（基础数学专业论文）平面二次多项式系统极限环的存在性.pdf

摘要 平面二次多项式系统极限环的 存在性 专业：基础数学 导师：赵育林教授 硕士生：李芳 摘要 本文主要研究如下的二次系统： 首先，通过相似变换和参数代换把上述方程化为l i e n a r d 型方程；然后，应 用l i e n a r d 型方程的有关结论给出关于极限环存在的充分条件。 关键词：极限环，l i e 7 n a r d 型方程，二次系统 嘶 咿 嘲 唧 “ 札 少 件 吵 一 节 出矿一 a b s t r a c t e x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e sf o rp l a n a r 1 j c iu a i c i r a t i cs y s t e m s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry u l i nz h a o n a m e ：f a n gl i a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h ef o l l o w i n gq u a d r a t i cs y s t e m s ： f i r s t l y , b yu s i n gp a r a m e t e rs u b s t i t u t i o na n ds i m i l a r i t yt r a n s f o r m a - t i o n ，w er e d u c et h ea b o v ee q u a t i o n st ol i e n a r ds y s t e m s a f t e r w a r d sw e p r o v i d e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e sf o rt h e q u a d r a t i cs y s t e m sb ya p p l y i n gr e l a t e dr e s u l t sa b o u tl i e n a r ds y s t e m s k e yw o r d s ：l i m i tc y c l e s ，l i e n a r de q u a t i o n s ，q u a d r a t i cs y s t e m s i i i 缈 岫 圳 咖 州 2 + “ h 氏 叫 叶 一 百 争一 砂瓦 -，-。i。1 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：2 0 0 9 年5 月1 6 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名： 导师签名： 日期：2 0 0 9 年5 月1 6 日 第一章引言 第一章引言 本章简要介绍希尔伯特十六问题的背景知识，给出了常微分方程定性理论的 基本概念和基本定理，在此基础上，概述了二次系统极限环的研究进展。 1 1 希尔伯特( h i l b e r t ) 十六问题 著名数学家d h i l b e r t 9 于1 9 0 0 年在第二届国际数学家大会上提出了二十 三个数学难题，其中第十六个问题的后半部分是：给定微分方程 立：墨! 三：塑 ( 1 1 1 ) 出 q ( 墨y ) 其中足，q 是关于x ，y 的次数不高于嚣的实系数多项式，工，y 是实变量。该方程有几 个极限环，它们的相对位置如何；对一切这样的n 次系统，能否估算出极限环个 数的上界( 自然依赖于甩) 。 上个世纪末，s s m a l e 在他的两篇论文【2 4 ，2 5 】中重新提出这一问题：对于一 个疗次多项式平面系统( 1 1 1 ) ，是否存在极限环个数的上界k = 日( 玎) ? s m a l e 猜测k 炉( q 为一个常数) 。他指出，这一问题可能是h i l b e r t 所提的2 3 个问 题中除了黎曼猜想以外最困难的一个问题。它是2 0 世纪平面微分方程定性理论 中最重要的问题之一，显然，这一问题的重要性不言而喻。 1 9 2 3 年，法国数学家h d u l a c 【7 】证明了对单个聆次多项式平面系统而言，它 的极限环个数是有限的。1 9 8 5 年，r b a m o n 1 i 正明了刀= 2 时的单个多项式系统 的极限环个数的有限性。9 0 年代初，d u l a e 的证明被发现有误，y u i l y a s e n k o 和 j e c a l l e 分别独立地在两篇论文中【8 , 1 1 】给出了新的证明，弥补了d u l a e 证明的的 漏洞。这是迄今为止h u b e r t 十六问题第二部分的研究中取得的最好的成果【3 0 】。 对于全体行次多项式系统而言，其极限环个数的一致上界如何估计，即使对行= 2 中山大学硕士学位论文 这种最简单的情形，仍是一个未知的问题。最近，c h r i s t o p h e r 和l l o y d 4 给出 日( 刀) 门21 0 9 玎这一结论。更多有关极限环有限性的结果可参看【2 2 ，2 3 。 1 9 5 2 年，h h b a u t i n 【2 】证明了在二次系统的细焦点或中心的周围至多能分 支出三个极限环。1 9 5 5 年，i qp e t r o v s k i i 和e m l 趾d i s 【2 1 】试图证明h ( 2 ) = 3 。 秦元勋、蒲富全 4 l 】对二次系统提供了在奇点附近构造出具有三个极限环的具 体例子的办法。1 9 7 9 年，史松龄【4 2 】和陈兰荪，王明淑 4 0 】举出了平面二次系统 至少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环个数的上界是3 的传统 猜测，对刀= 2 时的h i l b e r t 第十六问题是一个大的推进。1 9 8 7 年，李继彬、黄 其明【1 4 】曾举例证明h ( 3 ) 1 1 ，文献【3 6 】中给出了1 1 个极限环的不同分布。文献 3 2 ，3 3 】给出了h ( 3 ) 1 2 的结果。目前为止，h ( 3 ) 1 3 是最好的结果 1 3 】。更多 的结果如h ( 4 ) 1 5 ，日( 5 ) 2 3 ，h ( 6 ) - 3 5 ，可参看文献【2 6 ，2 8 ，2 9 ，3 5 】。 称戈= y f ) ，夕= 一g ( x ) 为l i e n a r d 方程，其中f ( x ) = f m ) 出。许多数学 家研究了l i e n a r d 方程极限环的存在性和唯门性问题，得到了很多的结果。当 f ( x ) = a m 一。x + 一：x 2 + + 矿，g ( x ) = x ，m 是奇数且各项系数在一定条件的限制 下，i l y a s h e n k o 和p a n o v 得到极限环个数的一致上界 1 0 。1 9 5 8 年张芷芬 3 7 ，3 8 证明了当f ( x ) g ( x ) 不下降时极限环若存在则是唯一的，相关例子可参见 3 9 ， 4 5 ，4 8 。r c p bi h k o b 首先证明了一个关于l i e n a r d 方程极限环个数的唯二性 定理，即当特征函数f ( x ) 是5 次奇次多项式时l i e n a r d 方程最多有两个极限环， 文献 4 9 推广了这一结论。索光俭 4 4 证明了若f ( x ) = a 2 州x 2 m ，吃槲o ，当 i = i 系数列口l ，吩，a 2 肘。的变号次数为l ，则极限环个数为l ，当变号次数为2 ，则极 限环个数至多是2 。a l i n s ，w d em e l o 和c c p u g h 在文献 1 8 中提出了当 g ( x ) = x ，特征函数f ( x ) 是2 ”+ 1 或2 n + 2 次多项式时极限环个数至多是，z 的猜 想。2 0 0 7 年，张芷芬等在文献 3 中给出了l i e n a r d 方程至少存在玎个极限环的 充分条件。更多的关于l i e n a r d 方程的结果可参见 1 0 ，1 5 1 7 ，1 9 ，2 0 ，3 4 本文将研究一般形式的平面二次系统，给出了它存在极限环的充分条件。 2 第一章引言 1 2 常微分方程定性理论的基本概念和基本定理 法国数学家庞加莱( h p o i n c a r e ) 创建了常微分方程定性理论。俄国数学家 李雅普诺夫创建了稳定性理论。奇点在动力系统的局部结构中占据重要地位，极 限环理论则是研究平面动力系统全局结构的关键。 下面主要参考文献 4 6 ， 4 7 和 5 0 ，介绍关于极限环理论的基本概念和主 要定理。 二维系统 j 文= 尸( x ，夕)( 1 2 1 ) 【夕= q ( x ，y ) 称为自治系统。 把二维系统( 1 2 1 ) 中的( x ，y ) 看作二维平面上的点，称这种平面为相平面， ( x ，y ) 为相点。把系统( 1 2 1 ) 的解x = x ( ，) ，y = y ( t ) 在相平面的轨迹称为系统 ( 1 2 1 ) 的相轨线，简称轨线。轨线组在相平面上的图像称为系统( 1 2 1 ) 的 相图。 若存在点( 而，) ，使p ( x o ，y o ) = o ，q ( x o ，y o ) = 0 ，则称( ，y o ) 为系统( 1 2 1 ) 的平衡点，也称为奇点。 设( 而，) 是系统( 1 2 1 ) 的平衡点，如果对( 而，y o ) 的任一邻域u ，存在 ，) 的一个属于u 的邻域u ，使系统( 1 2 1 ) 的每一条轨线( x ( f ) ，y ( ，) ) ，若 有( x ( o ) ，y ( o ) ) u ，则对一切f o ，有( x o ) ，y o ) ) u ，就称平衡点( ，) 是稳 胤否则就称为不稳定的。如抵洲拣并且有燃( 嚣 = 阱就称 平衡点( ，y o ) 是渐进稳定的。 如果系统( i 2 1 ) 的解x - - x ( t ) ，y = y ( t ) 是周期解，即存在丁 o ，使得 x ( f + r ) = x ( ，) ，y ( ，+ r ) = y ( f ) ，则称此解为周期解。周期解对应的相轨线是闭曲 线，称之为闭轨。 3 中山大学硕士学位论文 孤立的闭轨叫极限环。 如果存在包含极限换r 的环形域u ，使得从u 内出发的轨线当f _ 悯时都 渐进地接近极限环r ，则称极限环r 为稳定的；否则，称r 为不稳定的。 如果对极限环r ，在从它的环域u 内某一侧( 内侧或外侧) 出发的轨线，当 fj 佃时都渐进地接近f ；而从另一侧出发的轨线都离开它( 当f 专- - 0 0 时接近 它) ，则称r 为半稳定的极限环，也称双重极限环。 设9 ( 尸，) 表示方程( 1 2 1 ) 的当r = o 时过点尸的解，妒( 尸，f ) 的定义区间为 ( - - - o o ，佃) ，则对每个固定的f ，妒( p ，) 定义了开区间g 互r e 到g 自身的变换，即 妒( ，) ：g 专g ，r r ，或者9 ：g xr g 。对固定的p ，9 ( p ，) 叫做过p 点的运动。 集合9 ( p ，) = 妒( 尸，t ) j 棚 r 佃) 叫做运动9 ( p ，f ) 的轨线，记成0 。 集合妒( p ，i + ) = 9 ( p ，f ) i o f o ， 0 ，0 o ， 则当且仅当 罴2 n ( 1 ( 厅忑丽) 一1 0 聆 0 7 中山大学硕士学位论文 则当且仅当 0 ，一l ， 0 ， 则当且仅当 o 6 0 ，一1 ， o ，m 2 + ，0 ， 则当且仅当 0 6 1 时 当刀= 1 时， b ( x ) = ( a - m ) x 2 ( m + 2 a - 8 ) x 2 ( 1 一x ) 22 ( 1 一x ) 2 a - m ) x + + ( 口一所) l i l ( 1 一x ) 一m + 了2 a - 一2 a ，觐 1 时 1 l ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 么 b ) 一x q 一+ 叶 g 一卅羔 出一衍 = 却一班 时时 x x 当当 “ h 叫 h ，j、【 i i x4 中山大学硕士学位论文 当n = 一1 时， 即，= 一芸篡嚣竺b 当n o ，1 时， b ( x ) = ( x ( 1 - x ) - 。+ 1 + ( c q 2 x x 2 + + 吒q ) x 一+ ( c 4 0 c ) j - + 2 c c o , l + 当c 。x ) 1 时 其中一备，c ；- = 一鲁+ 蒜，c ；o = 熹卜鲁一莉2 d 2 至此，把系统( 2 。1 。0 ) 转化为l i e n a r d 型方程( 2 。1 ，6 ) 2 2 存在性定理 本节主要考虑如下的方程组 _ d x , y - 1 一j ( x )一 il 西 、7 尘d t = 一等1m一= 一一月t 工-x 一 ( 2 2 o ) 其中彳( x ) ，b ( x ) ，厂( x ) ，g ( x ) 满足( 2 1 6 ) 的条件。设g ( x ) = 旬g x ( 一x 1 ) a 2 ( x ) 出， b ( x ) = b ( x ) ，一0 0 x o x 0 ， x l 则方程组( 2 2 o ) 在相平面 ( x ，y ) r 2i x 1 ) 上关于初值问题有解的存在唯一性。 证明：显然，6 g ) ，塑掣彳：( x ) c 。 x 1 ) 。 作如下变换，当0 x 0 。 1 2 第二章二次系统极限环的存在性定理 设z = 毛( x ) 的反函数为x = 墨( z ) ，则 b ( x ) = 君( 墨( 力) = 墨( z ) 。 当x 0 。 设z = 乞( x ) 的反函数为x = 恐( z ) ，则 b ( 力= 丑( 屯( z ) ) = 岛( z ) 。 方程组( 2 2 o ) 当o x 1 和x o ，茗0 。 1 3 乞z ， 吮 0 心 川 少 ) ， 仁 b 砬 i i l l 出一砂出一砂 出一出出一出 i l = 出一砂出一妙 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) 或者 或者 l i m b ( x ) = + 0 0 ， x - - i i l i m8 ( x ) = - c o b ( x ) 毛，0 x 1 ， b ( x ) 如，x 0 ， 则从任何点尸( o ，y p ) ( y p o ) 出发的( 2 2 o ) 的正半轨线e 必与y = b ( x ) 相交。 注：引理2 1 - 2 3 的证明与 5 0 中第四章的引理1 1 - 1 3 类似。文 5 0 中，l i e n a r d 方程戈= j ，一f ( x ) ，j c ，= 一g ( x ) 的右端函数定义在全平面 ( x ，y ) r 21i x i 佃) 上，而 在引理2 卜2 3 中，系统( 2 2 o ) 的右端函数定义在半平面 ( x ，y ) r 2i x 1 ) 上。 命题2 1考虑微分方程组( 2 2 o ) 在x o j 眶“砸“ 。 1 0sa m f 1 【4 ( a m - 1 ) ( ，+ 口6 ) 2 当，一a m + 口2 疗0 时，下列两个条件之一成立： 1 4 佃 鹞 砷 佃 、， 一 嘞 卜 ，l瞰 即 娟 娟 厂j 、 r ， 叱 蟛 旧 9 “ 1 ( 管 阳一 鳓一 哟一 们一 塑l 塑麴燮丝塑 f ( 1 + 口聊一面2 0 2 3 ( 1 - a m + a 2 n ) ( ，+ 丽一2 ) i l - 2 a m + 3 a 2 n + l a 6 0 v 3 a 2 n - a m - a 6 o l，- 口a m 。+ ，刀a 2 n 。 0 ， k + q + c o o ( 3 ) 乞 o 。 【一1 ，z l 则( 2 2 o ) 在半平面 ( z ，j ，) r 2fx 1 ) 上至少有一条闭轨线。 证明：本定理可分为8 个部分进行证明。 1 ，因为 召( 功= ( 1 一砷一似1 ( c z x 2 + q x + c o ) 一，x l ， 则 召，( z ) ：笪盟盟 x i ：一盟 ( 1 - x ) 肿2 = ( 1 - x ) 却+ 2 ) 筇+ ( 6 一脚一2 口) z + ( r n + a - 2 绷) x 2 1 显然，b ( 功的符号与一厂( x ) 的符号保持一致。 由条件( 2 ) 知：b ( 0 ) ：- 8 0 。 因此，b ( x ) 在原点的小邻域内单调递减。 所以，3 x ie ( o ，1 ) ，吃 0 ，使得 召( z ) 0 ，当0 x 0 ，当屯 x o ，xe ( - - o o ，1 ) 。 当条件( 1 ) 的i i 成立时，方程9 ( x ) = 0 的根的判别式= ( 1 + a 5 - 2 ) 2 _ 4 ( 1 + 硎一面- 2 1 ) 0 ，x ( 姐，1 ) 。 y j ：，妒 i ： l o x = l 圆9 一 y 9 l z 7 0 x = l f 明nn 当条件( 1 ) 的成立时，方程9 ( x ) = o 的根的判别式= ( ，+ 砸- 2 ) 2 - 4 ( 1 + 册一a 5 - 2 020 ，二次函数9 ( x ) 满足：妒( 1 ) = a m 一| 0 。 又4 ( a m 一，) 2 4 ( a m 一，) ( ，+ 面) 2 ， 1 6 第二章二次系统极限环的存在性定理 进一步有 2 ( a m - t ) 1 。 由二次函数的性质知：9 ( 功 o ，x ( ，1 ) 。9 ( x ) 的图像如图( 2 - 2 2 ) 所示。 ( b ) 当l - a m + a 2 刀o 时，9 ( x ) 为三次函数，且 妒( x ) = 3 u a m + a 2 刀) 工2 + 2 ( 1 + 铡一面一2 1 ) x + ( 1 + a 6 2 ) 。 当条件( 1 ) 的成立时，方程( x ) = 0 的根的判别式 l = 4 ( 1 + 俐一面一万) 2 - 3 ( 1 - a m + a 2 n ) ( 1 + a 8 - 2 ) 0 , x ( 咖，1 ) 。函数妒( x ) ，( x ) 的图像分别如图2 - 2 3 ( 1 ) 和图2 2 3 ( 2 ) 。 y j l i r 弋 i9 ( x ) x = l x 1 7 y 缈【x j 一 i 弋| | 0 x = l 3 、= ：茹： 诵满足l 秘c h i 纪条件。骨缩口刀 题的僻存在难一。 4 、由上面的1 和2 知： 当o x “l 时，b ) o 为( x ，y ) 平面上围绕( 2 2 o ) 的唯一 奇点0 的闭曲线族。 氛加，= 砂+ 等以班 ：少( 一粤彳2 ( x ) ) + 粤彳2 ( x ) ( 少一b ( x ) ) x ix l ：一墨粤彳：( x ) b ( x ) o ，h o ，沿着闭曲线厶：允( x ，y ) = c l ，警i ( 2 2 。) o ，厶可作为内境 界线。 6 ，由题设条件( 3 ) 知：0 n + l 2 ，c 2 0 。 从而 ，l i mb ( x ) ：l i m 皆一卜 黔砖 宅尹一白卜 所以，由函数极限的性质知：3 x , m 1 ，当m x l 时，召( x ) 毛5 j 一 鸩 l x ：l ，当x o ，当心 x 甜； o 宰：二粤a 2 ( x ) c ，当鸩 x o 时； a tl + x 1 9 中山大学硕士学位论文 故 y = _ c 宰：掣么：( x ) o ，5 0 x m 时 d t l + x o 譬 三，当鸩 x 对； 反x材 一旦 罕 o ，5 0 2 d 。 只要d 充分大，三可任意小，故9 ( u ，j + ) 必与y 正半轴相交于尸，与x = m 相交 甜 于q ，且沿着轨线弧历西，y 的值磊 d ，又i 一肋l 可任意小。 由引理2 3 ，再向正向延续，妒( u ，+ ) 必与y = b ( x ) 相交，设交点为r 。由引 理2 2 ，再向正向延续，b ( u ，+ ) 必再次与直线x = m l 相交，设交点为s 。 再在x = m 上取点r ，使y r m i n ( - 2 d ，以) ，与上面同样的讨论，可证只要d 充分大，妒( 丁，i + ) 必交j ，负半轴于y ，交x = 鸩于形，且沿着轨线弧而谚，y 的值 y r v g , 0 。 2 0 第二章二次系统极限环的存在性定理 令历西和而而励别代表过点u ，只9r ，s 和丁，v ，形，z ，疗的轨 线弧。如果妇 助，再将轨线向正向延续，9 ( r ，j + ) 将与y 正半轴相交于户，与 x = m 相交于，与y = 召( x ) 相交于r ，与x = m 再次相交于。 我们要证，当d 充分大时，必有只， 所 令 无( x ，y ) ：i 1 ( y 一岛) 2 + g ( x ) 。 下面我们考察石( x ，j ，) 沿着轨线弧而谚砑的改变量。 五d l , k o ) = b ( x ) 一屯 而一五，= e ( b ( z ) 一k , ) d y ( 墨一屯) ( 咆一y s ) 0 ， 嚣一不= e ( 如一召( x ) ) 砂o 。 钡g ( x ) 彳2 ( 圳也- b ( x ) i i l ( 2 上2 弋五移丽 在心x m 内，当d 充分大时，陶可任意小，故当d 充分大时， i 暑一瓦i 和i 不一毛1 可任意小，故有 暑一五， 要( 毛一岛) ( 咆一雎，) o 这就证明了，当d 充分大时，蜘， 路。 今 厶= t - - 丽z h p 9 _ r 嘧us f ， 2 1 中山大学硕士学位论文 厶可作为环域的外境界线。 8 、由p o i n c a r 吾一b e n d i x o n 环域定理知：方程组( 2 2 ) 至少有一条闭轨线。 至此，定理证毕。 命题2 2考虑微分方程组( 2 2 0 ) 在x 1 半平面上，当刀= 1 时，假设它 满足下列三个条件： ( 1 ) 当，一a m + a 2 = 0 时，下列三个条件之一成立： i 1 + 铡埘划= ， i1 ，+ a s 2 i i j1 + a m - - ，a 艿- 2 b o ， i u + a a ) 2 0 0 ，+ 口6 2 0 a m 一， 1 4 ( a m 一，) u + 砸) 2 当，一a m + 口2 0 时，下列两个条件之成立： f ( 1 + a m a , 5 2 1 ) 2 3 ( ，一a m + a 2 ) ( ，+ 砸一2 ) ，一a m + a 2 0 ia 0 ( 1 + a m 一面一2 0 2 3 ( t a m + a 2 ) ( + 西一2 ) ，一2 a m + 3 a 2 + 1 一c 话0 3 a 2 一a m a 6 0 ，一a m + a 2 0 口0 ( 3 ) a 0 且a m 0 。 则( 2 2 o ) 在x 1 半平面上至少有一条闭轨线。 证明：证明过程类似定理2 1 ，不同之处在第6 步，下面仅给出第6 步的证明： 当力= 1 时， 粹一错一等挚一赤+ 警+ 错小叫h 卜z ， 第二章二次系统极限环的存在性定理 一m + t 2 a - 一2 5 ，凯 埘。 由条件( 3 ) 知： ! 骅加脚 - 丽3 1 + 可4 a - m 可- 5 小刊l n ( ，叫 斟希小刊叫叫卜； l i m 鼬) = 墼 _ 丁a - m - ( 口叫+ ( 口训h 1 ( 1 叫一t m + 2 a - 2 6 = l i m ，( a - m ) l n ( 1 - x ) = 哪。 j ，q 所以，现 m 1 ，当m x 埘，b ( x ) 毛； j 一 m i i 恐l ，当x 0 三三= 三 1 4 ( a m z ) ( 1 + a 6 ) 2 ( 2 ) 艿 0 ， ( 3 ) a 0 ，3 a + m 0 。 则( 2 2 ) 在x 1 半平面上至少有一条闭轨线。 证明：证明过程类似定理2 1 ，不同之处在第6 步，下面仅给出第6 步的证明： 当刀= 一1 时， b ( x ) ：一3 a ，、+ mx 2 一( 口+ 6 ) x 一口h l ( 1 一x ) ，当x 1 时。 中山大学硕士学位论文 由条件( 3 ) 知： 硝l i m 鼬) = 蟀 一下3 a + m 一( 口+ 占) 一幽( 1 一x ) = ! 蟀 一幽( - 一x ) = 栩； 掣l i m = 墼 _ 半 ( 口+ 6 ) x - a l n ( 1 - x ) 一 所以，甄 m 1 ，当m x 耐，b ( x ) 岛； 3 - o o m i 蚓，当x 鸩时，8 ( x ) - k 2 。 下面给出本文的主要结果： 定理2 4考虑 时，设b = 1 。 若1 1 = 1 ，并且： ( 1 ) 当，一a m a 2 = 微分方程组( 2 1 o ) ，在x 0 ， v + 口，”一面一2 1 ) 2 3 u a m + a 2 ) ( ，+ 丽一2 ) ，一伽+ 口2 0 a 0 ( 1 + a m 一西一2 i ) 2 3 u a m + a 2 ) “+ 茚一2 ) ，一2 a m + 3 a 2 + 1 一a 6 0 、 3 a 2 一a m a s 0 z a m - ；a 2 0 a 0 k 2黧 糍 册而 b 2 q 砸 力 0 。 若t t = 一l ，并且： ( 1 ) 当，一a m a 2 = 0 时，下列三个条件之一成立： v i j 1 + 伽一面_ 2 扛o ， l 1 ，+ 砸2 b l + + a 冽m - a 三， 1 + a m a s 一2 l 0 0 z 4 - a s o , 3 a + 珑 0 。 若r l 1 ，r l 0 ，并且。 ( 1 ) 当，一a m + 口2 刀= 0 时，下列三个条件之一成立： i x j 1 + a m - a s - 2 1 = ， l 1 ，+ 面2 x 1 + a m - ，a s - 2 1 刈， 【( ，+ 砸) 2 0 当z a m + a 2 刀0 时，下列两个条件之一成立： 。+口，疗一日占一2，1)_2=3麦(i三-ami+。口2刀)(，+口艿一2) p 2 面 + 葛唧 0 c 2 0 - 1 以 l ( 1 + a m a 8 2 1 ) 2 3 ( z a m + a 2 疗) ( ，+ 西一2 ) ，一2 a m + 3 a 2 玎+ 1 一a s 之0 3 a 2 ，l 一删一a 6 0 j 一伽+ a 2 玎 0 则( 2 1 o ) 在x 1 半平面上至少有一个极限环。 证明：可先由第二章第一节的相似变换和变量代换把系统( 2 1 o ) 变换成 ( 2 2 o ) ，再由命题2 1 ，2 2 ，2 3 得出本定理。 参考文献 参考文献 1 】r b a m o n ，t h es o l u t i o no fd u l a c sp r o b l e mf o rq u a d r a t i cv e c t o rf i e l d s ，a n n a c a d b r o s c i e n c 5 7 ( 1 9 8 5 ) ，1 1 1 - 1 4 2 【2 】n n b a u t i n ，o nt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sw h i c ha p p e a r 埘mt h ev a r i a t i o no f c o e f f i c i e n t sf r o ma l le q u i l i b r i u mp o s i t i o no ff o c n so rc e n t e rt y p e ，m a t s b 3 0 ( 7 2 ) ( 1 9 5 2 ) ，1 8 1 - 1 9 6 ( r u s s i a n ) ；t r a n s l h i l l e r m a t h s o c 1 0 0 ( 1 ) ( 1 9 5 4 ) ，3 9 7 4 1 3 3 】x i u d o n gc h e n , j a u m el i l b r e ，z h i f e nz h a n g ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h e e x i s t e n c eo fa tl e a s tno re x a c t l ynl i m i tc y c l e sf o rt h el i e n a r dd e f f e r e n t i a l s y s t e m s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 4 2 ( 2 0 0 7 ) ，11 2 3 【4 】c j c h r i s t o p h e r , n ql l o y d ，p o l y n o m i a ls y s t e m s ：al o w e rb o u n df o rt h eh i l b e r t n u m b e r s p r o c r s o e l o n d a4 5 0 ( 19 9 5 ) ，219 - 2 2 4 5 】5w a c o p p e l ，as u r v e yo fq u a d r a t i cs y s t e m s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 ( 19 6 6 ) ， 2 9 3 3 0 4 【6 】wa c o p p e l ，s o m eq u a d r a t i cs y s t e m sw i t ha tm o s to n el i m i tc y c l e ，d y n a m i c sr e - p o r t e d2 ( 1 9 8 9 ) ，6 1 - 8 8 【7 】h d u l a e ，s u rl e sc y c l e sl i m i t e s ，b u l l s o c m a t h f r a n c e5 1 ( 1 9 2 3 ) ，4 5 1 8 8 【8 】j e c a l l e ，i n w o d u c f i o na r xf o n c t i o n sa n a l y s a b l e se tp r e u v ec o n s t r u c t i v ed el ac o n - j e c t u r ed ed u l a c ，a c t u a l i t i e e sm a t h ，h e r m a n n ，p a r i s ，1 9 9 2 9 】d h i l b e r t , m a t h e m a t i c a lp r o b l e m sm n e w t o n ，t r a n s l b u l l a r i e l m a t h s o c ，8 ( 1 9 0 2 ) ，4 3 7 - 4 7 9 r e p r i n t e d ，b u l l a m e r m a t h s o c ( n s ) 3 7 ( 2 0 0 0 ) ，4 0 7 - 4 3 6 【lo 】y u i l y a s h e n k o ，a p a n o v , s o m eu p p e re s t i m a t e so ft h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so f p l a n a rv e c t o rf i e l d s 谢ma p p l i c a t i o n st ol i e n a r de q u a t i o n s ，m o s c m a t h j 1 ( 2 0 0 1 ) 5 8 3 - 5 9 9 【1 l 】y u s i l y a s e n k o ，f i n i t e n e s st h e o r e m sf o rl i m i tc y c l e s ，u s p e l d a im a t n a u k4 5 ( 19 0 0 ) ，1 4 3 2 0 0 ；e n g l i s ht r a n s l r u s s i a nm a t h s u r v e y s ，4 5 ( 1 9 0 0 ) 1 2 9 2 0 3 i2 】c l i ，n o n - e x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e sa r o u n daw e a kf o c u so fo r d e rt h r e ef o ra n y q u a d r a t i cs y s t e m ，c h i n e s ea n n m a t h s e r b7 ( 19 8 6 ) ，17 4 - 19 0 2 7 中山大学硕士学位论文 1 3 】c h e n g z h il i ，c h a n g j i a nl i u ，j i a z h o n gy a n g ，ac u b i cs y s t e mw i t ht h i r t e e nl i m i t c y c l e s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 4 6 ( 2 0 0 9 ) ，3 6 0 9 3 6 1 9 【1 4 】j i b i nl i ，q i m i n gh u a n g ，b i f u r c a t i o n so fl i m i tc y c l e sf o r m i n gc o m p o u n de y e si n t h ec u b i cs y s t e m ，c h i n e s ea n n m a t h s e r b8 ( 1 9 8 7 ) ，3 9 1 4 0 3 1 5 】y = l i u , t h ev a l u e so f s i n g u l a r p o i n to f ( e ) a n ds o m ek i n d so f b i f u r c a t i o n s ，s c i c h i n a , s e r a3 6 ( 19 9 3 ) ，5 5 0 5 6 0 【16 】yl i u ，t h e o r yo fc e n t e r - f o c u si nac l a s so fh i g ho r d e rs i n g u l a rp o i n t sa n di n f i n i t y , s c i c h i n a , s e r a4 4 ( 2 0 0 1 ) ，3 6 5 3 7 7 【17 】y = l i u , j l i ，t h e o r yo fv a l u e so fs i n g u l a rp o i n ti nc o m p l e xa u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，s c i c h i n a , s e t a3 3 ( 1 9 9 0 ) ，1 0 2 3 18 】a l i n s ，w d em e l oa n dc c p u g h , o nl i e n a r d se q u a t i o n ，l e c t u r en o t e si n m a t h 5 9 7 ( 1 9 9 7 )