（基础数学专业论文）带位势项的半线性schrodinger方程的整体解.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本论文考虑下述带位势的半线性s c h r 6 d i n g e r 方程的柯西问题 f n ji u t + e j o 字u + v ( z ) u + k ( t ，z ) l u l n = 0 。 l j = l 乱i 扛。：妒 其中3 ，q 0 ，勺 - 1 ，1 ) ，1 j n ，i = = i y ( z ) ，k ( t ，z ) 是已知的实 值函数，t r ，z r 妒h 8 ( r ) ，8 o ，1 h 8 ( 冗) 是通常意义下的s o b o l e v 空 间未知函数u ( t ，x ) 是关于t ，x 的复值函数下面在不会引起混淆的情况下，我们 将u ( t ，x ) 简记为u ( t ) 为了简便，我们令 勺b ：1 ，n 中，前+ 个t k + i ，剩下一个取1 其中+ + - = n 本论文分为四章在第一章绪论中，我们大概地叙述了s c h r 6 d i n g e r 方程的物理 背景和一些相关的问题，并简单回顾了椭 s c h r 6 d i n g e r 方程整体解的主要结果以及 本论文所涉及的一些概念和符号同时叙述了本论文的主要结论 第二章是本论文的主要部分，我们利用类似椭 s c h r 6 d i n g e r 方程的做法，首先 我们对前+ 和后个方向分别得到v i r a l 等式，然后利用径向乘子在高维的衰减性 分别推导出相应的弱色散性估计最后通过对位势项v 的条件加强，由弱色散性估 计得到了我们想要g j s t r i c h a r t z 估计由于算子i v l 8 和勺田+ y ) 不可交换，所以 我们不能直接将我们得到s t r i c h a r t z 估计推广至其它1 绚s o b o l e v间上。为此，在第 二章的最后一部分，我们着重来解决椭圆情形下这一问题。解决的方法是通过对位 势v 的条件的进一步加强，使得v 是算子的一个扰动，从而推导出上述两算子的可 交换性。 在第三章中，我们利) 罚s t r i c h a r t z 估计和压缩映射原理，分别对椭圆方程关 于日8 ( 兄) 和l 2 ( r ) 初值的局部适定性做了讨论 在第四章中，由于k 化x ) 含有时间项，我们仅利用方程解的质量守恒律，而没有 用到h 枷l t o n 守恒律，证明了椭圆情形方程解的整体适定性 关键词：非椭圆半线性s c h r i i d i n g e r 方程s t r i c h a r t z 估计整体解 摘要 _ - 一 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ef o l l o w i n gn o n e l l i p t i c s e m i l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n 2 撕+ j = l 勺劈让+ y p ) “+ k ( 舌，z ) l 铭r 让= o u l t ：0 = 妒 w h e r e n 3 ，q 0 ，勺 一1 ，1 ) ，1 歹n ，i = 、，= i y ( z ) ，k ( t ，x ) i s ag i v e n r e a l v a l u e df u n c t i o n t r ，z r _ p 日8 ( r ) ，8 o ，1 h 8 ( 兄) i st h eu s u a ls o b o l e v s p a c e t h eu n k n o w nu ( t ，x ) i sac o m p l e x v a l u e d f u n c t i o no fr e a lv a r i a b l e sta n dx w eo f t e n d e n o t ei tb yu ( t ) f o rc o n v e n i e n c e t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n o nt h e o n eh a n d ，t h ep h y s i c a lb a c k g r o u n do fs c h r o d i n g e re q u a t i o ni sb r i e f l yd e s c r i b e d o nt h e o t h e rh a n d ，t h em a i nr e s u l to ft h et h e s i si sp r e s e n t e d t h es e c o n dc h a p t e ri st h eb o d yo fm yt h e s i s f i r s t l y ，w es h o waf a m i l yo fv i r i a l - t y p ei d e n t i f i e sf o rt h ee q u a t i o n a sac o n s e q u e n c e ，s o m e w e a kd i s p e r s i v ei n e q u a l i t i e sa r e p r o v e d f i n a l l y ，w ea p p l y t h e mt op r o v es t r i c h a r t zi n e q u a l i t i e s h lt h et h i r dc h a p t e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u el o c a l i n 。t i m es o l u t i o n so f t h ee l l i p t i c a le q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ei n i t i a ld a t a 日8 ( r ) o rl 2 ( r ) b ys t r i c h a r t z i n e q u a l i t i e sa n d t h eb a n a c h sf i x e dp o i n tt h e o r e m mt h el a s tc h a p t e r ，w ep r o v et h em a i nr e s u l to ft h ep r e s e n tt h e s i s ，i e e x i s t e n c eo f g l o b a ls o l u t i o n so f t h ee l l i p t i c a le q u a t i o nb ym a s s - c o n s e r v a t i o nl a wo fu ( t ) k e y w o r d s ：n o n e l l i p t i cs c h r i i d i n g e re q u a t i o n ，s t r i c h a r t ze s t i m a t e ，g l o b a l s o l u t i o n m 致谢 致谢 首先我要感谢我的导师方道元教授，感谢他在我硕士期间对我的悉心指导方老 师以博士生的培养模式来培养我，培养我独立从事科研的能力方老师对学术执着 的精神和认真的态度，对数学事业的满腔热情，以及他娴熟的数学功底和敏锐的洞察 力，都是我应当好好学习的优秀品质这对我以后的人生是至关重要的 其次，我还要感谢我的父母和我的女朋友楠楠，感谢他们一直以来给予我的鼓励 和支持 最后我要感谢所有指导过我的老师们，从他们那里，我学到了很多知识和敬业的 精神我还要感谢我的师兄，师姐们感谢他们两年来对我的照顾 绪论 1 绪论 在第一节中，先介绍s c h r 6 d i n g e r 方程的一些物理背景和问题的提出在第二节 中，提及了本文要讨论的问题，所用到的符号和概念，已有结果以及得到的主要结 论 1 1 问题的提出 众所周知，在自然界中，大量的宏观现象都可用经典的牛顿力学和电动力学来 描述和解释，但是仍然有大量的自然现象，例如，黑体辐射，电子成像效应，固体 凝聚的能量等，并不能由经典的物理学来解释我们必须用量子理论的方法来处理 而s c h r s d i n g e r 方程是量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，s c h r c ，d i n g e r 方程 在量子力学里占有中心的地位。 s c h r 6 d i n g e r 方程主要分为含时s c h r 6 d i n g e r 方程与不含时s c h r 6 d i n g e r 方程。含 时s c h r i c s d i n g e r 方程相依于时间t ，专门用来计算一个量子系统的波函数是如何随着 时间演变的。不合时s c h r 6 d i n g e r 方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统， 对应于某本征能量的本征波函数。而波函数又可以用来计算在量子系统里某个事件 发生的概率。波函数绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。例如在电子衍射的 实验中，电子具有干涉现象，也就说明电子具有波的性质不妨用矽( t ，z ) 记这个波 则实验现象说明了下述结论：波函数i 妒( 亡，x ) 1 2 给出了在t 时刻，电子出现在点x 处的概 率密度确切地说，对于任意的b o r e l 集合ecr ，积分厶i 妒( t ，x ) 1 2 如表示在时刻t ， 电子进入区域e 的概率特别地，波函数是归一的，即厶i 砂( 亡，z ) 1 2 d x = 1 含时s c h r 6 d i n g e r 方程建立于下述几个假设： ( i ) 一个粒子的总能量e 可以经典地表达为动能t 与势能v 的和： e = t + v = 磊+ k 其中p 是动量，m 是质量 ( i i ) 爱因斯坦在提出光电效应时，指出了光子的能量e 与对应电磁波眨间的关 浙江大学硕士学位论文 e = h f = 鼬 其中h 是普朗克常数，危是约化普朗克常数，角频率u = 2 7 r ， ( i i i ) 德布罗意假说指出所有的粒子都具有波的性质，都可以用一个波函数皿来描 述粒子的动量p 和波函数的波长入有关： = 妻= 芴ht 2 z r = h k p h k , 2 叉。芴t 2 其中后= 等是波数 下面我们将导出s c h r 6 d i n g e r 方程： 考虑一个粒子运动于一个保守的位势v ( r ) 中我们可以写出它的哈密尔顿雅可 比方程 去( v 卵+ y + 筹， 其q s ( , - ，o ；亡) 是哈密尔顿主函数 由于位势不依赖于时间，哈密尔顿主函数可以被分离成两部分： s = w ( r ，o ) 一眈， 其中不依赖于时间的函数w ( r ，o ) 是哈密尔顿特征函数，e 是能量 将哈密尔顿主函数公式代入粒子的哈密尔顿一雅可比方程，稍加运算，就可以得 到 l v s i = 2 m ( e y ) 哈密尔顿主函数随时间的全导数是 篆= 箬 4 l - v s i 象 一= 一v 疵况班。 如果考虑哈密尔顿主函数s 的一个常数的有正负面的等值曲面盯，这常数的等值曲 面盯在空间移动的方程为 。= 警+ v s 褰= 一e + v s 塞 等值曲面盯朝着法线方向的移动速度u 满足 d e e u 2 d t 。丽2 x 2 m ( e - v ) 2 这里u 是相速度而粒子的移动速度v 满足 钐= i x 7 - s i = 2 ( e - v ) m m 由于假设，粒子具有波粒二象性，我们给予粒子一个相位与s 成比例的波函数 皿( n ) = a ( r ) e s 一， 其中仡是常数a ( r ) 是相依于位置的系数函数将哈密尔顿主函数的公式带入上式， 则波函数皿成为 皿( n ) = a ( r ) e 2 ( 一风) 肛 利用光电效应理论e = h f = 鼬，令k = 危，则 皿( n ) = a ( r ) e ( 彤一e t ) l 意= 妒( r ) e - i e t 意， 其中妒( r ) = a ( r ) e w 危 又因为皿满足波动方程 v 2 皿一去窑o t o ，让 并且e 皿= t 危警，经过简单计算，我们可得到 一关v 。m + y m 娟豢 这样我们就导出了s c h r s d i n g e r 方程 如果皿满足方程 善n 勺霹里一去1 等o w o ， 勺霹里一万丽= o ， 这里勺 - 1 ，1 ) ，1 j n 注意到e 皿= i 危署，经过简单计算，我们可得到 一罴粪勺芎+ y 皿：t 危筹 这样我们就导出了非椭 s c h r s d i n g e r 方程 浙江大学硕士学位论文 1 2 预备知识和主要定理 本文考虑带位势的半线性s c h r 6 d i n g e r 方程的柯西问题 fn j u t + 歹霹乱+ y ( z ) 牡+ k ( t ，z ) i u i a = o (11)j 、 = l 、“1 7 lu i t = o = 妒 这里3 ，q 0 ，勺 一1 ，1 ) ，1 歹n ，i = 、= 工y ( z ) ，k ( t ，z ) 是已知的实值函 数，t r ，z r n q 0 h 8 ( 冗) ，8 【0 ，1 一斋) h 8 ( r ) 是通常意义下的s o b o l e v 空 问未知函数u ( t ，x ) 是关于t ，x 的复值函数下面在不会引起混淆的情况下，我们 将u ( t ，x ) ，k ( t ，x ) 简记为u ( t ) ，k ( t ) 或u ，k 如果存在1 歹，k n ，使得勺吼，则方程( 1 1 ) 称为非椭圆半线性s c h r 6 d i n g e r 方 程否则称之为椭圆半线性s c h r 6 d i n g e r 方程记+ 为 e j j ：1 ，n 中取值+ 1 的个数 同样，记_ 为 勺b ：i ，n 中取值- i 的个数则+ + - = n 为了简单起见，通过 坐标变换，我们可令 勺) j ：1 ，n 中，前+ 个取+ 1 ，剩下- 个取一1 对更一般的方程 其中七为常数，并且满足a i k = 口幻，1 j ，岛n 如果矩阵a = ( 口j k ) n n 是非退化 的，则易知通过一个变量代换，即可将此方程转化为我们要讨论的形式( 1 1 ) 首先定义一个单参数酉群 s ( t ) ：妒hs 妒 ， 耻面1 川f 兄e i x f 州一雪n 。靴必， 其中“表示f o u r i e r 变换，即 9 ( ) = e 一武妒( z ) 如 如果记w 为算子s ( 亡) 的核，即 s ( 亡) 妒= w 木妒， 其中：表示关于空间变量的卷积。 4 0 l i u q uz k + u z 矿 + 巩 岛 归 +珏 绪论 则通过简单计算，我们可知 所以我们有 咻( 去) 聊e x p 畦勺豸) 肛( 去) 舭e x p 几否妻j = l 如卅岫 因此利用y o u n g 不等式，我们可得 懈冽b 掣，( 去) 舭i l l 邯吩 又显然有 忪( t ) 咖( 置n ) = i i 妒ii l 。( r ) 所以利用插值理论，我们可得到 懈驯蛔( 去) 铋卜争怯。r ) ( 1 2 ) 其中2 p p ，是p 的共轭数。 注意到，s ( 舌) 是非椭圆s c h r 6 d i n g e r 算子6 。，2 生成的半群，所以上式是非椭 s c h r 6 d i n g e r 算子的驴一扩估计。我们在第二章刻划方程( 1 1 ) 的s t r i c h a n z 估计时 将会用到这个估计。 由椭圆算子的s t r i c h a n z 估计我们知道，对于非端点情形，利用上述对偶刀+ 方 法加上色散性估计，m i n k o w s k i 不等式和关于分数次积分i 绚h a r d y l i t t l e w o o d s o b l o e v ；不等式即可得到s t r i c h a n z 估计。 下面我们将其详细地表述出来： 定义：如果q ，r 满足 詈= v ( 三一嘉) 且 2s7 篙( 若= 1 ，2 r ；若= 2 ，2 r o o ) ， 则称( q ，r ) 为相容对。 5 浙江大学硕士学位论文 设厅为任一时间区问。b a n a c h 空i 间l q ( ：t ，口( r ) ) 定义范数为 il u ll l q ( t , l r ( i r l n ) ) - - ( 肌b 掣，) 纠口， 其中i l u l l l ，( 冗) 是通常的( ) 空间的范数。 在方程( 1 1 ) 中，我们令v = 0 ，k ( t ，z ) l u l a u = f ( t ，z ) 则方程( 1 1 ) 变成 卜+ 妻睁+ f 垆。 ( 1 3 ) lu i 扛o = 妒 对于方程( 1 3 ) ，我们有如下s t r i c h a r t z 估计： 引理1 1 设( q ，r ) ，( 磊庐) 是任意的相容对。则有下述估计成立： 齐次s t r i c h a r t z 估计 i i s ( t ) 咖i i l , a ( r ，l ：) c i i i i l 2 ； ( 1 4 ) 齐次对偶s t r i c h a r t z 估计 i i d s ( 一s ) f ( s ) d s l l l ：c l i f l l l 融酬 ( 1 5 ) ，兄 、 非齐次s t r i c h a r t z 估计 l i s ( t a ) f ( s ) d s i i l ；( , ，l r ) c l i f l l l l ) ( 1 6 ) j s t 其中i 是任意时间区间 、 证明：这里我们给出非端点情形的证明，至于端点情形可详见k e e l & t a o 1 3 我们假设g ，口，0 ，利用上述对偶刀木方法，色散性估计，m i n k o w s k i 不等式和关 于分数次积分的h a r d y l i t t l e w o o d s o b l o e v 不等式，我们可以得到 i i 厶s ( t s ) f ( s ) d s l i l , i l ；l i 厶i i s ( t a ) f ( s ) i i l ：d s l l l l c i i i i f i i l = 木而渤i k c l l f l l l 旭， 其中2 r ，2 3 时，我们要求 当_ 3 时，我们要求 薹掣s u 。p l 卅一 ki k 2 l ； 眨2 l ； ( + 一1 ) ( + 一3 ) 3 r 王 l e vi _ 坠掣 算子h = 一+ + 一一y 在l 2 空间上是自伴随的， 在椭圆的情形：+ = n 我们还需要对v 进一步假设： 算子日= 一一y 在l 2 空间上是自伴随的，并且是正定的， i i w + l l k 高南 关于k 的假设如下： 存在只以t 为变量的实值函数 8 k ( t ) l ( r ) ， ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 绪论 其中 我们关于空间变量z 一致地有 - - ( + 吾 3 ，妒亩1 2 ( 兄) ( g ，r ) 是任意相容对v 满足我们的 假设( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) ，则方程( 1 1 ) 满足如下s t f i c h a r t z 估计： 齐次宫 一s t d c h a r t z 估- 计 0 1 1 7 2 n ( t ) ：l l l ；( r e ) c l i i d l l 2 训瑶 ( 1 1 8 ) 定理1 2 设+ 3 ，- = o ，对于o s 1 一斋，妒宙8 ( r ) ，( g ，r ) 是任意相容 对v 满足我们的假设( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) ，( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) ，则方程( 1 1 ) 满足如t s t r i c h a r t z 估计： 齐次膏s s t r i c h a r t z 估计 d 1 8 冗 ) 妒ii 群( r ，l ；) c ii d l 8 垆li l 2 ， ( 1 1 9 ) 非齐次宫s s t r i c h a r t z 估计 d 1 8 n ( t 一8 ) f ( a ) d a l l q ( i ，圮) c i i i d l 8 f i i l 箩( ，l ) (120)j 8 3 ，= o ，0 o t 3 然而，对于非椭圆情形，由于算子l d l l 2 和7 - t ( t ) 之 间的不可交换性，而且算子+ 一一+ y 不是一个正定算子，所以我们不能 直接地将1 2s t r i c h a r t z 估计推广至l 2s t r i c h a r t z 估计但是，对于椭圆情形，我 们对位势v 的假定( 1 7 ) ，等价于v 是正伴随算子的扰动，这样我们就能解决算 子l o l l 2 和“( 亡) 之间的交换性问题，从而可以得到经典的s t d c h a r t z 估计这样我们就可 以利用k a t o 方法，利用s t r i c h a r t z 估计和压缩映射原理，得到了相应的局部解在 证明整体适定性的时候，我们利用的是方程的日8 正则性，这将在本文的第四章给出 1 0 s t r i c h a n z 估计 2s t r i c h a r t z 估计 在这一章中，我们将采用l f a n e l l i 和l v e g a 的方法利用位势项v 的特殊取法， 首先得到方程( 1 1 ) 对应齐次方程的d a l 等式，继而可以估计出相应的弱色散性估 计，最后利用弱色散性估计来得到我们想要i g s t r i c h a r t z 估计这里我们主要考虑方 程( 1 1 ) 对应的齐次方程 主毗+ 差：羞：三三z ) u = 。 c 2 ， 至于方程( 1 1 ) i 均s t r i c h a r t z 估计，只需利用齐次方程s t r i c h a r t z 估计和c - k 引理即 对于椭圆情形，并且v 三0 有相应m o r a w e t z 估计 厂上瞥c l l l l ；, m ， ( 2 2 ) 其中屏为角导数，n 3 关于m o r a w e t z 估计最早d 旨m o r a w e t z 对k l e i n g o r d o n 方程得 到，后来被推广至s c h r 6 d i n g e r ) - 程除此之外，还有一些光滑性估计 s u p 1 f o + 丘i r l v e 缸，1 2 c i i f i l 备。，： ( 2 3 ) 我们希望通过第一章中对v 的假定，来得到齐次方程( 2 1 ) 的类似( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的估 计 我们在第一节中我们利用方程本身得到非椭圆情形的v i r i a l 等式；第二节中，我 们通过选取适当的径向乘子，利用乘子的衰减性，我们得到非椭圆情形的弱色散性 估计；第三节中，我们利用弱色散性估计得到相应的亩1 2 _ s t r i c h a r t z 估计对于椭圆 情形，我们利用位势v 的假定( 1 7 ) ，推导出v 是正伴随算子的扰动，这样我们就能解决 算子i d l l 2 和冗( 亡) 之间的交换性问题，从而可以得到经典i 均s t r i c h a r t z 估计 2 1 v i r i a l 等式 我们对前+ 个坐标和后- 个坐标分别得到相应的v i r i a l 等式： 浙江大学硕士学位论文 定理2 1 令九：r + _ r 为径向，实值乘子，+ = 九p + ) 令 e = 上州砰如 则对于具有足够光滑初值的方程( 2 1 ) 的解u ，有 o y o ( t ) = 4 r nv + “d 轨舛仳如一r n 3j 其中 d 至丸= 为相应h e s s i a n 阵 证明：方程( 2 1 ) 可以写成 其中 则容易计算出 a a z 知 ( 2 4 ) l 钆1 2 辜舛如+ 2 上舛( u ) r + i u l 2 如，( 2 5 ) 儿，j ，k = 1 ，+ u t = i h u h = 一一+ 矿 o t o ( t ) = i ， o ? o ( t ) = 一 ， 其中 , 1 3 0 交换子， 3 0 标准的三2 哈密尔顿内积 简单起见，我们记t = h ，丸】，则由l e i b n i t z 公式，可有 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) t f = h e + ，一妒+ ( h f ) = ( a + 一一十y ) ( + ，) 一+ ( ( + 一一+ v ) y ) = ( + 一一) ( 砂+ ，) 一+ ( ( + 一一) ，) = ( + 舛) ，+ 2 v + 丸v + ，+ ( + ，) 多+ 一( 一，) + 一咖+ ( + ，) + 西+ ( 一，) = ( a + 丸) ，+ 2 v + 舛v + ， 所以t 可以精确地写为 下面我们要来计算【h ，t 】 t = + 砂+ + 2 v + + v + ( 2 1 0 ) 日，卅= 【+ ，卅一【一，刀+ 卅= i + i i + i i i ( 2 11 ) s u s c h a r t z 估计 对于第部分 对于第部分 对于第1 部分 i= 则 盯j 三- 2 令：灸螺v + 璺二裂( 苏y r 乳1 ( 2 1 2 ) = v + + v += 一2 i ( 耳) ，； p “叫 i i = - a 一，+ 痧+ + 2 v + + v + 】= o ； ( 2 1 3 ) 【+ ，+ 咖+ 】+ + ，2 v + + v + 】 2 + ( 侥妒+ 魏，) 一2 v + 妒+ v + ( 劈，) + + ( ( + 矽+ ) ，) 一( + 咖+ ) ( + ，) i = i j = 1 n +n + ( 岛j 珧九+ 2 0 j j k + o k ) + 2 ( 2 0 j j k + 巩+ 2 0 j k 砂+ 岛南) j ，k = l j , k - - - i ( 2 1 4 ) 一 = 一 一 一 = 一fu ( 0 # j k k 矽+ u + 2 0 j j k 咖+ o k f i ) d x 一2 fu ( 2 0 j j k + 巩面 + 2 岛七+ 岛_ j c 面) d x + 2f 舛( 耳) r + l u l 2d x ：一釜j f 阻( 勘触丸面) 一4 0 j 知几砜 d x - 1 - 2f 矽：( v + ) ，+ 阡出 ( 2 1 5 ) =4 i 让1 2d x + 4 釜fo j a i 七丸o k 面d x + 2 r 虬( h ) r + i u l 2 如 j ，k = l v + u d x 一厶i 乱1 2 2 + 丸d x + 2 厶饵( 耳) ，+ i u l 2 d x 类似地，我们有 定理2 1 令咖一：r _ r 为径向，实值乘子，一= 一( 7 一) 令 e = 上州让 则对于具有足够光滑初值的方程( 2 1 ) 的解u ，有 ( 2 1 6 ) 群e ( 亡) = 一4 上nv _ u d 三一旷u 如+ 上川2 三一如+ 2 上n 以( 亿) 一砰如， ( 2 1 7 ) 其中 为相应的h e s s i a n 阵 d i e 一=8 0 8 世咖+ ，j ，k = a t + + 1 ， 浙江大学硕士学位论文 2 2 弱色散性估计 我们通过选取2 1 中的v i n 甜等式中适当的乘子咖，来得到弱色散性估计我们 要分3 维和高维两种情形： 定理2 2 ( 三维情形的弱色散性估计) + = 3 ，k 2 1 ，则对于以妒h 2 为 初值的解u 满足 跏菟1r 厶 r isup j o i v + u l l 2 跏菟z 0 o ( z ) = 妒：( s ) d s ， 其中 纵= 0 ，通过s c a l i n g ，定义 丸( ) = 鼢( 簧) 浙江大学硕士学位论文 则有 利用公式 纵= l r 瓷，z 妻尝 取小 奏，z 未 v + u 。轨舛让= 砖i v u 1 2 + 磬i v 。u 1 2 其中角梯度v t 让满足 ( 忽2 ) 式左边= v 0 钆1 2 +i v 2 u 1 2 =i v + u 1 2 v 乱= ( v 抄丢) 丢， ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) v u v t u 三0 2 止nv + u d 2 + 咖+ v + u d x j 1fl 钆1 2 车舛d x + 厶n 舛k + i u l 2d x 2 f o 丽上一r n + u 1 2 + 2 m f v k 钆1 2 7 + 1 - ( m + 1 ) 1 1 1 i l l 。 s r u p 。 取m 足够小，则可使上式各项的系数都为正数 1 6 对上式两边关于t 积分，再利用( 2 2 9 ) k 即可证明结论 去厶砰砸洲班 ( 2 3 6 ) s t r i c h a n z 估计 定理2 3 ( 高维情形的弱色散性估计)+ 3 ，i k l 垡二炉，则对于 以妒h 2 为初值的解u 满足 裟：1 o 佃厶s 置 进一步地，若i k i 1 l r 上 1 印 2 砖q 扩 c 0 j lj r + r 这样，定理得证 对于r 一，我们有类似的结果 x 1 ，0 0 ) ( 簧) i v u l 2d x c 跄( 亡) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 定理2 2 7 ( 三维情形的弱色散性估计) - = 3 ，嗡2 3 ，i 眨i 型罢笋翌，则对于 以妒h 2 为初值的解u 满足 裟：1 o 佃厶 r 进一步地，若i 啦i 型主炉，则 s u p 1 f o ml i v u 1 2d x d t c l l y i i v - u l a tj r 2 3 齐次方程的s t r i c h a r t z 估计 v 二u 1 2 r 一 ： ( 2 4 5 ) 如班+ f 班c i l f l l 刍, j 。 ( 2 4 6 ) 这一节，我们利用前面得到的弱色散性估计来得到齐次方程s t r i c h a r t z 估计 我们从一个基本的引理开始： 引理2 4 令( p , q ) 为一相容对，则有下述估计成立： 。1 1 2 t s ( 亡一s ) f ( s ，) l l l l ：c2 j 7 2 惰怯；， ( 2 4 7 ) j z i 匆： s t r i c h a r t z 估计 共中 弓( 亡，z ) = f ，z ) x l 霉i 【彩，彩+ 1 ( 2 4 8 ) 证明首先我们断言关于自由方程的s t r i c h a r t z 估计和光滑性估计： i i s ( t ) f l l l , , z c l l y l i 毽； ( 2 4 9 ) s u p r f o 。t i v s ( 亡) f 1 2 _ c ii f l1 m ( 2 5 。) 自由方程的s t r i c h a n z 估计( 2 4 9 ) 由引理1 1 可得。 下面我们先来证明光滑性估计( 2 5 0 ) 在定理2 2 ，定理2 3 ，定理2 2 7 ，定理2 3 7 中令v = 0 玎础v 删胚c 上冗z 0 。厶雁删2 蹦i - l r v r 2 - r 2 - fi i rj v 脚。如+ 如一， r l 十。i 一。十 其中z + = ( x l ，x 2 ，z + ) ，z 一= ( x n + + 1 ，z ) 利用变量代换z 一= r x 一，则上式可化成 c l i v r 2 百- r 一2 r 2 v i 黝鼢- ) 1 2 如+ r n - 如一 c l 。雁 v 懒叫陋+ r n - 如一 _ c “s u p ，、1 一l v 黝2 如 c i i f l l 备。协 同样，我们也有 去z 以i r i v s ( t ) i c i i s i l ；, m 结合上述两个不等式，即可得到( 2 4 7 ) 对于非端点情形，即p 2 利用( 2 4 6 ) i i i d l 5 i i f o s ( t - s ) f ( s , ) d s l l , 暑, 2 鳓i i s ( t ) i 肾d 1 5 f o c d s ( 絮f 繇d s 黪q 2 5 1 ) i 专f s ( 一s 1f s 1 忆2 。7 浙江大学硕士学位论文 ( 2 5 0 ) 的对偶是 所以我们得到 卵洲附) d s ：c 薹硎弛跨 ( 2 5 2 ) ，o o d 1 1 2 s ( t s ) f ( s ，i i l p 。l 。q c e 2 j 胆蚓坛 ( 2 5 3 ) - ，0 j z 只需利用c h r i s t k i s e l e vj 理，即可完成证明。 对于端点情形，即p = 2 时。它只是 1 8 】中引理3 的一个推论。这样引理证毕 利) 羽d u h a m e l 公式，齐次