（基础数学专业论文）一类浅水波方程的若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 本文研究了一类浅水波方程c a u c h y 问题的局部适定性，强解的爆破机制和爆 破，强解的整体存在性以及整体弱解的存在性和唯性等相关的问题这些相关的 浅水波方程来源于现代力学和物理学全文一共分为五章 在第一章，我们介绍了浅水波问题的研究背景，本文所要研究的问题的基本概 念以及研究方法并给出了本文的主要结论 在第二章，我们主要讨论周期情形d u l l i n - g o l t w a l d - h o l m ( d g h ) 方程强解奇性发 展的问题，给出了d g h 方程强解爆破现象的一个非常详细的描述首先，利用最近 建立的最佳的s o b o l e v 不等式，给出了周期d g h 方程强解爆破的几个新的结果其 次，我们证明了准确的爆破速率为2 以及对一大类奇的初值爆破集仅仅由中间点或 者是两个端点构成最后，我们证明了强解存在时间的下半连续性 在第三章，我们证明了d g h 方程整体弱解的存在性和唯一性当初值u o 日1 满足符号条件时，通过磨光初值，利用光滑初值整体强解的逼近获得整体弱解的存 在性；通过建立先验估计，借助h e u y 定理，获得方程中非局部非线性项的收敛性利 用方程的守恒律，我们能证明所得到的解关于时间是连续可微的通过正则化技巧 建立强解关于时间导数的估计，我们证明了整体弱解的唯一性 在第四章，我们系统研究了周期b 族方程c a u c h y 问题的局部适定性，精确的爆破 机制和爆破现象，强解的整体存在性以及整体弱解的存在性运用k a t o 半群理论，我 们证明了对任何的初值u o h 。( s ) ，s 鲁，周期b 族方程c a u c h y 问题的局部适定性； 对于不同的实数b ，本文系统研究了周期b 族方程强解的爆破机制，本文的结论不仅 包含了c a m a s s a - h o l m 方程和d e g a s p e f i s p r e , c e s i 方程的爆破机制，还提出了一个新的 结果：当b ；都是整体适定的；最后，利用磨光初值 方法，我们证明了周期b 族方程整体弱解的存在性 第五章研究了弱耗散b 族方程c a u c h y i h - j 题的局部适定性，精确的爆破机制和强 解的爆破以及整体存在性借助于前几章建立的估计和方法。我们可以得到类似于 第四章的方程的局部适定性，强解的爆破机制和强解的爆破但是由于弱耗散项对 方程的影响，这里得到的爆破结果要比b 族方程的爆破结果弱同样，当初值满足不 变号条件时，我们证明了强解的整体存在性不同于b 族方程的整体强解，弱耗散b 族方程的整体强解当时间t _ + 0 0 时，关于日1 范数和日3 范数衰减到0 中山大学博七学位论文 关键词浅水波方程；局部适定性；爆破；强解的整体存在性；整体弱解的存在性和 唯一性 一一 a b s t r a c t ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yl o c a lw e l l - p o s e d n e s s ，p r e c i s eb l o w - u ps c e n a r i oa n db l o w u p p h e n o m e n a , g l o b a le x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n s ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lw e a k s o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mo fac l a s so fs h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n sa r i s i n gf r o m m o d e mm e c h a n i c sa n dp h y s i c s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs h a l l o ww a t e rw a v ep r o b l e m s ，t h eb a s i c c o n c e p t so fp r o b l e m sd i s c u s s e di nt h i st h e s i sa n dr e s e a r c hm e t h o d sw eu s e d t h e nw em a k e al i s to fm a i nc o n c l u s i o n so ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s st h ed e v e l o p m e n to fs i n g u l a r i t yo fs t r o n gs o l u t i o n s t ot h ed u l l i n - g o t t w a l d - h o l m ( d g h ) e q u a t i o n w eg i v eav e r yd e t a i l e dp r e s e n t a t i o no i l t h eb l o w - u pp h e n o m e n ao fs t r o n gs o l u t i o n st ot h ed g he q u a t i o n w ef i r s tp r e s e n ts e v e r a l n e wb l o w - u pr e s u l t so fs t r o n gs o l u t i o n st ot h ed g he q u a t i o nb yu s i n gs o 把1 1 e wo b t a i n e d o p t i m a ls o b o l e vi n e q u a l i t i e s w et h e nw o v e t h a tt h eb l o w - u pr a t ei s - 2a n dt h eb l o w - u ps e t o n l yc o n s i s t so ft h em i d p o i n to rt w oe n d p o i n t sf o ral a r g ec l a s so fi n i t i a ld a t a w ef i n a l l y a d d r e s st h el o w e rs e m i c o n t i n u i t yo fe x i s t e n c et i m eo fs o l u t i o n sw i t hs m o o t hi n i t i a ld a t a i nc h a p t e r3 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lw e a ks o l u t i o n st ot h e d g h e q u a t i o n v v h e ni n i t i a ld a t at o 日1s a t i s f i e ss o m ec e r t a i ns i g nc o n d i t i o n s ，w eo b - t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n sb ym o l l i f y i n gi n i t i a ld a t aa n dt h e nt a k i n ga n a p p r o x i m a t i o no fg l o b a ls t r o n gs o l u t i o n sw i t hs m o o t hi n i t i a ld a t a w ec a l lp a s st ot h el i m i t i nt h en o n l o c a ln o n l i n e a rt e r mb yb u i l d i n gap d 砸e s t i m a t ea n dh e l l y st h e o r e m b yt h e c o n v e r s a t i o nl a wo ft h ee q u a t i o nw et h e ns h o wt h a tt h eo b t a i n e ds o l u t i o n sa r cc o n t i n u o u s l y d i f r e r e n a lw i t hr e s p e c tt ot i m e t h e nw ep r o v et h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nb yr e g u l a r - i z a t i o na n de s t i m a t i n gt h et i m ed e r i v a t i v eo fs t r o n gs o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yl o c a lw e l l p o s e d n e s s ，p r e c i s eb l o w - u ps c e n a r i oa n db l o w - u p p h e n o m e n a , g l o b a le x i s t e n c e so fs t r o n gs o l u t i o n s , e x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n st ot h e c a u c h yp r o b l e mo ft h ep e r i o d i cb - f a m i l yo fe q u a t i o n s f o ra n yi n i t i a ld a t au 0 h 8 ( s ) ，5 i ，w es h o wt h a tt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h eb - f a m i l yo fe q u a t i o n si sl o c a l l yw e l l - p o s e d b ya p p l y i n gk a t os e m i g r o u pt h e o r y f o rd i f f e r e n tv a l u e6 w es t u d yt h ep r e c i s eb l o w - u p s c e n a r i oo ft h ep e r i o d i cb - f a m i l yo fe q u a t i o n s t h i sr e s u l tn o to n l yi n c l u d e st h eo i l so ft h e c a m a s s a - h o l me q u a t i o na n dt h ed e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n ，b u ta l s oi n c l u d e san e wo n e ： w h e nb ip r o v i d e d bs a t i s f i e sc e r t a i nc o n d i t i o n s f i n a l l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f g l o b a lw e a ks o l u t i o n st ot h ep e r i o d i cb - f a m i l yo fe q u a t i o n sb yt h em e t h o do fm o l l i f i c a t i o n i nc h a p t e r5 ，w es t u d yl o c a lw e l l p o s e d n e s s ，p r e c i s eb l o w u ps c e n a r i oa n db l o w - u p p h e n o m e n a ，g l o b a le x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ew e a k l yd i s s - p a t i v eb - f a m i l yo fe q u a t i o n s i nv i e wo fap r i o r ie s t i m a t e sa n dm e t h o d sp r e s e n t e di nt h e p r e v i o u sc h a p t e r s ，w ec a l lo b t a i nl o c a lw e l l p o s e d n e s s ，b l o w - u ps c e n a r i oa n db l o w u pp h e n o m e n ao fs t r o n gs o l u t i o n ss i m i l a rt oc h a p t e r4 t h e s eb l o w - u pr e s u l t sa r em u c hw e a k e r t h a nt h o s eo fb - f a m i l yo fe q u a t i o n sd u et ot h ee f f e c to ft h ew e a k l yd i s s i p a t i o nt e r m s i m i - l a r l y , w ep r o v eg l o b a le x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n sp r o v i d e dt h a ti n i t i a ld a t ad o e sn o tc h a n g e s i g n u n l i k et h eg l o b a le x i s t e n c eo fb - f a m i l yo fe q u a t i o n s ，g l o b a ls o l u t i o n st ot h ew e a k l y d i s s i p a t i v eb - f a m i l yo fe q u a t i o n sd e c a yt o0i nb o t ht h eh 1 - n o r ma n dt h eh 3 - n o r ma stg o e s t 0 0 0 k e y w o r d s s h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n s ；l o c a lw e l l - p o s e d n e s s ；b l o w - u p ；g l o b a le x i s - t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n s ；e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lw e a ks o l u t i o n s i v 中山大学学位论文原刨性声明及使用授权声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：亏m 钆 日期：2 _ o f 。年6 月j 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅， 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法 保存学位论文。 保密论文保密期满后，适用本声明。 作者签名： 弓幽叉氖 日期：加纫年万月re l 导师签名： 展氟锄 日期：切f 年6 月r 日 第1 蕈绪论 1 1 背景 第1 章绪论 在自然界中发生的众多流体运动中，表面水波的流动是最容易被观察得到的 由于地球表面大约三分之二的面积被水覆盖，因此对水波的研究就具有重要的实际 意义过去的2 0 0 多年间，众多的数学家致力于水波的研究，促进了水波运动的数学 理论的蓬勃发展期间，浅水波理论取得了极大的进展，对该理论的研究是目前的一 个热点问题浅水波不仅仅能描述浅底的自由表面在引力影响下的单向性传播，也 能产生于深底的海洋中海洋中最主要的浅水波是海啸：由巨大的初始干扰( 如地 震) 产生的波长很大而高度很小的海洋波 浅水波问题的研究，最早起源于1 8 3 4 年s r u s s e l l 对浅底运河中孤立波的实际观 察，他发现孤立波是浅水波的一个重要物理现象由于小波峰的线性理论不能推导 出孤立波，所以研究这类问题的一个方法是通过对长波极限情形时控制方程的非线 性逼近1 8 9 5 年，d j k o r t e w e g 和g d ev r i e s 推导出了著名的k o r t e w e g d ev r i s ( k d v ) 方程 地+ 舰+ = 0( k d v ) 并对其孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 进行了研究，这里u ( t ，z ) 表示高于水平底面的水波高度， z 表示传播方向的距离，t 表示过去的时间从此之后，k d v 就成为浅水波理论的基 本方程，该方程的初值问题以及初边值问题获得了大量定性的研究【”，7 6 ，1 0 3 k e n i g ，p o n c e 和v e g a 【7 6 】证明了当初值属于日1 时，k d v 方程是整体适定的k d v 方 程是一个完全可积的无穷维h a m i l t o n 系统，因而具有无穷多个守恒律k d v 方程最 主要的性质是它具有孤立波解( s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ) ，并且孤立波是孤立子( s o l i t o n ) 1 1 0 ：孤立波在相互碰撞作用分开后，仍然保持各自的原有的形状和大小然而，k d v 方程不能描述水波的破裂( w a v eb r e a k i n g ) 现象，即：波本身是有界的，但是它的斜率 产生奇性可是人们通过研究和实验发现浅水波会产生波的破裂这也是浅水波理 论的一个重要的现象1 1 0 8 1 1 9 7 2 年，b e n j a m i n ，b o n a 和m a h o n y 【4 】提出了b b m 方程 魂+ + t 一= 0 ( b b m ) 用来描述水道中的表面波与k d v 方程相比，b b m 方程具有更好的光滑性质，也具 中山人学博i ：学位论文 有h a m i l t o n 结构，可是它不是可积的，并且孤立波不是孤立子它的解都是整体存在 的，而且孤立波解是光滑的和轨道稳定的，因此也不能描述水波的破裂现象 1 9 9 3 年。美国科学家c a m a s s a 和h o l m 推导出了另一类浅水波方程，i i p c a m a s s a - h o l m ( c h ) 方程 t t 一毒+ 2 托+ 3 t = 2 霉+ 让魄嚣( c h ) 其中，1 , 是z 方向上的流体速度( 或者等价于浅水高出水平底面的自由表面的 高度) ，k 是一个与临界浅水波波速有关的常数事实上，c h 方程早在1 9 8 1 年 由f u c h s s t e i n e r 和f o k a s 作为了一个抽象的双h a m i l t o n i a n 方程利用递归算子导出，在 时隔十二年后，c a m a s s a 和h o l m 物理地导出了c h 方程【l l 】，除了给出一个物理解 释他们还观察到了c h 方程极限情形k = 0 时，具有尖峰孤立波解( p e a k e ds o l i t a r y w a v o ) u = o e i 卜d l ，c 0 ，并且这些尖峰孤立波解是孤立子，即尖峰孤立子( p e a k e d s o l i t o n 或p e a k o n ) c a m a s s a ，h o l m 和h y m a n 1 2 】给出了c h 方程的p e a k o n 孤立子相互 作用的数值模拟d a i 【3 8 】独立地发现c h 方程也是描述超弹性杆中非线性波的物 理模型，让表示与预张力有关的径向拉伸m i s i o l e k 9 4 】给出了c h 方程的几何解释： v i r a s o r o 群上测地流的一个再表示 由于尖峰子能同时描述孤立子和波的破裂现象，而c h 方程是第一个被发现能 同时描述这两个现象的完全可积的浅水波方程，这就使得c h 方程自从推导出以 来，一直是浅水波研究领域中占主导地位的方程c o n s t a n t i n 以及他的合作者 2 0 ，3 2 系统地研究了c h 方程的h a m i l t o n 结构和可积性，并且研究了c h 方程在周期情形 和非周期情形下的谱问题和反散射问题c o n s t a n t i n 等【3 7 】研究了c h 方程的孤 立波解的轨道稳定性c o n s t a n t i n 和e s t h e r 【2 3 ，2 4 ，2 6 ，2 7 1 ，r o d r i g u e z b l a n c o 1 0 2 ，l i 和o l v e r 【8 1 1 ，d a n c h i n 【4 0 】以及m c k e 觚【9 2 】等分别研究了c h 方程的初值问题当初 值属于h 。，8 ；的局部适定性b y e r s 【1 0 以及h i m o n a s 和m i s i o l e k 【6 3 】分别研究 了c h 方程在低正则的空间中h 。，s 0 ，他们证明了尖峰孤立波解就是孤立子因此。d p 也具有孤立子和波的破裂现象d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m 【4 6 】证明了d p 方程可以作 一个恰当的k o d a m a 变换来得到这样，d p 方程也可以作为一个浅水波模型，并且它 和c h 方程一样有相同的渐进精度 d p 方程c a u c h y 问题获得了系统的研究y i n 【1 1 7 ，1 1 9 】证明了当初值u o 日a ，s 时d p 方程是局部适定的，并且还给出强解的爆破机制和c h 方程类似， d p 方程即存在有限时间爆破的强解 8 3 ，8 4 ，1 1 7 ，1 2 6 】，也具有关于时间整体存在的 强解【l1 7 ，1 2 0 】l e n e l l s 7 9 给出了d p 方程所有的弱的行波解的一个分类：光滑子，尖 角子，尖峰孤立子，紧孤立子，平坡子和复合行波类似于c h 方程的情形，h e n r y 6 0 证明了光滑解具有无限的传播速度l u n d m a r k 8 5 证明了d p 方程有激波解，e s c h e r l i u 和y i n 【4 8 证明了d p 方程具有周期激波解c o c l i t e 和k a r l , s e n 【1 6 】证明了d p 方程 具有不连续的熵弱解e s t h e r , l i u 和y i n 【4 8 】研究了d p 方程整体弱解的存在性和 唯一性他们弱解的正则性要比熵弱解要高，但他们提出的弱解很适合研究d p 方 程p e a k o n 解 值得注意的是，不管是c h 方程还是d p 方程，不是初值的光滑性，而是初值的形 状影响它们爆破现象的发生，如图l 。l 和图1 2 尽管d p 方程与c h 方程具有相似的 - - - - 4 p 、 | | 7 图l - l 有限时间爆破 一3 一 啼 一 i _ ，_ _ 图1 - 2 整体存在 中山人学博i ：学位论文 形式和性质，然而它们具有本质的差别这是因为d p 方程不仅具有失峰孤立子解和 周期尖峰孤立子解 1 2 1 】 u c ( t , x ) = c c o s h ( x - 1 c t 面- 硒x - 厂d 一- 1 2 ) , x er , t o ，c o ， 而_ r e 存在激波解【8 5 】 乱= 一赤s g n ( z ) e - i - l , k 0 ， 和周期激波解【4 8 】 嘶邛酾c o e h ( 1 2 ) 。1 帮，蚝r z c o ， 【0 ， z z - 另外它们的等谱问题也是不相同的【l i ，4 l 】与c h 方程的守恒率 ，( 钍) = y 如，e ( u ) = ( u - - 近) 如，f ( “) = f ( u + u 砭) 如 相比。d p 方程只有较弱的守恒律 如( u ) = 可如，昆( 让) = 秒u 如，尼( 缸) = u 3 如， 其中! ，= ( 1 一理) u ，口= ( 4 一磋) _ 1 t 由于不能找至i j d p 方程的任何一个守恒律来控 制波的日1 模，因此得到对波有界性的控制，这使得d p 方程很多问题变得很是不同 综上可知，尽管存在不同的浅水波模型能同时描述孤立子和波的现象，可是它 们的性质却具有显著性的差异从数学和物理的角度来说，研究包含c h 方程或者d p 方程，或者是与它们有密切联系的、具有物理背景的浅水波模型，更全面的认识浅 水波方程的孤立子和波的破裂现象是很有意义的 1 2 研究的问题和方法 本文主要研究包含了k d v 方程，c h 方程和d p 方程为其特殊情形的d g h 房车 热闹过或b 族非线性浅水波方程 t t q 2 t 正妇+ c o + ( b + 1 ) t 正+ 一y “z 铭= q 2 ( 阮+ u 蚝) ，t 0 ，z r c o e ) c a u c h y 问题的局部适定性，强解的爆破和强解的整体存在性以及整体弱解的存在 性和唯一性通过动量变换，借助于适当的g r e e n 函数的作用，我们通常能将浅水波 方程转化为形如 一4 一 第1 书绪论 象+ ) 秒= 地” o ，们) = t j o ， ( 1 1 ) 的抽象发展方程，其中t ，= ( ，t ) 是未知函数选取适当的函数空间，月l l j c a u c h y 问 题( 1 1 ) 的局部适定性往往通过k a t o 半群理论获得( 见附录a ) 这里先给出给出强解， 局部适定性的概念 定义1 1 给定b a n a c h 空间x 和y ，yqx ，a ：ycx _ x 是有界线性算子， f ：y _ y ，v o y 如果对任意o 0 ，c a u c h y 问题( 1 1 ) 都是局部适定的，我们称问题( 1 1 ) 是整体适定的 本文考察整体适定性的方法，一方面是利用守恒律；另外，我们也建立了方程 对应的l a 鲫l g e 坐标，通过建立先验估计，控制波的斜率的有界性来获得当生命周 期t 有限时，波在有限时间内产生奇性，我们说波在有限时间内爆破 定义1 4 我们称方程( 1 1 ) 的强解在有限时间内爆破，如果生命周期t 0 ( 1 - 2 ) 一5 一 中山人学博i ：学位论文 定义1 5 令u o l 若钍属于l 麓( 【o ，t ) ；l ) ，对所有的砂c 字( 【o ，”xr ) 满足等 式 z 1 上( 牡仇+ ，( 缸) 如) 如班+ f r 也o ( z ) 妒( 。，z ) 如= 。， s u u 称为是方程( 1 2 ) 的一个弱解如果对每个t 0 ，t 都是【0 ，t ) 上的一个弱解，则 称它为方程( 1 2 ) 的- - 个整体弱解 研究整体弱解的存在性，本文通过磨光初值，利用光滑初值对应的整体强解的 逼近建立先验估计来实现 1 3 本文结论 本文研究了一类浅水波方程：d g h 方程，b 族方程以及弱耗散b 族方程c a u c h y 问题的局部适定性，强解的爆破机制和爆破，强解的整体存在性以及整体弱解的存 在性和唯一性下面我们介绍本文所要研究的方程和获得的结果，具体的内容安排 如下： 第2 章我们考虑了一个具有线性和非线性色散项的可积的浅水波方程 ft k q 2 札溉+ c o u 霉+ 3 u u z + ，y t 正瑚= u ( o ，z ) = t l o ( z ) ， l i 缸( t ，z + 1 ) = 缸( ，z ) ， q 2 ( 2 t 正托+ u u 霉嚣) ，t 0 ，z r ， z r ，( 1 - 3 ) t 0 ，z r 这里常数q 2 和兰是长度标量的平方，c o 0 是无干扰的水在空间无穷远处的线 性波速，u ( t ，z ) 表示水的流速方程( 1 3 ) 作为一个新的描述在无穷远静止的浅水 层表面波无向性传播的模型是由d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m 4 5 】推导的，目前被称为 是d u l l i n g o t t w a l d h o l m ( d g h ) 方程他们还证明了该方程是一个完全可积的方程， 具有双h a m i l t o n i a n 结构和等谱性质等，并且具有守恒律 pr e ( 让) = ( u 2 + q 2 2 ) d x ，f ( t 正) = ( 让3 + a 2 u u ：+ c o u 2 一一y u ：) d x jj 注意到当o t = 0 时，方程( 1 3 ) r j 是k d v 方程：当a = l ，y = 0 时，方程( 1 3 ) 变为c h 方 程作为包含了k d v 方程和c h 方程为其特殊情形的d g h 方程，既具有它们各自的 性质，也具有不同的特性d g h 方程的c a u c h y 问题是局部适定的，对于充分光滑的 初值，即存在有限时间爆破的强解，也具有关于时间整体存在的强解，并且爆破现象 只能以波的破裂的形式发生它具有尖峰孤立波并且是孤立予 本章主要研究周期d g h 方程强解的爆破现象。并研究了强解的爆破速率和爆 破集，最后也证明了对应于光滑初值，强解存在时间的下半连续性首先，利用最新 一6 一 第1 章绪论 建立的s o b o l e v 不等式，通过细致的分析和估计，我们先给出了强解爆破的一个最佳 结果，然后我们还证明了存在一个常数0 i ，d g h 方程的c a u c h y 问题是局部适定的，然而d g h 方程存 在尖峰孤立波解，并且这些孤立波解是尖峰孤立子( p e a k o n ) ，可是它们不属于任何空 间日。，8 ；，因此我们需要在低正则的s o b o l e v 空间中考虑弱解的适定性，进而研究 尖峰孤立波的性质 受到文献【3 3 】的启发，本章对满足变号条件的初值u 0 h i ( r ) ，通过磨光初 值，进而利用光滑初值对应的整体强解的逼近来获得整体弱解的存在性首先我们 建立先验估计，这些估计能够保证所得到的整体强解存在子列在空间日1 中弱收敛 其次，利用b o c h n e r 空间中的分部积分与h e l l y 定理，我们能够得到方程中非局部非 线性项的收敛性，进而证得整体强解子列的弱极限是在分布意义下满足方程的弱 解应用a r z e l a - a s c o l i 定理，我们得到弱解关于时间的弱连续性；进一步，通过正则化 技巧，我们还证明- f e ( u ) 是d g h 方程的守恒量，注意到e ( t 1 ) 可以作为空间日1 的等 价范数，这样我们就能得到弱解关于时间的连续性最后，对方程两个弱解的差正则 化，建立差在空间1 ，1 ( r ) 中关于时间的一个局部估计，证明了整体弱解的唯一性 第4 章系统研究了一族渐进等价的浅水波模型 it t o t 2 t i 蛔+ c o + ( b + 1 ) u u = + ，y t 正m = o t 2 ( 阮z t i 嚣+ t t l t x x z ) ， u ( 。，z ) ：坳( z ) ， 三：，z r ( t - 4 ) l 牡 ，o + 1 ) = u ，z ) ，t 0 ，z r ， 其中q ，c o ，6 7 都是实数，这个模型称为周期b 族方程d u l l i n ，g o t t w a r d 和h o l m 【4 6 】 利用恰当的k o d a m a 变换证明了b 族方程( 当b 1 ) 是一族渐进等价的浅水波方程 d e g a s p e r i s 等【4 2 ，4 3 】通过p a i n l e v 6 分析证明了在b 族方程中只有三个可积的方程，即： k d v 方程( 当口= o ) ，c h 方程( 当6 2 和7 = 0 ) 和d p 方程( 当b = 3 和c o = , - f = 0 ) 一7 一 中山火学博一f ：学位论文 与c h 方程和d p 方程一样，对任何的6 且在q 0 时，b 族方程存在p e a k o n 解，同时也 具有孤立子和波的破裂现象对任何b 0 ，当内+ 7 = 0 时，方程( 1 - 4 ) 至少有以下三 个守恒律： r b ( u ) 助( u ) 屁( u ) f 。j 谢3 ， 厂三， 2 j 妒峨 = 妒一；( 嘉+ ) 如 与c h 方程和d p 方程相比，b 族方程的守恒律很弱，因而在实际的应用中。我们往往 只能获得较弱的一些性质 e s c h e r 和y i n 【5 0 】研究了直线情形时b 族方程的局部适定性，强解的爆破机制和 爆破现象，强解的整体存在性和整体弱解的存在唯一性从第2 章的结论我们知道。 浅水波方程在周期情形和直线情形时有很显著的差异，因而研究周期情形的b 族方 程是很有意义的并且，在周期情形时强解的g r e e n 函数表示式比直线情形时要复杂 的多，因此不能完全通过对直线情形时b 族方程做简单的推广来获得周期情形时的 结论由于b 族方程的守恒律较弱，因此我们需要通过建立周期b 族方程的l a g r a n g e 坐标来获得方程强解的更多的性质，这个性质在研究方程强解的整体存在性中起着 很重要的作用 本章研究了周期b 族方程c a u c h y 问题的局部适定性，强解精确的爆破机制和 爆破现象，强解的整体存在性以及整体弱解的存在性运用k a t o 半群理论，我们证 明了对任何的初值u o h s ( s ) ，8 ；，周期b 族方程c a u c h y 问题的局部适定性；对 于不同的实数b ，系统研究了周期b 族方程的爆破机制，这个结论不仅包含了c h 方 程和d p 方程的相应结论，还提出了一个新的结果：当b g ，方程的强解是整体存在的；从而当0 b 3 ，我们对周期b 族方程的整体存在的强解和有限时间爆破的强解给出了完整的刻画最后，利用磨 光初值方法，证明了周期b 族方程整体弱解的存在性与第3 章的结论相比，由于b 族 方程的守恒律很弱，因此我们需要增加初值不变号的条件，才能保证整体弱解的存 在性。并且所得到的弱解也具有较低的正则性 至此，结合e s c h e r 和y i n 【5 0 ，g u i ，l i u 和t i a n 【5 7 】对直线情形b 族方程局部适定 性。强解的爆破和强解的整体存在性的研究，b 族方程的性质已经有了一个相对比较 一8 一 第1 章绪论 完整的刻画然而，水波在传播的过程中不可避免的存在着能量的耗散，为了研究 耗散对水波传播过程的影响，我们很有必要去研究方程在耗散影响下的性质本文 第5 章就是出于这样的考虑，研究了弱耗散b 族方程 fu t d 2 u 红z + c o u z + ( 6 + 1 ) t t b + 屏托；q 2 ( 6 t 霉t k 蕾+ t 正t t 站雾) 一入( 亡) ( 乱一口2 z 互) ， b o ，蜒r ， it ( o ，z ) = 咖( z ) ， z r 。 o - 5 ) c a u c h y 问题的局部适定性，精确的爆破机制和强解的爆破现象以及强解的整体存 在性研究发现，弱耗散型方程强解的局部适定性，强解的爆破机制不受耗散项的影 响然后由于能量的耗散，我们只能在初值的形状较为陡峭的情形下，研究奇性产生 的问题通过建立弱耗散b 族方程的l a g r a n g e 坐标，我们发现e j 苫a ( 8 油丘y d z 是弱耗散 型b 族方程的一个守恒量利用这个守恒量，我们证明了当初值满足符号条件时。方 程( 1 5 ) 的强解也是整体存在的然而，从这个守恒量我们观察到，当时间趋于无穷 大时，动量”具有非常快速的衰减，这种衰减造成的影响是强解的日1 ，日3 模衰减到o ， 这一点与问题不具耗散作用时完全不同 1 4 记号和函数空间 本节给我们出常用的符号和函数空间，这些符号都是标准的 【 r + ，s = r z 分别表示实数集，非负实数集和单位长度的圆设x ，y 为b a n a c h 空间，yqx 表示ycx 且为连续嵌入给定厶，f x ，死= 1 ，2 ， 厶。，表示厶弯f 的弱拓扑意义下收敛到，t l t ，侥乱，窑均表示u 关于时间变量t 的 偏导数，包让，祟表示u 关于空间变量z 的偏导数表示关于变量z 的s 阶的非齐 次导数满足 口z 乒a 。， ) = ( 1 + l f l 2 ) 盖巧，w s ( 酞) 其中厂表示f o u r i e r 变换： 凡( ) = ( 2 7 r ) 咖e 砌f t ( z ) 如 加) n 1 表示光滑子 陬( z ) ：；( 上p ( f ) 蟛) 一1 n p ( n z ) ，z r ，n l ， 其中p c ( r ) 定义为 中山人学博l ：学位论文 如卜 e i l 如f o 巾ri x l 1 , 上尸( r ) 表示r 上全体p 幂可积的可测函数构成的b 觚a c h 空间，其范数定义为 忆，= 创蒜苗蓑： 日8 ( r ) 表示经典的s o b o l e v 空间 t i s ( r ) ：f l u l i h ( r ) o o ) ，其范数定义为 删删刮州1 眯1 2 ) 引伽) = ( 上( 1 咪| ) 2 l 。) 5 s ( r ) 表示s c h w a r t z 函数空间 牡c o o ( r ) ：对任何非负整数m 和詹，都成立 s u p z r ( 1 + i z l 2 ) 詈i 牡( 七) ( z ) l 0 0 ) m (