（应用数学专业论文）banach空间中几类脉冲微分方程解的存在性.pdf

中文摘要 中文摘要 本文主要研究半线性发展脉冲微分方程解和正解的存在性，以及脉冲微分方程 终值问题解的存在性 全文分为四章 第一章介绍脉冲微分方程问题的应用前景与研究展望，给出结论需要的预备定 理，并介绍主要结论 第二章研究半线性发展脉冲微分方程解的存在性本章通过将原微分方程问题 转化为相应的积分方程，在合适的条件下，运用s c h a u d e r 不动点定理获得解的存在 性，并构造例子说明所得结果的应用 第三章研究半线性发展脉冲微分方程正解的的存在性我们采用相同的方法利 用抽象锥上的不动点定理，在合适的条件下获得正解的存在性，并构造例子说明所 得结果的应用 第四章我们采用不动点定理的方法，获得了b a n a c h 空间中脉冲微分方程终值 问题的解的存在性 关键词： 脉冲微分方程；正解；线性算子半群；终值问题；锥 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fs e m i l i n e a re v o l u t i o ni m p u l s i v ee q u a t i o n sa sw e l l t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e m a n dt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rt e r m i n a lp r o b l e m so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa l s oc o n c e r a e di n t h i st h e s i s t h et h e s i sc o n t a i n sf o u rp a r t s w ei n t r o d u c ea p p l i c a t i o na n da d v a n c ei nr e s e a r c ho fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， p r e l i m i n a r yf o rf i x e dp o i n tt h e o r e m s ，a n dm a i nr e s u i t si np a r tl t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s “s e m i l i n e a re v o l u t i o ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s c o n s i d e r e di np a r t2 t h ee x i s t e n c ei so b t a i n e du n d e rt h es u i t a b l ec o n d i t i o n sb yt r a i l e r i n g o r i g i n a lp r o b l e m si n t oi n t e g r a le q u a t i o n sa n dr e r t i n gt of i x e dp o i n tt h e o r e m e x a m p l e i sg i y e l lt oi l l n s t r a t em a i nr e s u l t i np a r t3 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o o fs e m i l i n e a re v o l u t i o ni m - p u l s i v ed i f f e r e n t 妇de q u a t i o n su n d e rt h es u i t a b l ec o n d t i o n sh rn s i n gt h e8 a , m em e t h o d a n d e x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t em a i nr e s u l t i nl a s tp a r t ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt e r m i n a lv a l u ep r o b l e m s o fi m p u l s i v ed i f - f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c ei sc o n s i d e r e db yu s i n gt h em e t h o do ft h ef i x e dp i o n t t h r o r e m s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p o s i t i v es o l u t i o n s s e m i g r o u p so f l i n e a ro p e r a t o r s ，t e r m i n a lv a l u ep r o b l e m s ，c o a e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得孚敷文学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 裔彩乙签字日期：a 一了 年4 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解序敝扎季有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权劳舷天锕以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：磊识 导师签名： 夕匆彦 签字日期：a 1 年m 月x f 日签字日期： 矽叼年月艿日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯地址：邮编： 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍脉冲微分方程问题的应用前景和研究进展，然后给出本文所需要 的预备定理。最后给出主要结论 1 1 应用与展望 许多实际问题的发展过程往往有这样的特征- 在发展的某些阶段，会出现快速 的变化为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的持续 期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的这种瞬时突变现象通常称之为脉冲 现象 脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模型往往可归 结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对 状态的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律近年最新科技成果表明 这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学，医学、经济领域均得 到重要应用譬如，可应用于大型空间航天器的减振装置卫星轨道的转换技术； 可应用于机器人的研制；还可以应用于神经网络、混沌控制机密通讯的研究 下面仅以养鱼业为例( 见 1 】) 来说明脉冲微分方程在实际生活中的应用，以最 简单的l o g i s t i c 模型来描述之，写为 一( 1 一昙) 1 b a n a c h 空间中几类脉冲微分方程解的存在性 其中r o 为内禀增长率，k 0 为环境容纳量，我们在某一时刻= 下k 时捕鱼( 或 放养) 鱼量为以( 当以 0 时为放养，当以 0 时为捕捞) 按照脉冲微分方程来建 模，除了满足( 1 1 ) 外还要满足 z ( 礓) = z ( t ) 一z ( 百) = 以 ( 1 2 ) 有时捕鱼量( 或放养量) 不一定是常量，而与当时养鱼池内鱼的密度有关，则可写成 2 = “( z ) ，当t = 飞时 常用的为z = r z ，其中r ( 一1 ，o ) ，当r = 亿时在实际生活中，我们感兴趣的是 周期捕捞( 放养) ： 亿+ 1 = 仇+ t 总所周知，在没有脉冲作用的时候，当初始值z ( o ) k 时方程( 1 1 ) 的解单调下降在实际生产中，在池塘养鱼 的密度是不会超过最大容纳量k 的，如果我们希望在养鱼池内，鱼的密度不要超 过( ) ，现假设初始密度z ( 0 ) = n + c ( c o ) 由于在此情况下鱼的密度随时 间的增长，必在某一时刻r 时有z ( t ) = n ，这时再收获鱼量g ，使其回到+ c ，即 在t 时刻时有 z = c ( 1 3 ) 通过计算我们知道这时候脉冲微分方程( 1 1 ) ，( 1 3 ) 有一个t 周期解 0 t z k t t 忙+ 1 ) e 第一章绪论 其中 r = ；h 等蒜为 这样我们就通过增加脉冲作用使一个非周期解产生出个周期解，从而在实际 生产中实现了走可持续发展道路的可能 脉冲微分系统的研究始于1 9 6 0 年v dm i l m n 和a d m y s h m q 的工作自2 0 世纪8 0 年代，逐渐引起微分系统学者、专家的关注并致力于从理论上对其进行研 究到8 0 年代末对其研究已有一些重要成果发表譬如，关于依赖状态的脉冲微分 系统解的基本理论已建立，关于脉冲微分不等式的一些重要结果已出现，关于脉冲 微分系统稳定性理论的基本定理已得到等这些结果已被v l a k s h i m i k a t h a m 等进行 了系统总结，其特点是所考虑的系统只含脉冲而不含时滞所得结果属该研究领域 9 0 年代前初始而基本的成果 而自9 0 年代以来脉冲微分系统更加引起微分系统学者的重视与兴趣，对其研 究日趋活跃，已逐渐形成非线性微分系统研究领域的国际新视点作为非线性微分 系统领域的个分支，巳获得一批新的重要研究成果，特别是9 0 年代末至本世纪初 具有界滞量的脉冲微分系统解的存在性研究取得重要成果以来，具无穷延滞的脉冲 泛函微分系统解的存在性定理相继建立在脉冲微分系统的基本理论、边值问题 稳定性问理论等方面都获得了一批重要的学术成果，如得到了具有界滞量或无穷延 滞的脉冲泛函微分系统解的惟一性定理，整体存在性定理、延展定理及解的连续依 赖性定理；建立了具依赖于状态的脉冲微分系统的比较原理；利用高阶导数y 函数 法，变分y 函数法，部分变元y 函数法等新方法；给出了脉冲摄动微分系统脉冲 3 b a n a c h 空间中几类脉冲徽分方程解的存在性 混合微分系统、脉冲泛函微分系统等关于两个测度的稳定性定理；建立了变动时刻 的脉冲微分系统的周期边值问题；有限区间上和无穷区间上二阶脉冲微分系统的边 值问题及具有无穷延滞的脉冲泛函微分系统的边值问题等文献 2 】对上述结果都 做出了系统性地总结 脉冲微分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战性在理论上，它综合了连 续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的范围本文正是在这种影响下 做了一些研究工作 1 2 预备定理 定义1 1 设( x ，p ) 是一个距离空间如果对于映射t ：( x ，p ) 一( x ，p ) ，存在 0 o 1 ，使得p ( t z ，t y ) a p ( x ，”) ( 忱，y x ) 成立。则称t 是一个压缩映射 定理1 1 设( x p ) 是一个完备的距离空间t 是( x p ) 到自身的一个压缩映 射，则? 在x 上存在惟一的不动点 定义1 2 若a 将d 中任何有界集s 映成e 中的列紧集a ( s ) ，则称j 4 是映d 入e 的紧算子 定义1 3 若算子a ：d e 是连续的，而且又是紧的，则称a 是映d 入e 的 全连续算子 定理1 2 设e 为b a n a c h 空间，d c e 为e 中的有界凸闭集，算子s ：d d 4 第一章绪论 为全连续映射，则算子s 在d 上必有不动点 定义1 4 设e 是实b a n a c h 空同。如果p 是e 中某非空凸闭集并且满足下 面两个条件， ( i )z p ，a 0 辛a z p ； ( j ) z 只一z 尸辛z = 0 ，其中。表示e 中零元素； 则称p 是e 中的个锥 定理1 3 1 2 5 1 设n 1 ，q 2 是偏序的b a a a c h 空间e 的有界开集，岔为其中的一 个锥，0 n 1c 面c n 2 若算子s ：矿n ( - 2 n 1 ) 一e + 为全连续的，且满足： 对比e + n m l ，都有s z z 不成立；对比ee + n 锄2 ，都有鼬z 不成 立 则算子s 在e + n ( _ 2 n 1 ) 上必有不动点 定义1 5 1 1 6 】设e 为个b a n a c h 空间t c t ) ( 0 t 0 , v t 0 均有 5 b a n a c h 空间中几类脉冲徽分方程解的存在性 t ( t ) z 0 成立，则称岛一半群f 丁( t ) ：t 0 ) 是正的 1 3 主要结论 近年来，脉冲微分方程的研究在数学与工程科学方面引起了人们极大的兴趣， 国内外许多学者都对脉冲微分方程进行了研究，得出了大量有价值的结果，参见文 献【1 12 】 众所周知，许多含时问t 的偏微分方程化为b a n a c h 空间中的发展方程时，都 含有一个无界闭算子a ， 对应于线性偏微分算子，形式如下： = a z + f ( t ，z ) ( 1 4 ) 当a = 0 时，( 1 4 ) 式便化成了抽象空间中的一般脉冲微分方程，因而( 1 4 ) 式是一 类较广泛的抽象微分方程最近国内学者对抽象空间中半线性发展方程进行了研 究，见文献【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，i s 其中文献【15 】利用算子半群理论和锥压缩不动点定 理建立了偏序的b a a a c h 空间中半线性泛函微分方程全局正解的存在性 受文献【1 5 】的启发，本文利用s c h a u d e r 不动点定理在合适的条件下获得了抽象 空问中半线性发展脉冲微分方程解的存在性；利用锥压缩不动点定理在合适的条件 下获得了抽象空间中半线性发展脉冲微分方程正解的存在性 关于终值同胚的研究可参考f 8 j ，m f 2 9 】| 受文献 6 j 6 的启发，本文获得了抽象 空间中脉冲微分方程终值问题解的存在性 6 第二幸半线性发展脉冲崔分方程解的存在性 第二章半线性发展脉冲微分方程解的存在性 本文考虑b a n a c h 空间( e ，1 i ) 中半线性发展脉冲微分方程c a u c h y 问题 i 圣= a x + ( t ，$ ) ，t 1 0 ，叫，t t j , ， z = z ( t ：) 一z ( 坛) = “扛o k ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 2 1 】 【z ( o ) = x 0 整体解的存在性，其中( 2 1 ) 式中的j 4 是一个紧的c 半群 t ( t ) ：t2o ) 的 无穷小生成元；x ( t i - ) 、z ( t ) 分别表示z ( ) 在t = t k 处的左极限，右极限； 0 t 1 t 2 ( t 。 d 我们利用1 2 中的s c h a u d e r 不动点定理。在合适的 条件下，证明了( 2 1 ) 解的存在性 2 1 准备工作 如上所设( e ，l1 ) 为b a n a c h 空间，0 t l t 2 0 ，d 0 ，使得l ( t ，z ) l 曼c + d lz i ， v ( t ，z ) j e ； ( 地) l k ：e e 连续。且存在常数m 0 ，q k 0 ，k = 1 ，2 ，m 使得l “( z ) f p k + q k iz ，比f ； ( 凰) 如+ 詈弧 壶，其中耳如引理2 1 中所示 8 第二幸半线性发展脉冲徽分方程解的存在性 2 2 主要结论 引理2 4 在假设( m ) ，( 娩) 和( 1 3 ) 的条件下，上述( 2 3 ) 式所定义的算子s p c i j , 司一p c i j , e 】是连续的 证明v n c p g 司满足鼽一珈( n o o ) ，其中蛐p c i j , e 则由引理2 1 知j ，有 l ( s n ) ( 一( s f 0 ) 0 ) 1 = i 上t 0 1 h “毛“卜“ 似”幽+ 。象。t o 。曲m ( t 。) - 枇( “) ) ) i 纠上t o 1 h “文“s 吖扣册。) ) ) d s | + 。丕。旧( 卜“肌( 们川“( 删 | 上9 “) j 如胁。 - ，。渤扣) ) 陋+ 。象。 丁”如川地( 蜊一z k ( y o ( t k ) ) 上l t o 一5 ) i i ，( s ，h ( s ) ) 一，( 5 ，伽( s ) ) l 幽十三it ( t 一“) i i 几( ( k ) ) 一厶( 珈( “) ) i 上i ，( 。，撕( 8 ) ) 一，( 5 ，珈( 5 ) ) i 出+ k i ( 鲰( “) ) 一厶( 加( “) ) i ， 因为当n 一时y n y o ，即1 ly n y o i i = s u p l ( ) 一y o ( t ) l 一0 ，所以当n 一 j 时。y t ，有( 茚一y o ( t ) l 一0 ，故由，和矗的连续性知； 所以 f ( s ，h ( s ) ) 一( 8 ，珈( 8 ) ) j o ( n o o ) ，妇j “( h ( “) ) 一z k ( o ( t k ) ) l 一0 m o o ) ，= 1 ，2 ，m ， ( s 鲰) ( ) 一( s 珈) ( t ) 1 一o ( n o 。) ，v t ， 9 b a n a c h 空问中几类脉冲微分方程解的存在性 引理2 5 在假设( 日1 ) ，( 如) ，( 胁) 和( 风) 的条件下，如( 2 3 ) 所定义的算子s p c i j ，e 1 一p c i j , e l 是p c i j , 司中的紧算子。从而是全连续算子 证明对于单位球bcp c i j , 司，下证s ( b ) 是相对紧的由a s c o l i - a r z e l a 定理知 只需证明s ( b ) 在每个以上是等度连续的，s ( 日) 在，一致有界，且v t j ，_ s ( 日) ( ) 是相对紧的 首先v z b ，v t j ，由假设( s 2 ) ，( h 3 ) ，( 风) 可得 ( 5 j ) o ) l = r o ) 王o + f 。r ( t s ) ( s ，z o ) ) d s + t ( t 一“) o ( “) ) i( 5 j ) o ) l = r 0 ) 王o + 一 ，z 0 ) ) d s + 一“) 0 ( “) ) i 0 0 o 瓦r t 蚓+ f 肛h 嘶) ) 幽。乏。邢“邢枷 曼kz oi + 耳厂 , 0 k f 知i + k ，4 j o f ( s ，z ( 5 ) ) ld a + k l “( z ( k ) ) 0 “ t 2 ，当l t l 一t 2j 6 时，b 有 i i ( s z ) 0 1 ) 一( s z ) ( 产) 1 l = f f f ( c 1 ) z 。+ j ( o e lt ( t l s ) ，( 。，。( s ) ) d s + 。t ( t 1 一) 如( z ( t e ) ) 第二章半线性发展脉冲微分方程解的存在性 一t ( t 2 ) z 。一0 t 2 t ( l 2 - - 8 ) f ( 。，z ( s ) ) d s - 。“。t ( t 2 - t k ) i k ( 。( t k ) ) 0 i i ( t i ) x o - - t t ( t t ( t 2 ) 。i i + i i o ”t ( t 1 一s ) 小，z ( s ) ) d s 一o 一咿一s ) m ，z ( s ) ) 出i i )2 ) 。 + 1 5 ) ，0 ，z ( s ) ) d s t ( 2 一s ) ，( s ，z ( s ) ) 出 + i i t ( t 1 一“) 厶( z ( “) ) 一t ( t 2 一“) 厶( 。0 k ) ) l i o t k g l o t k t 0 s i it ( t 1 ) z o t ( t 2 ) x oi i + i it ( t 1 8 ) f ( 8 ，z o ) ) 一t ( f 2 8 ) f ( 8 ，z ( 5 ) ) | id s 1i + f ，i it ( t 2 5 ) m ，z ( 5 ) ) i i 幽+ i it ( t 1 一t ) i d z ( t i ) ) 一t ( t 2 一“) 厶( z ( t t ) ) i i j 一1 当t 1 一t 2 时由引理2 2 知， t ( ) ，t2o ) 按一致算子拓扑连续，所以s ( b ) 在每一 个 上是等度连续的 最后证明y t 正s ( b ) ( t ) 是相对紧的当t = 0 时，s ( b ) ( o ) = x 0 为单点集；当 0 0 满足0 1 t 一“i ，令 ( & z ) ( t ) = t ( t ) x o + 广。t ( t s ) f ( s ，z ( s ) ) 幽+ t ( t t ) ( z ( “) )( & z ) 0 ) =+ ft 0 一，z ( s ) ) d s + 乏： t 0 一“) ( z ( “) ) j o o 矗= t c ，一f = t ( ) z o + t ( e ) 上 t ( 。一e 一8 ) m ，z ( 5 ) ) 出 + t ( e )t ( t 一一k ) “( 互( “) ) 0 t i , t - f 其中z b 因为t ( e ) 为紧算子，所以k ( ) = ( s z ) ( ) ：z b ) 在e 中是相对紧 的 事实上，i ( s z ) ( t ) 一( & 。) ( t ) i 正。it ( t j ) ，( s ，$ ( 5 ) ) i 幽e k ( c + d ) ，0 0 ，令d = 扣p c i j , e l ：0 。临肼 ， 霄一l “一。 则d 是p c i j , 中的有界凸闭集“1 我们可以断言算子s ：d d ，即s ( d ) cd 事实上，由引理2 1 和m 的取 法知 “剐圳i - s 吲u p 旧。净0 + 上t ( t - s ) f ( s ，引曲) 幽+ 。孔卜“川酬) i ：u p ( i t ( t ) z o i + 1f t o s ) f ( s ，z o ) ) d 。i + l t ( t 一“) 厶( z ( “) ) i ) e j 0 j o o 太t 、。 ss u p ( k x oj + k fj f ( s ，z ( s ) ) j 山+ 耳j 矗( 。( 如) ) i ) $ e jj 0 o 旅t k x o | + 舶印酬id 。+ k s 剧u p t e d j o 。乏。圳) l m jn 暑 s 耳+ k 上删id s + 圣i 喇圳 k 1x o i + k a ( c + d iz i ) + k p + k 弧lz i k = lk = l m 由引理2 4 和引理2 5 知，算子s 为d 上的全连续算子由定理1 2 知，算子s 在口上至少存在一个不动点，故方程( 2 1 ) 在p c i j , e 中至少存在一个解 2 3 应用举例 本节给出定理2 1 在抛物型偏微分方程中的一个应用设，= 【o ，1 】，“= ，= 八( ；) ，n 1 为整数，n 为r ”中有光滑边界的有界集考虑下列的抛物型偏微 第二章半线性发展脉冲微分方程解的存在性 分方程 筹= 儿+ ，( t ，u ) ， t nx ， u ( ，0 ) = u ( z ，1 ) ，t a n 正 ( 2 4 ) ( u ( z ，；) ) = u 扛，；) + ，t = ， u ( 王，0 ) = 帅( z ) ，z 孬， 其中坤，u ) = c o s t + 和( z ，f ) s i n u ( z ，f ) ，生成元j 4 = 量n 暑n 叼( z ) 禹一i 登= l 啦( z ) 矗一 d 0 ( z ) ，a 中的系数叼( z ) ，啦( 。) ，n 0 ( z ) 在n 中是h 6 l d 连续的，则a 是紧的压缩半 群 显然k = 1 ，d = l ，c = 1 ，d = ，m = q l = ，所以假设( z b ) ，( 凰) 和( 凰) 均满 足故方程( 2 4 ) 至少存在一个解 1 3 b a n a c h 空间中几类脉冲徽分方程解的存在性 第三章半线性发展脉冲微分方程的正解 设( e ，1 1 ) 为一个b a n a c h 空间。e + 为e 上的一个锥，e + 诱导e 中的一 个偏序关系s ( 或2 ) ，即对z ，y e ，zs 当且仅当一z e + ，那么( e i i ，) 就 构成一个偏序b a n a c h 空间以下总假定e 就是一个偏序的b a n a c h 空间 本文考虑偏序b a n a c h 空间( e ，i 【，) 中具有脉冲作用的半线性发展微分方程 c a u c h y 问题 = 血+ f ( t ，$ ) ，t 【0 ，a 1 ，t t k z = 。( ) 一z ( ) = 矗扛( ) ) ，七= l ，2 ，一，m ， ( 3 1 ) o ( 0 ) = z oz o 矿 整体解的存在性，其中( 3 1 ) 式中的a 是e 上的一个紧的c 扣半群 t ( ) ：t o 的无穷小生成元； z ( ) 、z ( t ) 分别表示z ( t ) 在t = “处左极限、右极限； 0 t l t 2 一 t m o 3 1 准备工作 如上所设( e ，| i ，) 为b a n a c h 空间，0 t l t 2 t 。 0 , v t 0 均有 t ( t ) x 0 成立，则称c b 一半群 2 ( t ) ，t 0 ) 是正的 定义3 a 1 6 】设 t ( t ) ：t 0 是e 上的一个c o - 半群，若v t 0 ，算子 t ( t ) ：e e 是紧的，则称c o - 半群口( t ) ，t o ，是紧的 引理3 1 1 1 8 】设 丁( 亡) ：t o ) 是e 上的一个c 卜半群，则3 k21 ，s t 0 t ( t ) i i k ，v t j 引理3 2 1 1 6 j 设( r ( t ) ：t2o ，是e 上的一个紧岛- 半群，则( t ( t ) ：t o 按 一致算子拓扑连续 由方程( 3 2 ) 我们可以构造算子s ：p c i j , 司一p c i j , 司，其定义如下， ( s x ) ( 幻钉( f 净o + 上t o q ) ，扣，缸神灿+ 。# 州卜“m 扛。) ，“ ( 3 。3 ) 记p c + = p c i j ，e 1 = 忙e c j , 司：。( t ) o ，v t j t ，其中0 为e 的零元 显然p c + 非空所以方程( 3 1 ) 正解的存在性转化成算子s 在p c + 上不动点的存 在性 我们先陈述本文的主要结果； 定理3 1 设p c + 为p c i j , 司的一个正规锥且下列条件成立， ( h 1 ) a 生成的岛一半群 o ，= 1 ，2 ，m ，使得1 “( z ) i p k , v x j 1 5 b a n a c h 空间中几类脉冲徽分方程解的存在性 则对v 。o p c + o ) ，方程( 3 1 ) 至少有一个全局正解孟( f ) ，t j 3 2 主要结论 在给出本文的证明之前。我们先证明几个重要的引理 引理3 3p c + 为b a n a c h 空间( p c i j , 司，”i i ) 上的正规锥，且其正规常数为 证明容易验证p c + 为p c i j , e 1 的个锥假定0sz y ，。，y p c ”，则 v t j 有0 z ( t ) y ( 0 从而由矿的正规性知，v t j 有陋( ) l j v l u ( t ) 1 故有 1 lz 临n0yl i 成立： 引理3 4 若 p c + ，则詹h ( s ) d s 0 ，对v t j 证明对v t j o ，有 ( 5 ) 在【o ，q 上是连续的且 ( s ) o ，v 5 0 ，q ，所以 名h ( s ) d s20 , v t 而当v t 时，砖h ( o ) d s = 名1h o ) d s + 丘h ( e ) d s ，显然 后h ( s ) d a o , v t j 1 同理可得，启h ( s ) d s 0 ，对v t j 引理3 5 在假设( h 1 ) ，( 晚) ，( 凰) 和( 凰) 的条件下上述( 3 3 ) 式所定义的算 子s ：p c + 一p c + 是连续的 证明首先证明s ：p c _ 一p c + 事实上，由t ( t ) 的强连续性及，i k ( k = 1 ，2 ，m ) 的连续性易知( s x ) ( t ) 关 于t 是连续的由2 0 0 知t ( o z o 0 ，v t p c + ；对v z p c + ，由( e r 2 ) 知 ( t ，z ( s ) ) o ，v s ，；又由( h i ) 、( 彤) 知，映射s t ( t s ) ，( 。，z ( s ) ) 对8ef 0 ，t 】是 连续的从而由引理3 4 知( & ) ( t ) 0 ，v t j 故s ：p c + 一p c + 设 cp c i j , 司满足枷一u o ( n 一。) ，其中如p c i j , 司则由引理3 1 知 1 6 第三章半线性发展脉冲微分方程的正解 y t j ，有 p 撕儿”一( s y o k t 】| = i i o 玎卜计( ，扣胁。) ) ，。册。) ) 冲+ 。象。玎卜“) ( 叫“) ) “o 础) ) i 纠1 0t oq h “毛州s ) ) ，( 8 ，蛐扣”) d s | + 。乏。旧o “。m o 。) - 州纵“) ) ) | 上旧o “) | ”( s m 。”扣瑚扣) ) 旧+ 景。i 州卜“) i i z k ( y n ( “”“( 珈。旬) 上i t ( t - - s ) i i ，( 5 ，( 。) ) 一，( a ，珈( s ) ) i 幽+ 圣i t ( t 一“) i i 厶( ( “) ) 一t ( y o ( t k ) ) i k 上i f ( s ，( 8 ) ) 一，( 加( 8 ) ) id s + k k = l i “( 鼽( “) ) 一厶( 加( k ) ) l ， 因为当n 一时y n y o ，即1 i 一y oi i = s u p ( t ) 一y o ( t ) i 一0 ，所以当n 一 f e j 时，v t j 有( t ) 一加( t ) l o ，故由，和“的连续性知， 所以 1 ( 8 ，( s ) ) 一i ( 8 ，加( j ) ) i o ( n 一) 怕j 厶( 鼽( “) ) 一i k ( y o ( t k ) ) i o ( n o o ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( s ；h ) ( t ) 一( s u o ) ( t ) i ，0 ( n ，o o ) ，v t j 引理3 6 在假设( h i ) ，( 恐) ，( 凰) 和( 凰) 的条件下，如( 3 3 ) 所定义的算子 s ：p c i j , 司一p c i j , 司是p c i j , 司中的紧算子，从而是全连续算子 证明对于有界集bcp c i j , 司，下证s ( b ) 是相对紧的由a s c o u - a r z e l a 定理知只需证明s ( s ) 在每一个以上是等度连续的，s ( b ) 在，一致有界，且 y t j ，s ( b ) ( t ) 是相对紧的 首先妇b ，v t j ，由假设( 凰) 知，b l 0 ，使得i f ( t ，z ( t ) ) i 工 1 7 b a n a c h 空间中几类脉冲微分方程解的存在性 再由假设0 日1 ) ，( f 1 3 ) 可得 p 功o ) i = | 玎t ) 知+ o 州卜町，( 毛烈) 幽+ 。未。t 。叫曲蹦叫“) ) j s i t ( t ) z o l + 1 t ( t s ) f o ，正( 8 ) ) d 5 l + l t c t t ) “扛( “) ) 0 o五太 s 引知| + 耳上l ，拈一( 枷i 穹州。酬) l sk l2 0 i + k l a + k 1 “( 。( “) ) i k = l skx o i + k l a + k m 取：k i2 0 i + k l o + 耳曼肌，则忱b ，j , f ( s z ) ( t ) l s m o ，所以s 旧) 在， # = i 上一致有界 其次对于每个 ，其中k = 1 ，2 ，m v t l ，2 以，不妨设t 1 t 2 ，当l t l 一t 2 l 5 时，比b 有 1 1 ( ) ( 1 ) 一警( 门i i = “t ( t 1 ) 知+ ft ( t 1 一s ) f ( s ，z ( 5 ) ) d j + t ( t 1 一“) “( z ( “) ) 0o o 五二t 1 一t ( 产) z o f t ( 产一s ) ( s ，z ( s ) ) d s 一t ( t 2 一t k ) l k c z c t k ) ) i i o o o ：不庐 s l lt ( f 1 ) 知一t ( t 2 ) z 。i i + i ij ( o ：t ( t 1 一s ) ，。，。扣) ) 出一f o 户t ( t 2 一目) ，扣，z ( s ) ) d so + i i t ( t 1 一t d l kc z ( t k ) ) 一t ( 产一“) “扛( “) ) 0 o t t t t i o t k l 2 i it ( t 1 ) z 。一? ( 产) z 。i i + ，oi it ( t l 一8 ) ，( 8 ，z ( s ) ) 一t ( t 2 一s ) ，( 。，z ( s ) ) i id 8 j o 十上i it ( t 2 叫m 州) i i 幽+ 薹i it ( t 1 - t i ) i | ( 喇) 叫产一t o h ( 喇) i i t t l i it ( t 1 ) 2 0 t ( t 2 ) 。oi i + l i it ( t 1 一s ) 一t ( t 2 8 ) i id s j o + k l i t l - t ：l + e 一】i i t ( 。1 一“) - t ( 2 一t i ) 0 p k 第三章半线性发展脉冲徽分方程的正解 当t 1 一t 2 时由引理3 2 知， t ( t ) ，t o ) 按一致算子拓扑连续，所以s ( b ) 在每一 个以上是等度连续的 最后证明v t 正s ( b ) ( t ) 是相对紧的当t = 0 时，s 饵) ( 0 ) = 。o 为单点集； 当0 0 满足0 e j t t k l ，令 ( 最z ) ( t ) = t ( t ) x o + ft ( t s ) ，( 5 ，z 0 ) ) d s + t ( t t ) i k ( z ( t d ) o o o 乏一c = t ( t ) 。o - i - 丁( e ) t o 一一s ) f ( s ，z ( s ) ) d s + t ( e )r ( 亡一e 一“) 丘( z ( “) ) ， o “ t 一 其中b 因为t ( e ) 为紧算子，所以k ( t ) = ( ( z ) ( t ) ：z b 在e 中是相对紧 的 事实上，i ( ) ( t ) 一( 最z ) ( t ) l j 量。jr 0 一s ) ，( 8 ，z ( 8 ) ) id s e ( c + d ) ，0 t 曼d 这意味着存在一族相对紧集( k ( t ) ) o “ i ，它无限逼近集合f ( s z ) ( ) ：z b ，从而 s ( b ) ( t ) 是相对紧的所以s ：p c i j , 司一p c i j , e 】是p c i j , e 】中的紧算子 定理3 1 的证明对任意固定的实效口记n 口= z p c ：| | z 怪田，p 印= p c + n n 口，则a p 瞄= p c + n i ：并b 由引理3 1 ，对任意固定的知p c + ( 0 ) ，s u p i t ( t ) x o i ：t n 是一个有限的 正常数，记为t ( i ) 取实数r l ，0 r l 磊断言t & 毛对比o p c r 。 反证之，若上述断言不成立，则j i a p c 。，使得船i 成立此时， 锄，即) 丁驸t t ( 抛酬幽+ 。t ( 川汕( 础枷，v t j _ 由引理3 4 及( 皿) 和( 凰) 知， r ( 亡一8 ) f ( 8 ，i ( s ) ) 出0 ，v t