（基础数学专业论文）三维欧氏空间中的广义直纹面.pdf

j ， ， 1llois i n ii=警盘譬富。暑ta一暮atllo暑一ic 一l l o ooili一izoiji刃1jileijlllifano沈声 u图ljlnid昌1)疗。 田h k ncihll 二口o_iso一一勺一ofeoli口zcili zo气一11io一01昌ij譬oi一 蓄警时10110i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：匿翠甲 日 期：伽。譬、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：套翠f 签字日期： 沙。艿。- 7 导师签名： 签字日期： 一砂l 瑚叩 。 东北大学硕士学位论文摘要 三维欧氏空间中的广义直纹面 摘要 微分几何是一门历史悠久的学科，可以说，微积分诞生的同时就诞生了微分 几何，不过这门学科的生命力至今仍然旺盛近年来它对数学其他分支的影响越 来越深刻，对自然科学的其它学科的影响也越来越大同时，这门学科在内容和 方法上也在不断更新 本文对直纹面的概念做了推广，给出广义直纹面的概念，并相应地给出了三 种特殊的广义直纹面即抛物型直纹面、椭圆型直纹面、双曲型直纹面的定义主 要讨论具有特殊性质( 与广义直纹面的1 ，一曲线的切方向垂直的切方向固定) 的抛 物型直纹面、椭圆型直纹面、双曲型直纹面，并进一步讨论常平均曲率、常高斯 曲率以及平均曲率与高斯曲率之间满足特殊条件的抛物型直纹面 关键词：广义直纹面；抛物型直纹面；椭圆型直纹面；双曲型直纹面 i i i 东北大学硕士学位论文 t h eg e n e r a l i z e dr u l e ds u r f a c e si n 3 e u c l i d e a ns p a c e a bs t r a c t d i f 托r e n t i a lg c o m e t r yi sas u b j e c tw h i c hh a sal o n gl l i s t o r y t h em o m e n to ft h e b i r t ho fc a l c u l o u si sa l s ot h a to ft h eb i n h0 fd i f f e r e n t i a lg e o m e t 谬h o w e v e r t h el i f e f o r c eo ft h i ss u b j e c ti ss t i l lb 1 0 0 m i n gu n t i ln o w i th a sad e e p e ri n n u e n c e0 no t h e r b r a n c h e so fm a t h e m a t i c si i lr c c e n ty e a r s ，a n de x p e n d si t s 姗g eo fi n f l u e n c et oo t h e r s u b j e c t sm o r ca n dm o r e a tt h es a m et i m e ，t h i ss u b j e c ti sa l w a y sb e i n gu p d a t ei nt h e c o n t e n t sa n dt h em e t h o d s t 1 l e d e f i n i t i o n0 fl h er u l e ds u r f a c e si sp r o m o t e d ，锄dl h ed e 五n j t j o no ft h e g e n e r a l i z e dm l e ds u 渤c c si sg i v e ni l lt l l i sp a p e r c o 盯c s p o n d i l l 酉yt h ed e f i n i t i o n s0 f t h r e el 【i n d so fs p c c i a lg c n e r a l i z e dm l c ds u r f a c c s ( p a r a l b o l i c 蛐r f a c c 、e 1 1 i p t i cs u r f a c c 、 h y p e r t 0 l i cs u r f a c e ) a r e 酉v e nt 0 0 i i lt h i sp a p c r p a r a b o l i cs u r f a c c 、e u i p t i cs u r f a c e 、h y p e f b o l i cs u r f a c cw i t hs p e c i a l c o n d i t i o l l s ( t h et a l l g e n td i r e c t i o 璐w h i c ha r cv e n i c a lt o t h et 觚g e n td i r e c t i o n s0 f ，一c i l c so ft h e s u 疵c c sa r cf i 】【呻玳d i s c l l s s 乩n c 芦a b o l i cs u 渤c cw i t h c 0 n s t 觚tm e 觚c i l r v 抛r c 、。o i l s t a n tg a 璐s 伽r v a t u r e 柚ds a t i s f y i n gc c n a i nc o n d i t i b e t w e e nm e a nc u r v a t l l r ea n dg a u s sc u r y a t u r ei ss t u d i e dt o o k e yw b r d s ：g e n e r a l i z e dm l e ds u 血c c ；p a r a b o l i cs u 渤c c ；e l l i p t i cs u r f a c e ；h y p e r b o l i c s u 舭e v -i， 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 学位论文版权使用授权书i 摘要i i i a b s t r a ( 了r 。v 第1 章引言与预备知识 1 1 弓f 言1 1 2 预备知识1 1 2 1 广义直纹面的定义1 1 2 2 向量的数量积、向量积、混合积2 1 2 3 曲面的主曲率、平均曲率与高斯曲率2 1 2 4 曲面上两方向的交角3 1 2 5 三角函数系4 1 2 6 基本引理5 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面9 2 1 抛物型直纹面9 2 1 1 可展的抛物型直纹面 2 1 2 常平均曲率抛物型直纹面 2 1 3 常高斯曲率抛物型直纹面 9 1 4 2 1 4 满足h 2 = k 的抛物型直纹面2 1 2 2 椭圆型直纹面2 4 2 3 双曲型直纹面3 0 第3 章总结3 7 参考文献3 9 致谢4 1 v i i 。-i曼 东北大学硕士学位论文第l 章引言与预备知识 1 1 引言 第1 章引言与预备知识 微分几何是以微积分作为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何 学，作为数学的一个分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这 些学科发展的一项重要工具经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面 在一点邻近的性质，它是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面形状， 找出决定曲线和曲面形状的不变量系统 在许多微分几何书上都介绍了曲线和曲面的性质，其中包括一些特殊的曲 线和曲面，本文讨论一种特殊的曲面一直纹面，通常所研究的直纹面是一条直线 在空间中运动所产生的曲面，本文将直纹面推广为广义直纹面，主要讨论三种特 殊的广义直纹面即抛物型直纹面、椭圆型直纹面、双曲型直纹面 1 2 预备知识 1 2 1 广义直纹面的定义 定义1 1 一条曲线在空间中运动所产生的曲面称为广义直纹面，这条曲线 称为广义直纹面的母线 抛物型直纹面就是一条抛物线在空间中运动所产生的曲面，其参数表示为 r ( “，y ) 一y 2 口( “) + 泊( “) 椭圆型直纹面就是一个椭圆在空间中运动所产生的曲面，其参数表示为 ，( “， ，) = 口( “) c o s ，+ 6 ( h ) s i n ， 双曲型直纹面就是一组双曲线在空间中运动所产生的曲面，其参数表示为 ，( 比， ，) 一口( 比) 幽 ，+ 6 ( ) 幽 ， 其中口( m ) 、6 ( “) 是“的向量函数 1 1 2 2 向量的数量积、向量积、混合积 在三维欧氏空间e 3 中，设三个向量口、6 和c 的分量分别为 五，乃，毛) 、 吃，九，z ：) 和 毛，儿，毛) ，则向量口、6 的数量积定义为 特别地 口。6 一书i 毛+ y l y 2 + z l 乞， 口_ 4 。口一2 + 咒2 + 毛2 命题1 1 【l 】口上6 的充分必要条件是它们的数量积口6 o 向量口、6 的向量积的坐标表示为 口6 一匿麦量f ， 其中q 、乞、岛是笛卡儿直角坐标系的三个基向量 向量4 、6 和c 的混合积的坐标表示为 c 口，6 ，c ，一巨姜兰f 命题1 2 【2 】 三个向量口、6 、c 共面( 即平行于同一平面) 的充要条件是 ( 4 ，6 ，c ) 一o 1 2 3 曲面的主曲率、平均曲率与高斯曲率 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率由于曲面上一 点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲 率线方向的法曲率 设在曲面s ：，- ，( h ，y ) 上曲率线网为曲纹坐标网，e ，f ，g 为曲面的第一 基本量，l ，肘，为曲面的第二基本量，则有f ；m ；0 ，对于曲面上任一方向 2 东北大学硕士学位论文 第1 章引言与预备知识 掣，它的法曲率公式为 口y 吒- 等一篇 ( 1 4 ) 沿“一曲线( 咖- o ) 的方向对应的主曲率是qa 詈， 沿v 一曲线( 幽。o ) 的方向对应的主曲率是。等 定义1 2 【3 】 设七。和七：为曲面s 上一点的两个主曲率，那么曲面的高斯曲率 k 、平均啦率日分别为 脑坫：一筹， 1i e g f 1 日j ( 毛+ 七：) i 兰器 1 2 4 曲面上两方向的交角 曲面，一r ( 比，v ) 上一点( ，) 的切方向称为曲面上的方向，它可以表示为 卉一，= i ( “o ，) 咖+ ( ，) 咖， ( 1 5 ) 其中屹( “。，) 和( 比。，v o ) 是过( “。，) 点的坐标曲线的切向量给定了曲面的参 双表不瓦厢吒相是已知圈，凼此给出一刀l 司咖就，寺亍缗出一羽值砌、d ，个 过方向和西的长度无关，所以给出拿就确定曲面上的一方向本文用掣表示 口y 口y 曲面上的一方向 给出曲面上两个方向譬和罢，把向量咖；吒咖+ o 咖和6 厂；6 h + 6 v 间 口vd 1 ， 的交角称为方向譬和竺问的角 d ，o v 求孕和掣间的交角p 由于 d vd ， 咖6 r 一防胪r i c o s 口， 簖d 1 3 第1 章引言与预备知识 东北大学硕士学位论文 删。黼 由于 办一，：l 幽+ 咖，办2 = 砌2 + 2 砌咖+ 鼬2 ， 6 r l 6 “+ l 6 v ，6 r 2 - e 6 h 2 + 2 f 6 “6 ，+ g 6 y 2 ， 办6 ，一( ，：i 如+ 咖) ( 6 h + 6 ，) t 跏6 h + f ( 如6 ，+ 咖6 h ) + g 咖6 ， 由此得c o s 口的表示式 胁6 口+ f f d h 6 ，+ 咖6 l + 劬6 v c 0 s 秽_ 1 2 = = = = ；= = = = = = = = = = 兰= = = = 了= = = = = 三二= = = = = = = = = = = = = 础2 + 2 ，冱h 咖+ 劬2 6 砧2 + 2 ，6 “6 v + g 6 l ，2 由这个公式可以推出曲面上两个方向华和婴垂直的条件是 口yd ， 砌6 + f ( 幽6 ，+ 咖6 h ) + 觎6 y 。o ( 1 6 ) 1 2 5 三角函数系 函数列1 ，c o s x ，s i i i 工，c o s h ，s i n 她，c o s 肛，s i n 脏，称为三角函数系1 4 j 纫是三角函数系中每个函数的周期讨论三角函数系只须在长是h 的一个区 间上即可，通常选取区间【啊，石】三角函数系具有以下性质：所和露是任意非负 整数，有 序n 一础；仁= 以 【s i n 眦c 0 s 砒= o 正c o s 臌c o s 砒t 仁= 以 即三角函数系中任意两个不同函数之积在【一万，万 的定积分是o ，而每个函数的 平方在卜玎，万 的定积分不是o 函数之积的积分可以视为有限维空间中内积概 4 念的推广，所以三角函数系的这个性质称为正交性由此可以得知函数列 1 ，c o s x ，s i n z ，c o s 缸，s i n 缸，c o s 腻，s i n 脏，是线性无关的 1 2 6 基本引理 引理1 1 【5 】 向量函数厂( f ) 具有固定长的充要条件是对于f 的每一个值， ，( f ) 都与，( f ) 垂直 证明 由所给条件i r ( f ) 卜常数，可得 上式两边分别对f 求微分得 由此式可知 即 r 2 ( r ) = | r ( f ) 1 2 = 常数 2 r ( f ) r ( f ) 一o ， 反之，如果已知，( f ) r ( f ) 一o ，则有 去，2 ( f ) = o 因而得到 ，2 ( 小- 常数， ) | 一常数 特别地，对于可微的单位向量函数，( f ) ( 即i ，( f ) | 兰1 ) ，有，( f ) 上，( f ) 证毕 引理1 2 【5 】 向量函数r ( f ) 具有固定方向的充要条件是对于f 的每一个值， ，( f ) 都与，( f ) 平行 证明如果向量函数r ( f ) 的方向不变，则有一个固定的单位向量e ，使得向 5 苎! 主! ! 圭鱼翌鱼垒坚 一 东北大学硕士学位论文 一一 ：! ：! 竺三= ：竺! ! 全 量函数，( f ) 能够写成 ，- ( f ) 。厂( f ) 其中，- ( f ) 一厂( f ) e 是处处非零的连续可微函数 因此 ，( f ) 一，( f ) e ，( f ) ，( f ) 一o 反蛛娜) ，( f ) 墨0 叫小高 | e ( f ) 卜证明e ( f ) 是常向量函数因 为e ( f ) 的长度是l ，故有e 7 ( f ) e ( f ) ；o ，即e ( f ) ，( f ) ；o 由e ( f ) 的定义得知 ，( f ) 一，( f ) e ( f ) ， 其中厂( f ) 。i ，( f ) i 处处不为零，故 r ( f ) 一厂( f ) e ( f ) + ，( f ) e ( f ) ， ，( f ) ，( f ) = ，( f ) e ( f ) ，( f ) 一o 因此p ( f ) ，( f ) = o ，故e ( f ) 与，( f ) 共线，假设 e ( f ) 一a ( f ) r ( f ) 由于e ( 小c ，( 小一o ，故 e ( f ) ，( f ) 一a ( f ) ，( f ) 厂( f ) a 0 ) 厂2 ( f ) o 于是a ( f ) = o ，即 e 7 ( f ) 。o 故e ( f ) 是常向量，所以向量函数，( f ) 具有固定方向 证毕 引理1 3 【5 】 向量函数，( f ) 平行于固定平面的充分必要条件是 ( 厂( f ) ，厂( f ) ，。( f ) ) 一o 证明若，- ( f ) 厂( f ) 一o ，由引理1 2 本引理显然成立以下设，( f ) ，( f ) 乒o 东北大学硕士学位论文第l 章引言与预备知识 必要性 设r ( f ) 平行于一个固定的平面，珂为垂直于这个平面的任意非零常 向量，则对于区间h ，f ： 里的每一个f ，有 以r ( f ) 一o 连续两次求导，得 厅，( f ) 一o 以r 。( f ) - o 于是向量函数r ( f ) ，( f ) ，。( f ) 总垂直于同一个非零向量九，因而共面，故 ( ，( f ) ，r ( r ) ，r 。( r ) ) 一o 充分性 设在区间h ，f ：】里，( ，( f ) ，厂( f ) ，。( f ) ) 一o ，即，( f ) ，厂( f ) ，。( f ) 共 面由于厂( f ) ，( f ) o ，即厂( f ) ，( f ) 不平行，则r 。( f ) 是它们的线性组合 ，。( f ) = a ( f ) 厂( f ) + ( f ) r ( f ) ， 其中a ( f ) ，( f ) 是纯量函数另一方面，也由于，( f ) r ( f ) o ， 万一，( f ) ，( f ) ， 是垂直于，( f ) 与，7 ( f ) 的一个非零向量，而 万一r ( f ) ，”( f ) 把，( f ) 一a ( f ) r ( f ) + j l ( f ) ，( f ) 代入捍一，( f ) ，”( f ) 得 万- p ( f ) ，( f ) r ( f ) 一p ( f ) 厅 因此，以，l ；0 根据引理1 2 厅有固定方向作为垂直于固定方向的向量函数 r ( f ) 平行于固定平面 证毕 引理1 4 【6 】齐次线性方程组 口1 1 玉+ 口1 2 恐+ + 口1 一一o ， 口2 + 口2 2 工2 + + 口2 j - = 0 ， 口 + n 2 k + + 口m 吒；o ， 7 鱼j ! l 型兰兰堕塑! 型墅一奎! ! 查兰塑主兰垒笙查一 一叭】一 丁。p ， l 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 的行列式等于零 彳= 口l l 口1 2 口h 口2 1 口恐口2 j l 口 l 口 2 口朋 - 8 东北大学硕士学位论文 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 本章主要讨论具有特殊性质( 与广义直纹面的y 一曲线的切方向垂直的切方 向固定) 的抛物型、椭圆型、双曲型直纹面，并进一步讨论常平均曲率、常高斯曲 率以及平均曲率与高斯曲率之间满足条件( h 2 。k ) 的抛物型直纹面( h 2 ；k 的 情况一般在m i n k o w s l 【i 空间中讨论，考虑到论文的完整性本文讨论了这种情况) ， 方法参照文献【7 - 1 5 】 2 1 抛物型直纹面 2 1 1 可展的抛物型直纹面 定理2 1 在三维欧氏空间e 3 中，与抛物型直纹面的y 一曲线的切方向垂直 的切方向固定的抛物型直纹面是平面、抛物柱面或旋转抛物回 证明设抛物型直纹面的参数方程为 ，( “，y ) 一y 2 口( “) + 泊( 比) ， 其中口( h ) 、6 ( h ) 是h 的向量函数，口( “) 上6 ( 距) ，l 口( “) i - 1 ，p ( 球) | _ 1 上式两边分别对比、，求一阶偏导得 乞； ，2 口( “) + 仿( “) ， ，；。2 v 口( “) + 6 ( “) 求二阶偏导得 ，：i 。一y 2 口”( “) + 泊”( “) ， ，= i ，一加( h ) + 6 ( “) ， 一2 口( “) 由口( “) 上6 ( “) ，有口( “) 6 ( “) 一o ，对“求导得口( “) 6 ( “) + 口( “) 6 ( “) 一o ， 9 因此口( 口) 6 ( “) 一一口( h ) 6 ( h ) 由已知i 口( h ) ；1 ，有口( h ) 口( h ) ；o ，同理可得 6 ( 比) 6 ( h ) 一o 抛物型直纹面的第一基本量为 e 。，：l ，：i y 4 口吃( h ) + 知3 口( h ) 6 ( h ) + v 2 6 2 ( “) ， f 2 ，：| 。知3 口似) 。4 “) + y 2 口( h ) 6 ( “) + 知2 口( “) 6 ( “) + 坫( “) 6 ( “) - y 2 口( h ) 6 ( “) ， g 一，：r - 4 y 2 + 1 0 得 1 设抛物型直纹面的y 一曲线的切方向为熹a 詈，将其代入 胁6 “+ f ( 咖6 y + 咖6 “) + 鼢6 y o ， f 6 “+ g 6 ，一0 又g 一0 ，则与抛物型直纹面的y 一曲线的切方向垂直的切方向为 6 vf 一一一 6 “g 设 有 7 ，一，= i g + ，：，( f ) ，一，= 1 6 h + 6 ， 。【v 2 口( h ) + 泊7 ( “) 】( 和2 + 1 ) + 2 阳( “) + 6 ( “) 】卜( “) 6 ( h ) 】 t 和4 口( “) + 知3 拍( h ) 一4 ( h ) 口( h ) ( h ) 】 + v 2 似“) 一6 ( “) 口( h ) 6 ，( h ) ) + 访( “) 令) ，的各项系数分别为 彳一口( “) ， 口= 扬( “) 一口( “) 【口( “) 6 ( “) 】， 1 0 东北大学硕士学位论文 笫2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 有 c 一口( “) 一6 ( “) 口( “) 。6 ( h ) 】， d - 6 ( ) ，一朝l ，+ 扭沪+ 西2 + 伽， 由y 是关于矿的函数，上式两边分别对y 求导得 ，- 1 6 彳，3 + 6 曰 ，2 + 2 c 、，+ d 由引理1 2 知使 ，方向固定的充要条件是 ，一0 又由 ，7 ，2 “v 4 + 2 b v 3 + 西2 + 仂】 1 鲋 ，3 + 6 肌2 + 2 西+ d 】 一一8 v 6 ( 4 b ) 一跏5 ( 4 c ) 一知4 6 ( 彳d ) + ( 曰c ) 】一和3 ( b d ) 一y 2 ( c d ) = 0 y ) ，是关于v 的多项式，由其恒为零向量，知其各项系数恒为零向量，即 解之得 彳b = 0 ， 彳c o 6 ( 彳d ) + b c o 口d o c d 一0 a | | b | | c | | d 已知向量口( 比) ，6 ( “) ，口( “) 6 ( “) 互相垂直，设6 ( “) 与口( “) 6 ( h ) 确定平 面a ，口( h ) 与口( 比) 6 ( “) 确定平面卢由4 一口( h ) ，口( h ) 口( h ) = o ，即 口( h ) 上口( “) ，知彳上口( 1 1 ) ，又d 一6 ( “) ，同理可得d 上6 ( h ) ，故爿平面口， d 平面p ，又平面口与平面交于口( h ) 6 ( “) ，4 d ，以下分四种情况讨论 当4 一o ，d o ，即口7 ( h ) 一o ，6 ( m ) o 时，有彳d 口( “) 6 ( 1 ) 】，又 - 1 1 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面东北大学硕士学位论文 因a | f b | ic j d ，受惰a l j 】蛐c | | dj | 0 u 1 x b u 、 设 爿一 ) 【口( “) 6 ( h ) 】， b t 九1 1 1 ) 【口( “) 6 ( “) 】， c 一 o ) 口( “) 6 ( h ) 】， d 一九 ) 口( “) 6 ( h ) 】， 其中 ( 雎) ，九( 口) ，丸( “) ，九( h ) 是关于“的纯量函数，有 y 。【4 厶( m ) v 4 + 2 五( 口) p 3 + 毛( 砧) ，2 + ( h ) y 】 口( 砧) 6 ( h ) 】， 又已知，的方向固定，而4 ( ) y 4 + 2 九( ”) ，3 + 毛( h ) ，2 + 九( h ) ，只是关于甜、，的 一个多项式，且与，的方向无关，故可以得到口 ) 6 0 ) 的方向固定，可知 ，( h ，y ) 一y 2 口( h ) + 仿( “) 是抛物柱面 当彳一o ，d ；o ，即口( h ) ；o ，6 ( h ) 一。时，口( 口) 、6 ( m ) 都是常向量，则 ，( “，y ) 一y 2 口( h ) + 诂( h ) 是一平面 当彳- o ，d - o 时，即n ( “) 。o ，6 ( m ) ，to 时，有口( ”) 6 ( “) 一o ，即 口( “) 上6 ( “) ，由口( h ) 6 ( 肌) 一- 口( h ) 6 ( h ) ，有4 ( 搿) 6 ，( h ) 一o ，即口( 搿) 上厶( 耻) 可知 彳= o ，曰一幼( h ) ， c o ，d = 6 ( “) 由6 ( h ) o 知b o ，又口( h ) 上6 ( “) ，b ；幼( h ) ，则口上口( “) ，有口平面口， 又d 平面卢， 口与卢交于口( h ) 6 ( h ) ，b d ，则b d 【口( m ) 6 ( h ) 】又由 4 曰，c d ，故4 曰c d 口( h ) 6 ( 比) 】与同理知口( “) 6 ( m ) 的方向固 定，又口( “) 方向固定，有6 ( “) 方向固定，即67 ( “) 6 ( “) 一o ，又6 ( “) 6 ( “) 一o ， 6 ( ) 一o ，则6 0 ) 一o ，与题设6 ( “) o 矛盾，故无符合条件的曲面 - 1 ，- 当月一o ，d o ，即4 ( h ) 一o ，6 0 ) 一。时，与同理可知，无符合条件 的曲面 2 设口( “) 6 ( “) - a ( h ，y ) 吒+ ( “，y ) ， 纯量函数，有 其中a ( “，y ) 、( “，y ) 是关于“、，的 口( 比) 6 ( ) = 九( ) p ( “) + 泊( h ) 】+ ( 叩) 【加( “) 柏( “) 】( 2 1 ) ( 2 1 ) 式两边与口( h ) 做内积得 整理得 【口( ) 6 ( h ) 】口( 口) 一a ( ) p ( h ) 。口( 比) + 协( “) 口( “) 】 + ( 州) 【加2 ( 比) + 6 ( h ) 口( “) 】， a ( “，y ) 扫( ) 口( 比) + 2 ( “，) 】v = o ， 对于任意的 ，上式都成立，可知 a ( h ，) 6 ( “) 口( m ) + 2 ( h ， ，) 一o ( 2 1 ) 式两边与6 ( “) 做内积得 整理得 【口( “) 6 ( “) 】6 ( 比) ；a ( h ，v ) ，2 口( “) 。6 ( h ) + 1 ，6 7 ( h ) 。6 ( “) 】 + p ( 州) 【加( 比) 6 ( “) + 6 2 ( “) 】， a ( “，v ) 【，2 口( “) 6 ( 比) 】+ j c l ( 比， ，) _ o 将上述( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式视为关于a 与的方程组，即 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 由口( “) 6 ( “) - o ，可知a 与不能同时为零，故方程组的系数矩阵的行列式等 于零，即 将此行列式展开得 1 3 0 q 卜 l v ) b y 0 p ：， + 4 q 小吣 4 “ 一二，吖、 “而 ：q h r v v 配 m 九 a 0 = 2 l 、i，- “荡 口)卜以 似，口 ， 2 童坚! 二_ 三笙坠垦皇璺! 堕兰皇竺重 查苎查茎堡主茎堡垒查 - ”。 丁删1 亍仙t 匕人 知2 【口，( “) 。6 ( “) 卜p ( 口) 口( 比) 卜o ， 上式是关于 ，的多项式，由其恒为零知其各项系数均为零，即 口，( “) 6 ( “) - 0 1 6 ，( h ) 口( “) 一o 则，( “，y ) 一y 2 口( “) + 泊( “) 是旋转抛物面 综上可得与抛物型直纹面的y 一曲线的切方向垂直的切方向固定的抛物型直 纹面是平面、抛物柱面或旋转抛物面 证毕 2 1 2 常平均曲率抛物型直纹面 定理2 2 在三维欧氏空间e 3 中，当口( h ) 、6 ( h ) 共面时，平均曲率日：o 的 抛物型直纹面( r ( h ，v ) - p ( ) + 泊( 口) ) 是抛物柱面不存在平均曲率为非零常数 的抛物型直纹面 证明 由乞2 y 2 口( 比) + 泊7 ( “) ，；2 阳( “) + 6 ( “) ，；y 2 口7 7 似) + 访( h ) ， ，：i ，一加( h ) + 6 ( 以) ，2 口( 比) ， 粥一f 2 卟叫比) + 知砷) 帅) + y 谚吃( “) 】( 和2 + 1 ) 一州州( 球) 】2 _ 4 i ，6 口2 ( 口) + 8 矿5 口( “) 6 ( 口) + v 铀2 ( h ) + 口2 ( h ) 一 口( “) 6 ( 砧) 】2 ) + 知3 口( “) 67 ( h ) + y 冶吃( 跖) ， 1 4 ， i 东北大学硕士学位论文第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 2 v 5 ( n ”( h ) ，口( “) ，口( “) ) + v 2 ( 6 ”( “) ，6 ( “) ，6 ( 比) ) + v 4 ( 口”( “) ，口( “) ，6 ( “) ) + 2 ( 口”( “) ，6 ( “) ，口( “) ) + 2 ( 6 ”( “) ，口( h ) ，a ( h ) ) 】 + l ，3 ( 口”( “) ，6 ( “) ，6 ( h ) ) + ( 6 ”( h ) ，口( h ) ，6 ( h ) ) + 2 ( 6 ”( “) ，6 ( h ) ，口( h ) ) 】 n | 令 ( 加( 比) 帕7 ( ) ，v 2 口( m ) + 访( “) ，加( m ) + 6 ( 川 知3 ( 口( 比) ，67 ( 比) ，口( “) ) + y 2 ( 口7 ( h ) ，6 ( 比) ，6 ( “) ) ( ，w ，：i ，：r ) ( 2 口( 比) ，y 2 口( “) + 协( “) ，加( h ) + 6 ( 比) ，) 知2 ( 口( 翻) ，口( h ) ，6 ( “) ) + 知( 口( 比) ，6 ( “) ，6 ( 醒) ) ， f l = 8 ( 口”( “) ，n ( h ) ，口( “) ) ， f 2 = 4 ( 口”( “) ，口7 ( “) ，6 ( “) ) + 8 ( 口”( “) ，6 ( “) ，口( “) ) + 8 ( 6 ”( h ) ，口( “) ，口( “) ) + 2 ( 口( 1 1 ) ，口( “) ，6 ( “) ) 口吃( “) ， z4 ( 口”( “) ，6 ( “) ，6 ( “) ) + 4 ( 6 ”( z 1 ) ，口( ) ，6 ( h ) ) + 8 ( 6 ”( z t ) ，6 ( h ) ，n ( m ) ) - 1 5 斟 鲁 lri 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面东北大学硕士学位论文 一卫丛生型垫丛生1 2 【和2 0 ) + 跏幺( h ) 6 7 ( “) + 妒4 + 知3 口7 0 ) 6 ( “) + y 2 6 吃0 ) 】i 1 由日一o 得其分子为零，即 妒7 + v 6 + f 3 矿+ 印4 + 钞3 + v 2 一o ， 上式是关于v 的多项式，由其恒为零知其各项系数为零，即 气一0 ， ( 1 ) f 2 一o ( 2 ) 岛一0 ( 3 ) f 1 4 一o ( 4 ) f 5z0 ( 5 ) 气。0 ( 6 ) 1 6 删舭帅m 州w m 忖一 心m炉胪叫肛州巾渺 ，州 卜p订d”0 m ”如”p 洲洲删枷一脚一帅一 茎l 卅 一一忡忡一一一一 一一 东北大学硕士学位论文 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 由( 1 ) 式及引理1 3 知口( “) 平行于固定平面，且口”0 ) 、口( h ) 、口( “) 共面，不 妨设口( h ) 平行于固定平面q ，则口”( 口) 、口( h ) 、口( “) 也平行于平面q ，同理由 ( 6 ) 式可得6 ( ) 平行于固定平面，且6 ”( “) 、6 ( “) 、6 ( “) 共面，设6 ( “) 平行于固 定平面a ，则6 ”( m ) 、6 ( “) 、6 ( h ) 也平行于平面展 当a 。屈时，口( “) 、6 ( “) 共面，不妨设口( “) 、6 ( h ) 在平面q 上，则口”( “) 、 口7 ( “) 、口( h ) 、6 ”( “) 、6 ( h ) 、6 ( “) 也在平面q 上，又口( h ) 上口( “) 、6 ( “) j - 6 ( m ) 、 口( “) 上6 ( h ) ，故口( “) 6 ( “) 、6 ( “) 口( “) 此时原方程等价于 ：二尝曷 即 f ( 口”( h ) ，口( h ) ，口( h ) ) = o ， ( 1 ) t ( 6 ”( “) ，6 7 ( h ) ，6 ( h ) ) t o ( 6 ) 口( “) 6 ( “) 】，| 口( “) 6 ( “) + 口( h ) 6 ( h ) = o ，故口( h ) 6 ( h ) 一c 1 ，即口( h ) 6 ( h ) 方向固定，以下分四种情况讨论 当口( “) c 2 ，6 ( “) 一c ，时，r ( h ，y ) ；y 2 口( h ) + y 6 ( n ) 为抛物柱面 当口( “) 一c 2 ，6 ( h ) - c 3 时，有粥一f 2 一o ，与e g f 2 一。矛盾，无符合 条件的曲面 当口( “) = c ：，6 ( h ) ，tc 3 时，由口( 比) 6 ( 醒) 的方向固定，又口( “) 方向固定， 则6 ( “) 方向固定，即67 “) 6 ( “) zo ，又6 ( “) 6 ( h ) = o ，6 ( 比) 一o ，则6 ( “) = o ， 6 ( “) 一c ，与题设6 ( “) c ，矛盾，故无符合条件的曲面 当口( h ) _ c ：，6 ( “) 一c 3 时，与同理可知无符合条件的曲面 2 当日一c o n s t 一0 时，解之得 f 口( h ) c 2 ， 1 6 ( “) t c 3 ， 又有e g f 2 = 0 ，与e g f 2 乒o 矛盾，无符合条件的曲面c l ，c 2 ，c 3 为常向量 第2 章三维欧氏空间中的广义直纹面 东北大学硕士学位论文 综上可以得到当口( 砧) 、6 ( 口) 共面时，平均曲率日一。的抛物型直纹面 ( ，( ，v ) 。y 2 口( “) + 协( ”) ) 是抛物柱面不存在平均曲率为非零常数的抛物型直纹 面 证毕 2 1 3 常高斯曲率抛物型直纹面 定理2 3 在三维欧氏空间e 3 中，当口( h ) 、6 ( “) 共面时，高斯曲率k - o 的 抛物型直纹面( r ( “，y ) 一l ，2 口( 脚) + 泊0 ) ) 是抛物柱面不存在高斯曲率为非零常数 的抛物型直纹面 毛= 证明由高斯曲率k - 雄：一。知 = 砉一。或七z 一苦一o 1 由 ( 口 ( h ) ，口( h ) ，4 ( ) ) + y 2 ( 6 ( 跖) ，( h ) ，6 ( 距) ) + ，4 【( 口”( 砧) ，4 ( 口) ，易( 口) ) + 2 ( 口 ( 口) ，6 ( “) ，口( 口) ) + 2 ( 6 ”( “) ，口7 ( “) ，口( 比) ) 】 + ，3 ( 口 ( h ) ，6 ( “) ，6 ( “) ) + ( 6 ( “) ，口7 ( “) ，6 ( “) ) + 2 ( 6 ”( 比) ，6 ( “) ，口( “) ) 】 当毛一o 时，可知其分子为零，即 知5 ( 口”( 比) ，口7 ( 比) ，口( “) ) + ，2 ( 6 ”( “) ，6 ( h ) ，6 ( h ) ) + v 4 ( 口( ) ，口( 比) ，6 ( 口) ) + 2 ( 口”( “) ，6 ( “) ，口( ) ) + 2 ( 6 ( 口) ，口( 跖) ，口( h ) ) 】 + v 3 ( 4 ”( “) ，6 ( “) ，6 ( “) ) + ( 6 ”( “) ，口7 ( “) ，6 ( “) ) + 2 ( 6 ”( “) ，6 ( h ) ，口( h ) ) 】；o ， 上式是关于v 的多项式，由其恒为零可得其各项系数为零，即 ( 口 ( 比) ，口( 砧) ，口( “) ) - o ， ( 1 ) ( 口 ( “) ，4 ( “) ，6 ( 比) ) + 2 ( 口”( ) ，6 ( “) ，口( 甜) ) + 2 ( 易”( “) ，口7 ( 球) ，口( 甜) ) ；o ， ( 2 ) ( 口”( “) ，6 ( “) ，6 ( h ) ) + ( 6 ”( h ) ，口( m ) ，6 ( h ) ) + 2 ( 6 ”( “) ，6 ( ) ，口( h ) ) 一o ， ( 3 ) ( 6 ”( z 1 ) ，6 ( “) ，6 ( “) ) = o ( 4 ) 由( 1 ) 式及引理1 3 可得口( “) 平行于固定平面，且口 “) 、口( 雎) 、口( “) 共面， 不妨设口( h ) 平行于固定平面口：，则口”( “) 、口( h ) 、口( “) 也平行于平面口：，同理 由( 4 ) 式可得6 ( m ) 平行于固定平面，且6 ”( h ) 、( “) 、6 ( h ) 共面，设6 ( “) 平行于 固定平面岛，则6 ”( h ) 、6 ( “) 、6 ( h ) 也平行于平面反 当口：岛时，口( h ) 、6 ( h ) 共面，不妨设口( h ) 、6 ( “) 在平面a ：上，则口”( h ) 、 口( h ) 、口( m ) 、矿( h ) 、6 ( 比) 、6 ( “) 也在平面a ：上，又口( “) 上口( h ) 、6 ( 比) 上6 ( ) 、 口( h ) 上6 ( m ) ，故口( h ) 6 ( 雎) 、6 ( h ) 口( “) 原方程等价于 f ( 口，( 口) ，口( “) ，口( m ) ) - o ，( 1 ) 1 ( 6 ”( h ) ，6 7 ( “) ，6 ( “) ) 一o ( 4 ) 又【口( h ) 6 ( “) 】，i 口( “) 6 ( h ) + 口( h ) 6 ( “) 一o ，故口( h ) 易( h ) _ c ，口( h ) 妯(