（通信与信息系统专业论文）外场对+gainaspinp+阶梯量子阱中电子态的影响.pdf

外场对 gainasp/inp 阶梯量子阱中电子态的影响 external field effect on the electronic state in gainasp/inp stepped quantum well 曲阜师范大学物理工程学院 2012 年 4 月 曲阜师范大学博士/硕士学位论文原创性说明 （根据学位论文类型相应地在划） 本人郑重声明： 此处所提交的博士/硕士论文 外场对 gainasp/inp 阶梯 量子阱中电子态的影响 ，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士 硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。 论文中除注明部分外不包含 他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 日期： 曲阜师范大学博士/硕士学位论文使用授权书 （根据学位论文类型相应地在划） 外场对 gainasp/inp 阶梯量子阱中电子态的影响系本人在曲阜师范大 学攻读博士/硕士学位期间，在导师指导下完成的博士/硕士学位论文。 本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位 的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文， 可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 摘要 i 摘 要 量子阱半导体激光器具有良好的小信号调制频率响应，可用作信息高速公路中最理想 的光源，采用直接调制方式进行信号传输，因其低阈值电流、窄的光谱线宽、高的特征温 度、高的量子效率和大的输出功率等优点极大地提高了光通信的传输速度和使用性能，在 光通讯、光互联和光信息处理等方面有着很好的应用前景。因此，人们广泛开展了量子阱 激光器件的理论和实验研究。本文在有效质量包络函数近似下用变分法研究了低维半导体 量子阱结构中的电子态，主要内容包括： 1.阐述了低维半导体光电子器件的发展趋势以及低维半导体光电子器件对光通信的影 响，描述了低维半导体光电子器件在光通信中的一些典型应用。介绍了低维半导体材料的 电子结构和性质，以及材料中掺杂的控制，并重点介绍了低维半导体量子阱结构中电子态 的理论计算方法。 2. 在有效质量近似下， 用变分法对 gaxin1-xasyp1-y/inp 单量子阱中氢施主杂质电子态进 行了详细的数值计算。计算了有无杂质时的基态能量以及束缚能，并讨论了量子阱宽度、 组份浓度和施主杂质的位置对氢施主杂质的影响。结果发现：计算量子阱氢施主杂质态需 要选用合理的垒宽；第一激发态束缚能远远大于基态束缚能；施主杂质的基态能量随阱宽 增大逐渐减小并趋于稳定；在施主杂质位于量子阱中心，且在较小的阱宽处施主杂质束缚 能达到最大值。ga 与 as 组份变化使得量子阱的高度相应变化，从而明显的影响量子阱中 氢杂质束缚能。 3.研究了外加电场和阶梯阱的高度对 gaxin1-xasyp1-y/inp 阶梯量子阱中氢施主杂质电子 态特性的影响。计算结果显示当施主杂质位于阶梯量子阱的中心时，束缚能达到最大值； 外加电场使得电子波函数从阱中心偏移，引起束缚能的非对称分布；ga 与 as 组份的变化 使得阶梯阱的势能高度发生变化，从而明显的影响阱中氢杂质束缚能。计算结果对一些基 于半导体阶梯型量子阱的光电子器件的设计制作有一定的指导意义。 4.讨论了外加磁场对 gaxin1-xasyp1-y/inp 阶梯量子阱中氢施主杂质束缚能的影响，给出 了不同阶梯阱宽下氢施主杂质束缚能与施主杂质位置的关系以及与磁场强度的函数关系。 结果发现阶梯阱宽较小、磁场较大且杂质位于量子阱中心时，杂质束缚能达到最大值。阶 梯阱宽较大时，阶梯量子阱导带势在磁场的作用下弯曲倾斜，使得施主杂质束缚能明显增 加，并在杂质位置远离阱中心处达到最大值。ga、as 组份越大、磁场越大时杂质束缚能 越大。计算结果对一些基于阶梯型量子阱结构的新型磁光调制器有一定的参考价值。 关键词：关键词：光通信；阶梯量子阱；氢施主杂质束缚能；变分法；外加电场和磁 场； abstract ii abstract quantum well semiconductor lasers, with good small-signal modulation frequency response, can be used as the best light source in the information superhighway. they take advantage of a way of direct modulation to complete the transmission of the signal. because of its advantages of low threshold current, narrow spectral line width, high characteristic temperature, high quantum efficiency and output power, quantum well semiconductor lasers greatly improve transmission speed and performance of optical communications. quantum well semiconductor lasers also has good application prospects in optical communications, optical interconnects and optical information processing. thus, more and more extensive experimental and theoretical works have been devoted to the research on low-dimensional semiconductor devices used in the field of optical communications in recent years. in this thesis, we study the electron states in low-dimension semiconductor quantum well structures in the framework of effective-mass envelope function theory using the variational method. the main contents are presented as following: 1. the development trend of low-dimensional semiconductor optoelectronic devices and the impact of low-dimensional semiconductor optoelectronic devices for optical communication are introduced systematically, and some typical applications of several low-dimensional semiconductor optoelectronic devices are described in optical communication. the electronic structure and properties of low-dimensional semiconductor materials and electronic states of the main theoretical calculation method are also discussed in detail, as well as control of doping and defects in the material. 2. within the framework of effective mass approximation, the electronic state of a hydrogenic donor impurity in gaxin1-xasyp1-y/inp single quantum well is detailedly calculated using the variational method. the ground state energy and binding energy are calculated with or without impurities, and the quantum well width, alloy concentration and donor impurities are discussed about the influence on the binding energy of hydrogenic donor impurity. the results show that a reasonable barrier width should be chosen for the better calculating and the binding energy of the first excited state is much larger than the ground state. the ground state energy and the donor impurity binding energy decreases with the well width increases, and stabilized gradually. the binding energy of impurity peaks at a relatively small width value and reaches its maximum when the donor impurity is located at the center of the quantum well. 3. the influence of applied electric fields and stepped quantum wells height on gaxin1-xasyp1-y/inp hydrogenic donor impurity electronic state are investigated. the results show that the hydrogen impurity binding energy reaches its maximum when the donor impurity is located at the center of the stepped quantum wells. the applied electric fields drive the electron abstract iii wave function away from the stepped quantum well center, and induce asymmetric distribution of the donor binding energy. the variation of ga and as content leads to the corresponding changes in the stepped quantum well height, which significantly affects the binding energy of hydrogenic impurities in the stepped quantum wells. the results are meaningful and can be applied in the design of optoelectronic devices based on stepped quantum wells. 4. we have investigated the effects of the magnetic field on the binding energy of the hydrogenic impurities in gaxin1-xasyp1-y/inp stepped quantum well. the binding energy of hydrogenic impurity, with different stepped well widths, as a function of the impurity positions and as a function of the magnetic field are given. when the donor impurities are located in the stepped quantum well center, the impurity binding energy reaches its maximum with the smaller stepped well width and lager magnetic field. with the influence of magnetic field of the bending tilt and the lager well width, the binding energy of a hydrogenic impurity increases significantly, even obtains its maximum value at the impurity position away from the well center. the more ga、as concentrations and magnetic field are added, the lager impurity binding energy will be. the calculation results has a certain reference value on the new magneto-optical modulator based on the stepped quantum well structure. keywords: optical communication; stepped quantum well; hydrogenic donor impurity binding energy; variational method; external electric field and magnetic field 目录目录 iv 目录 摘要 .i abstract . ii 目录 . iv 第一章 绪论 . 1 1.1 引论 . 1 1.1.1 低维半导体光电子器件的发展趋势 . 1 1.1.2 低维半导体光电子器件对光通信的影响 . 2 1.1.3 低维半导体光电子器件在光通信中的应用 . 2 1.2 低维半导体材料结构 . 4 1.2.1 低维半导体材料的电子结构. 4 1.2.2 低维半导体材料的性质和杂质的控制 . 5 1.3 低维半导体量子阱结构中电子态的计算方法 . 6 1.3.1 有限深势阱 . 6 1.3.2 打靶法 . 7 1.3.3 有效质量包络函数理论 . 9 1.3.4 变分法 . 10 1.4 本论文的主要工作. 12 第二章 半导体量子阱中氢施主杂质的电子态 . 13 2.1 引言 . 13 2.2 理论计算 . 13 2.3 计算结果与讨论 . 15 2.3.1 氢施主杂质的基态能量与量子阱宽度的关系 . 15 2.3.2 氢施主杂质的束缚能与量子阱宽度的关系 . 16 2.3.3 氢施主杂质的束缚能与量子阱中施主杂质位置的关系 . 17 2.4 结论 . 18 第三章 外加电场对阶梯量子阱中氢施主杂质电子态的影响 . 19 3.1 引言 . 19 3.2 理论计算 . 19 3.3 计算结果与讨论 . 20 3.3.1 氢施主杂质的束缚能与外加电场的关系 . 21 3.3.2 氢施主杂质的束缚能与施主杂质位置的关系 . 22 3.3.3 氢施主杂质的束缚能与 ga、as 组份的关系 . 23 3.4 结论 . 25 目录目录 v 第四章 磁场对阶梯量子阱中氢施主杂质电子态的影响 . 26 4.1 引言 . 26 4.2 理论计算 . 26 4.3 计算结果与讨论 . 27 4.3.1 阶梯阱宽为 50时的导带势和基态电子波函数 . 27 4.3.2 氢施主杂质的束缚能能与杂质的位置、外磁场的关系 . 28 4.3.3 阶梯阱宽为 200时的导带势和基态电子波函数 . 29 4.3.4 氢施主杂质的束缚能与杂质的位置、ga 和 as 的组份的关系. 29 4.3.5 氢施主杂质的束缚能与外磁场、阶梯阱宽的关系 . 30 4.4 结论 . 31 参考文献 . 32 在校期间的研究成果及发表的学术论文 . 36 致 谢 . 37 第一章第一章 绪论绪论 1 第一章 绪论 当前，高速发展的信息工业对集成电路器件集成度的要求越来越高，这促使人们不断 探索能够突破器件尺寸极限的途径。随着对亚微米、深亚微米和微电子机械系统(mems) 的深入研究，低维半导体电子学和低维半导体光电子学应运而生，低维半导体量子器件也 随之产生。低维半导体量子器件可简单地分为低维半导体电子器件和低维半导体光电子器 件。低维半导体电子器件包括共振隧穿器件、量子点器件和单电子器件(单电子晶体管和单 电子存储器)等；低维半导体光电子器件则主要包括基于应变自组装的纳米激光器(如量子 点、量子线、量子阱激光器)、量子点红外光电探侧器、纳米级硅化铂薄膜肖特基势垒红外 光电探测器等。低维半导体科学的发展无形中促进了光通信1的迅速发展，在接近或达到 纳米尺寸时，低维半导体结构会表现出一些新的量子现象和效应，可以利用这些量子效应 研制具有新功能的光通信量子器件，如光通信中发射器、探测器、调制器、放大器等，主 要用于对光信号的发射、探测和放大等，因其传输损耗低、带宽极大、抗电磁干扰、传输 质量好、保密性好等特点而广受人们青睐，因此，对低维半导体科学的研究也一直作为我 国信息产业建设发展的重点之一。低维半导体光电子学将成为光通信技术发展的基础，并 且，它还将促进纳米技术、集成光路、光电子集成和低微体系的研究进展2 。 1.1 引论 1.1.1 低维半导体光电子器件的发展趋势 光电子器件是现代光通信、光计算机和成像显示的基础，低维半导体光电子器件(如低 维半导体激光器、纳米级红外光电探测器） 、低维半导体光电集成电路和低维半导体光导 集成电路在光通信、光互连、光信息处理等方面应用颇多，可用于大规模光子器件集成光 路，并可与光纤通信网络和大规模、超大规模集成电路匹配，组成光电子信息集成网络， 同时，可以和其他光电子元件实现单元集成，用于逻辑运算、光网络中的光互连等。纳米 量级的集成器件不再遵循传统电子学的基本规律，电子的波动性和量子效应等将在此类器 件中起重要作用，传统的微电子技术将受到严重的挑战。因此，低维半导体器件有着广阔 的发展前景。 从低维半导体光电子器件的研制和发展可以看出，其关键技术是低维半导体材料的制 作和低维半导体的光刻技术。已面世的低维光电子器件有低维激光器(如量子阱激光器、量 子线激光器、量子点激光器)、量子点红外光电探测器、ingaasgaas 多量子阱自电光效 应器件(mqw-seed)、cmosseed 光电子集成器件、algaasgaas 超晶格多量子阱红 外光电探测器阵列、垂直腔面发射激光器阵列(vcsel)、谐振腔增强型光电探测器 (rce-pd)、纳米级薄膜制作的红外摄像器件等。以低维半导体技术制造的低维半导体电子 器件的性能大大优于传统的电子器件，产品性能大幅度提高，它具有工作速度快、功耗低、 第一章第一章 绪论绪论 2 信息存储量大、体积小，重量轻等优点。 1.1.2 低维半导体光电子器件对光通信的影响 在高度信息化的今天，光通信以其高速率、大容量、可透明传送数据等优点，从诞生 就成为人们关注的焦点。为实现缩小光通信器件的体积、降低光通信器件的制造成本的发 展目标，基于 gaas 和 inp 的超晶格、量子阱光电子器件以禁带宽、电子迁移率快等优点 已广泛地用于光通信、微波通讯、移动通讯等通信领域。 低维半导体技术一直被认为将给通信业界带来重大影响，并在通信领域的应用方面获 得了重大突破。例如，gaas 基量子阱红外探测器3是利用半导体材料的子带跃迁，实现红 外光的吸收，量子阱导带内基态电子(或空穴)对红外辐射作用下，向高能带跃迁，并在外 电场作用下作定向运动，从而形成与入射光强成正比的光电流。可调节探测波长，可以覆 盖作为大气窗口的中长波波段，有利于制备双色或多色探测器，抗高能粒子辐照能力强。 外延生长具有很高的均匀性，完美的可重复性，器件工艺比较成熟，所以易于做成低成本、 大面积、高性能的探测器阵列。在光通信、大容量信息处理、全球通信等方面都已成功的 进行了实际应用。又如 850nm 垂直腔面激光发射器4因其具有极低的阈值、较小的远场发 散角、较圆的发射光束、较高的调制频率、稳定的单模工作、可调谐的发射波长等优点， 现在己经被广泛地应用于短距离通信和光互联系统中。其次，它便于和光纤耦合且耦合效 率可达到 80%，制造成本较低，所有的制作过程均与现有的 mems 技术和光电子封装技 术兼容，用这种方法可实现大规模生产的自动化，商业前景很好。因此在光纤通信、光互 连、光信号处理及光集成元件领域 vcsel 倍受关注。 1.1.3 低维半导体光电子器件在光通信中的应用 低维半导体光电子器件以其优异的电学、 光学性能和极低的功耗,在光通信学领域有着 极其广泛的应用前景,下面仅介绍低维半导体光电子器件在光通信中的一些典型应用。 (1)量子阱激光器5 量子阱激光器是利用 mbe 等材料生长技术将双异质结激光器的有源区的厚度减小至 几纳米到几十纳米，较深的势阱将注入的载流子限制在阱中，提高了有源区的微分增益系 数，大幅度改善了激光器的性能。同常规的激光器相比，量子阱激光器具有以下特点：在 量子阱中，态密度呈阶梯状分布，所产生的光子能量大于材料的禁带宽度，其发射波长出 现了波长蓝移，提高了光通信信息存储的容量。其次，在量子阱激光器中，辐射复合主要 发生两个能级之间的电子和空穴参与的复合，因而量子阱激光器光谱的线宽明显地变窄， 在光通信信道传输中提供多模光纤耦合输出方式和直接输出方式。再次，在量子阱激光器 中，由于势阱宽度小于电子和空穴的扩散长度，电子和空穴的扩散被势垒限制在势阱中， 第一章第一章 绪论绪论 3 产生很高的注入效率，易于实现粒子数反转，其增益大大提高，满足了光通信超长距离和 大容量传输系统的需要。最后，量子阱使激光器的温度稳定条件大为改善，再引入光栅进 行分布反馈(dfb)，成为目前高速光通信中最理想的激光源，具有良好的小信号调制频率 响应，采用直接调制方式进行信号传输，在光通信应用中占重要地位，因此，人们对应用 于光通信领域的量子阱激光器的理论和实验研究也越来越广泛。 (2)量子点激光器6 具有独特物理性质的量子点结构，不但在基础物理研究方面意义重大，而且在新型量 子器件等方面显示出广阔的应用前景，近年来一直为半导体物理研究中的热点。分子束外 延、金属有机物气相外延等先进的材料生长技术为高性能量子点器件的制备打下了坚实的 基础。 当前已经成功制备了多种量子点光电器件， 主要包括： 量子点激光器， 量子点 hemt 器件，量子点调制掺杂场效应管，量子点探测器，量子点共振隧穿二极管，量子点存储器， 量子点超辐射管等。理论上，量子点激光器具有比量子阱激光器更加优越的性能，如更低 的阈值电流密度，更高的阈值电流温度稳定性，更高的微分增益和更高的调制带宽以及在 直流电流调制下以更低的啁啾工作等。 在 inp 衬底上生长 inas 自组装量子点制作量子器件 可以与 inp 基片上其他器件集成，在光纤通信中有重要应用前景，引起人们的广泛关注和 极大兴趣。 (3)半导体光放大器7 半导体光放大器（semiconductor optical amplifiers，soa）具有体积小，易于与其他 元器件集成，适合批量生产，电学泵浦，低功耗等优点，将会成为下一代全光网络构建的 主要器件之一。有源区是 soa 的核心区域，其材料组成和结构设计直接决定了 soa 的性 能。soa 的有源区结构经历了几次大的变化，从同质结到单异质结，再到双异质结，进而 演进到量子阱和量子点，结构的每一次变化都改进了 soa 的性能。soa 有两个工作区域。 一个是低光功率下的线性区，用于光信号的线性放大；另一个是增益饱和时的非线性区， 用于光信号处理中。随着光通信技术的迅猛发展，soa 的高非线性在全光信息处理中的应 用引起了人们的关注，得到了广泛的研究。soa 作为非线性器件可用于光开关、光复用/ 解复用器、波长转换、全光时钟恢复模块等。在未来的光通信网络中，对 soa 的需求极 可能会大于对激光器的需求。 (4)红外探测器8 基于族 inp 衬底的 ingaas 探测器，在晶格匹配生长的情况下，可以覆盖 1.1-1.7m 近红外波段， 并可以室温使用， 这是目前光纤低色散和低损耗窗口 1.31 和 1.55m 的长波光电探测器，ingaas pin 和 apd 因具有室温应用和廉价的特点已广泛用作光纤通 信的接收器，这些探测器与前置放大电路的集成，或者再与光发射器件集成，是目前光通 信中应用面最广的光接收模块或光收发模块。同时，由于 ingaas 量子阱红外探测器的本 征光电流反应速度快，所以它在光通信领域内有很大的应用前景，倍受人们关注。 第一章第一章 绪论绪论 4 1.2 低维半导体材料结构 1.2.1 低维半导体材料的电子结构9 材料的某一维、 二维或三维方向上的尺度达纳米范围(1100nm)尺寸时可将此类材料称 为低维纳米材料。低维材料的电子结构往往决定着材料的电学和光学特性，因而研究低维 半导体材料的电子结构显得尤为重要。 我们假设系统为最理想的情况，势阱设为无限深势阱，势能可写为： 0, ( )v 在势阱内 ，在势阱外 r r r (1.2.1) 电子运动的薛定谔方程为： 2 2 * -( )( )( ) 2 ve m rrr (1.2.2) 其中 * m是电子的有效质量。 对于量子阱结构来说，假设量子阱的界面垂直于 z 方向，则电子运动波函数为 (/)2 ( , , )sin,1,2,3, xy i k x k yn z x y zen aa (1.2.3) 对应的本征能量表示为 2222 22 *2 ()() 22 xy n ekk mma (1.2.4) 有效态密度可表示为 * 2 2 ( ) 10 00 n dz n n z n z m eh ee ee h ee 其中 (1.2.5) 设一维超晶格的截面是矩形无限深势阱，长和宽分别在 x，y 方向上为 a，b，则量子线 材料对应的薛定谔方程的解为 () 2 ( , , )sinsin, ,1,2,3, z i k z n xm y x y zen m abab (1.2.6) 222222 2 *22 () 22 z kz nm ek mmab (1.2.7) 第一章第一章 绪论绪论 5 其中 z k是 z 方向上的波矢； 2 2 * 2 z k m 表示电子自由运动能量，公式的第二项表示电子在 x，y 方向受到束缚产生的量子化能级。 有效态密度为 * 1 , 2 ( )() 2() d nm n m xy m e eee (1.2.8) 同理，我们假设长方体型量子点材料在 x，y，z 方向上的长、宽和高分别为 a、b 和 c， 则薛定谔方程的解为： 3/2 22 ( , , )sinsinsin, ,1,2,3, n xm yl z x y zn m l ababcabc (1.2.9) 2222222 , *222 () 2 n m k nml e mabc (1.2.10) 0 , ( )() nml dxyz n m l eeeee (1.2.11) 其中 n x e， m y e和 m y e表示长方体型量子点在 x，y，z 方向上的量子化能级。方程显示量 子化能级间距与该方向上的束缚长度的平方呈反比。可以说该方向束缚尺寸越小，量子化 效应越明显。不同材料的电子态密度也相差很大，这是低维量子器件性能优越之所在。 1.2.2 低维半导体材料的性质和杂质的控制 低维半导体结构材料的优异特性10主要取决于它的表面效应， 小尺寸效应和量子效应。 除了要求材料的尺寸，还对晶体中微区不均匀的杂质分布也严格限制。因为即使是极微量 的杂质也会不同程度的影响半导体材料的物理性质和化学性质，并极大的影响着半导体器 件的功能。因此如何通过控制生长条件来控制半导体材料中的杂质，是半导体材料工艺中 的一个中心问题。半导体中的杂质，主要来源于制备半导体的原材料纯度不够，半导体单 晶制备过程中器具、环境和衬底等都会引入杂质，或是为了控制半导体的性质人为的掺入 一定类型和数量的杂质原子(简称掺杂11)。这是半导体能够制成各种器件并获得广泛应用 的一个重要原因。 另外，低维半导体结构体系通过外场(电、磁、光)的作用来实现对其光学性能、光电 转换特性、电学性能的控制，这是制造适用于光通信功能的纳米电子器件的设计基础。 第一章第一章 绪论绪论 6 1.3 低维半导体量子阱结构中电子态的计算方法 计算低维半导体量子阱结构中电子态是一个基本且重要的问题。通常来说，比较常用 的计算低维半导体结构量子阱中的电子态的方法是有效质量包络函数近似12，在个人计算 机上便可实现计算。 1.3.1 有限深势阱 图 1.2 有限深势阱的势能解 势阱结构为 gaxin1-xasyp1-y/inp，势能 v 表示两种材料间导带边缘的不连续性，假设不 同层间有相同的电子质量 * m，标准薛定谔方程可写为： 22 2 ( )( ) ( )( ) 2* zv zzez mz 2 w l z (1.3.1) 22 2 ( )( ) 2* zez mz 22 ww ll z (1.3.2) 22 2 ( )( ) ( )( ) 2* zv zzez mz 2 w l z (1.3.3) 由于势能 v 是对称的， 所以本征态也具有一定的对称性， 我们将原点定义在阱的中心， 所以对称的(偶宇称)只含有 cos 项，非对称的(奇宇称)只含有 sin 项。由于电子被束缚在阱 内，所以能量e一定小于势垒高度v，整理薛式方程得到： 22 2 ( )() ( ) 2* zvez mz (1.3.4) 第一章第一章 绪论绪论 7 我们可以看到函数经过两次微分后,类似于指数函数的表达，因此函数可写作增长项 )exp( kz和衰减项)exp( kz之和。且波函数满足 *( ) ( ) 1 z zz d 整个空间 ，并且需要满足标准边 界条件，即当z 时( )0z以及( )0z z 。 偶宇称的情况：运用上面的方法，得到偶宇称态的解为： ( )exp()zbz 2 w l z (1.3.5) ( )exp()zakz 22 ww ll z (1.3.6) ( )exp()zbz 2 w l z (1.3.7) 将得到的试探波函数带入标准方程就可以得到 * 2m e k 和 * 2()m ve 。 在上述 动能算符的情况下，为了避免无限动能需要边界条