（基础数学专业论文）fock空间之正交补空间上的对偶toeplitz算子.pdf

摘要 摘要 本篇硕士论文主要研究f o c k 空间之正交补空间上以平方可积函数为符 号的对偶t o e p l i t z 算子给出了对偶t o e p l i t z 算子的紧性和有界性的等价判 别条件，研究了对偶t o e p l 渤代数的结构，以及算子的谱的性质 第一章，论述t o e p l i t z 算子，h a n k e l 算子和对偶t o e p l i t z 算子的研究背 景，并说明本论文研究的意义介绍f o c k 空间、r i b e p l i t z 等算子的基本性质 和本文的主要结果 第二章，介绍f o c k 空间上t o e p l i t z 算子，对偶t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算 子的基本性质讨论f o c k 空间之正交补空间上对偶t o e p l i t z 算子有界性与紧 性，给出了有界性与紧性的等价判别条件， 证明了以平方可积函数为符号的对偶t o e p l i t z 算子有界当且仅当其符号 本性有界( 定理2 4 ) ；以本性有界函数为符号的对偶t o e p l i t z 算予是紧算子当 丑仅当其符号在复平面上扎乎处处为零( 定理2 6 ) 以本性有界函数，9 为 符号豹两个对偶t o e p l i t z 算子的乘积毋g 与魏之差为紧算子，则g 与h 在 复平面上几乎处处相等( 定理2 7 ) 第三章，讨论了复平面f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 代数的结构与特征，以 及对偶t o e p l i t z 算子的谱的有关性质我们主要是通过所谓的符号映射p 来 进行这一研究 证明了存在一个从对偶t o e p t i t z 代数e ( l 。( c ) ) 到护( c ) 的符号映射p ，使 得对v f l 。( c ) ，有p ( 岛) = f ，且p 为压缩的c 4 同态( 定理3 3 ) 从而关于f o c k 空间上的对偶t o e p l i t z 代数有如下一个短正合列； ( o ) 斗l ，工( 。( c ) ) 与工。( e ) 一( o ) ， 其中t ，为半换位理想( 定理3 4 ) 摘要 本文还证明了f 0 c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的谱的一些性质 关键词：f o c k 空间；对偶t o e p l i t z 算子；t o e p l i t z 算子；h a a k e l 算子 对偶t o e p l i t z 代数 垒里! ! 垦! ! ! 翌一 d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eo r t h o g o n a l c o m p l e m e n to ft h ef o c ks p a c e a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s0 1 2t h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n to f t h ef b c ks p a c e s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb o u n d e d n e e sa n dc o m p a c t - n e s 8o ft h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sa r ed i s c u s s e d ? ea l s os t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ed u a l t o e p l i t za l g e b r aa n d8 0 m es p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h ed u a lt o e p h t zo p e r a t o r s i nc h a p t e rll w es u m m a r i z e dt h es i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c ha n dt h er e l a t e dr e s e a r c h g r o u n do ft h et o e p h t zo p e r a o r s ，h a n k e lo p e r a t o r sa n dd u a lt o e p l i t zo p e r a o r s w ea l s o d i s c u s st h eb a s i cs t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so ft h ef o c ks p a c e 磋( c ) i nc h a p t e r2 ，s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r s ，h a n k e lo p e r a t o r sa n dd u a l t o e p l i t zo p e r a o r sa r ed i s c u s s e d w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e 船a n dt h ec o m p a c t n e s s o ft h ed u a lt 0 e p l i t zo p e r a t o r s w ep r o v et h a tt h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs q u a r e - i n t e g r a b l es y m b o li sb o u n d e d i fa n do n l yi fi t ss y m b o li se s s e n t i a l l yb o u n d e d ( t h e o r e m 2 4 ) ，a n dt h a tt h eo n l yc o m p a c t d u a lt o e p l i t zo p e r a t o ri st h ez e r oo p e r a t o r ( t h e o r e m2 6 1 i nc h a p t e r3 w ec o n c e n t r a t ea tas y m b o lm a po dt h ed u a lt o e p l i t za l g e b r a w e e s t a b l i s has t r u c t u r et h e o r e mf o rt h ed u a lt o e p l i t za l g e b r a w ep r o v et h a tt h e r ei sac o n t r a c t i v ec + 一h o r m o m o r p h i s mpf r o mt h ed u a lt o e p h t z a l g e b r az ( l o 。( c ) ) t ol 。( c ) ，s u c ht h a tp ( s ，) = ，f o ra l l ，l o o ( c ) ( t h e o m r e m3 3 ) t h u st h e r ei sas h o f te x a c ts e q u e n c e ( 0 ) 一j z ( l 。( c ) ) 与工。( c ) 一( o ) ， w h e r eji st h es e m i c o m m u t a t o ri d e a lo ft h ed u a lt o e p l i t za l g e b r a ( t h e o m r e m3 4 ) i i i a b s t r a c t f i n a l l yw es t u d ys p e c t r a lp r o p e r t i e so fd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r w ep r o v eas p e c t r a l i n c l u s i o nt h e o r e ma n db r o w n - h a l m o st h e o r e m t h ef o r m e ri sa n a l o g o u st ot h es p e c t r a l i n c l u s i o nt h e o m r e mo fh a r t m a na n dw i n t n e rf o rt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eh a r d ys p a c e k e yw o r d s ：f d c ks p a c e ；d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r ；h a n k e lo p e r a t o r ；t o e p - l i t zo p e r a t o r ；d u a lt o e p l i t zm g e b r a 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：吖 l 如 日期：2 0 0 7 1 2 1 2 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：叶p 舀导师签名： 孑援、 日期：2 0 0 7 1 2 1 2 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：辫i 鹣 指导教师： 绪 论 一、绪论 t o e p l i t z 算子是算子理论中重要的特殊算子类之一，它是现代算子理论 和算子代数的一个重要组成部分，算子理论中的许多问题都可以在t o e p l i t z 算子中提出相应的非平凡问题尽管t o e p l i t z 算子理论已有百余年的发展历 史，但迄今仍是一个非常活跃的科研方向，并还与理论物理( 尤其是量子力 学) 、概率论、信息控制论等学科有着广泛的联系例如在数据处理、有限 元法、概率统计以及滤波理论等广泛的科学技术领域当中，都会经常用到 t o e p l i t z 矩阵与t o e p l i t z 算子与t o e p l i t z 算子有着密切联系的h a n k e l 算子则 在最小二乘法求数据的多项式拟合曲线等问题中有着广泛应用1 9 8 4 年， v g u i l l e m i n 等【2 建立了量子力学中w e y l 算子及其代数与f b c k 空间上t o e p l i t z 算子及t o e p l i t z 代数之间的关系，为量子力学的研究工作提供了极其重要的 数学工具c a b e r g e r 和l a c o b u r n 在二十世纪八、九十年代所写的系列论 文【3 , 2 1 2 3 】中，指出了f o c k 空间上t o e p l i t z 算子理论在数学物理、热传导、 量子力学中有着多方面的运用 t o e p l i t z 算子理论最初是从对t o e p l i t z 矩阵的研究开始的，所谓t o e p l i t z 矩阵就是指在任何一条平行于主对角线的直线上，矩阵元素皆相同的单向 无穷矩阵上一世纪初叶，德国数学家t o e p l i t zo 等人对此矩阵进行了开创 性的研究f 1 0 ，1 1 ，1 2 1 到了二十世纪中叶，t o e p l i t z 算子理论得到了更大的发 展1 9 6 4 年，美国数学家b r o w na 和h a l m o sp 在文献【5 】中系统地研究了经 典的h a r d y 空间日。( r ) 上的t o e p l i t z 算子的有关性质，并且他们还利用算子 语言给出了t o e p l i t z 算子的定义后来，科学家们在t o e p l i t z 算子的谱，代数 结构等方面也都取得了丰硕的成果( 可参见文 9 】) 除了对经典h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子进行研究外，国内外学者对 b e r g m a n 空间，d i r i c h l e t 空间和f 0 c k 空间上的t o e p l i t z 算子理论也进行了大 量的研究所论之函数空间所在的区域也从单圆盘，扩展到c n 中的多圆 盘，单位球，乃至于拟凸域或有界对称域等等( 可参见【9 ，1 3 - 1 7 1 ) 此外，国内外学者还研究了与t o e p l i t z 算子联系极为紧密的h a n k e l 算子 1 绪论 与对偶t o e p l i t z 算子其中h a n k e l 算子的研究也是起源于所谓的h a n k e l 矩 阵，即在在任何一条平行于副对角线的直线上，矩阵元素皆相同的单向无 穷矩阵，由此就可以知道h a n k e l 算子与t o e p l i t z 算子之间的联系十分密切 而t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子，对偶t o e p l i t z 算子三者的关联可体现于下面 的这些关系式： t f 。2t f t g + h h g s | 9 = s i s g 七h s 毽 h 1 9 = h 汪g + s f hg 往往，不同空间的同一类算子在某些方面有着相同之处；但是还有一些其他 的有趣现象，比如b e r g m a n 空间上对偶t o e p l i t z 算子的一些性质反而与h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子相似由此可知，要研究某种算子，比如对偶t o e p l i t z 算子，我们还必须关注其余两类算子的特征与性质 近些年来，由于现代分析、量子力学、偏微分方程等需要，人们对f o c k 空间上的函数理论及其算子理论越来越感兴趣 1 , 3 ，2 1 2 3 1 文【1 , 2 ，3 ，4 1 分别研 究了f o c k 空间上的t o e p h t z 算子、h a n k e l 算子的有界性、紧性，以及相应的 算子代数的性质与谱的性质 复平面c 上的g a u s s i a n 测度p 定义为咖( z ) = e x p = 乒 型2 1 r ，其中v 为c 上的l e b e s g u e 测度记l 2 ( c ) 为复平面c 上接卢测度平方可积函数的全体， l 。( c ) 为复平面c 上按p 测度本性有界函数的全体，则f o c k 空间垸( c ) 是 驴( c ) 中解析函数全体生成的空间，又称s e g a l - b a r g m a n n 空间 设p 是三2 ( c ) 到院( c ) 上的正交投影，对v h 铲( c ) ，p 可表示为： ( p h ) ( z ) = 危( a ) 。致( a ) 日p ( a ) ， v z c j c 其中也( a ) = e x p 学，称为瑶( c ) 上的f o c k 再生核( 参见【1 ) ) 对，l o o ( c ) ，t o e p l i t z 算子t j ：l ：( c ) 一l ：( c ) 定义为： 乃( 9 ) = p ( f g ) ，g l ：( c ) 2 绪论 记q = j p ，l 2 ( c ) = 芝( c ) o 瑶( c ) 1 ，则h a n k e l 算子研：磋( c ) 一窿( c ) 1 定义为： 毋( 9 ) = q ( f g ) = ( i p ) ( ，g ) ，9 工：( c ) 易知对v u 瑶( c ) 1 ，有 ， 一 ( 珥) u ( z ) = 7 ，( ) “( ) 见( a ) 礼( a ) ( 1 ) j c 对偶t o e p l i t z 算子毋：工：( c ) 1 一l ：( c ) 1 定义为： s ，扣) = q ( ，= ( ，一p ) ( ，“) ， u 磋( c ) j 。 本篇硕士论文主要研究复平面c 上的f o c k 空间之正交补空间上对偶 t o e p l i t z 算子，以及由之生成的对偶t o e p l i t z 代数给出了f o c k 空间上对偶 t o e p l i t z 算子有界性与紧性的等价刻划，并研究了对偶t o e p l i t z 代数的一些代 数性质和算子谱的性质目前，国内外对偶t o e p l i t z 算子的研究结果较少， 体系也不完善，b e r g m a n 空间的正交补空间上的对偶t o e p l i t z 算子的相关结 论可参见2 9 - 3 3 ，所以本文在f o c k 空间的正交补空间上研究对偶t o e p l i t z 算 子的相关性质将是有意义的 1 9 6 4 年，a b r o w n 和p h a l m o s 5 证明了在经典的h a r d y 空间上，并不存 在非零紧t o e p l i t z 算子 1 9 9 8 年，a x l e r 和z h e n g 【6 1 刻画了b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的紧性： t o e p l i t z 算子的有限乘积的有限和是紧的当且仅当它的b e r e z i n 变换在边界上 趋于零 1 9 9 9 年，曹广福1 1 6 】讨论了d i r i c h l e t 空间上t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子的 紧性问题 2 0 0 2 年，k s t r o e t h o f f 和z h e n g 7 证明了单位圆盘b e r g r a a n 空间上的对偶 t o e p l i t z 算子是紧的当且仅当其符号函数在单位圆盘几乎处处为零这一性 质反而与经典h a r d y 空间上的t o e p h t z 算子相类似，这是对偶t o e p l i t z 箅子比 较有趣的一个现象 本文第三章将对复平面f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性、紧性和 乘积进行研究，得到了类似于k s t r o e t h o f f 和z h e n g 7 的结果； 3 绪论 定理2 4 如果f 驴( c ) ，则相应的对偶t o e p l i t z 算子s ，有界当且仅当 ，上户( c ) ，此时有i i s , i i = 眇i i 。 定理2 6 如果，l 。( c ) ，则s ，为紧算子当且仅当1 1 1 1 1 。= 0 定理2 7 设，g l o 。( c ) ，若为s ，岛一紧算子，则对几乎所有的凹c ， 有f ( w ) g ( w ) = ( ”) ，且毋瑶为紧算子 为了用代数的方法得到算子的性质，人们往往讨论由一类t o e p l i t z 算 子、h a n k e l 算子或对偶t o e p l i t z 算子生成的c + 代数及其结构 在h a r d y 空间上，r d o u g l a s 9 】证明了符号在l ”( t ) 中t o e p l i t z 算子生成 的t o e p l i t z 代数的换位理想与半换位理想是相同的，并给出了短正合序列： ( 0 ) 一j z ( l 0 0 ( r ) ) 一l 。( t ) - - - - - 4 ( 0 ) 其中，为半换位理想 在b e r g m a n 空间上，g m c d o n a l d 和g s u n d b e r g 2 0 1 于1 9 7 9 年讨论了符号 在c ( m ) 中的t o e p l i t z 代数，证明了z ( c ( m ) ) j 是t 一等距同构于c ( m 1 ) ，其中 m 是h o 。( d ) 的极大理想空间，m 。是其单点集部分，也给出了类似的短正 合序列 对于b e r g m a n 空间上的对偶t o e p f i t z 代数，ks t r o e t h o f f 和z h e n g 7 于2 0 0 2 年也给出了类似的的短正合序列： ( 0 ) 一j z ( l ”( d ) ) 一l 。( c ) 一( 0 ) 其中i ( l 。( d ) ) 是单位开圆盘d 上的对偶t o e p l i t z 代数 本文第四章将就复平面c 上的f o c k 空间的对偶t o e p l i t z 代数进行研究， 也得到了类似的结果我们主要是通过所谓的符号映射来进行研究 定理3 3 存在一个从z ( l * ( c ) ) 到三0 。( c ) 的符号映射n 使得对v f l o 。( c ) ， 都有p ( 曲) = ，；并且p 为压缩的矿同态 定理3 4 定义俨( c ) 到b ( 醒( c ) 1 ) 的函数( ( ，) = 毋，v f l ”( c ) ，则由e 诱导的映射虿：l 一( c ) 一z ( 工。( c ) ) z ( = s ，+ 正 v ，l ( c ) 4 绪论 为t 一等距同构，其中j 为半换位理想 从而得到复平面c 上f o c k 空间的对偶t o e p l i t z 代数也有如下一个短正合 列： ( 0 ) ，一z ( l 。( c ) ) o 工”( c ) ( o ) ， 除了算子的紧性之外，算子的谱的性质也历来都是国内外学者关注的 焦点完全类似于h a r d y 空间上关于t o e p l i t z 算子的经典的h a r t m a n w i n t n e r 谱包含定理与b r o w n - h a l m o s 定理，本文的最后，我们将证明f o c k 空间上对 偶t o e p l i t z 算子的谱的一些性质定理 定理3 6 如果，l * ( c ) ，则，的本性值域包含于相应的对偶t o e p l i t z 算 子s ，的谱集里面 定理3 8 如果，l 。( c ) ，则对偶t o e p l i t z 算子母的谱包含于，的本性值 域的闭凸壳 5 二、f 0 c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 二、f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 本章研究复平面f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 1 9 6 4 年b r o w n 和h a l m o s 5 1 证明了经典h a r d y 空间上不存在非零紧t o e p l i t z 算子 k s t r o e t h o f f 和z h e n g 7 于2 0 0 2 年也证明了单位圆盘b e r g m a n 空间上的对偶 t o e p l i t z 算子是紧的当且仅当其符号函数在单位圆盘几乎处处为零有趣的 是，这对b e r g m a n 空间和d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子却并不成立 1 9 9 8 年，a x l e r 和z h e n g 在文献6 1 中刻画了b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的紧性： t o e p l i t z 算子的有限乘积的有限和是紧的当且仅当它的b e r e z i n 变换在边界上 趋予零由此也可知，在b e r g m a n 空间上存在非零的紧t o e p l i t z 算子同样 在d i r i c h l e t 空间上也有许多非平凡的紧t o e p i i t z 算子 我们对复平面f o c l 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性和紧性进行研究， 得到了类似于k ，s t r o e t h o f f 和z h e n g l 7 的结果：以平方可积函数为符号的对偶 t o e p l i t z 算子有界当且仅当其符号本性有界；此时算子的范数就等于符号的 本性范数复平面f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子是紧的当且仅当其符号函数 在整个复平面上几乎处处为零 当，l 2 ( c ) 时，对任意的“瑶( c ) 1n l 。( c ) ，岛( “) = q ( ，u ) = ( i - p ) ( f u ) 臻( c ) ，由此知曲在理( c ) j 上稠定义 当，l o 。( c ) ，乘法算子m r ：l 2 ( c ) 一驴( c ) 定义为： 尬( ) = ， ，e l 2 ( c ) 如果，l 2 ( c ) ，v u l 2 ( c ) n l ”( c ) ，m r ( “) ；如l 2 ( c ) ，由此知 巧在口( c ) 上稠定义 易见v u 埋( c ) 1 n l 。( c ) 时，有 m s ( u ) = s ? ( u ) + 巧( “) ，s a u ) 上巧( “) ( 2 ) 当 9 l 。( c ) ，f o c k 空间上的t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子和对偶t o e p l i t z 6 二、f b c l 【空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 算子有如下代数关系： = 巧正+ 辱酶 ( 3 ) s | g = s | s 。+ h i h ； 0 4 1 由上式可见，对偶t o e p l i t z 算子毋与t o e p l i t z 算子乃，h a n k e l 算子毋之 间具有紧密的联系 先引进两个函数，它们在这一章会反复用到 对v w c 及0 s 为玩( e ) 的一组基，从而有鼬。三：( c ) 1 引理得 证 引理2 2 设，l 2 ( c ) ，则对y w g 有 删l i r a 十 h ；u 圳。= o = 、f b c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 让明；v w c ，田( 1 ) 知， l i r r 枷* i = i 上m ) “棚) 瓦丽州a ) l z 砌i f ( 枷一( a ) 致( 划州a ) o “。一j i ；( z + ，。l ，( a ) 1 2j k ：( a ) 1 2d p ( a ) ) 1 7 2 ：= ( z + 。i ，( a ) 产i k ：( a ) 1 2d p ( a ) ) 1 7 2 从而有 0 峄。舻( 1 峄”陬z ) 上咄上+ ，。 ，( 矧2 f 也1 2 如( 入) = a + , di f ( 删2 ( 上刚划z ) ) 州a ) = z 枷e x l i a 2 i ：j l d a ) 唧 学汜m 小蝌 由，l 2 ( c ) ，可得 z + 。i ，( 划2 m ( a ) 一。( s 一0 十) ， 即得出结论 引理2 3 设，l 2 ( c ) ，则对几乎所有的 c ，有 i f ( 1 2 曼器j i 毋川。 二，f o c l ( 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 证明：v w c ，根据( 2 ) 知 巧( 一) = 毋( “”) + 巧( ，) ，毋( “”) 上巧( u w ，。) 于是 l 白t ，i e = l i s ，l e + l | f 弓，l e 故由引理2 2 ，即得对c ，有 l i r a + i 【屿t 畦2 = l i m , 5 幢 所以为证结论只须证明对几乎所有的埘c ，有下述等式即可： 。limtimuwe=，1im。+玉兰i差曼!；型兰之孬芝篆群=l，c”，2 事实上，令_ 8 ( 奶8 ) = a e ：i 一 i 3 ) ，并注意到0 s 1 ，则有下列不等 式： p ( 曰( ，s ) ) = 舡( a ) j i 一叫k 5 = l 。唧 掣) 掣 唧 掣m 水。掣 = 唧 掣h 8 2 雩 尘掣挎8 4 e x p r1 j f i 学l 脚 二，f b c k 空间上对偶t o e p l i t z 算予的有界性与紧性 最后一个不等号是由于 l 呦，= j 一u , l 8 旷卵铱p 掣) 掣i f j l 一曲l 日i 一l j 从而有 狗 掣掣m 水，卜卵掣 一 掣掣污8 4 - | 号筹筹 型箸掣竺 曼竺毛铲 ：垫驾麓磐! 帅) h 伽) ( a ) 卢( b ( 叫，s ) ) 厶( 叩) “川 ”一r n 7 2 e x p i ( s i f + i i t i w i 1 ) ：2 i i + 广2 1 w i ：l f ，( a ) 1 2 一i f ( w ) f 2 j 缸( 砷 一 p ( b ( 叫，s ) ) - ，b ( ，。) 。 ”川。叶、。 1 0 生 罴等 叭右 坐 训一 莘l 删衙磊 邢一 竺兰 二、f b c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性与紧性 最后令 a = 坩c ：两反l _ 而糯z ) t l f ( 矧2 一f ，扣) 1 2 i 审( 砩= 。 由 8 】中定理8 8 易知a 。为零测集从而引理得证 先来看复平面f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 算子的有界性 定理2 4 如果，工2 ( c ) ，则毋有界当且仅当f 三。( c ) 此时我们有 砖i i = 。 证明；( 充分性) 若，俨( c ) ，则曲有界，且i i 岛l | m i 。 ( 必要性) 设& 有界，则对任意的 c ，0 s o ) ，用符号兄( ，) 来表示 定理3 5v f l o 。( c ) ，曲可逆，则，在l o 。( c ) 中可逆 证明：由母可逆，则存在6 0 ，使得 j j s j 1 1 2 tv u 工：( c ) 1 ，i l u l l s = 1 取h = 。由引理3 3 ，对几乎所有的w c ，有 i f ( w ) i ；l i m + | i 爵川22 坑 从而，在l * ( c ) 中可逆定理得证 定理3 6 如果，l 。( c ) ，则r ( f ) c 口( s f ) 证明： 假设a 譬一( s ，) ，则有毋一 = s ，一一可逆由定理3 5 知，一a 在 p 。( c ) 中可逆，从而a 隹r ( ，) 1 定理得证 对复平面c 上的任意子集e ，e 的闭凸壳定义为c 中包含e 的所有闭凸 子集的交集，记之为丽( e ) 容易看出，对复平面c 上的任意紧子集e ，e 的 闭凸壳为复平面c 中包含e 的所有半开平面的交集 2 0 三、f o c k 空间上对偶t o e p l i t z 代数的结构与谱性质 引理3 7 如果，俨( c ) 可逆，并且丑( ，) 包含在右半开平面珥当中，则 毋必然可逆 证明：在复平面c 上定义单位开圆盘a = d c ：i z 一1 i 0 ，使得下述包含关系成立： r r ( ，) = r z ：z r ( ，) ) c 从而0 r ，一1 1 1 。 1 又由定理3 4 可得 毋一川 1 因此s ，可逆从而弓f 理得证 引理3 7 的结论未必要局限于上面的右半开平面耳实际上，通过适当 的平移或旋转，可以证明：如果f a l * ( c ) 可逆，并且冗( ，) 包含在边界 经过a 的右半开平面当中，则毋一a 必然可逆 定理3 8 如果，l ”( c ) ，则盯( 毋) c 历( r ( ，) ) 证明：利用闭凸壳的半开平面方式定义，要证明a ( s s ) 历( r ( ，) ) 等价 于证明：复平面c 上任意包含r ( ，) 的半开平面都包含a ( 毋) 这恰恰就是引 理3 7 的结果从而定理得证 2 1 参考文献 参考文献 【1 ls j a n s o n ，j p e e t r e ，a n dr r o c h b e r g ，h a n k l ef o r m sa n dt h ef o c k8 p a o e j 】r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a1 9 8 7 3 ：6 1 1 3 8 2 】v g u i l l e m i n ，t o e p l i t zo p e r a t o r si nn - d i m e n s i o n s j i n t e g r e q u a t o p e r ，t h 1 9 8 4 7 ：1 4 5 2 0 5 【3 c a b e r g e r ，a n dl a c o b u r n ，t o e p l i t zo p e r t o r s0 1 1t h es e g a n b a r g m a n ns p a c e j 】 t r a n 8 a m e r m a t h s o c 1 9 8 7 ，3 0 1 ：8 1 3 8 2 9 【4 】k s t r o e t h o f f , h a n k e la n dt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h ef o c ks p a c e j 】m i c h i g a nm a t h j 1 9 9 2 ，3 9 ：3 - 1 6 5 】a b r o w n ，a n dp r h a l m o s ，a l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r s j j r e i n e a n g e w m a t h 1 9 6 4 ，2 1 3 ：8 9 1 0 2 6 s a x l e r ，a n dz h e n gd ，c o m p a c to p e r a t o r sv i ab e r e z i nt r a n s f o r m j i n d i a n au n i v m a t h j 1 9 9 8 4 7 ：3 8 7 - 4 0 0 7 】k s t r o e t h o f f , a n dz h e n gd ，a l g e b r a i ca n ds p e c t r a lp r o p e r t i e so fd u a lt o e p l i t zo p - e r a o r s j t r a n s a m e r m a t h s o c 2 0 0 2 ，3 5 4 ：2 4 9 5 2 5 2 0 【8 】w r u d i n ，r e a la n dc o m p l e xa n a l y s i s m 2 n de d ，m c g r a w - h i l l ，n e wy o r k ，1 9 7 4 【9 r d o u g l a s ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y m a c a d e m i cp r e s s ， n e w y o r k ，1 9 7 2 1 0 o t o e p l i t z ，z u rt h e o r i ed e