（应用数学专业论文）保险公司的投资与再保险.pdf

a b s t r a c tm a t h e m a t i c a lf i n a n e ei san e w intersections u b j e c tw h i c hr e c e i v e s hi曲attentiorli ni n t e r n a t i o n a lf i n a n c ca n da p p l i e d mathematicsc o m m u n i t yt o d a y i ti l w o l v e st h e m o d e r na s s e tp r i c i n ga n dp o r t f b l i o investmento fm o d e r nf i n a n c i a l theory ，a n di n c l u d e s m o d e r nn l a t h e m a t i c a l theory)sucha ss c o d l a s t i c a n a l y s i s ，s t o c h a s t i c n t r o l ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y l mathematicals t a t i s t i c sa n ds oo n r e c e n t l y l p o r t f o l i o i n v e s t m e n t o fm o d e r nf i n a n c i a lt h e o r y i nm a t h e m a t i c a l 丘n a n c e hasb e e na p p l i e di n t o a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，工tm a i n i ys t u d i e s t 1 ep o r t f o j i o t h e o r y of i n s u r a n c e c 。m p a n y l a n dgiadu a l l yb e c o m e sa n e ws u b j e c t i t st h e o r yn o to n l ye n r i c h e sa n dd e v e l o p st h ep o r t f o l i o i n 、髑t m e n tt h e o r y b u ta 1 8 0p r o m o t e st l ed e v e l o p m e n to fm a u yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c 出矗e l d i n 拙es a m et i m e ，i a l s 。p i 捌d e st h e 。r yr e f e r e n c ef o rt h em a n a g e m 锄to f t h ei n s u r a n c ec o m p a 肌h u s u 甜l y ，t h es u r p l u so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yi sm o d e l l e ( 1a st h ec l a 8 s i cc r a m e r - l u n d b e r gr n o d e l w ew i 】l 矗n dt h eo p t i m a ld y n a i n i ci 】v e s t m e n ts t r a t e g ya n dt h eo p t j m a lr e i n s u r a n c es 打a t e g yw h i c hm i n i m i z ei n f i n i t et i m en l i np r o b a b i l i t y t h em a i nc o n t e n t s 盯el i s t e da sf o l l a w s i nt h ec l a s s i cc r a m e r l u n d b e r gm o d e l ，t h eg e n e r a lr e i n s u r a n c es t r a t e g yi si n t r o d u c e d ，t h eh j be q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t y1 i n d e rt h eg e n e r a lr e i n s u r a n c es t r a t e g y i so b t a i n e db yu s i n gt h em e t h o do ft h ed y n a m i cp r o g r a m m i n g t l l ee x i s t e n c eo fa s m o o t hs o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d j n gh j be q u a t j d na 1 1 dt h ev e r i f i c a t i o nt ，h e o r e ma r e p r o v e d t h em a r t l i l g a l eo p t i m a l i t yp r i n c i p l ei sa p p i i e dh e r et os t u d yt h ea s y m p t o t i c r u i np r o b a b i l i t i e su n d e ro p t i m a ls t r a t e g i e s a s y m p t o t i er u i np r o b a b i l i t i e sa n dt h e o p t i m a lc o n s t a n ts t r a t e g yw i t he x p o n e i l t i a lc l a j h l sa r eg i v e n t h eo p t i m a ii n v e s t m e l l ts t r a t e g yw i t h o u r e i n s u r 挑c es t r a t e g yo fi 1 1 s u r a n c ec o l l l - p a n yi sc o n s i d e r e d1 l n d e rt h ea s s u h l p t i o no ft h es t o c kp r i c ei nt h em a r l ( e tm o d e l e db y g e o m e t n cb r o w n i a nm o t i o n t h eg e n e r a lo p t i m a lc o n t r o li sg l v e na n dt h em a r t i n g a l e o p t i m a l i t yp r i n c i p i ei 趴l s e ( ih e i et op r o v ei 乇s 、，e r l 丘c 乱i o nt h o o r e n1 1 1t h ec a s eo f l l m i n i m i z i n gr u i np r o b a b i l i t y ，t h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yi sa n a l y z e dc o n c r e t e l y ) a n dai n t e g r a t ed i 雎l e n t i a le q u a t i o n 。ft 1 1 ev a l u e 如n t i o ni so b t a i n e d t h en u m e r i c a l r e 8 u l t so ft h em i n i m u mr u i np r o ) a b i l i t ya r ep r e s e n t e df o re x p o n e n t i 出c l 撕m s a ne x p o - n e n t i a l i n e q u a l i t yi sa l s oa b t a i n e df o rt h em i n i m u mr u i np r o b a b m t yb yt h em 盯t i n g a l e a p p r o a c h ， t 1 1 eo p t i i n a l i n v e s t m e n ts t r a t e g yw i t ht h eg e n e r 出r e i n s u r 衄c es t r a t e g yo ft h e o r i g i n a li n s u r a n c ec o m p a n yi 8 c o n 8 i d e r e dw h e nt h es t o c kp r i c ei sm o d e l e db yg e o - m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nt h eg e n e r a lo p t i m a lc o n t r 0 1o ft h i sm o d e li sg i v e n t h e h j b e q u a t i o no ft h eo p t i m a lc o n t r o l i so b t a j n e db yu s i n gt h em e t h o do ft h ed y n a m i c p r o g r a m m i n g ，a n dt h ev e r i 丘c a t i o nt h e o r e mo ft h eh j be q u a t i o ni sp r o v e db yt h em a 卜 t i n g a l eo p t i m a l i t yp r i n c i p l e t h ee x a m p l e so fp r o p o t i o n a lr e i n s u r 8 血c ea n de x c e s so f l o s sr e i n s u r a 肌c ea r ea n a i y z e di nd e t a i l f i n a l l y ，t h ee s t i m a t ef b rt h er u i np r o b a b i l i t y u n d e rt h eo p t i m a ls t r a t e g i e si sg i v e b yt h em a r t i n g 以ea p p r o a c h k e y 、釉r d s ：c r a n l e r l u n d b e r gm o d d ；r u i np r o b a b i l i t y ；h j be q u a t j o n ；t h ev e r i f i c a - t l o nt h e o r e m ；o p t i m a lc o l l t r o l 1 l l 第一章绪论 1 1 保险公司的最优投资与再保险策略的研究现状 保险公司的最优投资与再保险策略是当今金融数学研究的热点问题之一它的理 论不仅丰富和发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融学，保险学之 间的联系，对数学的发展起了推动作用本节就有关保险公司的最优投资与再保险策 略的研究现状和研究方法进行综述 近年来，利用随机控制解决保险问题受到越来越多的关注。这是由于保险公司可 以投资于股票市场，可以采取再保险策略，也可以在特定限制下支付红利，使特定目 标函数最大早在1 9 6 7 年，k a r lb o r c h 在伦敦皇家统计协会中作报告就指出：控制 过程理论好像是为保险公司已经奋斗了超过了一个世纪的问题所制造的泰勒模式如 果保险公司和工程师已经意识至i 他们一直在研究同样的问题，并且已经联系超过了五 十年，考虑这个理论如何发展将会是非常有趣且有用的这一点也说明了一个高度具 体化的问题，当给出合理的数学公式表示时，与其它一些看起来不相关的问题是一样 的 直到1 9 9 4 和1 9 9 5 年，利用随机控制研究保险问题的文章才开始出现，例如m a r t i n l 州2 9 ，b r a c k e t t 和x i a 3 或b r o w n e 4 从那时起，这个领域迅速发展，s o r e na s m u s s e n ， m i d l a e lt a k s 甜，b j a m eh o e j a a r d ，h a n s p e t e rs c h m i d l i 等人写了大量文章在这些研究 中，按保险公司盈余过程的不同可分为两类；一类是经典的c r 沁e l u n d b e r g 模型， 另一类是近似扩散模型；按最优化标准分也可分为两类：一类是以保险公司的破产概 率最小作为优化标准，另一类是破产时刻预期累计收益最大，如效用最大、红利支付 最大等作为最优化标准下面将按照模型的不同介绍该领域内的主要结果 1 9 0 3 年，l u n d b e r g 引入了一个基于齐次? 白松理赔过程的累计风险过程，从那时 起，破产概率的估计一直是风险理论研究的中心问题其中最著名的结论是如果理赔量 指数矩存在，破产概率与初始盈余呈指数递减关系( 见g c r b e r h u 1 4 ，a s n u 8 s e n s 1 ) 近年来，很多人提出了更一般的问题：如果允许保险公司投资于风险资产( 比如风险 资产价格服从几何布朗运动) ，则他所能获得的最小破产概率是多少，他所能采取的最 优策略是什么，这样做是否比不进行投资所获得的破产概率小? 如果他采取再保险策 第一章绪论 略，他所能获得的最小破产概率又是多少，对应的再保险策略是什么? 对于最优投资问题，当股票价格服从几何布朗运动时，p a u l s e n 和q e s s i n g 3 3 1 在 所有盈余都投资于风险资产的假设下，研究了破产概率的近似估计问题；k a l a s l l n i k o v 和n o r b e r g 2 6 研究了同样的问题n o v o l a ，k a b a n o v 和p e r g a i n e n 8 h c h i k o v 1 1 】研究 的是投资常数比例的财富于风险资产上在上述情况中，当理赌量指数矩存在时，破 产概率以初始盈余的负指数幂递减。h i p p 和p l u m ( 17 1 8 】f 1 9 ) 考虑了更一般的情 况，并分析了破产概率最小标准下的最优投资策略他们得到了相应问题的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m 舳方程，证明了解的存在性和识别定理，然后给出了指数理赔分布和特 殊参数值时的详细解这些详细解表明在指数理赌分布时，最小破产概率与初始盈余 呈指数递减关系；j g a i e r ，p g r a n d i t s 和w s c h a c h e r m a 弹r 1 2 1 在同样的模型下利用 鞅方法考虑了破产概率的近似估计问题，并得到了在近似最小破产概率下的最优投资 策略是常数，与初始盈余无关，这反映了破产概率最小的策略是保险公司所采取的最 保守的一种策略 h a n s p e t e rs c h m i d l i 4 1 】也考虑了这个问题，他研究了当理赔分布 是次指数分布时最优策略下破产概率的近似问题，并得到了在此种情况下，当初始盈 余趋向于无穷时，最优策略也趋于无穷 对于再保险问题，一般主要集中在比例再保险和超额再保险的研究上h a n s p e t e r s c h i m i d l i ( 3 5 4 0 ) 分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额再保险下的最 小破产概率的c r a m e p l u n d b e r g 近似 c h r i s t i a nh i p p 和m i d l a e lv o g t 2o 研究了最 优超额再保险他们证明了相应的h j b 方程存在光滑解，并给出了h j b 方程的识别 定理对指数理赔分布p a r e t o 分布给出了数值解 为了减少风险，保险公司可以在采取投资策略的同时采取再保险策略一直以来， 这方面的研究较少 h a n s p e t e rs c h m i d l i ( 3 6 f 3 7 f 3 8 】 3 9 ) 对这个问题作了研究，他对 理赔分布在指数矩存在，不存在两种情况下分别得到了破产概率的c 1 a m e r l u n d b e r g 近似他在2 0 0 2 年利用鞅方法，进行测度变换，考虑了当理赔分布指数矩存在时的最 优投资和比例再保险策略，但他并没有详细地给出最优策略，却给出了此种情况下的 破产概率的c r a m e r - l u n d b e 职近似2 0 0 4 年，他又研究了理赔指数矩不存在的情况下 同样的问题此时为了保证l u n d b e r g 指数的存在，得到了最优再保险策略是0 ，这样就 将问题转化成了没有再保险策情况下保险公司的最优投资问题他证明了比例再保险 策略收敛于0 ，最优投资策略收敛于一个常数，并给出了破产概率的c r a m e r l l ，- n d b e r g 2 第一章绪论 近似但是在这两篇文章中，。h a n s p e t e rs c h m i d l i 没有给出h j b 方程的识别定理， 且没有说明解的存在性 在c r a m e r - l l ，n d b e r g 模型下，以破产时刻预期累计折现收益最大为目标函数的文 献有h i p p 1 9 】等，以红利支付为目标函数的文献有p a b i oa z c u e 和n o r am u l e r 3 1 ， a s 删s s e ns 和t a k s a r 1 ，b h j g a a r d 和m t a k 8 a r ( 2 2 2 3 2 4 】 2 5 ) ，j o s t e i np a u l s e n 3 2 等，其中p a b l oa z c u e 和n o r am u l e r 3 1 】给出了最优比例再保险策略及红利支付 的粘性解 虽然经典c r a m e r l u n d b c l g 模型近似于保险公司的现实状况，但在经典c r a m e r l u n d b e r g 模型中，很多问题无法得到闭式解，故近年来，很多文献将其近似为扩散 模型，且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时，扩散模型也确实能很好的 模拟保险公司的动态盈余过程 s i db r o w n e | 4 1 研究了近似扩散模型的最优投资问 题，他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司扩散过程模型中的布朗运动不独立 时，得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略是常数，并利用光滑粘贴条件详细 计算了最小破产概率 h a n s p e t e rs c h m i d l i 3 5 研究了扩散模型中的最优比例再保险 策略，他得到了此时的最优策略是一个常数，并给出了此常数值以及破产概率的具体 形式 m i c h a e li t a k 8 a r ，c h a r l o t t em a r k u s s e n 4 2 1 假定公司过程为扩散过程，公司盈 余全部投资于股票市场( 股票价格服从几何布朗运动) 时，在破产概率最小限制下保 险公司所采取的最优比例再保险策略b h 翻g a a r d 和m t a k 8 a r 2 2 考虑了扩散模型 中，在预期折现收益最大限制下的最优比例再保险策略对于红利支付的文献可参见 a s n m s s e ns 和m t a k s a r 2 3 ，b h 咖g a a l d 和m t a k s a r ( 2 4 】 2 5 ) 近几年这些问题在国内也引起了关注张连增4 7 1 研究了古典风险模型中再保 险对调整系数或破产概率的影响说明了当初始准备金较大时，选择使调整系数最大 的自留水平近似等价与使破产概率最小的自留水平何树红，夏梓祥4 4 1 研究时间盈 余风险模型中再保险对调节系数或破产概率的影响，分别讨论了理赔分布为均匀分布 和指数分布时，调节系数或破产概率与自留水平的关系，并得到相应的表达式刘家 有，刘再明45 讨论了在固定利率下含投资因素、红利分配因素的两种离散型破产模 型，分别得出了相应模型下关于保险公司的破产概率、期望寿命的结论，推广了没有 考虑利率因素的离散型破产模型的有关结论张波，代金f 4 6 1 研究了经济环境下引入 投资的古典风险模型的破产概率，在保险公司有风险投资的情况下，利用鞅方法得到 3 第二章原保公司的最优再保险策略 2 1 引言 c r a m l m ( i b e 嶝模型在破产概率最小限制下最优再保险策略与其最小破产概 率的近似估计问题一直以来在保险投资组合研究中受到极大关注但目前所研究的文 献主要集中在最小破产概率下比例再保险和超额再保险的选择问题上如i h n s p e t e r s c h l m d l i ( 【3 5 4 0 ) 分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额再保险策略下 的最小破，“概率的c r a m e r l u n d b e r g 近似 c h r i s t i a nh p p 和m i c h a e 】v o 卧 2 0 研究 了最优超额再保险他们证明了相应的h j b 方程存在光滑解，并给出rh j b 方程的识 别定理但对于最小破产概率限制下傲的再保险策略的研究较为薄弱所以，本章主 要研究了最小破产概率下一般再保险策略的选择问题，并证明了相应价值函数存在光 滑解，并给出厂h j b 方程的识别定理，同时给山了最小破产概率的g r a m e r - l u n d b e r g 近似 对于最优再保险策略，依照醇p 3 1 给出如下规定；设a 表示所有可容许策略空 间，且对。4 ，设9 ( n ) 表示理赔量为y 时由保险公司支付的部分，则，一目( a ) 由再保险公司支付假定o 9 ko ) ! z ，且z 一口( t ，o ) 对所有的n 4 为非减函 数另外，4 是一个紧的拓扑空间，o 一9 ( z ，。) 对所有的z 三0 是连续函数最后， 假定存在i a 对所有的z20 满足g ( z ，。) = z 假定采取再保险策略n 时的再保 费为c ( n ) ，则c ( n ) 为n 4r 的连续函数，且c ( a ) = o 一般来说，再保险合同的定价原则有两种：一种是期望值原则，即c ( n ) = a p e y 一 9 ( 1 | n ) ，p 1 ，如果a p f 吲 p 则称这个再保险合同是昂贵的，否则称其为便宜再保 险，另一种可选的再保险定价原则是方差值原则，即c ( u ) = ，a f ，一g ( 】in ) 】+ 肼f ( ，7 一 目( e ) ) 2 ，p 1 ，当a e m + p a e 【y 2 c 时，再保险是昂贵的，否则是便宜再保险 本文中所假设的再保险都是昂贵的，因为若再保险合同是便宜的，则保险公司可以将 所有的风险转移给再保险公司，即保险公司采取理赔全部再保险，这时若保险公司的 初始盈余不为零，则其破产概率为零，这是不合理的 常用的再保险合同有比例再保险和超额再保险当9 ( n ) = 。0 o 茎1 时， 则称。为比例再保险策略，即当理赔量为y 时，保险公司支付n y 再保险公司支付 则称。为比例再保险策略，驯当理赔量为y 时，保险公司支付n y 再保险公司支付 r 堡e 里一亟堡坌重盟量垡要堡建箜堕 1 l 。伽 厶。，酬 = a k 一1 ( z ) 一a e k z 一9 ( n ) ) 由于n 是任意的，故 k ( z ) 一e 嘛扛一g ( k n ) ) 】、 c c f n ) o以( z ) 所以，+ 。( z ) ( z ) ， 故v 7 ( 2 ) 。! o 是一个递减的连续函数序列 又由于k ( z ) o ，故序列1 7 7 ( z ) 。o 收敛于一个函数厂( z ) ，且有y ( s ) ：1 一 f ，( “) 如则v ( z ) 是一个非减的连续函数且满足 m 卜。必a 型等笺竽吼 只需证明，( z ) 的连续性就有矿7 ( z ) = ，( z ) 是连续的，且v ( z ) 满足方程( 2 1 2 ) 又县恐( z ) = 厂( 。) ，故当z z o ，有 溉m 卜恕恕( 。) 2 规蛾k ( 。) 2 熙k ( 。) = m 。) _ z 0 z _ z 0n 叫。 n _ 。z z n 7 _ t l 、。u ，”， 所以，( z ) 是连续的 口 注：定义 m ，。型 掣剑 ( 2 。) 其中矿( z ) 是h j b 方程( 2 1 2 ) 的光滑解，则( 2 1 2 ) 式中的下确界在鱼snsa 中取 得可分为两种情况： 1 o = 6 ，即无再保险的情况，此时( 2 2 2 ) 为 v ( z ，a ) ：a ! f 兰! 二星 ! ( 兰二! 卫 2 盟 o a ( 2 2 2 ) 式变成 ! ( z ) 一e y 扛一9 ( y n ) ) 】、 c c f o ) y 。) 关于。是连续函数，则由一阶条件得 、a e v 扛一夕( n ) ) j 。一 a n f 2 2 3 1 第二章原保公司的最优再保险策略 一( y ( 。臻一g ( ，。) 一y ( x ) ) p t t o + a e 【v ( 砑一9 ( k o ) ) 一v ( ) ) d u j 0 由引理( 2 2 1 ) 知 e f 0 ，三，。碍刊跏) 叫( 鼍) ) 瑚e 魄e v ( 程刊m ) ) v 川 ，t t o 0 n t t 4 。” 对( 2 2 4 ) 式两端取期望得 r r o 矿 ) = e y ( x & ，。) j e y ( x ：) ( c 一危( n ) ) + a e y ( 。磋一夕( k ，a ) ) 一y ( 义：) 抛 j 0 又由h j b 方程( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 得 矿( 瑶) ( c 一 ( 。) ) + a e y ( 。k 一9 ( m ，。) ) 一v ( 群) d n o ( 2 2 5 ) 故 v ( z ) 2e y ( x 聂，。) ， 让_ o 。，则 v ( z ) 2v ( ) 尸 ，= 。) = p 丁。= 。) ， 所以， y ( z ) 酽( z ) 当。= 矿时，( 2 2 5 ) 式等于零重复上述步骤可得v ( z ) = 尸 r “= o 。) 即 y ( 岱) = 6 ”( z ) 且有对任意可容许策略。，有扩( 。) 铲( z ) 口 2 3 破产概率的近似估计 对于经典的c r 锄e 卜l u n d b e r g 模型，当理赔指数矩存在时，破产概率随初始盈余 指数递减( 参见g e b e r h u 1 4 】，a s m u s s e n ，s 2 ) ，当理赔是后尾分布时，也存在大量关 于破产概率估计的文章( 如e m b r e c h t s p 和v e r a v e r b e k e ，n 1 0 等) 这里解决如下问 1 3 第二章 原保公司的最优再保险策略 1 4 题：考虑若采取常数再保险策略，对最优策略下的破产概率作出估计，并在此最优策 略下，给出破产概率的上界 记 ：日一r + 是理赔量y 的矩生成函数，满足 ( o ) = o ， ( r ) = e e 一1 假定存在r 。( o ，。 ，使得当r r 。时 ( r ) o o 且当r 一7 o 。时， ( r ) 一o 。显 然函数h ( ) 在 o ，r 。) 上是递增的，凸的，连续的( 参见g r a n d e l l ( 1 5 ) 令 。( r ) = e e ”9 ( e 。 1 因为9 ( y ) n ) y ，所以总有k ( r ) h ( r ) ，故存在r o 。( o ， ，使得当r 0 r 。时 k ( r ) a e y 时，破产概率 妒( z ) e “( 。( 2 3 1 ) 其中v 是方程 a ( r ) = c r( 2 3 2 ) 的解这就是著名的l u n d b e r g 不等式v 被称为l u n d b e r g ( 或调节) 系数 若9 ( y o ) 为一般函数，定义： s u p ( c c ( 。) ) r a 。( r ) ) = o ， ( 2 3 3 ) n 且 这里的a 为常数策略记使得( 2 ，3 3 ) 式左端达到最小的常数策略为i ，相应的r 为i 则称f 为策略a 的l u n d b e r g 系数 定理2 3 1 对于模型( 2 1 1 ) ，假定j 旦1 则保险公司的最小破产概率砂( z ) 有上 界，即 砂( 。) e 。( 23 4 ) 其中o o 存在，则有i 对于4 ，定义过程 下面利用风险理论中g e b e r 的方法得到鞅不等式 引理2 3 2 设z o ，则存在策略i 4 ，a 璺，使得方程 有唯一解f ，o i r o 。，且过程m ( f l z ，二，f ) 关于滤子五是个鞅 证明，i 的存在性和唯一性由图易知 f 1 ：指数理赔日= 1 ，a = l ，c = 1 5 ，p = 17 时，a = o - 5 0 4 8 5 ，c ( a ) = o 8 4 1 7 6 ，其中， 玑( r ) = r = 1 5 r 2 = 虻妥业= o 6 5 8 2 4 n ( r ) = 南，7 k ( r ) = 啬 器对应的”= 0 3 2 6 3 产= o 4 7 4 3 若j = 堡即e c ) = o ，故e f e ”( 7 - 。1 = 1 ，此时，r = o ，这不可能是最优的 当= a 时，即9 ( y 】n ) = y ，k ( r ) = h ( r ) 即为无再保险的情况，此时方程( 2 3 3 ) 的 解为f = 当旦 n a 时，由9 ( f 。) y 知o o ， 彤( ) ：芝o ) 是一个定义在完备的概率空间( q ，p ) ，上的标 准的布朗运动其中( 五) 是一个由 w ：；o 茎sst ) 生成的自然滤子流 2 ( ) 第三章 保险公司的最优投资策略 对于给定的非负函数目( z ) o ，实值有界连续函数9 ( z ) 和一个函数 ( z ) ，以及f 和u ，给出如下定义： v a ( z ) 坛ae 噼1 d s 、 考虑下面最优控制问题： v ( z ) = s u pv 4 ( 。) ( 3 ，2 。1 ) 假定最优策略存在，设为a + ，则4 + = a r gs u pv 4 ( z ) 其中一4 为可容许策略集， b 记为在弱= z 下的条件期望这里只考虑y a ( z ) 0 ，”( z ) o ，v ”( 。) o ，若令v 7 ( o ) = 1 ，则y ( o ) = ； 令天= 学，i = 学，则方程( 3 2 1 0 ) 可写成 硼m - y ) 叫卅砒) = i 错 ( 3 2 1 1 ) 设f ( 口) 为理赔分布的分布函数，h ( ) = 1 一f ( 可) ，由分步积分公式 e v ( z y ) 一v ( z ) = 【v ( z 一可) 一v 扛) d f ( 可) = 一v ( o ) 日( z ) 一v7 ( z g ) h ( g ) d ， 代入f 3 2 1 1 ) 得 一天( 删卅帮k m ) = ；错 令u ( 。) = v ( z ) ，则方程( 3 2 1 0 ) 转化为 一天知m 小川卅圳一；错，邶) _ l a u ( z g ) h ( 可) d y + i ( “( z ) 一日( z ) ) 一；! 署号兰 _ ， u ( o ) = l j 0、山， 3 2 2 指数理赔的存活概率 下面以指数理赔为例子，给出破产概率及最优策略的详细解 例3 2 3 假定理赌分布的概率分布函数为f ( g ) = 1 一e ，则日( ) = e 却，令 u ( z ) = u ( z ) e 。，贝0 警= 智，( 3 z 1 4 ) ( z )u ( z ) 、。7 2 5 挖 埒 2 2 第三章保险公司的最优投资策略 代入方程( 3 2 1 3 ) 得 。 一i 上。”( ) d 可+ ( ”( z ) 一1 ) 令，( z ) = 丛；云竿盟，( 3 21 5 ) 式两边微分得 ( 32 1 5 ) 而( 卅酣k ) = ；志扣( 州b ) ( 硝( 圳 两边同除以 ( z ) 得 ( 一天+ i 一；) ，2 ( z ) 一护( z ) = 抄( 。) 一m ) ) ( 3 2 1 6 ) 引入 a = ；( 一；一麦) ，饥= ( a 2 + 去) ， 仇= m z q ， 方程( 32 1 6 ) 变为 ，( z ) = 一2 已，( z ) ( ，( z ) 一，n ) ( ，( z ) + ，y 2 ) 利用 赤= 蠢b 一半+ 点+ 点，( i 厂一7 1 ) ( ，t )，y l m ( 1 l + 舶) 。， 1 ，一7 1 。，一讹1 得 石高 一( 7 + 仇) 1 0 9 i ，i + 仇l 。g i ，一，y ，i + ，y ，l o g l ，一1 2 | = 一2 i + 七， 是任意常数，或者 1 1 一芋 ”1 1 + 孚1 7 l = e 一1 l + m 净， ( 3 - 2 1 7 ) 7 是另一常数由于4 ( o ) = o i ，7 ( o ) = 1 ，故由( 3 2 4 ) 式知v ”( o ) = 一o 。矿7 ( o ) = 1 v ”( 0 ) = 一o 。，即“( 0 ) = 1 “7 ( o ) = 一。o ，所以，( 0 ) = 。，故7 = 1 由于( 3 2 1 7 ) 右端不为零，故左端也不会为零，所以，( z ) m ，因此 ( 1 一芋) ”( 1 + 秒玎m 缈 ( 3 2 1 8 ) 2 6 第三章保险公司的最优投资策略 这时最优策略小( z ) = 一善努裔= 南是有界的在这种情况下，超越方程( 3 2 1 8 ) 可以被详细的解出来例如，若i = i + j ，则n = o ，y - = 他= 去，且 出，= 蠹蒜 a + ( z ) = 2 e ( 1 一e 。) 为了计算v ( z ) 因为v ( 。) = 1 ，所以需要知道fu ( s ) d 5 的值注意到u ( o ) = 1 ，a v ( o ) = c y 7 ( o ) 因此 y 扛) = 矿( 。) ( 1 + ：z 。钮( s ) 幽) ， 其中 v ( o ) = ( ，+ ；z 。札( s ) d s ) 一1 3 3 破产概率的近似估计 这一节考虑最优投资策略下破产概率的近似估计问题 定理3 3 1 假定保险公司的盈余过程满足模型( 31 4 ) 并且o o 则保险公司投 资于股票市场的最小破产概率妒( z ) = 1 一v ( z ) 有上界 妙( z ) e 。2 ，( 3 3 1 ) 其中o i r 。是下列方程的正解 a ( r ) 一+ 篆 ( 3 3 2 ) 如果e y ，即如果p o ，可 以得到妒0 ) 的严格上界如果没有假设e 【y o ， 即极小破产概率以指数递减 为了以后的应用，引入下列过程，对固定的常数z ，r r + 和固定策略a 4 ， 2 7 第三章保险公司的最优投资策略 下面利用风险理论中g e b e r 的方法得到鞅不等式 引理3 3 2 设z o ，且p o ，盯0 ，则存在唯一的o i r o 。满足下列方程 州铲篆厅 对于此i 和常数策略过程a ( t ) = 巷；，过程m ( ，z ，a ，i ) 关于滤子五是个鞅， 证明，i 的存在性和唯一性由图易知 i 2 ：指数理赔口= 1 ，a = 1 c = 1 5 ，“= o0 6 ，口= o 1 5 时，其中，1 ( r ) = r = 1 5 r ，f 2 ；r + 基= 1 靳+ o 0 8 ，如( r ) = 击，对应的y = o 3 2 6 3 ，f = o 4 0 7 定义u ：( 一。，+ 。) o ，r 。) 一r ， u ( a 、7 ，) ：a a ( r ) 一( c + a 芦) ，+ ：a 2 玎2 r 2 易得，u ( a ，i ) = o 现在为了证明过程m ( t ，z ，a ，i ) 关于滤子五是个鞅，按照 a s m u s s e n 【2 】的方法进行证明 对任意的t2o ， 2 e m ( t ，o ，a ，i ) = e e 印 一i ( c t 一k + a ( 肼+ 盯m ) ) 】 2 8 叭 口一a一叫 e目 、，k 札甜 r r l p zee a件一叫 e 第三章保险公司的最优投资策略 = e i ( c + p h e h ( f ) e ( a 2 口2 产m = e u ( ，) = 1 由于x ( t ，z ，4 ) 具有平稳独立增量，故当0 st 时， e 阻亿z ，鼻，i ) i 五j = ei x ( z 。，a f 五j = e x ( 。尚j ) e e 一( x ( t a ) 一x ( 。而 ) 1 五 = e 一9 x ( 而a ) e e i 僻( t 一，z ， ) 一x ( o 尚 ) 】 = e 。x ( 6 而a e f x ( r 一，o ，a ：e i x ( 啦， ) = m ( t ，z ，i )