（基础数学专业论文）弱基的“遗传性”及其在投影映射下的性质.pdf

攮要 本文主蟹硪究了使子网郛糍扑基之闻戆一种特殊的嬲一一疆基鲍“遗传性”和它在投 影魄射下的性质，并以a r e a s 空斓岛为例澍一些不成立的命题给出了反倒。由于各种网比起 基具有更加微妙和更加可变的结构，从2 0 世纪6 0 年代超，广义攫量空闻理论裁成了一般拓扑 学中一个非常活跃的研究方向。拓扑学者们通过对阐进行备种各样的黻制，引入许多重要 的广义度量空间类。在这样的情况下，a r h a , t ：t g e l s k i i ( 1 9 6 6 年) 引进了弱纂的概念，揭开了对 弱蒸的研究。比如，弱罄是开遗传和闭遗传韵。然两后来的拓扦学家主簧在广义发量空闻内 研究具有菜燃点可数性质弱基的空间，比如9 一第一可数空间，9 一第二w 数空间，9 一可度量 空阔等。对弱基本身的研究帮缀多，甚至对弱蓦最簇本酶“遗蒋性”，乘积往，是哪些浃射 的不变量和逆不变量等问题还 投有很好的答案。 本文芷爨在这襻静麓捷下，对拓癸空瀚的弱墓翡“遗倦瞧”帮它在投影欧射下的性囊避 行了研究和探索，主蒙结果如下： 疆 嚣基露女一予空舞是遗传弱； ( 2 ) 弱基舀对x 的任意一个子空间“遗传”当且仅当对于任意z x ，对于任意p 魏，p o ； ( 3 ) a 悬x 的一个子空同，如果对于任意x a 满足。a 。或者对于任意只玩，z i n t a ( 只一舶，赋弱基嚣对a “遗传”。 ( 4 ) a 怒x 的一个子空间，z 是4 的一个非孤立点，如果存在p 如满足p m a 一扛 ( 等 价于p n a 。 是以中的一个 l l 嶷) ，则嚣辩五不“遗传”。 ( 5 ) 设嚣= u 8 ：z x ，y y ) 是乘积空间xx y 的一个弱基，则p = u 乙，z x t 其中p 。= 屿e v p ( b ) ：b 玩。) ，不一定是x 的弱基t 但是我们瓣定一个点y o y ， 期p = u p * ，其中尹。篇 p ( 君) ：启玩，撕) 是x 的弱基。 美键词：弱基“遗传性”a r e n s 空间一空间序列空闻 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l yd i s c u s st h ep r o p e r t i e so f ”h e r e d i t a r y ”a n dt h ep r o p e r t i e su n d e r t h e p r o j e c t m a p p i n g s o f a s p e c i a l n e t w o r k c a l l e d ”w e a k b a s e ，w h i c h l i e s b e t w e e n t h e n e t w o r k a n dt h et o p o l o g i c a lb a s e a n dw ea l s og i v es o m ec o u n t e r e x a m p l w i t h l nt h ea r e n ss p a c e 两s i n c et h es t r u c t u r e so fn e t w o r k sa r em o r ed e l i c a t ea n dm o r ev a r i a b l e ，f r o m1 9 6 0 8 ，t h e i n v e s t i g a t i o no fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e si sa na c t i v ed i r e c t i o no fg e n e r a lt o p o l o g ya l lt h e t i m e 。t h et o p o l o g ys c h o l a r sh a v em a d ea l ls o r t so fr e s t r i c t st ov a r i o u sn e t w o r k s ，t h e nm a n y c l a e s e so fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sw e r ed r a wi na n ds t u d i e d i nt h i sc a s e ，t h ec o n c e p to fw e a kb a s ew a si n t r o d u c e db ya r h a n g e l s k i i ，a n dt h e nm a n y t o p o l o g ys c h o l a r si n v e s t i g a t e di nt h i sr e a l ma n dg o tm a n yg o o dr e s u l t ss u c ha sw e a kb a s ei s h e r e d i t a r y w i t hr e s p e c tt oc l o s e do ro p e ns u b s p a c e b u tt h e s et o p o l o g ys c h o l a r sm a i n l y p a i dt h e i ra t t e n t i o n st og e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sw h i c hh a v ep o i n tc o u n t a b l ew e a kb a s e s ， s h 斑a sg - f i r s tc o u n t a b l e ，g - s e c o n dc o u n t a b l e , g - m e t r i z a b l ee t c ，t h e r ea r ef e wr e s u l t sf o rt h e w e a kb a s ei t s e l f ，e s p e c i a l l yt h ep r o p e r t i e so f ”h e r e d i t a r y ”a n dt h ep r o p e r t i e so ft h ec a r t e s i a n p r o d u c t s + o nt h e s ep r e m i s e ，w em a i n l yd i s c t l s st h e s ep r o p e r t i e so f w e a kb a s e sa n dg 。tt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： ( 1 ) w e a kb a s ei s ”h e r e d i t a r y ”w i t hr e s p e c t 协一s n b 印e ( 2 ) t h e w e a kb a s e 8 i s ”h e r e d i t a r y ”t oa n ys u b s p a c eo f x i f 她do n l y i f f o ra n yo x f o r a n y p 嚣；，嚣p 。： ( 3 ) a 蟊as u b s e to fx ，i f f o ra n yo as a t i s f i e d 岔o rf o ra n y 只玩， z i n t a ( 最n 4 ) ，t h e nt h ew e a kb a s e 蓐i s ”h e r e d i t a r y ”t oa ， ( 4 ) ai sas u b s e to fx ，oi s8n u a i s o l a t ep o i n to fa ，i ft h e r ee x i s t p 敝s a t i s f i e d pna ；m ( o re q u i v a l e n tpna i x i sac l o s e ds u b s e to f ) ，t h e n 嚣i sn o t ”h e r e d i t a r y t o 童。 s ) s = u 敬m ：。置y y i s8w e a kb a s e t h ep r o d u c t $ p 黜x y ，t h e n p = u _ p # ，嚣x ) ，w h e r e p 。端u # y 妇( 娥：曰嚣# ，i sn o ta w e a kb a s eo f x i ng e n e r a l ； b u t i f 聪f i xa p o i n t 蛳y ，t h e n p 嚣咿。w h e r e 殁= t p ( 嚣) 尊斑，辫 i s w e a kb a s e o fx 3 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文储签名高孓臼 日期：p 石年( 铜，日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库 进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名 第一章引言 拓扑学属于几何学范畴，是近代数学的一个十分重要的分支。虽然拓扑学只有一百多 年的历史，但如今它已经发展成为包括一般拓扑、代数拓扑和微分拓扑等重要分支的庞大 学科。它的每一个分支都有着丰富的结果和系统的方法。一般拓扑学又称点集拓扑学，是拓 扑学中非常基础的一个分支，发展到今天，已成为近代纯粹数学的重要支柱，它的方法和结 果不仅深刻地影响着数学的其他分支，而且在其他学科和杜会实践中也得到了日益广泛的 应用。一般拓扑学是研究拓扑空间的自身结构及其间的连续映射的学科。一般拓扑学的理 论是通过对数学若干分支的基本概念进行深化和升华而得到的，因此是较抽象的。这种抽 象性决定了拓扑学在实际应用中的广泛性。 1 9 世纪7 0 年代，德国数学家g ( fp ) 康托尔建立了集合论并借以描述了欧氏空间中子集 的极限点、开集与闭集等概念，这标志着一般拓扑学的萌芽。1 9 2 2 年波兰数学家k 库拉托夫 斯基借助闭包算子给出了拓扑空间的一般定义，这标志着一般拓扑学的成熟与发展，也使 得2 0 世纪2 0 年代成为一般拓扑学的黄金时代。1 9 4 4 年法国数学大师d i e u d o n n d 目l 进仿紧性的 概念，这标志着一般拓扑学进入全盛时期。随后拓扑空间论以惊人的速度迅猛发展，拓扑学 家们定义或发现各种各样的拓扑性质，找出一些仿紧性与可度量性的等价条件，对仿紧性 与可度量性作各式各样的推广。这些工作产生了近四十年一般拓扑学研究的重要课题一一 覆盖性质与广义度量空间理论。这一时期的一般拓扑学研究的中心课题是关于空间的度量 化问题以及关于空间的紧性问题。2 0 世纪上半叶，对于度量空间、紧空间、正规空间、完全 正则空间的大量基础性研究工作取得了丰硕的成果，为一般拓扑学奠定了坚实的基础。但 也产生了一系列亟待解决的问题。 2 0 世纪6 0 年代，集合论有一个重大突破，这就是pj 科思关于连续统假设独立性的证明 以及在这个证明中所用的力迫方法。于是2 0 年代一般拓扑学黄金时代中提出的一些与集合 论颇有关联的问题又引起了一般拓扑学家的兴趣，使用力迫法及其种种变种进行新的探讨， 一个称作集论拓扑学的领域也就形成了，这是一般拓扑学中比较活跃的领域之一。 2 0 世纪6 0 年代起，广义度量空间理论一直是一般拓扑学中活跃的研究方向。粗略地说， 广义度量空间是一些空间类，它们继承了度量空间的许多优美性质，并且度量空间的某些 理论或技巧能拓广到这些空间类。 1 2 第一覃弓l 言 德是毕竟“萋”太过予完美，羹所定义的警润过予严稽，有时会给我们带来诸多葶镬，莓 至会辩我们带荣很多豳难。因而，有必要对基豹概念作适当的推广。1 9 5 9 年，a r h a n g e l s k i i 将 基箍广副蒋。获魏，拓静学者稍通过对丽进行各种备样的限制，g 入许多重簧的广义麓量空 阐获。1 9 6 睇，船h a n g e l s k i i 叉日 迸了介予鹅和拓扑基乏阊的一种特辣的嗣一一弱基。褐开 t 怼爨基匙研襄。毙翔，瓣基是嚣遗传帮趣避蒋静。之嚣，g 一舞一霹数窆瀚、9 一第二霹数空 翔簿橇念稿缝被；| 入。1 9 7 4 年，s i w i e c ；| 谶了口一可菠璧鹣概念。熬雨后来静拓释孥家熏要在 广义度量空阁海研究其鸯蔡些纛可数性鹱弱繁的空翅，比懿9 一第一可数空麓，g 一第二可数 窆闯，9 一可度爨空间等。稳镪瓣主要王 擎帮察审在藕可发垂纯定鬻土。舞予f o g e d 、t a n a k a 、 林海、刘川、戴牧民等拓扑学家的大量磷襄，在9 一可度曩亿方露已经取褥丁彝霹度爨化塌 平毒亍的定理。撮太的丰富了嚣基熬璐论。托始： 一、对于丑三则空间翼，下述条件相互等价： ( 1 ) x 女斡一可度囊空闾即x 其毒口一届部蠢蔽弱基。 ( 2 ) x 具有一离散弱基。 ( 3 ) x 迳其毒f 一遮麟阉包摄持弱基。 ( 4 ) x 是具有o - 一遗传闭包保持m 一掰的口一第一可数空间。 二、对予正则空闽x ，下述条搏檑互鳟赞： ( 1 ) x 是口一第二可数空间。 ( 2 ) 夏是可分的g 一可度量空间， ( 3 ) x 是具有口一遗传闭包保持弱基的二枷如z d ，空间。 兰、空闭x 是对称度赣空间豢且仅当x 其有弱髓开。 我们知道，在拓扑学中研究特定的拓扑性质p ，就是要研兜它和其他拓扑性质之间的关 系，辆扑空闷中的郦些算子保持该校质，或者在哪些条锫下哪些冀予保持谈性质( 比如说子 空间、和空阅、糨空间、商空间孵魁否保持谈性质) 。述有就是该性质是哪魑映射粪的不变 量( 蹴翔蔫映射保持该性质、开酸射保持该性质、完备袄射绦持该性质蒋等) ，是耀黩映射 癸的递不变鼹等等。但是，我们也着到，在这些方面，拓扑学者对弱基的研究是少之又少， 只有些菲黉羹本的藏者是菲常显然静结荣。 本文正怒在这祥的前提下，对弱基自身的性质作了一系列研究一特别是在弱基和基 懿麓裂、弱蒸的“透健性”、在投影软射下翁瞧矮等谤鬣，律了深入蟪研究，蒋到粕下一些 3 结果： ( 1 ) 弱基对k 一子空阃是遗传的： ( 2 ) 弱基8 对x 的任意一个子空阒“遗传”强且仅当封于任意# x ，瓣子任意p 玩，z p 。； ( 3 m 是x 的一个子空间，如果对予任意z a 满足。4 。或者对于任意段魄，# i 疵 ( b n a ) ，列弱蒸嚣对 “遣传”。 ( 4 ) a 是x 的一个子空间，z 是a 的一个非孤藏点，如粜存在p 熙满足p r q a = z l ( 簿 价于产n 蔗 。 是a c e 韵一个潮集) ，潮嚣对 不“遗传”。 ( 5 ) 设b = u 如，。：z x ，掣y ) 是乘积空间x y 的一个弱基，则p 篇u p 。，? x t 其中瑶= u 衅y 妇f 丑) ：b 毽 ，不一定怒x 的弱蒸。毽是我辩霾定一个点洳y ， 则p = u p 。，其中p 。= p ( b ) ：b 8 。m ) 是x 的弱基。 当然本文中匏缨果在弱纂这个系绫牵连球出鹣一囊都簿不上。褒弱基靛慕本性痿遥方 面，还有很多亟待解决的问题。需要大擞的拓扑学者继续努力。基于本文的研究，结合现在 嚣走癸一般据羚学艇关心的海蘸，我 瞧还可殴扶矬下蔑令方嚣入手继续硪变弱莲熬蛙鹱。 ( 1 ) d 是x 的一个子空间，日是x 的一个弱基，日对a “遗传”的充分必要条件是什么。 ( 2 ) 段p 分裂是x ，y 的弱基，艘萝p l k 如y 8 p ：b 玩，p 乓 不一 定是x y 的弱基。刘川已经证明如果x y 是序列空间则舀- p 是x y 的弱基。那么如 果xxy 怒一空闻嘿? ( 3 ) 汗映射不保持g 一第一可数，鄢么什么样的映射保持9 一第一可数呢? ( 4 ) 这个问题蹙刘川老师提给我的，但我一赢没有做如来。若爿具有d 一弱遗传闭包保 持弱基，那么x 是番是点岛的? 第二耄臻备箱谖 为方便讨论，本文所论空瓣撄是满足瓢分离性的拓扑空湖，赝涉及扮函数如祭没有特 别说明都是擀连续函数。 下面对本文所涉及的符号和概念加以说明： 表示自然数集， u 表示第一个极限序数， u 1 袭示第一个不可数净数， o 袭乐空集， | 周表示集合a 的基鼗， - 袭示证明结束。 对予空黼x ，r 表器空闽x 熬拓羚， r 。表示空间x 的闭集的盎体， 蜀0 x ) 表示空隧x 的爨子集游全侮， s ( x ) 表示空间x 的包禽极限点的收敛序列的全体。 对于空闼x 的子集冀， 五或者c f ( a ) 袭示子集a 在x 中的闭包， 常域誊诹t ( a ) 褒示子集磨茧x 中的内部， 如果a 魁x 的子空间y 的子巢，鄢么a 在y 中的闭包和内部分别记为d y ( a ) 和撕虹( a ) 。 对于空间x 的子集族p ，记 u t j = u p p p tp 的并。 u p = n p p p ，p 的交。 对于a c x ，z x ，记 ( p ) = f p p ：p n a # 毋 ，( p k 篇( p ) 扛 ， p i a = p n a ：p p 定义2 。1f 2 】设p 是空阃x 的震纛， ( 1 ) 如藏对于任意。u r ，存在p 琶p 使得。e p c u ，则称p 为x 的网或网络。 ( 2 1 设p 和宦都是r 的网，如暴对于任意b & 套在p p 使pc 口，烈转p 比嚣精细。 5 6 第= 章预备知识 罄) 如果p = u 蚝x 矽；满足： i n p 。； i i 若瓯v 芒砭，到存在w p 。使得w c u n y ； m x 的子集g f 当凰仅当对话意z g ，存在p p 。使得p c g 受i l 称p 为x 曲羁基、抟p 。为点。的疆邻域象，或戗也称满足条铸啦为满足有限交泰停。 定义2 2 设p = u 。x r 是爿的弱基，如果p i 曼w ，则称爿为孽一第二可数的。如果对任 意。x ，都蠢l ；玉搿，嬲蒋x 砖警一第一可教鹊。 定义2 3 1 】如果空娥x 满足对任意acx ，对任意g 五，存在 c 矗， 岛 妖敛于 则称空间x 为f r e c h 自t 奎闻。 定义2 4 l 习 如幕空鞠x 满足对话意且cx ，a 严蛊且仅当对任意z s ( x ) ，三 且是x 妁 闭子集，则称空间x 为序列空间。 对空间x 及fcwcx ，如果x 中的序列 z 。) 收敛于f 中的点，那么存在抖n 使 得 。：m2n cw ，则称渺为f 的序列邻域。空间x 的子巍a 满足对于任意。a ，a 是 点稍q 序列邻城，则称a ；9 序列开檠。序列开集的余集称为序列闭集。因此，acx 是序列闭 集当且仅当 ) car 一z 贝 z a 。显然，空间x 是序列空闻当且设警它的序刿开集是 开豢，当且便当它静序捌闭集是溺集。 雩l 鬻2 5 氍媛x 是f r e c 矗蠢空藏，对柽意童x ，疆教掣砖弱郐域p 有。p e 。 l 琏2 61 2 】如果p 是点。的弱邻城，邵z a p 也是点g 的序列部域。 定义2 7n l 如果空间* 满足对于任意ucx ，u 苣r 当且仪出对任意的耳肖( x ) ，kn 矿是鬈砖舞予嶷，剜称奄瓣x 为一空瓣。 不难证甓，菇一可数空闻是9 第一可数空闯也是f r e c 空阚，g - 第一可鼗空避鞭f c 盎 空 间都是序列空间，序列空间是k 一空间。而曾第一可数不一定嫩f r e c 艇# 的，f r e 砒秘也不一 定是口一第一司数的。 7 定义2 8 圄设，是空问x 的覆盖，如果对于任意acx ，a r 。( x ) 当且仅当对于任意f ，有anf r c ( f ) ，则称空问x 关于，具有弱拓扑或者称x 由f 所确定。 引理2 9 空间x 关于，具有弱拓扑，当且仅当对于任意acx ，a t ( x ) 当且仅当对于任 意f j 有a n f r ( f 1 显然，空闻x 是k 一空间( 序列空间) 当且仅当关于( x ) ( s ( x ) ) 具有弱拓扑。 定义2 1 0 却设序列蜀= 。：n ) 收敛于z og 晶且设每一个序列矗= 。一：m 1 收敛于z 。已n = 1 ，2 ，3 ，让t 是空间族 n = 1 ，2 ，3 ，的拓扑扣。岛= 。o u 晶u ( u 矗：n ) ) 是由贴合空间( 蜀u ( z o ) ) o r 中的每一个z 。晶与z 。r 所得 到的商空问。而乱= ( # o ) u ( u 1 _ ：n ) ) 是由贴合空阃t 中的所有的t 到一点o 所 得到的商空间。一般地。对于基数口c ，是j b d 个非平凡的收敛序列的拓扑和中的非孤 立点贴成一点所成的商空问岛称为a r e n s 空间或序列梳空间，兄称为序列扇空间，对于基 数q2u ，形如的空间统称为扇空间。 a r e n s 空间s 2 有这样一组基：如果。= z 。，8 ( z ) = “z ) ) 即，。是孤立点；如果。= 。，艿( z ) 是由 z - = 0 ，1 ，2 ，一这样的集合组成的集族，因此8 ( z ) 是 可数的；如果。= z o ，日( 。) 是由岛去掉有限个晶，再在剩下的每一个矗中去掉有限个 形如z 。，m 的点所构成的集合组成的集族。很容易证明 b ( $ ) ) 。e 岛满足( b p l ) 到( b p 4 ) 【1 1 ，因 此s 2 是h a u s d o n c t 的。我们还可以验证所有舀= u 宦( 。) ：。s 2 ) 中的集合既是开集又是闭 集，因此s 2 是正则的。再加上s 2 是可数集，我们得到s 2 是完全正规的。 我们在岛上定义三个弱基，其中p 1 = l j 。e x p l ；，如果。z o ，p l 。就是z 的邻域系b ( 。) ， 如果z = z o ，p 1 ( z ) 是由 。o ) u ：n 咖一0 ，1 ，2 ，这样的集合组成的集族；p 2 = u 。x p 2 。，如果z z o ，7 2 。就是。的邻域系舀( z ) ，如果z = z o ，p 2 ( 。) = u 。 m ：n ，仇 ) ：u 是2 0 的开邻域) ；p 3 = u 。x p ，如果z 如，p 3 。就是。的邻域系舀( 。) ，如果z = ，p 3 ( z ) = 矿 。仲m l ：n ，m ) ：u 是功的开邻域) ； 很容易验证p 1 、p 2 和p 3 都是弱基。p 1 是可数的，所以岛是g 一第二可数的，因此也 是g 一可度量的也是g 一第一可数的，也是序列空间。 下面我们证明s 2 不是f r e c h 自t 空间。记a = 岛 。o ，z l ，现，) 则跏a 但是a 中没有序 列收敛到a 假设a 中有序列收敛到铂由于z o a 故存在的子列z 。，使得瓦。n ) 0 ， 8 第= 章预备知识 在每一个最，n 融) 中经取一案，剥 8 。 是 孙 熬无穷子集，困就勘是 。 豹聚点。煎 是岛 d 。，) 感。的一个邻域且与 n 。) 交为空，矛盾! 因此a 中没有序列收敛到知a 所以不 是f r e c h a t 空闻，也就不可能是第一可数躺，但s 2 本舞是可数集。 序列扁空间和阚空问s 有着类似的基，我们贝介绍序判扁空间鼠。昆有这样一组基： 如果。= 靠，m ，尽( 。) = f z ) ) 即g 。冉是孤立点：如果茹= x 0 ，艿( 嚣) 是由在每一个霸中去掉霄 限个形掘。m 韵点新构成的集台缀成韵集旗。很容弱诞明 8 ( 。) ) 。乱满照( b p l ) 到( 日p 4 ) 1 ， 因此品是h a u s d o 硪的。我们还可以验证所有口= u 嚣扛) ：) 中的集合既是开集又是 阉榘，西霓鼠是正劐的。再加上昆是可数粜，我臂j 得到燕宪全正规羽。设且c 鼠对于 任意$ a ，如果z = # 。，由于 z ) 是开的。医此a ，所以存在a 中点列收敛至岫；如 裘。= z 。，存在一个磊使褥对于任意i ，磊 ，山。2 。d 与矗静交举空。园诧存在孰 a n z 。，。，” ) ，由于矗收敛到。，因此执收敛到z ，遂就是说a 中有点列收敛到z 一 所黻是f r e c h t 静，毽不是第一哥羲静。困舞品在点。不熊有哥数邻域基。 由于觅只有一个非孤立点，因此的所有弱基都是基。因此岛也不是g 一第一可数的。 其趣未定义懿本嚣露参考文靛【l b1 2 1 ，蕊。 筹墨章溺基豹“遗传瞧” 这一蕈我们主要讨论弱基熊“遗传性”，设p u x 尹：悬空闯x 的一个弱羲，a 是x 抟 予空间，我们说p 对 是“遗传的”指的鼹 尹 = 晦 矗 是子空间a 的一个弱爨。 壶骣萋鹃定义我稻可鞋饕别弱基是开“蘧抟懿”，弱基落是闭“遗铸静”，这个证明哥致 参考【4 1 中的引理2 1 。 定理3 1 弱基p u 。x 或对x 的任意一个子空闻都“遗传”当且倪当对于任意。x ， 时于任意p 磁，s p o 。 嚣胡 埔茨证潦，反设存在一个。x 存在一个p p 。使得。t , o 那么。x r - 一 x p 。设a 茹( x p ) u z ，那么。不是a 的孤立点但是因为p = u ； p 。l a 是a 的弱基，所 获 。) = pn 点是a 串魏开集，邀麓和茹不是a 的孤盘熹矛瑶! # 设a 是x s 雠- - 个子嶷问，我们很容易验证p 是a 的一个网络并x t p a 满足弱基定 义孛酶磁。下垂巍粕证舞宅也满是定义孛婚嚣谩扩c 建薅楚对于任意嚣u 存寝一令p p 使得。p n ac u 由于茁p 。c p ，所以。匹p n a c p n acu 而p n 4 是a 中 舞一个舞纂，霹照誓楚矗孛羲一令舞集。这靛证捷了p 是童簿器墓。- 设弱基p = 乩e x 凡满足定理3 1 中的条件，那么p ：= p 。：p p 。) 就是点的邻域蓉。 鬻诧满是定理3 1 中游条释雏弱蒺，本质上就是基。这藏是说，定理3 i 寝鹱只有蒸才是对掰 膂子空间都遗传的。 报论3 2 设x 是f r e 吐前空间，p 是爿的弱基， 惩x 任意一个空问，那么p 是 的弱基。 诚明 由于是n e c 赴空间，由引理学矗p 满足定理只坤的条件，田此尹 是a 的弱基。- 例；3 3 如果玩是点z 的邻域系，a c x ，并且。再，那么对于任意p 1 3 。，p m a 0 但 是如果殴建点茁的弱肆$ 域系，就不一定满足了。拿 燃s 空麟岛为饿，绶a 是所蠢形虹。积弱 点组成的袋舍，弱基为先前定义的_ p 。那么，岛篇再，因此。o 画，但是对于任意p 毫 p 1 ，p n a = o 。 9 l o 第三章弱基的“遗传性“ 例：3 4 设嚣。是点。酌邻域系，a c x ，如：襄，夸在p 篷满足p c 盘郑幺。a 。但是如 果玩是点z 的弱邻域系，就不一定满足了。拿a 代n 8 空问岛为侧，设 f 。，。1 ，茹2 ； ，弱 基痧赶前急戈的p j 。郑幺，对手任意p p l 。，我们有p c a ，但是硭岔= $ 。 定理3 5 设嚣= u 昭。z 翼) 是空间x 的一个弱基，川翟u m 。：茹x ) 是空问x 的 一个具有考限交蛙痿酶弼。静承靖于任意。x ，魏都加萄削。，琴幺，劓也是x 的一个耩 基。 试翳我稍只番迁获如暴对子经意莎cx ，对于任意茹f ，露在一十p 艇。捷褥pcu ， 那么矿是x 的一个开黧。由于8 。加细m 。，因此存在一个b 苎。使得z 口cpcu 。因为嚣 楚x 酶骚基，辑鞋玎是x 鳇舞集。- 定理3 6 弱基对一千空间是“遗传的”。 试鞲 设嚣= u 玩：。x 蹙x 的嚣基，acx 是惫一空阉，往证8 以怒且魏弱罄。嚣 己鲢 满足条件i 和i i ，我们只需证明如果对于任意uca 满足对于任意。u ，存在一个只1 3 。使 缮b n 点cu ，酃么是a 翡一令舞囊+ 蠹于a 是一个乐一窒黼，我稍翼器证稿如暴对于撩 意g k ( a ) ，un c 是g 的一个开集。对于任意。矿n c ，只n 0crn acu ，园 诧只n ccu n c 蠹于蒹囊都是透雏舞毙0 是x 瓣淹集，瓣弱墓是 、麓遗传瓣，新敬舀? 盏 u 玩i c ：z g 是g 的骚基。醐此u n e 憝g 中的开集。- 注上该定理表翻9 一第二耐数、9 一可度量和9 第一可鼓等经质都鼹对女一子空蔺“遗稽 的”。由于一空间在g 一可度量方面有着非常重要的作用，该定理在9 一可度量方耐也有一定 的蕊焉。 注垒在上面的 芷明中，我们主要用到女一子空间由x 的紧集决定而弱基对紧集是“遗传 静”。盈越我餐可 ； 穗上述定蓬攘广为： 定理3 - 7 设8 是爿的一个弱基，f 是由x 中那些舯艘“遗传”的子集构成的集族。如果x 的 手瘫a 由芦暂决定，那么苕对直建“遗待的”。 证b 凡 仿照上面定理。- 定理3 8 a 是x 的一个子空间，酋是x 的一个弱蕊。如果对于任意。a ，满足 i z a 嗡0 老 # 对于任意只玩，有。执缸( 最n a ) 则弱纛8 对a “遗传” 诞职设拶ca 满足对予任憋茹b ，存在一个b 8 。，使得只n 。4cb ，技证8 是a 的 开集。对于嚣中满足条件诧的点，由于t 嘶 ( 只n ) 是a 中酌汗集，故存在x 中的开集玩使得 记 曝n a = i n t a ( 魏n 越， g 茹u 以：z 是b 中满足条件瓶曲点) 驴= b u g 容易验证嚣；u n a 对于任意z u ，如果z 聋g ，那么b 并且茹满足条件 。因此存 在p & ，使终p c 簋。c a 。盎子绥对褰蹑交是鸷阕懿，嚣毙存农曼歇+ 捷得 马c p n 只c a n 足 鞭此马cbc u 。如果。g ，由于g 燕x 中的开巢，因此存在p 玩，使得p c ccu 。 斟此e ，是x 中的开寨这也就是说b = una 是a 中的开集。_ 注：在上面的证明中，我们只是用到了如果。满足条件。，那么存在p 魄，使得z pca 。嚣豫，我们霹跛姆条转i 减弱为： 存在p 阮，使得z p c a 。 注2 一般情况下，该定理的逆命题是不成立的。述怒以a r e n 8 空间岛为例，设a ； 岛 ，2 m ，取岛的弱基为先前定义的芦3 。容易验 正a 即不满足条件 也不满足条件蛾 褪是由于a 是s 的 i j 子集，岛的任舞一个弱基对崩辩是遗传的。 $ l 理3 9 嚣是x 的一个弱基，下面三个丧嚼等镑! i z 是x 的一个孤立点： i i ，f 。) 魄； t 玩 存在p 疗。满足p 扛) 娥x 的一个闭集。 证明 i 净i i - z 是x 的孤立点电就是谶 砖是包食z 酶一个开集，盛此 。 敝。 1 2 第三章弱墓的“遗传性” 豫辛i 妇暴 。j 玩：出嚣基的定义、我俄可以褥裂 砖是舞懿。霆毙。楚x 魄一个 孤立点。 眭 i i i 如暴如 或，那么囊) z = 0 是x 姆一个惩集。 i i i 婚i i 假设存在p 玩满足p 扣 是x 的一个闭集。那么( x p ) u 扣) = 爿( p z ) ) 耀x 的一个开集，爨此存在只琏使樗最僻p ) u 。 。由予骚墓对煮 限交封闭，嚣姥存在琏玩，使得z 岛cp 1 n p 茹伽) 。故端= 。 。_ 注：由g 理39 我们攫容耍褥到下垂嚣巾推论： 摧论3 1 0 a 是x 的一个子空间，8 是x 的一个弱基，。是 的一个非孤立点，如暴存在p 魄；满足p n a = 囊 ，尉嚣对 幂8 遗傍”。_ 推论3 1 1 a 乏x 的一个子空问，舀是爿的一个弱墓，z 是a 的一个非孤立点，如恭存在p 岛t 满足p 对是a 酶一夺蠲寨，剽嚣对a 不“遗传”，- 定理3 1 2 a 是x 砖一个子空鹇，8 是x 砖一个弱基，如果稳在一个。a ，存在一个p 玩使得p n a 不是 中的开集，但是p n a 扛 是a 中的开粟，鄢 幺s w r a 不“遗传”。 证明 记b 躲p m a ，鄢幺对于任意掣b ，如果孽= $ ，那么题哥中给的这个p 满足：p n a c 君。如果挈茹，那幺掣_ p n a z 。由予p n a 。 燕a 中翡扦集，因此存在一个日坑使 得p n a p n 4 扣 b 。但是b = p n a 不是a 中的开集。因此嚣 不满足弱蕊定义中 鸹 拈。- 在本章姻末尾，我们分绍一个关于序列空间的是理，该定耀帮定理3 6 平括。我l 知道， 第可数和f e c 舱t 性质都是可遗传的，但是序列空间和自一空阐都不是可遗传的。对于序列 空蝴我们有下面的定理： 定理3 1 3 设x 是序列空间，acx ，下面两个祭件等价： i a 是痔戥受阈： i i a 是七一蜜间： 谜明o 4 娩显然。 花冲i设bca 是a 的一个序列阔集。对于任意e k ( 4 ) ，g 是a 中酌闭集，也 是a 中的序列耀集。故四n 0 是a 的序列惩集。因此也是cca 妁序列闭集。嚣为g 瞧是x 懿 1 3 闭集，所以e 是序列空间因此b n c 是c e 的闭集。因为a 是七一空间，所以_ 日是a 的闭集。这 就是说a 是序列空间_ 第霸耄弱基在投影映射下鹣注蒺 在这一鬻里，我们主要讨论弱基在投影映射下的性质。以爱弱基美予乘积的一些性质。 引理4 1 设占= u 嚣。：。x ) 和_ p = u p 。：z x ) 都是x 的弱基- 那么我们有： j ，器。尹黼u 王毛n 妒；：z x 不一竞惫x 的弱基。 圳8 u p 翟u b ：u p 。：z x ) 不一定怒x 的弱基。 彰如果x 楚序巅空藏，释幺b a p ；u 嚣；a p 。：# ￥ ，其中毽a p 。一 u n v ： u b 。，v p 。) 是x 的弱基。 ；jb v 尹一u 坟v 吼：。霹，箕中魄v 霞一 玎u v ：u 玩，v 致 是的弱基。 避鞲 敬蔗辑鄹窒舞岛建复铡寒涯褒j ，彝彩。岛瓣嚣令弱基建燕垂定爻瓣翻畦p 文娶么墨2 蛳n p 3 。= 0 ，p 2 。u p 3 。不满足有限交，因此p2 n p 跏p 2 u p 蹦不是醌的弱基。 下面证磷黝。我们艰鏖易诞臻器 是一个其凑毒限交性震鼗窝。悫弓l 理霉，溅餐每遵 弱邻域都燕序列邻城并且两个序列邻域的交仍然遍序列部域。因此对于任意z x ，对予 任意p 王ap 。，我们袁p 是点魏序列邻域。露此如果对于任意空矿都存在一令p 酞a p 。使得p c u ，那么u 是序列开的，而序列空间中的序刹开集都是开的，翻此u 是x 的 开集。这就是说8ap 也满足弱蒸定义中她条件涮。 对于4 我们很器易证明8 v p 是一个具有有限交性质的网，并且嚣和p 都是b v p 的加 细。霞此，由定理只& b v p 是x 的弱基。- 宠理4 2 设8 = u 嚣蜘：z x ，y y ) 是乘积寰问x y 的一个弱基，p 是x y 到爿的 梭影映射。羹p = u p 岛x ，莫申0 = 晦r p b )b 尽神 ，不一定建秘秘基。 但是如果我们固定一个点珈y ，则p u p 。，其中p 。= p 徊) ：b 鼠。) 是x 的一个弱 嚣。 诫朋 设x 为4 他n s 嶷问岛，y 为两点离散空间d 2 对x y ，我们定x - 个弱恭如下，对 于任意z = ( a ，i ) x y ： 如果口茁o ，鼠是点。的邻城系； 如果。凇( x o ，o ) ，艮= p o ：p p 2 孙) p 2 是先裁定义鳃岛辫蒋基： 1 5 1 6 第四章弱基在投影映射下的性质 如果z 譬( z o ：1 ) ，层：= p ( 1 ) ：p p 3 。) p 3 是先前定义的岛的弱基 我们很客易验证8 = u b ：z xxy ) 是xxy 的弱基。但是由引理4 j 及其证明知， 如上定义的p 不是x 的弱基。 下面我们证明定理的后一半。如果我们固定一个珈y ，那么x 珈 是x xy 的闭子 空间，因此8 i x 。 = u 玩舯i x 。 ，。) ：。x ) 是x 珈) 的弱基并且x 珈) 同胚于x ， 我们将( 。，y o ) 与z 看成是同一个点，那么对于任意x ，8 。舯l x x t 轴 比p 。= p ( b ) b b 。v o 要精细。我们不难证明p 。= p ( b ) b 口。，驰) 是x 的一个具有有限交性质的网，因 此由定理只矗p = u p 。是x 的弱基。 注我们知道，投影映射是开映射，那么由该定理我们可以得到： 开映射将基映成基，但不能保证将弱基映成弱基。 定理4 3 设召= u s z x ，y y 是乘积空间x y 的一个弱基，p x 囟y ，是xx y 到x ，的投影映射。那么，1 3 = u 8 删：z x ，可y ) ，其中b 卵= p x ( b ) 。p y ( b ) ： b 舀 是x y 的弱基。 证明我们很容易验证百嚏一个具有有限交性质的网，并且嚣比廖耍精细，因此由定理o e 百 是x y 的弱基。- 我们知道，如果嚣、p 分别是x 、y 的弱基，一般地8 p = u 。置。y b x p + b 8 z ，p p 。) 不一定是x y 的弱基。在这里，林寿老师给了一个非常漂亮的例子： 例：4 4 设x 是a 他s 空间s 2 ，p 是无理数集，y = p u o ) ，并赋予y 作为实数空间r 关 于通常拓扑的子拓扑。下面我们证明xxy 不是序列空间，圆而也就不是f 一第一可数的 记 f = ( 飘m + ；) ：。，j n ) c x y 。 那么，茹o 7 f ，所以f 不是y 的闭集。另一方面，对于任意s s ( xxy 1 ， s f n s = 弧) 。n 。由于l ( 鼽) ) = ( 。抽：t ，s ) 在x 中收敛，因此，z 只取有限个值。 又由于 2 ( ) = + 吾t ，s n 在y 中也收敛，固此，s 也只取有限个值。所以f ns 是 有限集，从而f n s 是xxy 的闭集。这就是说f 是xxy 中的序列闭集。这，表明x y 不是 序列空间。 辨娃。农x 申的可敬弱邻域系与o 在y 串的可数秘邻域系或积不是( 粕，0 ) 的弱部域系。 餐是遣不能谎x y 是女一空闻是弱篡其有可豢健篱一个必要条舞。 1 7 例；4 5 设扣y 都是扁空峨。由葡碗的讨论我们知道转所有强垂都是基。霹此它 的任何雨个弱基的“乘积”都是鼠。x 5 j 。的弱基。但楚由廖舌命题3 最撼。乱。不是k 一空 间。- 第五睾总结葛震望 1 9 6 6 年，a r h a n g e l ，s k i i l 进7 弱基的概念，揭好了对弱基的研究。然面后来的辐羚学家 主要在广义度量空间内研究具有某些点可数性质弱基的空间以及弱基与其它特殊的网之间 昀关系，比如弱第一w 数空闻，9 一第二可数空闻，g 一可度蹙空间等。对弱基本身的研究却 很少，甚至对弱基最基本的“遗传性”，槊积性，是哪些映射的不变量和逆不变擞等问题述 没有很好的铃案。 本文芷摄在这样的前提下，对拓扑空间的弱基豹“遗传性”和它在投影映射下的性质进 行了研究和探索，并以m e a s 望问s 2 为例对一些不成立的命磁给出了威例，得到一些结果。 这些结果事富了弱基蠢身的理论体系，对戥后对弱蒸的研究( 特剐是在广义度盏空澜中) 也 有一定的意义。 当然零文中的结聚在弱基这个系统中连球出的一兔都冀不上。不赞是在弱蒸的基本靛 质这方面，还是在把弱基融入到广义度量空间这方面。都还甜很多亟待解决的问题，需要穴 囊静据亨卜学者继续努力。薹予本变的研究，结合璇在鏊蠹， 一般毵莽的现靛释般拓扑学 者所关心的问题，我们还可以从以下几个方面入手。继续研究弱基以及和弱基相关的性质。 ( 1 j 庶畦x 熬一个子空阉，黪黾置懿一个弱基，器对直“遴传”熬充势必要条转是赞么。 ( 2 ) 挠p 分别悬x ，y 的弱基，一般8x p = u 。置口y bx p ：b b 。，p 畦焉) 不一 定建xxy 麴弱基。划媚老舞在陲中已经证明懿荣x y 是痒刭空阉，捌落x 尹燕xxy 懿 弱基。那么如果x y 是k 一空间，那么8x _ p 还是xxy 的弱基吗? 有没有bxp 是弱基的 炎分必要条健? 注我猪想前一个问题的答案很可能是肯定的，不过即使是肯定的。它也不能作为g x p 悬 弱基的充分必要条件。后一个嘲题还是比较难的。 ( 3 ) 开映射保持第一可数性质但是不保持9 一第一可数性质，那么什么样韵映射保持g 第 一可数性质昵? ( 4 ) 这个问题怒翔川老师摄给我的，但我一盛没有做豳采