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考虑土一结构相互作用的深基坑弹性地基有限元分析 专业：岩土工程 研究生：应捷 导师：赵树德 摘要 深基坑工程是建筑工程的一部分，其发展与建筑业的发展密切相关。随着高层建筑 的大批出现，对深基坑工程的要求越来越高，即对深基坑稳定和位移控制的要求很高。 因此，就深基坑工程而言，既涉及土力学典型的强度与稳定问题，又包含了变形问题， 同时还涉及到土与支护结构的相互作用。 本论文详细介绍了目前深基坑支护工程的理论研究现状，并且着重分析杆系有限元 法的基本计算过程及其在深基坑支护结构中的计算步骤。同时，本文论述了弹| 生地基梁 的计算理论和分析方法，深入讨论了弹眭地基梁的各种计算模型，其中包括弹性理论模 型、文克尔理论模型、用弹性柔线联结的弹簧系模型、双基床系数模型等。通过详实地 分析建立在文克尔理论模型基础之上的弹性地基有限元法计算原理和实旋过程，指出当 前深基坑支护体系弹性地基有限元法的不足。及目前深基坑计算中普遍存在的土压力计 算及分布问题，提出了考虑土一结构共同作用的分析方法，并以此建立了相应的土压力 模式。在此基础之上总结出此模式与弹性地基有限元法相结合的计算方法，同时利用 f o r t r a np o w e rs t a t i o n 编写了实用的s j k 程序，用于计算支护结构的内力与变形。以 具体的工程地质条件为依据，对不同的支护条件下的计算结果进行分析，分别讨论了不 同的基坑开挖深度、支护结构刚度、支撑位置及支撑冈0 度对内力和变形的影响，得出了 较为符合实际的分析结果。同时，本文也针对多支撑支护结构施工时，存在的分步开挖 的情况，结合本论文所提考虑土一结构共同作用的分析方法及荷载增量法理论，对多支 撑支护结构在开挖过程中各工况进行了简要分析，并与实测结果进行了比较分析。 通过分析计算可以得出，在基坑支护过程中，土压力的大小在静止土压力值的基础 上随支护结构向坑内侧位移增大而减小；土压力的分布由静止土压力的三角形分布随支 护结构位移变化成其它分布：由土一结构共同作用模式引入随土体位移变化的水平向基 床系数，使支护结构在开挖面以上部分同以下部分一样，均可采用弹性地基有限元法进 行计算，得出更为合理的计算结果。 关键词 相互作用深基坑弹性地基有限元 f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s t od e e pe x c a v a t i o n c o n s i d e r i n g o fs o i l s t r u c t u r ei n t e r a c t i o n s p e c i a f i t y ： g e o t e c h n i c a l e n g i n e e r i n g n a m e ： y i n g j i e i n s t r u c t o r ：p r o z h a o s h u d e a b s t r a c t d e 印e x c a v a t i o ne n g i n e e r i n gi sp a r to ft h ec i v i le n g i n e e r i n g , w h o s ed e v e l o p m e n ti s i n t e r r e l a t e dt ot h eb u i l d i n gi n d u s t r yc l o s e l y w i t ht h el a r g eq u a n t i t i e so f h i 【g h - r i s eb u i l d i n g s ， t h ed e m a n dt ot h ed e e pe x c a v a t i o ne n g i n e e r i n gi sh i g h e ra n d h i g h e r , i e t h ed e m a n dt ot h e s t a b i l i t yo fd e e pe x c a v a t i o na n dd i s p l a c e m e n tc o n t r o li sm u c hh i g h e r t h u s ，d e e pe x c a v a t i o n e n g i n e e r i n gd e a l sw i t hn o to n l yt y p i c a ls t r e n g t ha n ds t a b i l i t yp r o b l e m so f s o i lm e c h a n i c sb u t a l s ot h ed e f o r m a t i o np r o b l e m sa n dt h ei n t e r a c t i o nb e n e s o i la n d t i m b e r i n g s t r u c t u r e t h et h e s i si n t r o d u c e sp a r t i c u l a r l yt h et h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o ns t a t u so ft h e t i m b e r i n g e n g i n e e r i n gf o rd e e pe x c a v a t i o na n da n a l y s e sb o t h b a s i cc a l c u l a t i o n p r o c e s so f t h eb a r - s y s t e m f i n i t ee l e m e n ta n dc a l c u l a t i o n s t e p s u s e di nt h e d e e p e x c a v a t i o n t i m b e r i n g s t r u c t u r e s i m u l t a n e o u s l y , t h et h e s i sd i s c u s s e st h ec a l c u l a t i o nt h e o r ya n da n a l y s i sm e t h o df o rb e a m o n e l a s t i cf o l l t l d a t i o n a n dg i v e sa l li n d e p t hd i s c u s s i o no ne a c hc a l c u l a t i o nm o d e lo fb e a mo n e l a s t i c f o u n d a t i o n ，i n c l u d i n g e l a s t i ct h e o r ym o d e l ，w e n k e rt h e o r ym o d e l ，s p r i n g - s y s t e m c o n n e c t e dw i t hf l e x i b l el i n er o o d da n dd o u b l e f o u n d a t i o n - b e dc o e 伍c i a n tm o d e le t c t h e d e f i c i e n c yo f e l a s t i cf o u n d a t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o do f d e e pe x c a v a t i o nt i m b e r i n gs y s t e m p r e s e n t l yi sp o i n t e do u t v i at h ed e t a i l e di n v e s t i g a t i o nt ot h ee l a s t i cf o u n d a t i o nf i n i t ee l e m e n t r n e t h o dc a l c u l a t i o nt h e o r ya n di m p l e m e n tp r o c e s sb a s e do nw e n k e rt h e o r ym o d e l a n a l y s i s m e t h o do fs o i l s t r u c t u r ei n t e r a c t i o ni s p u tf o r w a r da n dr e l e v a n t s o i l p r e s s u r em o d e li s e s t a b l i s h e df o rs o i lp r e s s u r ec a l c u l a t i o na n dd i s t r i b u t i o np r o b l e m sw h i c hi su b i q u i t o u si nt h e d e e pe x c a v a t i o nc a l c u l a t i o n t h e nt h ec a l c u l a t i o nm e t h o di s s u m m a r i z e dc o m b i n i n gt h e m o d e la n de l a s t i cf o u n d a t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d a n da na p p l i e ds j kp r o g r a m m ei s w r i t t e nu s i n gf o r t r a np o w e rs t a t i o nt oc a l c u l a t ei n t e r n a lf o r c ea n dd e f o r m a t i o no ft h e t i m b e f i n gs 仃u c t u r e t h r o u g hi n v e s t i g 撕o nt ot h ec a l c u l a t i o nr e s u l t so nd i f f e r e n tt i m b e r i n g c o n d i t i o n sa c c o r d i n gt oi d i o g r a p h i ce n g i n e e r i n gg e o l o g yc o n d i t i o n s ，t h et h e s i sd i s c u s s e so n h o wi n t e r n a lf o r c ea n dd e f o r m a t i o ni si n f l u e n c e db yd i f f e r e n td e p t ho ft h ee x c a v a t i o n ，t h e n g i d i t yo f t h et i m b e r i n gs 仃| 1 1 c t u r e t h ep o s i t i o no ft h eb r a c i n ga n dr _ i g i d i t yo ft h eb r a c i n ga n d e d u c e s p r a c t i c a la n a l y s i sr e s u l t a n d b e c a u s et h ee x c a v a t i o ni so f t e n p r o c e s s e di ns t e p sd u r i n g t h e m u l t i - t i m b e r i n g s t n l c t u r e c o n s t r u c t i o n ，t h e t h e s i sa l s o a n a l y s e sb r i e f l y t ot h e m u l t i - t i m b e r i n gs t r u c t u r eo ne a c hw o r k i n gc o n d i t i o nd u r i n gt h ep r o c e s so fe x c a v a t i o na n d c o m p a r e si tw i d lt h ea c t u a lm e a s u r e m e n tc o m b i n i n gw i m t h ea n a l y s i sm e t h o dc o n s i d e r i n g s o i l s t r u c t u r ea n dl o a di n c r e m e n tm e t h o dw h i c hi sp u tf o r w a r di nt h et h e s i s t h r o u g h t h ea n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o nt h ec o n c l u s i o nc a nb em a d et h a td u r i n gt h e p r o c e s s o f t h e t i m b e r i n go f e x c a v a t i o n ，t h em a g n i t u d e o f s o i ls t r e s sd e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo f t h e d i s p l a c e r n e n to n t h eb a s eo ft h es t i l le a r t hp r e s s u r e a n dt h ee a r t hp r e s s u r ed i s t r i b u t i o nv 撕e s f r o mt h et r i a n g u l a rd i s t r i b u t i o no ft h es t i l le a r t hp r e s s u r et oo t h e rd i s t r i b u t i o nw i t ht h e d i s p l a c e m e n to f t h et i m b e r i n gs t r u c t u r e t h et h e s i si n t r o d u c e st h eb e d d i n gc o e f f i c i e n ti nt h e h o r i z o n t a ld i r e c t i o nv a r y i n gw i t ht h es o i ld i s p l a c e m e n tf r o ms o i l - g t r u c 饥h ei n t e r a c t i o nm o d e ， t h e r e f o r ec a l c u l a t i o nc a nb em a d et o g e tm o l er a t i o n a l c a l c u l a t i o nr e s u l tu s i n ge l a s t i c f o u n d a t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h i c hi st h es a m et ot i m b e r i n gs t r u c t u r eb o t hu p w a r d sa n d u n d e re x c a v a t i o ns u r f a c e i k e yw o r d s li n t e r a c t i o n ，d e e pe x c a v a t i o n ， e l a s t i cf o u n d a t i o 玛f i n i t ee l e m e n t 【t h e s i s 】a p p l i c a t i o nf o u n d a m e n t 声明 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下 进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特 另, j ；o r l 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他人在其它单位已 申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关 责任。 论文作者签名：若是日期：加眵，啦尸 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名：竟是导师签名：压蹦沤日期：石。哆 注：请将此页附在论文首页。 西安建筑科技大学硕士论文 考虑土一结构相互作用的深基坑弹性地基有限元分析 1 绪论 1 1 概述 深基坑工程是建筑工程的一部分，其发展与建筑业的发展密切相关，而深基坑是充分 利用土地资源的方式之一。由于我国地少人多，人均占地面积少，为节约土地，向空间要 住房，因而大量的高层、超高层建筑以及地下工程不断的出现。随着高层建筑的出现，对 基坑工程的要求越来越高，随之出现的问题也越来越多。许多高层建筑在密集的建筑群中 施工，由于旌工场地狭窄，深基坑开挖不可能放坡，并且邻近常有必须保护的永久性建筑 和市政公共设施，对深基坑稳定和位移控制的要求很高。因此，就基坑工程而言，既涉及 土力学中典型的强度与稳定问题，又包含了变形问题，同时还涉及到土与支护结构的共同 作用。近十几年间，由于基坑开挖深度过大，地下水位高地基土质软弱等不良地质条件， 加上深基坑开挖支护技术不成熟，施工队伍素质低等一系列原因，导致了我国深基坑工程 失事频繁。深基坑失事主要涉及两方面的问题：一是深基坑体系本身失稳；二是深基坑开 挖引起周围环境条件的显著变化，使周围建筑设施产生开裂，甚至破坏。这两方面在深基 坑工程失事中常常是相互联系的，深基坑支护结构的破坏、边坡的失稳常常会引起基坑周 围建筑物的破坏，这一点在拥挤的旧城改造中尤为突出。在这些地区施工场地狭窄，紧邻 基坑边上就有建筑物，在这种情况下进行深基坑开挖，保护环境显得有为重要。支护结构 的任何破坏，都会严重影响周围建筑物的安全，过大的变形也可能引起周围建筑设施的破 坏。从某种意义上讲，保护周围环境的安全比维护周围深基坑的稳定更重要。 深基坑工程是当前岩土工程的热点，也是技术复杂、综合性很强的难点，同时又是提 高工程质量减少事故的重点。深基坑工程是与众多因素相关的综合技术，是一个系统工程 问题，它与场地工程地质勘察、支护结构设计、施工开挖、基坑稳定、降水、施工管理、 现场监测、相邻场地施工相互影响等密切相关。深基坑设计与施工涉及地质条件、岩土性 质、场地环境、工程要求、气候变化、地下水动态、施工程序和方法等许多相关的复杂性 问题，对于这些问题的认识及其对策的研究， 及施工机械、施工工艺的进步而逐步完善的。 用的关键问题。 是随着土力学理论、计算技术、测试仪器以 而支护结构的设计问题是其中起到决定性作 1 2 深基坑工程的特点 深基坑工程主要包括基坑围护体系的设计与施工，它涉及土压力、基础工程、结构力 学、施工原位测试等多门学科，因而是一项综合性很强的系统工程。如果其中某一部分出 现问题，就会影响整个工程的安全，因此它要求岩土工程和结构工程技术人员密切配合a 深基坑工程具有以下特点： 西安建筑科技入学硕十论文 a 基坑围护体系是临时结构，安全储备小，具有较大的风险性 一般情况下，基坑围护是临时措旌，地下室主体施工完成时围护体系即完成任务。与 永久性结构相比临时性结构的安全储备要求可小一些。深基坑围护体系安全储备较小，因 此具有较大风险性。 b 深基坑工程具有很强的区域性 岩土工程的区域性强，岩土工程中的基坑工程区域性更强。如软粘土地基、砂土地基、 黄土地基等工程地质和水文地质条件不同的地基中基坑工程差异性很大。同一城市不同区 域也有差异。深基坑工程的围护体系的设计与施工都要因地制宜，根据本地情况进行，外 地的经验可以借鉴，但不能简单照搬。 c 深基坑工程具有很强的个性 深基坑工程的围护体系设计与施工和土方开挖不仅与工程地质和水文地质条件有关， 还与深基坑相邻建筑物、构筑物及市政设施底下管线的位置、抵御变形的能力、重要性， 以及周围场地条件等有关。有时，保护相邻建( 构) 筑物和市政设施的安全是深基坑工程设 计与旅工的关键。这就决定了深基坑工程具有很强的个性。因此，对深基坑工程进行分类、 对围护结构允许变形规定统一标准都是比较困难的。 d 深基坑工程综合性强 深基坑工程不仅需要岩土工程的知识，也需要结构工程的知识，作为一个围护体系的 设计人员，必须具备这两方面的知识。深基坑工程涉及土力学中稳定、变形、渗流三个基 本课题，三者融合在一起，需要综合处理。部分工程土压力引起围护结构的稳定性是主要 矛盾，部分工程土中渗流引起流土破坏是主要矛盾，还有的工程基坑周围地面变形量是主 要矛盾。 e 土压力特点 深基坑围护结构都要承受土压力的作用。作用在挡土结构上的土压力是与挡土结构的 位移有关的。根据挡土结构物与土体之间的相互偏移关系分为静止土压力、主动土压力、 被动土压力。目前土压力理论还很不完善，静止土压力按经验确定或按半经验公式计算； 主动土压力和被动土压力按库仑( 1 7 7 6 ) 土压力理论或朗肯( 1 8 5 7 ) 土压力理论计算，这些都 出现在t e r z a g h i 有效应力原理问世之前。在考虑地下水对土压力的影响时，是采用水土压 力分算，还是水土压力合算较符合实际情况在学术界和工程界认识还不一致。 f 深基坑工程具有较强的时空效应 基坑的深度和平面形状对基坑围护体系的稳定性和变形有较大的影响，在基坑围护体 系设计中要注意基坑工程的时空效应。土体是蠕变体，特别是软粘土，具有较强的蠕变形， 作用在围护结构上的土压力随时间变大，蠕变将使土体强度降低，使土坡的稳定性变小。 深基坑工程具有很强的时间效应。 g 深基坑工程是系统工程 深基坑工程主要包括围护体系设计及施工和土方开挖两部分。土方开挖的施工组织是 西安建筑科技大学硕士论文 否合理将对围护体系是否成功产生重要影响。不合理的土方丌挖方式、步骤和旌工速度可 能导致主体结构桩基变位，围护结构过大的变形，甚至引起围护体系失稳导致破坏。深基 坑工程是系统工程，在施工过程中应加强监测力求实行信息化施工。 h 深基坑工程的环境效应 基坑开挖势必引起周围地基中地下水位的变化和应力场的改变，导致周围地基土体的 变形，对相邻建筑物、构筑物及地下管线产生影响。影响严重的将危及相邻建筑物、构筑 物及地下管线的安全及正常使用。 1 3 深基坑工程的研究现状 任何一个工程方面的课题的发展都是理论与实践密切结合并不断相互促进的结果。基 坑工程的发展往往是一种新的围护型式的出现带动新的分析方法的产生，并遵循实践、认 识再实践、再认识的规律而走向成熟的。早期的开挖常采用放坡的型式，后来随着开挖深 度的增加，放坡面空间受到限制，产生了围护开挖。迄今为止，围护型式已经发展至数十 种，从基坑围护机理来讲，基坑围护方法的发展最早有放坡开挖，然后有悬臂围护、内撑 ( 或拉锚) 围护、组合型围护等。放坡开挖需要有较大的工作面，且开挖土方量较大。在 条件允许的情况下，至今仍然不失为基坑围护的好方法。悬臂围护是指不带内撑和拉锚的 围护结构，可以通过设置钢板桩或钢筋混凝土桩形成围护结构。它也可蛆通过对基坑周围 土体进行土质改良形成，如：水泥土重力式挡墙结构。为了改善悬臂式围护结构的受力性 能和变形特性，满足较深基坑的支挡土体要求，发展了内撑式围护结构和拉锚式围护结构。 为了挖掘围护结构材料的潜在能力，使围护结构型式更加合理，并能适合各种基坑型式， 综合利用“空问效应”，发展了组合型围护型式。 目前，常用的围护结构有：钢筋混凝土桩、地下连续墙、钢板桩以及通过地基处理方法 采用水泥土挡墙、土钉墙等。钢筋混凝土桩设置方法有：钻孔灌注桩、人工挖孔桩、沉管 灌注桩和预制桩等。钢板桩和钢筋混凝土板桩本身刚度较小、变形较大，用传统的多支撑 板桩理论，如其计算可以用传统的静力平衡法来求解，它主要包括二分之一分割法、简支 梁法、整体等值梁法、分段等值粱法、山肩邦男近似法等。这5 种计算方法都是结构力学 方法，前4 种为较古典的计算方法，它们计算时考虑的条件是：土压力已知，不考虑墙体 和支撑( 或锚杆) 的变形。而山肩邦男近似法属于墙体弯矩和支撑力( 或锚杆轴力) 不随 开挖过程变化的计算方法，它的考虑条件是：土压力已知，考虑墙体变形，但不考虑支撑 ( 锚杆) 变形。以上均为古典的内力分析方法，均存在一定的假定误差。对于多支撑地下 连续墙和板桩等，其结构本身刚度介于柔性与刚性之间，施工中各个阶段由于位移的影响， 其内力有很大的不同，因此，分析时必须考虑施工过程。而日本早期提出的“山肩邦男法”、 “弹性梁法”和“弹塑性法”等解析方法，已能满足考虑施工过程的要求。其中前两种方 法都假定土压力己知且横撑轴力及支护结构弯矩在下道支撑设置以后均不变化，它考虑了 支护结构的变形，但未考虑支撑的变形。横撑轴力和挡土结构弯矩不变化可作如下理解： 西安建筑科技大学硕士论文 文克尔弹性地基梁，其水平向基床系数沿深度的变化可以是线形的，也可以是常数值或其 他假想的图形。将水平支撑、各向斜度的锚杆、墙顶的水平框架、帽梁等作为弹性支撑的 杆件，这些弹性杆件的单元截面可换算成单位长度的截面面积，从而将整个支护结构当作 平面结构分析。悬臂式、单锚式、多层横撑式、格形的挡土结构，都可简化为平面结构应 用此法分析。 b 弹性地基薄板有限元法： 一般将基坑地面以上的墙体理想化为薄板弯曲单元，将入土部分作为文克尔弹性地基上 的薄板单元。薄板单元可为各向同性，也可为各向异性：支撑或锚杆可作为附加直杆单元。 该法可适用于地下连续墙与粱、板、柱等组合结构。 c 弹性地基薄壳有限单元法： 该发系将地下连续墙及上部结构作为由三角形薄板单元组成的平面或空间壳体，将文 克尔弹性地基( 被动侧土压力) 和其它杆件理想化为与壳体单元节点相连的附加“弹簧” 单元。这种方法适用于结构布置和受力条件比较复杂的支护工程。 d 二维有限单元法： 该方法最大的优点是不必事先对墙后的土压力作出假定，较好的反映了与结构的共同 作用，主要是对深基坑开挖中影响基坑周地层移动的因素一地层特性、支护结构、分步开 挖工况及几何形状等进行模拟，以研究基坑周围土体在开挖支撑过程中的位移规律。 e 三维杆系有限单元法： 深基坑支护具有明显的杆系结构特征和空间效应，而这种计算方法是基于支护桩一支撑 一土的共同作用特性所建立的分析模型，它克服了平面模型和块体模型的主要缺陷，可以在 计算中量化深基坑支护结构中各部分个体效应和整体效应，所得结果能够客观的描述深基 坑支护工程的工作性状。 1 5 本论文的主要内容和研究方法 本论文首先阐述了深基坑工程特点及发展现状，详细介绍了目前深基坑支护工程的理论 研究现状，并且着重分析了杆系有限元法的基本计算过程和弹性地基梁的计算理论和分析 方法。深入讨论了弹性地基梁的各种计算模型，其中包括弹性理论模型、文克尔理论模型、 用弹性柔线联结的弹簧系模型、双基床系数模型等。通过详实地分析建立在文克尔理论模 型基础之上的弹性地基有限元法计算原理和实施过程，及目前深基坑计算中普遍存在的土 压力计算及分布问题，指出了当前深基坑支护体系弹性地基粱的不足。提出土一结构共同作 用土压力模式，在此基础之上总结出此模式与弹性地基有限元法相结合的计算方法，同时 利用f o r t r a np o e rs t a t i o n 编写了实用的s j k 程序。 在实际工程的分析中，本文用s j k 程序对同一场地不同支护结构的计算，得出了各种条 件对计算结果的影响。在多支撑结构的分析中，主要采用土压力荷载增量法结合s j k 程序， 分别讨论基坑在分步丌挖过程中各种不同工况条件下的内力和变形分析。 曲安建筑科技大学硕士论文 2 杆系有限元分析方法的基本理论 2 1 引言 杆系有限元分析方法其实质就是有限单元法用于分析杆件结构。它的分析方法与其他形 式的有限单元法相致：首先是将结构物的离散化为有限元网格，将待分析的结构从几何 上用线或面划分有限个单元，即将结构物看成有限个单元构成的组合体，杆系有限元就是 将结构物分成杆件来分析。其次，进行单元分析就是要设法单元的节点位移和节点力之间 的关系，即建立单元剐度矩阵。在分析杆件结构时，其单元通常为等截面直杆，由假设的 单元近似位移模式出发，利用虚位移原理建立有限元的求解方程，建立合理的位移函数是 单元分析的关键。函数确定以后，就可以利用弹性力学基本方程即虚功原理推导出单元刚 度矩阵。同时还需要按静力等效原理将作用于每个单元上的外力简化到节点上，构成等效 节点荷载。然后，将各个单元刚度矩阵组合成结构整体进行分析，将单元等效节点荷载集 合成整体等效节点荷载列阵，并引出结构位移的边界条件，建立整体平衡方程组，得出基 本未知量；最后计算各单元的内力和变形。 在进行分析时，为保证单元的尺寸逐渐减小时能使有限元解收敛与真实解，其位移形函 数的选择应满足下列条件：( 1 ) 、可微性要求设总势能公式被积函数中包含有直至( m + 1 ) 阶导数，则所选的形函数必须保证被积函数的m + l 阶导数的存在；( 2 ) 、连续性要求单元 之间必须是c ( ) 阶连续，单元内部必须是c ( m + 1 ) 阶连续( 其中c ( o ) 阶连续表示主变量( 位 移) 连续，c ( 1 ) 阶连续表示直至主变量的一阶导数连续，c ( 2 ) 阶连续表示直至主变量的二阶 导数连续，等) ；( 3 ) 、完全性要求由形函数确定的位移模式必须能精确的表示一些最简单 的位移模式，如：刚体位移、常应变状态。 有限元分析的一个主要特点是其近似性，因此进行计算分析时其解将会产生误差，产生 误差的主要原因有：计算域离散化的误差、计算数值运算误差( 如截断误差、数值积分等 都会对结果带来误差) 和位移近似函数的误差，由于对单元内的位移u 假定为 “。= y v 峨同实际情况有一定差异。由总势能公式可知，位移近似函数的误差将引起 百 应变能的误差。应变能误差b 的收敛性可表示为卢s c h 2 ， ( p o ) 其中c 为独立于真实 位移u 和假定位移模式u 。的一个常数，h 为单元的特征长度。如果有限元解u 。能满足上式， 则其达到收敛性的要求，并且此时常数p 为收敛速率。 对有限元插值函数n 为k 阶完全多项式时，应变能误差满足上式，此时收敛速率为 p = k + l d 】，m 为应变能中对位移求导的次数。单元特征长度h = h f 日，l ，k ，为单元的最大尺寸， l 为结构的最大尺寸。对于任意两各网格尺寸h 。，h 。及其相应的应变能误差有 时= 鲁或2 p = 碉l n ( 区) - l n ( , b 2 ) 6 西安建筑科技大学硕士论文 其中区晟为相应于任意两网格的应变能误差。 2 2 杆系有限元的分析步骤 采用有限单元法计算时，是根据结构特点自然划分单元，即取结构的结点与结点之间的 等截面直杆为一个单元。 2 2 1 局部坐标系中的单元刚度矩阵及等效结点荷载列阵 通常采用的结构单元是2 结点，每个结点有3 个自由度，如图2 2 1 所示。局部坐标 系x 轴与杆件轴线重合，坐标原点在结点i 上。 向母 晌皿皿 ld 出 目2 j 12 # 6 自自 萱i 在局部坐标系中，单元分析步骤如下： ( 1 ) 假设单元的位移模式，确定插值函数 假定单元位移模式为如下多项式： u 2 a + a 2 x v = 卢1 + p 2 工+ 卢3 x 2 + 卢4 x 3 ( 2 2 - 1 ) ( 2 2 2 ) 式中n 。，b ，称为广义坐标，共有6 个，可用单元的6 个位移来表示。n 。，n ：由u ，和u ，确 定，将结点坐标i ( 0 ) 及j ( 1 ”弋入( 2 - 2 1 ) 式，得到 ：榭= 骺 求逆可得 酬绷甜 bt b 一，由结点位移u ，只，u ，9 ，确定。 8 ：一半：一卢：一2 尾x 一3 z 。一 在式( 2 - 2 2 ) 及( 2 - 25 ) 中代入结点坐标，得到 ( 2 - 2 - 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 2 5 ) 西安建筑科技大学硕士论文 解上列方程可以得到 昝 1000 0 1o0 1l1 2p 0 1 2 l 一3 1 2 卢l p ： 尾 卢4 = 。 ( 2 - 2 6 ) 引 缒0 1 0 谁0 3 23 1l 2 1 一 li 1i li 廿fl r，2 ，| u ，i 2l iloi z 3，2z 3，2j 。“ u 2 n l u i + n i 0 2 n 2 0 f + n 3 0 , + n s v ，+ n , o 其中n i n 6 称为插值函数，它们是局部坐标x 的函数。 l = l _ 手2 小3x 2 + 2 ，工3 n 3 = - x + 孚正扣m = 手 5 = 3 ，：x 2 _ f 2 工36 = ；正砉x 3 t e ，t 2 ；t e ，= 誊 单元结点位移向量 e ) k 每，“，u fu ，, g j 刚7 ( 2 2 7 ) 即可得到单元位移通过结 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 - 2 - 1 0 ) 则( 2 2 8 ) 式的矩阵形式为 u = ” ：0 4 ) 。 e 。+ n ，( e ) e = ( n ) ( e e ( 2 2 1 1 ) p j 其中 ；n ，2 i 是墨t n ，。2 4 是是 ；n ，为形函数矩阵。 ( 2 ) 确定应变矩阵 对于长细比较大的杆件，可以忽略剪切变形，此时应变包含轴向变形和弯曲变形两部分 西安建筑科技大学硕士论文 其中微分算子 l = d u d x d 2l ) 出2 = l t l 旦 。 出 。曼 d x 。 式( 2 2 1 2 ) 中位移用式( 2 2 11 ) 代入，则得到 e = b e 。 ( 2 2 一1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( b = l ) ( n ) = l ) n ；n ， = b 。b ， t e ，；= t 。，t n ，。= ：t e ，= t l ，。- ，一= ： ( 2 - 2 - 1 5 ) 式中 旷1 = 毒 b j = - 6 f2 号一虿1 2 x ( 2 - 2 - 1 6 ) q 2 i 一虿x。，2 i 一虿x ( 3 ) 利用虚位移原理建立单元平衡方程 对于一个单元，如忽略体积力( 自重等) ，只考虑横向分布荷载q ( x ) 、集中力p j ( i = l ，2 n ) 和水平向集中力偶m j ( j = i ，2 m ) 以及结点荷载p 。c e ，则虚位移原理有如下形式 p s r 和扭= p 缸 7 9 ( x ) 出+ 占缸y 护) + 6 秘 7 + 占叠y ) ：( 2 - 2 1 7 ) 其中 0 2 _ d ( 2 - 2 - 1 8 ) = r 三 式中n 、m 是杆中轴向力与弯矩；a 、i 是杆件的截面积与截面惯性矩；e 是材料弹性模量。 假设结点有虚位移6 ( e 。则单元内产生虚位移、虚转角和虚应变由下式确定： 6 缸 = 辂和 。 6 = 一丢( 捧知) 。) 一 芸 ) p 叠 。 占话l ：扫协扣 。 ( 2 - 2 1 9 ) 堕窒堕堕型垫查堂堡主堡壅 将( 2 - 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) 式代入( 2 - 2 1 7 ) 式得 6 p 一肛 7 d 扭叠 。= 占”1 j r g ( z 尬+ y 尸 一丢 y 舢 + 尸) ：1 由于结点虚位移5 e 。任意的，因此必然有 僻 。和j 。= p ) 8( 2 - 2 2 0 ) 其中 。= 弘 7 f d 淞扭 ( 2 2 21 ) = 蝴呲吣= 黩蹴 任一分块子矩阵的计算公式是 位 。= 眙f d 淞l 出 = 喜兰】 髻e o ，且 f a 。, 屯0 出 f e a a ，q 00 1 2j | 0 e l b , b , e l b , c , i d x ( ”= j ，) l 0 e i c ，也e l c j 尸 8 = p ；+ 毋； k 9 和( p 。称为单元刚度矩阵和单元结点载荷列阵。 p jd 是单元等效结点载荷列阵， 由作用在单元上的非结点载荷引起。( p ) 。是直接作用在单元结点上的载荷。它们分别是 p 艺= p e + 弘) ) ；+ p ) 0 ( 2 2 2 2 ) 其中 p z = ) 9 0 k 是分布力q ( x ) 引起的等效结点载荷； p 矗= r p 是非结点集中力( p ) 引起的等效结点载荷 p 汔= 一导 ， 材 是非结点力偶矩 m 引起的等效结点载荷。 戤 p 蔓= 慨b 匕易l p 。p i , 分别是作用在结点i 上x 和y 方向的集中力，p 。是作用在结点i 上的力偶矩。 1 0 西安建筑科技大学硕士论文 ( 22 2 0 ) 式是单元的平衡方程，它是i 、j 两个结点，每个结点三个方向( x 、y 及0 方向) 的六个平衡方程。 用结点平衡条件及用 f ) 。表示单元杆端内力。 坩= 【jqm n jq ，m ，p 则应有 妒 。= p 笼 ( 2 - 2 2 3 ) 将( 2 2 2 3 ) 式与( 2 2 - 2 0 ) 式比较可知，杆端内力应是 f 。= 江 e 一 p z ( 2 2 2 4 ) 2 2 2 坐标转抉、整体坐标系中的单元刚度矩阵和等效荷载列阵 结构各单元的局部坐标x 、y 方向都不相同，整体求解需要建立统一的坐标系，即整体 坐标系；i 。各单元在局部坐标系中建立的各个物理量都需要进行坐标转换，得到它们在 整体坐标系中的表达形式。 由于基本未知量是结点位移，因此需要建立结点位移由局部坐标到整体坐标的转换关 系，其它物理量的转换都可由它推出。 令整体坐标系中的结点位移向量为 砑：匠i 巧ii 巧】7 局部坐标x 与整体坐标；之间的夹角a 用相交的两轴矗来表示。x ；阻整体坐标；方向逆时 针转到局部坐标x 方向的角度为正。x 、y 轴的方向余弦分别为 f fc 。s b - ) = c 咖乞= c 。s b 歹) = s i n a k = c o s x ) = - s i n “0 = c 。s 歹) = c o s a 结点的角位移的转换关系在两种坐标系中是相等的，即有 9 t = 8 l3 i = 3 i 线位移的转换关系是 “；= l x j u f + ly v ， ( i ，j ) 因此两种坐标系中单元结点位移的转换关系为 西安建筑科技大学硕士论文 阳橱= 瞌f 】= k0 0 0 f l l l ，一卜l l 001 l 移两表示的应变向量 e 扛1 ：嘲计：陋b i 万 可以得到用整体坐标结点位 用 b 代替单元刚度矩阵中的 b ，就可得到整体坐标系中的单元刚度矩阵表达式 医r = f o n 矿 d 曰i z i h v = x y k i x 等效结点点荷载列阵( p ) 2 的坐标转换与结点位移的转换完全相同： p 。= n p 8 ( 2 - 2 - 2 9 ) 2 2 3 整体刚度矩阵和整体结点荷载列阵 利用虚位移原理同样可以建立整体结构的平衡关系。设结构共有m 个杆件( 单元) 构 成，则虚位移原理可表示为 喜啦忙 7 扛扭l = 姜( p 缸 b 肛l + 善g 缸 7 p i + 喜b 和 7 砸巍+ 窆e = l g 缸 7 p ：) ( 2 2 - 3 1 ) 将各单元的结点位移叠 。用结构的结点位移 e 表示，单元的结点虚位移6 知 。也用结构的结 点虚位移6 e ) 表示后，( 2 2 3 1 ) 式表达如下： 5 粒吖妻【g r i 可【g 】 鼢：5 和 r 宝i g r 每+ 巧+ 虿+ 可) 】 ( z z 3 2 ) e = i，l f = 【j ， 即 医怡) = 尸) ( 2 2 3 3 ) 其中k 为结构的整体刚度矩阵、 p ) 为整体结点荷载列阵，有 西安建筑科技大学硕士论文 k 】= ( 喜眵r 丽i 【g 1 ) 尸 = 喜i g r 莳+ 孑+ 爵+ 虿) ) 形成结构周度矩阵 k 和荷载列阵 p 后，就得到了未经修正的线性代数方程组，引入位 移边界条件，然后求解结点位移 e 并可计算各单元内力。 2 3 杆系有限元在支护结构中的计算步骤 杆系有限元在深基坑支护中的受力状态，与水平条件下纯弯梁的受力状态极为相似， 因而可按纯弯梁单元作为分析对象。 设一长度为l ，抗弯刚度为e l ( x ) 的支护结构上作用有水平向分布荷载q ( x ) ，水平向集 中力p 。( i = l ，2 n ) 和水平向集中力偶地