 1 。进一步，若存在 ( r “，如n ) 到( ，召b ) 的统计量自( 。) 使 三( 6 ( 。) ；岱) = s u p l ( 0 ；z ) 则自( g ) 称为0 的一个极大似然估计( m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e ) ，简称m l e 。 假设x l ，。n 为独立同分布的随机变量，其概率密度函数为，( z ；吼) ，则似然 函数为 n 三( 口) = ，( 甄i 口)( 1 3 1 ) i = 1 为了方便起见，对( 1 3 1 ) 式取对数，得到对数似然函数 n ( 口) = l o g l ( 0 ) = l o g f ( x t ；口)( 1 3 2 ) = i ( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 式是在五独立同分布情况下得到。当五独立但不同分布 时，分别有五的密度函数为 ( 托；0 ) ，则有 和 成立。 l ( 0 ) = ( 引0 ) t = l n e ( 0 ) = l o g f i ( x ；0 ) i = 1 第一章一元极值理论 1 3 更一般情况，= ，( z ；0 ) ：0 e 定义了。= ( z ，。) 联合概率密度函 数集，其中翰不一定独立，贝似然函数为 l ( o ) = ，( z ；0 ) 对似然函数取最大值可以得到0 。的极大似然估计晶。由于对数变换是严格单 调增的，故l ( o ) 与( 口) 在寻求极大值时是等价的。 当m l e 存在时，寻找m l e 最常用的方法是求导数。如果口( 。) 是0 的内点， 则自f z ) 是下列似然方程 的解。 a ( o ；z ) 溯。= 0 ，i = i ， 1 3 2 广义极值分布的似然函数 下面我们给出广义极值分布的对数似然函数。假设而： 布的独立随机变量，当0 时，如果 + ( 等) _ 1 ，m 成立，则g e v 分布的对数似然函数为 z 矗是具有g e v 分 ( 1 3 3 ) 拙删= - m l o g a - ( - + 1 ) 娄1 0 9 ( 掣) 一耋m ( 竽) - 1 膳 ( 1 。a ， 当= 0 时，需要用g u m b e l 模型来区别对待，其对数似然函数为 咖= - m l o g a - 薹( 孚) 一姜唧 一( 孚) ) s 同 最大化( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 式可得到整个g e v 分布族关于参数向量( p ，仃，) 的极大 似然估计。尽管不存在解析解，但对给定的数据用标准的数值最优化算法可得出极 大似然估计。需要特别注意的是该算法必须始终使( 1 3 3 ) 式成立，以及在= 0 时 避免使用( 1 3 4 ) 式产生数值分析的困难。当在0 的很小邻域内时，可用( 1 , 3 5 ) 式替代( 1 3 4 1 式，这就解决了数值分析的困难。 第二章二元极值模型 1 4 第二章二元极值模型 对于某些单一的，情况比较简单的问题，应用一元极值理论进行分析就足够 了，然而，许多问题依赖于多个因素的影响，这就需要多元极值分析作为理论依 据。因而，在此基础上二元极值理论不断发展和完善起来如2 3 用矩估计的方 法对边际分布为g u m b e l 的l o g i s t i c 模型进行参数估计，基于此得到其联合概率 分布，条件分布以及回归水平； 2 4 】应用极大似然估计的方法讨论了某种特定模 型的联合与边际估计； 2 5 分析了二元极值c o p u l a 的非参数估计； 2 6 和f 2 7 对 二元极值的相关结构进行估计； 2 8 ) 分析了二元极值分布吸引场内的尾部性质， 并且给出尾部性质的有限近似； 2 9 1 研究了二元极值模型的收敛速度；f 3 0 分析 了二元极值联合尾部区域的模型相关性以及 3 1 讨论了极值的二元阈值方法随 着二元极值理论的不断发展，在这方面的应用也越来越多，如f 3 2 给出了二元极 值模型在洪水发生频率上的应用；f 3 3 是关于二元极值模型在海平面高度以及运 动员成绩上的应用；3 4 】分析了沪深股市风险的相关性问题等等。 第一节基本概念 设( 毫，或) ，i = 1 ，n 是独立同分布的随机变量，分布函数为户，x ：i l l a x 贾一，岛) ，y = m a x 或，托) 分别是各个分量的最大值，用f ( x ，) 表示 伍，y ) 的联合分布，则当n _ 0 0 时， f ( x ，y ) = f ( z ，可) ) ” 是退化的。然而，分量最大值经线性标准化，即若对适当的常数列 a n o ) ， k ) ， c 。 o ) ， 厶) ，使得当礼- - 4 。时，有 户( 。z + b 。，a n y + d 。) ) “_ g ( x ，y ) 称线性标准化分量最大值的非退化联合极限分布g ( z ，y ) 为二元极值( b e v ) 分 布。 二元极值的讨论主要集中在极值的相关结构上。对于任意随机变量( x ，y ) ，在 连续条件下，分布可以唯一表达为 f ( x ，y ) = “职( z ) ，毋( ) ) 第二章二元极值模型 1 5 其中取，毋，分别是x ，y 的边际分布函数且假设变量x ，y 服从广义极值分布， 记为g e v ( 肛，o - ， ) ，0 = ( p ，盯，f ) ，o x ，o y 分别为x ，y 的g e v 参数。对二元极值分 布有 c ( t t , v ) = p ( 脚) “f y ( y ) 剑p l o g ( u v ) 4 ( 器) ) ( 2 “) 0 札，w 1 ，称c ( u ， ) 为c o p u l a ，函数a 定义在( o ，1 】上，满足m a x ( t ，1 一t ) s a ( t ) 曼1 , 0 t 1 称为相关函数。c o p u l a 的概念最早是由 3 5 1 提出的，近来 8 6 ， 37 对此作了专门介绍。 1 2 及 3 8 给出t - - i 极值分布中相关函数a 的参 数形式的例子，即二元极值分布依赖于相关函数，它不能用有限参数形式表示。 不同的相关函数相应于不同的二元极值模型。 下面给出几种c o p u l a 模型，用记号g ( u ，口；d ) 表示，其中d 为相关参数。 混合模型：对0 6 乱) = 0( 2 1 6 ) u 。t o o 。 、 称( x ，y ) 的联合极限分布渐近独立；若此极限不等于0 ，称( x ，y ) 的联合极限分 布渐近相关。混合模型，l o g i s t i c 模型和h i s l e r r e i s s 模型是渐近相关模型而二元 正态模型是渐近独立模型。 第二章二元极值模型 1 6 若变量( x ，y ) 有c o p u l ag ( u ， ) 那么 p ( x u l y 妒等游掣 1 2 v + c ( v ， 1 = r - - - - - - 二_ 二 1 v 其中v = f ( ) ，v - - + 1 因此( 2 1 6 ) 式等价于 l i m ! 二塾g 垫：尘：0 帮f 百一 f 2 17 ) 这个性质不是任何一个二元极值分布族都满足，只有当它是精确独立时才成立。 f 3 9 给出了通过考虑( 2 1 7 ) 式收敛于0 的速率来对渐近独立变量的极值陛质进行 分类，这个速率用参数叩来量度 q = 帮丽罢 ( 2 1 8 ) ”2 帮露丌巧再莉 8 j 其中0 卵 1 ，随着田值增长，相关性增强，称q 为尾部相关系数当0 卵 1 2 时，极值是负关联；”= 1 2 时，极值几乎独立；1 2 叩 0 ，0 t 1 。由以上变换可以得到c ( 札，v ) d u d v = f ( 8 ，t ) d s d t ，则由( 2 1 9 ) 丁= 4 上一c ( 刚) 她一1 = t z l z ”e 1 ，( s ，t 黼一 4 0 】给出了求形如h i ( s ) 日2 ( t ) 函数形式的数学期望的方法： e ( h - ( s ) 皿( t ) ) = j ( o h - ( s ) 酬e 一5 ) s + p 2 。) ) d t d s = z 0 。日( s ) s e 一z 1 凰( t ) p ，( t ) 出+ z 。日l ( s ) e 一z 1 凰( 咖- 。( t ) 出 ( 2 2 2 ) 第三章二元极值混合模型 1 8 第三章二元极值混合模型 有关二元极值混合模型的研究不是很多，也很不全面， 1 2 给出了混合模型 和渐近混合模型的一些理论，【4 0 分析了二元极值模型的一个性质， 4 1 】研究了 二元极值混合模型的f i s h e r 信息阵，4 2 对二元极值模混合型进行回归分析， 4 3 1 应用混合极值理论分析中国大陆地震的危险性。而本文在此基础上继续深入 研究，较全面的给出了混合模型的分布函数，密度函数，通过变换计算出其秩相 关系数r 和p ，最后给出混合模型随机数生成的方法。 第一节混合模型的定义及性质 二兀极僵况台模型的祖来函数为a = 6 t 一6 t + 1 , 0 t 0 ，0 t 1 。 由以上变换可以得到c ( ，v ) d u d v = f ( 8 ，t ) d s d t ，则由( 2 1 9 ) 式，有 r = 4 i 0 1 g ( 乱，”) c ( 札，”) d u d v 一1 = 4 2 1 2 0 。e 1 ( 州) 捌 = 4 e ( e ( 一8 ) 1 1 由( 2 2 2 ) 式可以得到 e ( e 一5 ) = z ”s e 一2 5 d s z l p ( t ) d t + z o c oe - 2 s d 8 f o i ( t ) d t ( 3 1 1 2 ) y珧 r = = ，、l 成写或 第三章二元极值混合模型 由( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 式不难得到 胁懒一志a r c t a n z 1 忱( t ) 出= 1 一z 0 1 p l ( t ) 出2 了贡芋三万a r c t a n 将( 3 1 1 3 ) ，( 3 1 1 4 ) 代入( 3 1 1 2 ) 式，得到 球1 2 志a r c t a n t 击一五1 故 8 丁= = = = = = = 一a r c t a n 6 ( 4 5 ) 一2 由于混合模型的相关参数0 6 1 ，所以0 r 0 4 1 8 4 对于由( 2 1 1 ) 式表示的极值c o p u l a ， 2 5 给出 r = z 1 等础) 园而，我们可以进一步验证 r = z 1 黼邓艮，) = z 1 黼蚴卅一厶丽= i 再了o i ”o j =，1糕d(2t-1)jo5 t 25 t1一 上“、 = 。上1 黼出 = z 1 ( 志一) 出 8 5 而i 而戤协n 1 砑5 以( 4 6 ) v4 2 ( 3 1 1 3 ) 一2 ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) 对于混合模型( 3 1 1 5 ) 式是正确的 类似的方法可以求出混合模型的另一秩相关系数( s p e a r m a np ) p = 1 2 1 2 1 u v d c ( 札， ) 一3 f 3 1 1 6 ) 蒿磊压压 压 第三章二元极值混合模型 2 1 对( 3 1 1 6 ) 式由数值积分法不容易算出，但【2 5 】给出对任意的极值c o p u l a 有 p = 1 2 2 1 ( a ( t ) + 1 ) 一2 出一3 ( 3 ，1 1 7 ) 因而，由( 3 1 1 7 ) 式可以得到 3 5 1 29 6f6 胪下了+ 矿瓦7 雨i 壮眦柚v 两 第二节随机数的生成 变量t 的边缘分布密度函数为 p ( t ) = p l ( t ) + p 2 ( t ) 4 一占2 1 o t 0 0 0 6 9 ，得到同期数据2 4 6 对，两组数据超出阈值部分没有时间 趋势，故可以看作独立同分布样本。图2 分别给出了英镑对美元和英镑对加元两 第五章应用研究 支汇率选取阈值的参数估计图。图3 分别为英镑对美元与英镑对加元两支汇率日 对数回报收益率。 图2 ：英镑对美元( 上二) 和英镑对加元( 下二) 汇率选取阈值图 第五章应用研究 3 1 孽 誊 暑 罟 军 g 马 量 登 暑 雹 3 季 掣 薯 i 一1u 川忆i i ll4 。m i i i n tj 恤i i - | l l j 。m | i i j 圹 l i i 帅 1 ”。m ”盯w 7 邗r l i f | 1 1 1 1 l 第五章应用研究 3 2 下面考虑g e v 条件分布模型，把y 作为参数向量眩中的协变量。表8 给出 了基本模型，模型l 是x 的边际分布，模型2 将y 作为参数向量畋中的协变 量，利用这种方法解释x ，y 的相关性。每个模型的参数估计由表9 给出，可以看 到模型2 与模型1 的a x p v 与o - x 相差不是很大，表明包含协变量y 对已有模型 影响不是很大。由模型2 得到的g e v 条件分布，在英镑对加元汇率出现最大收益 时，英镑对美元汇率也出现最大收益具有很高的概率o 9 9 9 9 ，但这种方法并不一定 合理。 塑型丝f !塑! 兰垒i 1 1 肛of 7 0岛 2 p o + p l y吼岛 表8 ：g e v 条件模型 模型 肛。肛l印岛 10 0 0 2 1 0 。0 0 5 8 0 1 8 2 7 20 0 0 2 40 ，1 3 3 2 0 0 0 5 1 9 1 6 7 4 表9 ：g e v 条件模型参数估计 第六章总结 第六章总结 本文主要对二元极值混合模型作了比较深入的分析，给出了其分布函数，密度 函数，以及相应的一些性质，如p 和r 值，并且给出其随机数生成的方法在此基 础上，应用模拟研究的方法，首先生成表1 中所给定的模型在p 取不同值时的随 机数，然后用二元极值混合模型拟合这些数据，分析其相关参数p 和边际参数估 计所产生的偏差。由第四章中的表2 至表6 我们可以看到，混合模型在估计相关 性问题时有其自身的优缺点。由于混合模型不能达到完全相关，而且其r 值的范 围在0 - 0 4 1 8 4 之间，因而它在估计相关性问题时有一定的局限性，特别是对于相 关性很强的极值c o p u l a ，它就不能准确反映其相关性，如模型2 a ，3 ，4 b ，且不能反 映负相关，如模型5 ，但是混合模型在研究相关陛在一定范围内的c o p u l a 时，它 基本能准确反映其相关性，而且对于渐近独立模型，边际参数估计的偏差也很小。 因而我们在研究实际问题时，对其相关性应先给出粗略的估计，根据它所反映 的相关强度选择恰当的模型，这样对于实际研究具有十分重要的意义。 最后，文章应用混合条件分布和g e v 条件分布分析了英镑对美元和英镑对加 元两支汇率波动的风险相关性，这对于我们防范风险，保持汇率市场的稳定性具 有重要的意义。 参考文献 参考文献 1 t r y o n ，r g a n dc r u s e ，y a ( 2 0 0 0 ) p r o b a b i l i s t i cm e s o m e c h a n i c sf o rh i g hc y c l e f a t i g u el i f ep r e d i c t i o n j o u r n a lo fe n g i n e e r i n gm a t e r i a l sa n dt e c h n o l g y - t r a n s a c t i o n so ft h ea m s e 1 2 2 ，2 0 9 2 1 4 f 2 d a w s o n ，t h ( 2 0 0 0 ) m a x i m u mw a v ec r e s t si nh e a v ys e a 8