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复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法 研究 摘要 带乘性噪声系统普遍存在于石油地震勘探、水下目标探测、通讯工程和语音 处理等诸多应用领域。关于这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计、信号 反褶积估计及参数辨识估计等问题是十分重要的。其中，反褶积估计理论在石油 地震勘探、信号处理等领域有着重大意义，基于逆向滤波的反褶积估计具有离线 处理和存储量小等优点从而更加实用。本文主要针对复杂多通道带乘性噪声系统 的逆向滤波及单向反褶积算法做进一步研究。 多通道带乘性噪声系统的研究目前还不够完善，在观测模型中，多是假定乘 性噪声为一维随机序列，即当观测为多维( 多通道) 时，各通道的乘性噪声是完 全相同的，这种假设往往不符合实际情况。本文所讨论的复杂多通道带乘性噪声 系统的逆向滤波及单向反褶积算法，将乘性噪声推广到了一般随机矩阵的情形， 刻画了一种更复杂的通道特性，从而更加符合实际情形。另外随着计算机技术的 飞速发展，高度复杂的数据处理已成为可能，带乘性噪声系统的最优估计算法的 稳定性问题及多传感器信息融合问题在众多领域受到了人们的广泛关注。因此， 本文还分别针对基于奇异值分解的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单 向反褶积算法和多传感器观测下的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单 向反褶积融合算法做了进一步的研究探讨。 本文的主要研究工作如下： 第一，考虑到复杂多通道乘性噪声系统问题的真实情况，假定在各个通道的 乘性噪声同时刻相关，且加性噪声同时刻相关的情况下，推导出了逆向滤波及单 向反褶积算法。该算法在线性最小方差意义下是最优的。 第二，为了保证数值计算的稳定性，进一步建立了一套基于奇异值分解的逆 向滤波及单向反褶积算法。该算法保持了线性最小方差意义下是最优的特点，同 时提高了数值鲁棒性。 第三，针对多传感器观测下的复杂多通道带乘性噪声系统，给出了逆向滤波 及单向反褶积融合算法，其中，根据融合策略的不同，分别提出了集中式和分布 式两种融合算法，而针对分布式融合算法又分别给出带反馈和不带反馈两种实现 形式。 第四，本文通过大量的仿真实例，表明了上述各算法的有效性。 关键词：乘。性噪声，逆向滤波，单向反褶积，奇异值分解，多传感器数据融合 s t u d i e so fr e v e r s e d - t i m e f i l t e r i n ga n do n e - p a s s d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sf o rc o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e l s y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e s a b s t r a c t s y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e s ( s m n ) u n i v e r s a l l ye x i s ti nm a n ya p p l i c a t i o n f i e l d s ，s u c h a so i ls e i s m i c e x p l o r a t i o n ，u n d e r w a t e rr e m o t et a r g e t sd e t e c t i o n ， e n g i n e e r i n go ft e l e c o m m u n i c a t i o na n ds p e e c hs i g n a lp r o c e s s i n g ，e t c c o n c e r n i n gt h e o p t i m a le s t i m a t i o no ft h i ss y s t e m ，i ti sv e r yi m p o r t a n tf o rt h ep r o b l e m so fs t a t e e s t i m a t i o no ft h ed y n a m i cs y s t e m ，t h es i g n a ld e c o n v o l u t i o ne s r i m a r i o na n dt h e p a r a m e t e rr e c o g n i t i o ne s t i m a t i o n ，e t c a m o n gt h e m ，t h ed e c o n v o l u t i o ne s t i m a t i o n t h e o r yh a st h ei m p o n a n ts i g n i f i c a n c ei nt h er e a l m s ，s u c ha so i ls d s m i ce x p l o r a t i o n a n ds i g n a lp r o c e s s i n g e t c t h ed e c o n v o l u t i o ne s t i m a t i o nb a s e do nt h er e v e r s e dt i m e f i l t e r i n gh a st h ea d v a n t a g eo fo f f l i n ep r o c e s s i n ga n dt h es m a l ls t o r a g eq u a n t i t y a d v a n t a g ea n di sm o r ep r a c t i c a l t l l i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ym a k e st h ef u r t h e rs t u d i e s a b o u tr e v e r s e d t i m ef i l t e r i n ga n do n e - p a s sd e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sf o rc o m p l i c a t e d m u l t i c h a n n e ls m n n er e s e a r c h e si nc o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e ls m nc u r r e n t l ya r en o te n o u g h p e r l e c t i no b s e r v a t i o nm o d e l ，w eo f t e ns u p p o s et h em u l t i p l i c a f i v en o i s ea so n e d i m e n s i o ns t o c h a s t i cs e r i a l ，o rt h eo b s e r v a f i o ni sm u l t id i m e n s i o n i ( m u l r i c h a n n e l ) t h e m u l t i p l i c a t i v en o i s eo fe a c hc h a n n e li sc o m p l e t e l ys a m e t 托sk i n do fa s s a m p t i o n u s u a l l yi sn o ti na c c o r d a n t ew i t ht h ea c t u a lc i r c u m s t a n c e r e v e r s e d t i m ef i l t e r i n ga n d o n e - p a s sd e e o n v o l u f i o na l g o f i t h m sf o rc o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e ls m nt h a t t h i s d i s s e r t a t i o nd i s c u s s e dd e s c f i b e st h es i t u a t i o nt h a tt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ei se x p a n d e d t oag e n e r a ls t o c h a s t i cm a t r i x i th a sak i n do f m o r ec o m p l i c a t e dc h a n n e lc h a r a c t e r i s t i c a n dm a t c h st h ea c t u a lc i r c u m s t a n c em o r e i na d d i t i o n ，m o n gw i t ht h er a p i d d e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rt e c h n o l o g y ，t h eh i g h l yc o m p l i c a t e dd a t ap r o c e s s i n gh a s b e c o m ep o s s i b l e s t a b i l i t yp r o b l e ma n dm u l t i - s e n s o ri n f o r m a t i o nf u s i o nf o rt h e o p t i m a le s t i m a t i o na l g o r i t h mo ft h es y s t e m sw i t l lm u l t i p l i c a t i v en o i s e sb e c o m et h e p e o p l e se x t e n s i v ec o n c e mi n n u m e r o u sr e a l m s t h e r e f o r e ，t h i sd i s s e r t a t i o ns t i l l s t u d i e sr e v e r s e d - t i m ef i l t e r i n ga n do n e - p a s sd c c o n v o l u f i o na l g o r i t h m sr e s p e c t i v e l y b a s e do ns i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i r i o n ( s v d ) f o rc o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e ls m n a n dr e v e r s e d t i m ef i l t e r i n ga n do n e - p a s sd e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sf o rm u l t i s e n s o r c o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e ls m n t h em a i n l yr e s e a r c hw o r k so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 a c c o r d i n gt ot h ep r a c t i c a lr e q u i r e m e n to fc o m p l i c a t e dm u l t i c h a n n e ls m n ， t h i sp a p e re x p a n d e dt h ef i l t e ra l g o r i t h m so fr a j a s e k a r a n af i l t e r i n ga l g o r i t h mf o r s m ni sd e v e l o p e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ej si nt h ef o r l t lo f a g e n e r a ls t o c h a s t i cm a t r i xa n de a c hc o m p o n e n to ft h em u l t i p l i c a t i v en o i s em a t r i xi s c o r r e l a t e da tt h es a m et i m e t h i sa l g o r i t h mi so p t i m a li nt h es e n s eo fl i n e a r m i n i m l n i l - v a r i i k l 3 c ；e 2 t h i sd i s s e r t a t i o nu s e dt h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nt h e o r yt ot h e c o v a r i a n c em a t r i x ，f o r m i n gak i n do fr o e v e r s e dt i m ef i l t e r i n ga n do n ep a s s d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h mb a s e do ns v d ，w h i c hk e p to p t i m a li nt h es e n s eo fl i n e a r m i n i m u m - v a r i a n c ea n dr a i s e dt h en u m e r i c a lr o b u s t n e s sa tt h es 舡 l l et i m e 3 t h i sd i s s e r t a t i o n a i m i n g a t c o m p l i c a t e d m u l t i - c h a n n e ls m nu n d e r m u l t i s e n s o ro b s e r v a t i o ng a v er e v e r s e dt i m ef i l t e r i n ga n do n ep a s sd e c o n v o l u f i o n f u s i o na l g o r i t h m 4 t k i sp a p e r sp r o v e dt h ev a l i d i t yo fa b o v e - m e n t i o n e da l g o r i t h m su s i n gag r e a t d e a lo fs i m u l a t e de x a m p l e k e yw o r d s ：m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，r e v e r s e d t i m ef i l t e r i n g , o n e - p a s sd e c o n v o l u t i o n ， s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，m u l t i - s e n s o r 复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法研究 第一章绪论 1 1 选题的意义 最优估计理论是现代控制理论的一个重要分支，也是随机信号处理的一个重 要课题，即按照某种最优准则把有用的信号从受到干扰和噪声污染的信号中提取 出来。要想解决动态系统的信息最优提取问题，即所谓的最优估计问题，首先需要 建立含有随机干扰的实际系统数学模型，并根据模型进行信号的最优估计。其中 经典线性随机系统的最优估计理论是目前发展最为完善成熟的。这类系统由于其 处理简单而得以在控制、通信、空间目标跟踪、水下目标探测、地震信号处理、 模式识别、语音处理等诸多领域广泛应用。 传统上在建立实际系统的数学模型时，对随机干扰的处理通常是把它作为一 项加性噪声。因此，许多最优估计理论，如k a l m a n 滤波理论【i 刮都是基于这一经 典模型： x ( k + 1 ) = a ( k + 1 ，_ j ) “七) + 嚣( 后) w ( 奄) ( 1 1 1 ) z ( 女) = c ) x ( 的+ v ( 功 ( 1 1 2 ) 其中：x ( 七) 为栉维状态向量，z ( 七) 为r 维观测向量，“d 和“分别为j 维动态 噪声和r 维观测噪声，a 让+ 1 ， ) 、丑( ) 和c ( 豇) 均为具有适当维数的确定性系数 矩阵。在该模型中，随机干扰的影响被视为加性噪声，即系统的动态噪声“) 和 系统的观测噪声v ( ) 。 然而在许多应用领域中，纯粹的线性模型并不日酎艮好的描述实际系统，例如， 在石油地震勘探14 1 、水下目标探测【1 8 】、通讯工程【1 5 】、语音处理i 垌等应用领域中， 由褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪声的干扰，而且当进一步考虑系 统的时变性、非线性时，还应该加上各种线性与非线性畸变、能量衰减等复杂的 甚至是不确定的因素，这在数学上可近似地归结为一个乘性随机因子，即乘性噪 声【3 】o 另外，在空间、水下目标跟踪等问题中，被估计的信号并非总是出现在观 测之中，而是具有随机消失的可能性，即其模型中含有一个取值为0 ，1 的两值 随机乘性噪声。这类观测模型中含有乘性噪声的随机系统称作带乘性噪声的随机 系统，简称带乘性噪声系统( s y s t e mw i t l l m u l t i p l i e a t i v e n o i s e ，简记为s m n ) 。带 乘性噪声随机系统的观测模型中同时含有加性噪声和乘性噪声。以离散系统为讨 论对象，用状态变量法描述，带乘性噪声系统可表达为： x ( k + 1 ) = a ( k + 1 ，) x ( 七) + 丑( 七) w ( )( 1 1 3 ) ( 七) = u ( 七) c ( 七) x ( 七) + v ( i )( 1 1 4 ) 其中：u ( 女1 为观测模型中乘性噪声。 复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法研究 显然，乘性因子的引入，使得对这类系统的研究更为复杂。在实际中，关于 这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计、信号反褶积估计及其参数辨识估 计问题又是十分重要的，特别是反褶积估计理论在石油地震勘探、信号处理等应 用领域有着十分重要的意义。但是现有的各种带乘性噪声系统算法的约束条件， 使一些算法的实际运用受到限制，是需要进一步探讨和改进的方面。同时随着计 算机技术的飞速发展，高度复杂的数据处理已成为可能，带乘性噪声系统的最优 估计算法的稳定性问题及多传感器系统还需要进一步的完善和发展。 总之，无论从理论研究的角度还是从工程实际需要出发，研究带乘性噪声系 统的最优估计理论都有着十分重要的意义。作者希望通过深入的研究，解决这类 系统在理论和应用上都有重要意义的些问题，从而使这一理论得到进一步丰富 和完善。 1 2 带秉性噪声系统的特点及应用背景 1 2 1 带秉性噪声系统的特点 在随机信号处理中，噪声按其与信号的关系可分为加性噪声和乘性噪声。带 乘性噪声系统是指系统中同时含有加性噪声和乘性噪声。下面将带乘性噪声系统 的数学模型重写如下： x ( k + 1 ) = a ( k + l ，七) x ( _ j ) + 曰( 女) 坝e )( 1 2 1 ) z ( t ) = u ( ) c ( 七) 七) + v ( k )( 1 2 2 ) 其中( 1 2 1 ) 是系统的状态方程，( 1 2 2 ) 是系统的观测方程，x ( k ) 是系统的”维 状态变量，z ( k ) 是系统的r 维观测，v ( k ) 观测模型中的乘性噪声，“七) 和v ( k ) 分 别是j 维动态噪声与，维观测噪声，他们都是加性噪声，a ( k + 1 ，k ) 、五( 七) 和c ( 七) 分别为具有n x ”、聆s 、，以维数的确定性系数矩阵。 带乘性噪声系统的特点如下： 1 由于乘性噪声u ( 七) 和系统状态z ( 七) 均为随机量，在观测方程中出现了两个随 机量的乘积，观测方程不再是线性的。 2 加性噪声和乘性噪声并存于观测方程中，而乘性噪声往往是由于信号传输特 性不理想而产生的干扰，所以它的影响随信号的消失而消失，而加性噪声却始终 存在，不论信号是否存在。 3 当乘性噪声为1 时，系统退化为经典的状态空间表达如( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，所以 乘性噪声为1 只是带乘性噪声系统的特例，由此可见，带乘性噪声系统模型描述 了更为广泛的一类实际过程。 复杂多通道带乘性噪声系统的遴向滤波及单向反褶积算法研究 1 ，2 2 带乘性噪声系统的应用背景 带乘性噪声系统的估计方法研究有着广泛的现实意义和深刻的应用背景，例 如在石油地震勘探【1 4 , 1 7 、水下目标探测【1 8 盈1 、空间目标跟踪【2 4 等应用领域中已得 到广泛的应用。以下以不同领域中乘性噪声系统的应用为例，简单介绍一下带乘 性噪声系统的应用意义。 例1 ：石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性、及传播时的扩展 损失与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性噪 声的褶积模型更能反映实际情况i l 7 1 z ( t ) = 聊( f ) ，( f ) + w ( t ) + ( f )( 1 2 3 ) 其中，m ( t ) 为乘性噪声， ( f ) 为加性观测噪声，f ( t ) + w ( t ) 为理想地震道，这里+ 为褶积运算符。 倒2 ：水下目标探测。海洋信道在本质上是随机时变和空变的非理想声信道， 这种随机性用乘性噪声来描述，海洋中还存在着多种加性噪声源，因此海洋信道 可看作为一个带乘性噪声系统。水下目标反向散射系数包含有目标本身的重要信 息，因此可以通过估计目标的反向散射系数来实现水下目标探测。而这一反向散 射系数在数学模型中可以归结为海洋信道这一带乘性噪声系统的动态噪声，因 此，可以通过对带乘性噪声系统的反褶积运算，即估计带乘性噪声系统的动态噪 声，来实现对目标反向散射系数的估计【”1 。 铆3 ：在语音信号处理中可用( 1 2 4 ) 式表示一个清音语音波形【2 4 】： = ( j i ) = 研( | ) y ( 七) + n ( 七) ( 1 2 4 ) 其中，y ( 七) 表示声道和辐射的组合效应，z ( 七) 是清音波形总输出，坍( 七) 表示声 道的随机激励。 1 3 带乘性噪声系统最优估计理论的发展及研究现状 关于经典的在观测模型中仅含有加性噪声的随机线性系统，其最优滤波、平 滑及反褶积问题都已经有了大量的研究和应用成果。自k a l m a n 9 、b u o y 如】等人 提出了在线性最小方差意义下为最优的状态滤波递推算法以来，在各种加性噪声 条件下的状态最优滤波算法、带有k a l m a n 滤波器的最优控铝4 算法、自适应滤波 算法【1 3 1 、滤波算法的稳定性研究f i - 2 】、数值稳定性问题的研究 6 , 1 1 l ，以及基于 k a l m m a 滤波的各种平滑算法和反褶积 4 - 5 1 的理论成果层出不穷，并在空间技术、 通讯、导航和石油地震勘探、承声信号处理等诸多领域得到广泛的应用。 与此相比，带乘性噪声系统的估计理论与应用研究成果还不够完善。由于石 油地震勘探、水下目标探测、空间目标跟踪等许多实际应用问题的需要，带乘性 复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法研究 噪声随机系统的信号估计问题日益受到研究者的重视。已有的研究成果主要集中 在两个方面，分别是针对离散型和连续型的乘性噪声而展开的。 一、 关于乘性噪声取值为离散值的随机系统的研究 1 9 6 9 年，n a h i 19 j 首先对离散型乘性噪声为0 ，1 两值序列的情形，在乘性噪声为 独立同分布的条件下，推导出了最小方差意义下的最优滤波递推算法，当乘性噪声 取0 的概率为零时，该滤波器退化为k a l m a n 滤波器。1 9 7 1 年，j a f f e r 等人i 】2 j 对乘性 噪声为两值m a r k o v 序列的情形给出了状态的b a y e s 估计算法，但由于存储量大， 该算法并不实用，后来的改进形式虽然降低了存储量，但当系统维数较大时仍不实 用。后来，n a h i 的工作被推广，m o n z i n g o 3 9 】进一步讨论了状态固定域平滑递推 算法，但算法中要求对矩阵求逆，使其应用受到了限制。1 9 7 9 年，h a d i d i b o j 等人 又将n a h i 的结果推广到乘性噪声为非独立同分布的情形，但在一般情况下，状态 最优滤波不能表达为递推形式，例如乘性噪声为m a r k o v 链时。1 9 9 4 年，c a r a z o 【2 1 1 等人又把n a h i 的工作推广到了动态噪声和观测噪声相关的情况，并推导出了预测 算法的一般表达式。此外，a k a s h i 等人田】还研究了观测噪声的均值和方差以 m a r k o v 转移概率变化时的状态滤波问题。 二、 关于乘性噪声取值为连续值的随机系统的研究 对于乘性噪声为连续型随机变量的情形，1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n 3 1 等人首先对 乘性噪声为独立非平稳白噪声的情况进行了研究探讨，推导出了在线性最小方差 意义下为最优的状态递推滤波算法和非递推的平滑估计算法，同时还给出了连续 系统的最优状态估计器。1 9 8 1 年，t u g n a i t i 2 4 定义了带乘性噪声离散随机系统的 能观性和能控性，还引入了在线性最小方差意义下与滤波等价的经典系统，讨论 了r a j a s e k a r a n 状态滤波算法的稳定性。1 9 8 9 年，c h o w 1 4 在乘性噪声为有色噪声 的情形下，将其滤波算法推广到了噪声均值为非零的情况。1 9 9 3 年，褚东升1 1 7 以 石油地震勘探为应用背景，针对离散系统，将r a j a s e k a r a n 的工作推广至动态噪声 与加性观测噪声同时刻相关时的线性最小方差递推滤波器，同时给出了自噪声情 形下固定域平滑估计的直接算法和间接算法。此外，在m e n d e l 【5 】所提出的针对一 般线性状态空间模型的反褶积理论的基础上，褚东升i l7 j 首先提出了带乘性噪声 系统的反褶积问题并进行了研究，给出了独立白噪声条件下的最优反褶积算法。 与此同时，并对定常系统给出了更简单实用的次优反褶积算法，还推导出有色噪 声时的反褶积算法，且把固定域、固定臂长的反褶积最优算法推广到动态噪声和 观测噪声同时刻相关的更一般的情形。1 9 9 9 年，文献 2 5 】针对带乘性噪声系统， 基于s v d 分解给出了具有数值稳定性的最优估计算法，并基于极大似然准则给 出了一种自适应滤波算法。2 0 0 0 年，文献 2 6 】给出了可用于并行处理的带乘性噪 声系统的分布式滤波及平滑算法，同时还给出了基于分布式平滑的反褶积算法。 2 0 0 1 年，文献【2 7 】建立了加性噪声在有限时间段上相关时的最优滤波、平滑及反 褶积算法。2 0 0 2 年，文献【1 8 】以水下远程目标探测为应用背景，将海洋信道看作 复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法研究 为一个带乘性噪声系统，针对加性色噪声及乘性色噪声的情形给出了最优状态滤 波器和最优状态平滑器，同时给出了多种情形下的噪声估计器，包括：动态噪声 估计器、观测噪声估计器及乘性噪声估计器。以上均是针对乘性噪声为一维随机 变量的情形做出的研究，这种假设意味着各观测通道的加性噪声虽然可以互不相 同，但乘性噪声却完全相同，因此，这种模型并不是真正意义下的多通道系统。 由此，2 0 0 1 年，文献【2 8 】在以往工作的基础上，将乘性噪声推广至对角矩阵的情 形，建立了真正意义下的多通道s m n 的晟优滤波、平滑及反褶积算法。2 0 0 2 年， 文献 2 9 3 又将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法推广至 多传感器观测下的情形，并基于极大似然准则提出了多传感器观测下的逆向滤波 融合算法及单向反褶积算法。进一步，2 0 0 3 年，文献 3 0 x 将乘性噪声推广到了 般随机矩阵的情形，刻画了一种更复杂的通道特性，使之更加符合实际情况。 同年，文献 3 1 3 针对多传感器观测下的带乘性噪声系统和二维带乘性噪声系统， 对其最优估计方法进行了进一步研究探讨。2 0 0 4 年，文献 3 2 1 在乘性噪声为一般 矩阵情形下，又深入研究了观测噪声最优估计算法和多传感器观测下的多通道带 乘性噪声系统的最优融合估计算法。同年，文献1 3 3 也在乘性噪声为一般矩阵的 情形下，基于s v d 分解给出了具有数值稳定性的最优估计算法。 1 4本文所做的主要工作 本文分别针对复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法和 多传感器观测下的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积融合算 法作了进一步的理论探讨，着重完成了以下三个方面的研究工作： 1 建立了复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法 n 基于投影定理，给出了乘性噪声为一般矩阵且加性噪声同时刻相关情形 下的逆向滤波算法。 2 ) 在逆向滤波算法的基础上，给出了乘性噪声为一般矩阵且加性噪声同时 刻相关情形下的单向反褶积算法。 这里关于多通道噪声的统计假设更符合实际情况。 2 建立了基于奇异值分解的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反 褶积算法 1 1 对上述算法中的误差协方差矩阵使用了奇异值分解，从而建立了套基 于奇异值分解的逆向滤波算法，该算法保持了线性最小方差意义下为最 优的特点，同时提高了数值鲁棒性。 2 1 在逆向滤波算法的基础上，给出了基于奇异值分解的单向反褶积算法。 复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤艘及单向反褶积算 去研究 为一个带乘性噪声系统，钭对加性色噪声及乘性色噪卢的情形给出了虽优状态滤 波器和最优状态平滑器，同时给m 了多种情形下的噪声估计器，包括：动态噪声 估计器、观测噪声估计器及乘性噪声估计器。以上均是针对乘性噪声为一维随机 变量的情形做出的研究，这种假设意味着各观测通道的加性噪声虽然可以互不相 同，但乘性噪卢却完全相同，因此，这种模型并不是真丁f 意义下的多通道系统。 由此，2 0 0 1 年，文献 2 8 】在以往工作的基础上，将乘性噪声推广至对角矩阵的情 形，建立了真正意义下的多通道s m n 的最优滤波、平滑及反褶积算法。2 0 0 2 年， 文献2 9 1 又将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法推广至 多传感器观测下的情形，并基于极大似然准则提出了多传感器观测下的逆向滤波 融合算法及单向反褶积算法。进一步，2 0 0 3 年，文献 3 0 y - 将乘性噪声推广到了 一般随机矩阵的情形，刻画了一种更复杂的通道特性，使之更加符合实际情况。 同年，文献【3 l 】针对多传感器观测下的带乘性噪声系统和二维带乘性噪声系统， 对其最优估计方法进行了进一步研究探讨。2 0 0 4 年，文献f 3 2 1 在乘性噪声为般 矩阵情形下，又深入研究了观测噪声最优估计算法和多传感器观测下的多通道带 乘性噪声系统的最优融合估计算法。同年，文献 3 3 也在乘性噪声为一般矩阵的 情形下，基于s v d 分解给出了具有数值稳定性的最优估计算法。 1 4 本文所做的主要工作 本文分别针对复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法和 多传感器观测f 的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积融合算 法作了进步的理论探讨，着重完成了以下三个方面的研究工作： 】建立了复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法 1 1 基于投影定理，给出了乘性噪声为一般矩阵且加性噪声同时刻相关情形 下的逆向滤波算法。 2 】存逆向滤波算法的基础上，给出了乘性噪声为一般矩阵且加性噪声同时 刻相关情形下的单向反褶积算法。 这里关于多通道噪声的统计假设更符合实际情况。 2 建立了基于奇异值分解的复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反 褶积算法 1 1 对上述算法中的误差协方差矩阵使用了奇异值分解，从而建立了套基 丁奇异值分解的逆向滤波算法，该算法保持了线性最小方差意义下为最 优的特点，i - j 时提高了数值鲁棒性。 2 1 在逆向滤波算法的基础上，给出了基于奇异值分解的单向反摺积算法。 2 1 枉逆向滤波算法的基础上，给出了基于奇异值分解的单向反褶积算法。 墨鲞兰望堂堂垂壁堡苎墨竺塑垄塑堡垫墨兰塑垦塑塑墨垄塑塞 3 建立了多传感器观测下复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶 积算法 1 ) 给出了乘性噪声为一般矩阵且各传感器的观测噪声分别与系统的动态噪 声同时刻相关的情况下的逆向滤波融合算法。根据融合策略的不同，本 文还提出了集中式和分布式两种逆向滤波融合算法，其中分布式融合算 法又分为带反馈与不带反馈两种实现形式。 2 ) 在逆向滤波融合算法的基础上，给出了多传感器观测下的单向反褶积融 合算法。 4 进行了仿真系统设计、开发和仿真试验，仿真结果表明了上述算法有较好的 估计效果。 说明：本论文所完成的工作是国家自然科学基金数学天元基金( a 0 3 2 4 6 7 6 1 和教育部科学技术研究重点项目( 0 2 1 3 1 ) 资助的一部分。 复杂多通道带乘性噪声系统的逆肉滤波及单向反褶积算法研究 第二章复杂多通道s m n 的逆向滤波及单向反褶积算法 2 1概述 常规的最优固定域反褶积算法大都是双向的1 4 - 5 ：4 】，即先进行正向滤波，然 后再进行逆向平滑运算。由于逆向平滑运算需要用到各个时刻的滤波结果，因此 这一中间过程产生的全部滤波结果必须存储起来。这种双向运行的本质使得常规 的固定域反褶积算法在运行过程中需要存储大量的中间变量【“1 。为了避免这一 问题，l ixw 等人【4 4 1 针对一般线性系统提出了一种单向固定域反褶积算法，文 献 1 7 】针对带乘性噪声系统推广了这一单向固定域反褶积算法，这些算法的共同 本质均是将常规固定域反褶积算法中的正向滤波过程转换为逆向滤波过程，这样 滤波过程与反褶积的运算过程同向进行，在得到某一时刻的逆向滤波结果后，直 接计算该时刻的反褶积结果，从而大大减少了存储空间。文献 2 9 1 又将这一算法 在极大似然准则下推广至简单多通道带乘性噪声系统，而文献 3 1 1 在最小方差准 则下推广至简单多通道带乘性噪声系统，其数学模型为： x ( k + 1 ) = a ( k + l ，t ) x ( 七) + 丑( ) w ( ) 2 ( 是) = t l ( k ) c ( k ) x ( k ) + v ( 女) 其中乘性噪声日( 尼) = d i a g ( a ( k ) ，h a k ) ) 为对角阵。本文将进一步考虑更复杂通 道特性下的系统状态最优滤波，即状态空间表达形式为： x ( k + 1 ) = a ( k + l ，t ) 石( 女) + 口( t ) w ( 女) ( 2 1 1 ) z ( 七) = u ( 七) c ( 女) 工( 七) + v ( 七) ( 2 1 2 ) 其中乘性噪声u ( ) = ( ) 。，为 x r 维一般随机矩阵。另外，( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式 中，z ( 后+ 1 ) 为n 维状态向量，= ( 七) 为r 维观测向量，似后) 为s 维系统噪声，v ( 七) 为r 维观测噪声，a ( k + l ，k ) 、b ( k ) 、c ( 七) 分别为n 孙n x $ 、r x n 维确定性系 数矩阵。 在乘性噪声v ( k ) 为一般随机矩阵的情况下，先假定由( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式描述 的系统满足如下条件： d i ：e w o t ) ) = 0 ，e w ( k ) w 7 ( 朋= q ( k ) 5 “ d 2 ：e v ( ) ) = 0 ，e v ( k ) v 7 ( ，) ) = r ( k ) 8 h d 3 ：e ( t ) ) = m ( k ) ，其中m ( k ) = ( m 。( ) ) 。，e u o ( k ) ) = m q ( k ) ， 若记。( i ) = ”，( ) 一m ，( 庀) ，并记 p ，( 女) = e ( ( 七) 一挣0 ( 尼) ) ( ( 女) 一f ( 七) ) ) = e a u ( 七) g ，( 意) ， j 墅曼至塑堂壅些堂皇墨竺塑望塑鲨垫墨望塑垦堡塑蔓婆堕窒 同时假设e 。( f ) ( 女) ) = 0 ，( f 女) ，即u ( ) 的各观测通道乘性噪声分量在 同时刻可以是相关的，这里i ；，；g ；，：1 2 ，r ；，- 七：l ，2 n d 4 ：e 扛( o ) ) = 0 ，e x ( o ) x 7 ( 0 ) ) = s ( o ) d 5 ：渺( 七) ) 与 w ( 女) ，v ( 庀) ，x ( 0 ) ) 统计独立。 d 6 ：c o v x ( o ) ，w ( _ 】 ) = 0 ，c o v x ( o ) ，v i ( 七) ) = 口，c o v w ( k ) ，m ( 七) ) = 0 2 2 逆向滤波算法 基于投影定理，首先由定理2 2 1 给出了乘性噪声为一般矩阵且加性噪声同 时刻相关情形下的逆向滤波算法。 定理2 2 h 考虑定义在条件d l d 6 上的复杂多通道带乘性噪声系统( 2 1 1 1 、 ( 2 1 2 ) ，有如下在线性最小方差意义下为最优的逆向滤波算法： x ( k k ，) = x ( k l k + l ，) + 瓦( k ) 5 ( k k + 1 ，n )( 2 2 1 ) z ( k k + 1 ) = z ( 后) 一m ( k ) c ( k ) x ( k k + 1 )f 2 2 2 ) p ( k k ，) = ( j 一瓦( k ) m ( k ) c ( k ) ) p ( k k + 1 ，n )( 2 2 3 ) x ( k k + 1 ，n ) = 以( 意，k + 1 ) x ( k + l k + l ，n )( 2 2 4 ) p ( k k + 1 ，n ) = 4 ( 七，k + 1 ) p ( k + l k + l ，n ) a r ( k ，k + 1 ) + 吃( 七十1 ) 亿( k + 1 ) b o r ( t + 1 ) ( 2 2 5 ) 其中， 以( ，k + 1 ) = a 。( 七+ 1 ，i ) ( j n ( k ) q ( k ) b 7 ( 七) s 。1 ( 七十1 ) ) e ( t + 1 ) = - a 。( 七+ l ，k ) b ( k ) 堑l ( + 1 ) = q ( k ) - q ( k ) b 7 ( 七) s 。( 七+ 1 ) 丑( i ) q 7 ( 女) s ( k ) = a o ( ，k + 1 ) s ( k + i ) a 。r ( 七，k + 1 ) + 皇：( 七+ 1 ) 幺( j + i ) b r ( k + 1 ) e ( i ) = p ( k k + l ，n ) c 7 ( 后) m 7 ( 七) 巧1 ( t ) g o ( k ) = e ( ( u ( j i ) 一 f ( i ) ) c ( 七) x ( 七) x 7 ( 七) c 7 ( 七) ( u ( 七) 一 f ( i ) ) 7 + 西z ( ) c ( 后) p k 时有 w a k + 1 ) 上w ( j ) 。 注意到， k 时，工( 茸+ l 。) c l ( x j + 。, n ) ，所以 1 屹( 后+ 1 ) 上x j + l ，n ， k ， w o ( k + 1 ) 上w 。( j n ) 。 再根据当， k 时，叱( ，n ) = e r o j ( w ( j ) x g + ) ，我们得到对于， k ， e ( 女+ 1 ) 记( ，+ 1 ) ) = 0 ，且对任意女，有e ( 女+ 1 ) ) = o 。即 ( 女+ 1 ) 是零 均值非平稳白噪声序列，而r w o ( k + 1 ) 上x ( ) ，k = 1 ，2 ，n 一1 ，从而其逆向滤 波空间状态表达式如下： x ( 惫) = ( 七，七十1 ) x ( 蠡+ 1 ) + 兄( 七+ 1 ) w 。( 七+ 1 ) ( 2 2 1 3 ) 三( 七+ 1 ) = u ( 七+ 1 ) c ( j i + 1 ) x ( 七+ 1 ) + v ( 七十1 ) ( 2 2 1 4 ) 其中： = n 一1 ，一2 ，1 ， 4 ( 女，女+ 1 ) 、b o ( 女+ 1 ) 分别为式