（基础数学专业论文）k广义投影与算子方程.pdf

疋广义投影与算子方程 段樱桃 摘要算子理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在 2 0 世纪的前三十年得到迅速发展，近年来尼广义投影与算子方程已成为算子理 论研究的热点问题之一我们用嚣) 表示无限维复可分h a l b e r t 空间h 上的所 有有界线性算子全体如果t b ) 满足t k = t + ，其中k n 且k 2 ，则t 称为k 广义投影k 广义投影蕴涵着诸多有趣的性质，近几年来受到国内外许多 学者的普遍关注本文在无限维h i l b e r t 空间上研究k 广义投影的谱及其道路连 通性问题算子方程是以算子为元素的方程，它是泛函分析的重要分支之一关 于算子方程x j j x + = m ，a x a + 一b ，a x b = c ，a x = b 的解的研究从上世 纪八十年代就已经开始了，但是这些研究多数限制在有限维空间上本文将这些 研究拓展到无限维空间并研究上述方程解的特征最后利用算子方程刻画一类比 较特殊的算子即广义二次算子，我们主要研究了广义二次算子的谱和群逆等相关 性质 本文共分四章： 第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理，例如正规算子，谱， 不变子空间和约化子空问，部分等距等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值 域包含定理，极分解定理，谱映射定理等 第二章主要研究在无限维h i l b e r t 空间上的k 广义投影首先证明了a 日( h ) 是k 广义投影当且仅当a 是正规算子且谱a ( a ) ( o ，e 2 罱”：n = 0 ，1 ，2 ，女) ； 其次给出a 是忌广义投影的等价刻画最后探讨了k 广义投影的道路连通性问 题，分别得出如下结果： ( 1 ) 如果尸和q 是同伦的七广义投影，那么只q 在k 广义投影之集中是道 路连通的； ( 2 ) k 广义投影之集中不包含由k 广义投影组成的线段 第三章在无限维h i l b e r t 空间上，探讨算子方程x j j x + = m ，a x a + = b ，a x b = c ，a x = b 解的一些性质分别得出方程x j j x + = m 有等距解 的等价条件；方程a x a + = b ，a x b = c ，a x = b 有解的充分必要条件以及这 些算子方程的通解表示 第四章我们对日( “) 中关于幂等算子p 的广义二次算子的全体 c ( p ) = a 8 ( h ) ：a 2 = a a + s pj j a p = p a = a 其中p p ，a 和| 臼是任意的复数 进行刻画证明了无限维空问上的广义二次算子是相似不变的并进一步用算子 谱论的技巧研究c ( p ) 的谱和群逆等相关性质，推广了r w f a r e b r o t h e r 和g t r e n k l e r 的结论 关键词：忌广义投影道路连通性算子方程广义二次算子谱 k - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sa n do p e r a t o re q u a t i o n s d u a ny i n g - t a o a b s t r a c tt h es t u d yo fo p e r a t o rt h e o r yb e g a ni n2 0 t hc e n t u r y s i n c ei t i s u s e dw i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs u b j e c t s ，i tg o tr a p i dd e v e l o p m e n ta tt h e b e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y , k - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sa n do p e r a t o re q u a t i o n s h a v eb e c o m eh o tt o p i c si no p e r a t o rt h e o r y l e t8 ( 爿) b et h es e to fa l lb o u n d e d l i n e a ro p e r a t o r so nah i l b e r ts p a c e “t 8 ( h ) i ss a i dt ob eak - g e n e r a l i z e d p r o j e c t i o ni f t = t + ，w h e r et + i st h ea d j o i n to f t ，k na n d 七2 i ti sw e l l k n o w nt h a tk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sc o n t a i nl o t so fe l e m e n t a r yi n t e r e s t i n gp r o p - e r t i e so fo p e r a t o r s ，i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sh a v ep a i dm u c ha t t e n t i o nt o t h ek - g e n e r a h z e dp r o j e c t i o n s i nt h i sa r t i c l ew es t u d i e dt h es p e c t r u ma n dt h e p a t hc o n n e c t i v i t yo fk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n so na ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r t s p a c e a no p e r a t o re q u a t i o ni sa ne q u a t i o nw h o s ee n t r i e sa r eb o u n d e dl i n e a ro p - e r a t o r so nt h ec o r r e s p o n d i n gh i l b e r ts p a c ea n dh a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l eo n t h es u b j e c to ff u n c t i o n a la n a l y s i s s i n c e1 9 8 0 s ，t h es o l u t i o no fo p e r a t o re q u a t i o n s x j j x = m a x a = b a x b = ca n da x bo naf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e h a v eb e e nc o n s i d e r e db ym a n ys c h o l a r s i nt h i sp a p e rw ec o n t i n u et os t u d yt h e s e o p e r a t o re q u a t i o n so na ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e ，a n dm a i n l yd i s c u s s s o m ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n st ot h e s ee q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，w es t u d yac l a s s o fs p e c i a lo p e r a t o r ，i e ，g e n e r a l i z e dq u a d r a t i co p e r a t o r u s i n go p e r a t o re q u a t i o n s ， t h es p e c t r u ma n dt h eg r o u pi n v e r s eo fg e n e r a l i z e dq u a d r a t i co p e r a t o r sh a v eb e e n s t u d i e d t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c es o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s ， s u c ha st h ed e f i n i t i o n so fn o r m a lo p e r a t o r ，s p e c t r u m ，i n v a r i a n ts u b s p a c ea n dr e d u c i n gs u b s p a c eo fo p e r a t o r s ，p a r t i a li s o m e t r ye t c s u b s e q u e n t l y , w eg i v es o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m ss u c ha st h er a n g ei n c l u s i o nt h e o r e m ，p o l a rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m a n ds p e c t r a lm a p p i n gt h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ek - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n so na ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l h i l b e r ts p a c e i nt h ef i r s tp l a c e ：w eo b t a i nt h a ta b ( n ) i sak - g e n e r a l i z e dp r o j e c - t i o ni fa n do n l yi fai sn o r m a la n d 盯( a ) o ，e 1 箫。：n = 0 ，1 ，2 ，七) s e c o n d l y , w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o na f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t e t h ep a t hc o n n e c t i v i t yo fk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s ，t h er e s u l t sa sf o l l o w s ： i l l ( 1 ) i fp 1q b ( h ) a r eh o m o t o p i ck - g e n e r m i z e dp r o j e c t i o n s ，t h e np a n dqa r e p a t hc o n n e c t e d ； ( 2 ) t h e r ei sn os e g m e n ti nt h es e to fk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n st oo p e r a t o re q u a t i o n s x j j x + = m a x a + = b ，a x b = ca n da x = bo na ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l h i l b e r ts p a c e f i r s t l y ，w eg i v et h ee q u i v a l a n ts t a t e m e n t st h a to p e r a t o re q u a t i o n x ，一j x * = mh a sa ni s o m e t r i cs o l u t i o n ；s e c o n d l y , w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h es o l u t i o n st ot h eo p e r a t o re q u a t i o na x a + = ba x b = ca n da x = b m o r e o v e r ，t h er e p r e s e n t a t i o no ft h eg e n e r a ls o l u t i o nt ot h e s e e q u a t i o n si sg i v e n i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z et h es e to fg e n e r a l i z e dq u a d r a t i co p e r a t o r sw i t h r e s p e c tt oa ni d e m p o r t a n tp c ( p ) = a 8 ( h ) ：a 2 一a a + 卢pa n d a p = p a = a ，p p ，v a ，p c ) w e p r o v et h a tt h eg e n e r a i z e dq u a d r a t i co p e r a t o r sa x es i m i l a r l yi n v a x i a n t u s i n g t h et e c h n i q u eo fo p e r a t o rt h e o r y 】t h es p e c t r u ma n dt h eg r o u pi n v e r s eo fe ( p ) h a v e b e e ns t u d i e d ，w h i c he x t e n d st h ec o n c l u s i o n so fr w f a r e b r o t h e ra n dg t r e n k l e r i n 【1 3 】 k e y w o r d s ：k - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n ；p a t hc o n n e c t i v i t y ；g e n e r a l i z e dq u a d r a t i c o p e r a t o r ；o p e r a t o re q u a t i o n ；s p e c t r u m 学位论文独创性声明 y9 0 0 6 7 9 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：嚣攫拂 日期：枷6 上 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：丞盘窿爿挑 日期：之血! ：圭 前言 算子理论是泛函分析中一个重要的研究领域，由于其在数学和其它学科中的 广泛应用，在2 0 世纪的前三十年得到迅速发展，并很快成为一门独立的学科目 前算子理论已深入到矩阵论、微分方程、最优化理论、统计学等众多数学分支， 而且在量子力学、物理学等许多领域都获得广泛的应用，已经成为研究自然科学 与工程技术理论不可缺少的重要数学研究工具之一 随着算子理论的不断发展，许多特殊的算子如广义投影、广义二次算子等逐 渐引起了国内外众多学者的普遍关注设t 是无限维复可分h i l b e r t 空间咒上的 有界线性算子若t = 铲，则t 称为幂等算子如果t + = t 2 ，那么t 称为广义投 影，其中t + 是t 的伴随算子广义投影这一概念首次被j g r 0 6 和g t r e n k l e r 在 文献【1 3 】中引入之后，就立即吸引了大批中外学者如h o n g - k ed u ，j k b a k s a l a r y , o m b a k s a l a r y , x i a o - j il i u 等加入这方面的研究，他们先后对广义投影的性质、 广义投影的线性组合、广义投影的谱刻画等问题进行了广泛深入的研究( 见文献 2 】，【7 】，【1 5 】，i t 6 ，【1 7 】) j b e n i t e z ，n t h o m e 和g w s t e w a r t 又把广义投影推广 到k 广义投影( 见文献 1 1 【3 】) 本文第二章在无限维h i l b e r t 空间上对k 广义投 影的谱进行刻画，证明了a 日( h ) 是k 广义投影( 即a = a + ) 当且仅当a 是 正规算子且a ( a ) o ，e i 精”：n = 0 ，1 ，2 ，忌) ，其中k n 且k 2 ；并且从不 同的角度给出a 是k 广义投影的等价命题；最后讨论k 广义投影的道路连通性 问题，分别得出如下结果： ( 1 ) 如果p 和q 是同伦的k 广义投影，则p q 在k 广义投影之集中是道路 连通的； ( 2 ) k 广义投影之集中不包含由k 广义投影组成的线段 算子方程是以算子为元素的方程，它是泛函分析学的重要组成部分，也是近 代数学活跃的课题之一算子方程的研究由来已久，由于其在不同领域以及不同 方面的应用，因而算子方程被研究的形式也是多种多样的从上世纪八十年代开 始到现在，算子方程x j j x + = m ，a x a + = b ，a x b = c ，a x = b 的解的研 究一直受到关注，但是这些工作大多局限于有限维情形如j r c a r d o s o 与f s l e i t e 在文献f 2 0 1 中证明了x = ( 等+ s ) j _ 1 是矩阵方程x j j x + = m 的正交解 当且仅当s 是代数r i c c a t i 方程s 2 + 警s s 警一丁m z j 2 = 0 的对称解x i y a h h u ，l e iz h a n g 等学者分别研究了矩阵方程a x a + = b ，a x b = c ，a x = b 的对 称解、自反和反自反解以及斜对称正交解，并且给出了这些解的一般形式( 见文 献 25 】 【2 6 】， 2 7 1 ，【2 8 ) 本文第三章在无限维h i l b e r t 空间上研究这些算子方程的 解我们刻画出了算子方程x j j x = m 有等距解的等价命题以及在特殊情 形下解的一些性质算子广义逆一直是国际算子理论学者研究的热点问题，并取 得一系翻有份僵酶磅究戚聚。本文穰设在绘定算予露m o o r e p e n r o s ef - 义遂静麓 提下，探讨辣子方程a x a + = b ，a x b c ，a x = b 有解的充分必要条件，并且 在方程有解的条件下，用缭定算子的m o o r e - p e n r o s e 广义逆表示船这些算子方程 懿遥缨 如果h i i b e r t 空间上的有界线性算予a 满足二次算子方程a 2 一a a + p 只其 中o ，p c ，p 是一个非零的幂等算子且a p = p a = a ，则a 称为关于幂等箅 予p 的广义二次算子。这样的算子全体记为c ( p ) 。避些年来，许多学者对广义 二次短簿逡褥深入戆研究( 冕文献 2 9 t ， 3 2 t ，1 3 3 ) ，莛孛r 。w 。f a r e b r o t h e r 与g t r e n k l e r 在义献【3 3 】中详尽探讨了广义二次矩阵的诸多性质，但他们只限于谯有 限维h i l b e r t 空间上分析研究本文第四章在无限缎h i i b e r t 空间对这类算子避 褥刻蕾，运用簿子空闻分躲理论及算予谬沦的技巧磷究e ( p ) 鲍游积群逆等秘关 幢凄，著攘广了r w 。f a r e b r o t h e r 和g t r e n k l e r 豹主要结论 2 第一耄预备知识 1 1 基本概念 设“表示无穷维囊可分h i l b e r t 空闻，嚣m ) 表示咒上的有界线性算予全 体令c 液示复数域，瓞表示实数域，n 表示自然数集，液示钾上的单位算 子( 在不弓i 起混淆的情况下，也可表示在子空阅mc7 - 1 上的单位算子) “) 和 昏l l 分剃寝忝链土戆瘫搽饔莛数浚a 器( 麓k 令跫( a ) ，n ( a ) 窝o ( a ) 分裂表 示算子a 的值域，零鸯间和谱，表示a 的伴随算子霄波示一个集合的 闭包，d i m 表示空间的维数，上表示空间的正交补，0 表示空集。 定义1 1 + l 。瞄设a 8 暇) ，艇先莨的予塑阕，魏暴a m m ，剿豁州 是奠魏不变子空阊；魏果a m 垦州且a m i 篓3 , 4 上，嬲祢2 , 4 为a 静约亿予空 间 定义l ，l 。2 ( 5 l 设t 8 ( 咒) 妻链聚天c 使祷t 一 是不可逆的，称入为t 戆一拿渗轰。f 嚣谱诞为盯习= a c ：a 一蔗不毒遂静， 定义1 1 3 5 1 设t 8 ( h ) 若了t 4 ；t + z 则称t 为正规算子； 若t + = 委| | 熬t 巍垂伴算子； 若t 。= 一z 翊称? 为斜啻律算予； 若烈”= p t = ，( 等价于p t _ 1 ) ，则称? 为酉算子； 若t = t 2 ，则称丁为幂等算子，所有幂等算子之集记为p ； 若t p = t 2 ，剃嚣t 免正交投影箕子 定义1 1 4 翻设t 8 m ) 如架对于任意的向量。7 t 鄢有( m ，。) 0 ，则 称t 是破算子，记作t 芝0 b ) 中所有正算子的全体记为肟十) 定义1 1 。5 。【5 l 设x 是一个集合，q 是x 懿予集盈是一个f 一代数，( x ，q ， 茂) 上懿游溯度是指一个函数e ：铌一器期满怒苏下条释： ( 1 ) 对于n 中的任一个集合，e ( z x ) 是一个投影； ( 2 ) e ( 0 ) = 0 ，e ( x ) 一，； ( 3 ) 辩予q 孛翡瑟个集台l ，2 ，e ( a in 2 ) = e ( 1 ) 嚣2 ； ( 4 ) 如果 。) 器1 是q 中的置不相交的集合，则e ( u 警。) = 警。删：d 定义1 1 6 1 5 l 如果舞子，满慰对任意的向爨h ( ，) 上，舂l t u h t l l l h f l ， 劐称u 为部分等蓬，( - 称为u 豹起始空翘，；两稼为u 莳终止空润， 3 舞暴( 移一 8 ，爨黎u 为餐鞭篓子， 如果算子t 是等躐算子，则p 丁= j 如果p 是等距算予，则t 是余簿距 算子 定义l ，l + 7 。嘲设t 8 饪) ，盖燕盯p ) 中斡孤立点算子? 关于天懿r i e s z 投影最意义为 r 。豪上- - t ) d z ， 其中r 楚一条光精阙藏线，点a 在r 的蠹部，o ( t ) 硷程f 的步 部爨然， 最是幂等既 定义1 1 8 设t 舀) 如果存在x 嚣似) 满足下列四个算子方糨 ，x ? 一正x t x = x ，( x t ) + = x t ，t x ) + = t x 则x 称为丁的m o o r e - p e n r o s e 广义逆并记作t + 我们知道t 的m o o r e - p e n r o s e 邀存在当且仪当n ( t ) 是闭的此外丁的 m o o r e 。p e n r o s e 逆是瞧一翡。 定义1 t 9 f 4 0 设x 是一个拓扑空间，从单像区闯【o ，l 】到x 的每一个连 续映射，：【o ，l 】一x 叫做x 中的一条道路并且此时f ( o ) 和y ( 1 ) 分别称为 遭路，的勰点和终点溅z = f ( o ) 和y = f ( 1 ) 时，称，是x 巾从茁到y 的一条 遭嫠。鳃聚墨y x 羹x 孛专一条扶箸舅y 戆逡貉，我爨豁焱茹蠢y 是遂簸连 通的 l 。2 预备定遴 命题1 2 1 5 l 设t 肟) ，则以下结论成立t ( 1 ) t 是鲁伴算子擞且仅当( t x ，) r ( v x 州) f 2 是囊募子姿黩佼当t ：憩一奠是等爨鬻褥。 ( 3 ) t 是正交投影算子当且仅当存在正交分解丸= 7 1o “i - ，“1 是“的闭 子空间，t 是从h 到7 1 1 的投影算予 定蠖l 。2 。2 。 5 1 设t 8 暇) 。 ( 1 ) 著? 是正算予，粥盯( 固至骢+ u 吣； ( 2 ) 糟t 是自伴算子，则o ( t ) c 豫 ( 3 ) 糟t 是斜自伴辫子，则盯( t ) c i r 4 ( 4 ) 若楚蓄算子，测薛f 即cs 1 一 a e ：网= l ， 定理1 2 3 5 | 设8 麓任意c + 一代数，令8 是嚣中的一个正规元，如果c + ( 。) 是由a 与1 嫩成的交换c 4 一代数，则p ：g ( 口( o ) ) 一c + ( o ) 是c + 代数间的同构 ，g p ( 8 ) ) 定义，( 8 ) 窭p ( f ) ，则映射，一f ( a ) 称为a 的函数演算。 定理1 2 + 4 蕊( 谱定溪) 如栗蔻一个正魏算予，那么在玎( ) 的b o r e l 子集 上存在唯一的谱测度e 满足； ( 1 ) nmj 。z d e ( z ) ； 2 ) 懿寒g 是盯( ) 巾菲空稳鼹努予巢，受e ( c ) o ； ( 3 ) 翦槊a 舀( 弼，掰a n = n a 籀a n = n + a 当且仅当辩于任意酌都 有a e ( a ) 一e ( a ) a 若算予a 层( 咒) ，则正算子小a 的谱表示为 黝：厂2 城 其中a 盯( | af 2 ) 定理l 。2 。5 嚣( 辍努鼷宠瑾) 莰a 嚣僻) ，爨存在一个麸( 蔗) 土蘩j 瑟丽静 部分等距算予u 使得a u a i 定理1 2 6 【目( 谱映射定理) 设a 燎一个伊代数如果岱a ，则对于o ( a ) 邻壤上酶骜一令惩爨丞数歹，帮套芦( ，( 8 ) ) = 歹扫( 嚣) ) 定理1 2 7 1 2 4 1 ( d o u g l a s 值域包含窀理) 如果以和b 是希尔伯特空间心上 的有界线性簿子，则以下命题等价 ( 1 ) n ( a ) t o ( b ) ， 2 ) 存程一拿常数e 侵褥a a sc 2 b b + ， ( 3 ) 存在一个有界线性算子d 满足a = b d 定理1 ，2 。8 。【5 】设t 8 ) 是正豁子，则存在噍一的正算予a 嚣) ，使 缮a 2 = t ，禳a 为t 鹣乎方壤，记终群当? 与s 霉交换霹，泰与s 霹交 换， 5 麓= 章k 广义投影豹剡匿 毒 设tg 廖) 若t t 2 ，t 称为幂等算子如果t = t 2 ，则t 称为广义 投影此概念首次被j g r o f 和g t c e n k l e r 1 3 引入，就立即吸弓l 了大批学者如 h o n g - k ed u ，3 k b a k s a l a r y , o ，m 。b a k s a l a r y , x i a o - j il i u 等瓣美淀，德弱先露对 广义投影的性质、广义投影的线性组合、广义投影的谱刻画等闯蹶进行广泛深入 的研究( 见文献【2 】 ( 7 ，【1 5 1 ，【1 6 ， 1 7 】) j b e n i t e z ，n t h o m e 和g w s t e w a r t 又 把广义投影撼广裂k 广义投影( 觅文献卧【3 】) ，本章第二节我f 曩教嚣限维h i l b e r t 空褥上对k 广义授影静港避行麴蓬，逶凄a b ( n ) 麓k f - 义授影( 霹a k a ，其 中k n 且k 2 ) 当且仪滥a 是正规算子且a ( a ) 量 o ，e t 希”：n = 0 ，l ，2 ， 同时也从其宦方面给出了a 是k 广义投影的等价刻湎本章第三节研究了k 广 义投影携道鼹连通牲阉熬，分别褥到如下结论： ( 1 ) 魏栗p 移q 是麓伦酶k f - 义投影，翊只q 在k 广义投影之集孛是瀵路 连通的； ( 2 ) k 广义投影之集中不包含由凫广义投影组成的线段 2 2k 广义投影的谱剡画 定义2 2 。1 。谖a 嚣( 嚣) i 燕豢蔗瀵是a 2 一a ，燹矗豫麓奄广义投影，k 是正整数且k 2 所有k 广义投影全俸记作8 何严一g p 特剐的，如栗岔一岔 则a 称为广义投影( 见文献【2 1 ) 所有广义投影全体记作1 3 ( h ) g p 引理2 2 2 。f 1 8 l 设箕予t 8 暇) ，则宠( t ) 怒阙敢当且仪辫存在一个辫子 x 嚣f 麓) 艇褥，x z t 成立， 引理2 2 3 【2 q 设a b ) ，则a 是正交投影当且仅当a 是正规算予且 a ( a ) o ，1 ) 霉l 瑾2 2 4 f 翌l 设a 罄僻；，翔a 是耋嫠箕子当盈枝当砖是歪袭算予蠢 a ( a ) 酞 引理2 2 ，5 【2 】设d 尽( 哪是幂嚣算子如果l l d 8 1 ，那么d 是正交投 影， 命题2 2 6 设a 嚣( 是k 广义投影如果n o ，e 4 带”：m = 6 0 ，1 ，2 ，砖，鄄么a a 墩是血广义投影 证明假设a 8 似) 是广义投影，捌a = a + 由和a ) 2 一o l a 。= s a + = ( a ) + ，可知a a 也是广义投影 定理2 2 7 设a 嚣溆) ，则a 是是广义投影( 鄄a 8 = a + ) 当虽仅当a 是 正规算子黧 o ( a ) 0 ，e “k - - 4 ”j ”：n = 0 ，1 ，2 ，” 在这种情形下，a 宥下列表示形式 a = o 玩 o ) 囝i _ oi 盈k + l ”舔( 惫”) ， 其中k n 且k 2 ，e a ( ) 表泳算子a 关于谱点o ( a ) 的谱投影若 盘誊仃( a ) ，贝e a ( a ) = 0 证鞠必要往盘a k = a + ，, - t 得 a a + = a k + l ：a k a ：a a 霹藏点是燕袈篓子。 根据溅规算予的谱分解，设a = 矗( ) a d e a 趋a 的谱表示，潮a + 一( a ) - a d e ；, ， a = l ”d 取由a “= a + 知 ， 摩一岔= ? ( 妒一习蠢圾= 0 。 j 口( a ) 故对所有的a 盯( a ) 旃”= x 如果a a ( a ) 且a 0 ，设a = r e 甜，其中 0 8 2 7 r 最r 0 ，贝! l ? - k e 8 = r e 一棚，因此 所以r 一1 且e ( 蚪1 p 一1 由此可知存在一个整数n 使得十1 ) 8 = 2 m ：由于 0 孝 2 背，可霉 0 ( 蚤+ i 矽 2 ( 蠡+ i ) 耳， 因此礼 o ，1 ，2 ，q 所以 ， 玎( a ) 至 g ，e 奄4 ：薅= 0 ，l ，2 ，惫 。 我们用凹( n ) 来表示正规算子a 关于谱点a 的谱投影，剜f ( n ) 是正交投影，如 果口，p 是盯) 中不同的点，那么嚣( 删) ，f ( 卢) 相溅正交因此 a = 0 e ( 0 ) ：。e 螽“联螽”) 7 其中e 。e 。f 且1e e ( c z ) = j 如果o a ( a ) 则e ( o ) o ；如果q 1 0 ，e 。带”：礼= 0 ，1 ，2 ，) a ( a ) 则e ( 。) = 0 充分性假设a 是正规算子且a ( a ) o ，e i 藉”：礼= 0 ，1 ，2 ，) 则 有 下列表示形式 a = 0 e ( 0 ) o ：oe 希”e ( 器”) 如果口( a ) ，则e ( a ) 0 如果o o ，e 精”：礼= 0 ，1 ，2 ，耐a ( a ) 则 e ( o ) = 0 此外。( 舢o e ( q ) = i 因此 a k ： = 0 e ( 0 ) o ：。e 错”五( 器”) 0 e ( 0 ) o ：oe - i 爵”e ( 爵”) a + 即a 是广义投影证毕 注由定理2 2 7 可知，如果a 是一个非零的k 广义投影，则1 1ai l = 1 当k = 2 时，由定理2 2 7 可得下面推论： 推论2 2 8 【2 】设a 舀( 州) 则a 是广义投影当且仅当a 是正规算子且 o ( a ) o ，1 ，e 螂i ”) 在这种情形下，算子a 有下列表示形式 a = 0 e ( 0 ) oe ( 1 ) oe i ”e ( e ；”) oe - i i ”e ( e 一”) ， 其中e ( a ) 表示算子a 关于谱点o a ( a ) 的谱投影且若。隹a ( a ) 有e ( a ) = 0 推论2 2 9 设a 召) 是自伴的k 广义投影如果k 是偶数，则a 是正 交投影如果k 是奇数，则a 3 = a 证明由于a 是自伴的，根据引理2 2 4 a 是正规算子且口( a ) r 又 a 是k 广义投影，由定理2 2 ，7 知，仃( a ) o ，e 带”：n = 0 ，1 ，2 ，忌) 故 o ( a ) 碡n o ，矿精”：礼= o ，1 ，2 ，) 如果k 是偶数，则rn o ，e 4 罱”：n = 0 ，1 ，2 ，后) = 1 0 ，1 ) ，所以a 2 = a = a + 如果k 是奇数，则豫n o ，e 。罱”：凡= 0 ，1 ，2 ，) = o ，1 ，一1 ) ，所以a 3 = a 证毕 推论2 2 1 0 设a 8 ( h ) 是斜自伴的七广义投影 ( 1 ) 如果k 是4 的倍数，则a 3 = 一a ( 2 ) 如果不是4 的倍数，则a 是一个拟幂零算子 证明由a 8 ) 是斜自伴的k 广义投影可知o ( a ) i rn o ，e i 嚣”：礼= 0 ，1 ，2 ，) ( 1 ) 如果是4 的倍数，则诹n o ，e 1 莆”：n = 0 ，1 ，2 ，七) = o ，i ，一i ) ，因此 a 3 + a = 0 8 ( 2 ) 如果七不是4 的倍数，则i r n o ，e 爵”：n 一0 ，l ，2 ，) ： o ) ，因此a 是一个拟幂零算子 为r 叙述方便，下面介绍一些符号： ( 1 ) 舀) k - g p = a 8 ) ：a k = a + ) ， ( 2 ) b ( 咒) 忡) p = a 8 ( 爿) ：a k + 2 ：a ) ， b ) “= a 8 ( 咒) ：a 是部分等距算子) 、一 = a 8 ( h ) ：a a + a = a ， ( 4 ) 舀( “) “= a b ) ：a + a = a a 4 ) 显然上述每个算子之集8 ( h ) 是酉不变的，即如果a 8 ( h ) 且u b ( n ) 是酉算子，则u a u + 尽( 爿) 定理2 2 1 1 设a 8 ) 则以下命题等价 ( 1 ) a 日( h ) 扣g p ( 2 )a b ( h ) + 2 ) pn8 ( h ) 尸。nb ( “) ( 3 )a 舀( 咒) 晴+ 2 ) 尸n 日( 爿) ( 4 ) a 8 ( 咒) + 2 ) pn 日( h ) h 证明( 1 ) 号( 2 ) 假设a 召) 扛g p ，由定理2 , 2 7 知a 有下列表彖形式 a = o e a ( o ) o ：oe 希”如( e 精”) ， 如果a 盯( a ) 则玩( a ) o ；如果a o ，e 器：礼= 0 ，1 ，2 ，后) 盯( a ) 则 上1 a n ) = 0 通过计算可得 a m = o 毋( o ) 。：。oe 铲”玩( e t 器”) = o 毋( o ) o ：。e 爵”日( e 器”) = a 又因为a + = o e a ( o ) o ：oe 。f 籍”e a ( e i 籍”) ，则a + a = 0 e n ( 0 ) o ：oe a ( e 器”) 小a 是在子空间e _ ( 箫“) h ，礼= 0 ，1 ，k 上的正交投影，因此a 是部分等距 算子由 a 小= o 日( o ) o ：oe a ( e 南”) ：a * a ， 可知a 是正规算子所以a 8 ( “) + 2 ) n8 ( 丸) p 7n8 ( 秆) 9 ( 2 ) 辛( 3 ) 命题显然成立 ( 3 ) ( 4 ) 由a 嚣) 。+ 2 ) pn 嚣) ，知a 是正规算子且a 2 + 2 = a 因此对 所有a a ( a ) 0 ，根据谱映射定理可知 口( a ) a ：a + 2 = a ) = o ，e 者j ”，n = 0 ，1 ，2 ，后 所以算子a 有下列形式 a = o e a ( o ) o ：。e 精”e a ( e 希”) 其中既( a ) 是a 关于谱点a o ( a ) 的谱投影如果a o ，e 希”：礼= 0 ，1 ，2 ，七) a ( a ) 则既( a ) = 0 显然a 是部分等距算子 ( 4 ) = ( 1 ) 如果a 2 = a ，则a ( a ) o ，e 精”：n = 0 ，1 ，2 ，七) ，故每个谱点 a a ( a ) 是预解算子( o j a ) _ 1 ( c 盯( a ) ) 的一阶极点用f ( a ) 来表示算 子a 关于a a ( a ) 的r i e s z 投影，则 f ( a ) = 2 去f r ( a i - a ) 一1 d q 其中r 是复平面c 上的一条光滑闭曲线，使得a 在f 的内部，口( a ) a ) 在r 的外部易知f ( a ) 是幂等算子所以， a = 0 f a ( 0 ) + ：o 精”f a ( e i 持”) ， 其中+ 表示代数直和如果a j ( a ) ，f ( a ) 0 ；如果a o ，e i 罱”：扎= 0 ，1 ，2 ，南) 盯( a ) ，f ( a ) = 0 此外，由a 是部分等距算子，可知l i f ( a ) l i 1 ，其中a o ，e 4 最”：n = 0 ，l ，2 ，七) 因此若a 口( a ) ，根据引理2 2 5 可知，f ( 入) 是非零的正交投影； 如果a o ，e l 带”：n = 0 ，1 ，2 ，) 盯( a ) ，则f ( a ) = 0 所以a 具有下列形式 显然 证毕 a = o ：o 器”f ( i 籍”) a = a + 1 0 2 3 盎广义投影的道鼹连通性 定义2 3 1 如果p 和q 是嚣( 钾) 中的惫广义投影，则p 和口之问的线段 定义为旧刚：= ( 1 一t ) p + t q ：t 0 ，1 1 定义2 3 2 。设只q 器( 致) g p 。魏栗盘 o ，；盟k + 1 8 ：m = 0 ，1 ，2 ，醚， 仃( p ) = 拶( q )