（基础数学专业论文）fock型空间的零序列.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 f i i iii ii i i ii ii i i iiiplli y 17 3 2 4 6 1 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年- 月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名：i 聱，至涵日期：丝2 翌：垒型：论文作者签名：l 鸷，宓幽 日 期：丝f 翌：垒型： 导师签名：主丕氇丝 日 期：趁盘：至丝 f o c k 型空间的零序列 中文摘要 中文摘要 本文首先介绍了f o c k 型空间型空间的基本性质，其次我们证明了f o c k 型空间的零序列的并组成的序列不一定为f o c k 型空间的零序列整数阶的 f o c k 型空间的零序列的子序列不一定为f o c k 型空间的零序列 关键词：f o c k 型空间，零序列，零序列的并，零序列的子序列 作者：陈玉娟 指导老师：侯绳照 a b s t r c t z e r o so ff o d 【t y p es p a c e s z e r o so ff o c kt y p es p a c e s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l yd i s c u s st h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ef o c kt y p es p a c e sa t f i r s t t h e nw ep r o v et h a tt h eu n i o no ft w oz e r o so ft h ef o c kt y p es p a c e sm a yn o t b et h ez e r o so ft h ef o c kt y p es p a c e sa n dw h e nt h eo r d e ro ft h ef o c kt y p es p a c e si s n a t u r a ln u m b e r ，w ep r o v et h a tt h es u b s e q u e n c e so ft h ez e r o sm a yn o tb et h ez e r o so f t h ef o c kt y p es p a c e s k e y w o r d s ：f o c kt y p es p a c e s ，z e r o s ，t h eu n i o no f t h ez e r o s ，t h es u b s e q u e n c c so f t h ez e r o s i i w r i t t e nb yc h e ny u j u a n s u p e r v i s e db yp r o f h o us h e n g z h a o 目录 第一节引言1 第二节f o c k 型空间的基本性质3 第三节f o c k 型空间的零序列的并7 第四节f o c k 型空间的零序列的子序列1 4 参考文献1 8 致谢2 1 f o c k 型空间的零序列 一 引言 第一节引言 若a 0 ，p 0 令 ， f a ，p = h o i ( c ) ii h l1 2 = | h i 2 e “i 。1 9 d a ( z ) 0 ，a 0 ，令既，p 为满足下列条件的整函数的集合：f ( o ) = 1 ， 且存在常数m 1 ，使得i ，( z ) i m e a i 。p ，v z c 定义2 2 若a 0 ，p 0 令 ， f a ，p = 九g o l ( c ) ii i h l l 2 = j h i 2 e 卅i 舻id a ( z ) 。) ， ，c 称n ，p 为f o c k 型空间 性质2 1 若h f a ，p ，则存在常数m 1 ，使得i 九( 名) i m e a ” 证明：若h f a 棚即 ， i i h l l 2 = i h i 2 e “i td a ( z ) 时，有 f 一o 霄炉e 柏9 陆狄e 若v m 0 ，3 r m n ，使得 ( r f e 讲m ) 1 2 e a r 钰 m 由l h ( z ) 1 2 e a i z l 9 为c 的连续函数可知，存在区域 a ，6 x 【p ，如 c n ，+ o o ) x o ，2 7 r 使得h ( r m e 谢m ) 1 2 e a 屹 等在该区域上恒成立 3 二 f o c k 型空间的基本性质f o c k 型空间的零序列 所以 又 z 6z ：2i ( r e 坩) 1 2 e - a r p r 办础 去m ( 6 2 一n 2 ) ( 如一p ) ih ( r e 订) 1 2 e a 7 9 r d r d o i h ( r e 谢) 1 2 e a 9 r d r d o o ，扎+ ，n ( r ) 即满足不等式i z kj r 的z k 个数) 由j e n s e n 公式得 所以 从而 蛾c 基c 两r 胪f 0 2 丌l o gi 竹i 拯蛾， n ( r ) 娶( 南) 讹a r p 娶( 南) 讹加p m 以p e “一m o ) 奄= 1 7 三 f o c k 型空间的零序列的并 f o c k 型空问的零序列 令f ( r ) = m 一1 p e 一胪则 ，( 7 ) = 7 n - - 1 e “一r p a i p ) 当n 老，f ( r ) 为关于r 的减函数 当n r p a p 时，即r p n ，我们都有 但 n 7 2 i z k l p p ( p a ) 七圳m 一“南+ 南+ + 击k k = lk = n + 1 七= 斋丽1 ( i n ) n 厮e ( 由s t i f l i n g 公式知) 因为 。妻。i 1 c 。l z d x = i n n - i n c ， 所以 令 n n钆i p p ( 肚) m p l n ( n + 1 ) 南瓜e ( 硝) 一”m 讪n ( 詈) ”何 k = l c = p ( p a ) m p i n ( 删南何e 由引理3 1 知 从而 即 恢i pc ( p e a ) “m _ p l 肼扩、佤 n p i n m ：e p l n m l n n ：m p l n ”c m p ，。i 1 ，( v n ) 1 n m c m p ，。j 1 ，( v n ) 又因为i nm 去，所以p l n m 1m 1 ，这对于v 佗 使上述不等式恒 成立是不可能的从而假设不成立，即有无限多个指标佗n 。满足下列不 等式： ( p a ) 了- im 百- - i 佗；1 i z i 9 。 o ，a 0 ，且q 0 ，令q = z c ：i z l n i l ) ，a ：z c ： ( o ( z 一1 ) ) ； h p a a 的最小正整数对任意l n ，记日 为，的零点包含在圆环g 内的零点的个数假设p l d 只对有限个指标l 成立，令l 为这些指标的个数则对其他的指标满足p t d 其中，的零集 n 满足： z l i l 勿i | 勿i i z d l ( 口( l + 1 ) ) 石1 z d + l l l 幻+ 2 l i 施+ 3 i i z 2 d l ( n ( l + 2 ) ) 石1 i 撕1 l i z m d + 2 i l z m d + 3 l 1 名( m + z ) d i ( a ( l + 1 + m ) ) i i l 对所有的m n 均成立因为对任意佗n + 均可以写成n = m d + k 的 形式其中m n 并且k 1 ，2 ，d ) 则 佗m d + km d i z k l 币再丽丽再丽 根据引理3 2 知，有无限多个m 帆，满足不等式： 型 ： p a a 矛盾，从而结论得证 下面的定理将作为连接巩，p 与n ，p 关系的纽带： 定理3 1 若，e a ，p 其增长性满足 i ，( z ) i m e a i ”i ，v z c ， 则去掉三个零点后得到的函数g f a ，p 1 0 f o c k 型空间的零序列 三 f o c k 型空间的零序列的并 证明：因为f e a 棚所以3 m 1 ，使得不等式 ，( z ) l m e a 成立 不妨设钆z 2 ，z 3 ，为，的任意三个零点，令 9 ( z ) = 石面罢( 其中c 为任意常数) 易知g ( z ) h o l ( c ) ，下证 2 = 1 9 1 2 e “9 d a ( z ) 。 j c 令z = 他坩= r c o s + i r s i np ，即有 小1 2 e - a l z l p d a = ，2 ，r 1 9 ( r e 诏) 1 2 e “一r d r d o ，0 由于f 譬”i g ( r e 徊) 1 2 e 一舻r d r d o 的敛散性与e 后”i g ( r e 坩) 1 2 e “矿r d r d o 的敛 散性是一致的故当绚充分大时，且满足i z - i r o ，蚓r o ，i z 3 r o ， i g ( r e 徊) 1 2 e “矿r d r d o = f 0 2 丌学r 打踟 曼j ：em d r d o 一2 1 r _ _ 飞_ m 。 从而 也即 所以9 f a ，p ，o 。f 2 1 r ll j 0j 0 i g ( r e 谚) 1 2 e - a r o r d r d o 1 定义函数9 如下： 妒( 彳) =r 矗t = l ( 一( 和比c 则妒( 名) 既如p 其中l = 廿o 。丽d t 1 1 三 f o c k 型空间的零序列的并f o c k 型空间的零序列 证明：由定义易知无穷乘积的函数妒( 名) 为整函数，且佗i l e 万i 2 k r ( 佗n ，k l ，2 ，胆) ) 为该函数的零点，因为调和函数级数墨。岩在c 上任 一紧子集上一致收敛所以n 墨。( 1 一( 等) q ) 在c 上任一紧子集上一致收敛 ( 由w e i e r s t r a s s 定理知) ，从而妒( z ) 的定义有意义 固定h = r ，则函数厂( z ) = l o g ( 1 + 告) 在【1 ，+ 。) 单调递减，从而 l o gm 列l o g ( 1 + 箸) l v 。 又因为q 1 , l o g ( 1 + ；1 ) 一( z _ + ) ，所以 r p 盘r p 口1 一l i m 。x l o g ( 1 + ) - z z 一r 妒z 刍2 0 所以 + o o l o g ( 1 + 羞) 如= - l o g ( 1 + r p a m 佃赤如 从而 k gm 列q 佃南d x = a r p e 。南d t 0 ，q 1 ，舢n ，厶 0 ，p 0 令 f a ，p = ，h o l ( c ) i | i ：1 1 2 = | 卯e “i 胛id a ( z ) 0 我们有 1 0 9 蚍蛇去oo g | m 彬钏咖o 静华蛇盯学蛇出) 故 n ( r ) l o g 屿( e r ) 若i ，( o ) l = m 1 ，则对朴 0 我们有 l o g 毗啦去序o g | m 彬刮妒| l o g m j _ o 凹华酬l o g m j 卯半班一i l o g m l 吣) _ 1 0 9 叫 故 n ( r ) l o g 屿( e r ) + il o g m l 只需令c = il o g m ，即可，从而推论得证 引理4 3 ( h a d a m a r d 定理) 整函数的零点的收敛指数不超过它的增长阶 ( 参见f 2 0 1 ) 证明：由j e n s e n 公式知的推论： n ( 7 ) l o g m a w r ) + o ( 1 ) 1 5 四 f o c k 型空间的零序列的子序列f o c k 型空间的零序列 则 ir-*+c。p警log剑r-+oop掣log= 粤掣掣t o g 7 rr _ + + r 所以由定义知p ，p 即整函数的零点的收敛指数不超过它的增长阶从 而结论得证 记酉= l i m s u p 警其中p 为整函数，的增长阶 p = m i n p n ：南 + 。) 称 g 加t 尚e 嘶母瑚盖 为w e i e r s t r a s s 素因子 引理4 4 任意阶为p 的整函数f ( z ) 均可分解成下列形式 ，( 名) = 扩e p 。i ig ( z ，p ) 其中钆为s ( z ) 的非零零点，p ( z ) 为关于z 的多项式且p ( z ) 的 次数不超过p ，m 为f ( z ) 在原点的重根数 引理4 5 ( l i n d e l o 定理) 令p = p 毋( r ) = i + 去石p i 广i 。n i k ，由f o c k 型空间基本性质知若h 乃七，则p h 岛，从而与题设 矛盾 若p = k ，则。+ ：0 0 。( 1 彤丽) 以= 箸n r a = 。o 由l i n d e l o f 定理知 如= ，所以o h = 如= o 。即整函数h 的型为无限数，从而h f a m 综上所 述f o c k 空间的零序列的子序列f o c k 空间的不为零序列 1 7 参考文献 f o c k 型空间的零序列 参考文献 1 】a l e x a n d e r b o r i c h e va n dy u r i i l y u b a r s l ( i i ，r i e s zb a s e so fr e p r o d u c i n gk e r n e l si n f o c kt y p es p a c e s ，( 2 0 0 9 ) 【2 l a r sg a r d i n g s o m ep o i n t so fa n a l y s i sa n dt h e i rh i s t o r y ，a m su n i v e r s i t yl e c t u r e s e r i e s ，( 1 9 9 7 ) ，1 1 3 r o g e rg o d e m e n t ，a n a l y s em a t h e m a t i q u ei i ，s p r i n g e r - v e r l a g ，( 1 9 9 8 ) k g u o ，h o m o g e n e o u sq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so ft h ef o c ks p a c e ，j a u s t r m a t h s o c ，t oa p p e a r 【5 5k g u o ，d e f e c to p e r a t o ro fa n a l y t i cs u b m o d u l s ，( 2 0 0 2 ) ，p r e p r i n t 6 k g u oa n dk o u h e i i z u c h i ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nf o c kt y p es p a c e s ，( 2 0 0 0 ) 7 】k g u oa n ds h o u ，q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e sg e n e r a t e db yp o l y n o m i a l sw i t h 【1 0 n o n z e r ol e a d i n gt e r m s ，s t u d i am a t h ，t oa p p e a r f o c k 型空间的零序列 参考文献 1 1 h i g g i n s ，j r ，s a m p l i n gt h e r o yi nf o u r i e ra n ds i g n a la n a l y s i s ，o x f o r ds c i e n c ep u b - l i c a t i o n s ，( 1 9 9 6 ) 1 2 】h o r w i t z c ，z e r o so ff u n c t i o n si nt h eb e r g m a ns p a c e s ，d u k em a t h j ，4 1 ( 1 9 7 4 ) 6 9 3 7 1 0 1 3 k o uh e ii z u c h i ，c y c l i c v e c t o r si ns o m ew e i g h t e d 驴s p a c e so fe n t i r ef u n c - t i o n s ，c a n a d m a t h b u l l 5 1 ( 2 0 0 8 ) 3 7 8 3 8 5 【1 4 】v k i s i l ，s p a c eo fa n a l y t i c a lf u n c t i o n sa n dw a v e l e t s ，l e c t u r en o t e s ，p r e p r i n t ， ( 2 0 0 2 ) 1 5 p a u lk o o s i s ，l e c o n s s u rl et h e o r e m ed eb c u r l i n ge tm a l l i a v i n l e s s o n s o nt h eb e u r l i n g - m a l l i a v i nt h e o r e m ，u n i v e r s i t ed em o n t r e a l ，l e sp u b l i c a t i o n s c r m ，m o n t r e a l ，p q ，( 1 9 9 6 ) 【1 6 y al e v i n ，b ，l e c t u r e s o ne n t i r ef u n c t i o n s ，t r a n s l a t i o n so fm a t h e m a t i c a lm o n o - g r a p h s ，p r o v i d e n c er i ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , ( 1 9 9 6 ) 17 r a p h a e l es u p p e r ，z e r o so fe n t i r ef u n c t i o n so ff i n i t eo r d e r ( 2 0 0 2 ) 1 8 r e m m e r t ，r ，c l a s s i c a lt o p i c si nc o m p l e xf u n c t i o nt h e o r y , g r a d u a t et e x ti nm a t h e - m a t i c s ，s p r i n g e r ，( 1 9 9 7 ) o d u c t i o nt on o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ( 2 0 0 1 ) ，6 3 6 7 o ff i n i t eo r d e r ，( 1 9 4 0 ) 1 0 3 3 k o r e n b l u m ，a r k m a t ，3 2 ( 1 9 9 4 ) 2 3 7 - 2 4 3 1 9 参考文献 f o c k 型空间的零序列 2 2 k s e i p ，o nk o r e n b l u m 7 8d e n s i t yc o n d i t i o nf o rt h ez e r o ss e q u e n c e so fa ， j a n a l y s em a t h ，6 7 ( 1 9 9 5 ) 3 0 7 3 2 2 2 3 k s e i p ，d e n s i t yt h e o r e m sf o rs a m p l i