（基础数学专业论文）关于几类半环的性质和结构.pdf

摘要 半环代数理论是较为活跃的代数学研究领域之本文主要研究了几类半环 的结构本文的主要结果如下： 1 给出m r g oj ，中的半环的定义及若干刻画；证明了西是半环上的同余； 利用t ( 2 ，2 ) 型代数的峰固构架的理论，得到了m r g 。s ，成员的次直积分解 2 研究了乘法c 1 i f f o r d 半环的结构和特征，证明了力是半环上的最小分配 格同余，给出了乘法c l i f f o r d 半环的次直积分解 3 研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格，讨论了这些半环与它们的乘 法半群之问的关系，进一步得到了它们的次直积分解，讨论了纯整的矩形除半环 的分配格 4 讨论幂等元半环与分配格的性质，研究它们的相似与不同之处，得到了 幂等元半环成为分配格的条件 关键词：半群：半环；分配格；次直积；m a l c e v 积 o nt h ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e so fs e v e r a lc l a s s e so fs e m i r i n g s a b s t r a c t a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i r i n g si sa na c t i v ef i e l do fa l g e b r a i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， w em a i n l ys t u d i e dt h es t r u c t u r e so fs e m i r i n g s i to b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 w eg a v et h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fs e m i r i n g sb e l o n g i n gt om r g 。s ，； p r o v e dt h a t 西i sas e m i r i n gc o n g r u e n c eb yu s i n gt h et h e o r yo ft h es t u r d yf l a m eo f t y p e ( 2 ， i n 朋r g 2 ) t y p ea l g e b r a s ，o b t a i n e dt h es u b d i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o no fs e m i r i n g s o s ， 2 w es t u d i e dt h ec h a r a c t e r a z a t i o na n ds t r u c t u r eo fm u l t i p l i c a t i v ec l i f f o r ds e m i r i n g s a n dp r o v e dt h a t 力i st h el e a s td i s t r i b u t i v el a t t i c ec o n g r u e n c e ，o b t a i n e dt h es u b d i r e c t p r o d u c t sd e c o m p o s i t i o n o fm u l t i p l i c a t i v ec l i f f o r ds e m i r i n g s 3 w es t u d i e dt h er e c t a n g u l a rd i v i d e ds e m i r i n g sa n dd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fr e c t a n g u l a r d i v i d e ds e m i r i n g s w ed i s c u s s e dt h er e l a t i o ns h i pb e t w e e nt h e s es e m i r i n g sa n dt h e i r m u l t i p l i c a t i o nr e d u c t f u r t h e r , w eo b t a i n e dt h es u b d i r e c tp r o d u c t sd e c a n p o s i t i o no f t h e ma n dd i s c u s s e dt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c eo f o r t h o d o xr e c t a n g u l a rd i v i d e ds e m i r i n g s 4 w ed i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fi d e m p o t e n ts e m i r i n ga n dd i s t r i b u t i v el a t t i c e ，a n d s t u d y t h e i rd i f f e r e n c ea n ds a m e n e s s ，o b t a i n e dt h ec o n d i t i o n sw h i c hi d e m p o t e n t s e m i r i n gi sad i s t r i b u t i v el a t t i c e k e y w o r d ：s e m i g r o u p ；s e m i r i n g ；d i s t r i b u t i v el a t t i c e ；s u b d i r e c tp r o d u c t ；m a l c e v p r o d u c t n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适 学位论文作者签名：墅雠：巡型指导教师签名：垫型! 至 方年h i 日 u 辟。石no , s 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：7 拳洌 刁年厂月7 日 两北人学专业学位顾i ：论文 第一章绪论 半环代数理论的研究始于十九世纪术v a n d i v e r 在1 9 3 4 年对半环做了首次 较为系统的研究目前，半环理论已十分丰富，其应用己遍及到组合学，函数分 析，拓扑，图论，自动机，语言，量子物理和欧氏几何等许多领域，现今已有几 本关于半环的理论和应用的专著 半环是指具有两个二元运算“+ ”和“”的非空集合s ，且满足条件： ( 1 ) 岱，+ ) 和 ，) 都是半群： ( 2 ) ( v a ，b ，c s s )( 口+ b ) c = a c + b c ，c ( a + 6 ) = c a + c 6 从代数的观点来看，半环可以看作是由分配律联系着的同一非空集合上的两 个半群这样一来，半群理论上的观点和方法有助于研究半环近年来，美国， 印度，中国，香港等地的一些著名的代数半群研究专家从半环的半群角度出发， 对半环做了一系列新的研究 完全正则半群是一类非常重要的半群类，它的代数理论是非常丰富的我们 知道c l i f f o r d 半群，左群的半格和矩形群的半格都是纯整的完全正则半群近年 来，g h o s h 介绍了环的分配格，g u oy q ，p a s f i j ne 和s e nm k 介绍了左c l i f f o r d 半环( 即左环的分配格) ，其加法半群分别为c l i f f o r d 半群和左群的半格受此启 发，本文将讨论与之相对应的乘法c l i f f o r d 半环，左除半环的分配格，矩形除半 环的分配格和乘法半群足矩形群的半环与s ，中成员的m a l c e v 积m r g o s ，他们 分别为乘法半群是c l i f f o r d 半群，左群的半格和矩形群的半格同时，利用文献 【8 】中z h a ox z ，g u oy q ，s h u mk p 的( 2 ，2 ) 型代数的坚固构架的结论和方法 对他们的结构与性质进行了研究 我们注意到g r e e n 关系在半群代数理论的研究中扮演着重要的角色设5 是 半群，定义s 上的二元关系如下： a b 曹s 1 a ；s 1 b 称为5 上的g r e e n 关系 若对任意a , be sa r b 营a s l = b s l ，则称尺为s 上的g r e e n 宪关系 两北人学专业学位坝i ：论文 我们知道，ra = h ，最v = d 其中玎和d 分别表示s 上的g r e e nh 关系 和g r e e nd 关系 既然半环可以看成是由分配率联结的同一非空集上的两个半群因此，半环 的加法半群和乘法半群上均有各自的g r e e n 关系为了方便起见，记岱，) 上的 g r e e n h 关系为力，g r e e n c 关系为， g r e e n r 关系为葩，g r e e n d 关系为西 设半环s 的乘法半群是完全j 下则半群由文献【6 】中定理l l4 5 可知乡= 西， 每一个力- 类是s 的乘法半群( s ，) 的子群h 。表示口所在的力类对任意的 ae s ，用a 一表示日。中a 的逆元素用a o 表示h 。中a 的恒等元如果口，6 5 ， 那么a 力b 当且仅当a o = b o 同时我们还注意到半环的乘法半群的幂等元对整个半环产生重要的影响，我 们用e 。( s ) 表示半环s 的乘法幂等元的全体，e 。( s ) = 忙oa s ) 幂等元半环是一类非常重要的半坏类，它是满足附加恒等式x + x x z x 的半环，通常用i 表示b i r k h o f f 定理告诉我们：一个等式类是一个簇，反之亦 真，所以幂等元半坏是簇分配格簇，j ，半环簇和i d 半环簇都是幂等元半环的 子簇，其中分配格簇由附加恒等式夥一y x ，x + y y + 石，x + x y x 确定，通常用d 表示，j ，半环簇由附加恒等式x y y x 确定，i d 半环簇由附加恒等式 x + 叫一oty ) + z ) ，叫+ z o + z ) ( y + z ) 确定 对任意给定的半群类v ，我们用v 表示半坏s 的乘法半群( 5 ，) 在v 中例 如，g 表示半环s 的乘法半群岱，) 是群的半环类，它的成员被称为除半 环r e s 。，r e c ； 分别表示半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形带【半格，矩形群】 两个半环类v 和w 的m a l c e v 积用yo 表示，它是由如下性质的半环5 组 成：在s 中存在半环同余p ，使得商半坏：w ，若每一个p 类是5 的子半环， 则它属于v 且p 称为半环s 的w 同余 本文研究了除半环( 左除半环，矩形除半环) 的分配格和m r g 。s ，中的半环， 讨论了这些半环与他们的乘法半群之间的关系，给出了这些半环的若干刻画及其 成员的次直积分解各章主要内容编排如下：第二章研究了m r go s ，中的半环的 2 两北人学专业学位硕 j 论文 结构特征及次直积分解；第三章研究了乘法c l i f f o r d 半环的结构特征和次直积分 解；第四章研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格的结构特征和次直积分解以 及纯整的矩形除半环的分配格；第五章研究了幂等元半环与分配格的性质，研究 它们的相似与不同之处，找出幂等元半环成为分配格的条件 两北人学专业学位顺i j 论文 第二章m r g 。j ，中的半环 本章给出m r g 。s ，中的半环的定义及若干刻划；证明了西是半环上的同余； 利用t ( 2 ，2 ) 型代数的峰固构架的结论和方法，给出了m r g 。s ，成员的次直积分 解 定义2 1 设( s ，+ ，) 是半环，若( s ，) 为矩形群，则称p ，+ ，) 为乘法矩形群半 环，用m r g 表示所有的乘法矩形群半环类 口 若用s ，表示半格的全体，则雪，表示乘法半群是半格的半环的全体从而 m r g 。s ，表示满足如下性质的半环的全体： 若s e m r g 。j f ，jp e c 。，l ( s ) ，使得e s ，且每一个p 。类若是子半环， 则该p 类属于m r g 定理2 2 s e m r g 。j ，当且仅当西是s 上的最小雪，同余，且每一个西类是 m r g 中的半环 证明：设s e m r g 。雪，则在s 中总存在半环同余j d ，商半环商半环雪， 每一个p 一类是懈g 中的半环因为s 的乘法半群 ，) 是矩形群的半格，是完全 正则半群，那么西是( s ，) 2 0 9 最小半格同余，所以我们有西p 另一方面， 对任意的u s ，由于p 。是m r g 中的半环，它的乘法半群是半环5 的乘法半群 的完全单子半群，所以p 西这就证明了p = 西所以西是s 上的最小雪，同 余，且每一个西类是m r g 中的半环 反之，若西是s 上的最小雪，同余，且每一个西类是m r g 中的半环则 s e m r g 。s ， 为了讨论m r g 。s ，成员的次直积分解，我们需要回忆文献【8 】中的下述概念： 定义2 3 称一个( 2 ，2 ) 型代数( b ，+ ，) 是一个构架，是指在b 上存在一个 下半格序“9 9 9 目满足： 4 两北人学专业学位硕i j 论文 f v 口，b e b ) ，a + 6 aa6 ，a b 口 b ，其中a b = g 1 b a ，6 ， 口 定义2 4 ( & ，+ ，) ，a e b 】是两两不相交的半环，其中b 是构架， 9 。，：s 。- 口卢 卢) 是一族单同态，满足下列条件：对任思- 4 - 的口，卢，e b ， ( 1 ) 芦一1 l ； ( 2 ) o n 果a2 卢2 ) ，那么驴。，卢驴声r = 驴。，r ； ( 3 ) 如果a 卢芑) ，那么 s d 9 口r + s a r p b t so 邙9 。b ? y s a 9 0 j sb 节b 。r s 。b 9 。b r ， 在s = u s 。上定义运算如下： 口+ 6 = ( 口，。卢+ b e p 卢，。卢) 妒- 1 口+ ，c t ， a b = ( 口，。声6 驴卢一卢) 驴1 筇，a 对任意的口s 。，6 s 卢，我们能够证明( s ，+ ，) 是个半环，用s = ( b ；s 。，卢) 表示，称s = 。u 印s 。是半环s 。的坚固构架b 口 引理2 5 若be g ，在曰上定义一个下半格序“”： ( v a ，b e b ) asb 营a b = a ，则b 是构架 证明：对任意的a , b e b ， ( 口6 ) ( 口 6 ) = a ( b ( aa6 ) ) = a ( aa6 ) = a b ， ( 口+ 6 ) ( 口 6 ) = a ( aa6 ) + b ( aa6 ) = a b + a ab = a b 所以a b 苫aab ，a + b a b 则b 是一个构架， 并且a b = aab = g 1 b a ，6 】 口 定理2 6 设s 揪g 。j ，那么s 是m r g 中半环s 。的坚固构架b 当且仅 当5 的乘法半群 ，) 是矩形群的坚固半格 证明：设半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的孥固半格，根据文献【6 】中定理 1 3 和定理i v1 6 ，我们有对任意的a 芑b 和任意的a s 。，存在唯一的 e 卢u _ e 卢) ，使得p 卢口= a e 卢，na 苫a e 卢，由文献【6 】中定理1 3 ，定理1 6 和定 理i v l 7 可知，( s ，。) = 【( b ，) ；( s a ，) ；九口】，其q h ( b ，) 和( 咒，) 分别表示引理2 5 中 5 的半环b 和m r g 中半环s 。的乘法半群，i t q ：础定义为： ( v a e s ) a c p 。口= e # a = a e # 由于半环s 的乘法半群是矩形群的孥固半格，对任意的a , b e s 。，存在 ，f e ，g 卢e e ( s 卢) ，使得： a c p 。，卢；e 户口= a e 芦，b o p 。芦= 厶6 = b f 芦，( 口+ b ) c p 。，芦2g 芦( 口+ 6 ) = ( 口+ b ) g a 。 根据文献【6 】中引理1 3 ，我们有 ( a + 6 ) 妒。，口= a g a + 冶卢 = e p a g 七 囊g5 =ae b g5 b lb gb = ( a c p 。，卢+ 6 ，卢) g ， 类似地，我们可得( a + 6 ) 钆，卢= g e ( a c p 郇+ b r p 郇) ， 所以( 口+ 6 ) ，卢= a c p 。，卢+ 6 ，卢- 这就证明了，口是一个半环同态 最后，对任意的口，6 s 。，存在p 叩，岛，g 印e ( 5 筇) ，使得 口，叩= e 叩口= 口e 口声 b 邙2f n 8 b 2 m q b ， ( 口帕) + ，甜= g a a ( a + 6 ) ；0 柏) g 。卢 类似地，我们可得 + b ) c p 。+ 卢，郇= g 印( a p a ，印+ b t p a ，筇) = ( 口驴。，筇+ 6 驴卢，筇) g a 卢 这就得到了a + b ) q o 。+ 卢，叩= 口，卵+ 6 卿，筇，所以有 口+ 6 = a + 6 ) 妒。+ ，叩妒- 1 a + 卢，印= ( 口驴。，印+ b p a ，叩) 驴- l a + 卢，筇 由定义2 4 知，半环s 是m r g 中半环s 。的坚固构架b ，其中 = b ，s 。是半环的面一类 反之，如果s ：是m r g 中半环的峰固构架b ，显然半环s 的乘法半群是矩形 群的孥固半格 口 定理2 7 设半环s 懈g 。s ，那么s m r g 巾成员和引理2 5 中的s f 中 成员的次直积，当且仅当s 的乘法半群( s ，) 是矩形群和半格的次直积 口 6 两北人学专业学位颂l j 论文 第三章乘法c l i f f o r d 半环 本章研究了乘法c 1 i f f o r d 半环的结构和特征，证明了力是半坏上的最小分 配格同余，给出了乘法c l i f f o r d 半坏成员的次直积分解举例说明乘法c l i f f o r d 半环未必是除半环与分配格的次直积 乘法c l i f f o r d 半坏的特征结构及次直积分解 定义3 1 半环5 叫做除半环，是指s 的乘法半群( s ，) 是群用e 表示所 有的除半环类 口 引理3 2 在除半环s 中，下列命题等价： ( 1 ) ( 3 a s ) a + a = 口， ( 2 ) 1 5 + 1 s = 1 s ， ( 3 ) ( v a s ) a + 口= 口 证明：由( 1 ) j ( 2 ) ：假设存在以e s ，使得a + 口= a ，我们有a = ( 1 s + 1 5 弘， 因( s ，) 是群，故i s + 1 5 = 1 s 由( 2 ) j ( 3 ) 和由( 3 ) 号( 1 ) 是显然的 从以上引理知道，如果除半环s 的加法半群( s ，+ ) 中至少包含一个幂等元， 那么( s ，+ ) 是带 口 定义3 3 半环s 叫做乘法c l i f f o r d 半环，是指s 是除半环的分配格我们 用0 。d 表示所有乘法c l i f f o r d 半环类 口 定理3 4s 0 。d 当且仅当力是半环上的最小分配格同余，且每一个力 类是除半环 证明：i 发se d 。d ，则在s 上总存在一个同余p ，商半环形d ，每一个 p 一类是除半环因为( s ，) 是c l i f f o r d 半群，根据文献【6 】中定理i v 2 4 知力= 西， 所以力是( s ，) 上的最小半格同余，故力p ，又每一个p 类是除半环，力是 除半环上的泛关系，我们有p 力，也就是说p = 力，所以力是半环上的最小 7 两北人学专业学位顾i j 论义 分配格同余，且每一个力类是除半环 反之，若力是半环上的最小分配格同余，且每一个力类是除半坏，则5 是 除半环的分配格，即s go d 口 定理3 5 若5 6 od ，则s 满足：对任意的a , b s ， ( a b ) o = ( b a ) o ， ( 口+ 6 ) o = p + 口) o ， ( a + a b ) o = a o 证明：设se c , 。d ，则力是半环上的最小分配格同余，即a b f t b a ， a + 6 了易+ a ，a + a b f f a 从而可得， ( a b ) o = p n ) o ，( a + 6 ) o = p + 口) o ，( a + a b ) o = a o 口 定理3 6 若半环s 0 。d ，则s 是除半环的峰固分配格，当且仅当s 的乘 法半群( s ，) 是群的坚固半格 证明：显然分配格d 是构架，由于d s ，g m r g ， 所以0 o d m r g 。s ，根据定理2 6 和定理3 4 ，结论是显然的 口 定理3 7 设s eo d ，那么s 是除半环和分配格的次直积，当且仅当s 的 乘法半群( s ，) 是群和半格的次直积 口 定理3 8 设s eo d ，那么s 是除半环的孥固分配格当且仅当s 的乘法半 群( s ，) 是e 酉的 证明：设s 0 。d ，则s 的乘法半群( s ，) 是c l i f f o r d 半群，若 ，) 是e 酉的，根据文献 6 l q b 推论i v 3 7 可知， ，) 是群的坚固半格，由定理3 6 ，我们 知道，s 是除半环的坚固分配格 反之，若s 是除半环的峰固分配格，则s 0 。d ，且s 的乘法半群岱，) 是 群的坚固半格，根据文献【6 】中推论i v 3 7 可知， ，) 是e 一酉的 口 由定理3 6 ，定理3 7 和定理3 8 ，我们很容易得到如下定理： 定理3 9半环s 是除半环和分配格的次直积当且仅当s 0od ，并且s 的 乘法半群岱，) 是e 酉的 口 若s 足除半环的坚固分配格，则s 一定是除半环的分配格，即乘法c l i f f o r d 半坏，反之，除半环的分配格未必是除半环的峰固分配格 例如：s 是任意一个乘法c l i f f o r d 半坏，且s 中的元素不全是乘法幂等元， 在s 中并入一个零元素： 8 两北人学专业学位坝i j 论义 s 。= gu 0 ) 如果s 罢磊零元素 对任意的se s ，：f i - s o = o s = o ，s + 0 = 0 + s = s , o + 0 = 0 0 = 0 ，则s o 仍是一个 乘法c l i f f o r d 半环，由于对任意的s s ，s o = o s = o e ( s ) ，而s 不一定是乘法 幂等元，所以( so ，) 不是e 一酉的，根据定理3 8 ，我们知道s o 不是除半环的举固 分配格 9 两北人学专业学位坝i j 论义 第四章矩形除半环的分配格 本章研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格，讨论了这些半环与它们的乘 法半群之间的关系，进一步分析了它们的次直积分解，讨论了纯整的矩形除半环 的分配格 一、矩形除半坏 定义4 1 1 半环s 叫做乘法矩形带半环，是指它的乘法半群( s ，) 是矩形 带我们用r e 表示所有的乘法矩形带半环类 口 命题4 1 2 若5 l j l e ，则se 1 证明：设s r e ，贝j j ( s ，) 是矩形带，对v a ，be s ，s 满足a b a = a ，所以， a + a = a 3 + a 3 = a ( a + a ) a = a ，所以s j r 口 定义4 1 3 半环s 叫做矩形除半环，是指5 同构于乘法矩形带半环和除半 环的直积 口 我们用r e 0 表示所有的矩形除半环类 引理4 1 4设5 是矩形除半环，假设s 毫s ，xs ：，其中s 。er e ，s 2 o ， 那么对任意的e ，口) ，( 厂，b ) e s 。x s ：， ，口) 玎( 厂，b ) 营e 置厂 证明：设s 是矩形除半坏，假设s 皇s 。xs 2 ，其中s 。er e ，s 2 0 ，那么对 任意的e ，口) ，( 厂，b ) e s 。xs ：，用口一* nb 一表示除半环s ：的乘法群中口和6 的逆元 素 如果e = 厂，那么( p ，口) ( 厂，a 1 b ) = ( 厂，6 ) 和( 厂，6 ) ( p ，b a ) = ，a ) 这就推出了 ( e ，口) 受( 厂，b ) 类似的( e ，口) ( 厂，b ) ，所以我们有( p ，口) 力( 厂，b ) 反之，设( p ，口) 力( 厂，b ) ，那么 ，口) 茈( 厂，b ) ，则存在( g ，c ) ，( j l l ，d ) e s 。x s ：， 使得( 昭，a c ) = ( p ，口) ( g ，c ) ；( f , b ) 和( 加，b d ) = ( 厂，6 ) ( ，d ) = ( e ，a ) ，这就推出e g = 厂 和加= e ，这就是说，在半环s 。的乘法矩形带中e r r ，类似的，从( e ，a ) l ( f ，b ) ， 我们可以证明，在半环s 的乘法矩形带中，e l ，所以e = 厂 口 l o 两北人学专业学位硕i ：论文 推论4 1 5 对一个矩形除半环s ，我们有 ( 1 ) ( s ，) 是矩形群； ( 2 ) 力是s 上的半环同余： ( 3 ) s 的每一个力类是s 的一个子除半环 证明：设s 是一个矩形除半环，假设s = s 。xs ：，其中s ，食e ，s ：0 ， 显然( s ，) 同构于( s ，) 和( s ：，) 的直积，这就证明了( 1 ) 成立，从上述引理， 我们可以得到( 2 ) 成立，从( 2 ) 我们也可以推出( 3 ) 成立 口 引理4 1 6 设半环5 是矩形除半环，在5 上定义一个二元关系如下： ( v a ，b s )a yb 营v o ) = y p ) 那么y 是半环s 上的除半环同余 i i f _ n ：从文献【6 】中引理l l5 5 和命题i i5 6 ，我们知道，了是半环s 的乘法矩 形群上的最小群同余，在剩余的部分，我们仅需要证明y 也是半环s 的加法半群 上的同余设a ，b e sj | a yb ，根据文献【6 】中引理i i5 5 和推论1 1 1 5 3 ，我们有 口= a o b a o b = b o a b o ，并且e ( s ) = 忙o i 口e s 是半环s 的乘法矩形群的一个子带， 那么，对任意的c s ，我们有： a + c = ( a + c ) o ( 口+ c ) ( 口+ c ) o = ( a + c ) o a ( a + c ) o + ( 口+ c ) o c ( a + c ) o 昌( a + c ) o 口。蚰0 0 + c ) o + ( a + c ) o c ( a + 0 0 = + c ) o a o b o b b o a o ( 口+ c ) o + ( 口+ c ) o c ( a + c ) o = ( a + c ) o b ( a + c ) o + ( a + c ) o c ( a + c ) o = ( a + c ) o ( 6 + c ) ( 口+ c ) o 通过交换af f l b 的角色，我们类似地可以证明b + c = p + c ) o ( 口+ c ) ( 6 + c ) o ， 根据文献【6 】中引理i i 5 5 有( a + c ) y ( b + c ) 对偶地，有( c + 口) 了( c + 6 ) ，故) r 是 半环5 的加法半群上的同余 口 定理4 1 7 半环s 是矩形除半环当且仅当s 满足下述条件： ( 1 ) s 的乘法半群( s ，) 是矩形群； ( 2 ) 力是s 上的半环同余 两北人学专业学位坝i j 论文 证明：根据推论4 1 5 ，必要性是显然的 充分性：设半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群且亓是半环同余，根据引理 4 1 6 我们知道y 是半环5 的最小除半环同余，根据文献【6 】中命题i i5 6 ，我们 有西= 力。y 是s 上的泛关系，力ny 是5 上的恒等关系，我们定义映射 驴：s 一络形，( v 口e s ) , a 驴2 ( 疗。，y 。) 很容易验证伊是一个同构，即 q o s 皇形，其中er e ，形o ，这就表明了s 是矩形除半环 口 二、矩形除半环的分配格 我们用农e 0 。d 表示所有的矩形除半环的分配格类 定理4 2 1半环5 是矩形除半环的分配格，即s l l e g 。d ，当且仅当西是 s 上的最小分配格同余，且每一个西类是矩形除半环 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格，则存在半环同余p ，使得：是分 配格，每一个p 类是矩形除半环因为s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的半格， 是完全正则半群，那么西是( s ，) 上的最小半格同余，我们有西p 另一方 面，对任意的“e s ，由于p 。是矩形除半环，它的乘法半群是半环s 的完全单子 半群，所以p 西这就证明了p = 西也就是说西是s 上的最小分配格同余， 且每一个西类是矩形除半环 反之，若西是s 上的最小分配格同余，并且每一个西一类是矩形除半环，由 定义可知，s 显然是矩形除半坏的分配格 口 定理4 2 2 若半坏s 是矩形除半坏的分配格，则s 满足：对v a ，b s ， 0 6 ) o = ( a b ) o ( 施) o0 6 ) o ， ( 口+ 6 ) o = ( 口+ 6 ) o ( 6 + 口) o ( 口+ 6 ) o ， 口o = ( 口+ a b ) o 口o = 口o + 施) o = ( a b + 口) o a o = 口o + 口) o 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格，则西是s 上的最小分配格同余，所 以对v a ，be s ， a b 西b a ，a + b 西b + a ，口西a + n 6 由于每一个西类是矩形除半环，它的乘法半群是矩形群，所以 ( a b ) o = ( a b ) o ( 6 口) o ( 口6 ) o ， 1 2 西北人学号业学位顺l ：论文 ( a + 6 ) o = ( a + 6 ) o ( 6 + 口) o ( 口+ 6 ) o ， a o = ( 口+ a b ) o a o = a 0 0 + b a ) o = ( a b + 口) o a o ；a o ( h a + 乜) o 口 定理4 2 3 若s 是矩形群的半格，则s 是纯整的 证明：设s 是矩形群的半格，对v p ，厂e e ( s ) ，根据定理4 2 2 和文献【6 】 中引理1 1 4 4 ，我们有 e l = ( e 1 ) ( 盯) o = ( e f ) 2 ( 可) = ( e f ) 2 ( e 厂) o ( 归) o ( e 厂) o = ( 盯) 2 ( e 厂) o = ( e f ) 2 ， 所以s 是纯整的口 定理4 2 4 设半环s 是矩形除半环的分配格，那么s 是矩形除半环的坚固 分配格当且仅当s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的略固半格 证明：显然分配格d 是构架，由于d s ，r e 0 m r g ，故 食e 0 。d m r g 。s ，根据定理2 6 和定理4 2 1 ，结论是显然的 口 定理4 2 5 设半环s 是矩形除半环的分配格，那么5 是矩形除半环与分配 格的次直积，当且仅当它的乘法半群( 5 ，) 是矩形群和半格的次直积 口 引理4 2 6 半群s 是矩形群的强半格，当且仅当5 是矩形群的半格，且 e ( s 1 是正规带 证明：设半群s 是矩形群的半格，且e ( s ) 是正规带，根据定理4 2 3 可知半 群s 是纯整的，则对v e ，厂，ge e ( s ) ，e f e e g e = e f g e = e g f e = e g e e f e 所以e se 中的 幂等元是可换的，即e se 是一个逆半群，根据文献 6 1 q 引理2 - 3 ，我们知道e se 是c l i f f o r d 半群，那么s 是局部c l i f f o r d 半群，根据文献1 6 q 定理1 6 知，s 是 完全单半群的强半格，又由文献【6 】中推论i i l 5 3 知，纯整的完全单半群是矩形群， 这就证明了半环s 是矩形群的强半格 反之，若半g s 是矩形群的强半格，显然它是矩形群的半格，根据文献【6 】 定理i v l 6 和定理4 2 3 ，我们得到e ( s1 是正规带 口 引理4 2 7 若半环s 是矩形除半环，则下列命题等价：( v a ，b e s ) ( 1 ) a 。b e 。( s ) ； ( 2 ) b a 。1e e 。 ) ； ( 3 ) a b 。1 e ( s ) ； 两北人学专业学位倾i ：论文 ( 4 ) b - l a e ) 证明：( 1 ) 号( 2 ) ：设a - l b e e ( s ) ，由书1 6 】引理i l2 2 ，我们直接可得 b a 。1 e ) ( 2 ) 辛( 3 ) ：设b a - 1e e p ) ，根据文献【6 】中引理i l2 2 和引理l l2 3 ， 并且半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群，我们有 a b 一= 【( a b 。) 1 】一= 【( a b - 1 ) o p - 1 ) - 1 p _ 1 口) o a _ 1 ( a b - 1 ) o 】- 1 = 【口o ( a b _ 1 ) o b o b b o p - 1 口) o a o a 1 a o ( a b _ 1 ) o b o 】1 = 【a o b o b b o a o a 一1 a o b o 】一1 = 【a o b o 】- 1 = a o b oe e 。p ) ( 3 ) 辛( 4 ) ：设a b 。e e ( s ) ，根据文献【6 】中引理i i2 2 ，我们直接可得 b - l a e e 。p ) ( 4 ) 号( 1 ) ：设b q ae e 。( s ) ，类似( 2 ) 与( 3 ) ，我们可以推出a - l b e 。( s ) 成 立 口 引理4 2 8 设半环5 是矩形除半环，对任意的口，6 s ， a y b 营a - l b e e ( s ) i i f _ n ：设半环s 是矩形除半环，对任意的a , b s ，若a y b ，由文献【6 】中引 理i i5 5 ，我们有a = a o b a o ，b = 6 0 a b o ，根据文献【6 】中引理i i1 6 和定理4 2 3 ， 我们有a b = a - 1 p o a b o ) = a - i ( 口ba o ) a b o = a - i a b o = a o b oe e ( s ) 反之，如果口一b e e p ) ，那么根据引理4 2 7 和文献【6 】中引理i i1 6 ， a = a o a o a a o = 口o ( 口一1 b ) a o a a o = a o a 一1 b a a o = a o a 一1 b ( b b 一1a a o = 乜o ( 口一1 b ) b o b b o b 一1 a a o = 口o b a o ，类似地，我们可以证明b ；6 0 a b o ，也就是说a y b 口 引理4 2 9 若半环s 是矩形除半环，则对任意的a , be s ，a 力a b a 证明：设半环s 是矩形除半环，则s 的乘法半群( s ，) 是矩形群，根据文献 【6 】中命题1 1 1 1 ，我们有对任意的口，be s ，a o = ( a b a ) o ，所以口力a b a 口 定理4 2 1 0 半环s 是矩形除半环的峰固分配格当且仅当5 是矩形除半环 的分配格并目满足： 1 4 两北人学专业学位硕i ：论文 ( 1 ) e ( s ) 是j 下规带； ( 2 ) ( s ，) 是e - 酉的： ( 3 ) 对任意的e ，厂，g e 。( s ) ，e + 居力0 + 厂) + g ) ，e f + g 亓( e + g ) ( 厂+ g ) 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格并且满足e 。( s ) 是正规带， ( s ，) 是e 一酉的，同时，对任意的p ，f ，g e ( s ) e + 唐力( p + 厂) ( p + g ) e f + g 力( e + g ) ( 厂+ g ) l h 于半环s 是矩形除半坏的分配格，e 。( s ) 是正规带根据引理4 2 6 ， e ( s ) 是矩形群的强半格，根据文献【6 】中定理1 3 和定理1 6 ，我们有： 对任意的a 乏f le d 和任思- e , , - 的口e s 。，存在唯一的e 卢e e ( s 卢) ，使得p 卢口= a e 卢， n a 之a e 矗，由文献1 6 1 定理1 3 ，定理1 6 和定理1 7 可知， ( s ，) = 【( d ，) ；( s 。，) ；眈，】；，其中( d ，) 和( s 。，) 分别表示分配格d = 吵西 和矩形除半环s 。的乘法半群，其中，s 。是半环的西- 类，且，口定义为： ( c ae s ) a c p 。，卢；e # a = a e 卢 下面我们证明，口是单射： 对v 口，b e s 。存在e 卢，厶e e 。( s ，) ，使得： a c p 。b = eb a = a eb ，a - l q ) 4 。b = n 1 eb|eb n 。1 ，b 甲。b = fb b = b fb 如果口，卢= 6 ，贝1 ja e ，= ，p 卢口= 厶6 若a e 卢= 坼，则 a e 卢口。1 = 口。1 e 卢， ( 两边右乘口e 卢) a a 。1 e 声e 声= b a 。1 厶e 卢， ( 根据文献【6 】中定理2 7 ) a o e 卢= b a 。1 口。f i e 卢= b a e ，( e 。 卢) 是矩形带，e ( s ) 是正规带) 由于( s ，) 是e - 酉的，所b a 1 e 。) ，根据引理4 2 7 和引理4 2 8 ， 我们得到印口 又因为e ( s 。) 是矩形带，所以妇= 6 0 ( b a 。) 口o = b o a o ，则， e 卢= 口o e 卢= b a 一1 e 卢= 易。口o e 卢= 6 。口。b 。e 卢= 6 。p ， ( e 岱) 是正规带) 类似地，可得p 卢= e , b o ，所以6 0 苫p 卢，根据文献【6 】中引理i v l 3 知，厶一e 卢 由a o e 卢= 6 0 e 卢，可得： 两北人学专业学化颂l j 论义 口。e 卢+ 口。= 6 0 e 卢+ 口。， ( 两边右加口o ) 口o ( p 卢+ 口o ) 口o = 口o p 卢口o + 口o = 口o e 卢+ 口o = 6 0 p 卢+ 乜o = 6 0 p 卢b o + 口o ， ( 根据文献【6 】中引理1 3 ) 口。力口。( + 口。) 口o = 口0 e 卢口o + 口。力( 6 0 + 口o ) ( e 卢+ 口o ) p o + 口。) ， ( 根据引理4 2 9 和已知条件) a o = 【( 6 0 + 口o ) ( 已口+ 口o ) ( 6 0 + 口o ) 】o = p o + 口o ) 0 0 占+ 口o ) o p o + 口o ) o ( 根据文献【6 】中定理i i8 5 ) = p o + 口o ) o 类似地可得b o = p o + 口o ) o ，所以a o = p o + 口o ) o = 6 0 ，即a 力b 因为a 力b a y b ，所以a = 6 ，这就证明了驴是单射，也就是说半环s 的乘 法半群是矩形群的坚固半格，根据定理4 2 4 ，我们得到半环s 是矩形除半环的 孥固分配格 反之，设半环s 是矩形除半环s 。的峰固分配格d ，显然s 是矩形除半环的 分配格，它的乘法半群是矩形群的峰固半格，根据引