（基础数学专业论文）四元数分析中一些偏微分方程的初边值问题.pdf

四元数分析中一些偏微分方程的初边值问题 基础数学专业 研究生李长江指导教师杨丕文 论文摘要：本文主要讨论了四元数空间中一些线性偏微分方程组的初边值问题 与初边值问题全文共分三章 在第一章中我们利用支6 1 获得的拟四元数空间中的一些函数论性质；讨论 了r 3 中一阶椭圆型方程组的两类边值问题与酞4 阶双曲型方程组的两类初边值问 题：分别获得了可解条件与解的积分表达式 在第二章中，我们利用四元数分析与复分析方法；讨论了酞3 中一个线性抛物型复 方程组的初边值问题；在不同的情况下，获得了可解条件与解的级数表达式 在第三章中，受文 1 4 1 5 1 启发下，我们利用函数论的方法：讨论了可交换四元数 空间中一阶双曲型复方程的r i e m a n n 边值问题；在不同的情况下，获得了可解条件与 解的积分表达式 关键词：拟四元数空间；四元数空间；可交换四元数空间；双曲型方程组； 抛物型方程组；初边值问题；边值问题；r i e m a n n 边值问题 第i 页，共3 i 页 i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs o m ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nq u a t e r n i o n i ca n a l y s i s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：l ic h a n g j i a n g s u p e r v i s o r ：y a n gp i w e n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w em 2 l i 出s t u d yi n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nq u a t e r n i o n i ca n a l y s i sb yu s i n gm e t h o d so f c o r 1 p l e xa n a l y s i s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ed i s c u s st w oc l a s s e sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rae l l i p t i c s y s t e m so ff i r s to r d e ri n pa n dt w oc l a s s e si n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra h y p e r b o l i cs y s t e m so ff i r s to r d e ri n 础a n do b t a i ni n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h e g e n e r a ls o l u t i o n sa n dt h es o l v a b l ec o n d i t i o n sr e s p e c t i v l yb yu s i n gt h er e s u l t so f q a s i q u a t e r n i o ns p a c e 泣【1 6 】 i nc h a p t e rt w o ，b yu s i n gm e t h o d sf o r mq u a t e r n i o n i ca n a l y s i sa n dc o m p l e x a n a l y s i s ，ai n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ral i n e a rp a r a b o l i ct y p es y s t e m si s d i s c u s s e d ，a n dt h es o l u t i o n so fs e r i e sr e p r e s e n t a t i o na n dt h es o l v a b l ec o n d i t i o n so f t h ep r o b l e ma r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l yi nd i f f e r e n tc a s e s i nt h el a s tc h a p t e r ，t h er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h eh o m o g e - n e o n sh y p e r b o l i ct y p ee q u a t i o n so ff i r s to r d e ri nc o m m u t a t i v eq u a t e r n i o ns p a c e i ss t u d i e d ，a n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fg e n e r a ls o l u t i o n sa n dt h es o l v a b l e 第i i 页，共3 l 页 c o n d i t i o n so ft h ep r o b l e m si sg o tr e s p e c t i v e l yi nd i f f e r e n tc a s e k e yw o r d s ：q a s i - q u a t e r n i o ns p a c e ；q u a t e r n i o n i ca l g e b r a ；c o m m u t a t i v e q u a t e r n i o ns p a c e ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ；p a r a b l i ct y p ec o m p l e xe q u a t i o n ；i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；r i e m a n nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ， 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师扬至塞指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名孝长沙 2 0 0 9 年4 月 前言 四元数分析是复分析在高维空间中的另一种形式的推广，由于它在数学物理 等方面都有广泛的应用，如对m a x w e l l 方程, y m a g - m i l l 场理论等问题的研究，近些 年引起了国内外学者广泛关注 四元数理论早在1 8 6 6 年由爱尔兰数学家h a m i l t o n 提现，而对于四元数分析 理论的研究却是从二十世纪三，四十年代才开始的1 9 3 5 年，r f u e t e r 在文3 2 】中 用类似于复平面中的c a u c h y - r i e m a n n 方程，给出了四元数分析中正则函数的 定义，并利用此定义得到了类似的c a u c h y 定理，c a u c h y 积分定理以及在文f 3 3 】中 的l a u r e n t 级数在接下的二十多年里r f u e t e r 与他的合作伙伴进一步发展了 四元数分析理论，见文f 3 4 1 关于这些理论较简单的解释见c a d e a v o u r sf 2 3 庙 于r f u e t e r 与他的合作伙伴在研究四元数分析理论时，所用的方法也不尽相同，同 时所得的结果的证明太过普通及严格，1 9 7 9 年，a s u d b e r y 在文【2 4 1 中使用了外微 分演算方法，更简单与新颖的证明r f u e t e r 得到的主要定理，同时也更好的区分了 四元数分析与一般的复分析 1 9 9 9 年，杨丕文在1 1 0 】中，把四元数分析与多复变联系起来，将四元数分析 中d i r a c 微分算子晓= 以，+ t 以。+ 歹良。一七盈。改写成两个复变元的微分算子形 式岔= 2 ( 簖+ 歹峙) ，嫱= 互1 、0 卫。+ i 岛：) ，用类似于单复变函数对解析函数的定 义硝= 0 ，给出了四元数分析中正则函数的定义，即满足2 ( 鲂+ j o 万2 ) u ( z 1 ，z 2 ) = 0 并获得超球与双圆柱区域上四元数正则函数的c a u c h y 积分公式，c a u c h y 型积 分公式，及在超球与双圆柱区域边界上四元数正则函数可开拓到区域内的条件 2 0 0 1 ，作者在文【l l 】中将复分析中非齐次c a u c h y r i e m a n n 方程的r 算子理论推广 到四元数分析中，构造了四元数中非齐次d i r a c 方程的积分的分布解，讨论了丁算 子的一些性质2 0 0 3 作者在文f 1 3 中进一步研究了z 算子在有界区域上的h s l d e r 连续性。2 0 0 5 年李觉友在文【1 8 】中讨论了丁在全空间q 中的h s l d e r 连续性同年，鄢 盛勇在文1 9 】中对研究丁算子在有界区域上属于比的性质及p o m p e i u 公式，进一 步完善了丁算子的性质 有了以上结果作为工具，我们就可以用来研究四元数分析中的边值 第1 页，共3 1 页 前言 问题1 9 9 2 年，张万国最早开始了对四元数分中的初边值问题的研究，他在 文【3 5 ，3 7 中分别研究了四元数分中正则函数的n e u m m a n 边值问题与r - h 边值问 题1 9 9 4 年，杨丕文在文 2 7 】中讨论了四元数分析中正则函数的d i r i c h l e t 边值问题 1 9 9 7 年，乔玉英在文f 3 6 1 中研究了广义四元数广义正则函数的斜微商边值问题以 上这些边值问题，实际上都是一些高维的椭圆型方程的边值问题在最近十几年 中，国内外的学者对对四元数分析中一些椭圆型方程的边值问题的作了大量的研 究，其一些工作可参见闻国椿【2 8 ，姚益民【9 】，杨丕文【4 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，2 1 ，蒲松【17 】，谢 永红【2 0 ，李玉成 2 5 】，h e i n z l e u t w i l e r 2 6 ，g f i r l e b e c kk ，s p r s s s i gw 3 1 等人的著 作 2 0 0 7 年，杨丕文通过引入可换四元数代数，来研究高维空间中的双曲型方 程如在文f 1 5 中研究了一阶和二阶双曲型复方程的特征边值问题在文f 1 4 1 中 讨论了r 3 和r 4 空间中的两类一阶双曲型偏微分方程的r i e m a n n h i l b e r t 边值问 题，获得了可解条件和通解2 0 0 8 年，张位全在文【2 2 中，利用3 1 4 ，1 5 1 中的方法，讨 论了一个一阶双曲方程的在双圆柱与超球上的一些边值问题 2 0 0 8 年，杨丕文在文f 1 6 1 中引入了拟四元数代数；研究了拟四元数空间中的一 些算子的性质，如：p o m p e i u 公式t 算子及其性质；讨论了r 3 一个椭圆型方程组的 边值问题，嗽，r 4 中一阶双曲型方程组的初边值问题：在不同的情况下获得了可解 条件与解的表达式在文f 2 9 运用拟四元数代数来讨论 m a x w e l l 方程的初边值 问题 以上这些文献中的结果，都是复分析在高维空间中的推广 受到上述一系列的工作的启发，本文考虑了四元数空间中一些边值问题与初 边值问题本文共分为三个部分 在第一章中，我们利用文f 1 6 1 获得的拟四元数空间中的一些函数论性质；讨论 了嗽中一阶椭圆型方程组的两类边值问题与磷一阶双曲型方程组的两类初边值 问题：分别获得了可解条件与解的积分表达式 在第二章中，我们利用四元数分析与复分析方法；讨论了r 3 中一个线性抛物 型复方程组的初边值问题；在不同的情况下，获得了可解条件与解的级数表达式 在第三章中，受文 1 4 ，1 5 1 启发下，我们利用函数论的方法；讨论了可交换四元 数空间中一阶双曲型复方程的r i e m a n n j 泣值问题；在不同的情况下，获得了可解 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o i n第2 页，共3 1 页毕业论文 薷言 条件与解的积分表达式 h a 0 2 0 0 l h a o 1 6 3 c o i n第3 页，共3 1 页毕业论文 第一章拟四元数空间中的一些方程组的边值问题 本文用函数论的方法，讨论了分别拟四元数空间中一类椭圆型方程组的两个 边值问题与一类双曲型方程组的的两个初边值问题分别获得了可解条件与解的 积分表达式 1 1 拟四元数空间 所谓的拟四元数空f b - j q 是指由基元e o ，e 1 ，e 2 ，e 3 生成的线性空间基元所对 应的矩阵形式为 e 。= ( 三呈) ，e z = ( 三： e 2 - - ( 呈三) ，e 。= ( 三三) 通过计算，可知基元之间满足鼋= 鼋= e ；= e o ，e l e 2 = 一e 2 e 。1 = 二t e 3 ，e 2 e 3 = 为了方便起见，不妨将科中的元记为( 亡，z ) ，x =( z 1 ，z 2 ，x 3 ) ，本文 中t ，z 1 ，z 2 ，z 3 皂3 q 中的元记为g = t o e o + r , 其中t o e o ，为口的数量部分，r = x i e t 为g 的向量部 分口的共轭为虿= t e o 一，对于q 中任意两个元素q l ，q 2 有 q l q 2 = 0 1 0 2 + 7 1 r 2 ) e o + t l r 2 + t 2 r 2 i r l 仡 q 中的函数为，( ，z ) = ，o e o + u 心z ) ，其中而e o 为厂( ，z ) 的数量函数，u z ) = 五( ，z ) 岛为，( t ，x ) 的向量函数 定义如下微分算子 v = 去e t + 毫e 2 + 矗e s c 1 1 2v 西= 0 的两个边值问题 寰池e o + ，i 1 7 叫矗e o “去e 1 ? h ( 1 2 ) l ( 毒e o i 矗e ) ( 咖2 e o + i b 3 e 1 ) = 一者西，e o 。 第一章拟四元数空阍中的一些方程组的边值问题 我们不妨将r 3 记为rxc ，而r 3 中的元记为z = ( z l ，2 ) ，z = 勉 4 - i x 3 ，单位球 为b l = ( z l ，z ) l 霹4 - l z l 2 1 ，f 1 = ( ( o ，e ) l l c = + i 呓l = 1 ) 问题1 2 1 求方程v 西= 0 在b 内的连续解圣= 1 e 】+ 如e 2 + 咖3 e 3 ，使得西满 足如下边值条件 删= 哟) ，掣= 哟) ，7 船1 也( o ，z ；，z ；) e o + i 3 ( o ，z ：，x ；) e l = 7 3 ( x 2 ，z ：) e o ，( z ：，z ：) f t ( 1 - 3 ) 这里n ( 7 7 ) ，死( ，7 ) 为a b l 连续的实函数，您为一复值函数，r 3 ( z ：，z ：) c 口( r 1 ) ，0 n 】 问题1 2 2 求方程v q , = 0 在b 内的连续解圣= 妒l e l + 矽2 e 2 - 4 - 九e 3 ，使得圣满 足如下边值条件 l ( ，7 ) = 乃( 叩) ，o c 两t ( n ) = n ( 叩) ，r a b l ， 乱 如( o ，z ：，z ：) e o + i 0 3 ( o ，z ：，z ；) e 1 ) = ( z ：，z ：) e o ， 如( o ，0 ，o ) e o + i 0 3 ( o ，0 ，0 ) e l = c 2 e 0 ，( 。：，z ：) f 1 ( 1 - 4 ) 这里乱，o n l 为r 1 与o b l 的外法方向，乃( ，7 ) ；乃( ，7 ) 为a 且连续的实函数，r 5 为一复 值函数，( z ：，。) c 二( r 1 ) ，0 a 1 ，c 为一复数 为了研究以上两个问题，利用文【1 - 3 ，6 ，7 ，1 2 】中的结论，我们很容易得到如下 方程组两类边值问题的结果 若夕1 ( ，z ) ，9 2 ( t ，z ) 是定义在r 3 中单位球b l 内的复值函数，如果有g l ( t ，z ) ， 夕2 ( t ，z ) c 1 ( b 1 ) 且满足相容性条件甍陇( ，z ) = 爱9 1 ( ，z ) ，那么关于复值函 数u ( t ，z ) 的方程组 r 翱，z ) 。g l ( 蚺( 1 - 5 ) 1 - 0 气i) l 麦钆( z ，z ) = 9 2 ( t ，z ) 的两个边值问题 引理1 2 1 求方程组( 1 - 5 ) 在b 1 内的连续解乱( ，名) ，使其满足 让( o ，e ) = 7 ( ( ) ，( f 1 = _ ( ( ：| l = 1 ) 。 这里r ( e ) g ( r ) ，0 a 1 h a 0 2 0 0 i h a o 1 6 3 c o r n 第5 页，共3 l 页 ( 1 - 6 ) 毕业论文 第一章拟四元数空问中的一些方程组的边值问题 该问题的可解条件为 刍l 心，i z c 厅1 d + 一 万 z 9 2 ( 0 ， ) l1 一z (d a e = 0 若以上条件满足时，其通解为 啡= 眦z ，+ 知泓冲一伽篑一熹小巷卅川 引理1 2 2 求方程组( 1 5 ) 于男1 内的连续解繇，z ) ，使其满足 o p u ( o ，e ) = r ( ( ) ，u ( 0 ，0 ) = c ，( f i = ( ：= 1 ) 这里乱为r l 的外法方向，r ( c ) c 口( r ) ，0 q 1 此问题的可解条件为 一 熹l 啪，志+ 巩。鬻如。m 8 ， 当且仅当此条件成立时，其通解为 乱炉_ 9 2 + z o tg l 踟e 一序- 。1 0 9 1 ( 广e , c ) ) 如 + 2 - 磊i = 1 吣) l o g ( 1 吲警+ 玩，半慨+ c 其中 砌= 一熹上警们羚一地害 ( 1 - 9 ) ( 1 - 1 0 ) 定理1 2 王方程组( 1 2 ) 满足边界条件( 1 3 ) 可解，当且仅当如下可解条件成立 嘉小( 州) 石际鼍纛必 其中 藉x 筹2 e o 裂蚺。e o 一(+ i z 3 e 1 ) ( z ；e 0 一t z ：e 1 ) 一。 一 通解为 垂( 。) = i ( b l ( x ) e l + ( 如e o + i 3 e 1 ) e 2 ( 1 - 1 1 ) 州z ) = 一去z b 。瞰7 7 ) 伽0 1 ：) 一i 1 哟) 硒( 1 - 1 2 ) 这里= 抓i i 铲干石j 蜀耳丽两 赴州也e - = - 2 1 = - - i 上， r 3 ( x ：+ i x a ) e l ( 。；e 0 一i z j e ：) 一( x 2 e o i x s e l ) h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o i l l 第6 页，共3 l 页毕业论文 第一章拟四元数空闻中的一些方程组的边值问题 + r 1 ( 去州瓦0e 1 ) 州淝侧出 一卜地落案糕蜊 一汛，蔷赛i x ；e 警lx 氅2 e o i x 3 e 。呶 m 埘 7 r ，| c i 1 ( 。；e o 一) 一( 一 ) ”。r 、 叫 证明从方程组( 1 2 ) 的相容性条件可知砂1 满足3 咖= 0 ，即多l 在b 1 内调 和再结合边界条件( 1 3 ) 的第一式，很易得出妒1 的表达式( 1 1 2 ) 而对于函数矽2 e o - i - i 九e 1 由引理1 2 1 易得实际上，仅需令9 1 = ( 矗e o + 去e 1 ) l ，9 2 = 一互1 击1 e 0 ，将 其分别代入到引理1 ，2 1 的可解条件与通解( 1 7 ) 中，即可得到可解条件( 1 1 1 ) 与解 的表选式( 1 1 3 ) 定理1 2 2 方程组( 1 2 ) 满足边界条件( 1 4 ) 可解，当且仅当如下可解条件成立 土2 r il 矿e o 雨x 2 e o 而i x 3 e 型1 ) ( x 掣e o ixll3e1)(蕊x；eoi x 3 e 1 ) j l c l ；l 【 一( +一一 ”、 + 巩。d 等x 2 e 0 熹i x 3 e 巡i ) ( x ；墼e o 刍蚺。 + 一，- - - - - r 加，= ij 。7 r ，i e | 1 e o 一( + 一i z ：e 1 】2 “。 。 当以上可解条件成立时，其通解为 圣( z ) = l ( z ) e 1 + ( 也e 0 + i 加e 1 ) e 2 其中1 由( 1 - 1 3 ) 式给出 晚州。口矗州去e 1 ) 州, x 2 4 - i x 3 一厅一巩 1 l 一一， 百_ ，j c j 1 ( 去e o z 赤) 剑等盟 1 ( 。；e o i z ；e 1 ) 一( x 2 e o i x 3 e 1 ) + 去l r 5 ( 枷瑚e ， d a d e ( 1 1 4 ) l o g e o 一( z 2 e o i x 3 e 1 ) ( x ：e o + i x 3 e 1 ) 】 z 2 e o i z ；e l + 要j 厂l c l ： 麓辫呶 7 r 奶e o 一2 e 1 ( 1 1 5 ) 证明其证明方法与定理1 2 1 的过程类似，其中九的确定与定理1 2 1 中完 全相同而对于函数也e o + t 九e 1 由引理1 2 2 易得实际上，仅需令9 1 = ( 者e o + i m 0 2 0 0 i h a o 1 6 3 c o m 第7 页，共3 l 页毕业论文 批 可 1 泐i | + 一翌f 鲤一 掌 第一章拟四元数空问中的一些方程组的边值问题 i 去e 1 ) 1 ，虫= 一；者咖e o ，将其分别代入到引理1 2 2 的可解条件( 1 8 ) 与通解( 1 9 ) 中，即可得到可解条件( 1 1 4 ) 与解的表达式( 1 1 5 ) 引理1 2 3 ( 文 1 6 ) ( p o m p e i u 公式) 设g 为r 3 中一分片光光滑曲面s 所围成的 ( 1 1 6 ) x 3 ) 2 声 引理1 2 4 ( 文 1 6 】) 若h 三1 ( g ) ，则马尼是非齐次方程v 西= 危的一个广义 解，即在分布意义下有， v ( t 3 h ) = h ( 1 1 7 ) 1 3 一阶双曲型方程的两个边值问题 记 显然有 ( 堡一3 ) ，0 t 2 i 一一，、 l -o， d f = ( 爰e o + v ) ( 1 0 e o + ) = 忍= e o + 霍1 + i 霍2 ( 1 1 8 ) 这里( 瓦z ) 为实值函数，霍l ( t ，z ) ，q 2 ( t ，z ) 分别为向量函数，且，皿1 ，雪2 c 1 方程( 1 1 8 ) 等价于方程组 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o m 第8 页，共3 l 页 ( 1 1 9 ) 毕韭论文 km k 志 v 厂厶 l 石 乃 记 v v + 一 a 一况a 一跳 = | i 缈 邸 一3 一3旦分瓦 + 一 眈 眈 一2 2旦( 喜l 旦慨 + 一 吼 吼 旦( i 旦尬 + 一 a一砒a一况 = = d d 竺嘲予竺慧 一 堡翥 萨丽獭q 子= 算d 度一肋暇西别 撕m程力 机虑 v 考 里 这 引 霍 k = 吨 乳扣一 + + u 旦巩v v 第一章拟四元数空同中的一些方程组的边值问题 因四= ( 器一) = 西危，从而可以得出方程( 1 1 9 ) 的相容性条件 玑奶= 0 ， ( 1 2 0 ) l 囊虫2 + v 皿1 = 0 设区域q 是铲中一锥形区域，q = ( t ，x ) l o t l ，h l t ) ，而记b = ( o ，x ) l l z f 1 ) ，r = ( o ，o ，呓，z ：) i z 孑+ z 孑= 1 ) 在q 上考虑以下两类边值问题 问题1 3 1 求方程( 1 1 8 ) 在孬上的连续解，( t ，z ) ，使其满足下列初边值条件 ( o ，z ) = x 1 ( z ) ，- 鬲i o ( o ，z ) = x 2 ( z ) ， ( o ，卵) ：入3 ( 叩) ，皇葛呈二盟：儿( ，7 ) ，7 7 o b ， 厶( o ，o ，z ：，z ：) e o + i a ( o ，0 ，。：，4 ) e l = r ( z ；，z ；) e o ，( z ：，z ：) r 。 ( 1 - 2 1 ) 这里) ( 1 伊( 百) ，x 2ec 2 ( 百) ，a s ，a 4 c o b ) ：r ( 4 ，z ) c o ( r ) ，0 q 1 , 0 n 为o b 的外法方向，g r ( 4 ，z 3 ) 为复值函数 问题1 3 2 求方程( 1 1 s ) e 孬上的连续解，( t ，z ) ，使其满足下列初边值条件 o ( o ，z ) = x l ( z ) ，鬲v 0 ，z ) = x 2 ( z ) ， 加= 哟) ，掣= 协砌o b ， 巩( ，2 ( o ，0 ，z ：，z ：) e o + l ，3 ( o ，0 ，z ：，4 ) e i ) = t i ( ，z ：) e o ， 丘( o ，0 ，0 ，o ) e o + i h ( o ，0 ，0 ，o ) e 1 = c e o ，( z ：，z ；) f ( 1 2 2 ) 这里x 1 c 3 ( 百) ，x 2 c 口) ，拍，饥c ( o b ) ，7 1 ( z ；，z ：) g ( r ) ，0 0 ， z 1 ) ，b = 2 ：l z i 1 ) ，r = 名：i z l = 1 ) ， 我们考虑区域q 上方程( 2 1 ) 的初边值问题 五( 吣) = 夕1 ( z ) ，掣掣：卯( 2 ) ，z b ，( 2 - 4 ) 脚煳- 0 ，掣- 0 ，( r 陋5 ) r e 【 h 望盘磐】= r l k ) ，r e 【( 知z ( o ， ) 】：您( ( ) ，( r ( 2 - 6 ) 笛1 2 贾婪3 】酉 第二章r 3 中抛物型复方程组的初边值问题 这里夕l ( 名) ，驰( z ) 为复值函数，为法向量，r 1 ( ( ) ，r 2 ( e )c 么，0 a 0 ，p + 沪r ) ， t = 0 ：如= ，( r ) ，塞叫= 9 p ) ， 【r r ：w = 0 ，畚叫= 0 设z = t c o s 目，y = r s i n 口，则0s7 r ，0 毋2 7 r 此问题解为 伽( t ，z ，耖) = 叫( ，r ) = a nc 0 6 ( 口磋t ) + 岛s i n ( o 磋) 】西n ( r ) ( 2 - 7 ) 这里k 为超越方程 j o ( k n ) i ：( k r ) 一i o ( k r ) 4 ( k r ) = 0 的正根，其中j o 为第一类b e s s e l l 函数 删= 争，礼篙脚，= 薹揣 a = 志z r 竹) 蚶咖咖，玩= 葫品r g ( 巾小) r d r ， 垂n ( t _ ) = 矗( k r ) 如( k r ) 一而( k r ) j 1 0 ( k r ) ，i 垂n i l 2 = i n 一【掣n i t ( 冗) 】2 = r 2 后( k r ) 露( k r ) 其中厶，玩为实数 定理2 2 1 方程( 2 3 ) 满足初边值条件( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 的解可以表示为 肫2 ) = 她r ) 圭c o s ( 拇) + 队s i l l ( 扣) i v n ( r ) ，( e - s ) 这里k 为方程山( 允) 晶( ) 一i o ( h ) 4 ( h ) = o 的正根， c k2 币稚上夕1 ( r ) m n ( r ) r 打，d n2 赢上仍( r ) 圣n ( r ) r 打， 】，14厂1 皿n p ) = l o ( h ) g o ( h r ) 一j o ( h ) i o ( h r ) ，l i 霍n i l 2 = i 1 【掣 h ( 1 ) 】2 = 瑶( 危珏) 露( k ) ， 其中g ，风为复数 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o i l l 第1 3 页，共3 1 页毕业论文 第二章r 3 中抛物型复方程组的初边值问题 证明事实上，由于禹= 去，又因为在圆周上= 鲁，所以方程( 2 3 ) 的满足初边值问题转化为尼( t ，z ) 的实部r e 五和虚部j m 丘的如下定解问题： 肇+ 去) ( r e ，2 ) = 0 ， = 0 ：n e a ( o ，2 ) = r e g l ( z ) ，甍r e 五( o ，名) = r e g ( z ) ，z b ， = 1 ：r e 厂2 ( o ，e ) = 0 ，鲁兄e 如( o ， ) = o ，( f i ( 豢o t + 去) ( j m 厶) = o ， 扣0 ：i m a ( o ，z ) = j m 夕1 ( z ) ，爱i m a ( 0 ，2 ) = i m 9 2 ( z ) ，2 b ， ir = 1 ：j m 尼( o ，e ) = 0 ，- 杀i m a ( o ，( ) = o ，( f 2 3 抛物型复方程的解的情况 以下文 1 3 ，7 ，1 2 】中一些结论在本文中用到 引理2 3 1 设，( z ) 为b 上的可测函数，则对如下积分算子 ? f = 1 f bf ( 2 ，则对于b 上的二重积分 黔一妻上罄”熹上鬻坼 有爱p ，( z ) = ，( 名) ，z b 且在单位圆周r 上满足 觑沙p f 】= o ，2 f ( 2 ) 当后 2 ，则对于b 上的- - 重积分 肛一委上罄蚺妻丘竿警呶 ；有o e f = 0 ，z b 在单位圆周r 上满足 r e z 七p 力= 0 ，2 f ， h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o i l l第1 4 页，共3 l 页 毕业论文 k 一妻厶尹1 玳) 娥= o ， 1 一熹厶一1 玳) + e 卅1 厕慨扎( m = 1 ，2 ，i k l 。) ， 引理2 3 3 假设九l ( ，z ) 伊，h 2 ( t ，z ) c 1 ，且在区域g 内满足相容性条 件暑危，( t ，z ) = 番k ( t ，名) ，则哿下方程组 l 裳 ( t ，名) = 九l ( ，z ) ， l 番 ( 啦) = k ( ，孑) ， 腿咄+ 胁即肛肛t o t c 铲好h l o h ： 心m 枞协9 ， ( t ，2 1 = 疋，+ ! 1 ( ，z ) 必一，n 、d ( z 。) 武+ 妒1 i z j 十z 轨k z j u 嘣 中：妻船( ，害蚺。t 虿0 2 h i , ，= 妻上掣鲁蚺 根据文【5 ，8 】中的知识，接下来根据七1 ，惫2 的符号，分情形对 ( t ，2 ) 满足边界条 一 一嘉掷呐破爰肿= 即 蚀(29皿剁墨黑卅z姒卅三ff 妣 (211)a(o ，z ) = 妒1 ( z ) + z 妒2 ( z ) + ；，。， ， 口仃e 。争上上 掣柏一熹上等妣( 2 - i 2 ， 碱妣 沩一鼽竿上零毗 也( z ) = 咧( 名) 一下lt 磊i e ， 舯诹力漱喾乏三霎z 警攀主参2 k l ，镀( z ) 。磊上肖半+ 笔洲”。 这里c ，i ( m = o ，1 ，2 k 1 ) 为任意的复常数，满足条件 绌l m + 丽= 0 ，m = 0 ，1 ，k l h 2 0 0 l h a 0 1 6 3 c o m 第1 5 页，共3 l 页 ( 2 - 1 3 ) 毕业论文 第二章酞3 中抛物型复方程组的初边值问题 由此可以得出甥( z ) 依赖于2 1 + 1 个任意的实常数 将( 2 - 1 3 ) 式代入到( 2 1 1 ) 式中得 ( o ，z ) = 砂1 ( z ) + z ( 妒2 ( 2 ) 一键( o ) ) + z 蠼( o ) 一半上鬻咄+ 妻上警峨 取矽1 ( z ) 如下形式 砂( 名) = 矽 0 ) 一喜( 蠼( z ) 一键( o ) ) 一- 2 詹：+ 1 可夏可 ：亭上需蚺莩上警毗 这里纠( z ) 满足筹= 0 ，r e 妒：妒 ( ) 】= r 2 ( ( ) ，( f 所以 娘沪煮z 眚竿蚺薹城 协 这里厶仰= 0 ，1 ，2 也) 为任意的复常数，满足条件 姒，一m + 瓦= o ，n = 0 ，1 ，乜 由此可以得出矽 ( 名) 依赖于2 砬+ 1 个任意的实常数 综合上述讨论，我们易得出如下结论 足理2 3 1 当l 0 ，k 2 0 ，复万程( 2 - 1 ) 问题2 1 1 的通解为 ，( t ，z ) = ( t ，z ) + 歹，2 ( t ，z ) 其中 ( t ，z ) 由( 2 8 ) 式给出， 脚) = o 。( 一掣肛0 2 ( 聃鬻煅 + 妻上掣管咄一竿上掣南呶 + 莩上挈南蚺竿上挈舞呶 + 钟( z ) + z 螋( 名) 一妻( 键( z ) 一识( o ) ) 一母+ 1 丽， ( 2 _ 1 5 ) 其中钟( 名) ，锻( z ) 分别为( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 式，解依赖于2 ( k ，+ 如+ 1 1 个任意的实常数 ( 二) 七l 0 ，如 o ，此时将如( z ) 代入到( u ) 式中，并在 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o r n 第1 6 页，共3 1 页 毕业论文 第二章r 3 中抛物型复方程组的初边值问题 等式两边同时乘以咖，我们有 a ( 虿肠 ( 0 ，z ) ) 矛( 蚍) 一妻z 拦蚓， 咖胍m ，一妻上警蛾一妻上穹笋蛾 + 竺厂塑掣如 ( 2 - 1 6 ) 儿 j 且 工 、- 取咿( z ) 的形式为 北h ) 一熹上等虻要上等峨，( 2 1 7 ) 显然这里沙( z ) 满足掣= o ，且由边界条件( 2 6 ) 的第二式可知 兄e 妒o ( ( ) 】= 您( ( ) ， r ， 所以有 嘶) = 去z 甾半d ( + 蛳 ( 2 - 1 8 ) 咖肌) _ - 昙上盥警呶 一要厂塑霉邕掣型呶锄j 7 rl 一 z 。 熹z 半计址妻以芦+ t h e ( 吣_ o 嘉上眨k 2 - - n - - 1 ( 螋( ( ) + 亍如( 。，e ) ) + ( 鲍栩一1 ( 键( ) + 亍九2 ( o ， ) 慨 一去z 舞武_ o ，( ，2 ，2 - 1 ) 通过以上的讨论及定理2 。1 1 ，可得出以下结论 定理2 3 2 当七1 0 ， 0 ，复方程( 2 1 ) 问题1 2 1 的可解条件为 【熹上- 他v 西- 必一妻上严_ 1 ( 键( ) + 亍( 塑喾垒) ) 呶】= 。，恐= 一， 委上萨一1 ( 煳顺掣) ) + p - 1 ( 燃) + - ( 掣慨 一去z 簧妒o ，( 礼钆2 ，硷- 1 ) ( 2 - 1 9 ) h a 0 2 0 0 1 h 1 6 3 c o m第1 7 页，共3 1 页毕业论文 第二章r 3 中抛物型复方程组的初边值问题 当此2 鲍一1 个可解条件满足时，其解为 f ( t ，z ) = ( t ，名) + j ：2 ( t ，石) 其中，2 ( 亡，z ) 由( 2 - 8 ) 式给出， 胁) = 弘掣肛o 。( 酣鬻煅 + 扎 a ，2 ( t ，( ) ( ( 一z ) - 鬲2 k 2 f + l 7 曩3b 巩乒忑峨+ 熹上挈鬈 a 如( o ，( ) ( 1 一瑟) 犹1 一蚺妻上錾慨 一妻上等警咄+ 要z 其中铹如( 2 1 3 ) 式所示。f 睥f 1 ( t ，名) 它依赖于2 七1 + ( 三) k l 0 ，k 2 0 的情形 记艇= 一k l , 同( 二) 中的方法可得 掣龇卜睾上 d z 7 r ，r 不妨记 h 2 ( o ，( ) ( 一- 5 州母虻妻上警咄 谚( 2 ) = 砂1 忱( 名) + 1 1 k 善x - 1 上k ( 0 洲户d 吣， p7 则警= o 取键( z ) 为 幽) 圳z ) + 要上肇警慨， 则由边界条件( 2 6 ) 的第一式可得 r e 【移2 ( e ) 】= ，( ) ，e r ， 所以 = 去z 喾半蚶 因此， 掣= 一寺z b 警咄 一2 一一f 1 f _ 叫e 0 z 吼jl z 一享：筹d 仃。+ 妒2 ( z ) 7 r ，b1 一e 乏 。z 、7 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o r n 第1 8 页，共3 1 页 ( 2 2 1 ) 毕业论文 ! i d 欺 + 力“ 妒 j 圣 第二章r 3 中抛物型复方程组的初边僮问题 妾尹1 一刍z 瘩半妒蜘。， 妻上萨一。帅 m q 痢d 一要z 筹一o ， i m2 上，2 ， 1 1 j 当以上可解条件成立时有 一o a ( o , z ) = 一妻z 掣咄一；1 上等雾”去z 熬必 批撇，+ 妻上警呶+ 妻z 古【妻上学蚓呶 一妻上古c 去z 器蚓吨 忡州+ 华上紫呶 + 莩上南c 妻上学吲呶 一等上南c 去z 蔫讹， 这里掣= o 由边界条件( 2 - 6 ) 的第二式，易得 r e k b 皿。( ( ) = r 2 ( e ) ，( f 所以有 批，= 熹z 警咄+ 要z 型擎呶 + 乏了2 k 2 + 1 骤咄+ 翠：严以醐煳咄 十了止r 虿咄+ 止 ( u ( ) 们 + 去z 专字改+ 竿z 积耻1 必坩朋删 具甲掣( z j 由( 2 一1 4 ) 给出 综合卜诛的讨诊嚣们得到电廿- f 结诊 h a 0 2 0 0 1 h a o 1 6 3 c o m 第1 9 页，盐3 1 页毕业论文 一一 一里= ! 些：! 丝望型墨垄堡望竺塑望堡塑墨 定理2 3 3 当如1 0 ，k 2 0 ，复方程( 2 1 ) 问题2 1 1 的可解条件为 酬熹- - - 1 a - - 妒妻上一( 掣c 】 嘁叫， 昙上萨一- 1 ( 掣) + ( i + m 一，帑呶 一去z 筹d ( _ 0 ，( 仇_ 1 2 ，k i - i ) ( 2 - 2 3 ) 当此2 k 1 一1 个可解条件满足时，其解为 f ( t ，名) = ( z ，z ) + j f 2 ( t ，z ) 其中丘( t ，z ) 同( 2 8 ) 式 撕，= o 。c 一掣肛胁一鬻腋 + 妻z 掣害呶+ 妻上挈等笋呶 + 竿上挈蒜1 咄+ 竿伊。掣咄 7 r ，口 况 一弘”。 7 r _ ，b 1 嘉一叩 + 寺z 掣掣必+ 乏了2