（基础数学专业论文）an+endemic+model+with+saturation+recovery.pdf

中文摘要 当一种严重的传染病突然出现时，染病者将大量出现。需要到医院接受治疗的 病人有可能会超过当地医院的承受能力。 。 我们建立了一个带有饱和恢复率的传染病模型，以便揭示有限的医疗资源对于 紧急的传染病控制的作用。 结果说明，饱和的染病者恢复率会引起重要的动力系统行为，比如当基本再生 值小于1 时所出现的双稳现象和周期性。在这些有趣的动力系统行为中，后向分支 也是其中之一它给有效的传染病控制提出了新的挑战。 s i r 传染病模型的阈值也能够得到。 关键词：s i r 传染病模型，饱和恢复率，基本再生值，稳定性，双稳现象，周期性 分支 v a b s t r a c t w h e nas e v e r e l yi n f e c t i o u sd i s e a s et a k et h ew o r l db ys u r p r i s e i tw i l lb r i n ga n e x p l o s i v es u r g ei nt h en u m b e ro fi l l n e s s t h en u m b e ro fi l l n e s sn e e dt ob et r e a t e d i nh o s p i t a l sm a ye x c e e dt h ec a r r yc a p a c i t yo fl o c a lh o s p i t a l s w ep r o p o s ea ne p i d e m i cm o d e lw i t hs a t u r a t i o nr e c o v e r yf r o mi n f e c t i v ei n d i v i d - u a l st ou n d e m t a n dt h ee f f e c to fl i m i t e dr e s o u r c e sf o rt r e a t m e n to fi n f e c t i v e so nt h e e m e r g e n c yd i s e a s ec o n t r 0 1 i ti ss h o w nt h a ts a t u r a t i o nr e c o v e r yf r o mi n f e c t i v ei n d i v i d u a l sl e a dt ov i t a ld y - n a m i c s ，s u c ha sb i s t a b i l i t ya n dp e r i o d i c i t y , w h e nt h eb a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r 硒 i sl e s st h a nu n i t y a m o n gi n t e r e s t i n gd y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h em o d e li sab a c k - w a r db i f u r c a t i o nw h i c hr a i s e sm a n yn e w c h a l l e n g e st oe f f e c t i v ei n f e c t i o nc o n t r 0 1 t h et h r e s h o l df o rs i re p i d e m i ci so b t a i n e d k e yw o r d s ：s i re n d e m i cm o d e l ，s a t u r a t i o nr e c o v e r y , t h eb a s i cr e p r o d u c t i o n n u m b e r ，s t a b i h t y , b i s t a b i l i t y , p e r i o d i c i t y , b i f u r c a t i o n a c k n o w l e d g e m e n t s i t i sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u m t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d et om y s u p e r v i s o rp r o f e s s o rj i n g a nc u i i ti sh i mw h ot a u g h tm eh o wt ok e e pp a t i e n ta n d d or e s e a r c hi nm a t h e m a t i c ss t e pb ys t e p i nt h ep a s tt h r e ey e a r s e v e r yp r o g r e s so f m i n ei ns t u d ya n dr e s e a r c ho w n e dal o tt oh i m w i t h o u th i si m p r o v i n ga d v i c e ，t h e , c o m p l e t i o no ft h ep r e s e n tt h e s i sc o u l dh a v eb e e ni m p o s s i b l e i dl i k et oe x p r e s sm yh e a r tt h a n k st op r o f e s s o rh u a i p i n gz h uf y o r ku n i v e r - s i t y ) f o rh i sag r e a td e a lo fh e l pa n di n d i c a t i o nf o rt h i sp a p e r 1a l s oe x p r e s sm y h e a r tt h a n k st op r o f e s s o rd i n g j u sl u o ，p r o f e s s o rj i n x u a nf a n ga n dp r o f e s s o rj i h u i z h a n g ，f o rt h e i rw o n d e r f u ll e c t u r e si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n da n a l y s i sa n df o r t h e i re x c e l l e n tm o d e sa ss c h o l a r s w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o th a v ef i n i s hm y s t u d ys m o o t h l y f i n a l l y , io w em y t h a n k st om y p a r e n t sf o rt h e i rp a t i e n c e ，l o v ea n dm yc l a s s m a t e s ， e s p e c i a l l yy i l i ns o n ga n dx i a e x i am u 1w i l la l s os h o wt h a n k st oy i p i n gl i ua n d t a o x i n 1 n a p r i l ，2 0 0 6 1 i n t r o d u c t i o n i nr e c e n ty e a r s e f f o r t sh a v eb e e nm a d et od e v e l o pr e a h s t i cm a t h e m a t i c a lr o o d e l sf o rt h et r a n s m i s s i o nd y n a m i c so fk n o w na n de m e r g i n gi n f e c t i o u sd i s e a s e s t h e d e v e l o p m e n to fs u c hm o d e l sa i m sa tu n d e r s t a n d i n gt h ee p i d e m i o l o g i c a lt r a n s m i s - s i o np a t t e r n sa n dp r e d i c t i n gt h ec o n s e q u e n c e so ft h ei n t r o d u c t i o no fp u b l i ch e a l t h i n t e r v e n t i o n st oc o n t r o lt h ep o s s i b l eo u t b r e a ka n ds p r e a do ft h ed i s e a s e i nc l a s s i c a ld i s e a s et r a n s m i s s i o nm o d e h ，t h er e c o v e r yf r o mi n f e c t e dc l a s sp e ru n i t o ft i m ei sa s s u m e dt ob ep r o p o r t i o n a lt ot h en u m b e ro fi n f e c t i v ei n d i v i d u a l s ( d e n o t e d b yj ) ，s a ya i ，w h e r eo 0 i st h er e m o v a lr a t e t b i si sar e a s o n a b l ea p p r o x i m a t i o n t ot h et r u t hw h e nt h en u m b e ro ft h ei n f e c t i o u si n d i v i d u a l si sn o tt o ol a r g ea n db e l o w t h ec a p a c i t yo fh e a l t hc a r es e t t i n g s s o m e t i m e st h i sa p p r o x i m a t i o nc a nn o tr e f l e c tt h er e a lr e c o v e r y 汗五e nas e v e r e l y i n f e c t i o u sd i s e a s et a k et h ew o r l db ys u r p r i s e ，f o re x a m p l eb l a c kd e a t hi n1 3 4 7 ，i n - f l u e n z ap a n d e m i co f1 9 1 8 ，i tw i l lb r i n ga l le x p l o s i v es u r g ei nt h en u m b e ro fi l l n e s sa n d d e a t h ss u m c i e n tt ot e m p o r a r i l yp a r a l y z ep u b l i cs e r v i c e sa n de c o n o m i cp r o d u c t i v i t y i ft h ei n f e c t e di n d i v i d u a l sc a nn o tr e c o v e ru n l e s st h e yw e r eg i v e nt i m e l yt r e a t m e n t i nh o s p i t a l s t h e nt h en u m b e ro fi l l n e s sn e e dt ob et r e a t e di nh o s p i t a l sm a ye x c e e d t h en u m b e ro ft h es i c k b e d s i nt h i sc a s e ，t h er e c o v e r yf r o mi n f e c t i v ec l a s sw i l lr e a c h am a x i m u m ( s a t u r a t e s ) ，e s p e c i a l l yi nt h er u r a la l - e a 8i nm a n yd e v e l o p i n gc o u n t r i e s i no t h e rw o r d i ft h en u m b e ro fi l l n e e se x c e e daf i x e dl a r g es i z et h e nt h en u m b e r o fr e c o v e r e di si n d e p e n d e n to ff u r t h e rc h a n g e si ni n f e c t i o u ss i z e i nf a c t e a c hc i t y h a si t sl i m i t e dt r e a t m e n tc a p a c i t y s t a t i s t i c ss h o w st h a t ，f o re x a m p l e ，t h e r ea r e1 6 4 s i c k b e d sf o re v e r y1 0 0 0r e s i d e n t si nj a p a no na v e r a g ei n1 9 9 9 ，b u tt h ec o r r e s p o n d i n g d a t aa r e2 6 ，2 4a n d1 1 ，r e s p e c t i v e l yi nt u r k e y , c h i n aa n dm e x i c o t h e s ef a c t su r g e d1 l st oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：h o wd o e st h es a t u r a t i o n r e c o v e r ya f f e c tt h ed y n a m i c so fe p i d e m i cm o d e l ? i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h i sp r o b l e mb yp r o p o s i n gac l a s ss i rm o d e lf i r s t ，i n w h i c ht h ei n f e c t i v eh a ss a t u r a t i o nr e c o v e r y , s a y ( ，) ，a n dt h e na n a l y z i n gi t sd y n a m - i c s h e r e 危( ，) s a t i s f i e s ( o ) = 0 ， ( o o ) = ca n d 器 0 ，w h e r e ci sap o s i t i v ec o n s t a n t w h i c hi m p l i e st h em a x i m u mr e c o v e r e dn u m b e rf r o mi n f e c t i v ec l a s s o n ew a yw h i c hh a sb e e nu s e dt om o d e laq u a n t i t yw h i c hi si n c r e a s e sf o rs m a l l p o p u l a t i o n sa n da p p r o a c h e sam a x i m u mf o rl a r g ep o p u l a t i o n si sw i t has m o o t h 1 v e r h u l s t - t y p ef u n c t i o n 2 2 w ea d o p tt h ev e r h u l s t t y p ef u n c t i o n ( f ) = 丽c i t om o d e lt h er e c o v e r e dp a r tw h i c hi si n c r e a s e sf o rs m a l li n f e c t i v e sa n da p p r o a c h e sa m a x i m u mf o rl a r g ei n f e c t i v e s h e r ecg i v e st h em a x i m u mr e c o v e r yp e ru n i t eo ft i m e ， a n db ，t h ei n f e c t e ds i z ea tw h i c hi s5 0 s a t u r a t i o n ( h ( b ) = c 2 ) ，m e a s u r e sh o w s o o n s a t u r a t i o no c c u r s o u ra n a l y s i ss h o w st h a tt h em o d e lm a ye x h i b i tm u l t i p l es t a b l ee q u i l i b r i aw h e n t h eb a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r ( 玛) i sl e s st h a nu n i t y i nm o s te p i d e m i cm o d e b t h ed i s e a s ew i l lb ee r a d i c a t e df r o mt h ep o p u l a t i o ni f r o 1 【3 ，5 ，6 ，1 2 1 h o w e v e r ，r e c e n tw o r kh a ss h o w nt h a t t h en e c e s s a r yc o n d i t i o nr o li sn o ts u f f i c i e n tt oc o m p l e t e l yr e m o v et h ed i s e a s e f r o mt h ep o p u l a t i o n 【1 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 l ，1 4 ，1 5 ，1 9 ，2 1 ，2 4 1 i nt h i sc a s e ，t h es t a b l e d i s e a s e - f r e es t a t ec o m p e t e sw i t has t a b l ee n d e m i cs t a t e s u c has c e n a r i o k n o w na s t h eb i s t a b l ep h e n o m e n o n ，h a sb e e ne x p l o r e di nm a n ye p i d e m i cm o d e l s ，i np a r t i c u l a r ， i nv a c c i n a t i o nm o d e l sw i t hi m p e r f e c tv a c c i n e s 1 ，1 4 ，1 5 ，2 1 】a n dm o d e i sc o n t a i n i n g d i f f e r e n tc l a s s e sf o rs u s c e p t i b l e so ri n f e c t i v e s 【1 0 ，1 1 1 ac l i n i c a ls t u d yo fam e a s l e s e p i d e m i ci np o l a n ds u p p o r t st h i sf a c t 【1 3 1 2 as i rm o d e lw i t hs a t u r a t i o n r e c o v e r vt r o i ni n i e c t l v e s ，ni c o n s i d e rt h et r a n s m i s s i o no fc e r t a i ni n f e c t i o u sd i s e a s ei nag i v e nr e g i o n a r e a w ec l a s s i f yt h ep o p u l a t i o ni n t ot h ef o l l o w i n gc a t e g o r i e s ： t h es u s p e c t e ds ( t ) ， t h ei n f e c t e di ( t ) w h oa r ei n f e c t i o u s ， 2 b a s e do ns t a n d a r ds i rm o d e lw i t ht h e1 n c i d e n c eo im a s sa c t i o n at n o d e 】 。 f 等卅_ d 弘脚， 豢邓h m 炉晶， 【警= 丽c l d r ， ai st h er e c r u i t m e n tr a t eo fs u s c e p t i b l ep o p u l a t i o n ； w ec a l lc o r l ：s t r u c t ( 2 1 ) di 8n a t u r a ld e a t hr a t ea n d i st h ed e a t hr a t ed u et ot h ei n f e c t i o no ft h e d i s e a s e ； h ( j ) = 衍c l i st h er e c o v e r yf r o mt h ei n f e c t e dc o m p a r t m e n t h e r ee 咖t h e m a x i m 哪r e c o v e r yp e ru n i t eo ft i m e ，a n db ，t h ei n f e c t e ds i z ea tw h i c h i s5 0 s a t u r a t i o n ( h ( 6 ) = c 2 ) ，m e 船u r e 8h o w s o o ns a t u r a t i o no c c u r s t h ei n c i d e n c er a t ei sa s s u m e dt ob em 髑a c t i o ni n c i d e n c ew i t hb i l i n e a ri n t e r - a c t i o n sg i v e nb y8 s l ，w h e r epi st h ep r o p e r t yo ft r a n s m i s s i o np e r c o n t a c t n o t et h a tt h ef i r s tt w oe q u a t i o n sa r ei n d e p e n d e n to ft h et h i r do n e w en e e do n l y s t u d yt h ef o l l o w i n gr e d u c e dm o d e l ： 3 t h r e s h o l dc o n d i t i o n sa n ds t a b i - l i t yo ft h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u m l e tt h er i g h th a n ds i d eo f ( 2 2 ) b ez e r o ，o n ec a nv e r i f yt h a tt h em o d e l ( 2 2 ) h a s o n ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u ma te o = ( 鲁，o ) t h e l o c a ls t a b i l i t yo fe 0c 粕b eo b t a i n e d t h r o u g has t r a i g h t f o r w a r dc a l c u l a t i o nf o rt h ee i g e n v a l u e s 3 动 犯 晶 一 趴 啪 卢 一 d 龉 一 肛 聊 = i l 13一毗口一出 ，iiliclii、 i tf o l l o w sf r o m ( 2 5 】) t h a tf o rt h ec o m p a r t m e n t a lm o d e l s ，t h el o c a ls t a b i l i t yo f t h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r m mi sg o v e r n e db yt h er e p r o d u c t i o nn u m b e ro ft h em o d e l i fw eu s et h en o t a t i o ni n ( f 2 5 】) ，t h e nw eh a v e 、f = 一瞄澍 f = ( 竽) ，y = ( d 十7 + ；) ， n o t et h a tf o rt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no f ( 2 2 ) a te 0 n + d ) ( a + 1 一b ) = 0 ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) i tf o l l o w sf r o mr o u t h - 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a p ， b d ( d + ) + c d b a b 啦2 瓦再可一 ( 4 4 ) ( 4 5 ) i fh ( 0 ) 9 ( o ) ，t h e nt h e r ei sau n i q u ep o s i t i v er o o t i nf a c t ，w h e nh ( o ) 夕( o ) ， t h et w oo u r y e ss = l l ( ，) a n ds = g ( i ) h a v eo n ep o s i t i v ei n t e r a c t i o nw h i c hg i v e so n e e n d e m i ce q u i l i b r i u m 护( 9 ，) 8 ss h o w ni nf i 9 4 1 ( b ) g e o m e t r i c a l l yo n ec a l lv e r i f y t h a t 警一警 0 6 i fh ( 0 ) = 9 ( o ) ，t h e na 2 = 0a n dt h e r ei sau n i q u en o n z e r os o l u t i o no f ( 44 ) ，= 一8 1w h m hi sp o s i t i v ei fa n do n l yi fa l 0 t h e n ，t h e r ei sau m q u ee n d e m i c e q u i l i b r i u mw h e no l 0 ( o rn l 0 ( o r 口2 a 2 ( c ) ，t h e ( 4 3 ) h a sau n i q u ep o s i t i v es o l u t i o n n o ww ec o n s i d e rt h ec a s ew h e na a 2 ( c ) w r i t et h ed i s c r i m i n a n ta = o i 一4 n 2 a sa f u n c t i o no fca n d a ，w eh a v e ( c ，a ) ；【壁坚垒号罢菩产1 2 4 【墼竖生；刍铲1 i fa=0d e f i n e sac n r v e si nt h ep o s i t i v ec o n eo ft h e ( c ，a ) p l a n e ，t h e ni tm u s ts a t i s f y a a 2 ( c ) f u r t h e r m o r e ，i f ( 4 4 ) h a sn o n e - n e g a t i v er o o t s ，w en e e da l ( c ) c + ，t h e na 1 ( c ) a 2 ( c ) ，a n ds y s t e m ( 4 2 ) h a st w oe q u i l i b r i aw h e na l ( c ) a o ；s y s t e m ( 4 2 ) h a sa u n i q u ee n d e m i ce q u i l i b r i u mw h e na = 4 2 ( c ) ；s y s t e m ( 4 2 ) h a sau n i q u ee n d e m i c e q u i l i b r i u mo fm u l t i p l i c i t y2w h e na i ( e ) a a 2 ( c ) a n da = 0 ；a n ds y s t e m ( 4 2 ) - h a sn oe q u i l i b r i u mw h e n c a si ss h o w ni nf i g 4 2 ，i nt h e c a s ew h e nd 一够 0 t h e1 i n ea = a 2 ( c ) a n dt h ec u r v es e g m e n tf 1s u b d i v i d et h e p o s i t i v ec o n eo ft h ep a r a m e t e r sp l a n e ( e ，a ) i n t ot h r e er e g i o n sq o ，q 1a n dq 2 ，w h e r e q 。= ( c ，a ) i o c c ，o c ，o a 矿，a a 2 ( c ) ， q 2 = c c ，a ) l c c ，也( c ) c ，晟a n d e c o a l e s c ea t8u n i q u ee n d e m i ce q u i - l