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求极限的方法与技巧1池州学院17人力资源管理 赵岩【摘要】极限思想贯穿整个高等数学得课程之中，极限的求解方法是我们我们学习的难点之一，掌握求极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，结合学习实际，本文对常用求极限的方法进行了归纳和延伸。 【关键词】极限 方法 数列 函数极限是数学重要概念。在数学中，所谓的极限就是如果某个变化的量无限的逼近一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。常用的求极限的方法有以下几种：1.利用极限的四则运算法则设limf(x)=A,limg(x)=B(A、B为有限数),则(1)limf(x)g(x)=limfxgx=AB(2)limfxgx=limf(x)limgx=AB(3)=(其中)推论1 若limfx=A,c为常数，则limcfx=climfx=cA推论2 若limfx=A,则limf(x)n=limf(x)n=An(n为正整数)例：求limx12x-1x2+2.解 因limx1x2+2=30,于是由极限的商法则，得limx12x-1x2+2=limx1(2x-1)limx1x2+2=132.利用等价无穷小求极限当x0时，8个等价无穷小：xsinx xtanx xarcsinx xarctanxxln(1+x) xex-1 x221-cosx xnn1+x-1这些可以在求当x0时的极限时直接用。3.利用两个重要极限求极限l limx0sinxx=1l limx1+1xx=e(变式：limx1+u1u=e)说明：此重要极限常用于求幂指数的“1”型的未定式的极限。4.利用洛比达法则求极限(1)基本未定式（00型或型）设函数fx,gx满足：1) limxf(x)=limxgx=0(或)2) 在的去心邻域可导，且gx=03) limxf(x)g(x)存在，或为limxf(x)g(x)=limxf(x)g(x)若当x时仍是00型或型，且fx,gx仍满足洛必达法则可继续适用定理。例：求limx0tanx2-x2x4解 limx0tanx2-x2x4=limx0tanx+xtanx-xxx3=limx0tanx+xxlimx0tanx-xx3=2limx0secx2-13x2=2limx0tanx23x2=23(2)其他未定式（0型，-型，1型，0型，00型等未定式的计算，通常把他们化为00型或型后再利用洛必达法则。）例：求limx0+1xtanx解 此极限为0型limx0+1xtanx=limx0+e-tanxlnx=elimx0+sinxx1cosxxlnx=e0=1注意：1) 当limf(x)g(x)容易求时2) 优先使用等价无穷下3) 先求出极限不为零的部分4) 不能用洛必达法则时要使用其他方法5.利换元法求极限当对于极限中自变量求不出时，可令自变量转换自变量形式，此时要注意新的自变量的趋向值。例：求limx2+1+cos2x-2x解 令x=t+2,则t=x-2且t0-原式=limt0-1+cos2t+2-2t+2=limt0-1-cos2t-2t+=limt0-1-cos2t+2t+-2t+2t+=limt0-2t+2t+-2t=-26.利用夹逼准则求极限当函数形式为多项累加，且不能通过已知公式进行变换时，可用此法例：解7.其他类型极限l 00型1) 不能直接用极限的商法则，先将分子，分母约去使极限为0的因子再求极限。2) 含有无理函数，要将分子或分母有理化，消去使极限为零的因子。l 型1) x时，可分子，分母同除以最高次幂l -型2) 将函数化差为商，再求极限8.复合函数极限运算法则设limxx0x=u0,limuu0f(u)=A，且在x0点的某一去心邻域内，xu0,则复合函数fx当xx0时极限存在，且limxx0fx=limuu0f(u)=A。9.无穷小量的性质1、有限个无穷小的和，差，积仍是无穷小。2、无穷小