复变函数总复习.ppt

1,第一章复数与复变函数,1.复数代数运算,2.复数的各种表示法,3.乘幂与方根运算公式,4.复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2,解,3,解,4,解,5,例5满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.,解是实数轴,不是区域.,是以为界的带形单连通区域.,解,6,是以为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.,不是区域，因为图中,解,解,在圆环内的点不是内点.,7,例6函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？,解,又,于是,表示平面上的圆.,(1),8,解,表示平面上以为圆心，为半径的圆.,9,第二章解析函数,1.解析函数的概念；,2.函数解析性的判别（C-R方程）,3.几个常用初等函数,10,3.初等解析函数,1)指数函数,11,2)三角函数,12,(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,13,其它复变三角函数的定义,14,3）对数函数,因此,15,16,4)幂函数,17,典型例题,证,18,19,例2函数在何处可导，何处解析.,解,故仅在直线上可导.,故在复平面上处处不解析.,20,例3设为解析函数，求的值.,解设,故,由于解析，所以,即,故,21,设为平面上任意一定点,当点沿直线趋于时,有,解,例4研究的可导性.,22,当点沿直线趋于时,有,例4研究的可导性.,23,例5解方程,解,24,例6求出的值.,解,25,解,例7试求函数值及其主值:,令得主值:,26,第三章复变函数的积分,1.复积分的计算公式及基本性质,2.复积分的基本定理,3.柯西积分公式与高阶导数公式,27,积分存在的条件及计算,（1）化成线积分,（2）用参数方程将积分化成定积分,28,4.积分的性质,29,30,闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,31,32,柯西积分公式,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,33,高阶导数公式,34,调和函数和共轭调和函数,任何在D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.,35,定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,36,典型例题,例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.,解,37,说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.,38,解,分以下四种情况讨论：,39,40,41,42,43,解,44,解法一不定积分法.利用柯西黎曼方程,45,因而得到解析函数,46,解,例8已知求解析函数,使符合条件,47,48,第四章级数,1、复数列、复级数收敛充要条件,2、幂级数收敛半径求法,3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数,49,常见函数的泰勒展开式,50,51,将函数展为洛朗级数的方法,(1)直接展开法,52,典型例题,例1判别级数的敛散性.,解,发散，,收敛，,53,典型例题,例1判别级数的敛散性.,解,54,解,收敛,收敛,典型例题,例1判别级数的敛散性.,55,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,典型例题,例1判别级数的敛散性.,56,例2求下列幂级数的收敛半径,解,57,58,分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.,解,例4求在的泰勒展式.,解析函数展为幂级数的方法,59,由于,60,例7,分析：利用逐项求导、逐项积分法.,解,所以,61,例9,分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.,解,62,故,两端求导得,63,64,例10,解,65,例11,解,有,66,67,同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.,68,解,例12,69,70,第五章留数,1、孤立奇点的判别,2、留数的计算与留数定理,71,孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.,72,i)可去奇点,73,ii)极点,74,极点的判定方法,在点的某去心邻域内,其中在的邻域内解析,且,(b)由定义的等价形式判别,75,iii)本性奇点,76,3)函数的零点与极点的关系,77,2.留数,78,79,如果为的一级极点,那末,a),2)留数的计算方法,80,81,3)无穷远点的留数,82,定理,83,在无穷远点处留数的计算,计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:,此法在很多情况下此法更