（光学专业论文）有限元人工透射边界法的研究及其在光学中应用.pdf

中文摘要 本文将有限元与地震学中处理边界问题的透射边界结合形成有限元- 人工透 射边界法。由于人工边界是虚拟的，所以入射波能够毫无反射地穿过此边界，这 样就有效地消除了边界上所形成的反射波对计算结果的影响，从而能够更精确的 计算光场、声场等的分布。在此就将这种方法应用于光波导、声光可调谐滤波器、 波散射等问题的研究计算。进一步说明该方法在这些方面的实用性。 首先，对y 分叉光波导的研究。光波导是光集成的核心，大部分集成光学 器件，如光调制器、光开关、光功率分配器、光耦合器、波分复用器、光滤波器、 偏振分束器、微透镜等等，都是以光波导为基础的。这样一来，各种各样的光集 成结构，就都围绕光波导而展开。而分叉波导又是集成光学中重要光学器件之一， 因此进行分叉光波导的设计及计算就显得非常之重要。本文就用我们所提出的方 法对其进行了设计及计算，得到其传输功率5 2 8 ，并与其他文献很好的吻合， 说明该方法在光波导方面的实用性。 、 其次，用于声光可调谐滤波器的旁瓣抑制计算。声光可调谐滤波器具有可调 范围宽、调谐速度快、多波长同时滤波，因此在光通讯和光网络的实现方面占有 重要的地位。然而旁瓣的大小直接影响着它的性能的优劣，故抑制旁瓣就显得非 常之重要。根据改变声波导宽度的加权方式可以抑制旁瓣，设计了两种结构，一 种是余弦函数的加权，一种是高斯函数的加权。并计算出它们相应的模转换效率 的相应曲线。结果表明具有高斯函数的权重耦合的滤波器的响应效率更高。 最后，应用于散射问题的研究，并给出不同散射体所形成的散射场分布图， 进而说明该方法可以有效地解决多种复杂的散射问题。 关键词：有限元，人工透射边界，传输功率，声光可调滤波器，波散射 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , f i n i t ee l e m e n tm e t h o di sc o m b i n e dw i t ht h ea r t i f i c i a l t r a n s m i t t i n gb o u n d a r yt h a to f t e nd e a l sw i t hb o u n d a r yp r o b l e m si ns e i s m o l o g y , w h i c h i sc a l l e df i n i t ee l e m e n t - a r t i f i c i a lt r a n s m i t t i n gb o u n d a r ym e t h o d s i n c et h ea r t i f i c i a l b o u n d a r yi sf i c t i t i o u s ，t h ew a v ew o u l dt r a v e lt h r o u g hi tw i t h o u ta n yr e f l e c t i o n , t h u s t h i sm e t h o dc a ne f f e c t i v e l ye l i m i n a t et h ee f f e c to fr e f l e c t i v ew a v eo nt h ec a l c u l a t i o n s ， a n da c c u r a t e l yc a l c u l a t et h ed i s t r i b u t i o no f t h el i g h tf i e l da n ds o u n df i e l dc o n s e q u e n t l y h e r e ，t h i sm e t h o di su s e di nc a l c u l a t i o no no p t i c a lw a v e g n i d e ，a c o u s t o o p t i ct u n a b l e f i l t e r sa n dw a v es c a t t e r i n g f r o mt h er e s u l t so fc a l c u l a t i o n , i tc a nb ef o u n dt h a tt h i s m e t h o dp r o v e sh i g h l ye f f e c t i v ei nt h e s ea s p e c t s t h ef i r s ti s i t sa p p l i c a t i o no ny 七r a n c ho p t i c a lw a v e g u i d e o p t i c a lw a v e g u i d ei s t h ec o r eo ft h ei n t e g r a t e do p t i c s m o s td e v i c e si ni n t e g r a t e do p t i c s ，s u c ha so p t i c a l m o d u l a t o r , s w i t c h e s ，p o w e rd i v i d e r s , c o u p l e r s ，w a v e l e n g t hd i v i s i o nm u l t i p l e x e r s ， f i l t e r s ，b e a ma n a l y z e r sa n dl e n t i c u l e s ，a r ea l lb a s e do nt h eo p t i c a lw a v e g u i d e s t h e r e f o r e ，t h eo p t i c a lw a v e g n i d e sa r et h ec e n t e ro fi n t e g r a t e do p t i c s y - b r a n c ho p t i c a l w a v e g u i d ei sa l s oo n eo fi m p o r t a n to p t i c a ld e v i c e s ，s od e s i g na n dc a l c u l a t i o no ni t b e c o m e ss i g n i f i c a n t h e r e ，w eu s et h ep r e s e n t e dm e t h o dt od e s i g na n dc a l c u l a t ei t , a n d g e tt h ep o w e rt r a n s m i t t a n c e5 2 8 t h er e s u l ti si na g r e e m e n tw i t ho t h e r s a n ds h o w s t h ep r a e t i c a b i l i t yo f t h i sm e t h o d t h es e c o n di si t s a p p l i c a t i o n o nc a l c u l a t i o no ns i d e l o b e s u p p r e s s i o n o f a c o u s t o o p t i ct u n a b l ef i l t e r s ( a o t f ) a o t fa r ev e r ya t t r a c t i v ei nc o m m u n i c a t i o na n d n e t w o r ka st h e yo f f e rab r o a dt u n i n gr a n g e ，af a s tt u n i n gs p e e d ，a n das i m u l t a n e o u s f i l t e r i n gc a p a b i l i t y h o w e v e r , t h em a g n i t u d eo fs i d e l o b ea f f e c t si n d i r e c t l yt h eq u a l i t y o fi t sp e r f o r m a n c e ；h e n c et h es i d e l o b es u p p r e s s i o nb e c o m e sv e r yi n d i s p e n s a b l e a c c o r d i n gt ot h es i d e l o b e sc h a n g ea st h ew i d t ho fs o u n dw a v e g u i d ec h a n g e s ，t w o k i n d so fs t r u c t u r ea r ed e s i g n e d ，o n ei sc o s i n ef i m c t i o na sw e i g h t i n gf u n c t i o n ；o n ei s g a u s sf u n c t i o na sw e i g h t i n gf u n c t i o n a n dt h eo p t i c a lf i l t e rr e s p o n s e so ft h et e t m m o d ec o n v e r s i o n so fa o t fw i 也d i f f e r e n tw e i g h t i n gf u n c t i o n sa r ec a l c u l a t e d r e s u l t s s h o wt h a tt h ea o t fw i t hg a u s s i a nw e i g h t i n gf u n c t i o n sa r eb e t t e rt h a na o t fw i t h c o s i n ew e i g h t i n gf u n c t i o n t h ef m a li si t sa p p l i c a t i o no nw a v es c a t t e r i n gp r o b l e m s t h ed i s t r i b u t i o n so f s c a t t e r i n gf i e l df r o md i f f e r e n ts c a t t e r e r sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hi n d i c a t et h i sm e t h o di s u s e f u li nc a l c u l a t i o no ns c a t t e r i n gp r o b l e m s k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， t r a n s m i t t a n c e ，a c o u s t o o p t i ct u n a b l ef i l t e r ， a r t i f i c i a lt r a n s m i t t i n gb o u n d a r y , p o w e r w a v es c a t t e r i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：京问江签字日期：却心年j 月扣日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：杂间组 导师签名： 毒s 乞t 签字日期：铆年月z 口e t 签字日期：h 问 年, q l t o 日 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 从上世纪6 0 年代末，随着微波、激光、半导体、薄膜光学和集成电路理论 与技术的迅速发展，逐渐形成了集成光学的雏形。至今，集成光学己发展近三十 余年，随着信息高科技时代的到来，集成光学自身理论、材料、工艺、器件及应 用等诸方面都得到了飞速的发展，同时也促进了相应的有效数值计算方法的发 展。目前用于实际模拟计算的有以下几种：有效折射率传输矩阵方法1 1 - 2 、光束 传播法1 3 、时域有限差分法m 、付利叶光学近似法i s ，准静态方法 6 1 、矢量分析 法m 等，都有效地用于波导、电光开关、分光器、光纤集成光路、行波电光调制 器等集成光学器件的模拟与计算。尽管计算方法如此多样，但是需要指出的是， 每一种方法都有其在某方面、某侧重点上独特的优点和不可避免的缺点，而在对 于本文所讨论的问题，我们侧重于消除边界上反射波的影响，因此我们采用了人 工透射边界方法。 在本文，我们就详细介绍了结合地震学中的人工透射边界的有限元方法，即 我们所谓的有限元人工透射边界方法。并将其用于光波导、声光可调滤波器抑 制旁瓣等的计算。通过计算结果的合理性，进而进一步说明这种方法的有效可行 性。 1 1 人工透射边界的背景 人工透射边界最先是由地震学界的廖先生于1 9 8 4 年提出来的i s 。至今已有 将近二十年的发展，而且其应用的领域也得到进一步的扩大，应该说它己发展的 比较成熟。那么人工透射边界是在什么情况下提出来的，又有什么优点使它能得 到如此的发展呢? 我们知道，非均匀介质中波传播问题( 包括近场理论地震图的 综合、地震波与人工或天然结构相互作用的分析等) 是地震学和地震工程学的一 个重要的研究课题。对于这类问题的处理通常采用连续方法和离散方法。连续方 法已取得显著进展1 9 - 1 m ，对于竖向非均匀但横向为均匀的弹性半空间内综合近场 地震图的问题，已有若干行之有效的计算方法。不过，如果在上述弹性半空间内 存在介质的横向非均匀区，这类方法常受到横向非均匀区的几何合力学性质以及 所研究的运动类型的限制，因而多用于处理相对简单的问题。离散方法在研究用 前者无法求解、或可以求出解析解，但解答难以估值的近场波动问题中有重要的 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 作用1 1 1 ，如何处理有限计算区域人工边界的辐射条件却是一个难题。近年来，分 析波传播问题的离散方法日益受到重视，研究者做了很大的努力试图解决这一难 题。对于大部分人工边界处理方法的归纳和比较表明，如果试图寻求一种方法同 时适用于线性及非线性暂态波分析，粘性边界和傍轴边界或许是目前较好的处理 方法。它们可以完全吸收正入射平面波，但对于斜入射只能近似吸收。由非完全 吸收引起的误差将随入射角增加而加大，当入射角接近9 0 。时，入射波将全部从 人工边界反射回去，此外，它们在原则上不适用于处理面波。在此情况下，廖先 生提出人工透射边界。 由于人工边界是虚拟的，处理人工边界最直接的方法就是模拟波穿过边界的 过程。在平面波正入射假定下，这一模拟可以通过简单的透射方法实现。由于正 入射假定所造成的上述透射方法的误差仍然是一个平面波，它具有和原入射波相 同的波速和传播方向。这一误差可以由多次透射方法来处理。 这一人工透射边界的优点在于它可以有效地消除由边界反射波而引起的误 差，从而可以得到更精确的计算结果。 1 2 有限元一人工透射边界法的提出 无论是研究光在波导中传播，还是声在波导中的传播，都不可避免的遇到边 界问题的处理，为此，研究者也在做大量的努力解决这方面的问题，因此提出了 理想匹配层吸收边界条件( p m l ) 1 1 2 1 、透明边界条件( t b ) 1 1 3 l 等等。而通过上 述的分析讨论，我们知道人工透射边界在处理波传播问题时与其他方法相比有着 其独特的优点，能够更有效地消除边界上反射波的影响，所以我们采用这种边界 条件来进行问题边界的处理。 而有限元方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体 等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理 论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得到的解就可以足够逼 近于精确值。所以近年来有限元方法己发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、 渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。 于是，基于有限元方法和人工透射边界各自的优越性，我们把有限元方法与 人工透射边界结合起来，从而形成本文中我们所谓的有限元一人工透射边界法， 并将其用于求解光波导、声波导等相应的问题。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 3 本文的主要内容 本文的主要内容是将有限元与地震学界提出的多次透射理论相结合而形成 一种求解近场波动问题的方法：有限元一人工透射边界法。这种方法的主要优点 是可以消除由于人工边界引起的反射波的影响。并将其用于光波导、声光可调谐 滤波器、电磁波散射等问题的求解方面，进一步推广了该方法的使用范围，同时 通过我们的应用，证明该方法在求解多种复杂的波场分布、电磁波散射等方面具 有其独特的性能。 本文的内容安排如下：第一章绪论部分主要介绍有限元一人工透射边界法的 提出背景以及我们应用它的原因。第二章重点介绍了人工透射边界方法及其误差 方面的问题，进而将其与有限元方法结合，形成我们所谓的有限元一人工透射边 界法。第三章重点介绍了光波导，并将有限元一人工透射边界法应用到其中进行 了求解，得到其传输效率。第四章主要介绍了声光可调谐滤波器，并用有限元一 人工透射边界法进行权重耦合旁瓣抑制的设计和计算，得到了很好的计算结果。 第五章主要介绍了电磁波散射问题，进而给出用有限元一人工透射边界法计算的 波散射的结果。 天滓火学硕士学位论文第_ = _ 二章有限元人t 透射边界法 第二童有限元一人工透射边界法 随着集成光学的快速发展，对光波导研究的深入，波导中场的计算变得越 来越_ 蕈要。通过对波导中场的计算，我们可以对波导中的场分布进行模拟、仿真， 可咀按需要设计不同的波导。 由于波导中场的分布很复杂，既要考虑场模式的辐射、耦合，也要考虑折 射率的变化等因素，囚此埘波导场分布的计算很困难。目前只能对其近似处理， 常用的计算方法有：有限元( f e m ) ，以及光束传播法( b p m ) 等 。但是这些 方法不能很好地处理边界问题，所采用的边界往往带来波在边界的反射，这给计 算结果带来很大的误差。 针对这个问题，我们借用地震学中处理边界的时候经常用的人工透射法， 此方法能很好的模拟边界条件，可以更好地避免波的反射带来的计算误差。我们 把此边界法结合有限元方法，提出了新的计算波导场分布的方法，我们称为：有 限元人工透射边界法。井运用此方法实际计算了光波导、集成光学中的加权声 光可调谐滤波器中声指向耦合器的声场及其模转换率、渡散射等问题- ”，。实际的 应用表明该方法具有过程简单，适应性强等优点。 本部分首先介绍了有限元方法，然后加入人工透射边界m ，i ，提出了有限 元一人工透射边界法，至十其实际应用将在后面的章节中逐一阐述。 2 1 有限元方法 在科学技术领域内，对于许多的问题，人们已经得到了它们应遵循的基本方 程( 常微分方程或偏微分方程) 和相应的定解条件。但能用解析方法求出精确解 的只是少数方程性质比较简单，且几何性状相当规则的问题。对于大多数问题， 由于方程某些特征的非线性性质或求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解 析的答案。这类问题的解决通常有两种途径：一是引入简化假设，将方程和几何 边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答，但是这种方法 只是在有限的情况才是可行的，因为过多的简化可能导致误差很多甚至错误的解 答。因此人们多年柬寻找和发展了另一种求解途径和方法数值解法。而有限 元的出现，是数值分析方法已经领域内的重大突破性的进展。 元的出现，是数值分析方法已经领域内的重大突破性的进展。 无肄太学硕士学位论文第二鼙鸯限元a 工透射逸孬法 箫= 毫商凝嚣一人工透射边界法 随着集成光学的快速发展，简光波导研究的深入，波导中场的计算蜜得越 来越熏要。通过对波导中场的计簿，我们可以对波导中的场分布进行模拟、彷真， 可熬接震要设诗不溺豹波导。 壶于渡罨中螓戆分布穰鬣絮，菠饔考虑璐模式麓凝瓣、藕合，迄要考虑瓣 射率的变证等闲豢，露诧对波嚣场分翥瓣 算缀困难。强藩其l 对其避缎娃骥， 常用的计算方法奔：有# 艮元( f e m ) ，以殷光束传播法( b p m ) 等 1 4 ) 。但怒邀些 方洼不能很好地处理边界问题，所袋用的边界往往带_ 柬波在边界的反射，遂治计 算结果带来很大的误差。 针对这个润激，魏髑借灞蠛震掌巾龄理边界的懑缀燃鬻阕的九工矮魁蕊。 照方法能稷努躲楼羧边赛条释，田激受黪缝避免渡救蔽舔带卷貔计算溪戆。蕊 f l 把此边界法结含肖黻元方法，鼹 j = 5 了新的计算波导场分布的方法，我f f 称为；有 限元人工透射边界法。并运用此方法实际计算了光波导、集成光学中的加税声 光可调谐滤波器巾声拯匀耦合器戆声埂翌舞摸转换率、波散射等闷题m 】+ 鬟鼯鲍 庭搿表甥该方法爨有过程篱萃，逶窿糕强薄囊赢。 本部分首先奔绥了有限元方法，憝蘑鸯珏灭人工透羹于逑赘睁川，提如了商陵 元人工透射边界法，至于其实瓢腱罔将在看面盼章节中逐阐述。 黧。1 有限元方法 在科学技术领域婚，对于许多酶闯题，入们已经褥到了它们应遵循酶攀本方 程( 常微分方程藏偏微分方程) 和丰i | i 威的定解条件。但能用解析方法求比精确解 的只是少数方程性质比较简单，髓且衡性状相当规则的问题。对于大多数润题， 国手方程菜垫游镊麓嚣线毪整矮或袭黪麓菇熬尼麓嚣获魄羧复杂，囊不耱褥鬟簿 擀数簧案。这类瀚鼷的解凌通露鸯褥穆途径：是萼 入麓化缓设，将方稷翻凡悸 边赛蔺化为能够熊獯的情况，从丽得剿问题在简化状态下的解答，但是逸种方法 只是在有限豹情况才是可行的，网为过多的简化可能导致谖麓缀多甚至错误的解 答。因此人们够年柬寻找和发展了爨一种求解途径和方法激值解法。丽霄隰 嚣的鹭璐，是数壤分褥方法已经颚髓内躺熏太突酸性躺漱鼹。 第二章有限元- 人工透射边界法 有限元方法是数值计算中的一种离散方法，用数学术语来说，就是从变分原 理出发，通过分区插值，把二次泛函( 能量积分) 的极值问题转化为一组多元线 形代数方程来解。从物理和几何概念来说，有限元方法是结构分析的一种计算方 法，是矩阵方法在物理领域的发展和应用，其基本思想是把整个计算区域划分为 有限个单元，对每个单元，用有限个参数来描述它的特性，而整个的特性可认为 是这些小单元特性的总和。 有限元方法求解的基本思想可以概括为以下几步： 1 ) 将求解区域划分成若干小区域，将每个小区域中的场函数用一个含 有待定系数试探解表示； 2 ) 利用变分原理将微分方程问题化为含有待定系数的代数方程； 3 ) 利用各小区域场量连续的边界条件，将所有的小区域的函数联系起来， 并利用整个求解区域的边界条件构成全求解区域的待求代数方程组： 4 ) 最后求解代数方程组，得到需要的特征值和场解。 具体的步骤中要注意以下几点 1 ) 求解区域的分割 如何划分子区域在有限元方法中是极为重要的一步，因为子区域的划分恰当 与否涉及到计算的精度，在同样的精度条件下将影响到计算机内存需求和计算时 间。如果求解区域是规则的矩形，用矩形区域分割比较合适，若整个求解区域不 是矩形，则用三角形分割更恰当。 2 ) 试探函数的选择 选择合适的试探函数是有限元方法的第二步。在有限元方法中常将待求场量 的试探函数称为差值函数。差值函数可以选择线性函数或二阶多项式乃至高阶多 项式。高阶多项式作为差值函数的计算精度较高，收敛较快，但通常得到的表达 式十分复杂。线性差值易于掌握，其精度尽管不如高阶差值，但可以通过将小区 域划分得更细来加以解决。 3 ) 边界条件 对于一个微分方程的边值问题，边界条件起着决定性的作用。所谓的边界条 件包含两层意思，一个是整个求解区域的边界上的边界条件，二是求解区域中不 同介质填充区域的分界面上电磁场量切线分量的连续条件。后者在有限元中是自 动满足的。 2 1 1 场域的剖分 以上指出，有限元法是建立在场域剖分的基础上，所以场域的剖分在有限元 天津大学硕士学位论文 第二章有限元一人工透射边界法 法中占有很重要的地位m - 。场域剖分得是否合适，各单元顶点的编号是否合适， 无论对计算机的容量及运算时间、还是对数值解的精度都有很大影响。在本文的 问题研究中，我们主要考虑了四边形单元的剖分。 在四边形单元中，除了整体坐标外，也常用局部坐标。它用等分四边的两族 直线的中心为局部坐标的原点，以两族直线中通过原点的两根直线为亭，7 + 坐 标轴，如图2 1 1 所示。 y 图2 - 1 1坐标轴位置图 原有四边形的四条边1 2 、2 3 、3 4 、4 1 分别用卵= 一l 、掌+ = 1 、r = 1 、掌= 一1 表示。这里f 表示亭轴上任一点和原点间距离与扰的比，而，7 表示卵。轴上任 一点和原点间距离与b 2 的比。f 、r 的变化范围为： 一1 善s 1( 2 1 1 ) 一l r 1( 2 1 2 ) 四个顶点1 、2 、3 和4 在善。- 玎。平面中的坐标分别为( 一1 ，一1 ) ，( 1 ，- 1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 一1 ，1 ) 。 这里是用一组不超过1 的无量纲的数来确定单元中各点的位置，所以f 。印是四 边形单元中的自然坐标。 所示的坐标变换，便可将f 一r 平面上的 任意形状的四边形，转化为直角坐标系 善一r 平面上，以原点为中心的边长为2 2 的标准矩形，如右图( 2 一卜2 ) 所示。 玎 - l ，1 ) r 1 乙1 ，i ) 2 ( 1 图2 - 1 2 直角坐标系f r 1 ) 孝 陟 ” 式善，玎髓隹 天津大学硕士学位论文第二章有限元人工透射边界法 2 1 2 形状函数的构成 任意四边形，通过坐标变换都可转化成直角坐标系孝一r 平面上的矩形，下面 以此作为分析的对象。 4 玎1 i 工 8 f - ! ，0 ) t 工 0 6 ( 1 ，0 ) l i ：11 ) 5 ( 0 1 ) 2r 1 ， 图2 卜3 1 ) 宇 一1 ) 图2 1 3 中，矩形四边形z 、正、石和工的方程分别为： 刁+ 1 = 0 ，亭一1 = 0 ，r 一1 = 0 ，4 + 1 = 0 对应于z 、以、石和工，设有函数 g l = 1 + 玎，g 2 = 1 - 善，g 3 = 1 一叩，g 4 = 1 + f 各节点i 的形状函数可按下式决定： f = ( f ) ( 嘶+ 啦善+ q 刁+ q 善。+ a s t 2 + ) ( 2 1 4 ) 式中e = g ，或1 ( 当节点i 不在乃边上，则为g ，当节点i 在乃边上时，则为1 ) 。 a ，a 2 为代定系数。设每个单元上节点总数为n ，通过节点i 的两边上节点数 为n ，则式( 2 一l 一4 ) 中第二个因子的项数等于，z n ，。 2 1 3 有限元方程 1 首先主要介绍齐次第二类边界条件下的单元有限元方程为 e ( 妒) = 委 妒r 【k 】。 妒】。一 伊】； p 】。( 2 - 1 5 ) 不管用三角元剖分，还是用四边形单元剖分，等参元有限元法中系数矩阵 世】。及 p 。的计算步骤完全相同。现以八节点四边形单元为例加以说明。这样 童塞墅苎竺型：型苎 茎三皇壹堕垂：三垩壁望墨鲨 一7 一h 世】。 p 】。= 巧弓巧( 2 - 1 7 ) 式( 2 一卜6 ) 中一般元素的表达式为 巧= f i a n ；i a n ；+ 警铷 ( 2 十8 ) 式( 2 - 卜7 ) 中的一般元素为 鼻。= f p & e 凼a y ( 2 1 9 ) 墨 上列两式中的i ，j 2 l ，2 ，8 为各单元上节点的局部编码。如果换成整体编码， 就可在各单元分析的基础上进行累加，从而求得闭和 闩。 2 在式( 2 1 8 ) 中，需计算笺 ，譬，笺里，笺至四个量。为简单起见， 融 却 靠 却 一 把单元系数矩阵的计算放在局部坐标中进行。 根据微积分中的复合求导法则得 将上式用矩阵表示，则为 a n , e 鸳 a n ； a 玎 式中 a x砂 叫葩a xa 劫g l a 叩 a 叩 a 孵 a ( x ，力i 玉 a ( f ，叩) ia n , o i 砂 称为雅可比矩阵，它表示坐标间的转换关系。 = j a n ： a x a n ； 咖 ( 2 - 1 1 0 ) ( 2 - 1 11 ) ( 2 - 1 1 2 ) h阻 砀殇 翰砀碥 砂一骘砂一却畔一钞盟砂 鱼磐知一卸 笙缸竖苏 = = 盟管唧一卸 嘶l奄盟妙 眇一髫砂一却鱼曾知一却 r，l = 天津大学硕士学位论文 第二章有限元人工透射边界法 解式( 2 - 1 1 1 ) 可得 a n 缸 榭! 砂 = 【，】一 n | 筐 o n ； a 打 ( 2 1 1 3 ) 式中 ，一是雅可比矩阵的逆矩阵。它确定后，所求的警、号笋也就随之而定。 由求逆矩阵的运算规则可知 州2 丽1 2 丽1 砂 a 0 x a 行 印 鸳 蠡 凿 i ，l = 1 粪割= d 吼c ， 可得： x = 吖( f ，叩趣 y = 孵g ，e ) y 将式( 2 - 1 1 4 ) 代入式( 2 1 1 3 ) ，得 ( 2 一卜1 4 ) ( 2 - 1 15 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 - 1 - 1 7 ) 嘶一鸳塑骘盟叻坐却 蕾 m t 咒 。h。h。m i 】 i i = = 缸一骘砂一西缸一却砂一却 j 燮兰堡主兰堡笙苎 苎三童塑里垄：三垄墅望墨垫 _ - - 二二=一 显然 a n , o 缸 a n e 砂 i 砂 i 面 丽f 一鱼 【却 ( 2 - 1 1 8 ) j 坐：一1r 垒篓一堂堂、 釜羔1 至羔盖蔓、 m 。， f 丝：一r 一鱼塑+ 鱼箜、 7 i 砂j j l 、a 町鸳鸳a 叩 3 由于安 ，笺箬，罢兰，芸互都是局部坐标的函数，所以式( 2 - 1 - 8 ) 鼠西舭4 加”“”、 y 图2 一卜4 坐标关系图 由于沿善方向，卵保持不变，所以a 在x ，y 轴上的投影分别为 盟鸳嘶一卸 皇够缸骘 等筹警毒堕嘭盟髫筹卫卸 上旧卜矛，雨二川 争巨 天津大学硕士学位论文 第二章有限元- 人工透射边界法 吒2 a l 。i r a 一 x ( f + 善，印) 一x ( f ，吁) 2 毒d 喜 。一。一。， q 2 删l i r a y ( f + 细一( 轫) 】_ 老蟛 同样，b 在x ，y 轴上的投影分别为 ( 2 1 - 2 2 ) 局鄙坐杯中的回兀d s ，就是由a 和b 所构成的平行四边形的面积： d s - 刚a xb = f j i d 嗣叩( 2 - i - 2 3 ) 这样，单元系数矩阵中的任一元素的计算，可在局部坐标中进行： 伞i 辨i 鼍e 去e + 等等融明倒q ( 2 - i - 2 4 。 同样可得到： 只。= ff p n t d e t j j d f d r l ( 2 - 1 - 2 5 ) 根据式( 2 一卜2 4 ) 和式( 2 1 2 5 ) 可计算出蟛和8 ，然后，将【k 】。和【p 。扩展 成 趸 。和 - 。并进行累加，即可得到总体有限元方程 k f 纠= p 1( 2 一卜2 6 ) 2 1 4 高斯积分法 根据上面的分析，可得形如下式的积分： f ，偕，玎m 叩 ( 2 - 1 2 7 ) 式中被积函数f ( f ，叩) 往往相当复杂，难以精确积分，因此通常采用近似的数值 积分方法。常用的数值积分为牛顿一柯塔积分法和高斯积分法。对于相同数目的 积分点，高斯积分的精度高于牛顿一柯塔积分，所以在本文我们采用高斯积分法。 所谓高斯积分法，就是在单元内选择某些积分点，求出被积函数在这些积分点上 的数值，然后用一些权因子乘这些函数值，并求和，就得到积分值。 1 1 声，卢， d d 缸一鸳砂一西 = = 以 b ，、l 天津大学硕士学位论文 第二章有限元人工透射边界法 在此，先介绍一维高斯求积公式，即 ii t f 皓联口1 = 1 啊茧) ( 2 一l 一2 8 ) 式中彬是权因子，点是选用积分点的坐标，n 是高斯积分点的总数，如图 ( 2 - 1 4 ) 所示 ，( ；) j 一 l ! 一l o 当f ( f ) 为不超过2 n 一1 次的多项式时，上述积分可得到完全精确的结果，对 于次数高于2 n 一1 的多项式，不能精确成立。所以，已知多项式f ( 善) 的次数m 之 后，取n 旦芸为宜。 上式中的积分点毒，应是n 次勒让德多项式的n 个根。彬根据式( 2 一卜2 8 ) 对任何次数不超过2 n l 的多项式精确成立的要求决定。 这样在一维高斯求积公式的基础上，利用化重积分为多次积分的公式，极易 导出u - 维和三维的求积公式。 求矩形域上积分ff f ( f 刀) d 弘刁时，先将即作为常量，对f 积分得 f ( g ，叩矽善口艺彤f ( 磊，刁) 再对r l 积分，得 j 账荆蜊叩口j 茎咿c 砌砌= 兰i = le j 刚加砌 口窆形， 艺矿，f ( 善。，野，) 】：宝宝w , w ，f ( g ，刁，) 式中n ，i , 1 2 可以互不相同，也可以相同。上式可以i e 确算出多项式 天津大学硕士学位论文 第二章有限元人工透射边界法 吩善r l 。( f ：“。o ，x ) ( 2 - 2 - 1 3 ) 其中： “，0 ，x ) = “j ( q t x c o s o i ) ( 2 - 2 1 4 ) ( 2 2 1 3 ) 式中的u ( t ，z ) 表示波场总位移矢量的某一分量，它由一系列沿着x 轴 以视速度q l e o s o , 传播的行波“；( c ：t x c o s 只) 组成。对于平面波“? ( ) ，在每一介 质层内c 为该层的压缩或剪切波速，入射角只一般未知；对于向竖直人工边界入 射的面波“x ) ，口= o ，而波速c j 一般与频率有关。令( 2 2 - 1 2 ) 式中甜( ，) = “，( ，) ， 0 5 = 口和c = c ，则( 2 - 2 1 3 ) 式中包含的每一行波“( f ，工) 的透射公式为： “，o + a t ，z ) m 乏：( 一1 ) 。“c ? “，o 一( j 一1 ) a t ，x j a j c j a t ) ( 2 - 2 1 5 ) 为了获得全部入射波“( f ，x ) = q ( f ，x ) 的透射公式，基于参数甜的取值的 灵活性，可以假定对所有行波甜x ) 弓f 入一个共同的人工透射波速 = 口，c ，( 2 - 2 1 6 ) 对上述假定的条件讨论；b t ，设在所研究的问题中波速c ，的最大和最小值 分别记为c 一和c 。，而口的允许上限和下限分别记为a 一和口硼m ，可以证明， 只要 天津大学硕士学位论文 第二章有限元一人工透射边界法 鱼 兰坠 陀一2 1 7 ) c m i n口m i n 则可以在下列范围内 口。c 。c 甜。c ( 2 - 2 - 1 8 ) 取任一q 值使( 2 - 2 - 1 6 ) 式成立。对范围广泛的波动问题，条件( 2 - 2 - 1 7 ) 成立。 将( 2 2 1 6 ) 式代入( 2 2 1 5 ) 式，并将( 2 。2 1 3 ) 式中包含的所有行波“疋) 的 透射公式( 2 2 1 5 ) 相加，可得统一的透射公式： u ( t + a t ，咖s ( 一1 ) 川c ? u ( t 一( ，一o a t ，x 一心血) ( 2 - 2 - 1 9 ) = 1 ( 2 2 1 9 ) 式和( 2 2 1 5 ) 式具有相同形式，但( 2 2 1 5 ) 式中单个行波”：的位 移是未知的，而( 2 2 1 9 ) 式中甜( f ，砷为入射波的全位移，它们在数值计算中为 己知。( 2 - 2 1 9 ) 式表明，具有若干波速的波动问题的透射边界处理可以和只有 单一物理波速的标量波情形同样简单。 2 2 2 透射公式的误差讨论 假定入射波为由( 2 2 1 ) 式给出的平面波，( 2 2 1 2 ) 式的误差a u u ( 目+ s ) 可 以由( 2 2 6 ) 式估计m 。由于斜入射引起的相位差占( 图2 2 1 ) 为小量，( 2 - 2 - 6 ) 式右端第一项可以展开成泰勒级数，( 2 2 6 ) 式可以写成： a m u * ( 卵+ f ) = 冬( “( 叩) ) + o ( f2 ) ( 2 - 2 2 0 ) dr 由递推公式( 2 2 2 0 ) 可得： 幽b = 斋 州- 1 ) 娜+ d ( 1 ) - d ( ”) ( 2 _ 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 1 ) 式表明，阶透射公式的误差取决于相位差占和透射阶数，并具有 0 ( 1s1 ) ”的数量级。虽然相位差占与0 ，c a t 和t 2 有关，可以证明，如果a 在 0 口2 f 2 - 2 2 2 ) 范围内取值，则s 的绝对最大值为： sl 。= c a t 。 ( 2 2 - 2 3 ) 事实上，由于仅考虑来自人工边界一侧的入射波，我们有： 1 01 9 0 0( 2 2 2 4 ) 将( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 4 ) 式代入( 2 2 5 ) 式得到( 2 - 2 2 3 ) 。由此可知，( 2 - 2 一1 2 ) 天津大学硕士学位论文第二章有限元- 人工透射边界法 式的最大误差与入射角0 无关，而且具有量级o ( c a t ) “】。换言之，离散参数c a t 和透射阶数是控制误差大小的决定性因素。 为了进一步讨论透射公式的误差，考虑一个波长为丑，入射角为口的单位振 幅谐波。它沿x 轴( 2 2 1 ) 的视传播可以表示为： u ( c t xc o s 口) = s i n 【2 石( c t xc os 0 ) 丑( 2 2 2 5 ) 注意到( 2 2 - 4 ) 和( 2 。2 5 ) 式，并将( 2 2 2 5 ) 式代入( 2 2 6 ) 式，则阶透 射公式的振幅误差最后可以写成： l ”“ 2 ”s i n ”( 万s a )( 2 2 2 6 ) 将= l 占l = c a t 代入( 2 - 2 - 2 6 ) 式，最大振幅误差为： i “ui = 2 “s i n “( 丌c a t 丑)( 2 2 2 7 ) 从( 2 2 2 7 ) 式可知，( 2 2 1 2 ) 式的误差随透射阶数的增加而趋于零的条件为： 2s i n ( 7 1 c t a ) 1 ( 2 2 2 8 ) 不等式( 2 - 2 2 8 ) 的解是 c t1 丁 丁 ( 2 2 2 9 ) 就波动问题的离散计算而言，通常要求x 五1 l0 ，其中缸为空间步距； 另一方面，数值积分的稳定条件一般要求c a t 血。由此可见，保证误差随透 射阶数增加而趋于零的条件，并不对离散步距提出任何附加要求。由于在离散计 算中取c a t 见远小于1 ，( 2 - 2 2 7 ) 式表明，透射公式的最大误差近似正比于 ( c a f ) ”。设入射波周期为l 兄= c t ，则最大误差正比于( a t r ) ”。因 此，时间步距出可以根据感兴趣的频段的高频上届选取，而与物理波速c 无关。 上述误差分析是在条件( 2 2 2 2 ) 式下完成的。换言之，如果取口一为充分 小正数，同时取0 m 。= 2 ，上述误差分析的结果成立。由此可见，a 。在理 论上可以任意大。另一方面，对于广泛的实际波动问题，c 。是某一不大 的常数。例如，均匀弹性介质内的标量波问题，由于只存在唯一波速c ， c 一c 。= 1 ；对于均匀弹性半空间的矢量波问题，c 。c 。= c p c r ，咋和c r 分别为压缩波和瑞利波速度。当洎松比v = 0 0 4 时，c ，c 。= 1 2 2 3 。显 然，对于大多数实际波动问题条件( 2 2 1 7 ) 成立。应该指出，a 的下限值a 。= 0 必须排除。显然当a ：0 时，( 2 2 2 7 ) 式也成立，但是，其前提是精确地已知边 界点在任一时刻及其以前时刻的位移值。然而，在暂态波的离散数值计算过程中， 这一前提并不成立。当a = 0 时，波从边界内向外传播的过程已经排除，假若初 始条件为零，人工边界实际上变成固定边界。 天津大学硕士学位论文第二章有限元人工透射边界法 2 3 透射边界与无穷远辐射条件 在无限介质内波动现象的解析研究中，出于物理考虑需要对无穷远处的波动 行为施加一定限制，这种限制称为无穷远辐射条件，它们对保证物理上适定的波 动问题的解析解的唯一性至关重要。与波动解析研究中的辐射条件相对应，在利 用有