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内蒙古大学硕士学位论文 基于改进遗传算法的投资组合研究 摘要 随着我国经济实力的增强，很多投资项目极具发展潜力。面对众多的投资 项目，投资者如何选择适合自己的最优投资组合成为重要的研究课题。m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年最早提出了关于投资组合的均值方差( m e a n v a r i a n c e ) 模型，m v 模型，奠定了现代投资组合理论的基础。它是金融投资定量化研究的开端，成 为金融投资理论研究的主要论题和决策实践的重要工具，构成了现代投资组合 理论的核心。然而，在现实经济生活中，该模型存在一定的局限性。进入9 0 年 代遗传算法迎来了兴盛发展时期，无论是理论研究还是应用研究都成了十分热 门的课题。很多学者开始寻求用遗传算法来求解不同的投资组合模型。但在求 解多目标改进m v 模型时一直比较困难。 本文首先介绍了典型遗传算法的算法思想和步骤，在分析遗传算法性能瓶 颈的基础上提出了一种改进遗传算法目标规划的自适应并行遗传算法。其 次把目标规划的自适应并行遗传算法应用于解决多目标有限投资限制的 m a r k o w i t z 模型。在这一过程中讨论了算子参数设计，研究了动态调整种群的规 模和种群多样性对交叉、变异概率的影响等技术，并使用m a t l a b 环境编写程序 对该模型进行求解和模拟遗传算法搜索过程。实证研究结果显示，改进遗传算 法有效提高了算法的运算效率。利用改进遗传算法所得到的最优投资组合，具 有一定的科学性及合理性。 关键词：遗传算法，投资组合，m a r k o w i t z 模型，多目标规划 基于改进遗传算法的投资组合研究 p o r t f o l i or e s e a r c hb a s e do ni m p r o v e dg e n e t i c a l g o r i t h m a b s t r a c t w i t ht h eg r e a ti m p r o v e m e n to fc h i n a se c o n o m i cs t r e n g t h ，al o to fi n v e s t m e n t p r o j e c t sh a v es t r o n gd e v e l o p m e n tp o t e n t i a l i nt h ef a c eo fn u m e r o u si n v e s t m e n t i n s t r u m e n t s ，h o wt h ei n v e s t o r sc h o o s et h eo p t i m a lp o r t f o l i oi n v e s t m e n ti sm o r ea n d m o r es i g n i f i c a n t m a r k o w i t zf i r s tp u tf o r w a r da b o u tp o r t f o l i om e a n v a r i a n c em o d e l i n19 5 2 m e a n - v a r i a n c em o d e li st h eb a s eo fm o d e mp o r t f o l i ot h e o r y i ti st h e b e g i n n i n g o ff i n a n c i a li n v e s t m e n tq u a n t i t a t i v er e s e a r c h a st h em a j o rt o p i co f f i n a n c i a li n v e s t m e n tt h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n da ni m p o r t a n tt o o lf o rd e c i s i o n - m a k i n g p r a c t i c e ，c o r ef o u n d m i o ni sc o m p o s e do fi ti nm o d e mp o r t f o l i ot h e o r y h o w e v e r ，i n r e a le c o n o m i cl i f e ，t h i sm o d e li sl i m i t e d g e n e t i c a l g o r i t h mh a s ap r o s p e r o u s d e v e l o p m e n tp e r i o di nt h e9 0 s i tb e c o m e sv e r yp o p u l a rt o p i cb o t hi nt h e o r e t i c a l r e s e a r c ha n da p p l i e dr e s e a r c h m a n ys c h o l a r sb e g a nt ou s eg e n e t i ca l g o r i t h m st o s o l v ed i f f e r e n tp o r t f o l i om o d e l h o w e v e r i th a sb e e nm o r ed i f f i c u l ti n s o l v i n g i m p r o v e dm u l t i - o b j e c t i v em - v m o d e l t h i sp a p e rf i r s ti n t r o d u c e st h et y p i c a lg e n e t i ca l g o r i t h mi d e aa n dt h es t e p s i t p r o p o s e s a n i m p r o v e dg e n e t i ca l g o r i t h mo b j e c t i v e a d a p t i v e p a r a l l e lg e n e t i c a l g o r i t h mb a s e do na n a l y z i n gt h eg e n e t i ca l g o r i t h mp e r f o r m a n c eb o t t l e n e c k s s e c o n d ， i t a p p l i e so b j e c t i v ea d a p t i v ep a r a l l e lg e n e t i ca l g o r i t h mt os o l v et h em a r k o w i t z m o d e lw h i c hi sm u l t i o b je c t i v el i m i t e di n v e s t m e n tr e s t r i c t i o n s i nt h i sp r o r e s s ，i t d i s c u s s e so p e r a t o rp a r a m e t e rd e s i g na n ds t u d i e sd y n a m i ca d ju s t m e n ts p e c i es i z ea n d s p e c i ed i v e r s i t yo nt h ei m p a c to ft h ec r o s s o v e ra n dm u t a t i o np r o b a b i l i t yt e c h n o l o g y m a t l a be n v i r o n m e n ti su s e dt oc o m p i l ep r o g r a m m i n gf o rs o l v i n gt h em o d e la n d 内蒙古大学硕士学位论文 s i m u l a t i n gg e n e t i ca l g o r i t h ms e a r c hp r o c e s s r e s e a r c hr e s u l t ss h o wt h a ti m p r o v e d g e n e t i ca l g o r i t h me f f e c t i v e l yi m p r o v e st h ee f f i c i e n c yo f t h ea l g o r i t h m t h i sm e t h o di s s c i e n t i f i ca n dr e a s o n a b l e t oal a r g ee x t e n t ，i ti si nl i n ew i t ha c t u a lc o n d i t i o n si n c h i n a k e y w o r d s ：g e n e t i ca l g o r i t h m ，p o r t f o l i o ，m a r k o w i t zm o d e l ，m u l t i o b j e c t i v e p r o g r a m m m g i i i 内蒙古大学硕士学位论文 图表目录 图2 1 投资组合可行前沿图1 0 图2 2 含无风险资产的投资组合有效前沿图。1 3 表3 1 遗传学和遗传算法中基本用语对照刘4 2 1 2 1 图3 1 并列选择法的示意副4 2 1 2 7 图4 1p f 与p c 、p m 的关系3 2 图4 2 各代中风险值大小3 3 图4 3 各代中最优收益值大小3 3 图4 4 子群体l 中各代杂交、变异概率与种群多样性的关系3 4 图4 5 子群体2 中各代杂交、变异概率与种群多样性的关系3 4 图4 6 子群体3 中各代杂交、变异概率与种群多样性的关系3 4 图4 7 程序目录3 5 图4 8 程序中部分变量定义代码3 5 v i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼苤直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日 指导教师签名： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属丁内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名： 日 蔡斐 指导教师签名：弘拟囊 ， 、 0z d 石力乏 内蒙古大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 投资者总是希望在证券持有期间获得尽可能高的收益而承担尽可能小的风险，而随着收 益的增加，证券的风险也随之增加。如何在一定的风险水平下，使证券投资者获取尽可能高 的收益，或者在一定的收益水平下，使证券投资的风险尽可能小，最明智的方法就是把资金 分散投资在若干种证券上，构成投资组合。如何确定一种最适合的投资组合，这便是现代投 资组合理论研究的内容。 1 9 5 2 年3 月，美国经济学家h a r r ym a r k o w i t z 发表了( ( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) ) 一文【l 】，并于 1 9 5 9 年出版了同名专著，从而奠定了现代投资组合理论的基石。该文对充满风险的证券市场 的最佳投资问题进行了开创性的研究。详细地论证了证券收益和风险的主要原因和分析方法， 建立了均值方差证券组合模型的基本框架，是现代投资组合理论的开端。m a r k o w i t z 投资组 合理论建立在一系列严格的假设条件之下，在实际运用中存在许多局限性。同时我国证券市 场尚不成熟，这两方面的原因导致m a r k o w i t z 的均值一方差理论不能很好地应用于中国的证 券市场。为了更好地发挥该理论的指导作用，均值一方差理论尚需进一步的改进。另外，该 模型是一个非线性规划问题，具有数据多、求解难的特点。其求解方法也是目前的焦点问题， 具有一定的复杂性，需要一种科学而有效的方法来进行求解。 自2 0 世纪7 0 年代以来，金融创新使得资本市场不断推出新的投资工具。国际上很多有 效率的投资机构均将证券投资作为最重要的投资方式，并积极推进大量资金进入证券市场。 从总体趋势看，1 9 8 0 2 0 0 5 年间，美国、日本、德国、英国和加拿大等西方国家投资机构持有 的证券资产占总资产的比重在不断上升。 近年来，我国投资企业各项工作取得了显著成绩。但是，由于我国投资业起步较晚，投 资发展较慢，投资技术的落后制约了我国投资业的发展，严重影响了我国投资公司的竞争力。 在目前的市场经济条件下，在投资业日益对外开放的环境中，如何进一步发展我国投资业务， 提高投资效益，是一个迫切需要研究的课题。 有效的投资组合，可以提高我国资金的投资收益水平，提高投资公司的偿付能力，降低 投资公司的风险，增强企业的竞争力。特别地，我国资金有效运用的重要意义己不仅在于对 投资业的自身发展，而且对我国资本市场的发展来说作用重大。最优投资组合可以指导公司 基丁改进遗传算法的投资组合研究 在进入资本市场进行投资时，正确选择投资对象及其比例，使一定收益率水平下的投资风险 最低，或者一定风险情况下获得最高的投资收益率水平，从而为资本市场带来巨额增量资金， 推动资本市场的稳定健康发展。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 投资组合的研究现状 投资组合理论是随着证券市场的发展而发展起来的。投资组合是谋求在不相关的多市场 内进行资产分配，通过分散投资来减少和回避由于市场的不确定性所带来的风险。人们把这 形象比喻为“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里 观点的量化管理。组合投资是提高投资绩 效的十分有效的投资策略。它的目标是寻找在给定的期望收益率下方差最小的资产组合或在 给定的方差下期望收益率最大的资产组合。 19 5 2 年，h a r r ym a r k o w i t z 在( ( j o u r n a lo ff i n a n c e ) ) 上发表的p o r t f o l i o s e l e c t i o n ) ) 【l 】一文 以及于1 9 5 9 年出版的著作( ( p o r t f o l i os e l e c t i o n ：e 伍c i e n td i v e r s i f i c a t i o no fi n v e s t m e n t ) ) 【2 】中建 立的均值一方差( m e a n v a r i a n c e ) 模型，第一次从规范经济学的角度揭示了如何通过建立证券 投资组合有效前沿( e f f i c i e n tf r o n t i e r ) 来选择最优证券投资组合，提出了通过分散化投资来降低 风险的方法，从而开创了现代投资组合理论的先河。m v 模型给出了逻辑严密并能经得起实 践检验的正确答案，即证券的组合投资是为了实现风险一定情况下的收益最大化或收益一定 情况下的风险最小化，具有降低证券投资活动风险的机制。 m a r k o w i t z 虽然在理论上科学地阐明了组合投资是能够分散风险的重要机制。但是，在实 际运用中，证券组合的选择和确定面临大量繁重和复杂的计算。因为证券市场价格变动十分 频繁。证券价格每变动一次，为了保持投资组合能够获得一个满意和稳定的收益与风险的关 系，则整个计算程序又需要重复进行一次。这不仅使缺乏数学基础和计算技术的投资者深感 困难，即便对具备良好数学基础和计算技术的投资者而言，也不胜其烦。基于这一情况，1 9 6 3 年，w i l l i a ms h a r p e 发表了题为as i m p l i f i e dm o d e lf o rp o r t f o l i o a n a l y s i s ) ) 3 1 文，提出了一 个单指数模型。在牺牲精确性的同时，大大简化了m v 模型在大型证券组合应用中的计算， 从而提高了投资组合理论的实用价值。然而单指数模型的意义不仅仅在于此，更重要的是为 资本资产定价模型的提出埋下了伏笔。现代投资组合理论的核心思想是把多种证券的持有看 作一个整体来进行分析和度量，把投资组合的风险分解为系统风险以及非系统风险。投资者 通过持有多种证券来分散非系统风险，从而降低整个组合的风险。现代投资组合理论的创立 2 内蒙古大学硕士学位论文 标志着现代资本市场理论的诞生。但是它没有进一步说明如何为证券估值和定价，也不能说 明投资组合期望回报率与风险之间的关系。1 9 6 4 1 9 6 5 年，w i l l i a ms h a r p e ，j o h nl i n t n e r 和j o h n m o s s i n 分别独立地提出了著名的资本资产定价模型_ j ( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，c a p m ) 1 4 】- 【1 ， 非常完美地解决了这个问题。 m a r k o w i t z 的组合投资思想被投资者广泛接受，但其理论模型是建立在一系列的假设条件 基础之上的，在我国证券市场的运用中存在多方面的局限性。我国大量学者结合我国证券市 场的实际情况，对m a r k o w i t z 的均值一方差理论作了多方面的研究，具有很强的理论指导意 义。主要包括以下几方面：第一，m a r k o w i t z 投资组合理论的假设条件存在一定的局限性。马 科威茨投资组合理论假设投资者都是理性的，然而现实中，投资者并非都是理性的。其各种 认知偏差等在投资决策中起重要作用，并且m a r k o w i t z 忽略了交易费用。第二，我国证券市 场上信息不对称现象是普遍存在的，证券市场并非有效。第三，模型中应加入交易费用及无 风险资本，m a r k o w i t z 投资组合理论研究的都是风险资本。m a r k o w i t z 投资组合模型的改进， 主要集中于以下两点：第一，黄文华、王仁明于2 0 0 6 年提出了全系数模糊证券投资组合模型 【1 2 】，利用模糊数来描述某种证券的期望收益率和风险损失率并讨论了利用模糊约束满意度将 模型转化为普通规划模型的方法，进一步利用遗传算法对该模型进行求解。第二，陈科燕于 2 0 0 4 年在模型中引入交易费用与无风险资产，建立多目标决策模型，采用多目标规划的模糊 优选法，将其转化为单目标规划【l3 1 。第三，郑丕谔，杨灿于2 0 0 6 年借助熵理论对m a r k o w i t z 投资组合模型进行改进【1 4 1 。同时，国内很多学者对投资组合模型的求解方法也做了多方面的 研究。周子康、杨衡、唐万生于2 0 0 6 年提出了概率准则组合投资的收益风险双目标整数 规划模型，设计了禁忌模拟混合智能优化算法t s i i ，进行概率准则模型求解【l 5 1 。 在采用m a r k o w i t z 理论进行证券分析时，目前的研究成果主要集中在对模型的研究与改 进以及对各种算法的研究中。但通常的研究都以获得一系列有效解为目标，而“真正的最 优解并未获得，或是在理论上采用某些方法证明了某点为最优解，但没有提供方法来求得最 终的最优组合。 总的来看，国内理论界人士对我国投资组合的各种渠道定性研究比较多，但对投资组合 缺乏系统全面的定量研究。西方发达国家的成熟方案也不能完全应用于我国。本文将在前人 研究的基础上，研究适合我国国情的最优投资组合。 1 2 2 遗传算法的研究现状 遗传算法g a ( g e n e t i ca l g o r i t h m s ) 【1 6 1 是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机 3 基于改进遗传算法的投资组合研究 搜索算法，由j h o l l a n d 教授于1 9 7 5 年提出。它简单、通用、鲁棒性强，适用于并行处理， 对于以往难于解决的函数优化问题，复杂多目标规划问题，工农业生产中配管、配线问题， 以及机器学习，图象识别，人工神经网络权系数调整和网络构造等问题，g a 成为最有效的 方法之一。但遗传算法存在收敛速度慢和易于陷入局部最优的问题。在需要优化的参数较多 时，更凸现了遗传算法的不足。如何提高遗传算法跳出局部最优的能力和如何提高遗传算法 的收敛速度成为近年来遗传算法的研究热点。许多学者从不同的角度对遗传算法进行了改进， 使遗传算法的寻优能力有了不同程度的提高。 目前，对遗传算法的研究主要集中在数学基础、各环节的实现方式以及与其他算法的结 合方面。其中，尤以遗传算法与其他算法相结合方面的研究最为引入关注。由于遗传算法具 有开放式的结构，与问题的关联性不大，很容易和其他算法进行结合，所以融合了其他的算 法思想和遗传算法思想的混合遗传算法成了目前改进遗传算法研究的一个重要方向。现将比 较常见的混合遗传算法介绍如下。 模拟退火遗传算法【1 7 1 。【1 9 1 j 基本思想是通过模拟高温物体退火过程的方法来找到优化问题 的全局虽优或近似全局最优解。从统计物理学的观点看，随着温度的降低，物质的能量将逐 渐趋近于一个较低的状态，并最终达到某种平衡。遗传算法的局部搜索能力较差，但把握搜 索过程总体的能力较强。而模拟退火算法具有较强的局部搜索能力，并能使搜索过程避免陷 入局部虽优解。但它却对整个搜索空间的了解不多，不便于使搜索过程进入最有希望的搜索 区域，从而使得模拟退火算法的运算效率不高。但如果将遗传算法和模拟退火算法相结合， 互相取长补短，则有可能开发出性能优良的新的全局搜索算法。目前，已有许多学者将退火 机制引入到遗传操作中，使遗传操作产生优良个体的概率增加，并使遗传算法的寻优能力有 了明显的提高。 免疫遗传算法【2 0 】。【2 1 】：人工免疫算法受生物免疫系统原理的启发，针对求解问题特征进行 人工疫苗接种，可充分利用问题本身的信息。遗传算法的全局搜索能力及免疫算法的局部优 化相配合，可大大提高搜索效率。我们可以通过注射疫苗的方法来减少遗传操作的盲目性， 加强遗传算法收敛性能，多次的测试结果证明了该改进方法的有效性。 小生境遗传算法【2 2 卜 2 4 1 ：生物学上，小生境指在特定环境中的一种组织功能。它将每一代 个体划分为若干类，每个类中选出若干适应度较大的个体作为一个类的优秀代表，组成一个 新种群，再在同一种群中以及不同种群之间进行杂交、变异，产生新一代个体群，同时采用 预选择机制或排挤机制或共享机制完成选择操作。解空间中峰周围的子空间中的个体具有相 对独立生长繁衍的特性。常用的小生境遗传算法大多在对群体进行选择操作前，计算个体之 4 内蒙古大学硕十学位论文 间的海明距离。如小于事先设定值，则对适应值低的个体处以罚函数，降低其适应值。这样 可以保护解的多样性，也可以避免大量重复的解充斥整个解空间。用小生境思想来实现遗传 算法的选择操作，使遗传算法的全局寻优能力得到了明显提高。 模糊遗传算法【2 5 】。【2 8 j ：即融合模糊优化设计思想的遗传算法，它把模糊优化和遗传算法优 化结合起来，构成一种混合优化的设计方法。其目的是利用模糊优化设计的优点，克服一般 遗传算法优化设计存在的不足，从而使得系统的优化设计更灵活、方便，取得好的设计效果。 首先，在模糊遗传算法中引入“论域 的概念。在这里，“论域”即指用隶属函数来表示遗传 算法的优化过程中所采用的约束条件的区间范围。用隶属函数来表示遗传算法的约束条件， 以使约束条件能够更容易得到表达，又能够保证遗传子代的选择中能够拥有更广泛的群体组 成。其次，在模糊遗传算法中，采用权变理论中的以变应变的思想。模糊遗传算法运用模糊 控制的思想来自适应改变遗传算法的种群规模、交叉概率、变异概率、适应度函数以及控制 策略等。 混沌遗传算法【2 9 】- 【3 0 】：混沌是自然界广泛存在的一种非线性现象，它充分体现了系统的复 杂性。混沌运动具有类似随机变量的杂乱表现，具有随机性；混沌能在一定范围内按其自身 特性不重复地历经所有状态，具有遍历性。初值条件极其微弱的变化会引起混沌系统行为的 巨大变化，具有对初始条件的极度敏感性。混沌运动的上述性质作为避免陷入局部极小的优 化搜索机制，恰好可以弥补遗传算法易陷入局部最优、收敛速度慢的缺陷。可以利用混沌的 遍历性产生初始种群，也可以运用混沌的遍历性对优良个体进行变异操作，混沌遗传算法增 强了遗传算法的全局寻优能力。 量子遗传算法【3 1 1 _ 【3 3 1 ：量子遗传算法是量子计算思想与遗传算法结合的产物。与遗传算法 类似，它也是一个产生检验的过程，但其实现跟标准遗传算法不一样。在表达方式上， 量子遗传算法将量子的态矢量表述引入染色体编码：在演化机制上，它利用量子门实现染色 体演化。这些区别，使得量子遗传算法表现出比标准遗传算法更好的种群多样性、更强的全 局搜索能力和更快的收敛速度。 还有其他的算法已被引入到遗传算法中来，遗传算法与其他算法和理论的结合已经成为 改进遗传算法的一个非常有效的手段。 1 3 本文的研究内容和结构 本文主要研究了投资组合领域中利用多目标规划的自适应并行遗传算法来解决有限投资 5 基丁改进遗传算法的投资组合研究 限制的m a r k o w i t z 模型。 本文共包括五部分： 第一章绪论中主要介绍了课题的研究背景及意义、国内外研究投资组合和遗传算法的现 状，并列出了本文的研究内容、研究方法和论文的结构，以及可能存在的创新点。 第二章现代投资组合理论中介绍了m a r k o w i t z 投资组合理论、单指数模型及多指数模型， 并分析了m a r k o w i t z 投资组合理论存在的局限性。 第三章遗传算法的基本原理主要包括遗传算法的基本概念及基本用语，并介绍了多目标 优化的几种方法。 第四章针对m a r k o w i t z 投资组合模型在实际应用中的局限性，利用多目标规划的自适应 并行遗传算法来解决多目标有限投资限制的m a r k o w i t z 模型。论述了对m a r k o w i t z 投资组合 模型的改进思路，建立了改进的m a r k o w i t z 投资组合模型，并设计了求解该模型的遗传算法。 第五章结论与展望对全文进行总结，并分析了今后的研究方向。 1 4 本文的研究方法 理论研究与应用研究相结合，在理论研究的同时，更注重实用性，为投资者的投资决策 提供一定的借鉴。 本文采用定性分析与定量分析相结合的方法，运用经济学的基础知识，实现定性模型的 研究。运用遗传算法，利用m a t l a b 软件，实现定量模型的研究。 1 5 可能的创新点 本文可能存在的创新点包括以下三方面： 第一，本文主要从理论上对m a r k o w i t z 投资组合模型进行改进。模型设计成具有投资数 量限制的投资组合问题，即在限制了各股票的投资上、下限后，投资者如何决定各股票的投 资比例，以获得未来最小的收益风险。 第二，本文利用一种新的求解方法一遗传算法，设计了求解改进的m a r k o w i t z 投资组 合模型的多目标自适应并行遗传算法。在这一过程中讨论了算子参数设计，研究了动态调整 种群的规模和种群多样性对交叉、变异概率的影响等技术，并使用m a t l a b 环境编写程序对该 模型进行求解和模拟遗传算法搜索过程。实证研究表明，该方法具有一定的合理性与科学性。 6 内蒙古大学硕士学位论文 第三，本文以我国的投资领域状况为实证研究对象，得出了适合我国现状的最优投资组 7 基丁改进遗传算法的投资组合研究 第二章现代投资组合理论 2 1m a r k o w i t z 投资组合理论评述 2 1 1m a r k o w i t z 投资组合理论 首先介绍不存在无风险资产时的m a r k o w i t z 投资组合理论。1 9 5 2 年，哈利冯科维茨( h a r r y m a r k o w i t z ) 在( ( j o u r n a lo ff i n a n c e ) ) 【1 1 与1 9 5 9 年出版的同名著作中建立的均值一方差 ( m e a n v 撕a n c e ) 模型口1 ，第一次从规范经济学的角度揭示了如何通过建立投资组合有效前沿 ( e f f i c i e n tf r o n t i e r ) 来选择最优证券投资组合，提出了通过分散化投资来降低风险的方法，从而 开创了现代投资组合理论的先河，并且使得金融理论发生了一场革命，导致现代资本市场理 论的发展。m a r k o w i t z 运用概率论和规划论的方法，提出的均值方差投资组合优化模型被 视为现代投资组合理论的基石。m a r k o w i t z 均值方差投资组合优化模型建立在一系列严格 的假设基础之上，它们分别是： ( 1 ) 投资的收益率是投资结果的恰当概括，投资者能够看到各种可能的收益率变化的概率 分布。 ( 2 ) 收益率的方差反映了投资者对风险的估计。 ( 3 ) 投资者愿意只以收益率概率分布的两个参数作为决策的基础：预期收益率和预期方 差。以符号示之，取u - - f u ，】，这里的u 为投资者的效用，口为投资者的期望报酬率，c r 2 为预期方差。 ( 4 ) 对任何给定的风险水平，有_ a u o 以及旦尝 o o h己o ( 5 ) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值，每个投资者都掌握充分 的信息，了解每种证券的期望收益率及其标准差。 ( 6 ) 资产和负债具有完全的流动性。即资产和负债具有供给的无限弹性，从而组合的购买 和销售将不影响市场的价格和预期收益率。 ( 7 ) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或者收 益率之间的协方差来表示。 ( 8 ) 每种证券的收益率都服从正态分布。资产可分，也就是说投资者可以购买股份的一部 分。投资者可以无限借入资金，也就是说投资者资金量无限大，并且税收和交易成本不予考 8 内蒙古大学硕士学位论文 虑。 在上述假设前提下，假定投资者面临着拧种风险证券的投资组合问题，为方便说明，先 定义以下符号： tf ：第f 种证券的期望收益率，其中f = 1 ，2 ，力； 一 x ，：投资于第i 种证券的资金比例，且罗y ；= i j ，v j t = l v = ( o r ) 脚：甩种证券收益率的协方差矩阵，其中= c o v ( u ，“，) 。 胩 l , x 2 ，而) t ，口= ( a l ，2 2 ，p n ) t ，厶= ( 1 ，1 ，1 ) t 投资组合的期望收益率为： 打= z7 ( 2 1 ) 投资组合收益率的方差为： = z7 叨= (2-2zj250v z , z j o ， ) 2 z 叨2 己乙 【) i = l7 = i 投资者如何在所有可能的投资组合中选择出一个满足自己投资目标的最优证券投资组合 呢? m a r k o w i t z 认为，任何一位理性的投资者都将选择并持有一个均值一方差意义下的有效投 资组合。所谓有效投资组合是指在确定的风险水平下具有最大期望回报率或者在确定的期望 收益率下具有最小风险的投资组合。因此，投资者的投资组合构建就转变为求以下一个双目 标优化问题： m a x 2 j 口= ， m l 。n 口：= ，嘴( 2 - 3 )口刍= z v z【2 。3 ) z r ，。= l 考虑一定期望收益率尸下，风险最小化模型的解，亦即考虑： 7 m i l l a 名= z 。v z jj227(2-4) 沙，。= 1 应用拉格朗l q ( l a g r a n g e ) 乘数法求解以下方程l 的最小值，就可以得到最佳比例： l = 2 7 v x + a ( ( i 一肋+ 屯( 心一力( 2 - 5 ) 这里五，和也是拉格朗日乘子。 最优解的一阶条件为： 9 基于改进遗传算法的投资组合研究 三x = v 一2 2 p 一无1 1 h = 0 = l j r 。z = o ( 2 - 6 ) a ：= ，一z 7 g = o 司得： x = v - 1 ( 元厶+ 无力( 2 7 ) 其中： 兄l = ( c - g j d 6 ) ，2 2 = ( p 口一b ) l a 有口= 厶v - 1 厶，b = i , , v - 1 9 , c = i , , v - 1 , a = a c - b 2 由盯2 p m 一，叼可得： v z = 1 ( 无厶+ 如删= 厶+ 兄2 7 = 石+ 旯2 作= ( 口彳一2 6 作+ c ) ( 2 - 8 ) 显而易见，以上方程在期望回报率l z e 一风险盯；平面上是一条抛物线，但是通常用卯来 衡量风险，而以上方程在0 p ，卯) 平面上是一条双曲线，也就是可行投资组合前沿【3 4 1 ，如图 2 1 所示。 在图2 1 中，有一个比较特殊的点，即m 点，称之为全局最小方差资产组合点，可以通 过以下方程求得坐标值： 垡：! 竺竺二竺：o ( 2 9 ) d 。 a 、 解得l z p = b a , o ；= l a , 仃p = i 万，即m 点的坐标是( 万，b a ) m 点风险最小。处于m 点以1 - 的双曲线部分就是所谓有效组合前沿。 图2 1 投资组合可行前沿图 f i g u r e2 1t h ef e a s i b l ep o r t f o l i of r o n t i e rm a p 以上求解过程中实际隐含了协方差矩阵是正定矩阵这一假设，因为只有当协方差矩阵v 是正定矩阵时，模型才有最优解。下面就详细说明协方差矩阵这一性质。 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 首先，只有当协方差矩阵v 为非奇异时，才有逆矩阵。而一个矩阵为非奇异矩阵的充分 必要条件是它的行列式不等于零。在此，用反证法来说明协方差矩阵v 的非奇异性。如果协 方差矩阵为奇异的，那么其行列式必然等于零，也就是说，v 中至少存在一行可以用其他剩 下的所有行来表示，即有： o r l = c o v ( p l ，) = z l 仃l _ ，+ z 2 盯2 j + + z t 仃i ， f 1 , 2 ，k ；j = 1 , 2 ，n( 2 1 0 ) 上式表示协方差矩阵v 中存在第i 行可以用其他k 行来线性表示，其中x l ，x 2 ，x k 为不 全为零的数。此式又可以变为： 呀= c o v ，一! i t c ：v “ 砂+ 屁c o v 鸭 鸬卜+ 心，一 仃u 2以+ ? c 2 p 2 + i - wn n _ ，r n n i 、，2 , k c o v ( 2 - 1 1 ) e o v ( z ,+ 2 kj u k 即有： 鸬= z l m + z 2 2 + + 2 k z k f l ，2 ， k ( 2 1 2 ) 因此，当协方差矩阵为奇异矩阵时，至少存在一个证券的收益率可表示为其他证券收益 率的线性组合。而事实上，在有效市场假设下，根据无套利原理，这样一个证券是不存在的。 因为如果有这么一个证券，我们就可以构造一个方差等于零的投资组合，其期望收益率也必 定等于零。之所以组合期望收益率等于零，是因为当其期望收益率大于零，就会出现套利机 会，投资者争相套利的结果导致组合收益率等于零，而当组合期望收益率等于零时，就可以 剔除这个证券，因此这样一个证券是不存在的。从而协方差矩阵是非奇异的。因为v 是非奇 异矩阵，所以其行列式i v i 0 ，那么其特征根均不为零。又因为对任意的投资组合，其方差仃； 为二次型。显然，盯2 。0 ，故该二次型为正半定。又因为v 为对称矩阵，可化为对角阵d i a g ( 2 t , 2 2 ， 厶) ，其中a ，儿，厶为特征根。由v o 可知特征根全不为零，正半定表明特征根非负，所以 其特征根全大于零，因此v 正定3 5 1 。综上所述，投资组合协方差矩阵必为正定矩阵。 下面介绍存在无风险资产时的m a r k o w i t z 投资组合理论。所谓无风险资产就是指其收益 率纷为恒定不变的常数，那么其波动率为零，即标准差町为零，这样一种资产通常可以用短 期国库券来代替，从而短期国库券的利率被称为无风险利率。 首先考虑无风险资产与任一具有收益率为a ，标准差为历的证券所形成的组合的性质。 设投资于无风险资产与风险资产的资金比例系数分别为和尼，有蜀竭= 1 ，那么投资组合 的收益率产为： = 而, u l + z 2 a j ( 2 一1 3 ) 由于无风险资产的收益率的波动率为零，则其与风险资产的协方差为零，那么组合的标 基丁改进遗传算法的投资组合研究 准差盯为：仃= z 2 0 t 综合以上两式，可得： ：，+ 兰堂盯 p 2 p l 一二_ o ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 由此可见，由无风险资产与风险资产所形成的组合的收益率与标准差之间呈线形关系。 考虑在不存在无风险资产时所形成的有效前沿图中加入无风险资产，也就是在图中纵轴上加 入一个可行投资资产点a ( 0 ，励，根据以上结论可知，a 点与有效前沿上任一资产组合点连接 所形成的直线就是由两者构建的组合集合，显而易见，此组合集合优于处于直线以下部分有 效前沿，而由a 点与有效前沿上的所有点连接所形成的射线族中，以相切于有效前沿的射线 的斜率最大，该切点可以通过以下过程求得。 因为有 仃2 = ( a 比2 p - 2 b p p + c ) a ( 2 1 6 ) 令口= ，= 一2 b a ，7 = c ，则上式可变为： o - p = g 刍邓p + ( 2 17 ) 那么孥：2 a p p + f l ( 2 - 1 8 ) d | l 口2 0 - p 假设所求切点为m ( 用，) ，则有： 2 a _ j u m 一+ p ：, u m - f ( 2 - 1 9 ) 2 锄 综合以上各式，可解得： f 2 ，+ 口j - j 鳓2 丽面( 2 2 0 ) i 仃脚= 口。2 + 。+ 7 以上就是所求切点m 的坐标。现在我们来重新绘制有效前沿副3 6 1 。如图2 2 所示，直线 a m 就是有无风险资产与切点组合m ( 可以看作是一种风险资产) 所形成的各种可能投资组合 的集合。从图2 2 明显可以看出，此组合集合要优于完全由风险资产所形成的组合集合。从 而加入无j x l 险资产后组合有效前沿变为直线a m 。 1 2 内蒙古大学硕七学位论文 弛p m a ( 0 , p ) 图2 2 含无风险资产的投资组合有效前沿图 f i g u r e2 2t h er i s k - f r e ep o r t f o l i oe f f i c i e n tf r o n t i e rm a p 2 1 2m a r k o w i t z 投资组合理论的局限性 m a r k o w i t z 投资组合理论是历史上首次将投资活动中的风险运用现代微观经济学和数理 统计的方法进行全面系统研究的现代金融理论，在充分肯定其价值的同时，应正确认识该理 论存在的局限性。 第一，证券市场并非是有效的。据美国财务学教授尤金法玛( e u g e n ef a m a ) 的有效市场 假说，只有当股票市场上股票价格能够及时且不偏不倚地充分反映市场上的所有信息时，市 场才是有效的。有效的股票市场是一个完全竞争性的市场，市场参与者都能够及时地、不以 任何偏见地获得所需要的信息，信息的交易成本为零【3 7 】- 【3 引。由于市场本身可能存在失灵的现 象，完全有效的股票市场是一种理想境界，现实中所存在的只是次级有效的市场。 第二，在证券交易过程中存在交易费用。m a r k o w i t z 模型没有考虑证券组合投资过程中的 交易费用，实际上，交易费用是投资管理不可忽视的问题。 第三，投资者未必都是理性的，并且未必都是风险厌恶的。在实际的投资活动中，投资 者的投资决策受到教育程度、专业知识、投资心理受多方面的影响，导致投资理性与风险偏 好程度存在一定的差异。投资者未必都是理性的，并且未必都是风险厌恶的。 2 2 单指数模型 单指数模型由威廉夏普( s h a r p e ) 首先提出，其基本思想是认为证券收益率只与一个因素 有关【1 0 】。假定每种证券或多或少地受股票市场股价指数的影响。 当投资者观察证券市场，可以发现，当股价指数上涨时，大部分股票的价格也上涨；当 1 3 基】改进遗传算法的投资组合硼f 究 股价指数下跌时，大部分股票的价格也下跌。这说明，各种证券对市场变化有共同的反应。 因此，可以用一种证券的收益率和股票市场股价指数的收益率的相关关系得出以下模型： 冠= 爿+ 尼i ，+ 蜀 ( 2 - 2 ) 式中尼为第f 种证券的收益率；如为股票市场股价指数收益率；a 为证券收益率中独立 于市场的部分；p 为证券收益率对股价指数收益率的敏感程度，也即测度