（光学专业论文）玻色爱因斯坦凝聚的自囚禁、纠缠等特性.pdf

济南大学硕士学位论文 摘要 对于微观粒子的认识一直是物理学界十分感兴趣的事情，也是哲学上普遍关心 的问题。玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 现象是一类微观领域旱的普遍现象，研究这种 现象对于人们认识微观世界，利用微观世界客观存在的规律具有不可估量的价值。 早在1 9 2 4 年，爱因斯坦就预言了后来我们称之为玻色爱因斯坦凝聚的现象。1 9 9 5 年，世界上首次实现了碱金属原子的玻色爱因斯坦凝聚，使原子处于与激光对等的 地位。这种新物态的获得允许我们用原子代替光子观测非线性效应，它的多方面的 研究价值得到了诸多的关注。b e g 成为了近年来的热门研究课题之一，它被逐步地应 用于精确测量、量子信息处理等高新技术。科学工作者在这些方面开展了许多有意 义的研究工作，成效显著。 双势阱模型是一个非常基本的简单物理模型，可以用来研究b e c 原子的量子 隧穿和量子相干等相关特性。最近人们在实验上观测到双势阱中许多有趣的物理现 象。其中最有趣的现象是自囚禁现象：即使原子间存在排斥相互作用，在对称双势 阱中演化的b e c 却可以呈现高度的不对称分布，好像绝大多数原子被其中的一个 阱囚禁，这种反直觉的现象引起了人们的极大兴趣。 量子纠缠是量子多粒子体系或多自由度体系的一种特有性质，它反映了量子力 学的本质相干性和非定域性，是量子力学区别于经典物理的典型性质。量子纠 缠已经从当初的鉴定量子力学完备性的思辩发展成为一种重要资源。目前，随着玻 色爱因斯坦凝聚技术的进一步发展，已经可以获得有限粒子数的量子系统，这一进 展使得将中性原子作为纠缠源成为可能，从而使b e c 的纠缠受到广泛关注。 本文主要用b e c 双势阱模型来研究b e c 自囚禁现象及其动力学相变的纠缠特 性和b e c 的纠缠及最大纠缠态的制备规律。主要工作包括： 1 、研究了玻色爱因斯坦凝聚体自囚禁现象的动力学相变，特别是量子涨落对自 囚禁现象的影响。我们采用b e c 两模模型进行研究，发现有限粒子b e c 系统自囚 禁现象的发生同样存在临界现象，但是由于量子涨落的影响使得这个临界现象变得 模糊，并且粒子数越小量子涨落的影响越明显。为了更加明确地描述有限粒子系统 的自囚禁现象，我们通过系统各态平均占有几率的熵( 简称平均熵) 和平均纠缠熵 来刻画自囚禁现象，并讨论自囚禁现象发生前后系统的纠缠特性。 玻色爱【夭l 斯坦凝聚的自7 1 禁、纠缠等特性 2 、以两模玻色爱因斯坦凝聚体为模型研究了全同玻色子体系的纠缠。首先， 我们研究了两模b e c 系统的波函数的一种分解。这种分解形式与可分辩粒子系统 的施密特分解有着密切的联系。进而，我们重点以两模玻色爱因斯坦凝聚体为模型， 重点研究了粒子数为2 时系统最大纠缠态的制备规律即系统初态及系统参数的选取 对最大纠缠态制备的影响等，特别是研究了在最短时间内获得严格的最大纠缠态的 制备规律。 3 、初步探索了当初态为l ，o ) 时，全同粒子两模系统( 粒子玻色爱因斯坦凝 聚体) 最大纠缠态的制备。由于b e c 的寿命极为有限所以我们主要研究在最短时 间内制备最大纠缠念的相关规律：全同粒子系统粒子间相互作用参数对制备最大纠 缠态所需的最短时间的影响；制备最大纠缠态所需的最短时间与系统粒子数的关 系，以及此时系统参数的取值范围和特点。 关键词：玻色爱因斯坦凝聚，自囚禁，纠缠，双势阱 i i 济南大学硕十学位论义 a b s t r a c t p h y s i c i s t sh a v ea l w a y sb e e ni n t e r e s t e di nm i c r o s c o p i cp a r t i c l e s ，a n ds oh a v em o s to f t h ep h i l o s o p h e r s t h ef o r m a t i o no fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t ei saq u i t ec o m m o n p h e n o m e n o ni nm i c r o s c o p i cw o r l d ，a n ds t u d y i n gi ti so fg r e a tv a l u ef o ru st ok n o wt h e m i c r o s c o p i cw o r l da n dt a k et h ea d v a n t a g eo ft h el a w so fi t a se a r l ya si n19 2 4e i n s t e i n p r e d i c t e d t h eh a a t t e rw h a tw en o wc a l lb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i n19 9 5 ， b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t eo fa l k a l im e t a l s a t o m sw a s m a d ef o rt h ef i r s tt i m ei nt h ew o r l d ， w h i c hm a d ea t o m se q u a lt ol a s e ri ns o m ee x t e n t b e c a u s eo ft h i sn e wk i n do fm a t t e rw e c a nu s ea t o m st oo b s e r v et h en o n l i n e a re f f e c t si n s t e a do fu s i n gp h o t o n s ，a n dm u c h a t t e n t i o nw a sd r a w nt oi t l o t so fs c i e n t i f i cw o r kw a sd o n et o w a r d st h i sa s p e c ta n dt h e r e s u l t sw e r ee n c o u r a g i n g i nt h i sa r t i c l e ，w ee x p l o i tt w o - m o d em o d e lt oi n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo fq u a n t u m f l u c t u a t i o no nt h es e l f - t r a p p i n go ft h eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sa n dt h e nw es t u d yt h e e n t a n g l e m e n to fi d e n t i c a lb o s o np a r t i c l e ss y s t e ma n dt h ec r e a t i o no ft h em a x i m a l l y e n t a n g l e ds t a t e o u rm a i nw o r ki s ：1 w ee x p l o i tt w o - m o d em o d e lt oi n v e s t i g a t et h ei n f lu e n c eo f q u a n t u mf l u c t u a t i o no nt h es e l f - t r a p p i n go ft h eb e c w ef o u n dt h a t ，e v e nf o rt h ef i n i t e n u m b e ro fp a r t i c l e s ，t h et r a n s i t i o nt os e l f - t r a p p i n gi ss t i l lo b s e r v e d i np a r t i c u l a r , b e c a u s e o ft h eq u a n t u mf l u c t u a t i o nd u et ot h ef i n i t en u m b e ro fp a r t i c l e s ，t h ec r i t i c a lp h e n o m e n o n b e c o m e sf u z z i l y ：t h es m a l l e rt h en u m b e ro fp a r t i c l e si s ，t h em o r eo b v i o u s l yf u z z i l yt h e c r i t i c a lp h e n o m e n o nb e c o m e s q u a n t u me n t a n g l e m e n te n t r o p yi st h e ni n t r o d u c e dt o d e p i c tt h ec r i t i c a lb e h a v i o rn e a rt h et r a n s i t i o np o i l l t 2 w ei n v e s t i g a t et h ee n t a n g l e m e n to fi d e n t i c a lb o s o np a r t i c l e ss y s t e m o nt h eb a s e o ft h es h i m & d e c o m p o s i t i o no fd i s t i n c tp a r t i c l e ss y s t e m ，w ep r o p o s eam e a s u r eo f e n t a n g l e m e n to fi d e n t i c a lb o s o np a r t i c l e ss y s t e m f u r t h e r m o r e ，w em a i n l yi n v e s t i g a t e t h ec r e a t i o no ft h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t eo fi d e n t i c a lp a n i c l e ss y s t e mw i t ht w o p a r t i c l e s ，e s p e c i a l l yt h em l eo fc r e a t i n gt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t eo ft h es y s t e m i i i 玻色爱| 夭l 斯坦凝聚的自囚禁、纠缠等特性 w i t h i nt h es h o r t e s tt i m e 3 w em a i n l yi n v e s t i g a t es o m er u l e so nc r e a t i n gt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t eo f b e cs y s t e mw i t h i nt h es h o r t e s tt i m e w ei n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo ft h ev a l u eo fc o n t h es h o r t e s tt i m ef o rc r e a t i n gt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t eo fb e cs y s t e mw i t hf i n i t e n u m b e ro fp a r t i c l e sa n dp r e s e n tt h er a n g eo fci nw h i c ht h es h o r t e s tc r e a t i o nt i m ei s n e e d e d f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es h o r t e s tc r e a t i o nt i m e ，t h er a n g e o fca n dt h en u m b e ro fp a r t i c l e so ft h es y s t e m k e y w o r d s ：b o s e e i n s t e i n ( b e c ) c o n d e n s a t e ，s e l f - t r a p p i n g ，e n t a n g l e m e n t ，d o u b l ew e l l i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解济南大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借鉴；本人授权 济南大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 论文作者签名：堑导师签名：塾舡e t 期：丝望：堑：夕 济南大学硕十学位论文 曼曼! 曼皇曼曼! 曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼皇曼! 曼! 曼i 一一 i 一一一一。 ii ! 鼍曼 第一章前言 长期以来，对微观粒子的运动规律尤其是相互作用规律的探索、研究和利用一 直是科学工作者的重要任务之一。玻色爱因斯坦凝聚体系这种奇特物态的获得使得 原子处于与激光对等的地位【1 1 ，这种新物态的获得允许我们用原子代替光子观测非 线性效应，它的多方面的研究价值得到了诸多的关注，丌展了许多有意义的研究【2 卅。 1 9 2 4 年爱因斯坦预言，服从玻色统计的理想中性原子气体，在温度低于某一临 界温度时会出现凝聚现象，这种现象称为玻色爱因斯坦凝聚，简称b e c 。1 9 9 5 年 通过激光冷却、静磁阱与蒸发冷却等技术，对碱金属原子3 7 只6 ，7 三f ，和2 3 贼l 等实 现了近理想气体的b e c l 7 ，8 一。这种上万乃至上百万原子构成的宏观量子系统，以相 干的方式在演变。b e c 将量子现象带到了宏观尺度。 双势阱模型是一个非常简单而又基本的物理模型。人们可以用它来研究b e c 原子 的量子隧穿和量子相干等相关特性。最近人们在实验上观测到双势阱中许多有趣的物 理现象 1 0 - 1 4 。其中最有趣的现象是自囚禁现象( s e l f - t r a p p i n g ) ：即使原子间存在排斥 相互作用，在对称双势阱中演化的b e c 却可以呈现高度的不对称分布，好像绝大多数 原子被其中的一个阱囚禁，这种反直觉的现象引起了人们的极大兴趣【1 5 j 。 很多研究小组已经对该现象进行了相关深入的讨论和研究d 6 - 2 1 】。如在平均场近似 下，从理论上发现并很好地描述了b e c 系统的两种自囚禁现象( o s c i l l a t i o n 型自囚禁和 r u n n i n gp h a s e 型自囚禁) ，并讨论了对称双势阱b e c 自囚禁的周期调制等【2 2 】。 量子纠缠是量子多粒子体系或多自由度体系的一种特有性质，它反映了量子力 学的本质相干性和非定域性，是量子力学区别于经典物理的典型性质。量子纠 缠已经从当初的鉴定量子力学完备性的思辩发展成为一种重要资源【2 3 之5 l 。近十多年 来，量子纠缠成为了物理学乃至信息学等多个研究领域中的热点问题。由于可分辨 粒子的纠缠定义明确且可分辨粒子系统在实验中首先得以实现，故当前对纠缠的研 究大都是指可分辨粒子的纠缠。 目前，随着玻色爱因斯坦凝聚技术的进一步发展，已经可以获得有限粒子数的 量子系统，这一进展使得将中性原子作为纠缠源成为可能瞄2 刀，这就激发起人们对 不可分辨的玻色子系统纠缠的研究兴趣。目前对全同玻色子的纠缠存在两种认识： 一种观点认为，虽然粒子是不可分辨的，但仍然可以将单个粒子作为子系统研究系 玻色爱冈斯坦凝聚的自囚禁、纠缠等特性 统的纠缠特性；另一种观点认为，因为粒子不可分辨，所以若要讨论体系的纠缠特 性，就应该探索其它可能的划分子系统的方式，来研究纠缠行为，也就是说，虽然 不能确定占据某一个模式的粒子究竟是哪一个，但是一个模式被多少粒子占据则是 可以通过物理测量获得的，这样就可以按照可分辨的模式来划分子系统来研究系统 的纠缠特性。 本文结构和主要内容如下： 在第二章中介绍了玻色爱因斯坦凝聚体系的基本理论，包括b e c 产生的条件和 演化规律，同时介绍了理论及实验的进展。 第三章中简单地介绍了纠缠的基本理论及国内外最新研究动态。 第四章中详细讨论了玻色爱因斯坦凝聚体自囚禁现象的动力学相变，特别是量 子涨落对自囚禁现象的影响。我们采用b e c 两模模型进行研究，发现有限粒子b e c 系统自囚禁现象的发生同样存在临界现象，但是量子涨落的影响使得这个临界现象 变得模糊，并且粒子数越小量子涨落的影响越明显。为了更加明确地描述有限粒子 系统的自囚禁现象，我们通过系统各态平均占有几率的熵( 简称平均熵) 和平均纠 缠熵来刻画自囚禁现象，进而讨论自囚禁现象发生前后系统的纠缠特性。 第五章中以两模玻色爱因斯坦凝聚体为模型研究了全同玻色子的纠缠。首先研 究了两模全同玻色子系统波函数的一种分解，这种分解形式与可分辩粒子系统的施 密特( s h i m & ) 分解有着密切的联系。进而我们重点研究了n = 2 时系统最大纠缠态 的制备规律，即系统初态及系统参量的选取对最大纠缠态制备的影响。 第六章中主要研究了玻色爱因斯坦凝聚体粒子体系在最短时间内制备最大 纠缠态的相关规律：全同粒子系统粒子间相互作用参数c 对制备最大纠缠态所需的 最短时间的影响；制备最大纠缠态所需的最短时间i i i 与系统粒子数的关系，以 及此时系统参数c 的取值范围和特点。 第七章对本论文做了总结。 2 济南大学硕士学位论文 第二章玻色爱因斯坦凝聚的基本理论与实验技术 2 1 玻色一爱因斯坦凝聚的基本理论 玻色爱因斯坦凝聚是物理学研究中的一个前沿领域，无论是玻色爱因斯坦凝聚 体的制备还是凝聚体性质的观测，都涉及到很多相关的高科技前沿理论和技术。关 于b e c 形成的动力学、原子光学、非线性原子光学等方面的研究正在日益深入和 引起人们的高度重视。在原子光学方面，凝聚体作为相干物质波的干涉和衍射效应 以及光波对物质波的散射等都需要进一步的理论和实验研究。 2 1 1 理想均匀玻色气体的玻色一爱因斯坦凝聚 设有个质量为m 的无相互作用的玻色子处于体积为矿的空间( 三维箱中的理 想玻色气体系统) ，其哈密顿量为 日：争蓝 ( 2 1 ) 智2 m 系统的能量本征值是如下单粒子能量之和 s 。= p 2 2 m ( 2 2 ) 该系统满足玻色爱因斯坦分布 = 丝：竺 ( 2 3 ) 弦l - - z e - e p k t ( 2 3 ) 其中 表示处于动量a 能量为。的能态的平均粒子数，z 是所谓“易逸度 ， z = p 芦ik t ，是化学势。总粒子数 n = + ( 2 4 ) p o 其中 是单粒子态占= 0 上的平均占有数。当y 专o o 时，p 的可能值构成连续谱， 对p 求和可由积分代替。当孑寸1 时，上式中的和式是发散的，因为对应于占= 0 的 那一项趋于无穷。因此，把这一项单分出来，把其余的求和以积分代替。经过一系 列的推导，得下式 玻色爱浏鼽坦臌聚阴目幽票、纠j 9 里，寺待任 一 盟=!击万1,4-vv1 础) ( 2 5 )一= 矿i z -z - 】j 一 一z旯3 。“、7 上式左边第一项中的z 0 - z ) 就代表单粒子态占= 0 上的平均占有数o 。其中 9 3 2 ( z ) 去g ，：( 1 ) 时，系统中的粒子以宏观上有限的百分比凝聚于s = o 的单粒 yi t - 子态上，此即玻色爱因斯坦凝聚现象。 对于给定的粒子密度聆= 矿，由等式等= 万1 g ，2 ( 1 ) 可定义一个临界温度疋 乏：警( 志产属( 暂 眩6 ， 其中风：之坚2 6 1 2 2 3 ，是一个常数，其大小只与原子质量有关。当丁 ( 2 6 1 2 v n ) v 3 ( 2 7 ) 上式所表达的物理意义是，粒子的德布罗意波长大于粒子之间的距离。用凝聚温度 来表述就是：发生凝聚的区域就是丁 疋的区域。在这个温度区域，当y 专o o 时， z ：1 ，于是由( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式可以得到凝聚数与温度的关系 n o n = 1 一( 丁瓦) v 2 ( 2 8 ) 同样可以定义一个l 临界密度 胡以6 ，2 ( 筹) 班= 时 泣9 ， 确定b e c 形成的条件又可表示为 等 2 后， 随c 的增加自囚禁现象越明显。 4 2 量子涨落对自囚禁现象的影响 量子体系的两模哈密顿可以表示为【2 1 2 2 3 5 】： h 气- r l ( a + a - b + b ) - c , ( a + a + a a + b + b + b b ) + v l ( a + b + b + a ) ： ( 4 3 ) 其中，】，l 为量子体系两势阱问的能量差，c l 为该体系粒子间的相互作用参数， ，l 为两阱间的耦合系数，a + 、矿分别是两模的粒子产生算符，a 、b 分别是两模的湮 灭算符。( a + ，口 = l ， b + ，6 一l ， a + ，6 + - o ) 为了计算方便，选取l o ) 为初态( n = 2 0 0 ) ，则此时粒子全部处于一个势阱 中；并令，= l ，c 分别取o 5 ，1 9 ，2 1 ，2 5 ，利用此哈密顿进行相应的计算： 导= x , h o c ( 4 4 ) 出 。 其中，h m = ( 丹，n - n l h l m ，n - m ) 。 州2 i b l 2 = z 肼i c 1 2 学 ( 4 5 ) 此式中c r n c n 为系统处于某量子态的几率幅；ia i2 ，lbl2 分别为粒子处于两势阱 中的几率；s 为布局数差。 当粒子问非线性相互作用参数c 分别取0 5 ，1 9 ，2 0 ，2 5 时，布居数差8 随时 阳lt 的变化图线如图4 3 所示： 1 8 济南大学硕士学位论文 o 加加 1 图4 3 布居数差s 与时间的变化关系 从图4 3 中我们发现布居数差s 随时间，的变化图线无法清晰地展现粒子由自 由振荡到自囚禁状态变化过程。所以我们考察了布居数差的平均值( j 与粒子间 非线性相互作用参数c 的变化关系( 图4 4 ) 。 们 v c 图4 4 布居数差的平均值( s ) 与粒子间非线性相互作用参数c 的变化关系 图4 4 中，我们通过对比可以看到，在平均场近似下，系统发生自囚禁有一个 非常明显的临界现象。而由于量子涨落的影响，这个临界现象变得比较模糊。而且， 粒子数越小，量子涨落的影响越明显，系统发生自囚禁的临界现象越不明确。因为， 量子涨落是由于系统一般不处于本征态上引起的，所以布居数要随时间发生改变， 布局数差也会相应发生变化。当粒子数很大的时候这种改变相对系统是个小量，但 当粒子数有限时就可能影响系统的行为。所以，当粒子数较小时，量子涨落对系统 1 9 协 帖 ：争 们 一 玻也爱l 大l 斯坦凝聚的自囚禁、纠缠等待性 皇,i i i o 皇曼鼍鼍曼皇曼曼皇曼曼曼曼皇皇詈曼曼皇! 曼鼍皇曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼皇曼曼曼鼍曼皇曼曼鼍曼皇皇曼! 皇皇曼! 曼曼量曼曼曼量曼鼍鼍皇目 的影响比较明显，模糊了系统发生自囚禁的临界现象。 对于粒子数有限的纯量子系统而言，所谓自囚禁就是粒子被囚禁在有限的几个 量子态上。所以有必要进一步研究有限粒子系统在一定时间段内，对应于不同的粒 子间相互作用参数c ，粒子在各量子态的分布情况。 通过计算，我们得到