（控制理论与控制工程专业论文）基于LMI的时滞系统Hlt∞gt控制器的设计与仿真研究.pdf

中文摘要 摘要 在各类工业系统中，时滞现象是及其普遍的，通信系统传送系统化工过 程系统冶金过程系统环境系统电力系统等都是典型的时滞系统时滞特性 常会对控制系统的稳定性及系统性能指标产牛严重的影响，因此时滞系统的研究 具有十分重要的理论意义和实际工程应用价值。正是由于时滞系统在实际中大量 存在以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的控制是控制理论应用的 + 个热点。 本文基于李亚普诺夫稳定性理论及时滞系统控制理论，采用线性矩阵不等式 ( 1 m i ) ，介绍了时滞系统鲁棒分析和综合的一些方法和结果，对时滞系统的稳定 性及控制问题进行了研究。本文概述了时滞系统稳定性与控制问题的研究以及研 究状况，对l m i 和l m i 工具箱的使用进行了详细介绍，将判定时滞系统的稳定性 转化为判断一个线性矩阵不等式的可行解问题，线性矩阵不等式可以应用l m i 工 具箱很方便的求解。本文对时滞独立和时滞依赖基于l m i 的稳定性条件作出了一 些总结和证明，得到了时滞系统具有h 。性能满足的条件，以线性不等式表述。 对时滞系统进行了基于线性矩阵不等式的鲁棒镇定以及h 。状态反馈控制器的和 日。输出反馈控制器的设计，这一方法的好处在于可以用相对直接的矩阵运算柬 得到控制器的设计方法。本文结合算例给出了相应的仿真结果，数值仿真的仃效 性保证了此方法的可行性。 关键词：线性矩阵不等式( l m l ) ；时滞系统；鲁棒稳定性；控制器设计 英文摘要 h 。c o n t r o l l e rd e s i g na n ds i m u l a t i o nr e s e a r c ho ft i m e d e l a ys y s t e m b a s e d o n l m i a b s t r a c t i ne a c hk i n do fi n d u s t r ys y s t e m ，t h e r eg e n e r a l l ye x i s t st i m ed e l a yp h e n o m e n o n t h e c o r r e s p o n d e n c es y s t e m ，t h et r a n s m i s s i o ns y s t e m ，t h ec h e m i c a le n g i n e e r i n gp r o c e s s s y s t e m ，t h em e t a l l u r g yp r o c e s ss y s t e m ，t h ee n v i r o n m e n ts y s t e m ，t h ee l e c t r i cp o w e r s y s t e me t c ，a r ea l lt y p i c a lt i m ed e l a ys y s t e m s s t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c ea r ea l w a y st h e k e yi s s u ei nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g ，s ot h es t u d yo fd e l a ys y s t e m a t t r a c t sc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h ec o n t r o lt h e o r yl i t e r a t u r e e x a c t l yb e c a u s eo ft h e t i m ed e l a ys y s t e m sa c t u a li nag r e a td e a lo fe x i s t e n c ea n dt h ed i f f i c u l t yo f a n a l y s i sa n d c o n t r o l ，t h ec o n t r o lo ft i m ed e l a ys y s t e m si sh o ti nc o n t r o lt h e o r i e sa p p l i c a t i o n ，t h i s p a p e ra c c o r d i n gt ol y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r i e sa n dt h ec o n t r o lt h e o r i e si nt i m ed e l a y s y s t e m s ，u s el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ，i n t r o d u c es o m em e t h o d sa n dr e s u l to fr o b u s t a n a l y t i c a la n dc o m p r e h e n s i v e ，r e s e a r c ht ot h es t a b i l i t yo ft h es y s t e ma n dc o n t r o lt h e p r o b l e mi nt i m ed e l a ys y s t e m s t h eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c hi n t os t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o no ft i m ed e l a y s y s t e mi s i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r s o m eb a s i cn o t i o n so fl m ia n dl m it o o l b o xa r e i n t r o d u c e d t h i sp a p e ri n v e r tt h es t a b i l i t yo ft i m ed e l a ys y s t e m st oj u d g ef e a s i b i l i t y s o l u t i o no fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t “l m i ) ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yc a na p p l yt h et o o l b o xo fl m it os o l v ev e r yc o n v e n i e n t l y t h i sp a p e rm a d es o m es u m m a r i e sa n d c e r t i f i c a t eo fd e l a y i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t ya c c o r d i n gt ot h el m i s t a b i l i t yc o n d i t i o n t h i sp a p e rc a r r i e so nr o b u s ts t a b i l i z a t i o n ，s t a t ea n do u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e ri sd e s i g n e da c c o r d i n gt ot h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t h ea d v a n t a g eo ft h i s m e t h o dl i e s i nt h ed e s i g nm e t h o dt h a tc a ng e tt h ec o n t r o l l e rw i t ht h ed i r e c tm a t r i x o p e r a t i o n c o m b i n e dt oc a l c u l a t ee x a m p l et oe m u l a t ec o r r e s p o n dr e s u l t t h er e s u l t so f n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h em e t h o d sg i v e ni nt h i sp a p e ra r ee f f e c t i v e k e yw o r d s ：l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t i m ed e l a ys y s t e m s ；r o b u s ts t a b i l i t y c o n t r o l l e r 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑莺声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，撰写 成硕士学位论文! 茎i 生丝豳煎獐绌如丝纠貉豳地銎壹氆墓4 客：。除论文中 已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己存文中 以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开 发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：、害) 镟柳7 年3 月2 7 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位沦 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密囱( 请在以卜方框内打“”) 沦文作者签名 导师签名 日期：加- 7 年，月四日 基于l m i 的时滞系统。控制器设计与仿真研究 第1 章绪论 1 1 引言 时滞现象在各种各样的控制系统中都是普遍存在的，如微波发生器，长管道 进料，皮带传输，核反应堆和轧钢系统中，在网络传输控制计算机信息和数据的 传送过程中，时滞就是一个不可忽略的部分。对于一个系统而言，我们首先要关 注的是这个系统的稳定性问题。然而，系统中时滞的存在，对系统的影响首先是 稳定性。对于大多数线性控制系统来说，系统中存在的时滞总是产生消极作用， 使系统由稳定变为不稳定。众所周知，时滞的存在将改变系统的特征方程以超越 方程的形式表示，特征方程的数量将变为无限多个。目前，对时滞系统的研究大 致可以分为频域和时域方法两种。频域方法虽然能够容易地得出理论上时滞系统 的稳定性条件，但是其求解的复杂性几乎不能用于实际工程当中。时域法主要有 l y a p u n o v “2 3 1 泛函方法和r a z u m i k h i n n 型定理给出的l y a p u n o v 函数法，这种方 法是时滞系统稳定性分析中非常重要的一般化方法，九十年代以后，由于利用l m i 解析方法构造l y a p u n o v 泛函和l y a p u n o v 函数的方法，使得这两种方法在时滞 系统的稳定性分析中得到了广泛的应用。例如，对于时滞系统 戈( f ) = 瓜( f ) + b x ( t 一 ) 根据许多学者经常使用的l y a p u n o v 函数，对于线性时滞 系统，最为普遍的一种形式就是矿( z ( f ) ) = z 7 ( t ) p x ( t ) - i - f 7 ( s ) 瓜( j ) 西式中p ，r 为正定对称矩阵。然后求导可以获得系统的稳定性条件为 l r + z + 爿7 p 朋l o l b r p + c r j 一 并指出通过研究线性黎卡提方程一7 p + p a 一( p b + c 7 ) r 。( b 7 p + c ) + q = 0 的对 称解可解此不等式，而上面方程的解可通过特征分解相关的h a m i t o n i a n 矩阵得 到。这一关系在苏联发现的更早，在那里a r e 被称为l u r e 分辨方程。到1 9 7 1 年，研究者们己掌握了几种求解特定形式的l m i 的方法，如直接法( 适用于小系 统) ，图解法，和通过求解李雅普诺夫或黎卡提方程的方法。从我们的观点来看， 这些方法只能求解特定形式的l m i ，且得到的都是近似解，或得到低阶系统的解 析解( 大多数研究者和工程师认为黎卡提方程有解析解，这是因为从其工作量上 一眼便可看出，用于求解的标准算法完全是根据问题的规模确定的，而不是由问 题所涉及的数据确定的。当然，对于五阶或更高阶的系统，它就无法通过有限步 的计算来求解了) 。p y a t n i t s k i i 和s k o r o d i n k i i 他们把l u r 提出的问题( 扩展 到多次非线性的情况) 化简为包含有以i 的凸最优问题，再通过椭圆法进行求解。 p y a t n i t s k i i 和s k o r o d i n k i i 是我们所知道的最早将李雅普诺夫方法化为凸最优 形式，并提供了算法( 已被证实) 来求解此最优化问题的研究者。这里我们还要 介绍另外的一些先驱者。h o r i s b e r g e r 和b e l a g e r 在1 9 7 6 年的论文中也提到 了二次型李雅普诺夫方程，同时还由此证明线性系统的稳定性是一个包含l m i 的 凸问题。其实，利用计算机对李雅普诺夫方程进行研究己不是一个新想法了利用 内点法2 1 这一强大而有效的算法来求解系统和控制理论中的l m i 这是l m i 理论 最具实际意义的一次飞跃。1 9 8 4 年，n k a n n a k a r 介绍了一种新型的用于解决关 第2 章线性矩阵不等式 2 3 线性矩阵不等式表示 r + ：。f o ( o r 。 基于l m i 的时滞系统。控制器设计与仿真研究 ； ； i + 石。 i ； + x ： ； i i 。 2 4 控制约束的线性矩阵不等式表示 可以转化为d i a g ( f 1 ( x ) ，最( x ) ，吒 ) ) 0 。 定舭h 鼬u r 补m 铡于给定的对称矩阵s = 瞪乏 ，其帕一是，维 ( 2 ) s l l o ，s 2 2 一s 1 7 2 昭- s 1 2 0 。 ( 3 ) s 2 2 0 ，则以下 两个条件是等价的。 研”：对使得吼( y ) 0 的所有y r m , y 7 q l y o ； 醴：存在f 0 ，使得q o 一码 0 。 利用定理可以知道：存在对称矩阵p 0 ，使得对满足石7 石s 善7 c 7 喏的所 有善o 和万， 吼彳秽瑚 _ 0 ，使得 i 尸+ ! 啊朋i 0 证明：由于对任意实数矩阵肘，有m 7 m 0 ，则 p 爿一占嘿口】7 p 彳一占嘿b o 营a 7 b + b 7 a e d 7 a 一占一1 8 7 b s 0 铮a 7 b + b 7 a e a 7 a + b - t b r b 占 0 2 a h ( t ) b + b 7 h 7 ( f ) 爿7 r - 2 a 7 a + r 2 8 7 b ，r 0 引理2 ，5 ( s - - p r o c e d u r e ) ：( 1 ) 对q ( 力= y r g y + 2 s r y + r i 0 ，假定存在一个 夕月“，使得吼( 萝) 0 ，则以下两个条件是等价的： s ：1 ) ：对使得q ( y ) 0 ，的所有y r ”，仃o ( y ) = y r q o y + 2 s t y + r o 0 ： 硝： = 存在使得以下的线性矩阵不等式是可行的： 导州导扣。 ( 2 ) 对吼( ) ，) = y r q , y o ，假定存在一个歹r “，使得q ( 夕) 0 则以下两 个条件是等价的： 科2 ：对使得盯1 0 ) 0 ，的所有非零y r ”，y r q o j ， 0 ； s 导：存在f 2 0 ，使得q o 一坦。 0 。s p r o c e d u r e 可以将不是凸约束的问 题转化为线性矩阵不等式约束。 2 6 几个标准的线性矩阵不等式问题 ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ： 检验是否存在满足线性矩阵不等式，( 曲 0 的x ，若满足则此线性矩阵不等 式是可行的，否则是不可行的。 可行性问题，在m a t l a bl m it o o l b o x 中用f e a s p 函数可以求得：对线性矩 阵不等式爿( 石) 口( j ) + 甜，f e a s p 函数将在其约束下搜索决策变量j ，使得满足 约束的旯最小，若k 0 ，则线性矩阵不等式一( 工) 口( z ) 有解，对应j 即为一组 i o 基于l m i 的时滞系统。控制器设计与仿真研究 可行解。 ( 2 ) 特征值问题( e i g e n v a l u ep r o b l e m ) ： 在线性矩阵不等式约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的最小化问题。一般 表示为： m i n 旯 a t g ( 工) 村 h ( x ) 0 或等价于 m i n c 7 石 s ，( 曲 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e m ) ： 即求 m i ni m i z e 2 z b ( x ) 一4 ( z ) 0 曰( 石) 0 c ( 工) 0 或等价于 m i n i m i z e 2 , 。( 4 ( x ) ，口( j ) ) b ( z ) 0 c ( 工) 0 对称矩阵a ，b ，c 仿射依赖于石r ”。 2 7 李雅普诺夫基本稳定性定理【1 6 】 ( 1 ) 考虑连续时间非线性时变时滞系统： 镙f ( o i 璺o o , t 寰x o0 0 ， z ， i，f ) = ，】 其中j 为h 维状态。 引理2 6 ：系统( 2 2 ) 若可构造j 和t 具有连续一阶偏导数的一个标量函数 v ( x ，f ) ，v ( o ，t ) = 0 ，且对状态空间r “中所有非零状态点x 满足如下条件，则称其 第2 章线性矩阵不等式 在z = 0 为大范围一致渐进稳定： ( i ) v ( x ，t ) 正定有界； ( i i ) v ( x ，t ) 对时间f 的导数旷( 耳，t ) 负定有界。 ( i i i ) 一，v ( x ，f ) 一o o a ( 2 ) 考虑连续时间非线性时不变时滞系统： 慌( o 袋o 垃, t 0 眨s ， l，f ) = ，叫 其中x 为n 维状态。 引理2 7 ：系统( 2 3 ) 若可构造x 和f 具有连续一阶偏导数的一个标量函数 矿( 工) ，矿( o ) = 0 ，且对状态空间r ”中所有非零状态点工满足如下条件。则称其在 x = 0 位大范围渐进稳定： ( i ) v ( x ) 正定； ( i i ) v ( x ，t ) 对时间t 的导数矿( 工，t ) 负定。 ( i i i ) 专o o ，矿 ) _ o o 。 ( 3 ) 考虑连续时间线性时不变系统自治状态方程： j = 血，x ( o ) = x 0 ，t 0 ( 2 4 ) 其中x 为n 维状态，状态空间原点x = 0 为系统的一个平衡状态。 引理2 8 ：系统( 2 4 ) ，原点平衡状态x = 0 是渐进稳定的充分必要条件是矩 阵a 的特征值均具有负实部。 2 8 李雅普诺夫函数构造】 并没有构造l y a p u n o v 函数的一般规律，很多成功构造出来的v 函数往往 有它的背景，例如，某些力学物理模型推演出来的方程，相应的矿函数有明确的 物理意义，如力学保守系统，它的相应的动能和势能的总和变为合适的v 函数。 可以用线性类别方法，即对非线性微分方程组，首先找出它相应的微分方程组的 二次型正定v 函数，然后考虑非线性特性而构造出类似的函数来。 有三种构造l y a p u n o v 函数的原则性的方法，然而都是试探性的，并不定保 证成功。 基于l m i 的时滞系统h 。控制器设计与仿真研究 ( 1 ) 原则性的方法是先试探构造出一个正定的l y a p u n o v 函数，然后寻求沿方 程组解的导数华，看方程组的右端已给定的条件能否保证华负定，或半负定。 “ 如能保证，则可断定渐进稳定性，稳定性。如不能保证华负定，半负定，则任 意稳定性给的结论也无法获得，值得重新寻找别的方法。这种方法是几乎所有稳 定性专著中普遍采用的方法，成功的例子很多，例如i ) 二次型；2 ) 平方和；3 ) 线 性加权型；4 ) 绝对值加权型；5 ) 二次型加非线性积分项型等等。 ( 2 ) 先令华满足负定( 半负定) 条件，然后积分而求得y ，看是否能由方 程组右端的条件而保证矿是正定的，如能，则可以断定某种渐进稳定性，稳定性， 否则，任何结论也得不到，只得另找方法，沿第二种方法的方向有所谓梯度方法， 以及构造梯度的选取不同而派生出来的所谓便梯度法，积分法，能量度量法等等。 ( 3 ) 所谓的微分矩阵法，即同时构造矿及华。 2 9 李雅普诺夫稳定性与线性矩阵不等式 在状态空间下针对形如i ( t ) = 血( f ) 的线性时不变系统，选l y a p u n o v 能量函 数l ( x ，t ) = ，( t ) p x ( t ) ，则系统稳定当且仅当存在正定对称矩阵p 满足 一7 p + p a 0 ；对形如膏( f ) = ( a + c r a ( t ) ) x ( t ) 的线行时变不确定系统，由二次稳定 概念，则系统稳定如果存在正定对称矩阵p 满足 0 + a 一( f ) ) 7 p + p 0 + o 一( f ) ) 0 针对形如主( f ) = 血( f ) + 4 x ( t f ) 的线性时滞系统，一般也可以选择l y a p u n o v 能 量函数( x ，f ) = x t ( f ) 取( f ) + f - d x t ( j ) g 嚏o ) d s ，则系统稳定如果存在萨定对称知阵 啦满足r 垭笔卜对于其它蒯龇等复杂毓进行一 定的变换后同样可用线性理论的方法来处理，显然最后可归结为l m i 问题 本章小结：本章作为基础知识，介绍了线性矩阵不等式的概念表示方法和数 学引理及公式，介绍了用线性矩阵不等式分析李雅普诺夫稳定性的方法。为后面 第2 章线性矩阵不等式 打好了基础。 1 4 基于l m i 的时滞系统。控制器设计与仿真研究 第3 章l m i 工具箱介绍 线性矩阵不等式( l m i ) 工具箱晴“1 是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高 性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示形式，使得各种线性矩阵不 等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就 可以通过调试适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 l m i 工具箱提供了确定、处理和数据求解线性矩阵不等式的一些工具，它们 主要用于： ( 1 ) 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式： ( 2 ) 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息： ( 3 ) 修改现有的线性矩阵不等式系统： ( 4 ) 求解线性矩阵不等式组问题： ( 5 ) 验证结果： 下面将介绍几个与本文有关的函数和命令【2 1 。 s e t l m i s 和g e t l m i s 一个线性矩阵不等式系统的描述以s e t l m i s 开始，以g e t l i n i s 结束。当要确 定一个新的系统时，输入： s e t l m i s ( ) 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为l m i s o 的线性矩阵不等式系 统中，则输入： s e t l m i s ( i m i s o ) 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入： i m i s y s = g e t l m i s 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示l m i s y s n e w l m i 函数n e w l m i 用来确定线性矩阵不等式的名称。例如：l m i t a g = n e w l m i 表示增 加一个名称为l m i t a g 的新的线性矩阵不等式到线性矩阵不等式组中。 i m i v a r 函数l m i v a r 用来描迷出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一个只 第3 章l m i 工具箱介绍 能描述一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表 达式是： x = l m iv a r ( t y p e ，s t r u c t ) 这一函数定义了一个新的矩阵变量x 。函数中的第一个输入量t y p e 确定了矩 阵变量x 的类型，第二个输入量s t r u c t 进一步根据变量x 的类型给出该变量的结 构。变量的类型分成三类：t y p e = l ：对称块对角结构。这种结构对应于具有如下形 式的矩阵变量： d 00 od 0 00 d 其中对角线上的矩阵块d ：( i = 1 1 3 ) 是方阵，它可以是零矩阵、对称矩阵和数量 矩阵。这种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵( 分别相当于只有一块) 。 此时，s t r u c t 是一个r x 2 维的矩阵。如果该矩阵的第i 行是( ( m ，n ) ，则其中的m 表示对称矩阵块d 。的阶数，而n 只能取1 ，0 和一1 。其中n = l 表示d j 是一个满的 对称矩阵( 或无结构的对称矩阵) ：n = 表示d f 是一个数量矩阵：n 一1 表示d ，是一个 零矩阵。 t y p e = 2 ：长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时，s t r u c t = ( m ，n ) 表 示矩阵的维数。 t y p e = 3 ：其它结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵，也可以用于描述 矩阵变量之间的一些关联。x 的每个元或者是0 ，或者是，其中j 。是第n 个 决策变量。相 应地，s t r u c t 是一个和变量x 有相同维数的矩阵，其中每个元取值如下： io ，如果x ( f ，_ ，) = 0 s t r u c t ( i , 力= 如果影( f ) = x n i n ，如私( f ，j ) = 一 l m i t e r m 在确定了矩阵变量以后，还需要确定每个线性矩阵不等式中各项的内容。线 1 6 基于l m ! 的时滞系统日。控制器设计与仿真研究 性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的单个矩阵。这些项可 以分成三类： ( 1 ) 常数项： ( 2 ) 变量顼，即包含了矩阵变量的项。一般的变量顼具有形式p x o ，其中x 是 一个变量，p 和q 是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数： 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，l m i 工具箱提供了这样的功能， 即只需要确定对角线上和对角线上方的内容，或者只描述对角线下方项的内容， 其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式和对称性得到。 用命令l m i t e r m 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。 该函数的一般表达式是： l m i t e r m ( t e r m i d ，a ，b ，f l a g ) 这个函数定义增加了一项到矩阵不等式中。该项可能是一个常数项或变量 项。 t e r m i d 是一个四元向量，它刻画了所描述的项所在的位置和特征，其中： ( 1 ) 第1 个元表示所描述的项属于哪一个线性矩阵不等式。值m 表示第m 个矩 阵不 等式的左边，- m 表示第m 个不等式的右边。 ( 2 ) 第2 和第3 个元表示所描述的项所在块的位置。例如，向量 m l2x 表示所描述的项位于第m 个线性矩阵不等式左边那因子块( 1 ，2 ) 中。 ( 3 ) 最后一个元表明了所描述的项是常数项还是变量项。 ( d t e r m i d ( 4 ) = 0 ，则表示该项为常数项： t e r m i d ( 4 ) = x ，则表示该项为变量项a x b ： t e r m i d ( 4 ) = - x ，则表示包含变量x 转置x 7 的变量项a x 7 b ：a 表示外因 子的值，常数项或者是变量项a x b 或a x 7 b 的左系数。b 则表示变量项a x b 或 a x 7 b 的右系数。f l a g 是可选择的，且只能是s 。当f l a g = s 时，则函数 所表示的变量项为a x b + b 7 x 7 a 7 。 在描述项的内容时，有一些项简化的方法。 ( 1 ) 零块可以省略描述。 1 7 第3 章l m i 工具箱介绍 ( 2 ) 可以用一个标量值来描述一个数量矩阵，即用口表示数量矩阵口i 其中 口是个标量矩阵。例如：3 i 能够被描述成i m i t e r m ( m 1 1 0 ，3 ) f e a s p 函数f e a s p 是一个求解器，用以寻找一个：z r4 或给定结构的矩阵，使得满 足线性矩阵不等式 a ( x ) i 舯4 = - 1 2 卦b = 三。丑c = 黝愀脯求其可行 解的程序可写为： a = 【一20 ；1 - 3 】； b = 一lo ；0 8 1 】； c = 10 ；0 l 】； s e t l m i s ( 】) ； x = l m i v a r ( 1 ， 21 ) ； s = l m i v a r ( 1 21 】) ； b r l = n e w l m i ； l m i t c r m ( b r l1 1x 】，1 ，a ，s ) ； 1 9 第3 章埔i 工具箱介绍 l m i t e r m ( b r l1 1s 】，1 ，c ，c ) ； l m i t e r m ( b r l1 1x 】，1 ，b ) ； l m i t e r m ( b r l22s ，一1 ，1 ) ； x p o s - - - n e w l m i ； l m i t e r m ( 一x p o s1 1x 】，1 ，1 ) ； s l m i - - n e w l m i ； l m i t e r m ( 一s l m i11s ，1 ，1 ) ； l m i t e r m ( s l m i11o 】，1 ) ； l m i s y s = g e t l m i s ； 【t m i n , x f e a s = f e a s p ( 1 m i s y s ) ； x = d e c 2 m a t ( 1 m i s y s ，x f e a s ，x ) s - - d e c 2 m a t ( 1 m i s y s ，x f e a s ，s ) 结果显示为： x= 4 8 2 0 5 7 3 3 8 1 2 3 3 8 1 2 3 4 0 9 1 6 s = 7 9 1 5 7 1 0 0 5 6 0 0 0 5 6 0 7 9 7 1 3 7 本章小结：本章所介绍的线性矩阵不等式工具箱( l m i ) 是求解线性矩阵不等 式的最有效方法和工具，熟悉了l m i 工具箱的函数和命令对线性矩阵不等式列写 相应的程序，可以快速准确的得出它的可行解，是本文研究时滞系统稳定性的重 要工具。 2 0 基于l m i 的时滞系统。控制器设计与仿真研究 第4 章时滞系统的分析与综合 4 1 引言 考虑时滞系统 j ( f ) = 血( f ) + a d x ( t d ) 其中：x ( f ) r ”是系统的状态向量，a ，a d r “4 是已知的常数矩阵， 间，烈r ) c ”卜d ，0 】( n 维连续函数向量空间) 是系统的初始条件。 在现有的时滞系统稳定性中，根据是否依赖系统中时滞的大小， 性条件分为时滞独立和时滞依赖两类。 ( 4 1 ) d 是滞后时 可以将稳定 时滞独立的稳定性条件f s t “”】：即在该条件下，对所有的时滞d 0 ，系统是 渐进稳定的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适合于处理 具有不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。 时滞依赖的稳定性条件f 2 1 ：即在该条件下，对滞后时间d 的某些值，系统是 稳定的；而对滞后时间d 的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定 性依赖于滞后时间。 一般来说，时滞独立的稳定性条件是比较保守的。因为，若系统满足时滞独 立的稳定性条件，则对任意大的滞后时间，系统都是稳定的。显然，这样的要求 是很强的，特别是对小时滞系统，这样的条件是很保守的。但是，时滞独立的稳 定性提条件也有其优点：首先，这样的条件往往更为简单；其次，它可以允许系 统的时滞是不确定或未知的，从而无需知道系统时滞的精确信息。但时滞独立稳 定性条件的保守性也不是绝对的。当应用时滞依赖的稳定性条件确定出保持系统 稳定的一个滞后上界d ，即条件之保证系统对所有满足d d 的滞后时间d 是渐 进稳定的，而应用时滞独立的稳定性条件却可以判定系统对任意的滞后时间d 都 是稳定的。因此，在分析时滞系统的稳定性问题是，这两类稳定性条件各有优点， 有不可替代的作用。 在检验一个系统的稳定性问题时，往往是先用时滞独立的稳定性条件来判别， 如果不成功，再应用时滞依赖的稳定性条件来检验，并给出使系统保持稳定的滞 后时间d 的范围。 2 1 第4 章时滞系统的分析与综合 4 2 时滞独立的稳定性条件【b 9 ”1 ： 定理4 1 对系统( 4 1 ) ，如果存在对称正定矩阵p ，s r ，使得 r 0 。 z ， 则系统( 4 1 ) 是渐进稳定的。 证明：若存在满足矩阵不等式( 4 2 ) 的对称矩阵p 和s ，定义 v ( x ，) = 工7 ) p x g ) + x 7 ( f ) 。敛( f ) d f ( 4 ，3 ) 其中：工。= x ( t + 0 ) ，0 【_ d , o 】，则v ( x ，) 是正定的。沿系统( 4 1 ) 的任意轨迹， v ( x ，) 关于时间的导数是 三( 一，f ) = 2 x 7 0 ) h 血( f ) + 以x ( t d ) + j 7 ( t ) s x ( t ) - x 7 0 d ) s x q - d ) 镒州仰善柑钆捌 从矩阵不等式