（应用数学专业论文）ckp系列的广义wronskian解.pdf

摘要 可积的坚旦墨到是和推广的七一约束i l ) 一= 吼o 。n 相容的一 大簇的k p 系列的解，其中包括孤子解，可以由满足一列线性方程的函数的 广义朗斯基行列式来表示取在规范变换求解k p 系列时多次递推所致的拟 微分算子n + 女做为我们的d r e s s i n g 算子，相应的广义w r o n s k i a n 行列式即 为k p 系列的r 函数此时所生成的k p 系列自动就是n ( n = n + 自) 分量 的c k p ，其l a x 算子的积分部分( ) 一被分成两组我们引入分量分组的概 念，约化出m ( m m ) 分量c k p 时是不可避免的问题最开始的 想法是这样的：如果选择合适的两类函数q l ，q ：，及r 。+ l 、r 。+ 口满足w r o n s k i a n 行列式； h ( g l ，口2 ，：) 0 则存在一对微分算子a 。b ，其中a ，b 分别为 a = 矿+ ( 1 c 。- 1 0 “一1 + + 0 1 0 + a o f 2 3 3 1 ( 2 3 4 ) 日= 0 3 + 虬一l 扩一1 + - + b 1 0 + 6 0 使得( a l 。一) 一= 0 和( ( “) 一。口) 一= 0 且a 和b 分别由q h 一，q o 和r 。+ l 一，7 时口唯 一确定( 因为a ( q 1 ) 一= a ( 叮。) = 0 和b _ ( + 1 ) 一= b 4r 。+ f 1 ) = 0 ) 文章后面的工作表明这种分组讨论是合理的，而且对于处理由死+ t 生成的k p 系 列的约化是非常关键的 o a o g w 0晒 a ； 卜 0 口 ， l a o 哦 0。两 = = 第三章 c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 3 1 拟规范变换算子咒+ 和( z = 女) + 在下面，由于表达的方便，我们分两种情况来表示 3 1 1 当n 时 在规范变换求解c k p 时，多次递推所致的拟微分算子，可以由下列引理 3i 】 来给出，其中r 函数，即( 3 1 2 ) 式，由 1 3 】给出： 引理3 1 1 ：当n 时 。 及 ( 一1 ) “ i 。 ，x 字 ，x i o p 于 ，x ( 0 x ( 0 x ： ，x 尹p p 5x 2 d 字 ，y 尹p ：。 x 于 x 罂 f x ? p 字 i 厂x 妒肛字 rx 驴 。 i 、粤 y 黜 a 一，。p 字 a 一- 。卢字 a 一- op c 0 1 0 ( ) ( 枷( x 字一) ( ，、乎) ( 椭】 伊一 o l 。x o o 一- 。) ( 字1 ，x 字 ，x 妒“? ，x 5 0 ，x ( 0 x 粤 i 厂x 字p 0 1x 妒x 罂 ( x r l ) n 一一2 l ( 垲) “叫 0 1 。x 磐l r ) ( 粤1 p 乎j x 乎卢l o x 字x 理( x 紫) n 一一2 这里l w 。于，p ( o ) ，x 0 ) ，x 紫1 ) 被称为带k 个积分的w r o n s k i a n 行列式，或广义 9 第三章c k p 系列的广义w r o n s k l a n 解 w r o n s k i a n 行列式，它的定义为 ，眠。= ，x 0 1 ，) ( 字 ，x p p o x o x 掣 ，x 字p ? ，x 妒p 字) ，x 箩1 p ! o x 于1 x 嚣 ( x f ) i , , - k - i ( 字1 ) ( 柚一1 ) 我们将在附录a 中给出它的证明( 本文( fc o ) ) ( t ) 由于可以把行列式按照最后一行进行g r a m 以下三个式子： ，x ? ? 1 ，x 乎p ，粤卢c 0 x 妒 x 船 ( 3 1 2 ) 三矗肌 展开，所以上n n - - 个算子可以表达为 一o 垲n - k 嚣：蒇赫+ 卸a 1 0 5 【i ) + + a o 删m 岸， ，。， + 口竺? o a 一1o ：o + a 翌。a 一1 。+ + d 瞿。扫。， 、 3 1 2 当n = 女时 ( 。- - + 1 k ) 0q 这时的情况有些特殊，首先有： 一k 巴+ k = 1 + a p 。a 。1 。甜 p l 亦郎l + * 仍然可以用( 3 1 1 ) 式来表达，但是7 。- - + 1 。就不行了，我们有下面引理 引理3 1 2 ： ( 吲t ) + 2 赢 伊 a lo x o ) 0 一。x 字 “妒 ，p 字x p ，p x 字 p 锉， ，p 2 。x i o ，p 2 。x 字1 p 【0 f 1 0 x 。 ，p r ) ( 字 0 一，。爿紫，p 1 0 x 乎，p 罂，x 粤，a 、，n 。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 一 a 0 旧， y 。触 一一 瑶 徊j x o ao6 。商 第三章c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 在这里，行列式的阶数为n + l 瓦+ t2 瓦1 同样的，还有 最后，特别的 _ 厂p x r ，p 艘。x ( 0 ，p ( 0 x r ) ) ( j o ，p # 1 x 妒 ，p 罂。x 字 j f x ( 0 ) ) ( p fa 一- 。p ? ，p ! ! ! 。x 妒a t 。p 罂。 ，p c 0 x 粤o - io p ；o j x 攀 o o 吲女= 1 + x 。( 0 1 。a 1 。b j ，= 1 ( - 州- 1 ) 。= 1 一如。a 1 。) ( ：0 j = 1 这些算子存在充分条件： ，。0 3 2 由瓦+ 从自由算子l ( o ) = 生成的k p 系列 首先我们有 工之咒+ 。i = 。 f 3 2 1 1 其中f2l ，在下面我们将证明死+ 女就是k p 系列的d r e s s i n g 算子，不过只是这里不是 从a 。开始而已然后利用( 3 2 1 ) 式，得到算子正自表达式 引理3 2 1 ：瓦+ 女满足s a t o 方程 证明：取f = l ，设 满足 那么 l = l 十k 。o 。互= = a + u 2 。a 一1 + u 3 。a 一2 + l ；。= l ，( l ”) 一 ( 3 2 2 ) ( 瓦+ ) 。a o ( 乃+ k ) 。+ 矗+ b o a o ( ) 。 ( n + ) 。ao 吲一+ k o o o 吲ko ( + ) 。o 巧- + 1 k ( 3 - 2 3 ) ( + ) 。o a o 女一lo ( ? 4 t ) 。t 第三章c k p 系贰的广叉w r o n s k i a n 解 另外由l 的方程( 3 2 2 ) 知 l “。= l ( l ”) 一一( 三“) 一 =l o ( l + t 。泸。) 比较p j = 两式( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 得： 证毕 ( l 十t ) 。= 一( l 十女。0 “or 。- 1 k ) 一ol + 3 3 由咒+ io 伊o l 。- + 1 生成的k p 系列 ( 3 2 4 ) 口 设在规范变换链中的生成函数，或者说b a 函数、 ，y ? 和共轭b a 函数 p “，“，( 这里上( 。j = o ) 分别满足： 筹：b 蚶n 形乩! o ) j c n 及 筹叫鳓+ p p ，斗妒+ l ( p 0 ) ) 实际上也只有这样才能说明已+ k 为k p 系列的规范变换算子，我们希望最后的约化直 接体现为对两类生成函数的限制上很自然的有以下引理 1 3 】： 引理3 3 1 ：r + 为k p 系列的规范变换算子，生成k p 系列的r 函数为 ，) ( i o p 等 ，字 ，x p p ，x 于p 字 l r x 卿p ? ，x 乳字 紫p x 粤 x 鲤 ( ) ( p ) ( 一一j ( _ ) ( 字) ( “一j ( 磐) “一i j 这样，由( 3 1 1 ) 计算l a x 算子l ，这中间有很复杂的计算方法和计算技巧，我们给出了 诹算子形式如下；事实上这种算子的形式是很重要的，正是由于这种表达的分组， “趔以耀 ， 第三章c k p 系列的广义v r o n s k i a n 解 给出了我们分组约化的基础 定理：由规范变换算子瓦+ 女生成的c k p 系列为 证明首先有 1 ) 恒等式 同时注意到 有 ( x 附。) 。a 。1 。6 j + ( 一1 ) 唧。【( 曙 ) + p = 一1 k 。p 字。x ，( o ) o 0 6 ，) 一 ( 。，。a 一- 。舻箩。) 一。) ( ! 叫。6 ， + ( 。，。a l 。p 字。) 。x 于。0 1 。b ， + ( “，。a z 。，。a 。) ! 。，x 于 。一。b j ( a - 1op 铲) 一：扩1 0 ( 蛳筹 1 o “妒。) 。= ( 一2 ( a 一，。p 踟) 。删= ( 一1 ) i ( ，z 缈。( x 渺。”1 一 i = 0 ( n ，。0 - 1o # 字。x ；。a l 。6 j ) 一 叩。( - 1 ) j o ( 喾) 。x 罗) o a - 1ob + 。( 一1 ) h 。( p 黔) 。：o ) 0 a 。1 。b j + 。，。警( 一1 ) i ( p 脚z ) 。( x 渺一叫。a - 1 0 6 ， 咿( 卅1 ) f ( 喾) o a - 10 。 氇汁。( 卅1 ) j ( 等) x 5 0 ) ) 0 q + 郇。( 一1 ) h 。( 一脚) 。x 。a 一1 。b j f 一2 + o ( i = 0 。( x ，) 一i 一1 ) 。a 一1 。6 ， ( 3 3 ，2 ) 咒 。芦 + 0 + l 1 | 第三章c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 = d p 。( ，( x ；。) f ，p 护d x ) 。，。岛 ，汁，。( 肛1 ) f 喾x ! 。，) 。b 2 ) 对于1 7 凫时的规范变换算子，有 舻。- 1 。) 一 = ( ( l + t ) + ( x 渺。) 。a 一1 。b j j = l + ( ( l 一。挑x 罗。虬) 一 j = i = ( ( r + t ) + ( y w 2 1 ) 。a 。1 。b j ，= 1 + 0 ，。叫驯。扎x 乳。) 利用1 ) 中的算子恒等式，可得 ( 己+ * 。扫7 。吲。) = ( ( n + * ) + ( x 缈) 。扩。b j + n ，( 厂( x 州9 胃d x ) 。鸣 一量唧妻。( 卜1 ) f 甜o t ( o ) 硝) d x ) 。钆 p = 一七，2 1 “ 1 4 合并前两项，改写后一项即得结论 3 ) 把n = 自时的规范变换算子( 3 1 1 ) 和( 3 1 5 ) 式代入( 瓦+ 。丁并 ) 中，进行类 似讨论得f 3 3 2 ) 式 口 显然丛的分量被分成两组来表达，此时n = n + k ，则 1 。这样生成的k p 系列自动就是n + 七分量的c k p 系列，其r 函数为r 【“+ 2 。如何将上式约化成m 分量f m m 时) ! = + ( 瓦+ t ( x 州j ) 。如+ ( ，= 1 1 5 1 。 ( 吲。) + ( 肛秽】 ( 3 川 要想从上式中约化出m 分量的c k p 系列，即：趾也可表达成 口o + 口= m 趾2 三吼时。，柏1 。“4 引 = ( l 。) 一+ ( l z ) 一 我们的基本想法是； 1 ) ( l 。) 一由( 3 4 1 ) 式的第一部分约化得到，即： nd ( l + ( x ，) ( o ) 。扩1 。b j = q 。o 。1 叭 ( 3 4 3 ) ，= 1 l = l 而( l 3 ) 一由( 3 , 4 1 ) 式第二部分得到 ( 1 ) 2 a ，0 - i 。( ( 7 并。) + ( 肛渺。 ( 3 4 4 ) 2 ) ( 3 4 2 ) 式中要求h 名( q l ，啦) 0 目q l ，啦：线性无关则存在n 阶的微分算子a = 伊+ ( z e - - i 泸“+ + a l a + d o ，使得 同样要求w 名( r 0 + ，r 0 + 2 、即) 0 = = “f 2 ，勺线性无关则存在p 阶的微分算 子g = 扩+ 6 口一1 扩一1 + + b l a + 6 0 ，使得 ( ( 如) 一。口) 一= 0 注：这里的( 3 4 2 ) 式是我们的目标，是从( 3 3 2 ) 式中约化出来的，而不是事先给定的 其实就是从( 3 3 2 ) 式的n + 自= n 分量( 线性相关) 中找出分组线性无关的m 分量 关键是如何具体描述n + 七= n 分量线性相关性我们的办法是通过引入两个微分算子 a ，b ，通过其各自核分别为a 维和卢维来限制 唧 “一 u 0 一 a 钉 一 第三章c k p 系列的广义w w n s k i a n 解 1 6 3 4 1 【l 。) 一的约化 1 ) 由于对( 工。) 一唯一存在a = 泸+ n 。一1 扩- 1 + + 口1 0 + a o 使得( a o ( l 。) 一1 一= o 那么由( 3 4 3 ) 式，两边用a 作用，则我们有 a 。( 咒+ t ( x n ) 。0 。1 。n 一= o i = l 从而有 a 玩= a - 酝一= a 磊= 0 这里 丽= l + k ( 跗“，五= 6 z i = l “2 。n 由于a 的核是a 维空间，因而存在q - ，啦，线性无关，使得 则我们有 ( l 。1 一 磊= c 嘏， = 泵0 0 - 1o 以 = 哌o 0 1o 五 = c i j a j 。0 。b 注1j 2 1 = q jo o - i ( ec l j b i ) 】= l l = l = 坼。a - 1 。o j = l f 3 6 ) 则伍由( 3 4 5 ) 式给出，r j = 耋c 曲；由上式给出，这样就可以达到我们的目的，求出啦 和- 。这里的约化条件是 眠+ ，( i ，瓦，瓦，函) = 0 f ： 4 7 1 这个等式来自甄，爵均是n 阶微分算子a 的核，而a 的核是q 维空间，所以任意 n + 1 各函数爵，q i o + t 必线性相关 第三章c k p 系列的广义l ? o n s k i a n 解 3 4 2 ( 纠一的约他 希望约化得到 此即( 3 4 ，4 ) 且 ( - u 。三a p0 0 - 1 0 嘭， 1 7 存在唯一p 阶微分算子b = 驴+ 6 口一1 0 8u 1 + - + 6 ，a + b o 使得( 如一。疗) 一= 0 ，那么 由( 3 ，4 4 ) 式得到 一 ( 一1 ) 7 唧。a “。( 旷葡) = 0 p = 一l 函 即： 广尸， 在这里 b + ( 秭) = b 4 ( 丽) 一= b ( 而) = 0 ( ：；4 8 ) ：勿 r n + t p f = ( 吲( p 秽 ，严，。，一 i 均为口的核，而且的核为卢维空间，所以 j + 1 ( i i ，一，再= i ) = 0 ，n + 1 i l 、i 2 一，i 口十，墨n + 女 ( ：j 49 ) 就是约化条件因而存着p 个线性无关的函数r 。+ z ，r 。+ z ，r o t + , 0 使得 那穆存 f 3 41 0 】 唧。a 一1 。( ( 曙。) ( p 渺4 ) ) 吞。扫一1o 霞 d 4 - 0 氤0a _ 10 d i j r j( 3 4 1 1 ) 1 j = d + l n + ( ( 一1 ) 2 d o 氯) 0 a 一。o i = n + 1 。0 1 0 r j 三国 r0 一 a 0 q 州埘 l | 一s e q 誊一 = “一m一小一 m 嚣 第三章c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 这里 1 8 q d = ( 一1 ) d 。童 ( 34 1 2 ) r d 由( 3 4 1 0 ) 式给出 结论：在以下两个条件下，即( 3 4 7 ) 和( 3 4 9 ) 式 “瓦瓦1 礴0 1 g l ，王乇+ 1 如 一t ( i ，p i 2 ，穆2 正n + l i t g ，i 川 ( 3 4 i ) 经分组约化到( 3 4 2 ) 0 f i 。 3 5 约化条件的化简 由( 3 4 7 ) 和( 3 4 9 ) 式中丽与霞均是经l + k 变换得到的，其形式自然十分复杂下 面把( 3 4 7 ) 和( 3 4 9 ) 式化简，使这个条件直接体现为对x ”，x 紫，以及：“，z ? 的限制首先要声明，本节所用的f 与本节前面的”r 无关，这里是表示我们选取了f 个 经过n + 次变换的函数从规范变换的递推，我们可以得到以下恒等式( 在附录b 中 给出了证明) ： 3 5 1恒等式 a ) n2 向 姒( x 搿似黜。，溃嬲，) 一! 坠堕! ! ! ! ! ：! 墨! ：，! ! ：! ! ! ! ：上：! ! ! ! ! 墨! ：! 墨! ! ! 一 i w k 。 p ? ，p 翌。p 乳x n x ，x g ) 注：这里的上标表示进行n + 七次规范变换后所得的结果 b ) 扎 七，扎 南+ f 惭( p 赠洲瑚：，“默，) 斗，) 半州坠螋篇娩筹锰粉铲 、 f w 。f “，“f7 ，“；x ，x f ，x # ) c 1n = w i 、t p , 计( n + 川k ) ，p 黜2 、，p 搿f ) = 坠噤黪筹臻霸铲f ，n “r7 x 群”x l ；“r p r ，p 并) l 2 3 5 y 0 5 吩 第三章c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 3 5 2 化简 实际上，在( 3 4 7 ) 式中蟊= l + ( x ! 。) ( “，在( 3 4 9 ) 中r n + l p = ( 吲。) ( 卢衙) “利 用规范变换算子的行列式表达和上述恒等式，可将约化条件化简为如下形式： 1 ) 札南 ，畎肘0 + 1 ( 芦? ，一2 1 ，一，p ( 。；x 一，x ? ) ；( ，y 荆“，：( x 乳) 1 = 0 ( 3 5 4 ) 具体的我们可以表达为： ，p ? x ：o ) - ，p 艘。、j 。) ，p 于x 粤，p ? ( x ? ) ( 。，p ( x ：) ( ，p 艘。x 妒，p 艘，( ) ( 掣) ( 5 ，一艘。( x 掣) ，p o x 紫 x 粤) x 鼎 ，p c 0 ( _ x 釉 ( x w 7 ) ( x ( + 1 1 ，p ：0 ) ( x ( x 缈7 ) ( x 跏) ，p p ( 、乳) ( ，p 锉，( y 乳) i ，p 0 ) ( x ) ( y 巴) ( x 巴) 1 ( x 附m 叫( ，、磐) 巾叫【x ( 巾斟。( x 缈巾斟) ( x 巴) “ 这里行列式是n + n + 1 阶的由( 3 4 7 ) 式和( 3 5 1 ) 推出斋i | f 孑= 盛星存士h 士 2 ) n + 卢+ l 由( 3 4 9 ) 和( 3 5 2 ) 推出 具体表达为 m i 懈l ，。( ( 卢乳) ( “，“”；p 队- p x 一，x 粤) = 0 ( 3 曩5 ) ，( p 乳) ( “x 5 。 ，( 芦【5 ) y ( 0 】 i ，( p w 5 ) x ( 0 f l a ( o ) x o ，p 0 1 x ：o x l o x 掣 ，( 乳) x 妒 j r ( p 黔h 妒 ，( 肚( f l x p ，卢? x 于 f o l x 于 p x 婴 ，( 乳) ) ( 字 j r f p ( 7 ) x l o ，( p ( 7 ) 5 0 ，p x 字 ，p j 。) x 字 x 箩1 x 婴 i r ( p 乳) 5 ) x 乎 j r 似) ( 2 ) 妒 j ( p 附2 ) x # ，p p 紫 ，p ：0 ) x 紫 x 磐 x 矬 ( x 0 ) ) ( 一一口一2 h 字) ( 一一即( x 5 0 ) ) ( n 一。一口一2 ) ( x 粤产一一p 一2 ) 0 o y 0 疋。h ， x 第三章c k p 系列的广义w r o n s k i a n 解 3 ) n = 时，( 3 5 4 ) 式不变，但是( 3 5 5 ) 不成立，应改为 m l 卅州( x 譬1 ，x 贮- r ，x ( 0 ；p l d ，p 擘) ；( p ，( p ) m ) = 0 ( 3 56 ) 具体的我们可以表达为 j 1 x 字p f ，x 2 ( 0 ，x l o p 【0 p c 0 p 粤 j x p 粤，_ x ? ( p 等1 ) ( 。) ，x 艘。一粤，x 艘。( p ( 7 ，x ：o ) p 攀 “紫 “罂 ，x ( 0 1 ( p ( ( 肛( ) ( “) ( p 乎) ( n + 3 一( p 等) n + 日+ 。 这里行列式为( n + 口+ 1 ) 阶的 在下面一章中，我们具体算了 ( l ) = 红业 ，x ? ( p 乳) ( 7 ) ，y 罂，( p ) ( 7 ) u f x h 1 0 ) + ) ( 2 ) ( p 乳) “ ( p ) ) ( 7 j ，。o 。巧：) 一 ( 乃1 1 ( x 于) 2 1 ) 。0 。6 ， + ( 一1 ) 5 n 一1 。a 一1 。( ( 巧护( p 0 1 ) ( ) 寸l 。0 10 妒l + 西20d 一10 9 2 及 第四章例子： 噩+ 1 生成的2 分量的c k p 系列 下面我们把前面的结果应用到乃+ t 生成的2 分量的c k p 系列 4 12 + 1 分量的c k p 系列 首先我们有规范变换算子 乃+ ft 3 l ( p ：2 ) ) 。喀( x ) 。硝( ，y ( 0 ) ) = a - - 1 。d l 。p l 。) + 知+ n l op ( 1 1