（光学工程专业论文）光子晶体中原子行为的理论研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 目前，国际上已经报道了多种光子晶体激光器的实验工作，但是理论工作方 面，解析理论只能得出一些形式的定性的结论，无法精确的定量。已有的数值计 算工作大部分集中在讨论光予晶体激光器的本征光场分布和微腔的q 值。本文采用 时域有限差分( f d t d ) 的方法时时的研究宽带自由偶极子、二能级原子与光场的 相互作用。原子与场相互作用采用半经典理论处理。 本论文首先给出了自由偶极子在光子晶体结构中的辐射功率谱，结果显示， 在光子晶体禁带中，自由偶极子的辐射被完整光予晶体结构抑制，而频率为缺陷 结构本征频率的辐射被缺陷结构增强。同时我们还分析了源点位置不同时，对自 由偶极子辐射产生的影响。 其次利用半经典理论，即采用密度矩阵描述原子行为，而用麦克斯韦方程组 描述光场，研究了二维光子晶体中激发态二能级原子的辐射特性。结果显示：跃 辽频二莩处于禁带中的激发态原子的自发辐射被光子晶体结构抑制；跃迁频率为缺 陷结构本征频率的激发态原子可以在缺陷结构中维持稳定的r a b i 振荡。 最后，利用集居数矩阵对泵浦情况下激光器特性进行初步模拟，结果显示光 子晶体微腔结构能有效的降低激光器的阈值。 关键词：二维光子晶体激光器，偶极于，半经典理论，密度矩阵，集居数矩阵 f d t d 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a bs t r a c t t o d a y ，t h e r ea r em a n ye x p e r i m e n t so i l p h o t o n i cc r y s t a l ( p h c ) l a s e ri nt h ew o r l d b u ti nt h et h e o r y ，w ec a l lg e to n l ys o r i l es h a p i n go rd e t e r m i n e dc o n c l u s i o n sf r o mt h e p a r s et h e o t y ，m o s to ft h en u m e r i c a lc a l c u l a t ee x i s t e do n l yg e tt h ed i s t r i b u t i n go f l a t e n t l i g h tf i e l da n dt h eqv a l u eo fs m a l lc a b i t y i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei n t e r a c t i n g b e t w e e ns o u r c ea n dt h e l i g h tf i e l db ym e a n so ft h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d w es t u d yt w ok i n d so fs o u r c e ：f r e ed i p o l ea n da t o mo ft w oc l a s s a n d g e tt h er a d i a t i o ns p e c i a l i t yo ft h es o u r c e i nt h i sp a p e rw ec a l c u l a t et h er a d i a t i o ns p e c i a l i t yo ff l e ed i p o l ei np h cs t r u c t u r e f i r s t l y t h er a d i a t i o no ft h ef r e ed i p o l ei sr e s t r a i n e di nt h ep h cg a p t h er a d i a t i o na t t h ef r e q u e n c yo ft h ed e f e c t e dm o d e li sa m p l i e d w ea n a l y s et h ei n f e c t i o no fr a d i a t i o n o ft h ef r e ed i p o l ei m p r e s s e db yt h ep o s i t i o no fs o u r c e s e c o n d l yw eg e tt h er a d i a t i o nc h a r a c t e ro ft h ee x c i t e da t o m sb ys e m i - c l a s s i c a l t h e o r y ，i nw h i c ht h ea c t i o no fa t o m sa r ed e s c r i b e db yd e n s i t ym a t r i xa n dt h el i g h tf i e l d i sd e s c r i b e db ym a x w e l le q u a t i o n s b yc a l c u l a t e d ，w ef i n dt h er a d i a t i o no ft h ee x c i t e d a t o m si si n h i b i t e di nt h eg a po f2 dp h c ，w h i l e ，t h ee x c i t e da t o m sw h o s ef r e q u e n c ya r e t h ed e f e c t e dm o d ef r e q u e n c yc a nm a i n t a i nt h er a b is u r g ei n2 dd e f e c t e dp h c a tl a s t ，w ei n t r o d u c tt h el a s e rb yp o p u l a t i o nm a t r i x w eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h e d e f e c t e dp h cc a nr e d u c et h et h r e s h o l dv a l u ee f f e c t i v e l y k e y o r d s ：2 dp h o t o n icc r y s t a iia s e r 。d i p o ie ，s e m i c i a s s ic a it h e o r y ，d e n s i t y m a t r ix 。p o p u i a t i o nm a tr ix f d t d 第1 i i 页 独创性声明 y ，o j 上d 刁 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：左主墨签主厘盈盐盟堡硷堡壅 学位论文作者签名：超查5 建日期：膨年分月办日 j 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：盘鱼垡主盈王缸盘塑堡迨塑蕴 学位论文作者签名：盘邑奎：塞日期：时5 年争月抄日 - 1 作者指导教师签名：二晷盔耻 日期：锄。1 年印月2 r 曰 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 激光器的基本原理 激光( l a s e r ：l i g h ta m p l i f i c a t i o nb ys t i m u l a t e de m i s s i o no f r a d i a t i o n ) 是一种 受激辐射相干光。激光具有单色性、相干性、方向性和高强度四个性质。 激光器技术应用非常广泛，已经融入我们的日常生活之中了。应用的领域主 要有：材料加工( 包括成形、切割、焊接、打孔、打标、蚀刻、热表处理等) 、军 事航空、医疗设备、基础研究、大型仪器、测控、图像记录、娱乐与显示、光存 储、传感等众多领域。激光技术还在不断的蓬勃发展，应用范围也在不断的扩充。 激光器的物理基础是光频电磁场与物质的相互作用( 特别是共振相互作用) ， 对于绝大多数激光器来说，是指光与组成物质的原子( 或离子、分子) 内的电子 之唰的共振相互作用。在光与物质相互作用中存在着光的吸收、受激辐射、自发 辐射等过程i 。2 1 。爱凶斯坦研究了图1 1 所示的吸收、受激辐射和自发辐射，得出三 个过程的跃迁速率分别为，b n 2 p ( v ) 、n ：b ：。p ( v ) 和：爿：，其中p ( v ) 是光能密度。 显然，自发跃迁是一种只与原子本身性质有关而与辐射场无关的自发过程， 而吸收跃迁和受激辐射跃迁不仅与原子性质有关，还与辐射场的光能密度p ( v ) 成 正比。受激辐射和自发辐射极为重要的区别是相干性。自发辐射是不相干的，而 受激辐射则是在外界辐射场控制下的发光过程，受激辐射处于与激励光子相同的 光子态，是相干的。激光就是受激辐射相干光。 在动态平衡时 e 2 ，n e i 、n jl b l2 b2 l a 2 l 1 1 r 图1 i 光的吸收，受激辐射和自发辐射 l b l 2 p ( v ) = n 2 8 2 l p ( v ) + n 2 a 2 l 爱因斯坦吸收系数、受激辐射系数和自发辐射系数存在下面的关系 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 b 1 2 = b 2 1 = b 、 鱼：8 z r h v 3 bh c 3 又态密度的定义为d ( v ) = 8 x v2 c 3 ，所以可得： a 2 1 = b + d ( v ) + h v 自发辐射正比于y 3 ，所以，频率越高自发辐射越强，实现激光越困难。为了 有效降低自发辐射，就需要减少态密度d ( v ) 。 一、产生激光的条件及激光器的构成 产生激光需要三个条件：增益介质、激励装置、谐振腔。 1 、激光工作介质 激光的产生必须选择合适的工作介质，可以是气体、液体、固体或半导体。 在这种介质中可以实现粒子数反转，现有工作介质近千种，可产生的激光波长包 括从真空紫外到远红外，非常广泛。 2 、激励源 为了使工作介质中出现粒子数反转，必须用一定的方法去激励原子体系，使 处于上能级的粒子数增加。常见的激励方式有电激励、光激励、热激励和化学激 励等。也称为泵浦或抽运。为了不断得到激光输出，必须不断地“泵浦”以维持反 转态。 3 、谐振腔 谐振腔实际上就是一个能局域光场的有限空间。腔的作用是正反馈、谐振、 容纳工作物质和输出激光。谐振腔同时具有选模功能，只有特定的模式能在腔内 存在，这样就有效地降低了模密度，即态密度，这样在腔内自发辐射就会因态密 度的降低而降低。 二、激光器和放大器 激光放大器与激光器的区别就是前者没有谐振腔而后者有。激光放大器主要 有半导体光放大器( s o a ) 、掺铒光纤放大器( e d f a ) 、光纤拉曼放大器( f r a ) 。 光放大，一般指原子的受激辐射光放大。实现光放大的条件就是一集居数 反转( 也可称为粒子数反转) 。在物质处于热平衡状态时，因e k - e k ，所以n 。- n 。时，物质的光吸收可以转化为光放大，这个条件称为集居数反 转。要实现这个条件，只有当外界向物质供给能量( 即激励或泵浦过程) ，使得增 益大于损耗，从而使物质处于非热平衡状态，这样才有可能出光。激励( 或泵浦) 过程是光放大的必要条件。 三、激光器优劣的决定因素 衡量一个激光器的好坏的一个很重要的指标是谐振腔的品质因子。 谐振腔的品质因子即q 值是对应某一泄漏模式的，用偶极子激励该出该模式， 然后在停止偶极子振荡后通过该模式的衰减情况可以求得q 值1 2 1 ，计算公式如下： ff d = 甜= = 2 r o y pp 其中e 是存储在腔内的总能量，p 是单位时间内损耗的能量，v 是腔内电磁场的振 荡频率，= 2 ；, r v 是场的角频率。 显然腔的损耗越小，q 值越大，激光发生振荡的闽值也就越低，腔对于该模式 的局域能力也就越高，而输出激光的带宽也就越窄。q 值的大小是评价谐振腔的一 个重要指标。当然在追求更高的q 值的同时需要保持一定的泄漏来保证激光输出。 四、激光器发展现状【3 】 自1 9 6 0 年第一台红宝石激光器问世以来，激光器的发展非常迅速。激光工作 介质包括晶体、玻璃、气体、液体及自由电子等数百种之多。激励方式有光激励、 放电激励、电激励、热激励、化学激励和核激励等多种方式。下面简单叙述几种 典型激光器的优缺点和主要应用领域。 固体激光器通常是指以绝缘晶体或玻璃作为工作物质的激光器，普遍采用光 激励方式。固体激光器中参与受激辐射作用的离子密度高，容易获得大能量输出。 自第一台红宝石激光器问世，固体激光器就一直占据了激光器发展的主导地位， 特别是在2 0 世纪8 0 年代出现的半导体激光器以及在此基础上出现的全固化固体 激光器更因为体积小、重量轻、效率高、性能稳定、可靠性好和寿命长等优点， 逐渐成为光电行业中最具发展前途的领域。由于高功率全固化固体激光器的相继 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 成熟，其应用领域也已从最成熟的光通讯方面向其它更为广阔的激光应用领域扩 展，如材料加工中的激光标记、激光焊接、激光打孔和激光切割等，其它领域如 激光医学、激光检测和测量等。 。 气体激光器以气体或蒸气为工作物质。由于气态工作物质光学均匀性远比固 体好，所以气体激光器易于获得衍射极限好的高斯光束，方向性好。气体工作物 质的谱线宽度远比固体小，因此激光的单色性好。但是为了获得足够的功率输出 需要较大体积的工作物质，气体激光器的体积一般比较庞大。气体激光器通常采 用气体放电泵浦方式。 燃料激光器采用溶于适当溶剂中的有机燃料作激光工作物质。燃料激光器具 有很宽的调谐范围。 半导体激光器是目前实用中最重要的一类固体激光器。其应用覆盖了整个光 电予学领域，已成为当今光电子科学的核心技术。由于半导体激光器的体积小、 结构简单、输入能量低、寿命较长、易于调制及价格低廉等优点，使得它目前在 军事领域中应用非常广泛，它作为一种很有潜力的光源，己受到各国军方的高度 重视。 传统激光器的性能f 在逐渐地改进，但是寻找一种高集成化，高功率低阙值 的激光器仍是目前各个相关领域发展的目标。 1 2 光子晶体激光器的优势和进展 与普通的半导体激光器相比，光子晶体激光器具有更窄的带宽( 即高q 值) 、 更高的单色性、极低甚至零闽值、更高的能量密度输出。光子晶体激光器成为新 一代的半导体激光器，得到了非常广泛的关注。光子晶体体积小易集成，在小型 化和高集成化的今天和将来，会得到更广泛的应用。从这种意义上讲，光子晶体 激光器也被称为芯片级的半导体激光器。 光子晶体激光器按照基本工作原理可以分为：微腔激光器【5 16 】( 如图l 一2 左图) 和带边激光器1 ( 如图1 2 右图) 。按照泵浦方式可以分为光泵浦和电泵浦。其他 还有用光子晶体做激光的提取。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 光子晶体 缺陷微腔 ， j 一 x 厂 基于带边的二维 光子晶体分布反馈效应 图1 2 光子晶体激光器原理 光子晶体微腔具有比普通谐振腔更好的品质因子，q 值可以达到几千甚至上 力，腔内模式的态密度可以很低，甚至为0 ，根据上面的公式，在腔内自发辐射就 非常小。光子晶体微腔有效的抑制了自发辐射，降低了阀值。 如图1 3 是m i t 研究人员制成的嵌入条形波导的一维光予晶体微腔激光器f g l 。 在一维光子晶体中引入缺陷形成微腔，在侧面和垂直方向通过高折射率对比产生 光局域，输出的高能低阈值激光耦合到条形波导中输出。采用的i n g a p i n g a a s 多 量子阱辐射源波长为旯= 9 8 0 n m 。 图l 一3 一维光子晶体激光器 而对于二维光子晶体微腔激光器，在垂直方向一般采用全内反射( t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n ，t i r ) 局域光场。主要可以分为如下几种结构【6 】，如图l 一4 ，图 ( a ) 为悬浮式，( b ) 为氧化包层结构光子晶体微结构深入到氧化层里面，( c ) 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 也是氧化包层结构，和b 不同的是光子晶体微结构处于低折射率的氧化层之上，这 种结构可以避免光场向衬底泄漏。 图l - 4 二维光子晶体微腔激光器结构 由于引入了空气层、氧化层，这样的结构比较难以实现电注入的泵浦方式。 现有的这类微腔激光器多采用光泵浦的方式。o p a i n t e r ，r ，k l e e ，a y a r i v 等人1 5 1 实现 了光泵浦、单缺陷二维光子晶体缺陷模激光器( 如图1 5 所示) 。 图l 一5 单缺陷二维光子晶体激光器 s e h e o nk i m ，h a n y o u lr y u 1 0 】等人制作了环形腔结构光子晶体激光器，六角 缺陷环形波导构成环形谐振腔。t h o m a s d h a p p ，m a r t i n k a m p “】等人制作了基于耦 合腔波导的光子晶体激光器。 带边激光器则是利用而带边能量随波矢的变化十分平坦，因而光的群速度很 低，态密度极高。在电激励或光激励下产生很大的光增益，从而由分布反馈产生 受激辐射。r y u 等人【7 l 制作的无衬底i n g a a s p 光子晶体膜片在8 0 k 低温下达至1 j 3 5 p w 的低闽值功率。他们r 把这样低的阈值功率归功于低温下的低表面复合损耗和大材 料增益。m o n a t 等人【i2 j 用无缺陷的i n p 基二维光子晶体在光激发下观察到受激辐射。 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 他们称它为平面内的b l o c h 模激光器。激光器的q 值为8 0 0 。 目前研究的光子晶体激光器多为光激励，这是因为光子晶体结构给电极的制 作带来了很大的困难。但是在实际应用中电激励的激光器更方便。目前常见的电 激励激光器是采用的分离有源层和光子晶体构成的。例如用晶片融合方法把量子 阱有源层和光子晶体连接起来。用有源层发射的光予来激发光子晶体内的激光振 荡【l3 1 。或者在垂直腔表面发生激光器的顶镜面区制作单缺陷的光子晶体来控制激 光器的工作模，在整个电流范围内得到单模连续波工作【】。这种激光器在8 5 0 n m 波长工作，边模抑制比3 5 4 0 d b 。 2 0 0 4 年9 月，h g p a r k ，s h k i m ，s h k w o n 等人【l5 】制作出了电激励单核光子晶 体激光器，阈值电流约2 6 0 此，电子电流是通过一个与缺陷中心相连的一个微小 尺寸的半导体导线注入的( 如图1 - 6 ) 。采用这种方式连接，腔q 值的损失非常微小。 图1 - 6 电激励单核光子晶体激光器 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图1 7二维光子晶体分布反馈激光器结构 而在图17 7 所示的面发射激光器【1 6 , 1 7 1 中，光子晶体结构在其中起到提取激光的 作用。它是由两块晶片熔合而成，晶片a 由量子阱结构的有源层构成，晶片b 由衬 底和二维光子晶体微结构的包层构成：光予晶体在其中充当分布反馈，提取面发 射出柬的激光。大大提高了提取效率。这种结构可以采用电注入方式泵浦，面发 射方式，较容易实现高功率输出。 从以上讨论可以看出，光子晶体激光器的发展具有非常好的前景，在不久的 将来，光子晶体激光器将逐步实用化，继而发展成为小型化和高集成度场合中的 激光器的主流。 1 3 本课题的研究意义和内容 按照量子理论，原子的辐射几率与光场的态密度成正比。而光子晶体所具有 的周期结构提供了人为控制结构中光场态密度的方法，我们可以通过改变光予晶 体的结构来改变增益介质的辐射特性。1 9 8 7 年y a b l o n o v i t e 正是从抑制自发辐射的 角度提出光子晶体的概念【1 8 i 。 自1 9 9 9 年首次报道2 d 单微腔光子晶体激光器以来，已报道了多种结构的光子 晶体激光器的实验t 作。但是在理论方面，解析理论只能得到一些形式理论和定 性的结论，无法定量。已有的数值工作，大部分集中在研究光子晶体激光器结构 的本征光场分布和模式q 值。这种计算没考虑光场与源( 或增益原子) 之间的耦合。 本文采用时域有限差分( f d t d ) 方法，首先模拟与光场有耦合的偶极予作为 辐射源的情况，然后模拟增益原子的情况，最后对泵浦情况下的激光器进行了初 步模拟，为我们将来涉及激光器提供理论依据。对原子处理以半经典理论为理论 基础，即对于原子行为用量子理论描述，而光场采用经典的麦克斯韦方程组描述， 两者通过宏观极化强度p 联系。考虑到计算量的问题，本文只做了理想二维光子 晶体激光器，且k = 0 。 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 、第二章光子晶体时域有限差分法 研究光子晶体的理论方法可以分为三类：平面波展开法、传输矩阵法和时域 有限差分方法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ，f d t d ) 1 1 9 , 2 0 | 。前两种方法均用到 了介质分布的周期性，且只考虑单色光的传输，属于谱域的办法。对于实际的光 子晶体，在三个方向上均可能是有限的和可能存在各种缺陷。如果我们希望得到 光在光子晶体中的传输过程，用时域有限差分方法进行模拟是很好的选择。具体 模拟过程：建立空间网格体系，选定空间时间步长，将麦克斯韦方程时间、空间 的微分变为差分，进行迭代求解。通过计算我们就能根据我们的要求确定所需要 的样品结构和参数，而不需要在实验中不断的重复和摸索，这对实验工作有非常 好的指导意义。 2 1二维光子晶体中的麦克斯韦方程组 在本课题计算中，由于三维光子晶体的计算量比起二维光子晶体大得多，所 以首先从相对比较简单的二维入手进行计算。对于二维线性非色散材料，设电磁 场沿z 方向为均一的，且女，= 0 ，于是得到二组独立的标量方程组，这两组独立的 方程组分别对应我们常说的t m 模和t e 模。t m 模( a = 0 ，h ：= 0 ) 的标量方程如 下： 堡一堡：占堕+ 丝( 2 1 。)二一：= r 二+ 二 【z 1aj 融 曲8 i a ( 2 1 b ) ( 2 1 c ) 式( 2 - 1 a ) 中极化强度只在本课题中对应夕t - d n 源p “，外加源p “和光场的相 互作用是本课题讨论的核心内容。外加源尸“对应下面即将讨论的第三章中的偶极 第9 页 ； j 一砂 e 一新 里母 堡缸 = l | 三 ，。 暇一a 甜一西 o 咕 国防科学技术大学研究生院学位论文 子和第四章中的增益原子产生的宏观极化强度。 为了获得外加源p “和光场的相互作用，就需要得到外加源尸“和光场的能量 交换的信息。在实际计算中我们通过获得源的辐射功率谱来从中获得源和场的相 互作用信息。 在体积为v 的媒质内能量守恒的表达式为： 一 ( 豆疗) 击= j ( 豆- a d a t + h a j l a t + a 盂2 + 五t 7 + 疗- 了。沙 ( 2 - 2 ) 其中d = 吐+ p + j p “，尸“为加入的偶极子源。则可以得出单位时间内偶极子源p “辐射的 能量为： 一肛等西 则容易得出此偶极子源的辐射功率谱为： 荆= 一科科等 协。， 2 2 差分方法及网格划分 在式( 2 i ) 、( 2 - 2 ) 的标量方程中用二阶精度的数值差商代替微商，将连续 的空间和时间问题离散化，就可以得到标量场分量的差分方程组；同时由数值色 散关系及我们所关心的波长大小来确定空间步长的大小，并进一步得出时间步长。 模拟中我们采用常见l 拘y e e 氏网格。以t m 模的e ，分量的方程为例。差分后的表达 式是： 气“) = e z n 瓴护志 ( f ，护蹦f ) 】 + 雨a ，t ) 缸 。h ，n + i 2 ( + 1 2 , 护日，n + l 2 ( i - 1 2 , j ) 一瓦a ，t j 掣 h x n + l 2 ( f ，+ l 2 ) 一日，n 1 2 ( f ，一l 2 ) 】 ( 2 3 ) 式中e ：”1 ( f ，_ ，) 表示网格标号为( f ，) 处第 + 1 个时间步长时的电场分量e ：的 值，其它场分量类似；s ( j ，- ，) 是网格标号为( ，) 处的有效介电常数，它的值由面积 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 投影的权重来确定。 由麦克斯韦旋度方程按y e e 氏网格所导出的差分方程是一种显式的差分格式， 它的执行是通过按时间步推进计算电磁场在计算空间内的变换规律，这种差分格 式存在稳定性问题，即时间变量步长衙与空间变量步长缸、缈之间必须满足一定 条件，否则将出现数值不稳定。 在选择空间步长的时候需要遵守的原则是：空间步长应小于所关心的最短波 长的十分之- - 12 1 l 。 对于时间步长的选取，对于我们所研究的二维空间中的模式而言，其稳定性 条件为： ，；：兰一 v 拙2 + c 抄 其中f 为时间步长，缸、缈为x 方向和y 方向的空间步长。v 为电磁波在该 空间的传输速度。对于我们所讨论的均匀立方体网格，则a x = 衄= a s ，所以数值 稳定条件就可以简化为： ，蔓竺 v 4 2 在一维情况下，这一条件就是要求时间步长不能大于电磁波传播一个空间步 长所需的时间，否则就破坏了因果关系。 2 3 吸收边界条件 在实际的模拟计算中，只能通过模拟有限的网格空间得知无限大的实际空间 的情形，在有限空间截断处常采用各种形式的吸收边界。 这样我们就需要一种截断边界网格点处场的特殊计算方法，这样既能保证边 界场计算的必要精度，又能大大消除非物理因素引起的如受到截断边界的波的反 射，使得用有限的网格空间就能模拟电磁波在无界空间中的传播。加于边界场的 适合上述要求的算法称为吸收边界条件。 在这些吸收边界中有一种出色的吸收边界是：完全匹配层( p e r f e c t l vm a t c h e d 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 l a y e r ：p m l ) 吸收边界。p m l 边界是b e r e n g e r 【2 2 1 于1 9 9 4 年首先提出的。p m l 边界是 由数学上构造出的各向异性吸波层，通过对其电磁参量的合适选取，能够使得由 f d t d 计算区域发出的外行波无反射地透入p m l ，并在其中迅速衰减，与m u r z 阶 吸收边界条件相比，p m l 不受来波方1 甸和频率地限制。同以往其它类型的吸收边 界相比，p m l 边界大大提高了吸收效果。 以t m 模( 式( 2 1 ) ) 为例，场分量是。、h ，e ，我们设电导率和磁导率 分别为盯、盯+ ，则方程组可以写为： s a e ： 噍 a r 。 o h yo h ， 函 勿 f 2 4 a ) ( 2 - 4 b ) r 2 4 c ) 如果满足阻抗匹配条件：旦：生，则在f d t d 区域截断边界处设鹭一种特殊 氏o 介质层的、孜阻j 冗与州9 1 s j r j 贞汲阻j 冗元仝匹配，结果k 射坡将尢及射地芽辽分界回 而进入p m l 层。由于p m l 层为有耗介质，进h p m l 层的投射波将迅速衰减，即使 p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有很好地吸收效果。：i 生p m l g i 质中，我们假设 将电场分量e ：分裂为两个子分量e 。和e 。，且e ：= l + e 。，进而将麦克斯韦方程 改写为以下形式： s 百o e = 坶耻警 ( 2 - 5 a ) g 冬坻毛：一孕( 2 - 5 b ) 8 + 0 ve 、一= 嚣 等q 弘一掣 ( 2 - s c ) 胁等一妒坠( 2 - 5 d ) 第1 2 页 堡砂 堕知 饱一句 l i 一知 = = 以 q 。盯 。仃 + 坠西 盟研 胁 胁 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中盯、盯、盯：、盯：为介质的电导率和磁导率，描述了p m l 介质的各向异性。 如果q = 盯，# 盯：= 盯；= 0 ，则上式退化为自由空间的麦克斯韦方程组；如果 盯，= q = 盯、一= 西= 盯，则p m l 介质退化为普通有损耗介质。 2 4 小结 本章讨论了本课题采用的理论计算方法：有限时域差分方法( f d t d ) ，给出 了诊断光与源相互作用的功率辐射谱，并给出了计算中采用的差分方程，同时讨 论了计算采用的p m l 边界，给出了p m l 边界设置方法。 笫i3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章光子晶体中自由偶极子辐射特性 本章通过计算宽频偶极子辐射场与不同结构的作用，通过分析式( 2 - 3 ) 所给 出的辐射功率谱，给出偶极子辐射特性一频谱受结构影响。通过加入宽频偶极子 源可以一次计算就得出各个频点的辐射在不同结构中表现出来的不同辐射特性。 为下一章研究光子晶体中原子行为做好准备。 3 1 周期结构中自由偶极子辐射特性 本节首先讨论完整结构的方格子二维光子晶体中，宽带偶极子源辐射特性。 图3 - 1 是二维方格子光子晶体结构示意图，其中a 为晶格常数，r 为介质柱半 径，s 为材料的介电常数，s 在z 方向保持不变，在x 和y 方向周期变化。 图3 1二维方格子光子晶体 计算中选取r = o 2 a ，占= 8 9 岛，用平面波方法可以得出其带结构，如图3 2 所示。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 一_ 三兰 ! 厂 rm xr 图3 2 二维光子晶体带结构 从带图中我们很容易得出这个结构的第一禁带位于：0 3 2 o 4 4 ，而在0 7 8 附近还有一个很小的一个禁带。 计算所采用的结构是图3 - 3 所示的2 0 2 0 的方格子完整结构，相对介电常数 s ，= 8 9 ，采用有限时域差分( f d t d ) 方法进行模拟，边界为1 0 层p m l 边界， 空间每周期划成2 0 格，光子晶体四面是一个周期的空气层，整个空间就是4 6 0 ( n x ) 4 6 0 ( n y ) 的网格。迭代步数为2 ”步。 计算中辐射源采用高斯脉冲f 2 1 1 ( 如图3 - 4 所示) 肛驷p 愕 2 t ， 容易得出源的求导结果： 川掣e x 4 一( 爿 z ， 在归一化频率0 1 的范围内，源的幅度变化范围是7 5 1 e 4 7 6 7 e 一4 ，变化在2 以内，选择各频点幅度差异比较小的源，目的就是要尽量减小源本身差异造成的 对各频点输出的影响，后面在处理数据的时候还会进一步减小源本身可能造成的 影响。 第1 5 页 啦 们 u e 甓8 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 3 计算中采用的二维方格子光子晶体 。，业：塑竺堕 翟珥兰兰# j i 秦 ，s 吉i _ 1 古音 矗 图3 - 4 计算中采用的偶极子点源谱 一、偶极子点源位于高对称的中心位置( n x 2 ，n y 2 ) 计算式( 2 - 1 ) 所描述的t m 模，其中的极化强度只就是上面选取的式( 3 - 1 ) 中描述的外加偶极f 源，采样的数据是源点处的电场分量e ( ，) 和源的导数篓二( f ) 的时间序列值，进而通过快速傅里叶变换得出e ) 和罢三( 珊) ，再通过式( 2 3 ) 研 可以求得辐射功率谱，结果如图3 5 所示： 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 j 型 抽臣 归一化频率( w a 2 p i c l 图3 - 5t m 模的处于中心的偶极子源辐射功率谱 图中横坐标是归一化的频率罢，纵坐标l o g l o 矧即先分别求出在周期结 z厢?，茸i甜j 构和空气两种情况下各频点对应的辐射功率，然后对应频点相比。 选择这样一个比值作为研究的对象，可以进一步的减少在归一化频率o 1 内 【i ij ：源本身的幅度的微小差异造成的影响。同时也可以获得周期结构和空气结构 两种情况的对比。 由图3 - 5 很容易看出，当偶极子辐射的光频频率位于第一禁带内的时候，偶 极子的辐射被明显的抑制。对应带图中的归一化频率o 7 7 处，偶极子辐射也被明 显的抑制，另外在归一化频率o 5 8 处也出现了明显的抑制，这个是由于非耦合模 式造成的，在下面将会讨论。非耦合模式，就是某源放在某处无法激励的模式。 如果一个源在高对称的中心点只能获得偶对称模式的场，则奇对称的场就是它的 非耦合模式。如果偏离之后激励起来奇对称的场了，则说明出现了非耦合模式。 其实这个模式是对应非高对称点的耦合模式。 ：、偶扳子点源偏离中心高对称点( n x l 2 8 n y 2 4 ) 计算t m 模得到与上面类似的得出周期结构和空气两种情况下各频点对应的 辐射功率相比的辐射功率谱： 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 趔 佃匝 点源辐射功率谱 归一化频率( v c a f 2 p i c l 图3 - 6t m 模的不处于中心的偶极子源辐射功率谱 图中横坐标是归一化的频率器，纵坐标是1 0 9 。刹。 z刀po茸ij 从图3 - 6 可以看出，与图3 5 相比在第一禁带处偶极子辐射的受到更加强烈的 抑制。由于源处在非高对称点的位置，在归一化频率o 5 8 处不再像图3 5 所示的 那样受到很大的抑制，而是激励了一定幅度的模式。源点位置不同对应所能够激 励的模式的成分是不同的，在一般的计算模拟中，常选取源在非高对称点的位置， 以避免一些模式冈为对称性的原因而被抑制。在频率为o 7 7 处，同样因为源处于 非对称点而产生模式，而没有像图3 - 5 那样被非常明显的抑制。 从两种情况的对比，我们可以看出，偶极子的辐射特性和结构有决定性的关 系，同时也与偶极子的位置有关。 3 2 缺陷结构中自由偶极子辐射特性 计算缺陷结构中的自由偶极子辐射特性是为了获得腔的共振频率，为下一章 研究光子晶体中原子行为提供依据。 在激光器中，腔的品质因子和模式的带宽是可以决定激光器的性能的非常重 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 要的因素，下面我们就讨论一下缺陷结构即腔中自由偶极子的辐射特性。仍以二 维方格子光予晶体为例，在完整的结构中，拿掉一根柱子。形成缺陷结构。缺陷 即为谐振腔，在腔内，只支持特定的模式，即缺陷模，此模式在腔中可以达到很 高的态密度，由于该模式光频率处于禁带内，被局域在腔内，则在该频点偶极子 和场可以产生强烈的共振。 计算模型是1 9 1 9 一l 的二维方格子光子晶体，其中r = o 2 a ，s = 8 9 靠，空 间步长为d x = a y = a 1 2 0 ，时间步长d t = d x l 2 ，源放在缺陷中偏离正中心的位置 ( n x 2 + 8 ，n y 2 + 4 ) 处，具体结构如图2 7 所示： 图3 71 9 1 9 1 的方格子光子晶体结构 3 0 0 2 5 0 2 1 5 0 舞1 0 0 5 0 0 卯 - 1 0 0 点源辐射功率谱 。i 1 00 20 4 0 60 8 归一化频率( w a 2 p i c ) 第1 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 81 9 1 9 1 的方格子光子晶体缺陷中的偶极子辐射谱 由图3 8 可以看出，在归一化频率o 3 3 5 处，场被局域在腔内，偶极子辐射和 场产生了强烈的能量交换，这是典型的共振图样。从这里也可以得知，此微腔具 有非常高的q 值，并且存在谐振频率为归一化频率o 3 3 5 。 3 3 小结 本章主要讨论光子晶体结构对偶极子辐射特性的影响。通过计算，我们得出 1 、在完整周期结构的光予晶体中，自由偶极子处于禁带中的辐射被抑制。 2 、在缺陷结构中，频率为结构谐振频率的辐射被明显增强。 第2 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 、第四章光子晶体中原子辐射特性 从上一章的结论和以往的知识，我们知道，频率处于禁带中的光波不能在光 子晶体内传播，如果一种原子的自发辐射的频率正好落在禁带中，这种原子的自 发辐射将被抑制。奉章首先介绍处理光与物质相互作用的半经典理论和密度矩阵， 然后计算激发态原子和基态原子泵浦过程受结构的影响，给出了激发态原子在不 同结构中的辐射特性，同时对泵浦情况下的激光器进行了初步的理论计算和模拟。 4 1 半经典理论和密度矩阵 一、半经典理论 对光与物质原子相互作用的常用处理理论有经典理论、半经典理论、量予理 论以及量子理论的简化理论一一速率方程理论。 经典理论的出发点是将原子系统和电磁场都做经典处理，即用经典电动力学 的麦克斯韦方程组来描述电磁场，将原子中的运动电子视为经典力学的振子。而 半经典理论是属于量子力学范围内的理论方法，它的出发点是采用经典麦克斯韦 方程组描述光频电磁场，而物质原子则用量子力学描述。量子理论是量子电动力 学处理方法，它对光频电磁场和物质原子都做量子化处理，并将二者作为一个统 一的物理体系加以描述。激光器的全量子理论只是在需要严格地确定激光的相干 性和噪声以及线宽极限这些特性时才是必要的。速率方程理论是量子理论的一种 简化形式，因为它是从光子( 即量子化的辐射场) 与物质原子的相互作用出发的。 但是由于忽略了光子的相位特性和光子数的起伏特性而使这种理论具有非常简单 的形式。 采用半经典的方法建立激光器理论的工作是由兰姆( w _ e l a m b j r ) 在1 9 6 4 年开始的，故称为激光器的兰姆理论。半经典理论能较好的揭示激光器中大部分 物理现象，如强度特性( 反转粒子数烧孔效应与振荡强度的兰姆凹陷) 、增益饱和 效应、多模耦合与竞争效应、模的相位锁定效应、激光振荡的频率牵引与频率推 斥效应等。但是。这种理论也掩盖了与场的量子化特性有关的物理现象，例如自 发辐射的产生以及由它引起的激光振荡的线宽极限、振荡过程的量子起伏效应( 噪 第2 1 页 声和相干性) 了解激光器的 因此半经 接得到光子晶 辐射过程。 q 防科学技术人学研究生院学位论文 等。半经典理论的另一个缺点是数学处理比较繁杂，因此在只需要 一些宏观特性的情况下，一般采用更简明的速率方程理论。 典理论是不能处理自发辐射的，这样就无法通过半经典理论计算直 体抑制自发辐射的性质：因此我们在研究过程中，讨论原子的受激 二、密度矩阵【3 1 激光器的工作物质是由大量的粒子组成的，所以电极化强度是涉及大量粒子 的量，在半经典理论中采用量子力学中的密度矩阵方法来处理；而电极化强度所 产生的光波场则采 j 经典电磁场理论来处理。 我们在描述量子系统的状态的时候，可以采用不同的方法。一种方法是用一 个态矢表示一个纯态、用一组态矢及其权重表示一个混合态。另一种方法是用态 矢空间的一个线性算子来表示一个状态( 纯态或者混合态) ，这样的算子称为密度 算子( 密度矩阵) 。密度矩阵的方法具有更加紧凑、 地描写纯态与混合态。特别在处理复杂系统的混合 矩阵的方法已经在许多物理( 化学) 领域当中被广 更加简洁的数学形式，可统一 态时具有明显的优越性。密度 泛地采用。 对于一个纯态l 庐) ( l ) = 1 ) 对应一个态矢空间上的线性算予为，弓= i 庐) ( 庐l ， 而对于一个混合态密度算子的定义是： p = 彬p ，= 彬i 谚) ( 痧i ( 4 1 ) ， 其中a 是纯态旧) 的投影算子。 密度算子含有了混合态的全部物理信息，用密度算子表示力学量的平均值为 f = 军彬协l 剖谚) = 莩彬t r ( p ，户) = t r ( 莩彬p ，户 = t r ) 态演化的运动方程( s 绘景下) 用密度算子表示为 鲁p ( ，) = 去陋，p ( ，) 密度算子在任意表象中的矩阵称为密度矩阵。 三、二能级原子系统 第2 2 页 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 题的 国防科学技术大学研究生院学位论文 在处理增益原子时，我们考虑最简单的二能级系统，这样既简洁又能反映问 本质。因为在激光器中只有与激光直接有关的上、下能级才与光发生主要作 泵浦作用和衰减作用，主要提供粒子数反转的变化。 原子系统的哈密顿算符可以写成和时间无关的部分或和与时间有关的部分 微扰算符) 之和 由= 曹。+ 疗。 ( 4 4 ) 满足疗。i 疗) = 。i n ) ，疗。= 一女t e ( z ，) = 一e r e ( z ，f ) ，其中番为偶极矩算符。 在有衰减的情况下，可以在系统的哈密顿算符中引入衰减矩阵曰j = 疗。一娶尹。 对于二能级系统有： 。= 墨鬣协墨篙l 豸 = 言兰 即删：j 矧荆一 其中e 、e 2 为原子在低能级和高能级的本征值， 密度矩阵的运动方程为( 假定两能级的衰减常数 毪。= ( 1 l e r l 2 ) b 电偶极矩矩阵元 相等) ： p 2 2 ；一i ( u 1 2 p 2 l 一 2 1 p 1 2 ) e i h 一7 , 0 2 2 p 1 1 = i ( u 1 2 尸2 l 一“2 l n 2 ) e h 一7 0 1 1 p 2 l = 一i c o p 2 1 一i u 2 i (