（热能工程专业论文）分层流中内孤立波高阶理论的研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 分层流体内孤立波的研究是力学、物理学、应用数学和工程实际交叉的前沿性 课题，有很强的理论意义和实用价值。本文采用理论分析和符号运算相结合的方法 研究有限深分层流体有限振幅内孤立波。针对上层流体密度均匀，下层密度随深度 变化的有限深混合分层模型，采用p l k 方法和匹配渐进展开法相结合，分析推导得 出有限深分层流体中有限内孤立波的一阶发展方程，同时建立了波幅的二阶、三阶 修正所满足的方程；针对特殊密度分布一强分层流体模型，对方程的系数进行了计 算，并对振幅二阶、三阶发展方程进行了数值计算，得到了波幅二阶、三阶解曲线； 结果表明，我们的一阶、二阶振幅修正方程与前人研究结果是一致的，二阶、三阶 解曲线相对于一阶解曲线有明显的改进。 关键词：有限振幅内孤立波，有限深分层流体，渐近方法，高阶修正 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nt h es o l i t a r yw a v e si ns t r a t i f i e df l u i d s ，i n v o l v e di nm e c h a n i c s ， p h y s i c s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p r a c t i c a le n g i n e e r i n ga n de t c ，i sa l la d v a n c e df i e l dw h i c h i so fp o w e r f u lp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e t h ef i n i t ea m p l i t u d es o l i t a r yw a v e si n s t r a t i f i e df l u i d so ff i n i t ed e p t h ，i nw h i c ht h ed e n s i t yv a r i e sw i t l ld e p t hi nl o w e rl a y e rb u tk e e p s u n i f o r mi nu p p e rl a y e r , a l ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h em e t h o do fc o m b i n a t i o no ft h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n t h ef i r s t ，s e c o n da n d t h i r d - o r d e re v o l u t i o ne q u a t i o na l e d e r i v e db yc o m b i n i n gt h ep l km e t h o da n dt h em a t c h i n go fa s y m p t o t i ce x p a n s i o n s t h e c o e f f i c i e n t so fe q u a t i o nf o rs p e c i a ld e n s i t yd i s t r i b u t i o n - - s t r o n gs t r a t i f i c a t i o na l ec a l c u l a t e d a n dt h ec u l v 豁o ft h es e c o n da n dt h i r d o r d e re q u a t i o n sa l e & a w e d i ti sf o u n dt h a tt h ef i r s t a n ds e c o n d - o r d e re v o l u t i o ne q u a t i o na lec o n s i s t e n t 、析t 1 1t h ek n o w no n e s ，s e c o n da n d t h i r d o r d e rn u m e r i c a ls o l u t i o n sh a v es i g n i f c a n ti m p r o v e m e n tt h a nf i r s t - o r d e r w uy i n g j i e ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f c h e n gy o u l i a n g k e yw o r d s ：f i n i t ea m p l i t u d ei n t e r n a ls o l i t a r yw a v e s ，s t r a t i f i e df l u i d so ff i n i t ed e p t h ， a s y m p t o t i cm e t h o d s ，h i g h o r d e rc o r r e c t i o n 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 分层流体内孤立波的研究是力学、物理学、应用数学和工程实际交叉的前沿性 课题，有很强的理论意义和实用价值。本文采用理论分析和符号运算相结合的方法 研究有限深分层流体有限振幅内孤立波。针对上层流体密度均匀，下层密度随深度 变化的有限深混合分层模型，采用p l k 方法和匹配渐进展开法相结合，分析推导得 出有限深分层流体中有限内孤立波的一阶发展方程，同时建立了波幅的二阶、三阶 修正所满足的方程；针对特殊密度分布一强分层流体模型，对方程的系数进行了计 算，并对振幅二阶、三阶发展方程进行了数值计算，得到了波幅二阶、三阶解曲线； 结果表明，我们的一阶、二阶振幅修正方程与前人研究结果是一致的，二阶、三阶 解曲线相对于一阶解曲线有明显的改进。 关键词：有限振幅内孤立波，有限深分层流体，渐近方法，高阶修正 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nt h es o l i t a r yw a v e si ns t r a t i f i e df l u i d s ，i n v o l v e di nm e c h a n i c s ， p h y s i c s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p r a c t i c a le n g i n e e r i n ga n de t c ，i sa l la d v a n c e df i e l dw h i c h i so fp o w e r f u lp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e t h ef i n i t ea m p l i t u d es o l i t a r yw a v e si n s t r a t i f i e df l u i d so ff i n i t ed e p t h ，i nw h i c ht h ed e n s i t yv a r i e sw i t l ld e p t hi nl o w e rl a y e rb u tk e e p s u n i f o r mi nu p p e rl a y e r , a l ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h em e t h o do fc o m b i n a t i o no ft h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n t h ef i r s t ，s e c o n da n dt h i r d - o r d e re v o l u t i o ne q u a t i o na l e d e r i v e db yc o m b i n i n gt h ep l km e t h o da n dt h em a t c h i n go fa s y m p t o t i ce x p a n s i o n s t h e c o e f f i c i e n t so fe q u a t i o nf o rs p e c i a ld e n s i t yd i s t r i b u t i o t v - - s t r o n gs t r a t i f i c a t i o na l ec a l c u l a t e d a n dt h ec u l v 豁o ft h es e c o n da n dt h i r d o r d e re q u a t i o n sa l e & a w e d i ti sf o u n dt h a tt h ef i r s t a n ds e c o n d - o r d e re v o l u t i o ne q u a t i o na t ec o n s i s t e n tw i t l lt h ek n o w no n e s ，s e c o n da n d t h i r d o r d e rn u m e r i c a ls o l u t i o n sh a v es i g n i f c a n ti m p r o v e m e n tt h a nf i r s t - o r d e r w uy i n g j i e ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f c h e n gy o u l i a n g k e yw o r d s ：f i n i t ea m p l i t u d ei n t e r n a ls o l i t a r yw a v e s ，s t r a t i f i e df l u i d so ff i n i t ed e p t h ， a s y m p t o t i cm e t h o d s ，h i g h o r d e rc o r r e c t i o n 华北电力大学硕士学位论文符号表 主要符号表 色散量度 混合分层流体上层流体密度 强分层流体下层流体密度： 波数 孤立波波长或任意参数 慢时间变量( f = 占2 ，) 流线的铅垂位移 密度有变化的流体层深度 强分层上层流体深度 基本状态压力分布 特征波幅 波速 水平方向坐标 坐标变换x = 嬲 重力加速度 水平速度 理想流体压强 b n m t - v 曩i s t t l t i 频率 2 的特征值常数 流函数 积分常数 非线性项系数 f o u r i e r 变换 h i l b e r t 变换 广义积分主值 各阶波速修正 非齐次方程的特解 一阶振幅 非线性量度 强分层流体上层流体密度： 基本状态速度分布 波数因子修正 模态函数 f = 占i c ( x c r ) 波数因子 流体总深度 强分层流体下层流体深度 密度函数 线性特征波速 ( 岛- 1 ) p 2 铅垂方向坐标 坐标变换y = 聊 正常时间变量 垂向速度 基本状态流体密度分布 b o u s s i n e s q 参数研坛。1 与o ) 线性无关的解 铅垂坐标 浅水色散项系数 有限深色散项系数 f o u r i e r 逆交换 积分变换 各阶非齐次项 各阶波数因子修正 流线铅垂位移的各阶修正 i 阶振幅 a删q m f鬈日纠y y，y删仃厂，脚矿、石q仉们 办 卜 l 0 f几仍七彳f蟹厅舢口x x g留p矿m吵忍础罗字肌q彬锻 华匕电力人学硕士学位论文符号表 歹 对x 的导数 h 2 。( x ) 玎阶h e r m i t e 多项式 ，j 二阶振幅修正方程非齐次项 歹歹的傅里叶变换 五。拜阶h e r m i t e 多项式系数 g g 7三阶振幅修正方程非奇次项 破。( x ) 以h e r m i t e 多项式为基底的函数 仃。二阶振幅修正方程非齐次项系数 t三阶振幅修正方程非奇次项系数 j ，开 外部匹配坐标伸展后的流线铅垂位移和波幅修正 彳a ，弓- 。而的傅立叶变换 ，户，s ，2 ，p ，户，b ，雪，万，彦 一阶孤立波解系数 声帕p = j户 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文分层流中内孤立波高阶理论的研究， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：逸塞望! ：e l 期：丝三! ：! ：堡 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：整：篡走 导师签名： 日 华北电力大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 自然界中( 如海洋、大气和湖泊中) 的真实流体，由于其密度和温度( 及咸水 中的盐度) 常常随深度而变化，一般来说，都是分层流体( s t r a t i f i e df l u i d ) 。本文 中我们考虑的是密度分层流体，以下简称为分层流体。实际的分层流体复杂多样。 为便于理论分析，将分层流体概括为如下三类： ( 1 ) 间断分层流体：也称强分层流体，特征为每层为均匀常密度，层与层之间 不相溶混，可用作有跃层的大气的简化模型。 ( 2 ) 连续分层流体：密度在深度范围内连续变化，即密度是深度的连续函数。 如对流层中的大气和海洋跃层中的流体。 ( 3 ) 混合分层流体：由连续分层和间断分层组合而成。如有跃层的海洋、大气 和湖泊中的流体 当扰动作用在分层流体内部时，形成的波动称为内波。研究表明，内波作为分 层流体中存在扰动的传播，是海洋中大中小尺度波动过程中重要的一环，对整个海 洋能量平衡起着积极作用。 有这样一类内波，它们只有一个波峰，波长无限大，波形廓体不随时空周期性 变化这就是内孤立波( i n t e r n a ls o l i t a r yw a v e ) 。内孤立波是一种非线性内波，与 其它非线性内波相比，它具有自身独特的性质：其波形在传播过程中保持不变；其 能量决大部分均集中在波峰附近。与表面孤立波相同，内孤立波也是非线性效应和 色散效应相互平衡的产物。研究分层流体中的内孤立波，需要考虑流体的深度范围、 密度分布及空间维数，还涉及流体温度、压力、旋度、自由面位形、底部地形、上 游扰动、表面张力、是否有障碍物等等因素。 内孤立波按其传播空间的维数可以分为：一维内孤立波、二维内孤立波和三维 内孤立波。作为非线性效应和色散效应相互平衡的产物，依据表征其非线性和色散 的两个参数之间的关系可以分为：浅水内孤立波、有限深内孤立波和大深度内孤立 波，相应的色散关系分别是： c ( k ) - c o j | 2 ， c o c ( k ) - c o 一七c 0 吐l ( 足日) c o l ( 1 2 ) 华北电力大学硕士学位论文 c ( k ) - c o 怫 c o 。 对应这几种色散关系，内孤立波的模型方程分别为： ( 1 ) k o r t e w e g d ev i e s 方程( k d v 方程) r , 一q ，砧+ a t + = o ， ( 2 ) i n t e r m e d i a t el o n g w a v e 方程( i l w 方程) 其中 ( 1 3 ) ( 1 4 ) r l c l 砚+ a t r # + 肚( 7 恐) = o ( 1 - 5 a ) 彳= 一去c 七c 州鹚) e x p ( 脂) 罗( 门班， ( 1 - 5 b ) 这里罗( 力表示f o u r i e r 变换 西 罗( 力= l e x p ( 一豇孝) d 孝； j q ( 3 ) b e n j a m i n o n o 方程( b o 方程) 其中 ( i - 5 c ) r , 一c 1 + a f t f + 字( ) = 0 ， ( 1 6 a ) 字= 去p 矿k rz 一( _ t t 匕死 h z e ( 1 6 b ) 可以证明，i l w 方程在极限k h i 下可以转化为k d v 方程，在极限坍寸下 可以转化为b o 方程，从这个意义上说，有限深理论较浅水和大深度理论更具一般 性。 自从英国学者jsr u s s e l l ( 约翰罗素) 首次观察到有限振幅永形孤立波以来 孤立波的研究一直是国际上非常热门而又饶有兴趣的课题。内孤立波在自然界中存 2 华北电力大学硕士学位论文 在比较广泛【l _ 1 3 1 。大量研究表明，内孤立波不仅在低层大气内的湍流生成和组织中 起主导作用，而且在大气、海洋的能量、质量和动量的传输中扮演重要角色【i 0 】。 作为应用数学、物理学、力学的一个重要组成部分，孤立波理论在流体力学、地球 物理和量子场论等诸多领域有着广泛应用，其研究受到国际数学界和物理学界的充 分重视，研究工作十分活跃，应用日趋广泛。可以说，分层流体中内孤立波的研究 作为这一主题的一个分支具有不言而喻的学术价值。内孤立波的研究又与海洋物理 学、大气物理学、船舶及海洋工程、水利工程、环境工程、军事工程、海上风电建 设和海啸预警等各个方面有着紧密联系【2 1 _ 2 3 l ，而且对热能工程和工程热物理专业也 有重要影响【2 们因此，分层流中内孤立波的研究具有很强的实际意义【2 7 】。 1 2 国内外研究动态 孤立波是j s r u s s e l l 2 8 】于1 8 3 4 年首先观察发现的。随后，j b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) ， r a y l e i g h ( 18 7 6 ) 1 2 9 】及j m c c o w a n ( 1 8 9 1 ) 【3 0 】等人继续进行了研究，取得了一系列 关于孤立波理论的重要成果，w h m u n k ( 1 9 4 9 ) 1 3 1 l 对此进行了总结。a w e i n s t e i n ( 1 9 2 6 ) ，j b k e l l e r ( 1 9 4 8 ) 3 2 】等人对孤立波理论高阶近似解进行了早期的研究， 其研究模型如图1 1 所示。 一 一 k l曩l 下 函 1 图1 - 1 孤立波理论高阶近似解早期模型 k e u l e g a n ( 1 9 5 3 ) 【3 3 j 和l o n g ( 1 9 5 6 ) 1 3 4 j 最早对内孤立波理论进行了研究，发 现波可以在两种不同密度流体的交界面上传播。b e n n e y ( 1 9 6 6 ) t 3 5 】和b e n j a m i n ( 1 9 6 6 ) 【靳】推出了有限振幅内孤立波控制发展方程，即浅水内孤立波方程，其研究模型为密 度突变层深度和流体总深度近似相等的连续分层流体，波长远大于总水深。 b e n j a m i n ( 1 9 6 7 ) 和d a v i s & a c d v o s ( 1 9 6 7 ) 研究了在无界流体薄密度突变层中传 播的大深度内孤立波。j o s e p h ( 1 9 7 7 ) 【3 7 】和k u b o t a ，k o & d o b b s ( 1 9 7 8 ) 3 s 】对浅 水和大深度理论进行扩展，研究在既非浅水又非大深度流体中传播的有限振幅孤立 波，提出了有限深内孤立波理论。以上理论已被用于计算孤立子内波的传播特征参 3 华北电力大学硕士学位论文 数及分析其源地，并在实验室和实际应用中得以检验。 近年来，孤立波理论已向多维、连续分层发展，浅水孤立波理论继续深入，有 限深和大深度孤立波理论不断完善。下文中将根据分层和水深方向对内孤波进行分 析概述。 首先，就分层而言，单层流的研究进一步发展：l iy a 等( 2 0 0 4 ) 3 9 】采用了伪 谱数值方法研究了有限深密度均匀理想自由表面流一维发展方程。两层流理论不断 深入，逐渐渗透到应用领域：v o r o n o v i c h a g ( 2 0 0 3 ) 1 4 0 j 研究了2 ，5 层流体的强孤立 波模型，分析了具有不变b r u n t v a i s a l a 频率和在两层边界上有密度跃层的不可压两 层流内孤立波理论：d o r i a nf r u c t u s & j o h ng r u e ( 2 0 0 4 ) 1 4 l 】研究了各层具有不变 b r u n t v a i s a l a 频率的分层流体完全非线性孤立波；李海艳等( 2 0 0 5 ) 【4 2 】对两层模 型下内孤立波k d v 方程的频散关系进行了推导得到了内孤立波半波宽度与内波 波数间的关系；p h i l i p p eg u y e n n e ( 2 0 0 6 ) 即l 研究了密度比和深度比接近海洋条件 下，两层流体中大振幅孤立波的分裂情况。并对弱线性和强线性孤立波分裂情况进 行了比较；贾村( 2 0 0 6 ) 【】对孤立子在单层和两层流体中的分裂进行了进一步的研 究，并重点对实验室条件下的分裂过程进行实验和数值研究；魏岗等( 2 0 0 7 ) 4 s 】 对两层流体中内孤立波在台阶地形上透射、反射及其分裂的演化特征进行了研究， 获得了反射波和透射波的解析表达式；c h e nc h e n y u a n 等( 2 0 0 7 ) 4 6 , 4 7 研究了两层 流体系统中内孤立波在陡坡地形上的衰减和产生情况，并且研究了自由面两层流体 系统中内孤立波在陆架陆波区的传播和反射。b r o w nd j & c h r i s t i ed r ( 1 9 9 8 ) 【椰】研 究了剪切b o u s s i n e s q 流中的完全非线性内孤立波理论。a i g n e r a & g r i m s h a w , r ( 2 0 0 1 ) 【4 9 】对合并惯性项忽略b o u s s i n e s q 近似二维流动方程进行数值模拟。p r a s a d d & a k y l a st r ( 2 0 0 3 ) i 删对底部流动条件不定以不变b r u n t - v a i s a l a 频率做周期 性垂直小波动的大深度连续分层流进行了分析。沈国瑾( 2 0 0 4 ) l ”l 推导了任意密度 层结的连续分层流体的二维交系数k d v 方程，基于所推导的方程采用有限差分法 和打靶法等，数值计算研究了有关初始内孤立波的分裂和地形本征值问题。 下面，就水深方向分三个方面对内孤立波研究现状进行阐述： 对于浅水内孤立波，近年来已由一维向多维发展：p e g o ，r o b e r tl ( 1 9 9 9 ) l s 2 】 由浅水一维k d v 方程得到二维k p 方程。程友良( 2 0 0 3 ) 1 5 列给出两水平固壁间两 层不可压缩理想流体中二维非线性界面波的演化方程。g a o ，y i t i a n ( 1 9 9 7 ) i s 4 l 将 t a n h 方法应用于浅水2 + 1 维方程。y i l el i & p a u ld s c l a v o u n o s ( 2 0 0 2 ) s s 】得出扰动 下的三维非线性浅水孤立波模型。对浅水内孤立波高阶解的研究，自g e a r , j a & r 。 g r i m s h a w ( 1 9 8 3 ) 【5 6 l 的分层流浅水孤立波二阶理论以来，程友良( 2 0 0 1 ) s 7 i 对一 般密度分布的分层流体中内孤立波做了三阶理论研究，得到波形和波速的三阶修正 以及波长的二阶修正。 4 华北电力大学硕士学位论文 对于有限深水内孤立波：k u b o t a ( 1 9 7 7 ) 找到了在有限深水分层流中长内波发 展方程，指出孤立波的存在。j o s e p h ，r i ( 1 9 7 7 ) 给出有限深水一阶内孤立波解。周 清甫( 1 9 8 5 ) 发表了有限深水两层流中内孤立波的二阶【5 8 l 和三阶【5 9 】理论，分析了自 由表面存在条件下的三阶内孤立波发展方程，求得波速的解析表达式，并得到了三 阶解曲线。继描述有限深分层流长内波的非线性积分微分方程式中长波i l w 方 程之后，m i l o h ，t o u v i a ( 1 9 9 0 ) 6 0 j 研究了i l w 方程周期解的分析表达式，发现其解 可由线性孤立子叠加而成。y a n gt s ，a k y l a st r ( 1 9 9 5 ) 【6 1 】分析了j o s e p h 提出的有 限深分层流长波发展方程。k a t a o k a , t 等( 2 0 0 0 ) 6 2 1 推出三维有限深均匀分层流体 中有限振幅长内波二维流动完全非线性发展方程。范忠瑶( 2 0 0 5 ) 1 6 3 】分别从l o n g 方程和e u l e r 方程出发，结合p l k 方法和匹配渐进展开法，并借助计算机代数软件， 分析推导得出有限深内孤立波的一阶发展方程和一阶解，并建立了二阶修正所满足 的方程吴正人( 2 0 0 8 ) 6 4 j 推导出了非平整底部有限深分层流体中有限振幅内孤立 波一阶及二阶振幅满足的控制发展方程，并针对具体的密度分布，对该方程系数进 行了计算。 对于大深度内孤立波：r g r i m s h a w ( 1 9 8 1 ) 6 5 】得出深水孤立波二阶理论。s t a m p a p , j a c k am ( 1 9 9 5 )【6 6 j 采用实验研究了不同密度两层深水间交界面薄层中传播的 l u m p - - l i k e 孤立波。c h o iw c a m a s s ar ( 1 9 9 6 ) 【6 。7 】推出两不同密度分层流体系统自 由表面二维弱非线性水波的一般发展方程，浅水时该方程转化为二维内波 b o u s s i n e s q 方程，而在下层水深为大深度和无限深时，可转化为一维单向传播的i l w 方程和b o 方程模型程友良( 1 9 9 7 2 0 0 1 ) 6 s , 6 9 l 推导出了大深度分层流体中二阶内 孤立波演化方程并且研究了大深度分层流体中的二阶内孤立波理论。苏小兵等 ( 2 0 0 5 ) 【7 0 j 研究了具有自由面的，上部为浅层的大深度分层流体中代数孤立波，考 察了其垂向结构所对应的本征值问题，给出了二维b e n j a m i n o n e 方程的一个解析 解。d s a g a f o n t s e v ( 2 0 0 7 ) 1 7 ij 等研究了大深度两层理想流体内孤立波沿临界面 传播的情况，并且推导了临界面处具有一般特征的非线性s c h r o d i n g e r 方程。 1 3 研究目的与内容 1 3 1 分层流中有限深内孤立波高阶理论研究的出发点 对有限深内孤立波的研究，j o s e p h ( 1 9 7 7 ) 从w h i t h a m 方程出发结合有限深条 件给出了一阶内孤立波解，k u b o t a ( 1 9 7 8 ) 推出了薄密度突变层中传播的弱非线性 长波的控制方程，他们的研究奠定了有限深内孤立波一阶理论的基础。随后若干学 者( j o s e p h ( 1 9 7 8 ) 、c h e n ( 1 9 7 9 ) 、n a k a m u r a ( 1 9 8 0 ) 、a b l o w i t z ( 1 9 8 2 ) 、m i l o h ( 1 9 9 0 ) 、y a n gt s ( 1 9 9 5 ) ) 采用不同方式对一阶理论进行了探讨，这里不再一一 赘述。 5 华北电力大学硕士学位论文 为了验证一阶理论的正确性，k o o p 等人( 1 9 8 1 ) 7 2 】和s e g u r 等人( 1 9 8 2 ) 1 7 3 】 分别进行了实验研究，发现只有当波幅很小时一阶解才能给出正确结果。随着波幅 增大，精度迅速恶化。另一方面，在海洋和大气中观测到的很多孤立波有相当大的 振幅( o s b o r n e 和b u r e h ( 1 9 8 0 ) ) ，一阶理论不足以作出精确描述。因此发展二阶 理论乃至高阶理论是非常必要的。然而，迄今为止，就我们所知，有关有限深内孤 立波二阶或者高阶理论的结果还不多见而现有理论也需要进一步完善。为此，本 文准备对有限深内孤立波高阶理论作些探讨。 通过对国内外研究进展的分析，我们注意到从l o n g 方程出发，g r i m s h a w ( 1 9 8 1 、 1 9 8 3 ) 对深水和浅水内孤立波方向分别进行了研究，得出令人满意的二阶理论。更 进一步地，程友良( 2 0 0 1 ) 从该方程出发得出浅水内孤立波高阶理论：范中瑶( 2 0 0 5 ) 得出了有限深水内孤立波波的一阶和二阶振幅修正发展方程。本文将依然从l o n g 方程出发，对有限深水内孤立波的高阶理论进行更进一步的研究，在验证前人结果 的同时，力争进而得到分层流体内孤立波的高阶解。 1 3 2 混合分层流体模型简介 已有研究者使用的分层流体模型可概括为如下几种：不同密度两层强分层流体 模型( h h c h e n & y c l e e ( 1 9 7 9 ) 、c g a r yk o o p ( 1 9 8 1 ) 、周清甫( 1 9 8 5 、1 9 8 7 ) ) ； 两层强分层且层间有薄密度突变层的流体模型( j o s e p h , r i ( 1 9 7 7 ) 、m i l o h ，t o u v i a ( 1 9 9 0 ) 、y a n gt s ，a k y l a st r ( 1 9 9 5 ) ) ，包括该层接近流体上、下边界( k u b o t a ) 的类型；混合分层流体模型( 范中瑶( 2 0 0 5 ) 、吴正人( 2 0 0 8 ) ) 。 由于自然界中的流体：如海洋、大气、湖泊甚至液膜，其密度变化范围广泛、 变化形式复杂多样，为使理论研究具有更广泛的应用价值，本文仍采用更加接近实 际的分层流体模型混和分层流体模型作为研究的出发点。 ， 、 h 个 一下 一( y ) 一 0 一 图1 - 2 混合分层流体模型 6 华北电力大学硕士学位论文 考虑流体模型分为两层；刚性底部 - o ) 上厚度为h 的有限稳定层( 0 j ， h ) ， 其密度分布随y 变化，基本密度分布和基本速度分布分别为岛沙) 和u o ( y ) ；此层上 部( h y i i i ) 密度分布为常数，上边界取为固壁。并假定密度梯度在y = h 处连续， 其密度分布如图1 2 ，接近大气流体运动的情况。考虑无粘不可压流体二维运动。 波长水深关系仍满足经典关系式2 1 h l ，h h l ，仅假设非线性与色散平衡关系式 满足 名j i = o ( a l h ) ， 则按照有限深振幅波长超越关系式 锨鲥_ h = 一望， 2o f , ( 1 - 7 ) ( 1 8 ) 可见h 1 2 = d ( 1 ) 时，上式中余切项有界，满足上面平衡假设；容易证明该平衡假设 同样适用于周清甫( 1 9 8 7 ) 中对分层流体的假设。同时说明了该有限深色散与非线 性平衡假设具有相当的代表性，对前入在有限深分层流体中所用研究模型是普遍适 用的。用表示非线性量度，它是波幅与特征长度h 的比值：s 表示色散量度，它 是特征长度h 与特征波长五的比值。因此非线性与色散效应的合适平衡关系满足 = 伙g ) 1 4 研究方法 本论文主要采用理论分析( 主要是渐近分析) 和符号运算( 主要是计算机代数) 相结合的方法对有限深分层流体有限深内孤立波高阶理论进行研究。基于由l o n g 方程推导得出的控制方程，通过引进小参数，采取p l k 方法与匹配渐近展开的摄 动方法相结合，建立有限深内孤立波二阶、三阶理论，并对所得到的方程进行分析 求解，给出解的曲线图形。 由于问题的复杂性，运算过程不胜其繁，但同时注意到从l o n g 方程出发，运 算推导规律性较强，便于用计算机代数进行符号运算。因此，本文将摄动方法与计 算机代数符号运算相结合。以m a t h e m a t i c a 软件为工具，充分运用该软件在符 号运算方面的灵活性，发掘计算机代数软件在处理非线性水波问题的潜力。 7 华北电力大学硕士学位论文 第二章数学基础和数学语言 为便于本论文的阅读，在此将文中用到的数学基础知识和数学语言简介如下： 2 1 摄动方法 2 1 1 概述 一个工程问题或物理问题，在抽象成可以用基本定律讨论的简单模型后，下一 步工作就是建立与求解微分方程。所遇到的问题绝大多数是很难求得精确解的，更 何况很多情况下方程的定解问题本身就是近似的。这时求得问题的近似解具有普遍 意义。近似解有两类：一类是解析的近似解，另一类是数值近似解。摄动方法 ( p e r t u r b a t i o nm e t h o d s ) 就是求微分方程定解问题的解析近似解的一大类方法的总 称。 就流体力学发展而言，摄动方法作出了很多历史性贡献。包括p r a n d t l 机翼理 论、p r a n d t l 的边界层理论、非线性波动问题在内的许多著名理论都是通过摄动方法 建立的。而理想可压缩流体力学、粘性不可压缩流体力学中的许多具体问题更是需 要借助摄动方法才能得以解决1 7 4 1 。 随着计算机科学与技术的飞速发展，差分法、有限元法等数值方法得到了广泛 的应用，但这并没有削弱摄动方法的重要作用。采用该方法得出的近似解析解简单 而又准确，容易看出每个物理参数对解的影响，有助于弄清解的解析结构，这是数 值方法所不能比拟的。摄动方法可以分为许多种：坐标摄动与参数摄动、正则摄动 与奇异摄动、p l k 方法、匹配渐近展开方法、多重尺度法等等，下面重点介绍文中 应用到的几个摄动方法。 2 1 2 几种摄动方法简介 设有函数序列 纯( x ) ) 伽= l ，2 ，) ，如果满足两个条件： 溉死( x ) = o ， l i i l l 丛! 盟：o j 识( 工) 我们便称 纯( 工) ) 构成一个渐近序列。 对于函数f ( 功，如果可以找到一组常数 口一) 伽= l ，2 ，) ，使得 8 ( 2 - 1 a ) ( 2 - 1 b ) 华北电力大学硕士学位论文 f ( 力= 磊+ 识o ) + 凰o ) m - i ( 2 - 2 ) 这里 ( 工) ) 是渐近序列，当x 一而时粕( x ) = d 【卿o ) 】，则称e + 纯( x ) 为渐近展 开式，( x ) = d 【外+ 。o ) 】为余项。 肛1 ( 1 ) 坐标摄动 设微分方程定解问题为： 三( 嵋石) = 0 q ( 忉= 0 ( 2 - 3 a ) ( 2 - 3 b ) 其中三表示方程微分算子，q 表示边界微分算子，w 是自变量工的函数。已知当 z 斗而时问题的解为w - w 0 ，我们研究当x 在：c o 附近时，w 对的偏差。用自变量z 的函数构造渐近序列及渐近展开式，表示w 对的偏离，这样的摄动法叫做坐标摄 动法。 ( 2 ) 正则摄动和奇异摄动 如果摄动问题是含有小参数占的微分方程定解问题，用参数s 的函数构造渐近 序列及渐近展开式求近似解。这样的方法叫参数摄动法参数摄动法包含正则摄动 与奇异摄动两类问题。 如果摄动问题是含小参数s 的微分方程定解问题户( 占) ，满足 p ( 力： 丘【吣，g ) 】= g ( x ，占) ，z = ( 而，毛， 矗) q 耳【以五占) 】= 仍( 毛占) ，( = 0 ，1 ，2 ，k ) 其中0 s l ，厶表示方程的微分算子： t 羞上o + 占厶1 ( 2 - 4 a ) ( 2 - 4 b ) ( 2 - 4 c ) e 表示定义在边界( 或部分边界) 上的微分算子。若尸( 占) 的解w ( x ，s ) 能够用f 的 幂级数表示： 从x ，) 一+ ，( 工) r - - l 9 ( 2 5 ) 华北电力大学硕士学位论文 并且在区域q 中一致有效，那么便称尸( 占) 是区域q 中的正则摄动问题，否则称为奇 异摄动问题。 正则摄动问题可用正则摄动法求解。即取 ， 为渐近序列，构造小参数占的幂 级数展开式，根据微分方程及定解条件，求出每一项系数，逐步进行便可以得到问 题一致有效的渐近解，这种方法便是正则摄动法。正则摄动问题的主要特点是，采 用单一尺度变量便可以构造出在感兴趣的区域一致有效的渐近解。 奇异摄动问题则必须把单一尺度变量改变为多于一个尺度的变量，才能构造出 所需要的一致有效的渐近解。处理奇异摄动问题的方法为奇异摄动法。 ( 3 ) p l k 方法 p l k 方法是奇异摄动方法中第一个方法系。该方法的基本思想是，为了求得一 致有效的渐近展开式，除了要对函数作渐近展开外，对自变量也要作渐近展开，即 把坐标加以变形，所以这个方法也叫做。变形坐标法一。 该方法由l i n d s t e d t 、p o i n c a r e 等人创始。对形如w 。+ 占2 w - - 占g ( 毗w ) 的方程，在 用直接展开法求正则摄动解的同时，将参数万也展开成级数形式 a = a o + 蜀磊+ f 2 磊+ - ( 2 6 ) 通过调整系数磊，磊，磊的数值消除了长期项，从而得到了在形式上一致有效的解。 后经p o i n c a r e 严格的数学方法证明，称该方法为l p 方法。 由于l - - p 方法在使用时的局限性，l i g h t h i l l 对该方法作了推广，郭永怀将其 应用到大雷诺数( r e y n o l d s 数) 粘性流体流动的研究中去，并与p r a n d t l 的边界层 方法相结合，这就是p ( p o i n c a r e ) 一l ( l i g h t h i l l ) 一k ( k u o ，y h 即郭永怀) 方 法。 ( 4 ) 匹配渐近展开方法 现代匹配渐近展开方法是在p r a n d t l 边界层理论的基础上发展起来的。边界层 理论的基本思想是，除去在物体表面极薄的一层外，可以认为流体处处是理想的。 这样把粘性流体绕流问题分成两个区域来考虑，一个区域是粘性可以略去的外部区 域，另一个是要考虑粘性的边界层区域。在外部区域可用直接展开法求出流场。在 很薄的边界层区域中，通过坐标变换，找出能够描述流体切向速度变化的展开式。 由此而产生的两个解，一个是通过直接展开求得的外部解：另一个是内部解，通过 引入一个伸展变量，把坐标的尺度放大，在两个解交界处的公共区域上使外解和内 解吻合这种把两个解在共同有效的区域连接起来的方法即是匹配法 匹配渐近展开方法要求把整个区域划分成外部区域和内部区域，在不同区域里 1 0 华北电力大学硕士学位论文 使用不同尺度的变量。外部解是用正则摄动法求得的解，作为基本解的绝大部分区 域是有效的。内部区域是问题奇异性的区域，这里函数变化剧烈。注意到，采用匹 配渐近展开方法进行模型分析时一个不可缺少的前提就是，外部解和内部解需要有 公共的有效区域【7 5 】。 我们这里采用匹配渐近展开的方法，将混合分层流体上层密度均匀的流体层视 为外部区域，下层密度随流体深度变化的区域视为内部区域，将上下两层流体在两 层交界区域内匹配，进而得到我们所求的方程。 2 1 3 应用摄动方法注意事项 运用摄动方法解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，进而根据问题性质 选择对应的摄动方法。模型建立过程中需要包含保留某些元素，忽略某些元素，并 对其它元素作近似，即无量纲化1 7 刚。经过无量纲化的方程表示为决定系统性状的重 要参数的函数。下文从无量纲l o n g 方程出发，推导得出的控制方程和解的过程即 满足这一要求。 在顺利的情况下，摄动解可以达到完全令人满意的结果。但往往不能认为级数 总是收敛的，对于参数摄动来说尤其如此。然而，解的渐近性质表明，只要小参数 适当小，计算几项便可达到要求的精度。同收敛级数相比较，利用渐近级数可以减 少工作量，即在要求达到同样精度下，渐近级数需要的项数明显会低于收敛级数需 要的项数。 一 从物理和力学的观点来看，采用匹配渐近展开的摄动方法时，一些问题中外部 区域、内部区域是十分明显的。但对有些问题来说，二者却不是很明显。这时我们 可以通过试算和假设的方式尝试解决。同时，在采用该方法进行高阶近似运算时， 其过程是十分繁琐的，而且经常会遇到一些意想不到的困难和问题，这是我们在采 用该方法时应当注意的问题。 摄动方法繁琐，这是其不足之处，运用有关公式推演的计算机软件可以在很大 程度上解决该问题。实践证明，采用计算机代数m a t h e m a t i c a 与摄动方法相结 合，对于处理有限深分层流体有限深高阶内孤立波问题很有益处。 2 2 数学物理方程基础 2 2 1 分离变量法 物理学、力学和工程技术等方面的