（信号与信息处理专业论文）智能优化算法在电磁工程中的应用.pdf

南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 摘要 本文通过采用通常的s t o e r - b u l i r s c h ( s b ) 算法，形成了一种新的自适应频率采样 方法。由于s b 算法是一种递归的列表方法，并且不需要求矩阵的逆，因此它能通 过处理大量的采样点得到有理插值函数，同时避免奇异值问题。这一特性使得a f s 方法能通过简单的有理函数实现宽带插值。最后通过一个实际的宽带实例证明了 s ba f s 方法的有效性。 遗传算法是一种利用种群的反复求解来搜索感兴趣的编码空间的进化算法。通 过采用复制，交叉，变异，竞争，选择和重组算子，产生了新的解，然后在一代代 不断重复的仿真进化环境中，这些新的解又被重新估计。在论文中用遗传算法优化 了一个带远场旁瓣约束条件的相位阵列天线方向图，先采用七个变量进行优化然后 采用十四个变量进行优化。 粒子群优化是新近提出的简单易用且有较高性能的优化算法。这种算法在有些 地方与遗传算法或竞争算法相类似，但是计算量更小，而且源程序更简单。在论文 中，通过分析相位阵列天线，将粒子群优化算法和遗传算法作了比较。优化结果说 明在这个例子中粒子群优化有更好的表现，这也说明两种方法在问题的多维空间中 搜索最优解的方式不同。最后，提出了将粒子群优化与支持向量机方法结合的新方 法，通过一段相对较短的时间序列来预测整个f d t d 时间序列，得到了很好的效果。 关键字：s t o e r - b u l i r s c h 自适应频率采样，遗传算法， 粒子群优化，相位阵列 天线，支持向量机 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eg e n e r a ls t o e r - b n l i r s e h ( s b ) a l g o r i t h mi se m p l o y e di nd e v e l o p i n g an e wa f ss c h e m e ( s - ba f s ) s i n c et h es - ba l g o r i t h mi sar e c u r s i v et a b u l a rm e t h o d a n dr e q u i r e sn om a t r i xi n v e r s i o n ，i tc a l lp r o c e s sal a r g en u m b e ro fs a m p l i n gd a t af o r o b t a i n i n gar a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nw i t h o u ts u f f e r i n gf r o ms i n g u l a r i 哆p r o b l e m s t h i sa t t r i b u t ev i r t u a l l yl e a d st h ep r o p o s e da f sa p p r o a c ht oa l lu l t r ab r o a d - b a n d i n t e r p o l a t i o nw i t has i n g l er a t i o n a lf u n c t i o n ap r a c t i c a lb r o a d - b a n de x a m p l ei sg i v e nt o d e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h es - ba f s g e n e t i ca l g o r i t h mi saf o r mo fe v o l u t i o n a r ya l g o r i t h mt h a tu s e sap o p u l a t i o no f t r i a l s o l u t i o n st os e a r c ht h ee n c o d e ds p a c eo fi n t e r e s t t h r o u g ha p p l i c a t i o no fr e p r o d u c t i o n ， m u t a t i o n ，c o m p e t i t i o n ，s e l e c t i o n , a n dr e c o m b i n a t i o no p e r a t o r s ，n e w s o l u t i o n sa r e g e n e r a t e dw h i c ha r et h e ne v a l u a t e d a n dt h es i m u l a t e de v o l u t i o np r o c e s si t e r a t i v e l y r e p e a t e d ，g e n e r a t i o nb yg e n e r a t i o n i nt h i sp a p e r , ag e n e t i ca l g o r i t h mi si m p l e m e n t e df o r p h a s e da r r a ys y n t h e s i sw i t ha f a r - f i e l ds i d e l o b ec o n s t r a i n t ，u s i n gs e v e nv a r i a b l e so n l ya n d f o u r t e e nv a r i a b l e st h e n p a r t i c l ps w a r mo p t i m i z a t i o ni sar e c e n t l yi n v e n t e dh i g h - p e r f o r m a n c eo p t i m i z e rt h a t i sv e r ye a s yt ou n d e r s t a n da n di m p l e m e n t i ti ss i m i l a ri ns o m ew a y st og e n e t i c a l g o r i t h m so re v o l u t i o n a r ya l g o r i t h m s ，b u tr e q u i r e sl e s sc o m p u t a t i o n a lc o s ta n dg e n e r a l l y o n l yaf e wl i n e so fc o d e i nt h i sp a p e r , ap a r t i c l es w a r mo p t i m i z e ri si m p l e m e n t e da n d c o m p a r e dt oag e n e t i ca l g o r i t h mf o rp h a s e da r r a y t h er e s u l ts h o w st h a tp a r t i c l es w a r m o p t i m i z a t i o np e r f o r m sb e t t e ri nt h i sc a s e ，w h i c hi m p l i e st h a tt h et w o m e t h o d st r a v e r s et h e p r o b l e mh y p e r s p a c ed i f f e r e n t l y f i n a l l y , a n e wc o m b i n a t i o no f p a r t i c l e s w a r m o p t i m i z a t i o na n dl e a s t - s q u a r e ss u p p o r tv e c t o rm a c h i n e st e c h n i q u ei sp r o p o s e d t oo b t a i na f u l lf d t dt i m er e c o r df r o mar e l a t i v e l ys h o r tt i m er e c o r d ，w h i c hp r o v e sag o o d p e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：s - ba f s ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，p a r t i c l e s w a r l no p t i m i z a t i o n ，p h a s e d a r m ys y n t h e s i s ，s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：年月 日 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 1 绪论 如今，科学技术正处于多学科相互交叉和渗透的时代。特别是计算机科学与技 术的迅速发展，从根本上改变了人类的生产与生活。同时，随着人类生存空间的扩 大以及认识与改造世界范围的拓宽，人们对科学技术提出了新的和更高的要求，其 中对高效的优化技术和智能计算的要求日益迫切。 优化技术是一种以数学为基础，用于求解各种工程问题优化解的应用技术。作 为一个重要的科学分支，它一直受到人们的广泛重视，并在诸多工程领域得到迅速 推广和应用，如系统控制、人工智能、模式识别、生产调度、v l s i 技术和计算机 工程等。鉴于实际工程问题的复杂性、约束性、非线性、多极值、建模困难等特点， 寻求一种适合于大规模并行且具有智能特征的算法已成为有关学科的一个主要研 究目标和引人注目的研究方向。 2 0 世纪8 0 年代以来，一些新颖的优化算法，如人工神经网络、混沌、遗传算 法、进化规划、模拟退火、禁忌搜索及其混合优化策略等，通过模拟或揭示某些自 然现象或过程两得到发展，其思想和内容涉及数学、物理学、生物进化，人工智能、 神经科学和统计力学等方面，为解决复杂问题提供了新的思路和手段。这些算法独 特的优点和机制，引起了国内外学者的广泛重视并掀起了该领域的研究热潮，且在 诸多领域得到了成功应用。在优化领域，由于这些算法构造的直观性与自然机理， 因而通常被称作智能优化算法( i n t e l l i g e n to p t i m i z a t i o na l g o r i t h m s ) ，或称现代启发 式算法( m e t a h e u r i s t i ca l g o r i t h m s ) 。 1 1 自适应有理插值方法的应用 随着微波电路的规模和复杂性的不断增加，计算机的电磁仿真分析需要越来越 多的时间，很难再跟上设计规划的紧迫需求。当需要求解一个微波电路的宽带响应 细节时，这种情况交得尤为严重，因为在这种情况下电磁仿真需要成百上千个取样 点。解决这种困境的一个有效方法是通过构造基于模型的解析函数，利用插值来求 得需要的数据。实践证明，有理函数插值是微波电路电磁仿真时适用和有效的方法。 对于一个给定的微波电路，对于如何求解一个合适的有理函数的阶数和系数， 人们提出了不同的方法。当一个给定展开点的导数信息都已知时，帕德逼近( p a d e a p p r o x i m a t i o n ) 方法 1 1 能够被用来解决有理函数的内插和外推。柯西( c a u c h y ) 方 法【2 是另外一个著名的有理函数插值方法，由于它无需求导因而对于那些一般目的 的仿真工具更为适用。 如何有效地估计所要求有理函数的阶数并且精确地计算其系数吸引了许多研 南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 究者的注意。自适应频率采样( a f s ) 是一种自动选取电磁采样点的有效方法。a f s 技术的一个特点就是根据最少的先验仿真信息得到理想的函数模型。在本文的求解 运算中，每一个迭代步要求有两个有理逼近函数时模型。这两种不同的模型既可以 用采用相同取样点的不同解析函数构造，也可以用采用不同取样点的的相同解析函 数构造。随着取样点的增加，两种模型之间的差异将会不断减小。当满足终止条件 时，两个逼近模型中的任意一个可以被用作插值模型。理论上讲，两个逼近模型都 能与想要拟合的曲线吻合的很好，因此迭代程序的收敛性也能得到保证。然而事实 上，随着取样点数的增加，对病态矩阵的逆的求解总会引起数值误差。 通过直接求解矩阵的逆，简单的奇异值分解能用来计算多项式的系数并且估计 其阶数【2 】。在实际中，当取样点总数很大时，由于取样点之间并不一定严格独立， 直接求取的有理函数模型变得并不可靠。分区求解( s u b z o n i n g ) 方法是针对这种 过采样问题的弥补方法。在这种方法中，整个频域被分成很多子空间，因此在每个 子空间需要的点数就变小了。邻近的区域可以是重叠的，以此确保导数的连续性。 然而，人们总是很期望有一种能够避免奇异性的真正的宽带a f s 方法。严格来讲， 一个真正的宽带a f s 方法应该具备如下两个特点：( 1 ) 每一个函数取样点的信息都 会对整个频段内的有理函数模型产生影响，不管这个频段有多宽。换句话说，频带 内所有的取样点决定的有理函数模型是唯一的。( 2 ) 这种方法无需考虑奇异性，也 不用求矩阵的逆，因此无论有多少个函数取样点，都能被合并到模型中来。 本文用于有理插值的s t o e r - b u l i r s c h ( s - b ) 算法是a f s 的一种新方法，它用于 加快微波电路的全波电磁仿真。由于s t o e r - b u l i r s c h 算法是一种利用表格的递归方 法，并且不需要求解矩阵的逆，所以它能通过许多采样点得到有理插值函数，同时 避免了奇异性问题。因此，s - ba f s 能够通过一种简单模型得到宽带有理插值函数。 这种唯一性极大地提高了现有a f s 方案的效率，同时简化了a f s 的过程。 s t o e r - b u l i r s c h 算法最吸引人的地方是其在宽带构造任意阶数多项式时的稳定性。正 是利用了这种稳定性，两个不同的有理函数模型在构造逼近模型的同时被用来检验 收敛性。在文献 3 中提到的对角有理函数递归插值方法只是s t o e r - b u l i r s c h 算法的 一个特例。为了有效地利用s t o e r - b u l i r s c h 算法，本文用对应于两类不同有理函数模 型的三条插值路径来构造逼近电路模型的函数。 1 2 遗传算法的发展与应用 遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m 一一g a ) 是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机 制的随机化搜索算法。由美国j h o l l a n d 教授提出，它尤其适用于处理传统搜索方法 难以解决的复杂和非线性问题，可广泛用于组合优化、机器学习、自适应控制、规 划设计和人工生命等领域。是二十一世纪有关智能计算中的关键技术之一。g a 研 2 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 究的兴起是在8 0 年代末和9 0 年代初期，但它的历史起源可追朔到6 0 年代初期。 早期的研究大多以对自然遗传系统的计算机模拟为主。1 9 6 5 年，h o l l a n d 首次提出 了人工遗传操作的重要性，并把这些应用于自然系统和人工系统中。后来h o l l s t i e n 将遗传算法用于函数优化，并对优势基因控制、交叉和变异以及各种编码技术进行 了深入的研究。进入8 0 年代，遗传算法迎来了兴盛发展的时期，无论是理论研究 还是应用研究都成了十分热门的课题。目前，遗传算法的研究出现了几个新动向： 1 ) 基于遗传算法的机器学习。 2 ) 遗传算法正日益和神经网络、模糊推理及混沌理论等其它智能计算方法相互渗 透和结合。 、 3 ) 并行处理的遗传算法的研究十分活跃，这一研究不仅对遗传算法本身的发展， 而且对新一代智能计算机体系结构的研究都是十分重要的。 4 ) 遗传算法和人工生命正不断渗透。生物的自适应、进化和免疫等现象是人工生 命的重要研究对象。 5 ) 遗传算法和进化规划以及进化策略等进化计算理论日益结合。 为解决各种优化计算问题，人们提出了各种各样的优化算法，如单纯形法、梯 度法、动态规划法、分支定界法等。这些优化算法各有各的长处，各有各的适用范 围，也各有各的限制。遗传算法是一类可用于复杂系统优化计算的鲁棒搜索算法， 与其他一些优化算法相比，它主要有以下几个特点： 1 ) 遗传算法以决策变量的编码作为运算对象。这种对决策变量的编码处理方 式，使得我们在优化计算过程中可以借鉴生物学中染色体和基因等概念，可以模拟 自然界中生物的遗传和进化等机理，也使我们可以方便地应用遗传操作算子。特别 是对一些无数值概念或很难有数值概念，而只有代码概念的优化问题，编码处理方 式更显示出了其独特的优越性。 2 ) 遗传算法直接以目标函数值作为搜索信息。遗传算法仅使用由目标函数值 变换来的适应度函数值，就可确定进一步的搜索方向和搜索范围，无需目标函数的 导数值等其他一些辅助信息。这个特性对很多目标函数是无法或很难求导数的函 数，或导数不存在的函数优化问题，以及组合优化问题等，应用遗传算法时就显得 比较方便，因为它避开了求导数这个障碍。再者，直接利用目标函数值或个体适应 度，也可使得我们可以把搜索范围集中到适应度较高的部分搜索空间中，从而提高 了搜索效率。 3 ) 遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息。遗传算法从由很多个体所组成 的一个初始群体开始最优解的搜索过程，而不是从一个单一的个体开始搜索。对这 个群体进行选择，交叉，变异等运算，产生出的是新一代的群体，在这之中包括了 很多群体信息。这些信息可以避免搜索一些不必搜索的点，所以实际上相当于搜索 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 了更多的点，这是遗传算法特有的一种隐含并行性。 4 ) 遗传算法使用概率搜索技术。它属于一种自适应概率搜索技术，其选择、 交叉、变异等运算都是以一种概率的方式来进行的，从而增加了搜索过程的灵活性。 虽然这种概率特性也会使群体中产生一些适应度不高的个体，但随着进化过程的进 行，新的群体中总会更多地产生出许多优良的个体，实践和理论都已证明了在一定 的条件下遗传算法总是以概率l 收敛于问题的最优解。当然，交叉概率和变异概率 也会影响算法的搜索效果和搜索效率，所以如何选择遗传算法的参数在其应用中是 个比较重要的问题。而另一方面，与其它一些算法相比，遗传算法的鲁棒性又会 使得参数对其搜索效果的影响会尽可能的低。 l3 粒子群优化算法的最初构想 粒子群优化( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n 一p s o ) 算法最早源于对鸟群觅食行 为的研究。鸟群在飞行过程中经常会突然改变方向、散开、聚集，其行为不可预测， 但其整体总保持一致性，个体与个体间也保持着最合适的距离。通过对类似生物群 体行为的研究，发现生物群体中存在着一种社会信息共享机制，它为群体的进化提 供了一种优势，这也是p s o 算法形成的基础。 p s o 算法中每个粒子就是解空间中的一个解，它根据自己的飞行经验和同伴的 飞行经验来调整自己的飞行。每个粒子在飞行过程所经历过的最好位置，就是粒子 本身找到的最优解。整个群体所经历过的最好位置，就是整个群体目前找到的最优 解。前者叫做个体最优解( p b e s t ) ，后者叫做全局最优解( g b e s t ) 。每个粒子都在上 述两个最优解的影响下不断更新自己，从而产生新一代群体。实际操作中通过由优 化问题所决定的适应度函数来评价粒子的“好坏”程度。 显然。在p s o 算法中每个粒子可以看作是解空间中的一个点。如果粒子的群 体规模为n ，则第呼= 1 ，2 ，) 个粒子的位置可表示为置，它所经历过的最好位 置记为p b e s t 【i ，速度用表示，群体中最好粒子的位置的索引号用g b e s t 【i 表示。 所以粒子i 将根据下面的公式更新自己的速度和位置： k = w + qr a n d l ( ) ( p b e s t 【i 】x ) + 岛r a n d 2 ( ) ( 曲e s t i 】一k ) ( 1 1 ) 置：x + ， ( 1 2 ) i 、 其中c 1 ，岛为常数，称为学习因子：r a n d l ( ) 和r a n d 2 ( ) 是【0 ，1 】上的随机数，w 为 惯性权重。式中第一部分是粒子原来的速度，说明了粒子目前的状态；第二部分是 认知部分，表示粒子本身的思考；第三部分为社会部分。三部分共同决定了粒子的 空间搜索能力。第一部分起到了平衡全局和局部搜索的能力；第二部分使粒子有足 够强的全局搜索能力，避免局部极小；第三部分体现了粒子间的信息共享。在这三 部分的共同作用下粒子才能有效地到达最好位置。另外，粒子在不断根据速度调整 4 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 自己的位置时，还要受到最大速度( p ，m x ) 的限制。当k 超过p ，啪。时将被限定为p 孟。 1 4 本文所做的工作 本文重点研究了电磁工程中的优化问题，在对插值方法进行了一段时间的研究 之后，将注意力转向了模拟生物进化机制的智能优化算法。在参阅大量文献的基础 上，对各种算法的性能进行了计算机仿真。本文各章内容安排如下： 第一章绪论部分，主要阐述了自适应有理插值方法、遗传算法、粒子群优化算法 最初提出时的构思背景和研究应用。 第二章首先介绍了插值和逼近思想在工程计算中的影响和作用，然后介绍了有理 函数逼近的原理和特点，并通过对格林函数的分段插值逼近比较了有理插 值和简单线性插值的特点，最后用自适应有理插值方法分析了一个微带低 通滤波器。 第三章首先介绍了遗传算法的工作原理，然后分析了算法中的编码问题、适应性 问题、全局搜索和局部搜索问题、约束优化问题，最后用遗传算法优化了 一个阵列天线的方向图。 第四章首先介绍了粒子群优化算法的工作原理，分析了算法中的参数对全局搜索 和局部搜索的影响，然后通过优化阵列天线方向图的例子比较了粒子群优 化算法与遗传算法的特点，最后用粒子群优化算法估计了支持向量机方法 中的两个参数，完善了支持向量机方法的设想，并分析了两个个微带低通 滤波器。 第五章结论部分，对研究工作中存在的问题作了分析和总结，并对未来工作中值 得改进的部分做了展望。 南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 2 自适应有理函数插值方法在分析微带电路中的应用 在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题，它们已成 为科学技术研究的热点和主攻方向之一。诚如英国著名哲学家与数学家罗素 ( b e r t r a n dr u s s e l l ) 所说：“所有精确的科学都受到逼近的思想所支配。”确实，所 有的非线性科学也己受到、并将继续受到非线性逼近的思想的渗透和影响。多年来 作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近，愈来愈引起人们的关注。因为有理函 数仍属于简单函数类，它虽然比多项式要复杂，但用它来近似表示函数时，却比用 多项式更灵活、有效，且能反映函数的一些固有特性，如奇性等。所以，近年来人 们在数值与函数逼近，计算机辅助几何设计中常常偏爱有理函数。 2 1 关于有理函数逼近 样条插值是一个很新的且越来越重要的研究课题，它提供了一个有价值的工具 来表示经验曲线和逼近复杂的数学函数。在处理常微分方程和偏微分方程时，它的 作用也越来越大。 多项式是一种计算简便的逼近工具，但当函数在某点a 附近无界时用多项式逼 近效果很差，这种情形若用有理逼近则可得到很好的效果。由于有理函数逼近的实 现比多项式逼近要复杂得多，使得它的应用受到了影响。但由于计算机的出现，过 去难于实现的问题变成了可能，所以关于有理逼近的理论研究和应用研究仍有着巨 大的发展潜力。利用有理逼近，在计算上通常还可转移为连分式以减少乘除法的计 算次数。对一般有理函数 啪，= 器= 荐篇 泣。 可以转化为一个连分式 u 加瓜曲+ 东暑- i 丽c k 。2 它的乘除法运算只需用m a x m ，n ) 次，而直接用有理分式计算则需n + m 次乘除法运 算。 上述例子表明，研究有理逼近是很有意义的，这也是近2 0 多年来有理逼近受到 重视的原因。计算机中不少函数的标准子程序就是用有理逼近给出的。 对有理插值首先要研究解的存在唯一性问题，其次是如何构造插值函数，第三 是误差的估计问题。下面我们不讨论解的存在唯一性，只讨论当有理插值有解时如 何构造r 。( x ) 。 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 基于牛顿差商思想可构造r 。( 工) 的连分式形式4 r ( z ) ：c o + 兰生+ 三二2 i + + 兰盐 c 1 0 2c n + i 在下文其他连分式中，如不作特别说明，“+ ”特指连分式中的特定加号。 其中c k ( k = 0 , 1 ，弹) 由插值条件r ( 墨) = 厂( ) ，f - o ，1 ，挥确定。 通过构造反差商表可以计算r ( x 1 ，如下图2 1 所示。 表中 一般地 最后得 v l ( t ) 2 而x 再i - - x 丽0 ，f = l ，2 ， v 2 ( t ) 2 砥x ) i - - 一v 1 x i ( 2 2 ，3 ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 。5 ) k ( 一) 2 i = = j i i x i t 二- - i x 丽k _ i ，尼= l ，2 ，；f = 七，七+ 1 ， ( 2 6 ) m h ( 砂而x - - x 0 + 素苦+ 祷 ( 2 ， 玉，( t ) = v 0 ( t )h ( 一)v 2 ( t )v 3 ( t ) 。 k l ( 一) 吒( 五) = v o ( x o ) 薯五= v 0 ( 屯) v i ( 五) 恐石= v o ( 而)v 1 ( x ov 2 ( x 2 ) 码工= ( 确)h ( 屯) v 2 ( 屯)v 3 ( x 3 ) 工= v 。( )q ( ) o n “( x n 1 ) k 。( 矗) 心( 矗) 图2 1 反差商表 因为反差商缺少对称性，所谓倒差商常常更有用。在数值分析引论( 德 j s t o e r ，r b u l i r s c h 著) 中，作者推导了一个有理插值算法，它类似于多项式插值的 n e v i l l e 算法【5 】o 南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 我们用 表示有理式，并且 西一：竺塑 。 剑( x ) ( 2 8 ) 中：v ( x ，) = ，i = s ，s + 1 ，一，s + + v 。 ( 2 9 ) 掣，饼7 分别是次数不超过和l ，的多项式，z 为取样点t 对应的取样值。为了 简洁起见，我们取 啊= x - x , 和掣( z ，y ) = 掣( x ) 一y 掣( 工) 。 ( 2 1 0 ) 注意至0 掣( x ，) = 0 ，i = j ，s + l ，s + + y 。 ( 2 1 1 ) 对于给定的取样值，通过逐次地交替增加分子和分母的次数来计算有理式之值。 它相应于( ，l ，) 图中的一条锯齿形路径。 对于这种路径的初始平直部分垂直的或水平的部分，特殊的递推规则仍然 是需要的。 只要v = 0 和仅在增加时，就是纯粹的多项式插值情况。利用n e v i l l e 公式， 在这里我们称为v e r t i c a lr u l e 公式 气z ) = z ， ( 2 1 2 ) 畔。：型鳖p - l , ! o ! 血型t - l , o ，：1 ，2 ， ( 2 1 3 ) 吼一d s + “ 倘若依照约定，采用m = 1 1 = 。o 。 若= 0 和仅在v 增加时，我们可以使用h o r i z o n t a lr u l e 公式 巾气x ) = z ， ( 2 1 4 ) a , o ( x ) = 夏：旦羔二，v = 1 ，2 ， 巾掣( x ) 西y ( 工) 定义中：? = 0 。 若( ，v ) 序列按( o ，0 ) 一( 0 , t ) 斗( 1 ，1 ) 斗( 1 ，2 ) _ + ( 2 ，2 ) 斗 r h o m b u sr u l e 公式 令瓦= 西? ( x ) ，f = s + i + l ，k = + y 。 则有公式= ，i 一= 0 ( 2 1 5 ) 方式增加时，采用 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 互，t 2 z，t一，+j：i：ii_=,kj-i!-：li：_l：,k甄_l 1 七f ，= 。，1 ，2 ，。2 _ 1 8 z x f 。z t 一1 一z i f 2 。 在下一节将用r h o m b u sr u l e 公式构造的有理插值函数分段逼近格林函数，并和简单 的线性逼近函数进行比较，以了解有理逼近函数的一些特点。 2 2 格林函数的有理函数逼近 格林( g r e e n ) 函数又称源函数或影响函数，在电磁场计算中十分重要，用格 林函数可以方便地将电磁场麦克斯韦方程变成一个积分方程，格林函数自身作为积 分方程的核函数。由于计算机数值计算技术的发展，这种积分方程可方便地用数值 方法例如矩量法进行计算，这就使得格林函数法解电磁场问题显得特别重要，成为 目前解电磁场问题中最常用的一种方法。但是格林函数一般由离散复镜像方法得 出，通常矩量法每计算一次格林函数，都要逐点精确计算索末菲积分，当对索末菲 积分的调用次数很多时，就会占用很多的运算时间。因此很自然会想到如果能用一 种简单的逼近函数近似格林函数，就能够大大地提高矩量法的计算效率。 下面给出的是用有理函数分区逼近微带电路空域格林函数的例子，由于引用这 个例子是为了了解有理函数相对于简单的线性函数的特点，所以对于格林函数本身 不作过多描述，这个格林函数也并不针对具体的微带电路结构，只是假定：工作频 率为1 2 0 g h z ；离源点l m m 到1 c m 设为格林函数的近端，近端通过每五个采样点 在实际需要计算的空间点上通过内插方式得到格林函数的值；离源点1 c m 到4 c m 设为格林函数的远端，远端通过每三个采样点在实际需要计算的空间点上通过内插 方式得到格林函数的值；近端有2 0 个采样点，远端有1 2 0 个采样点；在整个空间 上有2 0 0 0 个需要计算的点。格林函数与逼近函数如下图2 2 、2 3 、2 4 、2 5 所示， 图2 6 是用有理函数逼近格林函数时的相对误差，作为比较，图2 7 是远端采用简 单线性插值方法逼近格林函数时的相对误差，限于篇幅，不再画出线性方法逼近格 林函数时的曲线。 9 南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 图2 2 ( a ) 远端并矢格林函数实部值和有理逼近函数的比较 图2 2 ( b ) 远端并矢格林函数虚部值和有理逼近函数的比较 1 0 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 图2 3 ( a ) 远端标量格林函数实部值和有理逼近函数的比较 图2 3 ( b ) 远端标量格林函数虚部值和有理逼近函数的比较 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 图2 4 ( a ) 近端并矢格林函数实部值和有理逼近函数的比较 图2 4 ( b ) 近端并矢格林函数虚部值和有理逼近函数的比较 1 2 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 图2 5 ( a )近端标量格林函数实部值和有理逼近函数的比较 图2 5 ( b )近端标量格林函数虚部值和有理逼近函数的比较 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 0 0 1o0 200 30 ，0 4 d is t a n c e m 图2 ，6 ( a ) 有理函数逼近并矢格林函数实部的相对误差 0 o0 1o 0 2o0 3 o0 4 d is t a n c e m 图2 6 ( b ) 有理函数逼近并矢格林函数虚部的相对误差 o 0 0 5 0 图2 6 ( c ) 有理函数逼近标量格林函数实部的相对误差 图2 6 ( d ) 有理函数逼近标量格林函数虚部的相对误差 4 叭呲|兰呲。 0 o o 0 o 0 k o k 5 2 5 1 5 o 2 0 l o o 0 0 o 0 0 0 0 o h o h l i 3 0 z o 1 o 0 o ，0 0 0 0 o 0 ok o k k 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 01 2 0 1 0 0 8 i00 0 o o - 0 4 0 0 2 0 图2 7 ( a ) 远端用线性插值逼近并矢格林函数实部的相对误差 oo0 1o 0 2o 0 3o 0 4 d l s t a n c e m 图2 7 ( b ) 远端用线性插值逼近并矢格林函数虚部的相对误差 0o 0 l d is t 0 8 n o c 2 e m 0 0 3 00 4 图2 7 ( c ) 远端用线性插值逼近标量格林函数实部的相对误差 图2 7 ( d ) 远端用线性插值逼近标量格林函数虚部的相对误差 1 5 姑 驰 乏 0 0 0 o o h o h 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 从有理函数和简单的线性函数逼近格林函数的例子可以看出，有理函数有着明 显的精度上的优势。但是在实际的工程应用中，采用何种插值方法是根据具体要求 而不同的。由于插值思想的本身是希望在计算精度与计算时间之间寻找一个平衡 点。所以在精度差别对最终计算结果影响不大的情况下，通常采用计算量小的方法。 就上述格林函数的例子而言，即便是在整个距离空间上等间距取2 0 0 个取样点，而 待计算空间上点的值只取邻近它的采样点的值，虽然计算误差会更大，但相对于节 省下来的更多的时间而言，这种方法的最终误差精度也是可以容忍的。 2 3 自适应的有理插值方法 从上一节的例子可以看出有理插值在精度上的优势，但是它在对计算精度要求 不高的情况下，并不是首选的插值方法。如果要求以最少的取样点得到最大的计算 精度，有理插值是一种理想的选择。下面提到的自适应有理插值，就是一种利用插 值函数的内部特性，通过尽可能少的取样点，来逼近目标函数的插值方法： 综合使用公式( 2 1 3 ) 、( 2 1 5 ) 和( 2 1 8 ) ，可以求得如下图2 8 所示的每条路 径的倒差商值。在每条路径初始平直部分，视水平或垂直的情况分别采用h o r i z o n t a l r u l e 或v e r t i c a lr u l e 计算后到达起始点( 图2 8 中黑点) ，然后普遍采用r h o m b u sr u l e 计算接下来的路径走向。 在本文所计算的例子中，所采用的路径分别是图2 8 中的路径l ，路径2 和路 径3 ，在程序中对应的函数分别为p a t h l ( ) ，p a t h 2 ( ) ，p a t h 3 ( ) 。 i 夏 o o r d 盯o fd e n o m i n a t o r 图2 8 倒差商插值路径表 磁m o d ei ：p ：目+ i 圃m o d e2 ：p = q i 圆m o d e3 ：p 。q 凰m o d e 4 ：p ：矿2 e 三jm o d e5 ：p = 口2 s w i t c h i n go r i d 1 6 南京理工大学硕士学位论文智能优化算法在电磁工程中的应用 接下来描述这种自适应有理函数插值算法的流程。首先假设整个频段定义为从 。到厶。图2 8 中的逼近模型路径l ，路径2 和路径3 对应的函数分别为p a t h l ( ) ，p a t h 2 ( ) ，p a t h 3 ( ) 。频段内关心的任意一个频率点定义为z ，路径的取样 点定义为，。取样点对应的电磁软件仿真值或实测值定义为e m ( l ) 。 第一步，设定正= 厶。和工：= 厶。，并求得e m ( f 。，) 和e m ( f ，：) 。 第二步，选择路径1 和路径2 作为逼近模型，并找到两个模型误差最大的频率 点，比如说点厶，那么旧( 厶) 一最( 厶) f _ m a x k ( 五) 一只) f 。 第三步，求得肼( z ，) 。如果给定误差e p s 大于第二步中的模型误差，即 1 只( 厶) 一县( 工，) l e p s ，程序跳到第六步终止；否则，把取样点正，e m ( f ，) 加入 到取样点集合中，然后程序进入下一步寻找下一个最大误差对应的取样点。 第四步，选择路径1 和路径3 作为逼近模型，并找到两个模型误差最大的频率 点，比如说点工。，那么l 异( f 。) 一e ( z 。) i = m a x l 异( f ) 一b ( 五) i 。 第五步，求得删( 工。) ，如果k ( 正。) 一只( z 。) l 一2 0 n 一2 5 3 0 一3 5 4 0 051 01 52 0 f r e q u e n c y g h z 图2 1 0 ( b ) $ 2 1 曲线拟合图 研究中的问题： 1 在有理插值算法中，当取样点少于3 0 个时，s 曲线就有比较大的误差；即 便是3 0 个取样点时，在一两个频率点还是有3 d b 左右的误差；要拟合程度更高， 一般要有4 0 个取样点。但在i e 3 d 对同样结构的电路分析时，一般只要2 2 个取样 ， m 0 原因：i e 3 d 中的快速扫频算法应是针对矩量法设计的矩阵降阶算法，有很强的 针对性：但是有理插值算法只是一种针对最后生成数据的数据后处理算法，对下一 个取样点的寻找判别是一个相对较慢的过程，因此所取的点较多。 2 在该有理插值算法中的职s ( 判别误差) 不是插值函数与真实值之间的误 差而是两个插值函数之间的误差。正如收敛图中所示，当e p s 取为o 0 1 时，在 一两个频率点插值函数值与真实值还是有o 5 左右的较大误差。因此，只有在算法 进行了较多步数之后( 理论上是无穷多步) ，两个插值函数之间的误差趋于零，才 代表每个插值函数值与真实值一致。但是在实际算法中，取样判别步数不能过多， 否则失去意义。但是在有限步数以内，每一步产生的凹s 又是一个总体趋势变小的 随机过程。因此，该算法的凹s 不能有效控制步数。 原因：e p s ( 判别误差) 不是插值函数与真实值之间的误差，而是两个插值函 数之间的误差。因此程序中误差值最大的频率点并不一定代表插值函数值与真实值 1 9 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 之间的误差最大点，所以必然会导致程序多取了一些对曲线凹凸性影响不大的频率 点。 以上阐述的两个问题都是这种有理插值算法内在的固有矛盾，问题产生的原因 也都是由于算法本身。有理函数的最大特点就是能比较好地拟合目标曲线的零极点 特性，所以作为一种数据后处理方法，多一些取样点对曲线的拟合是必要的。但是 作为一种应用方法，过多的取样点又使这种方法失去了实用价值。 2 5 小结 综上所述，自适应有理插值算法虽然能在较宽频带内较好地拟合目标曲线，而 且取样点数目相对于全波分析算法也己大大减小，但是和i e 3 d 相比较还是有很大 差距。要在不影响拟合精度的前提下使取样点更少，就应该寻找更为有效的和全波 分析算法结合更为紧密的模型降阶算法。 南京理工大学硕士学位论文 智能优化算法在电磁工程中的应用 3 遗传算法优化阵列天线方向图 在前一章中采用的自适应有理函数插值方法可以理解为一种利用函数内部收 敛特性的数据后处理学习方法。在电磁场的许多复杂非线性问题中，模仿生物活动 的智能优化学习方法也得到了广泛的应用。本章用遗传算法搜索求解一个阵列天线 中的多维变量，使天线方向图的副瓣满足特定的优化目标。 3 1 引言 自1 9 6 0 年以来，人们对于模拟生物以及由此开发的针对复杂优化问题的有效 算法产生了浓厚的兴趣。当前在该领域中常常引用的术语就是进化计算。它包含以 下一些主要算法：遗传算法，进化策略，进化规划和遗传程序设计。当然还存在若 干将上述算法的各种特点加以结合而形成的混合算法。 作为强有力且应用广泛的随机搜索和优化方法，遗传算法可能是当今影响最广 泛的进化计算方法之一。在过去的几年中，遗传算法界将更多的注意力放在工业工 程领域的优化问题上，并由此产生了一批新的研究和应用。 一般认为，遗传算法有5 个基本组成部分1 6 j ： 1 问题的解的遗传表示 2 创建解的初始种群的方法 3 根据个体适应值对其进行优劣判定的评价函数 4 用来改变复制过程中产生的个体遗传算子 5 遗传算法的参数值 遗传算法维持由一群个体组成的种群p ( t 1 ( f 代表遗传代数) 。每一个体均代表 问题的一个潜在的解。每一个体都被评价优劣并得到其适应值。某些个体要经历称 作遗传操作的随机变换，由此产生新的个体。主要有两种变化方法：变异的方法是 将一个个体改变从而获得新的个体；杂交的方法是将两个个体的有关部分组合起来 形成新的个体。新产生的个体c ( t 1 ( 称作后代) 继续被评价优劣。从父代种群和子 代种群中选择比较优秀的个体就