（基础数学专业论文）besov和triebellizorkin空间的新刻划以及bmo函数与奇异积分算子的交换子.pdf

摘要 函数空间理论，奇异积分算子及其交换子的有界性在现代调和分 析中具有十分重要的作用本文就是在齐型空间上围绕这些问题展开 讨论 函数空间理论的研究一直是倍受人们关注的重要问题除了 l e b e s g u e 空间、连续函数空间、h a r d y 空间、以及b m o 空间等主要的 函数空间以外，在分析的其他分支，如偏微分方程中，还经常遇到 s o b o l e v 空间、l i p s c h i t z 空间等j p e e t r e 在文献 p 1 中指出，所 有这些空间，更一般地包含这些函数空间的b e s o v 空间、 t r i e b e l l i z o r k i n 空间都可以统一地用s c h w a r t z 函数空间中满足适当 条件的函数够通过卷积来定义韩永生和s a w y e r 在文献 h s ，h 5 中指 出，在齐型空间上 b e s o v 空间舌，i 口i 占， m a x 熹，百未 p 刚 g 和t r i e b e l 一l i z 。r k i n 空间 矽，i 口f 占，m a x 熹，再 五 p ，g 空间可以由满足一定大小 条件以及对两个变量都光滑且有消失矩条件的恒等逼近来刻划能 否用满足较少条件的函数族来刻划同样的函数空间，这在函数空间的 应用中具有相当大的研究价值文献 h s 中，作者利用连续的c a l d e r 6 n 再生公式、对偶及b e s o v 空间雪，0 f 口l 占，1 p ，q o 。， t r i e b e l l i z o r k i n 空间f 。7 ，0 i 口i s ，1 p o 。，1 q o 。的丁1 定理证 明了b e s o v 空间雪尹，0 i 仪i ，1 p ，q o 。，t r i e b e l l i z o r k i n 空间印， 0 i 甜i 占，1 p c 。，1 q o 。可以用分别只对一个变量光滑及一 个变量具有消失矩条件的恒等逼近来刻划上述方法对在文献 h 5 q b 建立的 b e s o v空 i 司 b 尹 ，0 i 口l 占， m a x 击，i 芝i p o 。，o g o 。，t r i e b e l l i z 。r k i n 空间妒， 叫小占， 去，志 p 0 m a x 击，去 卿吣“，m x l 鬲，而f1 鬲，而f g 锄 来证明类似的结果是办不到的本文的第一个目的是利用在文献 h 2 】 中建立的离散的c a l d e r 6 n 再生公式、 h 5 中证明的p l a n c h e r e l p o l y a 不等式及 d h 2 中发展的t 1 定理给出b e s o v 空间雪，0 l al s ， 聊觎 矗吉，i 之五 p o 。，。 g o 。和t r i e b e l l i z 。r k i n 空间户p 钾， 叫小占， 击，志 p 一x 击，去 q o co i 口j 占，m a x jr 万，r i 歹磊f p ，m a x lr 石，r i i 再f 的新刻划，本文的证明方法对p ，q 是否大于1 都适用 本论文第二个目的是研究有限测度齐型空间上的b m o 函数和有 带非光滑核奇异积分算子的交换子的有界性 设x 是有有限测度的齐型空间，t 是( x ) ( 1 p 。) 上的有界奇 异积分算子，本文对t 的核k ( x ，y ) 给出一个充分条件使得当b b m o 时，交换子 6 ，z 1 ( 厂) = z ( 矽) 一b t ( f ) 是( ) ( 1 p o 。) 有界的文献 b c 在 有限测度的齐型空间上对c a l d e r d n z g m u n d 算子证明了上述类似结 果，我们减弱了算子核的光滑性条件，从而改进了 b c 结果与 d y 2 比较，在那里4 x ) = 0 0 ，证明中这条件是不可缺少的，本文( ) o 。， 因此证明有本质的不同 关键词：齐型空间，b e s o v 空间，t r i e b e l l i z o r k i n 空间，丁1 定理，b m o ， 交换子，奇异积分算子 i i a b s t r a c t t h es t u d yo ff u n c t i o ns p a c e s ，s i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r sa n dt h e b o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r s p l a y s a n i m p o r t a n t r o l ei nm o d e m h a r m o n i ca n a l y s i s w es h a l lc o n c e n t r a t eo nt h ef u n c t i o nt h e o r yo ns p a c e s o fh o m o g e n o u st y p e b e s i d e sl e b e s g u es p a c e s ，c o n t i n u o u sf u n c t i o ns p a c e s ，h a r d ys p a c e s a n db m o s p a c e s ，i no t h e ra r e a so fa n a l y s i s ，s u c ha sp d e ，w eo f t e nm e e t w i t hs o b o l e vs p a c e sa n dl i p s c h i t zs p a c e s ，e t c i nf a c t ，r e c o g n i z e db yj p e e t r e ， p 1 ，a l lt h e s ef u n c t i o ns p a c e s ，f u r t h e r , m o r eg e n e r a lf u n c t i o n s p a c e s ，s u c ha sb e s o vs p a c e sa n dt r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s ，c a nb ed e f i n e d b yf u n c t i o n 妒o v e rs c h w a r t zf u n c t i o ns p a c e s ，s a t i s f y i n gw i t hc e r t a i n c o n d i t i o n s u n d e rm i n i m u ms i z e ，s m o o t h n e s sc o n d i t i o n sf o rt w ov a r i a b l e sa n d m o m e n t c o n d i t i o n s ，h a n a n d s a w y e r , h s ，h 5 ，e s t a b l i s h e d c h a r a c t e r i z a t i o n s o ft h eb e s o v s p a c e s 口i 占，m a x 1 i：1j r 仪+ s b 詈 ， w h e r e p ，0 q a n dt r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s 舻，w n e r ei 口f 占，m a x 熹 1 + + p q u n d e rs m o o t h n e s s c o n d i t i o n sa n dm o m e n tc o n d i t i o n s f o ro n l yo n ev a r i a b l e ，w i t ht h e a p p r o x i m a t i o nt ot h ei d e n t i t ya n dw i t ht h eh e l po fc o n t i n u o u sc a l d e r 6 n r e p r o d u c i n gf o r m u l a ，d u a lt h e o r y , a n dt h et 、t h e o r e mf o r 电詈a n d 参 ， h a na n ds a w y e r , h s ，p r o v e dc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e s p a c e so f 锣， w h e r e 0 i 口i g ， 1 p ， q o 。 a n d j 罗， w h e r e0 l 口l 占， 1 p o o ， 1 q 0 0 i nt h ef i r s tp a r t ，b yu s i n gt h ed i s c r e t ec a l d e r d nr e p r o d u c i n g f o r m u l ae s t a b l i s h e di n h 2 ，p l a n c h e r e l p o l y ai n e q u a l i t yp r o v e di n h 5 a n dt h et 1t h e o r e m d e v e l o p e di n d h 2 ，w eg i v e t h en e w i l l c h a r a c t e r i z a t i o n sf o rt h eb e s o v s p a c e s 矽w h e r eo h 占， m a x 击 1 + 口+ 占) p ，。 g ，a n dn i e b 小陇m i ns p a c e s 舻， 砒e r e 0 h ，m a x 击 1 七七 1 p o o ， j一怯1 + 口+ 占 q 0 0 j i nt h es e c o n dp a r t ，o u r p u r p o s ei st op r o v et h eb o u n d e d n e s so f c o m m u t a t o r so fb m of u n c t i o n s a n d s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw i t h n o n s m o o t hk e r n e l so ns p a c e so f h o m o g e n e o u st y p eo ff i n i t em e a s u r e w h e nb b m o ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ek e r n e l 尼( x ，j ，) o f o p e r a t o rt ，s u c ht h a t 6 ，r f = t ( b f ) 一b t ( f ) i s l p ( 1 0 ( 1 2 ) 对一0 0 o l 佃，0 p ，q 佃，以及厂s 7 p ( s7 模去全体多项式) ， b e s o v 空间台可以定义为： 台尹2 厂s7 尸刈厂忆尹= 莩r 2 舾怖。牛厂忆夕9 ) ； o 。 ； 对一0 0 口 佃，0 p 佃，0 q 懈，以及厂s p ( s 模去全体多 项式) ，t r i e b e l l i z o r k i n 空间妒可以定义为： t 尹2 厂s r p - i i 厂“垆= | | 莩r 2 地b 。木厂l ，9 ) ；虬 ； 其中纨( x ) = 2 抽9 ( 2 x ) 在文献 h s ，h 5 中，h a n 与s a w y e r 在齐型空间上引进了b e s o v 空间 台尹和t r i e b e l l i z o r k i n 空间矽这里的齐型空间是c o i f m a n 和w e i s s 于7 0 年代初在文献 c w 】中所引入的，准确地说， 集合x 上赋予一个拟距离p ：x x x 一【o ，0 0 ) ，满足 ( i ) p ( x ，y ) = o 当且仅当x = y ； ( i i ) p ( x ，y ) = p ，x ) ； ( i i i ) 存在常数1 a 0 ，存在常数么，使得 ( b g ，2 r ”4 p ( x ，r ) ) ， 即测度满足双倍条件 这里我们假定定义在一个包含所有b o r e l 集和所有球 b g ，) ，x x ，r 0 的盯一代数上 m a c i a s 和s e g o v i a 在 m s 中证明了拟距离p 可以被与其拓扑等 价的拟距离p 代替，同时存在常数c 和某个常数0 ，0 0 1 ，有 p ( x ，y ) i n f 缸陋) ：b 是包含x 和y 的球) ； 对所有x ，z ，y x ，有 j p7 ( x ，y ) 一p7 ( x ，y ) 印( x ，x ) 口必7 ( x ，y ) + p7 ( x ，y ) 1 。口 进一步地，假定对所有x x ，4 x ) = 0 和( x ) = 0 0 这个假定使 得我们能够建立如下的恒等逼近 定义1 2 ( 【h s 】) 称算子序列慨k 。z 为恒等逼近，如果s 的核s k ( x ，y ) 是x xx 专复数集的函数存在o 0 和c o o ，使得对所有的k z ， 和所有的x ，x ，y ，y x ，有 圳c 赤； ( 1 3 ) 当p ) 砑1 + 户g ，y ) ) 时， i s 。( x ，y ，一s 。c x 7 ，y ) i c ( 互= # 拿暑南) 57 互南；( ，4 ) p ( y ，y ) 刍+ p g ，y ) ) 时， j 乳( x ，y ) 一乳c x ，y ，) | c ( 互= 乒拿苦考导习 当p g ，x 7 ) - 刍a ( 2 - k + , o g ，y ) ) 和p ，y ) 2 - ( 2 - k + p g ，y ) ) 时， l s k ( x ，y ) - s 女( x ，y ) 一s 。( x ，少) + s k ( x ，y7 ) j 对任意x x ，尼z ， i s k ( x ，y ) d u ( y ) = 1 ； ( 1 7 ) 对任意y x ，k z ， i s 。( x ，y ) 舡( x ) = 1 ( 1 8 ) 应用c o i f i n a n 的方法，我们可以构造齐型空间上的恒等逼近准 确地讲，选取妒c o ( r ) ，并且当x o 或x 2 时， 妒( x ) = o ，当三x 1 时 p ( z ) = 1 定义 瓦( 厂) ) = ，2 k 妒( 2 p g ，y ) ) f ( y ) d l z ( y ) 由于满足双倍条件，可知瓦( 1 ) 对尼一致上下有界，即 0 c l 瓦( 1 ) ( _ ) c ) c 2 0 的，y ) 型试验函数，如果厂满足下 面的性质： i c 瓦砉旷； ( 1 9 ) 当p ) 击( ，+ 户”时， f ( x ) - f ( x ) l c ( 稿 p 南； m 对任意y x ，k z ， 厂 ) a 4 x ) = o 中心在x ，宽度，一 0 的p ，y ) 型实验函数空间记为m g 。，7 ) 如果f m k ，r ，7 ) ，则厂在m ( x 。，y ) 上的范数定义为 i l 州m ( v 以，) 2 i n f c 0 ：c 使得( 1 9 舯( 1 1 0 ) 成立) 现在固定一点石，用m ( p ，厂) 来定义m ( x 。，1 ，y ) 里函数的全体， 可以发现对所有的x x 和r 0 ，在范数等价的意义下有 m g ，y ) = m ，y ) 进一步地，可以验证m ，y ) 是b a n a c h 空间称m ( p ，y ) 的线性泛 函z 是有界的，如果存在常数c ， 使得对所有的厂m ( ，厂) 有 z ( 厂) c m ( 圳 全体从m ( p ，y ) 到c 的有界线性泛函组成m ( f l ，) 的对偶空间 似( ，y ) ) 用( 向，厂) 来定义h 似，7 ”与f m ( f l ，y ) 的自然对由于 u ( x ， ，y ) = m p ，y ) 对所有的x ，彳和尸 0 有等价范数，因此对所有的 h 似( ，厂) ) ，x o x 和， 0 ，f m ( x 。，厂) ，( 死厂) 是有意义的 在 h s ，h 5 中，应用算子族慨 眦，其中d 。= s k + ，一s k ，慨九。z 是 定义1 2 中的恒等逼近，引入了齐型空间上的b e s o v 空间b 7 与 t r i e b e l l i z o r k i n 空间舻更准确地说，b e s o v 空间台罗定义为 ”厂i|彦尹=厂。mc，y的：(薹2。iikc 厂州p ) 9 ) j ， 其中。 肌 州口f s ，m a x 击，鬲b ) p 。 g o 。； t r i e b e l l i z o r k i n 空间印定义为 ”州肇= 厂c ，y ”7 ：| | 荟q 妇l 。c 厂，胪 虬 ， 其中唧小引甜j g ，m a x 击，志) 舢锄 在文献 h s 】中，作者利用连续c a l d e r 6 n 的再生公式、对偶及b e s o v 空间雪尹，0 l 仅l ，1 p ，g o 。，t r i e b e l 。l i z o r k i n 空间印，0 lal s ， 1 p o 。，1 g o 。的t 1 定理证明了b e s o v 空间b 7 ，0 l 仪l ， 1 p ，q 0 9 ，t r i e b e l l i z o r k i n 空间帮，0 l 口i 占，1 p o o ，1 q o 。 可以用只对一个变量光滑及一个变量具有消失矩条件的恒等逼近来 定理1 4 ( h s ) 设溉k 是x 彳j 复数集的函数族，并且对 所有的尼z 和x ，x7 ，y j 满足 当p g ，j ，) c 2 一时，最( z ，y ) = o , ns , l l 。c 2 ； l - 5 ：( x ，y ) - s t ( x7 ，y ) l c 2 ( 1 + p g ，x ) 。； f s k ( x ，y ) 咖( 少) = 1 设邑= s k + 1 一s k 对0 口 占有 善陋i e 。( f ) l l p 冲洲b l 足e z j ” 对1 p ，g 佃成立； 峰叫驯圳。圳州舻， 对 1 p ，g 0 ，使得 本文在第二章要解决的问题是将定理1 4 的结果推广到p ，q 1 的 情形准确地说，本文将给出b e s o v 空间台罗，0 l 口i 占， m a x 1 j ，i 之i ) p o o , 0 q o o 和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间皆， 叫口i 占，m a x 击，熹) p ，m a x 圭，矗i ) g o c 的一个新的刻划结果如下： 定理1 5 如果恒等逼近溉k 的核满足( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和( 1 7 ) ， 邑= & + 。一瓯，则对o 口 s ，l 一 p + ，0 g o d 和f m ，y ) ， l + 口 萎l l f 。( f ) l l p 冲i i ：i i 矽(111)k 【e z j 定理1 6 如果恒等逼近慨k 的核满足( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和( 1 7 ) ， 毛= & + t 一瓯，则对o 口 占，再1 i p + o 。，i l i g + o 。和厂m ，y ) ， l + 口 1 + 口 。 ff乏c2。i上r。cjr，i，9)；|f。siijrlii， c ，2 ， 为了叙述一占 o 和0 c 1 o 。，使得 ( i ) 对任意七z ，( 烈v 彰) = 。； ( i i ) 如果? 尼，那么或者剑，彰或者彭，n 饼= o ； ( i i i ) 对每一族( 尼，f ) 和z k ，存在唯一的f ，使得饼醇； ( i v ) d i m n e t e r 协) c 。万。； ( v ) 每个彰包含于某个球b ( z ：, a 0 8 ) 中 不失一般性我们可以设定6 = 委，容易证明我们的结果与证明不 依赖于满足定理条件中的开子集合彰的选择，用匕，k , v ，v = 1 2 ，q ，r ) 表 示所有的饼+ 残，其中是一个固定的大的正整数，y 表示饼中 的点 定理1 8 如果恒等逼近溉k 。：的核满足( 1 3 ) ，( 1 5 ) 和( 1 8 ) ， 贝f j 对一占 口 0 ，_ 上 p + ，0 q 和f m ( p ，) ， l + 口+ s 荟；妻2。q92一l刀哩9：+，陋。cjr，ip暑百。s n j r “皇 c ，3 ， 定理1 9 如果恒等逼近慨k 的核满足( 1 3 ) ，( 1 5 ) 和( 1 8 ) ， 则对一占 a 0 ， 士 p + ，_ 三一 q + o 。和f m ( p ，厂) ， 1 + 口+ 占l + 口+ s 峪( 2 2 叼t 0 0 2 + , ( e k ( f ) ) z o w ) 圳州铲 证明定理1 4 的方法并不适用于定理1 5 ，定理1 6 ，定理1 8 和定 理1 9 ，换一句话说，用连续的c a l d e r 6 n 再生公式和对偶理论是得不 到上述结果的，即用具有一半恒等逼近核条件的算予来刻划b e s o v 空 间矽，叫口l p 舛。 g o 。， t r i e b e l - l i z o m n 空间印，叫口i 占， 击，矗i ) p ， m a x 1 i ，再丢石) g o 。本文是利用文献 h 2 中建立的离散的 c a l d e r 6 n 再生公式、 h 5 中证明的p l a n c h e r e l p o l y a 不等式及 d h 2 中发展的t 1 定理建立b e s o v空间西，0 i 口l ， m a x p ，。 g ，t r i e b e l - l i z o 水i n 空间妒， 叫a i 占，m a x 击，熹 p o 。，m a x 击，鬲b g 如 o jai 占，m a x l r 万，r i i 石 p 0 。，m a x lr 万，r i i 万f o 为广义恒等逼近，如果对所有t 0 ， f f ( x ) ( p 1 ) ，有 4 厂( x ) = jxq ( 兄y ) f ( y ) d 1 t ( y ) 且a ，的核a t ( x ，y ) 满足： a t ( x ，y ) l 办；( x ，y ) ：0 p ( 工；f ) ) ) 1 1 s 0 g ，y ) ”f 一1 ) ， ( 1 17 ) 其中m 是正的常数，s 是正的单调下降的有界函数，满足 l i m r n + n + c s ( r ”) = 0 ，( 1 1 8 ) 对某个s 0 ，其中行，n 是( 1 15 ) ，( 1 16 ) 中的常数 考虑的算子丁是 d m 中引入的，定义为： 丁在( 义) 有界，1 c l f 鬲时成立，c 1 ，c 2 ，仪 0 。 本文第三章的主要结果是： ( 1 2 0 ) 定理1 11 设( z ，d ，) 是齐型空间，( ) o 。，算子丁满足条 件( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) ，进一步地下述条件成立： i )自伴算子r 满足条件( 1 2 0 ) ， i i ) 丁的核尼( z ，) 满足增长性条件： i 尼( ) 卜c ( b ( x ；d ( w ) ) ) ，任意x ，y x 则对b b m o ，交换子 6 ，丁 可以连续延拓到口( x ) ( 1 p o o ) ，且 i j 6 ，彤忙c l b l l m i 户， 其中i b 。是6 的励幻半范数，c = c ( p ，r ，x ) 是不依赖于厂的常数 文献 b c 在有限测度的齐型空间上对c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子证 明了上述类似结果，我们用广义恒等逼近的条件代替了c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的h 6 r m a n d e r 型条件，从而改- t b c 结果与文献 d y 2 6 0 的结果相比较， d y 2 d o 要求( x ) ：o 。，证明中这条件是不可 缺少的，本文( x ) 1 或p ，q 1 统一刻划，即利用 文献 h 2 中建立的离散的c a l d e r 6n 再生公式、 h 5 中证明的 p l a n c h e r e l p o l y a 不等式及 d h 2 中发展的丁1 定理，建立b e s o v 空间 矽，叫口i 占， m a x 击，未i ) p t r i e b e l - l i z o 越n 空间皆，。 i 口i s ，m a x 击，i 芝i ) p ， m a x 击，石芝i ) q o e 的新刻划本章的结果涵盖了文献 h s 的结果，这些结果在欧氏空间也是新的 本章结构如下：第一部分，我们建立一些预备引理，在第二部分 证明定理1 5 ，定理1 6 的证明放在第三部分 2 1 预备引理 首先介绍定理证明所必须的三个引理在文献 h 2 中建立的 离散的c a l d e r 6 n 再生公式，叙述如下： 引理2 1 设慨k 。z 是定义( 1 2 ) 中的恒等逼近，令d k = s k + 。一s 。， 则存在函数族慷( x ，y i 。z 使得对于任意固定的点喙诺，k z ，v ， 和所有的厂似，) ) ，其中o ，y 秒，有 f ( x ) 2 莩莓( q ：域g y o t ) 见( 门讲j 而当m ( p ，y ) ，时，级数按伍) ，1 p o 。范数以及按m ( p ，丫，) 范数 收敛，其中7 y 进一步地，p 。( x ，y ) l 。z 满足以下估计：对占，o 占， 0 ，使得 弧力j c 淼 当如x ) 万1 么k + p g ，y ) ) 时 d k ( x , y ) - d k 川i c ( 考岛厂斋 对任意x x ，尼z ， 对任意y x ，k z ， 厄( x ，y ) d y ( y ) = o ； 皿( z ，y ) d 4 x ) = 0 韩永生教授在文献 h 5 中建立了p l a n c h e r e l p o l y a 不等式，即 引理2 2 设慨k 。z ，陂k 。z 是定义( 1 2 ) 中的恒等逼近，令 d k = s s ，q k = 一只_ 1 ，则对所有的厂似，y ) ) 7 ，其中o ，y 占， g - g f g 数c 】，c 2 ，使得当 s ，m ? x 击，去) p 。 g o 。 时，有 陋吮“ 1 3 】 旦 i 刚似z ) 什 荟 荟2 脚2 ：! 蓼一g c 似圳 郭i 一a x 怯，去) p , q o o 时， 鼢2 蛔s u p d k ( f ) z o 。+ j 肼 r r 旧i n f 皿 有 上，( ) l p ( j ) 下面要给出主要定理的证明所必须的一个基本估计 引理2 3 同定理1 5 ， l b 茸( ，y 鲥k ) i 其中a b = m i n a , 6 夕 1 6 和引理2 1 的注记，则 c 证明：先考虑后的情形 如果p ( x ，y o _ ) 0 是x 上的有紧支集的所有的连续函数构成的函数 空间，并且 = 磐唉铲 一力 x p c 一 矿 彘 核k ：x x 扛= y ) 寸复数集是c a l d e r 6n z y g m u n d 核是指存在 0 i i o , c ，使得： 当z y 时 y ) | 厕c ； 当p ) 砑1 p g ，y ) 时， ( 2 1 ) i 尼g ，y ) 一j | g ，y ) l c p ( x ，x ) 5 p ( x ，y ) 一； ( 2 2 ) 当比胚砑1p g ，j ，) 时， i 尼g ，y ) 一尼g ，y ) i 印，y7 ) 6 尸g ，j ，) 一 ( 2 3 ) 称连续线性算子r ：c ；伍) j 妇伍) ) ，为c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积 分算子，如果r 有c a l d e r 6 n z y g m u n d 核并且使得 ( t f ，g ) = m ( x ，y ) f ( y ) g ( x ) d p ( y ) d p ( x ) ， 对所有厂，g c ；伍) ，并且s u p p fns u p p g = a 定义2 4 设0 6 0 ，定义 彳p ，x ，) = 移c g ( x ) ：s u p p c 曰g ，) ，恻i 。1 ，恻i 占r 。j 称c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子丁满足弱有界性，并记为 tew b p ，是指存在o 万 乡，c o 和矽，缈a ( 8 ，x ，r ) ， 使得 i ( 形，伊) | 印0 g ，r ) ) 下面介绍邓东皋教授和韩永生教授在文献 d h 2 建立的的b e s o v 空间雪尹与t r i e b e l l i z o r k i n 空间妒中的r 1 定理 引理2 5 设丁是c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子，其核满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，并且t 1 = 0 ，t w b p ，那么： 1 8 ( 1 ) 当o 口 占，再1 i p + 嗡再1 i g 佃时，丁可以延拓为b e s 。v 空间台尹上的有界算子，即 m 矽c | | 厂i l 妒； ( 2 ) 当0 口 占，一 p ，q 悃时，丁可以延拓为t r i e b e l l i z o r k i n 空间矽上的有界算子，即 i l 巧0 妒cm l 垆 利用 d h 2 的方法，我们不难得到对应于引理2 5 的如下结果 引理2 6 设丁是c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子，其核满足 ( 2 1 ) 和( 2 3 ) ，并且t + 1 = 0 ，tew b p ，那么： ( 1 ) 当一占 口 0 ，士 p + ，士 g + 时，丁可以延拓为 l + 口+ 占l + 口+ 占 b e s o v 空间雪罗上的有界算子，即 l r f 归c 谬； ( 2 ) 当一占 口 0 ，_ 一 nj e z 瓦( 似x ) = z z e g ，z ) 眩( 似z ) 一e 。( 似埯州) 肛( z ) ， k 7 谚“ 其中掣= e ， j ：l k j i 0 ，对充分大的正整数 m ， 使得算子2 膈尺鼻，2 胁瓦是b e s o v 空间雪尹， o 口 占， 丁= p ，0 q o 。，t r i e b e l l i z o r k i n空间f 。7 ，0 口 占， l + a 再1 _ p j + n ( 1 ) 当0 口 s ，_ 三一 p + ，_ l q + 时， 硎卯 c 2 州5f 窄； ( 2 ) 当0 口 占， p ，q 悃时， 硎印 o ，对上面定义的算子毛，使得 ( 1 ) 当0 口 占，_ l p + o o ，_ l q + 时， l + 口1 + 口 粉硎卯c 2 堋矽； ( 2 ) 当0 口 s ，士 击( 2 山p ( w ) ) = i + 1 f 丽 1 ( 2 一，+ p g ，y ) ) 1 + c 2 也p g ，y ) 。1 2 - ( k + j k 2 - ( 州) + 户g ，z ) r = i i 】+ i i2 ， 邵c 莩南 c 2 “5 p ( x ，y ) ， 拓群争啦， 2 一( + ) 邴c 莩蔫 c 2 “5 p g ，y ) 综上证得 2 - ( k + k + p g ，z ) r 2 一弦 2 - ，+ p g ，y ) r 丽2 - 纛p ( x 矿 ( + ) + ，z ) ) 1 + 5 。广、。7 2 l 2 一j 占 + f 丽 、l， z jl咖 u 1 1 y x ，、 e一 、i，y 毛 ，j _ e u _ 1 z g 瑚 r p “ e 朋p 上川 “ ， = g 枷 yg e 一 y l r e u v z g 脚 “ 历帅 rjp 上纠 拯 ， c 一 ， y x “，p 上纠 e j 从 ， c 一 嘶 研 最 舷 心 k y z “ ，p 上m 咖 x “ ， c ，则有 i e k e j ( x ，y 2 - ( k - j ) 一南 证明：注意到，b g ，z ) 咖( z ) = o ，于是 弓g ，y ) | = f 色g ，z ) 魄( z ，y ) 一e ，g ，y ) 妇g ) | i e g ，z 粑g ，y ) - e j ( x ，y l d z ( z ) 脾g ，z 粑( z ，y ) - e ，g ，y l d , u ( z ) p ( 球b 击( 2 p ( 训) ) + 胆g ，z 她( z ，y ) 一e j ( x ，y l a , ( z ) 一( 砟洽击( 2 山一( 训) ) = ，+ 1 1 嫱( 端厂南删 ，那么对p g ，x 7 ) 砑1 p g ，y ) ，有 l & 弓g ，y ) 一巨弓g 7 ，y ) l c ( 亍鳊) 斋 证明：注意到对任意x 彳，嘎g ，z ) 咖g ) = 0 ， 如果p ) 砑1p g ，y ) 杏a 2 ( 2 - j + p g ，y ) ) ，则 l e k e j ( x ，y ) 一e 。e j ( x ，y ) i = 1 f 皈g ，z ) 一瓯g ，z ”幢( z ，y ) 一弓g ，y ) 妇( z ) l l i e k ( x ，z ) 一巨g 7 ，z 粑( 训) 一e j ( x ，y ) l 咖( z ) = + 卜j - = i + i i + 1 1 1 其中 彬= z x p 阮x ，) 砑1 ( 2 廿+ 础z ) ) ) ( 舞尚) 7 南( 南+ 南p + ( 惫南厂南 c ( 蔫p 甜( xy ) jl 2 1 + ， 2 一e 2 - + p g ，y ) r 2 一8 ”+ p g ，z 圹 注意到如果z ，那么p ( x ，z ) 2 击( 2 - j + p g ，y ) ) ， i is c c ( 舡( z ) 端 南2 - x 删 。+ p g ，y ) ，j j + p ，) ，) y “叩w 注意到如果z 呢，那么p ( x ，z ) - 刍a ( 2 - j - p g ，y ) ) ，r p ( z ，z ) 2 a p ( x , x t ) ， ，r i i i cj i 蟛f 2 一k c2 一6 f i 瓦矿+ f i 丽 ( 端厂南删 c ( 蔫矧南 如果寿( 2 一+ p g ，y ) ) p ) 砑1 p g ，y ) ，则由引理2 9 ， e k e j ( x ，y ) 一岛弓g ，y ) | 0 ，0 n ， c 篇n r ( 舞岛y 南- 4 - 七 ，二十p 、 jj i z o n ir1 ，l i c 2 p ( x ，x 7 ) 一户g ，y ) - ( 1 + g ) 3 e e , 0 x x ) ：，e e , ( x ，z 圬g ，y 协) = 0 k - j n ik 一 n 4 下面证