（应用数学专业论文）两个尺度函数生成的最小能量多小波紧框架.pdf

学位论文作者签名： 澡俑 签字日期：2 年杉月理日 乙 f 月 z卫，伊 f馋卜 沙 名 ： 签 期 师 日 导 字 签 中图分类号：0 1 7 4 4 u d c ： 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕士学位论文 两个尺度函数生成的最小能量多小波紧框架 m i n i m u m - - e n e r g ym u l t i - w a v e l e t st i g h tf r a m e sa s s o c i a t e d w i t ht w o s c a l i n gf u n c t i o n s 作者姓名：梁倩 导师姓名：赵平 学号：0 8 1 2 2 1 4 2 职称：副教授 学位类别：理学学位级别：硕士 学科专业：应用数学研究方向：小波理论 北京交通大学 2 0 1 0 年6 月 在本文完成之际 我创造了很多锻炼提 中文摘要 摘要：小波紧框架既能保持正交小波基的优点又能解决它的不足，所以研究小波 紧框架是十分重要和有意义的工作。目前关于单个尺度函数生成的小波紧框架的 研究已经有很多重要的结论，而关于多个尺度函数生成的小波紧框架的研究结果 较少。本文在多小波和最小能量紧框架的基础上提出了最小能量多小波紧框架的 概念，并主要讨论了由两个尺度函数生成的最小能量多小波紧框架，给出了生成 最小能量多小波紧框架的多尺度函数所要满足的条件。并且证明了若对该尺度函 数用正交矩阵进行变换可以得到新的多尺度函数和与之相对应的最小能量多小波 紧框架。最后给出了两个可以生成最小能量多小波紧框架的多尺度函数实例。 关键词：小波分析；多小波；多分辨分析；多尺度函数；最小能量紧框架；多小 波框架；正交矩阵。 分类号：0 1 7 4 4 t a bs t r a c t a b s t r a c t ：m u l t i w a v e l e t st i g h tf r a m e sn o to n l yc a nh o l dt h ea d v a n t a g e so f o r t h o g o n a lw a v e l e tb u ta l s oc a l l s o l v ei t sd i s a d v a n t a g e s a tp r e s e n t ，t h e r ea r em a n y i m p o r t a n tr e s e a r c h e so nm u l t i - w a v e l e t st i g h tf r a m e sw i t ho n es c a l i n gf u n c t i o n b u tt h e r e a r ef e wc o n c l u s i o n sa b o u tm u l t i - w a v e l e t st i g h tf r a m e sw h i c hi sa s s o c i a t e dw i t hm o r e t h a no n es c a l ef u n c t i o n s o nt h eb a s eo fm u l t i - w a v e l e t sa n dm i n i m u m e n e r g yt i g h t f r a m e s ，w es t u d ym i n i m u m e n e r g ym u l t i - w a v e l e t st i g h tf r a m e s ，a n dm a i n l yc o n s i d e r a b o u tm i n i m u m - e n e r g ym u l t i w a v e l e t st i g h tf r a m e sa s s o c i a t e dw i t ht w oc o m p a c t l y s u p p o r ts c a l i n g f u n c t i o n s w e g i v e a ne x i s t e n c ec r i t e r i o nf o rm i n i m u m 。e n e r g y m u l t i - w a v e l e t s t i g h t f r a m e s i ft h e s c a l i n g f u n c t i o n so ft h em i n i m u m 。e n e r g y m u l t i w a v e l e t st i g h tf r a m e sc h a n g e db ya no r t h o g o n a lm a t r i x ，t h en e ws c a l i n gf u n c t i o n s a l s oc a ng e n e r a t eam i n i m u m - e n e r g ym u l t i w a v e l e t st i g h tf l a m e f i n a l l y , w eg i v et w o e x a m p l e so fm i n i m u m e n e r g ym u l t i - w a v e l e t st i g h tf r a m e s k e y w o r d s ：w a v e l e t s ；m u l t i - s c a l i n gf u n c t i o n s ；m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r a ) ；m i n i m u m e n e r g yt i g h tf r a m e s ；m u l t i w a v e l e t s ；o r t h o g o n a lm a t r i x ； c l a s s n o ：0 17 4 4 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 1引言。l 2 最小能量多小波紧框架的定义4 3 论文的主要结果7 3 1 最小能量多下小波紧框架特性的研究一7 3 2 最小能量多小波紧框架等价命题8 3 3 最小能量多小波紧框架判定定理l o 4 最小能量多小波紧框架的实例1 4 4 1 支撑区间为 o ，2 】的最小能量多小波紧框架1 4 4 2 支撑区间为 o ，3 】的最小能量多小波紧框架1 8 5结论2 4 参考文献2 5 作者简历一2 7 独创性声明2 8 学位论文数据集2 9 1引言 小波分析是上世纪8 0 年代发展起来的- - i 7 新兴学科，也是当前数学家关注和 研究的一个热点，它是f o u r i e r 分析发展史上的一个突破性进展，它同时具有理 论和应用的双重广泛意义。一方面，小波分析被看成调和分析发展的里程碑，另一 方面，它在多个科技领域都有重要的应用，包括：信号处理、图像处理、量子力 学、地震勘测、计算机识别、音乐、雷达、天体识别、机械故障诊断和监控，分 形以及边缘检测等多个方面。 f o u r i e r 分析是一种频谱分析，是把函数厂从时域映射到频域的一种变换，它 把对函数厂转变到对其f o u r i e r 变换厂的研究。加窗f o u r i e r 变换对提取低频局 部信息十分有效，但它的窗函数在时频域上的窗口大小是固定的，时域上的窗口 大小和频域上的窗口大小之间存在一定的制约关系，它们不能同时任意小。但实 际应用中，需要同时对信号中的低频和高频成分进行研究，在这点上， f o u r i e r 分析就存在了很大的限制。 小波分析是在f o u r i e r 分析基础上发展起来的，是对加窗f o u r i e r 变换的局部 化思想做了进一步的发展，克服了后者窗口大小、形状不变的不足。小波函数中 存在与局部频率相对应的尺度因子，能满足信号的频度越高、在时空域上的分辨 率愈高的要求。小波分析是一种能同时在时、频域分析的一种方法，具有多分辨 分析的特性，能有效的从非平稳信号中提取瞬态信号，能有效的提取信号的波形 特征。小波分析对高频成分采用逐步精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦 信号的任意细节，故有“数学显微镜之称” 1 1 9 1 0 年数学家a l f r e dh a r r 利用伸缩平移思想提出了第一个小波函数一h a r r d , 波，随后的半个世纪以来，许多数学家女h p a l e y - - l i t t l e w o d 、j 0 s t r o m b e r g 等 人也投身于小波函数的表达式的具体计算中。但是由于没有一套完整的理论加以 支撑，他们的成果有限并且在没用在实际应用中发挥较大作用。 第一个真正的小波基是由y m e y e r 在1 9 8 6 年怀疑小波基的存在性的同时构 造出来的。这项结果带来了小波分析的热潮。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造了具有有 限支集的正交小波基。同一年，m a l l e t 提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的思想，为小波变换的大规模发展和应用奠定了理论基础，小波理论的 称性保证重构过程数据不会失真，而连续性则可以避免在断点上出现锯齿现象。 而小波双j 下交基虽然可以克服这一点，但是由于失去正交性，因此它的分解和重 构算法用的不是一个系统，极大地影响的它的应用。 近些年人们丌始渐渐把研究内容集中在小波紧框架上。小波紧框架虽然不可 避免会带来数据的冗余问题，但它在很大程度上克服了j 下交基和双正交基的缺陷， 它能在多尺度和多方向上表示图像，比正交小波基提取的相位信息更丰富，可以解 决正交小波基缺乏平移不变性的问题，具有正交基和双正交基所无法比拟的许多 优良性质和良好的应用前景。 1 9 9 8 年j j b e n e d e t t o 和s l i 4 提出了框架多分辨分析( f m a r ) ，类似于m r a ， f m a r 是构造小波紧框架的重要理论工具。f m r a 与m r a 的本质区别在于m r a 要求尺 度函数的平移构成其闭线性张成子空间k 的r i e s z 基或正交基，而f m r a 可以不要 求这一条件，框架中不要求元素的线性无关性，它是基底的推广，因此用小波紧框 2 架对任意信号函数展开时，其展开形式不是唯一的。这是因为在小波紧框架中存 在着“冗余”的函数。表面上看，这种“冗余函数”的存在是小波紧框架的缺憾， 但恰恰是这一缺憾使得在应用小波紧框架恢复信号过程中数值计算方面更稳定。 而且用小波紧框架对信号或图像处理的分析函数和合成函数是一致的，这就给为 后继处理包括编程实现带来了方便。 2 0 0 0 年c k c h u i 和w h e 提出了多带小波最小能量紧框架的概念 5 ，该 文中生成最小能量紧框架的尺度函数的伸缩因子为2 。2 0 0 8 年，h u a n gy o n g d o n g 和l u op i n g 将尺度函数的伸缩因子推广到3 6 。最小能量紧框架既能保持单小 波的优点，又能克服单小波的缺陷，它把正交性、光滑性、紧支性、对称性等完 美的结合了起来。 之前大部分的小波框架都是建立在单个尺度函数的基础上，而关于由多个尺 度函数生成的小波框架即多小波框架的研究结果较少，这也就引起了大家关于多 小波框架研究的兴趣，2 0 0 0 年c k c h u i 7 研究了多小波框架，给出了多小波 框架的定义和基本的性质，近几年也有很多关于多小波框架研究结果 8 卜 1 5 。 在一些多小波和最小能量紧框架的研究结论的基础上 1 6 卜 2 2 ，我们考虑研 究最小能量多小波紧框架，即由两个或两个以上的尺度函数生成的最小能量紧框 架，目前国内外关于这部分内容的理论研究结果较少。 本文给出了最小能量多小波紧框架的定义以及生成最小能量多小波紧框架德 多尺度函数所满足的条件，且主要考虑由2 个尺度函数生成的最小能量多小波紧 框架。然后利用正交矩阵对原多尺度函数做和最小能量多小波紧框架做变换证明 可以得到新的多尺度函数和与之相联系的最小能量多小波紧框架。最后给出一些 多尺度函数、最小能量多小波紧框架及其矩阵尺度符号的图像。 本文出现的函数都是属于l 2 ( r ) 空间，且内积和范数符号分别为 和0 2 最小能量多小波紧框架的定义 我们称向量值函数( 石) = ( 么( x ) ，唬( 石) ，秀( x ，t ，破，欢，痧r ( 尺) ，n 为多 尺度函数，如果( x ) 满足两尺度矩阵方程 币( x ) = 置( 2 x 一尼) ，x er ( 2 1 ) 七e z 其中 只) 是z r x r 的矩阵，称为两尺度矩阵序列。 x c ( 2 1 ) 式两边分别进行傅里叶变换得到 面( 缈) = 尸( z ) $ ( 等) ，z = 已一细，2 ( 2 2 ) 其中 尸( z ) = i 1 。p 。z ( 2 3 ) 我们称p ( z ) 为两尺度矩阵序列 只 脱的尺度矩阵符号。 由( x ) 生成的，重多分辨分析 巧 愆定义为 巧) = c l o s 如) j z ( 2 4 ) 其中统一女= 2 妒办( 2 7 x 一后) ，且满足： ( 1 ) 0 卜cv ockc 砭寸l z ( r ) ( 2 ) 幽5 如) ( 望_ ) = r 似) ；倒nv j2 o ) ( 3 ) 厂( x ) _ f ( 2 x ) 巧+ l 歹z ( 4 ) 统。：1 f ，k z ) 构成子空间巧的r i e s z 基。 我们称口( r ) 空间中的有限函数集甲= ，：，” 生成一个多小波框架，若 存在常数0 a b 0 0 ，使得对所有的f r ( r ) ，有 a l l f l l 2 i | 2 - b i i f l l 2 ( 2 - 5 ) f = i ，k e z 其中_ 。= 2 加虬( 2 - k ) 。当a = b = 1 时，称甲= ，”) 生成一个多小波 紧框架。即，当我们讨论多小波紧框架时，可以使用以下定义 4 i 2 爿1 f i l 2 , v f l 2 ( r ) ( 2 6 ) r = lj k e z 定义l 设一个多尺度函数( 石) 生成一个m r a 嵌套序y w j _ v _ f - j 巧) 。( 2 4 ) ，有 限集合函数、壬，= ， 满足等式( 2 6 ) ，如果有tck ，则我们称 甲= 少。，” 生成一个和一个多尺度函数( x ) 相联系的多小波m r a 紧框架。 为了构造拥有更好性质的框架，类似于最小能量紧框架中的定义 5 ，我们给 出了最小能量多小波紧框架的定义。 定义2 设向量值函数( 力= ( 霸( 功，欢( 力，c a x ) ) rcr ( r ) ，其中五在。点 连续且五( o ) = 1 ( 1 f ，) 是一个生成嵌套序列空间m r a ( v j ) 7 ：。( 2 4 ) 的多尺度函 数，对任意的函数厂r ( r ) ，如果一个有限集合函数甲= y 。，y ：，”) cl 2 ( r ) 满 足： i 1 2 - - z i f ，办，。，。) 2 + i 1 2 ( 2 7 ) 则我们称甲生成一个和多尺度函数o ( x ) 相联系的最小能量多小波紧框架。 根据嵌套序列空问 巧) ，。z 的分解关系，可以得到对任意的函数厂口( 尺) ，式 ( 2 7 ) 等价于下列等式。 ， rr 厂，以 七砸 。= ，以，。，。砸，。，。+ ，棚，。矽种，。 ( 2 8 ) r = lk e zr = lk e zr = l z 考虑甲( 工) 与o ( x ) 的关系，甲( x ) 应满足的两尺度关系为 甲( x ) = q 。o ( 2 x - k ) ( 2 9 ) 以及它的尺度矩阵符号 其中q 是一个，r 的矩阵。 9 ( z ) = i 1q z i 二 ( 2 1 0 ) 根据尺度符号p ( z ) ( 2 3 ) 和q ( z ) ( 2 1 0 ) ，我们建立一个( 2 r ) x ( 2 r ) 矩阵 肥，馏矧 仫 r ( z ) 是一个分块矩阵，且r ( z ) 表示尺( z ) 的共轭转置矩阵，所以 5 矾加幽矧= 瞄高粥 仁 下文中我们主要考虑，= 2 时的多小波紧框架，也就是由两个尺度函数生成的 多小波紧框架，那么此时p ( z ) ，q ( z ) 都是2 x 2 的矩阵，r ( z ) 是4 x 4 的矩阵，其中 e ( z ) ，q ( z ) 为 脚嗽溉矧 汜 胁瞧；黧 亿 矩阵r ( z ) 对研究最小能量多小波紧框架的构造有着重要的作用，在下文中我 们会给m 当名尺席甬数4 成爵小厶匕n v 量名小浦一紧榧架时官所兽满早的幛靥 6 3 论文的主要结果 下面给出本文的几个主要结果。 3 1 最小能量多小波紧框架特性的研究? 上节中我们已经给出了最小能量多小波紧框架的定义。在本小节中我们将给出 了满足式( 2 7 ) 的多小波框紧架之所以称为最小能量多小波紧框架的数学解释，我 们假定把从口( 尺) 空间投射到嵌套子空间的射影算子定义为 e 厂= 厂，吩，。m v f e l 2 ( r ) ( 3 1 1 ) 七e z 那么式子( 2 7 ) 可以写成 2 弓+ 。f - p j f = 厂，。m _ 。 ( 3 1 2 ) f = l 丘z 也就是说相邻两个射影之间的误差项g ，= e + 。厂一e 厂，若用最小能量多小波框架来 分解，可以写成： 2 毋= ，。渺吖，。 ( 3 1 3 ) 另一方面，相邻两个射影之间的误差项g ，= e + 。厂一弓厂也可以表示为其他的展 开式： 2 g j - - z 勺，。悱_ 。 r = lk z 根据( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) ，可以得到 又因为 2 g ，p = i 1 2 r = l 七z 毋，p ：2 巳，。刁万 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 2 2 l 勺，。- | 2 = ( i 勺，。1 2 _ 2 勺，。 + i 1 2 ) 7 其中函数屯f ，“定义为 厂亿蒜。1 2 证明：首先根据两尺度关系( 2 1 ) 、( 2 9 ) r g l 口。，的定义( 3 2 2 ) ，对所有的 f 口( r ) ，等式( 2 7 ) 等价于 。， 办( 2 z 一埘) = o f ，= 1 ，2 ( 3 2 4 ) 另一方面等式( 3 2 1 ) 等价于 ip ( z ) 以z ) + q + ( z ) q ( z ) = 厶， l p + ( 一z ) p ( z ) + 9 + ( 一z ) q ( z ) = o ，l z i = 1 此式也等价于 f ( ，( z ) + ，( 一z ) ) 以z ) + ( q ( z ) + q + ( 一z ) ) q ( z ) = 厶； l ( p ( z ) - p ( 一z ) ) 以z ) + ( q ( z ) - q ( 一z ) ) q ( z ) = 厶；i z l = l 根据两尺度矩阵符号p ( z ) ( 2 3 ) 和q ( z ) ( 2 10 ) ，我们可以得到 f 如。z 2 。p ( z ) + g 一：。z 2 k q ( z ) = 厶； i p 。埘z 2 卜1 p ( z ) + q 心。z 2 卜1 q ( z ) = 厶；iz | - 1 lk1 分别将上两式左右同时乘以$ ( 等) 和z $ ( 詈) ，其中z = e 一曲，2 ，得到 即 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) $ ( 等) = n ：。z 2 p ( z ) $ ( 詈) + g 啦z 2 q ( z ) $ ( 詈) ； z $ ( 詈) = 。z 一。z 2 k p t 、z ) 面( 詈) + q t _ 2 k z 2 k q ( z ) $ ( 等) ；i zi = 1 $ ( 罢) = p t 。z 2 $ ( ) + g 一：。z 2 审( 缈) ( 3 2 8 ) z $ ( 罢) = zp t - 2 k z 2 k $ ( 国) + g m 。z 2 峥( 缈) 对上式做傅早叶逆变换得到 f 2 ( 2 x ) = p 一：。( x 一尼) + q 一：。甲( x 一七) i2 ( 2 x 1 ) = p 。一：。m ( 石一七) + g 。一：。甲( x 一尼) 此式可以写成 ( 2 x - 1 ) ：引p l - 2 k o ( x 州+ 甲( x 埘 厶ik k j 根据两尺度关系式( 2 1 ) 和( 2 9 ) ，上式可写成 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ，q ，( 2 x 一_ ，z ) = o v l e z ，f = 1 ，2( 3 2 1 1 ) m e z i i p ( 3 2 1 ) 等价于( 3 2 1 1 ) ，因此定理1 的证明可简4 l y g i e n y j ( 3 2 4 ) ，( 3 2 1 1 ) 和 ( 3 2 3 ) 的等价性 显然有( 3 2 3 ) j ( 3 2 1 1 ) j ( 3 2 4 ) 成立，现证明( 3 2 4 ) ( 3 2 1 1 ) j 9 ( 3 2 3 ) ，假设f g ( r ) 是任意一个具有紧支撑的函数，因为函数识和厂都具有紧 支撑性，且对每一个固定的m ，除了有限个，的值外，= o ，所以显然函数 屏( 厂) = ， ，z ，i = 1 ，2 只有有限个非零值。因为磊( 缈) 是非平凡的函数，通过对式( 3 2 4 ) 两边做傅里叶变 换，有，f l t ( f ) 痧i ( t o ) e 一俐2 = o ，那么我们可以知道，f i t ( f ) e 一删2 = o ，因此 , b t ( f ) = 0 z z ， 或者等价的有 = o ，z ( 3 2 1 2 ) 确定一个任意的，z ，因为( 3 2 1 2 ) 中的求和是个有限求和，所以和为一个 口( 尺) 空间上的一个具有紧支撑的函数，选择一个函数厂使得，妒) i ( 2 x - m ) = o 成立，仍然对此式做傅里叶变换，即有，p 一蛔陀= o ，所以口埘 = 0 综上所述，定理1 得证。 一 该定理给出了一个构造和多尺度函数相联系的最小能量多小波框架的思路， 即构造出满足( 3 - 2 1 ) 的矩阵r ( z ) 。 3 3 最小能量多小波紧框架判定定理 本文下面出现的多项式全部是洛朗多项式。在构造满足( 3 2 1 ) 的矩阵j r ( z ) 之 前，我们必须研究一下尺度矩阵符号p ( z ) 所满足的条件问题，因为并不是所有的 多尺度函数都有与之相对应的最小能量多小波紧框架，那么满足什么样条件的多 尺度函数可以构造出与相之对应的最小能量多小波紧框架呢? 下面的定理给出了 生成最小能量多小波紧框架的尺度函数所满足的条件。 定理2 设一个具有紧支撑的多尺度函数( 石) = ( 磊( 力，唬( 力) 7 ，破，唬r ( 尺) ， 在。点连续且 ；l ( o 心( o ) _ 1 ，其贼矩阵符号期z ) - 出耄黝 慨( z ) 、 p l ：( z ) 、p 2 ，( z ) 、p 2 ：( z ) 是洛朗多项式。多尺度函数( z ) 存在与之相联系的具有紧 l o 支撑性的最小能量多小波框架甲= ，) 的必要条件是p ( z ) 满足下列不等式 ( f p v ( z ) f 2 + i 岛( 一z ) f 2 ) l ，v l z l = l ( 3 3 1 ) i y _ ：首先，我们假定一个矩阵q ( z ) = 【q ( z ) q ( - z ) 】 贝j j ( 3 2 1 ) 可写成 m 肿瞄高k m _ m z = 厶 即 q ( z ) q ( z ) = 一l ，g 。一z z ) ，j l l p ( z ) p ( 一z ，】 i 厶一尸( z ) p ( z )- p + ( z ) p ( 一z ) l l p + ( 一z ) 尸( z ) 厶一p ( 一z ) 尸( 一z ) j 根据( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) ，我们假设函数( z ) = f 五e q ( z ) q ( z ) l ，可以算出当 a = i 一( i 岛( z ) 1 2 + i 既( 一z ) 1 2 ) 时，厂( 五) = o ，所以五= 1 - ( 1p o ( z ) 1 2 + i 岛( 一z ) 1 2 ) 是q + ( z ) q ( z ) 的一个特征根，因为矩阵q + ( z ) q ( z ) 在izl = l 时是一个非负 定的埃尔米特矩阵。因此它的特征根和顺序主子式都大于等于零，则 d e t 帏黝厶2 篡办。 即有力0 所以有 22 ( i 既( z ) 1 2 + ip o ( - z ) 1 2 ) 1 i = 1 = i 利用讵交矩阵，根据已存在的多尺度函数( x ) 和与之相联系的最小能量多小 波紧框架甲( z ) 构造出更多的多尺度函数和最小能量多小波紧框架，下文中的定理 2 说明了这个问题。 定理3 假设( x ) = ( 唬( x ) ，改( 工) ) r 是p ( 尺) 空间中的一个紧支撑的多尺度函数， 甲( x ) = ( 少。( x ) ，( 曲) 7 是与之相联系的最小能量多小波紧框架，尸( z ) ，q ( z ) 分别是 ( x ) ，甲( x ) 的两尺度矩阵符号，对任意的2 2 阶正交矩阵u ，有下面的结论成立 我f i 可以得到中( 珊) = q ( z ) 面( 功) 假定一个4 4 矩阵 肥，悛；矧 其中矩阵友+ ( z ) 表示晨( z ) 的共轭转置，则 根据 辰+ 。，天c z ，= 主：耄美二耄 耋墨；耋：二耄 l ，( z ) 户( z ) + 亘+ ( z ) 亘( z ) i 户( 一z ) 户( z ) + 亘+ ( 一z ) 豆( z ) n 郴= 阮潞多 篡， 1 2 户( z ) 户( 一z ) + 亘( z ) 亘( 一z )l 户+ ( 一z ) 户( 一z ) + q ( 一z ) 亘( 一z ) j p ( z ) 尸( 一z ) + q ( z ) q ( - z ) i ， ，( 一z ) p ( 一z ) + q + ( 一z ) q ( 一z ) j 一。4 户( z ) 反z ) + 亘( z ) 垂( z ) = ( 【z p ( z ) u r ) 。u p ( z ) u r + ( 【留( z ) u r ) u q ( z ) u 7 = u p * ( z ) u r u p ( z ) u r + u q + ( z ) u r u q ( z ) u r = u p * ( z ) p ( z ) u r + ( z ) q ( z ) u r = u ( ，( z ) p ( z ) + q ( z ) q ( z ) ) u r = u r = 厶 同理，p + ( 一z ) p ( 一z ) + q ( - z ) q ( - z ) = 厶 因为 户( z ) 户( 一z ) + 亘+ 0 ) 豆( 一z ) = ( u p ( z ) u7 ) u p ( 一z ) u r + ( ( ，q ( z ) 【，r ) u q ( 一z ) u r = u p ( z ) u r u p ( z ) u r + + ( z ) u7 ( 一z ) u r = u p + ( z ) p ( 一z ) v r + ( z ) q ( - z ) u 7 = u ( p + ( z ) h z ) + q + ( z ) 9 ( 一z ) ) 【，7 = u o u r = 0 同样地，尸( 一z ) p ( z ) + q ( - z ) q ( z ) = o 所以爱( z ) 詹( z ) = 厶 根据定理l 中( x ) = ( 蛾( x ) ，妒：( x ) ) 7 也是一个最小能量多小波紧框架。 注：定理3 给出了一个根据最小能量多小波紧框架来找更多的具有更好性质 的多小波紧框架的方法，在各种应用中可以选择不同的正交矩阵来做实验，这部 分本文并未讨论，这也将要继续研究的工作。 4 最小能量多小波紧框架的实例 本节中我们找n t 满足定理l 的多尺度函数和多小波紧框架，并利用正交矩阵 根据定理2 对多尺度函数和最小能量多小波紧框架做变换，画出原来的和变换后 的多尺度函数和最小能量多小波紧框架，并给出原来的和新的尺度矩阵符号的图 像作对比。 4 1 支撑区间为 o ，2 1 的最小能量多小波紧框架 根据文献 1 5 ，我们可以得到满足定理l 的多尺度函数( x ) = ( 力( 工) ，欢( 功) 7 和 与之相对应的最小能量多小波紧框架甲( x ) = ( ( x ) ，( x ) ) 7 ，且( x ) 支撑区间为 【o ，2 】。则它们的两次度关系式为： ( x ) = p o ( 2 x ) + 暑( 2 x 一1 ) + 最( 2 x 一2 )( 4 1 1 ) y ( x ) = q o ( 2 x ) + q j ( 2 x 一1 ) + q 2 ( 2 x - 2 )( 4 1 2 ) 它们的两次度矩阵序列 昂，只，皇) 和 0 0 ，q 1 ，q 2 ) 分别为 e o = q o = l 4 雨 8 l 4 西。 8 11 44 11 44 尺度符号p ( z ) ，q ( z ) 为 ，号= ，q = p ( z ) ：i 1 2 层z t ：昙 厶k = 0 l ) = 三2 壹k ；o g 如三 ! o 2 o 1 4 1 o 2 、如 u 2 ，另= ，q 2 = 11 1 ， 一一十一z 一z 424 11 2 4 4 1 4 1 1 44 打扫 88 l1 4 4 11 4 4 一! 上! z z 一j 。 44 1 + 鱼z + ! z ： 一+ 一z + 一z 424 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 矿 ：亚8 z 一 1 4 z 一 1 4 1 4 + 打l o o 一 z 127一 。卜2打8 l 一4 一 下面是我们根据( 4 3 ) 、( 4 4 ) 、给出么( 曲、红( 功，( 曲、( 曲的图像以及 p ( z ) ，q c z ) 的元素a 。( z ) 、a ：( z ) 、p 2 。( z ) 、p 2 ：( z ) ，g 。( z ) 、q 1 2 ( z ) 、q = l ( z ) 、q 2 2 ( z ) 的绝对 值曲线图。 ( b ) 图1 ：支撑区问为 o ，2 的多尺度函数巾和与之相联系的最小能量多小波紧 框架甲，( a ) 办：( b ) 唬：( c ) ：( d ) 图2 - p ( z ) 、q ( z ) 的元素的绝对值曲线 现有正交矩阵u = 二言 ，根据定理3 ，将c x ，、甲c z ，左乘一个正交矩阵u 后得到一个新的多尺度函数西( x ) 和与之相应的最小能量多小波框架圣( x ) ，它们的 两尺度矩阵符号户( z ) 、亘( z ) 和矩阵序列 p 。o ，厅，息 、 9 。- 0 ，磊，龟) 为： 户( z ) = u p ( z ) u r2 i 1 6 1 8 1 z ：1 6 | 一生+ ! z 一生z z l 88 1 6 1，j z z 万一m 。卜8 z 万一场，卜4 1 8 q ( z ) = u q ( z ) u r = e o = q = ! + 巫三+ 三z ： 848 打n u 2 o 1 2 1 1 ， 8 8 1 1 1 ， 848 ，昱= ，9 _ 2 = 0矗。 8 1 4 11 44 11 44 下面是用正交矩阵u 变换后的5 ；l ( x ) 、磊( x ) ，厩( 功、畋( x ) 的图像以及 户( z ) ，亘( z ) 的元素p 。；( z ) 、矗：( z ) 、p ：。( z ) 、p ：( z ) ，牙。( z ) 、磊：( z ) 、牙：。( z ) 、牙：( z ) 的绝对 值曲线图。 ( c )( d ) 图3 用正交矩阵变换后的多尺度函数面和与之相联系的最小能量多小 波紧框架圣，( a ) 荔：( b ) 磊：( c ) 奶：( d ) 仍 1 7 z 0 1 2 1 一o o 。一8一一 一 一 l l 一 4 2 支撑 图4 ：户( z ) 、亘( z ) 元素的绝对值曲线 区间为 o ，3 】的最小能量多小波紧框架 本节中我们考虑支撑区间为 o ，3 多的尺度函数( z ) = ( 识( x ) ，么( 工) ) 7 以及与 它相关的最小能量多小波紧框架甲( x ) = ( ( 工) ，5 f ，：( x ) ) 7 。它们之间的两次度关系 式为： ( 曲= e o ( 2 x ) + 墨( 2 x 一1 ) + p 2 ( 2 x 一2 ) + p 3 ( 2 x 一3 ) 甲( x ) = q o ( i ) ( 2 x ) + q i ( 2 x 1 ) + q 2 ( 2 x 一2 ) + q 3 ( 2 x 一3 ) ( x ) 、甲( x ) 两次度矩阵序列编，日，b ) 和 q o ，q l ，q 2 ，q 3 ) 为 r = 3 5 压 2 0 r 压 q o ：i 百 l 1 l l1 0 一1l i ，q 2 ： 0 j pcz，=三1荟2圪z女=一等。妻二二-二9z+， q ( 加互1 荟2 q 扛 一9 2 2 9 z + 1 ) 一9 2 2 + 9 z 一1 ) 一争 喜 - 压 i 一 q 32 i罕 【- 一而 我们根据上面给出的矩阵序列 p o ，暑，只) 和 q 0 ，q l ，q 2 ，q ) 以及两尺度矩阵 符号p ( z ) 、q ( z ) 画出破( x ) 、改( x ) y 。( 力、( x ) 的图像以及p ( z ) ，q ( z ) 的元素 p 。( z ) 、p 1 2 ( z ) 、p ：。( z ) 、p 2 2 ( z ) ，q l l ( z ) 、q 1 2 ( z ) 、q 2 t ( z ) 、q 2 2 ( z ) 的绝对值曲线图： ( a ) 1 9 ( b ) 1，j 0 o o 压万。堕加 。l r-，hr，i o 1 三5堕加 。l 生5 n | m 年一 一 1j 0 0 n l m 蚯l 。 3 一 堕加旦m 。l 堕加! m 。l 三m 压l 。二m 堑m 竽掣 功 + d z _ 眈 一 + 0 ，压一o堑加 上加 一 一 3 i p 压一。一加 一 一 p。l ， j e 塞交适太堂亟堂位论塞垒量4 1 能量垒4 1 遗塞挺装塞倒 ( c ) ( d ) 图5 ：支撑f j 茭j o ，3 的多尺度函数和与之相联系的最小能量多小波紧 框架甲，( a ) 识：( b ) 唬：( c ) ：( d ) 2 0 1 啦8 0 。6 0 。4 0 。2 0 矽 o2 图6 ：尺度矩阵符号p ( z ) 、q ( z ) 的元素的绝对值曲线 有正交矩阵= 三o i ，对原来的尺度矩阵符号做变换可以得到新的两尺度 矩阵符号户( z ) ，耍( z ) 和矩阵序列( p o ，露，复，最) 、 q 。o ，磊，磊，幺) ，如下： 户( z ) = 尸( 尹) 叼= 豆( z ) = u 2 p ( z ) u f = p o = | - 压 磊= i l 1 0 4 压 5 3 1 0 未( 1 均 垒( z 3 9 2 2 _ 9 z + 1 ) 4 0 、 一丽4 5 ( z ，一9 2 2 9 z + 1 ) 一9 2 2 + 9 z 一1 ) 曩 【- 一面 r 9 压 l 磊2 l 2 9 0 l l1 0 2 l 00 9 压 3l ，最= 2 0 l o j 矧20 10龟=f季20342110 l 0 i 9 li 1 0 j l 竽#量篙 0 ) z 一 ，以一防堑加 一加 一 0 上加 们l叫 。压f 。 l 叫ll川_135压一加 1_1 o o 1j川li川jn | m 堑m 则用正交矩阵变换后的 ；：( z ) 、磊( x ) ，眠( x ) 、炽( 功的图像以及户0 ) ，耍( z ) 的 元素属。( z ) 、a ：( z ) 、多：。( z ) 、磊：( z ) ，牙。( z ) 、磊：( z ) 、牙：。( z ) 、季：( z ) 的绝对值曲线图如 下： ( a ) ( c ) ( d ) 图7 ：用正交矩阵变换后的多尺度函数面和与之相联系的最小能量多小 波紧框架单，( a ) 荔：( b ) 磊：( c ) 甄：( d ) 吸 1 良8 o 6 o 。4 0 2 o f 秘z ) o2 图8 ：户( z ) 、亘( z ) 的元素的绝对值曲线 5结论 小波紧框架能克服正交小波基和双正交小波基的缺陷，又具有正交基和双正 交基所无法比拟的许多优良性质和良好的应用前景。小波紧框架对信号或图像处 理的分解函数和重构函数是一致的，这为后继处理包括编程实现带来了方便，所 以关于小波紧框架的研究是十分重要和有意义的工作。 本文中，我们根据多尺度函数和最小能量紧框架的概念研究了由两个尺度函 数生成的最小能量多小波紧框架，这并不是一个简单意义上的推广，因为在多尺 度函数和多小波中涉及到了矩阵，而矩阵相乘不可任意交换，这也就给最小能量 多小波紧框架的推广过程带来了困难。 文中给出了最小能量多小波紧框架成立的等价命题，这个定理给构造最小能 量多小波紧框架提供了一个研究思路，随后给出了生成最小能量紧框架的多尺度 函数所要满足的必要条件。由于研究生时问的限制，关于最小能量多小波紧框架 的构造方法的完成以及找到更多更适用的多小波框架这部分，这都将是接下来将 要完成的工作。 通过本论文的学习，可以提出以下几点展望： 第一、定理2 中给出了生产最小能量多小波紧框架的尺度函数所要满足的必要 条件，那么这个条件是否也是形成最小能量多小波紧框架的充分条件? 我们根据 这个条件给出最小能量多小波紧框架的构造方法，这个工作正在进行中。 第二、文中我们讨论了由两个尺度函数生成的最小能量多小波紧框架所满足的 条件，自然地，我们可以再研究由三个、四个或更多个尺度函数所生产的最小 能量多小波紧框架所满足的条件及其构造方法。 第三、将生成的最小能量多小波紧框架应用到实际应用中如图像处理、信号 去噪、边缘检测等各个方面，并总结分析其优劣势。 参考文献 【l 】李彦民小波分析的发展过程及应用现状 j 】伊梨师范学院学报，2 0 0 0 ( 1 ) ：8 4 8 7 【2 】a l p e r tb ac l a s so fb a s i si nr f o rt h es p a r s er e p r e s e n t a t i o no fi n t e g r a lo p e r a t o r s ”【j 】s 认m j m a t ha n a l ，1 9 9 3 ；2 4 3 】g o o d m a ntnt ，l e esl “w a v e l e to fm u l t i p l i c i t y ，”t r a n s , a m e rm a t hs o c 【j l ，1 9 9 4 ；3 3 8 ( 2 ) ：6 3 9 6 5 4 【4 】b e n e d e r ojj ，l is t h et h e o r yo f