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文档简介

t r i a u t y 变换和李群s 研n 7 |中文提要 t r i a l i t y 变换和李群s p i n r 中文提要 8 维s p i n 群s p i n ( 8 ) 有三个不等价的不可约表示:r 8 ,时,盯,s 研n ( s ) 在 它们上面的表示都是保定向与等距的e c a f t a n 证明了在这些表示之间存 在一种t r i 吐t y 变换,它是s p i n 群s 撕n ( 8 ) 的自同构本文用周建伟【1 2 l 的方 法,用c l i f f o r d 代数c 1 8 的子空间表示s p i n o r 空间时= c 妒a s ( 1 + 风) 与 盯= c t a s ( 1 + 风) 利用这一表示我们研究t r i a l i t y 变换的性质并给出一 些运用 李群却蛔是特殊正交群s o ( 8 ) 作用于a ( 1 + 风) 的不变子群,它的子 群g 2 是李群分类中的例外群本文利用w r i a l i t y 变换证明$ 西n 7 同构于7 维 s p i n 群s 研n ( 7 ) ,证明了g r a s s m a n n 流形g ( 3 ,7 ) 与a ( 4 ,8 ) 的一个子流形c a y 是同胚的我们也研究了号痧,1 7 的相关几何,证明了g r a s s m a n n 流形c ( 2 ,8 ) 与g ( 3 ,8 ) 都是李群s 额竹7 的商空间 关键词:c l i f f o r d 代数;s p i n 群;t r i m i t y 变换;s 研n 7 ;纤维丛 作者:陈静文 指导老师:周建伟 t r i a l i t yt r a n s f o r m a t i o na n dl i eg r o u p 蹴n 7a b s t r a c t t r i a l i t yt r a n s f o r m a t i o na n dl i eg r o u ps p i n 7 a b s t r a c t t h es p i ng r o u p 蹦n ( 8 ) h a st 1 1 r e ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n s :r 8 ,时,盯t h e s e r e p r e s e n t a t i o n sa r ea l lo r i e n t a t i o np r e s e r v i n ga n di s o m e t r i c e c a f t a nh a ds h o w e d t h a tt h e r ee x i t s8k i n do f 强a l i t yt r a n s f o r m a t i o na m o n gt h e s er e p r e s e n t a t i o n sw h i c hi s 髓a u t o m o r p h i s mo ft h es p i ng r o u p 却i n ( 8 ) i nt h i sp a p e r ,w en s et h em e t h o do fz h o u 【1 2 ,r e p r e s e n tt h es p i n o rs p a c e 时= c 妒也( 1 + 风) a n d 瞄= c t ! 也( 1 + 风) 蹈s u b s p a c e so fc l i f f o r da l g e b r a 俄s b yt h e s er e p r e s e n t a t i o n sw es t u d yt h et r i m i t y t r a n s f o r m a t i o na n dg i v es o m ea p p l i c a t i o n s l i eg r o u p 跖疗7j st h ei s o t r o p ys u b g r o u po ft h eg r o u ps o ( s ) a c t i n go i lt h es p i n o r 也( 1 + 纬) a n di t ss u b g r o u pg 2i s 跳e x c e p t i o n a lg r o u p b yt r i a l i t yt r a n s f o r m a t i o n , w es h o wt h a tt h eg r o u p 却嘶i si s o m o r p h i ct ot h es p i ng r o u ps 扰n ( 7 ) t h e nw es h o w t h a tt h eg r a s s m a n nm a n i f o l dg ( 3 ,7 ) i sd i 】伽m o 印l l i ct oc a yw h i c hi sas u b m a n i f o l d g “,8 ) w ea l s os h o wt h a tt h eg r a s s m a n nm a n i f o l d so ( 2 ,8 ) a n dc ( s ,8 ) 8 , 1 8a l lt h e q u o t i e n t 呼嗍o fl i eg r o u ps p i n r k e y w o r d s :c l i f f o r da l g e b r a ;s p i ng r o u p ;t r i a l i t yt r a n s f o r m a t i o n ;蹦死7 ;f i b r eb u n d l e i i w r i t t e nb yc h e nj i n g w e n s u p e r v i s e db yp r o f z h o uj i a n w e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师的指导下,独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外,本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果,也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体,均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名:蹲日期:送业 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外,允许论文 被查阅和借阅,可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研嘉生签名:雄日期:咝丝 导师签名:啦日期:? ! :竺! : t r i a l i t y 变换和李群s 颧n 7 引言 引言 c l i f f o r d 代数是c l i f f o r d 于1 8 7 8 年发现的【5 】 它推广了h a m i l t o n 的四元数 和g r a s s m a n n 代数,能够进行高维的几何计算和分析,c l i f f o r d 称为几何代 数历史上,e c a r t , a n ,w e y l 2 ,c h e v a l l e y 【3 】【4 】等数学大师都曾研究和应用过 c l i f f o r d 代数,对它的发展起了重要作用近年来,c l i f f o r d 代数及s p i n 表示在 微分几何、理论物理、经典分析、拓扑等方面取得了辉煌的成就,是现代数 学和理论物理的一个重要工具,并在现代科技的各个领域,如机器入学、信 号处理、计算机视觉、计算生物学、量子计算等方面有广泛的应用a f i y a h 与s i n g e r 把它们用于椭圆微分算子的研究,证明了a t i y a h - s i n g e r 指标定理 8 维s p i n 群s p n ( 8 ) 有三个不等价的不可约表示:斧,时,盯,它们都是8 维欧氏空间,s 撕n ( 8 ) 在它们上的表示都是保定向与等距的,在这三个空间 上适当选取的基底下s 撕n ( 8 ) 中元g 都可以用s o ( 8 ) 中的元表示 e c a r t 蛆 证明了在这些表示之间存在一种叫做强a d i 锣的变换,它们是s p i n 群a p i n ( 8 ) 的自同构,见l a w s o n 和m i c h e u o h n g 与h a r v e y 7 以前,c l i f f o r d 代数c t s ,s p i n 群s p i n ( 8 ) 以及嘶a l i 锣变换等主要是用c a y l e y 数研究的本文用周建伟1 1 2 】 的方法,用c l i f f o r d 代数佻的子空间表示它的s p i n o r 空间时与瞄,它们 可以由一个c l i f f o r d 元素a s ( 1 + 风) 生成,因此可以用c l i f f o r d 代数与s p i n 群 进行研究利用这一方法我们研究t r 讪t y 变换的性质并给出一些运用 李群s 研研是特殊正交群s o ( 8 ) 作用于也( 1 + 风) 的不变子群,它的子 群g 2 是李群分类中的例外群本文利用t r i a l i t y 变换证明s p n 7 同构于7 维 s p i n 群s 研n ( 7 ) ,证明了g r a s s m a m l 流形g ( 3 ,7 ) 与c ( 4 ,8 ) 的一个子流形c a y 是同胚的我们也研究了s 癖铆的相关几何,证明了g r a s s m a n n 流形g ( 2 ,8 ) 与g ( 3 ,8 ) 都是李群号痧仰的商空间 l 、r i a f i t y 变换和李群s p i n 71c l i f f o r d 代数与s p i n 群 1c l i f f o r d 代数与s p i n 群 为了叙述完整起见,我们首先简要介绍有关c l i f f o r d 代数与s p i n 群方面的 知识,更多更全面的讨论见【x l 7 9 1 本文只讨论欧氏空间生成的c l i f f o r d 代数 ,它可以由欧氏空间舻的一组幺正基e l = ( 1 ,o ,o ) ,e n = ( 0 ,0 ,1 ) 生成,c l i f f o r d 乘法由下式给出, e i 勺+ e j 色= - 2 6 0 ,i ,j = 1 ,n 以下用到的e 。,e ,i 都是指这样的基,仍用( ,) 表示欧氏内积,它可以推广到 上定义同态a :c i 一c i n ,如果f 即,则a ( ) = f ;如果7 c 掣, 则五( 7 ) = 一叩 c l i f f o r d 代数的子集 s p n ( n ) = t ,1 t j 2 蟾i 忱p ,i 瓴l = 1 ) 关于c l i f f o r d 乘法是个群,叫做个s p i n 群对于g s p n ( n ) ,g - i = 矿不 难知道实数1 ,一1 s 撕n ( n ) ,且1 是s p i n 群的单位元 对于g s p i n ( ) ,定义映射a d ( g ) :一e 厶, a d ( g ) ( z ) = g 茹g ,霉c t 对任意z ,y ,显然有 a d ( g ) ( x + y ) = a d ( g ) ( z ) + 倒( 参) ( 箩) , a d ( g ) ( z y ) = ( g x g 一1 ) ( 9 y g 一1 ) = a a ( g ) ( z ) a d ( 9 ) ( 3 ,) , 因此削( 9 ) :一c f 。是个代数同态,它保持上的欧氏内积 2 t r i a l i t y 变换和李群s p n r 1c l i f f o r d 代数与s p i n 群 引理1 1 对任意口,t l ,舻,m = 1 , - a d ( v ) ( w ) = t ,t l ,t ,= t l ,一2 扣,t l ,) t , 因此一a d ( v ) :彤一t p 是过坐标原点垂直于 的一个欧氏平面的反射 用列向量表示u ,是n 阶单位矩阵,i 一2 v 矿是一个竹阶矩阵,( j 一 2 v 矿) 伽= 硼一2 v ( v 锄) = 伽一2 t ,叫) t ,因此映射一a d ( v ) 可以用矩阵表示 一a d ( v ) = ,一2 v j 一2 v 矿d ) ,计算t ,= e l 可知 d e t ( i 一2 v ) = 一1 对于g = ”t j 2 珏s p i n ( n ) ,a d ( g ) = a d ( v a ) a d ( v 2 r ) 是2 r 个反射的合成, 是个正交变换特别,欧氏空间上连续两次反射的合成是个旋转这证 明了在欧氏空间取定的一组定向幺正基下,a d ( g ) 的表示矩阵g s o ( n ) 这 样定义了映射 a d :s 研扎( n ) 一s d ( n ) 对任意g l , 卯s p i n ( n ) , a d ( g a 9 2 ) = a d ( 9 1 ) a d ( 9 2 ) , 这说明a d :跖n ( 神一s o ( n ) 是个群同态,给出了s p i n 群在欧氏空间上的 个表示 如上设g = a d ( g ) ,对于z = 1 0 1 1 1 3 2 t n r c 厶,1 0 i 舻, a d ( g ) ( z ) = g 1 1 1 1 忱蚺g = 9 w l g g w 2 9 。g g g w r 矿 = a d ( g ) ( w , ) a d ( g ) ( w 2 ) 削( 9 ) ( 嘶) = g ( t t j l ) g ( 伽2 ) g ( t ) 3 l y i a l i t y 变换和李群s 研n 7lc l i f f o r d 代数与s p i n 群 这说明,对于g s 磁n ( 竹) ,变换a d ( 9 ) :c 一c t 由g = a d ( g ) s o ( n ) 决 定我们知道: 定理1 2s 西珏( 饨) 是一个紧致连通的李群,a d :s 拼礼( 珏) 一a o ( n ) 是一个 二重覆盖的李群同态 定义对于ges o ( n ) ,g s p i n c n ) ,如果a d ( g ) = g ,称夕是g 在s p i n 群 上的提升 如果9 是g 的提升,一g 也是g 在s p i n 群上的提升a d :s p i n ( n ) 一s o ( n ) 是满射,g s o ( n ) 的提升总存在 例1s t , i n ( 2 ) 中元可以表示为 g = ( e o s t e l + s i n t e 2 ) - ( c 0 8s e l + s i n8 e 2 ) = 一c 0 8 0 s ) 一s i n ( t s ) e l e 2 这说明s t u n ( 2 ) 中元都可以表示为c o st + s i n te l e 2 ,群s p i n ( 2 ) 同胚于圆s 1 我们知道,特殊正交群的基本群如下 7 r l ( s d ( 2 ) ) = 霄l ( s 1 ) = z ;7 r l ( s o c n ) ) = 磊,n 2 s p i n 群s 研n ( n ) 是连通的,a d :s v i n ( n ) 一a o ( n ) 是二重覆盖,利用代数拓扑 知识可以证明 定理1 1 1n 2 时,s p i n 群铆n ( n ) 是单连通的 而s p n ( 2 ) 同胚于圆s - ,它们的基本群是一样的 下面讨论s p i n 群的李代数与伴随表示a d :s r 五n ( n ) 一a o ( n ) 的切映射作 为线性空间,任意z 俄。处的切空间t , c t 自然可以等同于利用嵌入 s 曩n ( 砖_ c 厶,对任意g s 弘钆( 珏) ,切空间乃s 弘珏( 铭) 可以看作t g c t 竹的子空 间,s p i n 群s 研n ( n ) 的左不变向量场构成的李代数曼2 垫( 礼) 掣t l s p i n ( n ) cc 1 取s p i n 群中曲线 ,y ( t ) = ( 傩喜色+ s i n 丢勺) ( 一c o s 喜气“n 丢勺) = c o s t + s i n t e i e j ,i j ; t r i a l i t y 变换和李群s 研n 7 , 1 c l i f f o r d 代数与s p i n 群 由( e 勺) 2 = 一l 可得 e x p ( t e t e j ) = 塞孙= k 量- - - - - - o 锘nk 曼= o 龋俨+ l b 勺 ) = 吾( 地勺) 器+ 龋0 2 1 b 勺 k = 0 “: “,: “。t ,。 = c o s t + s i n t e l e j 因此7 ( t ) = e x p ( t e 勺) 也是s p i n 群跚n ( n ) 中的单参数子群,- y ( o ) = 1 是单位 元, 警l 。:。= e i e je 乃酬砂 由f f l m s p i n ( n ) = d i m s o ( n ) = 坐产可知切向量 氏勺,i 歹) 是五跗n ( n ) 的一 组基,任意x t 惭n ( n ) 可以表示为 x = 勘e e j i j s p i n 群s 撕n ( n ) 的李代数由切向量e i e j 左平移生成 不难算出 a d ( 1 0 ) ) e i = c o s 2 te i + s i n2 te j ,a d ( r ( t ) ) e j2 一m n2 t e i i n f _ c 0 82 te j , a d ( 7 ( t ) ) e k = e 知,对于七主,j 由此得知朋h ( t ) ) 在p 的基底e t ,8 2 ,下的矩阵a = 如埘) 由下面的条件 给出, = 吻= c o s 2 t ,叼= 一= 一s i n 2 t ,其它的a d = 毛 以表示第i 行,j 列为1 ,其余元素为0 的n 阶矩阵,我们证明了 似( e t 勺) = 堂甏业l = 2 ( 岛一琢) 我们知道鲤( n ) = a g i ( n ,r ) ia + a o ) ,x s o ( n ) 可以表示为x = ( ) = 嚣而( e b 一马i ) 这些证明了 5 t r i a l i t y 变换和李群却讯71c l i f f o r d 代数与s p i n 群 性质1 4 李群覆盖映射a d :5 研n ( n ) s o ( n ) 给出的李代数同态是 a d 三i 叠岛勺= 互1 a 五乏色勺= ( ) , 这里= 一砾 s p i n 群的指数映射是 x 业( n ) _ 唧x 2 三两1 妒, 黑i 。,x 七中的乘积x 知由c l i 脑d 乘法给出可以证明指数映射 e x p 量q ( n ) s o ( n ) , e x p ! ! z 堕堡( n ) + 沥礼( n ) 都是满射本文主要用8 维c l i f f o r d 代数对于c 1 8 ,它的体积元素为忱= e l e 2 e 8 ,记风= e l e s e s e 7 ,显然越= 魇= 1 定义c l i f f o r d 元素 欢= - 瓜蕊) ,承= 三( 一l + 瓜蕊) ,江”一,4 它们满足g i g s = 0 ,g & g s = - g s ;i j 时,优秀= 一易吼,皿彩= 一劣骗记 山= r e ( 耍x l i t ) 定义c j i b 上的子空间k = 山( 1 + 风) , 1 4 1 证明了它是的一个不可约 表示空间,也叫做s p i n o r 空间进一步y 可以分解为k = 时。盯,其中 时= c 管帆a s ( 1 + 风) ,盯= c 酽也( 1 + 风) 引理1 5k = 时。瞄是c l i f f o r d 代数c t 8 的不可约表示空间子空间 时和v f 分别由啦= e l e 山( 1 + 风) 与叱+ 8 = 色a ( 1 + 风) 生成的,i = 1 ,8 利用的不可约表示空间v s 的生成元钆,口。可以构造c l i f f o r d 代 数c 如与矩阵代数r ( 1 6 ) 之间的同构以奶表示8 阶矩阵的生成元,它的 第七行,j 列为1 ,其余为0 6 t r i 剐l i t y 变换和李群s p i n 7lc l i f f o r d 代数与s p i n 群 引理1 6 代数同构垂:c t 8 垡r ( 1 6 ) 可由 西( 舭a ( 0 5 ) = ,七,歹= 1 ,1 6 来给出 不难知道,对任意专c t s ,矩阵t = 圣( f ) 也可以由 f ( 口l ,a 1 6 ) = 传口l ,f q 1 6 ) = ( a i ,a l s ) t 决定,其中表示c l i 丘0 r d 乘法对于秒= 壹v l e i gr 8 ,通过简单的计算可得 嘶,= ( 一只r ) ,其中 r = 幻冶诒5 iv 5。智钐姥 一地t ,l一心铂一蠕一地铆 一均v , l l一吨钾一魄一讹地 一心一他 t j 2 l y l 一砘一晰 蛳v s 一魄他一嘶魄t j l一啦t i :3一钆 一魄一t ,5v s钾t j 2 1 7 1一讥一蚀 一竹忱t j 5一t j i b 一堍地 饥一也 一绣一修一路一络纷 纷蚴约 引理1 5 ,1 6 的证明和矩阵的推导过程见引文【1 4 】这些也证明了时与 瞄是踬器( 8 ) 的不可约表示空间 关于必的诱导度量,k 是1 6 维的欧氏空间,勉,a 墙是它的正 交基, ( 锄) 2 素如 这组基也给出了k 的个定向,以s o ( 5 + ) 表示时上保持定向q 。,锄的 等距变换群对任意g = t ,l 耽蚜蹦n ( 8 ) , g ( a l ,锄) = ( 口l ,a s ) g + , 7 n i a l i t y 变换和李群s 枷n 7lc l i f f o r d 代数与s p i n 群 弭= ( - 1 ) 7 艺厶砭,s o ( 8 ) 因此g s p n ( 8 ) 作用于时是保定向 的,定义了s d ( 时) 中个元素,记为舛= g l v + 类似地,乳= 夕i 吁s o ( s ) 性质1 7 对任意外s d ( 时) 有且只有两个g l ,眈s p n ( s ) ,使得外= 夕1j 时= 9 2 1 v # ,且9 2 = w s 9 1 这样的g l ,9 2 可以利用外构造 证首先证明若有吼,夕2 颥n ( 8 ) 使得西慨) :f g + l ,i :+ l ,2 ,则 鼠 有b l = q - b 2 ,这时9 2 = 叫8 9 1 由于圣是代数同态,只要证明如果垂( 夕) = l 1 一l ,则g = 1 或w 8 对于任意移,= g v g t 斧,由圣( 伽) = 圣( 夕) 圣( ) 西( 夕t ) i口j 一 。 即( 一焉r ) = ( 一b 碍r ) ,可得r = 只b t 取u = e t ,厶= ,可得 b 。= ,这里v o = g e - 矿= 羞a e i 再取t ,= e 2 ,从r = 巳及前面得到 的r 的表达式可得a s = a 4 = = a s = 0 利用这一方法可得v o = 士e 。,因此 b = 圪= 4 - 1 这些证明了g = 1 或g = 0 8 由于田中:鲤( 8 ) 一s o ( 8 ) 是满射,= 只。心是8 0 ( 8 ) 的一组基,对任意 a s o ( 8 ) 有实数b 使a = 唧( 鼍b , j t , j ) 记g l = e 印( 零e e j ) ,9 2 = g t w 8 ,从 圣是代数同态可得 垂( 夕1 ) = 西( 甲( 6 巧e 勺) ) = 唧( 西( e i 勺) ) = e x p ( - e b j p , , p , ) 唧。一暑b 砭,) = ( a 计毛慨,) 因此,a = 夕i 时,也有a = g w 8 i 曙 8 t r i a l i t y 变换和李群s 机n 72 t r i a l i t y 变换 2t r i a l i t y 变换 1 给出了8 维s p i n 群踬n ( 8 ) 的三个不可约表示:斧,时,盯,它们都 是8 维的欧氏空间,跚n ( 8 ) 中元9 在这些表示下为a d ( g ) ,夕i 时,夕i 吁不难知 道,这三个表示是不等价的由定理1 2 ,性质1 7 ,映射g s p i n ( 8 ) 一a d ( g ) 与g 一9 l 喈都是2 重覆盖映射,a d ( g ) = a d ( 一9 ) ,而夕l 曙= 触i 喈进一 步可以证明g 一夕i 叮也是2 重覆盖映射,g l 百= 一则8 i 百在这三个空间 上适当选取的基底下s r , n ( 8 ) 中元g 都可以用s o ( 8 ) 中元表示如前,设 e l ,e 8 是r 8 的一组定向么正基,口1 ,o r s ;蜘,口1 b 分别是时,瞄的 基设引力2 【外9 - ) ,则引时2g + ,g k 2 弘,g = 触 ) 下面讨 论由这三个表示得到的g ,外,g 一的关系,它们都由g s p n ( s ) 决定,记为 g = ( g ,弭,g 一) 或( g ,外,g 一) 对于t ,舻,t ,( a 9 ,o t - 6 ) = h ,啦) r ,只的表达式如前 引理2 1 ( 1 ) 对于任意t ,r s ,p g 扣) = 外r 九 ( 2 ) 如果g ,外,g 一s o ( 8 ) 对任意t ,r 8 ,都有p g 扣) = 外只止则有g s 拼n ( 8 ) 使g = ( g ,外,g 一) ; ( 3 ) 由ghg ,gh 夕+ ,ghg 一给出的映射s p i n ( 8 ) 一s o ( 8 ) 都是二重覆 兰 皿 证对任意t ,r 8 ,由g ( u ) = g g 得 g 。) ( a “,a m ) = ( a b ,a 埔) ( 一p g 。) 。p g 。) 9 t r i a l i t y 变换和李群s p i n ,2t r i a l i t y 变换 c a - ,口。,( 一雪一焉辨g + “g - ) 因此惑( = g + p v g 这证明了( 1 ) 下面证明( 2 ) 在代数同构 :c l s - - + r ( 1 6 ) 下,对矩阵( 外乳) s d ( 1 6 ) 存在9 c f 8 ,使得 9 - c a ,q m ,= c q ,口,e ,( 外夕一) 因此9 c 妒,且g 夕t = 1 从p g ( 。) = 外p , t ,可得g ( t ,) = 9 g 。设歹为 g 的提升,则g ( t ,) = 爹 矿可知矿g ( t ,) 歹= t ,即扩g t ,g t 爹= 记 矿9 = z l + e l 勋,这里石l 卵,现伙严中不含e 1 由矿g e l = e 1 矿g 得 一伽q t ,a c l + 。风,= 一t t ,c q ,锄,( :) = c 劬,口m ,砭( :) t r i a l i t y 变换和李群s 机7 1 72t r i a l i t y 变换 叫做c a y l e y 数乘法,( 舻,o ) 成为个代数,叫做c a y l e y 数或o c t o n i a n s ( h a r v e y , p 1 0 5 ) 否= ( 口l ,一魄,一铂) 是t j = ( 1 ) 1 ,现,铂) 的c a y l e y 数共轭 引理2 2 对于t ,铆( r s ,o ) ,砜呵= 砀。否 证记移= ( 口,6 ) ,埘= ( c ,d ) ,口,b ,c ,d 日,易知而= 占a , vo w = i i 巧乏_ i i 万= 云一5 d ) - d 口一6 动= ( 否,一d ) o 国,一6 ) = 西ov 一 这一性质也可以利用 ot t ,= 移r 直接验证对于g s o ( 8 ) ,定义g , 唧8 惭,= 雨,易知= ( 1 一乃) g ( 1 一西) 定理2 3 存在s p i n 群s 研n ( s ) 的自同构卢, a ( g ,舛,弘) = ( 豇,正) ,p ( g ,外,g 一) = ( ,g 一,外) 证对于g = ( g ,外,g - ) 跖n ( 8 ) ,从p g 扣) = 外只正可得p 占( 。) g + = g 只,作 用于1 1 1 ) 得磁( 蕾) 舛伽= 夕一p t v l l ) ,即儿( 加) 。g ( ) = 夕一。t ,) ,t ,伽r s 是任意的 因此 重f - ( 再删= 夕一( 雷0 西) = 璺+ ( 雷) 0g ( 西) , 正砭切= 正如。t ,) = 虿两。瓦雨= g ,( w ) 。鲜( 譬) = 睃( g ,) 这证明鲜,正s o ( s ) ) 满足= g ,已业,由引理2 1 ( 2 ) ,( 藓,g ,正) 给出 s p n ( 8 ) 中元,这定义了映射口:s p , + ( 8 ) 一踬扎( 8 ) ,a ( o ,乳,乳) = ( 藓,正) 对g l = ( g l ,g l + ,g t 一) ,9 2 = ( g 2 ,9 2 + ,9 2 一) , 口缸9 2 ) = ( g :+ 五+ ,讲,夕:一友一) = ( 薪+ ,q ,夕:一) 僦+ ,岛,磊一) = a ( g t ) 口渤) , 所以口是同态而舻= i d ,映射口是个对合,因此q 是s t u n ( 8 ) 上一个自 同构 记蚕= 一e 1 g e l s :埘n ( 8 ) ,因多留一e 1 口e l = 面 刖( 蚕) p ) = - - e i g e l - t ,( 一e l g e 1 ) 。 = e 1 g 嘞 e 1 g 。电= 雨= g ( 口) 1 1 t r i a l i t y 变换和李群s 机n 71 2t r i a l i t y 变换 而 = 一( 一,j ) ( 外夕一) ( 一,j ) = h ) 任c o s 2 t 2 一s i n 2 t 毛) , ,g + = e x p t t l 2 = c o s t i + s i n t 丑2 , 再算出g ,= 唧( ;皿2 ) 唧( 巩) 唧( 如) 唧( ) = 唧( t ( 孔2 + 氏+ 死6 + s e 3 e 4 ) ) = 唧i + s ) ( e 1 8 2 + e 3 e 4 ) + o s ) ( e 5 e b + e t e , ) 1 们把a ,p 也叫做s p n ( 8 ) 上的t f i a h t y 变换触= 丁_ 1 = 7 - 2 ,p 生成s p n ( 8 ) 3s 扰n 7 及相关几何 3s p i n 7 及相关几何 特殊正交群s o ( 8 ) 可以作用于c 如,称 s p i n r = g s o ( 8 ) ig ( 也( 1 + 风) ) = a ( 1 + 风) ) 是s o ( 8 ) 关于a , o + 风) 的不变子群或迷向子群定义s t , i n 7 的子群 6 1 2 = g s p i n 7ig ( e 1 ) = e l cs o ( z ) g 2 是李群分类中的个例外群下面利用t r i a l i t y 变换证明李群s _ 讲嘶同构 于s p i n 群跚n ( 7 ) ,进而证明g r n a s m n a m 流形a ( 3 ,7 ) c a y 以下记1 8 ( 1 + 风) = a 性质3 1 任意g s p i r i t 有唯一提升g 却讯( 8 ) ,使得g a = a 这样 s p i n 7 可以嵌入s p i n ( 8 ) 作为个子群 证对于g 踬n 7 ,根据定义g ( q = a 设9 s r 腕( 8 ) 是g 的提升,则 g a 矿= a ,而a = a a ,因此 g a a g = a a t 利用代数同构西:c t s 竺r ( 1 6 ) 可知夕a = 4 - a 如果g a = 一a ,得到( 一夕) a = a 性质3 2 ( 1 ) 设g = ( g ,外,g 一) s p i n ( 8 ) 是g s p i n 7 的提升,g a = a , 则g = ( g ,外,g ) ,其中外s o ( z ) 此时q ( 9 ) 跏札( 7 ) ; ( 2 ) 设g 8 p n ( 8 ) 是g g 2 的提升,g a = a ,则g = ( g ,g ,g ) 此时 a ( 9 ) = a ( 9 ) = g ,c i ( - 9 w s ) = 夕; ( 3 ) 若g 之跖n ( 7 ) 蹦n ( 8 ) ,由e 2 ,e 8 生成,则g s o ( r ) ,g ( e 1 ) = e l ,得 到外= g 一 1 3 t t i a l i t y 变换和李群s p i n 7 1 3 酃面n 7 及相关几何 证( 1 ) 设g s p i n 7 的提升是g ,g a = a ,在g = ( g ,外,乳) 中g s p i n 7 ,外s o ( 7 ) 在夕+ ) og ( t ,) = 乳ot ,) 中取伽= e l 得g ( t ,) = 皿( 口) , 即乳= g ,因此g = ( g ,舛,q 记蚕= 口( 9 ) = ( g + ,g ,g ,) ,从a d ( k ) = 外可知 蚕跗n ( 7 ) 定理3 3s p i n 群s p n ( 7 ) 和跗n 7 同构 证设g s p i n ( 7 ) c 蹴n ( 8 ) ,由e 2 ,e 8 生成,g = a d ( g ) 使得e l 不变 g 形如i i ,因此g s o ( 7 ) s p i n ( 7 ) 与口( 跏n ( 7 ) ) 是同构的另一方面, 宰 前面证明了任意g s p i n 7cs o ( 8 ) 可以唯一提升为g 跚礼( 8 ) ,使得夕a = a 因此只要证明口( 罗面n ( 7 ) ) 与s p i n ( 8 ) 的子群d s p i n ( 8 ) i 鲋= a ) 同构 首先,对于g = ( g ,外,g 一) s 研n ( 7 ) ,g s o ( 7 ) 可得“= 乳因此, 雪= a ( 9 ) = ( 武,g ,玉) 由于外= g s o ( 7 ) ,外a = a 这证明了口( s 研,l ( 7 ) ) c 幻s 撕n ( 8 ) ig a = m 另一方面,对于佰= ( 台,外,蚕一) s p i n ( 8 ) l 弘= a ,口( 蚕) = ( 外- - i ,口,蚕二) 由弘= a 可知外s o ( 7 ) 因此,从a d ( 口( 蚕) ) = 藓= 外 可知g = a ( 蚕) 6 p n ( 7 ) 这些证明了a d o 口:s p n ( 7 ) j 砸n 7 是同构 下面给出一些t r i a l i t y 变换在定向g r n a s m a n n 流形上的运用首先讨论李 群s p i m 的性质 设,是舻上一个取定的复结构,j ( e 蕊一1 ) = e 2 i ,( e 2 ) = 一e 2 - 1 伊= 舻( 9 0 可以由g a ,甄,多l ,孔生成,其中g l ,吼与历,孔分别生成复 线性空间伊r 8 上欧氏度量诱导上的h e r m i t e 内积以s u ( 4 ) 表示伊上 行列式为1 的酉矩阵的全体设g s o ( 8 ) 满足g j = j g ,这时a ( y e 2 一1 ) = 酬圳d 重新排? 舢基底,删扣( 二;) 1 4 吨 : v r v 2 : v s 变换 t r i a 】i t y 变换和李群s 研n 7 3 s 扰n 7 及相关几何 g 可以表示为 c g c e t ,g c e ,g c e 。,g c e 8 ,= c e t ,e ,e 。,e s ,( ! 二;) 记( g 沏) ,g 瓴) ) = 沏,晚,卯,乳) q 由此可得 ( 免,现,9 3 ,9 4 ) c = 去f ( e 1 ,e 3 ,e 5 ,e 7 ) 一、j ( e 2 ,e 4 ,e s ,e 8 ) 】g = ( g l , 9 2 ,g a ,9 4 ) ( b 一 j c ) , 白1 ,晓,勇,甄) g = ( 蚕l ,彘,蟊,孔) ( b + = r c ) 如果d e t ( b + 了c ) = 1 ,则b + j gb 一,了c s v ( 4 ) ,我们也把这样的 g s o ( 8 ) 看成s u ( 4 ) 中元,称g 是b4 - ,了c 的实表示 引理3 4 ( 1 ) s u ( 4 ) 是s p i n 7 的个子群,因此s u ( 4 ) 不变a s ( 1 + 风) ; ( 2 ) e , e , z + 4 - e t e s 在s u ( 4 ) 的作用下不变; ( 3 ) 踬嘶作用于g ( 1 ,8 ) 舻,g ( 2 ,8 ) ,g ( 3 ,8 ) 都是传递的; ( 4 ) g 2 作用于g ( 1 ,7 ) 伊,g ( 2 ,7 ) 都是传递的 证不难知道a ( 1 斗儡) = ( 雪l 2 9 3 9 4 ( i j r 属s ) ) = r e ( 9 , 9 2 9 3 9 4 + 9 l 面至 对任意g s u ( 4 ) ,分别有g ( 雪1 历勇孔) = g , 9 2 9 3 9 一4 ,c ( g 1 9 2 9 3 9 4 ) = g , g g 表示它在s o ( 8 ) 中的实表示, g 【a s ( 1 + 风) 】= r e ( g 晦l i i 2 蠡吼】+ g 眵l 彘勇孔夕l 耽卯乳1 ) = a ( 1 + 风) 这证明了s u ( 4 ) c 嘞铆 从皿磊= 吾( 一1 + 、= t e 瓠一1 e 2 i ) , ( g l ,驰,册,乳) ( 雪l ,函,蟊,弧) = 一2 + ! ( e l e 2 + + e 7 e 8 ) 可知g ( 4 历磊) :圭历磊g 实质上是个实变换,它把圭仇虽的虚部变成 虚部,这证明e l e 2 + + e ,e 8 在g 的作用下不变。 显然,s 7c 印也可以看作伊中的单位元,而s u ( 4 ) 在妒上是传递 的所以,s u ( 4 ) cs o ( 8 ) 在单位球面s 7 g ( 1 ,8 ) 上是传递的易知,s u ( 4 ) t r i 8 1 i t y 变换和李群却讥73s p i n 7 及相关几何 在 v j rlt ,s t ) 上也是传递的设s u ( 3 ) 是s u ( 4 ) 的子群,s u ( 3 ) cs 西铆 中元不变e l ,e 2 因此对任意z = 否l 如g ( 2 ,8 ) ,有日1 s u ( 4 ) ,使得玩( 占1 ) = 七矧h d 柏”忍“,忙剖, t r i a l i t y 变换和李群s p i n r 3s 撕n 7 及相关几何 e 1 g s o ( 7 ) 中元素都可以提升为g i s 研n ( 7 ) ,也有 g ( 3 ,7 ) = g e 2 e 3 e 4 9 ig 蹦佗( 7 ) ) 计算可得西c e 。e s ,= ( bb ) ,莘中b = ( 一厶五) s 。c 8 ,从而, 圣c 夕e 。铅e 4 夕勺= ( 舛b 9 ;外b 鲜) 由于踬聊在g ( 3 ,8 ) 上是传递的,对任意7 r g ( 3 ,8 ) 有口s 7 使7 r a = v a 设g 是g s p i n 7 的提升,g a = a :此时,g l r g 。a = g v g a 因此,9 ( 一v ,r ) g 。a = a 显然,c a y 可以由这种一l l y r 生成,这证明了j s 撕n 7 在子流形c a y 上也是传递 的因此咄娟e - 引参洲8 撕肛4 州e l e 2 e 3 e 4 ) = ( b b ) 及雪= ( 0 ,孔,台) 得 酌郴彬= ( 警勘伊) 由定理3 3 的证明,a d oo t :s 撕n ( 7 ) 一跗n 7 是同构这样,我们证明了 g r

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