（计算数学专业论文）稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 可视化是利用己知数据，生成图形图像并可进行交互处理的技术。它不仅包括科学 计算数据的可视化，也包括工程计算数据的可视化以及测量数据的可视化。 本文基于辽河油田勘探开发研究院委托研发项目火烧驱物理模拟数据采集与图像 处理系统开发研制，对稠油热采温度场可视化进行研究。在稠油热采过程中，由于受 测量工具和工作环境等因素制约，只能获取空间中有限的、散乱的温度采样信息。仅仅 通过这些采样值是不能有效的刻画空问温度场的变化，必须对采样数据进行数据加密和 规则化处理。通过数据加密能够准确、逼真的捕绘温度场变化，数据的规则化处理则便 于组织、管理数据及可视化操作。插值法是对数据加密的有效方法，通过插值计算可以 估算某些无法获取的数据，提高数据密度。目前，基于二维空间的插值方法已有比较深 入的研究，随着计算机软硬件技术的不断发展，以及三维数据处理工具的出现，使得三 维空间数据插值及其可视化成为可能。 本文的工作就是根据空间插值方法的基本原理，讨论距离反比例、径向基函数和克 里格三种空间插值方法。通过对各插值方法的分析，并结合热采试验数据，验证各插值 法的插值效果，为火烧驱物理模拟数据采集与图像处理系统开发研制项目开发提供 参考。最后，我们在采样数据后处理及可视化模块开发基础上，实现各插值算法，结合 图形图像开发软件包v t k ，将三维温度场插值结果可视化显示。 关键词：空间插值；距离反比例；径向基函数；克里格法；可视化 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 c o m p a r i s o no fi n t e r p o l a t i o nm e t h o d su s e d i nt h e r m a lr e c o v e r yo f h e a v yo i l a n dt h ev i s u a l i z a t i o no ft e m p e r a t u r ef i e l d a b s t r a c t t h ev i s u a l i z a t i o nt e c h n i q u ei ss u c hat e c h n o l o g yt h a tg e n e r a t e sg r a p h , p i c t u r ea n dh a st h e p r o p e r t yo fi n t e r a c t i v ep r o c e s s i n g i ti n c l u d e sn o to n l yt h e v i s u a l i z a t i o no fs c i e n t i f i c c o m p u t i n gd a t a ，b u ta l s ov i s u a l i z a t i o no fc a l c u l a t e da n dm e a s w e dd a t a t h ep u r p o s eo ft h er e s e a r c ho nv i s u a l i z a t i o no fh e a v yo i lt h e r m a lr e c o v e r yi sb a s e do n t h ep r o j e c t p h y s i c a ls i m u l a t i o no fc o m b u s t i o nd r i v ew i t hd a t a a c q u i s i t i o na n dt h e d e v e l o p m e n to fi m a g ep r o c e s s i n gs y s t e m ，w h i c hi se n t r u s t e db yl i a o h eo i l f i e l de x p l o r a t i o n a n dd e v e l o p m e n tr e s e a r c hi n s t i t u t e a tp r e s e n t ，d u et or e s t r i c to fm e a s u r e m e n tt o o l sa n dw o r k p l a c e ，w ec a l lg e tl i m i t e dt e m p e r a t u r es a m p l e s s oi ti sd i f f i c u l tt od e p i c tt h et e m p e r a t u r ef i e l d e f f i c i e n t l yu s i n gt h e s es a m p l e s ，t h e s es a m p l e dd a t ad e n s i t ym u s tb ei n c r e a s e da n dr e g u l a r i z e d i no r d e rt od e s c r i b et h ec h a n g e so ft e m p e r a t u r ef i e me x a c t l ya n do r g a n i z et h e s ed a t a e x p e d i e n t l y i n t e r p o l a t i o ni sa ne f f e c t i v em e t h o dt oi n c r e a s et h ed e n s i t yo fd a t a i th a sb e e n r e s e a r c h e di nd e p t hb a s e do nb i d i m e n s i o n a ls p a c e w i 血t h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r s c i e n c ea n da p p e a r a n c eo f3 - dd a t a p r o c e s s i n gt o o l s ，i tm a k e s3 一di n t e r p o l a t i o na n d v i s u a l i z a t i o nc o m et r u e i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h r e es p a t i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ；i n c l u d i n gi n v e r s ed i s t a n c e w e i g h t e dm e m o d ， r a d i a lb a s i sf u n c t i o nm e t h o da n d k r i g i n g t h ea d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e so ft h e s es p a t i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d sh a v eb e e nc o m p a r e d ，a n a l y z e da n d d i s c u s s e di no r d e rt og i v es o m ea d v i c eo no u rr e s e a r c hp r o j e c t f i n a l l y ，t h et h r e ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d sh a v eb e e nr e a l i z e d ，b a s e do nt h ed e v e l o p m e n to f s a m p l e dd a t ap r o c e s s i n ga n dv i s u a l i z a t i o nm o d u l e t h ev i s u a l i z a t i o no ft h et h r e e d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r ef i e l di n t e r p o l a t i o nr e s u l t sa l s oh a v eb e e ni m p l e m e n t e db yu s i n gt h ep r o f e s s i o n a l s o f t w a r et o o l k i t s v i s u a l i z a t i o nt o o l k i t s k e yw o r d s ：s p a t i a li n t e r p o l a t i o n ；i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e d ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ；k r i g i n g ； v i s u a l i z a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：荜d 酤一日期：_ j 斌葺盟一 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：二车垒l 导师签名：塑： 且钲月丑日 大连理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1课题来源 本文依托辽河油田分公司勘探开发研究院委托开发项目火烧驱物理模拟数据采集 与图像处理系统开发研制，研究空问温度场数据插值算法及数据可视化。 1 。2 选题背景及意义 一 石油被称为“黑色的金子”，是重要的能源。石油的用途，除了加工日常生活中需要 的成各种成品油外( 如汽油、柴油、航油、燃料油、润滑油等) ，还是化工产品重要的基 础原料。石油还对农业生产起至关重要的作用，化肥、农药、农机等都对石油有很高的 依赖度。同时石油还是国民经济的血液，是经济建设不可缺少的能源。随着我国经济建 设的快速发展，石油消耗量快速增加，目前，我国的原油产量已不能满足国民经济发展 的需求，而埋藏浅、品位较高的常规油藏已得到有效开发，如何有效探测开采埋藏深、 品位低、储存比重超过常规原油的稠油资源是一直是石油工业研讨的问题。 石油热采技术是稠油开采的重要方法，自2 0 世纪6 0 年代以来，稠油热采技术有了 迅猛发展，出现蒸汽驱、火烧驱、蒸汽辅助重力泄油( s a g d ) 等多种热采技术。温度 信息是稠油热采中一个重要的参数，通过检测温度场信息，实时掌握油层温度变化特征， 可以为分析油藏分布、原油开采与热源管路铺设及管路安全监控提供重要依据。因此温 度场特征变化的准确描述显得尤为重要。 目前由于热采物理模拟试验周期长、涉及计算大、人工处理不方便且容易出错等原 因，限制了物理模拟试验进行。利用计算机对少量采样数据的插值计算可以增加空间数 据的稠密度，动态显示空间温度场的变化状态可以提供更直观的信息。这些有助于提高 试验数据分析的准确性、缩短试验周期、减少实验成本和技术人员的工作效率，有助于 油田技术人员研究油藏的内部结构，了解内部特征，为做正确的决策提供参考，对实际 石油开采具有指导意义。 另外，通过空间插值得到规则网格数据是可视化过程的前体条件，也是最重要最关 键的一步，所以研究空问数据的插值方法对计算机可视化也有理论意义。 1 3 研究内容、所做工作及章节安排 论文主要研究空间插值算法在科学计算可视化中的应用，对比分析三种空间捅值算 法：距离反比例、径向基函数和克里格。并将插值算法应用到稠油热采温度场数据加密 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 过程，结合v t k 可视化软件包，在m i c r o s o f tv i s u a ls t u d i o2 0 0 5 开发平台下，开发温度 场数据处理与可视化系统软件，实现温度场数据的可视化。 本文在开发温度场数据处理与可视化系统软件过程中完成以下工作： 1 ) 实现三维空间插值算法，得到插值后处理文件。 2 1 基于实现温度场数据可视化，利用q t 实现用户交互，完成界面设计。 3 ) 实现三维温度场数据的体视化，包括温度场的切块、旋转、放缩。 4 ) 三维温度场数据的等值面，温度场切面的等值线显示。 根据以上研究内容、工作，本文各章节内容安排如下： 第一章介绍课题来源和选题背景意义，对论文的研究内容和论文安排进行说明。 第二章对科学计算可视化做简单介绍，包括两类可视化算法：面绘制和直接体绘 制技术。 第三章空间插值方法介绍。围绕本文的研究内容，介绍距离反比例、径向基函数 和克里格三种插值方法，讨论分析各方法优缺点及参数选取问题。 第四章插值结果对比分析。首先，基于马鞍面测试函数对比各插值法。然后分析 三维空间温度场采样数据，选出适合本问题的插值方法。 第五章在充分学习和研究一期开发项目( ( s a g d 试验数据采集系统基础上，基 于v t k ( v i s u a l i z a t i o nt o o l k i t ) 进行项目的二次开发。介绍了系统的开发环境、开发流 程和功能。最后，利用开发软件将三维温度场数据可视化显示。 2 大连理工大学硕士学位论文 第二章三维空间数据可视化 2 1 可视化概述 可视化是运用计算机图形学及图像处理技术，将科学计算过程中及计算结果的数据 转换为图形及图像在屏幕上显示出来并进行交互处理的理论、方法和技术。它不仅包括 科学计算数据的可视化，还包括工程计算数据的可视化以及测量数据的可视化。 随着科学技术的迅速发展，科学计算结果的后处理己成为影响科学计算质量和效率 的主要问题之一。来自计算机断层扫描( c t ) 、核磁共振( m r j ) 、石油钻井开采、地 震勘探、气象分析、分子模型构造、计算流体力学、有限元分析等领域的数据与日俱增， 随着待处理数据量越来越大，使得科学计算数据的可视化及对计算过程的有效交互干预 和引导日益成为迫切需要解决的问题。科学计算可视化( v i s u a l i z a t i o ni ns c i e n t i f i c c o m p u t i n g ) 是发达国家上世纪八十年代后期提出并发展起来的一个新的研究领域，1 9 8 7 年2 月，美国国家科学基金会( n s f ) 在华盛顿召开了有关科学计算可视化的首次会议， 会议认为将图形和图像技术应用于科学计算是一个全新的领域，并指出“科学家们不仅 需要分析有计算机得到的数据，而且需要了解在计算过程中数据的变化，而这些都需要 借助于计算机图形学及图像处理技术”。会议将这一涉及到多个学科的领域定名为 “v i s u a l i z a t i o ni ns c i e n t i f i cc o m p u t i n g ”，简称“s c i e n t i f i cv i s u a l i z a t i o n ”，这标志着可视 化作为一门新兴学科和技术领域的诞生。从1 9 9 0 年起，美国i e e e 计算机学会计算机图 形学及图像处理技术委员会开始举办每年一度的可视化国际学术会。目前，可视化技术 已成为众多国际图形学会议的热门研究课题，并出现了大量有关可视化技术的论著，可 视化领域已取得巨大的进步，科学计算可视化作为一门学科已经日趋成熟。 科学计算可视化的研究重点是从复杂的三维数据中产生图形，它涉及到计算机图形 学、图像处理、计算机辅助设计、计算机视觉及人机交互技术等领域，并且有着很强的 应用背景。实现三维数据可视化有多方面的意义，它可以使得人与数据、人与人之间实 现图像交互，而不仅仅是目前的文字通讯和数据通讯为主，从而可以使人们更直观、形 象的观察传统科学计算的数值结果，为发现和理解科学计算过程中的各种现象提供有力 工具。另外，通过对计算过程实施引导控制、交互改变计算所依据的条件可以观察其对 计算结果的影响。因此，科学计算可视化的研究无论在理论创新或实际应用中都占据重 要地位。 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 2 2 三维空间数据场可视化流程 虽然可视化数据的类型各不相同，数据分布及连接关系差别也较大，但其基本流程 却大体相同，都包括以下几个子过程： 1 数据生成 由计算机数值模拟或数据采集器采样产生。本文中数据由温度传感器采样生成。 2 数据预处理 数据的预处理主要完成冗余数据的过滤或稀疏数据的插值加密。对数据量过大的原 始数据，在确保有效信息不丢失的前提卜通过筛选减少数据量；当数据分布过分稀疏而 有可能影响可视化效果时，需要对数据进行有效的加密，使原始数据得到增强。文中借 助插值工具讨论稀疏数据的加密方法。 3 可视化映射 可视化映射是整个可视化过程的核心。其含义就是将经过处理的原始数据转换为可 供绘制的几何图素和属性。这里“映射”的含义包括可视化方案的设计，即决定在后面 的图像中应该看到什么，及如何将其标新出来。亦即如何用形状、光亮度、颜色及其它 属性表示出原始数据中人们感兴趣的性质和特点。 4 绘制 绘制将映射产生的集合图素和属性转换为可供显示的图像，所用的方法是计算机图 形学的基本技术，包括视变换、光照计算、隐藏面消除以及扫描变换等。 5 显示 最后一步是图像变换和显示。包括图像的几何变换、图像压缩、颜色量化、图像格 式转换以及图像的动态输出等i 2 3 三维空间数据场可视化算法 对于三维空间的数据场，根据图像表达方式，其生成方法可分为两类【1 】【2 】：直接体 绘制算法( d i r e c tv o l u m er e n d e r i n g ) 和面绘制算法( s u r f a c er e n d e r i n g ) 。 体绘制算法是将三维数据场直接投影到屏幕产生二维图像的方法，这是近年来得以 迅速发展的一种可视化算法。该算法直接对于处理后的数据进行绘制，生成- 维图像。 常用的体绘制技术有光线投射算法、改进的光线投射算法、足迹表体素投影算法、移动 立方体算法、基于错切一变形技术的体绘制算法、体元投射法及子区域投影法等。但在 体绘制过程中由于所有的信息均参与运算，计算量很大，导致计算时间长，难于利用传 统的图形硬件实现绘制。然而，体绘制高质量的图像效果，促使人们寻求各种方法来解 决问题，使得该课题成为一个热门的研究领域。 4 大连理工大学硕士学位论文 基于面的体绘制算法首先通过三维空间数据场构造出中间图元，然后再由传统的计 算机图形学技术实现图形的面绘制，最常见的中间几何图元就是平面片，从三维空间数 据场中抽取出等值面就属于这种情况。该方法构造出的可视化图像不能反映原始数据场 的全貌及细节，使研究人员难以把握数据场的全局状况。但是可以产生比较清晰的等值 面图像，而且可以利用现有的图形硬件设备实现绘制功能，使图像生成及变换的速度加 快。 总的来说，体绘制算法的主要思想是采用体绘制光照模型直接从三维数据场中绘制 出各类物理量的分布情况，而面绘制算法则是通过提取感兴趣物体的表面信息，将体数 据转为一系列多边形表面片拟合的等值面，然后再根据光照、明暗模型进行消隐和渲染， 最后得到三维的显示图象。 等值面表示方法是为了适应图形显示，人为增加的一种数据场表示形式。体绘制算 法则放弃了这一做法，直接研究光线穿过三维数据场后的变化，并得到最终的绘制结果。 由于体绘制的这种直接性，非常符合人的视觉过程，因此保留了大量的细节信息，从而 大大地提高了图图像的保真度，因而体绘制生成图像效果要优于面绘制。但从交互性能 和算法效率上评论，面绘制技术要优于体绘制技术。由于面绘制采用的是传统图形学的 绘制方法，现有的交互算法、图形硬件和图形加速系统可以充分发挥作用。随计算机运 算速度的不断提高，许多科研工作者从不同角度提出体绘制的加速算法，使体绘制速度 有了明显的提高，具有很大的发展潜力。 小结 本章首先对可视化研究背景和发展进程做简单概述，然后介绍了三维空间数据场可 视化的基本流程，最后讨论三维空间数据场的可视化方法。对其中的面绘制技术和体绘 制技术进行了介绍。并对它们作了对比分析。可以看出，直接体绘制技术是三维空间数 据可视化的发展方向，有着广阔的发展空间。目前，由于硬硬件平台限制，直接体绘制 技术的优势不能完全发挥，面绘制技术仍发挥着较大的作用，占据着主要地位。如何提 高体绘制技术的计算速度，降低计算时间是一值得探索的研究领域。从可视化流程可以 看出，数据生成和数据预处理步骤是整个可视化过程的基础，原始数据预处理的结果将 直接影响到可视化的结果，因而我们将研究重点放在数据预处理这一部分。 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 第三章空间插值法 3 1 空间插值定义和目的 空间数据插值可描述为1 2 ：给定一组已知空间离散点数据，从这些数据中找到一个 函数关系式，使得关系式最好地逼近这些已知的空间数据，再根据该函数关系式推求出 区域范围内其他任意点的值。 在气象、地质勘探、石油工业、水文等应用领域，由于受测量工具和工作场地及资 金成本的限制，无法获得所有地理位置的信息值，而只能得到空间中有限的采样信息。 如何通过已知的数据采样点，计算出相关的未知点或相关区域内所有的点是空问插值的 研究内容。通过插值计算，可以估计某些无法观测的数据，以提高数据密度。最大程度 地利用这些数据信息，可以全面认识大气、地质、油藏和水流等分布特征和空间变化情 况。 总的来说，根据插值任务不同，空间数据插值可归纳为补值、构造等值线或等值面、 数据网格化等三个目的【3 1 。 1 补值 根据采样点利用插值方法获取丢失或无法观测到数据值，以提高数据密度。 2 构造等值线或等值面 根据某一属性值构造等值线或等值面。这在很多领域有广泛的应用，如在医学中图 像重构，气象学中等压等温线绘制，矿床品位划分等等。 3 数据网格化 规则网格能较好反映连续分布的空间现象，并对它们的变化做模拟。数据网格化的 最终目的就是构造空间规则体数据场，以建立所研究对象的体模型。 3 2 空间插值研究概况 在实际应用中，我们所获得的采样数据绝大多数都是无规则和随机分布的，因而对 这类数据的研究较多，人们将二维平面或三维空间中无规则、随机分布的数据称为散乱 数据。早在2 0 世纪6 0 年代，散乱数据的插值问题就引起人们的注意，近几十年，国内 外专家对空间插值开展了广泛深入的研究，相继提出一些应用较为广泛的插值算法【4 】。 距离反比例法【5 】( i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e d ) 因其结构简单而受到广泛应用。荷兰 气象学家a h t h i e s s e n 在从离散分布气象站的降雨量数据计算平均降雨量时提出了最 近邻点插值法( n e a r e s tn e i g h b o r ) ，其核心思想是取离插值点距离最近的采样函数值为 插值点函数值，现在在g i s 和地理分析中进行快速赋值。 6 大连理工大学硕士学位论文 1 9 7 1 年h a r d y 在处理飞机外形设计曲面拟合时给出了m u l t i q u a d r i e 函数【6 j ，取得 很好的插值效果。r l h a r d e r 及r h d e s m a r a i s 提出薄板样条法【7 】( n i i np l a t es p l i n e ) ， 后由j d u c h o n 8 1 及j m e i n g u e t 【9 i t l 0 1 等予以发展，薄板样条基于插值函数曲率积分最小， 因具有良好的可视性和计算稳定性而得到广泛应用。 m u l t i q u a d r i c 和薄板样条方法都属于径向基函数插值法。在空间曲面插值算法中， f r a n k e 1 1 】比较多种插值方法，认为m u l t i q u a d r i c 和薄板样条的插值效果最好。 近些年来，基于变差函数理论的克里格( k r i g i n g ) 法在理论和应用方面都得到前所未 有的蓬勃发展，已成功应用到地质、石油勘探、水文等领域。克里格方法的适用范闱为， 当区域化变量存在空间相关性时，可以利用克里格方法进行内插或外推；反之，利用区 域化变量的原始数据和变差函数的结构特点，对未知点进行线性无偏、最优估计。 以上提到的插值方法除最近邻点插值法外都是整体插值方法，局部的改变会导致整 个区域的重新计算，且径向基函数和克里格法都需要求解一些线性方程组，使得这些算 法只适用于中、小规模数据量插值问题。目前，大规模散乱数据( 散乱点数达到数千甚 至数万个) 的插值问题研究相对较少，s e u n g y o n gl e e 【l2 j 等人提出了层次b 样条方法， 但该方法不能使网格细分及计算控制点仅在误差允许值的子区域内进行，导致计算量增 大，为克服这一缺点张伟强等在l e j l 2 】和f o r s e y 1 4 】的层次b 样条曲面拟合算法基础上， 提出了自适应层次b 样条曲面的逼近和插值算法。另外，插值算法的局部化也是解决大 规模散乱数据插值的一个研究方向，文献 1 5 】对现有散乱数据插值方法做了较为详细的 综述。 空问数据因其具有空间相关性，进行空间数据插值时，要想得到与真实数据较吻合 的插值结果，不能简单地套用现有的插值方法，必须考虑空间结构中的许多制约因素，如 在矿藏探测中，矿藏资源有一定的趋势构造分布规律，进行数据插值时如果考虑到这种 分布规律，才有可能形成与实际地质解释相一致的模型。 3 3 数据类型和插值法分类 在实际生活及科学和工程应用中，如大气学、地质学、地球物理学、地理学和工程 设计等领域都会出现很多采样数据，但总的来说，按照数据来源可将数据分为三类：实 际采样测量数据、科学实验所得的数据及计算所得数据。 三维空间数据场可视化算法与数据类型有很大关系，数据类型有两层含义【1 6 】：一是 数据本身的类型，二是数据空间分布及组织的类型。数据本身的类型可根据数据的物理 特征分为标量、矢量和张量；数据的空间关系是根据数据场中采样点分布的空间几何特 征，可将数据场分为结构化与非结构化两类。结构化数据场根据数据场中各元素的物理 7 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 分布可进一步划分为均匀网格结构数据场、规则网格结构化数据场、矩形网格结构化数 据场、不规则网格结构化数据场。 空间插值法依照不同的判断标准，也有多种分类方法。 空间插值依据已知点与位置点的区域属性，分为空间内插和外推两种算法。空间内 插算法是利用已知点的数据推求同一区域其它未知点的数据计算方法，而空间外推法则 是通过己知区域的数据，推求其它区域数据的方法。 空间插值依据其基本假设和数学本质旧可分为几何方法、统计方法、空间统计方法、 函数方法、随机模拟方法和物理模拟方法等。 依据插值计算中参与计算的采样数据数量，空间数据插值可以分为整体插值法和局 部插值法两类。整体插值方法是利用所有采样点的数据进行插值计算，而局部插值方法 则仅利用临近的数据点来估计未知点信息。 依据采样数据类型划分，空间插值法包括面插值和点插值。面插值主要用于社会经 济统计数据的插值问题，而点插值主要用于自然地理数据的插值【1 引。由于人们更多熟悉 和应用的都是点插值，通常所说的空间插值也泛指点插值。 根据插值方法的特点和性质可以分为确定型、几何型、随机型和混沌型【l 9 1 。 文中我们选取距离反比例、径向基函数和克里格插值法进行讨论。 3 4 距离反比例法 该方法首先由气象学和地质学工作者提出，基本思想是插值函数值与采样点的距离 远近有密切关系，插值函数受近距离采样点的影响较大，远距离采样点影响较小。后来 由于d s h e p a r d 的工作被称为s h e p a r d 方法，【5 】中讨论y - - 维空间的情况，现将其扩展 到三维空间，将插值函数f ( x ，y ，z ) 定义为各采样点函数值 的加权平均，即： 五 y ! f ( 训，z ) ：争盟学丝 ( 3 1 ) y ! 智以( z ，y ，z ) 卢 公式( 3 1 ) 可改写为： 其中， f ( x ，y ，z ) = 五木w a x ，y ，z ) k = l 8 ( 3 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 l id ，( x ，y ，z ) 芦 耽( 工，y ，z ) = 专一 ( 3 3 ) 兀d j ( x ，y ，z ) 掣 k = lj k 矾心y ，z ) = o 一吒) 2 + ( y 一儿) 2 + 0 一乙) 2 0 ( 3 4 ) 破( x ，y ，z ) 表示由( x ，y ，z ) 点到( 砟，m ，乙) 点的距离，若巩 ，y ，z ) = 0 ，则取f ( x ，y ，z ) = 六。 由公式( 3 3 ) 可知权函数暇( x ，y ，z ) 满足非负性，加权性等性质，式中t z 值一般选取2 。 研究表明，插值函数f ( x ，y ，z ) 的光滑度与t 值有关，越大，插值结果越平滑。 由于s h e p a r d 方法为全局插值算法，增加、删除或改变一个节点时，权函数形似少，z ) 需要重新计算，为克服该缺点f r a n k e 和n i e l s o n l 2 0 1 给出了m q s ( m o d i f i e dq u a d r a t i c s h e p a r d ) 方法。 m q s 方法的权函数具有局部性质，另外用二次多项式函数珐( x ，y ，z ) 代替 ，使插 值函数不再依赖所有插值点。虽然m q s 方法消除了s h c p a r d 的一些缺陷，但是为了求 多项式函数g ( x ，y ，z ) ，需要多次求解线性方程组，计算量很大，所以该方法适用于中、 小规模捅值运算，对于大规模情况需要探索新的求解途径。 利用距离反比例方法时，插值点值依赖于所有已知采样信息，而实际插值点与相距 较近采样点关系最为密切，因而计算时考虑忽略较远采样点。m q s 方法由于需要多次 求解线性方程组，对整体计算速度有一定影响。我们可以采取折中方法，将插值计算局 部性质引入到距离反比例法中。实际计算时按一定策略搜索查找插值点周围给定数量的 采样点，忽略距离较远采样点，最后利用距离反比例法计算。邻近采样点的搜索有多种 策略，胡进娟等1 2 l 】中介绍了可变半径球形窗口搜索方法。我们在进行温度场采样数据处 理时，由于要对同一位置采样点反复采样，为了减少临近采样点搜索次数，将第一次搜 索选中的采样点记录标识，这样在后续计算时可免去搜索这一步骤，可直接根据采样数 据计算未知插值点。为区别于距离反比例方法，这里我们称用未知点附近有限采样点进 行插值的距离反比例方法为简单距离反比例方法。 3 5 径向基函数法 径向基函数法是一比较新的方法，近些年来在多元函数光滑曲面插值、微分方程数 值解、神经网络等领域获得成功的运用。针对二维曲面插值，f r a n k e 】曾对不同的散乱 数据插值方法从精确度、视觉效果、对参数的灵敏度、执行时问、存储要求以及编程实 现的难易程度等方面进行比较研究，最终径向基函数插值能得到最为满意的结果。在微 分方程数值求解时，利用径向函数基插值解微分积分方程，也能得到很好的结果。另外， 9 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 我们知道，任何给定的函数基在多元情况下都不能满足哈尔条件2 2 1 ，从而其插值问题在 多元情况并不总是有解。然而，利用简单的多元径向函数得到径向基函数，并张成函数 空间，在满足一定条件下，函数空间中插值多项式可以线性逼近任何函数且插值系数存 在唯一解。尽管该方法在理论上还不完善，还存在一些问题，但由于有易操作性，在高 维空间有很好的适应性等优点，越来越受到人们的关注。所以我们尝试将径向基函数插 值用于三维空间数据场插值，径向基函数理论的详细介绍可参考综述性文章 2 3 及专著 2 4 2 5 2 6 】。 3 5 1 径向基函数基本理论 定义3 1 ：v0 五恻l 屯0 ，将满足条件缈( 毛) = 伊( 恐) 的函数伊称为径向函数【2 7 】( r a d i a l f u n c t i o n ) 。 定义3 2 ：径向基函数空间 2 8 】：设缈：墨- - - ) r ，在定义域x r d 上，所有形如 沙o c ) = 缈( x - - c i i ) 及其线性组合张成的函数空间称为由函数伊导出的径向基函数空 间。在满足一定条件下， 缈 一x ，) 及其线性组合可以逼近几乎任何函数。 常用的径向基函数有以下几种【2 8 】： 1 g a u s s 分布函数：缈( r ) = p ”。 2 m a r k o v 分布函数：缈( ，_ ) = e - 叫一及其它概率分布函数。 3 m u l t i q u a d r i c 函数：伊( ，) = ( c 2 + ，2 ) 卢及其逆函数矽( ，) = ( c 2 - 4 - ，2 ) 一口其中 0 。 4 薄板样条函数：缈( ，) = ，2 l n ，缈( ，) = ，2 “1 。 5 另外还有一种重要的径向基函数紧支撑正定径向基函数口9 】【3 0 1 ，该方法对任意给定 的连续性条件及任意给定的自变量空间，都可以找到一个截断多项式，使得由其产 生的径向基函数给定维数空间正定并且满足指定的连续性条件。 在这几类基函数中，应用较多的是m u l t i q u a d r i c 函数，这种形式的径向基法具有最 好的逼近精度，但另一方面，由于它是双参数的，在分析上还有许多麻烦。 径向基函数的研究是从径向基函数插值开始的，径向基函数插值就是寻求满足插值 条件乃9 ( 1 i & - x ji i ) = 五，k = l ，刀的函数表达式夕( 功= 乃缈( x 一_ n ) ，其中z 两两 j = l j = 1 不同。这一方法能够将多维问题转化为一维问题，且能方便的将二维或三维数学模型离 散为关于元，i = l ，1 的线性方程组并进行求解。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 显然，径向基插值函数f ( x ) 存在唯一解的充要条件是：对任何两两不同的点列红，) ， 矩阵( 缈( j i x k 崂“。如是非奇异的，( q ( 1 l 一以i i ) ) 。轨胁还正定，则称函数伊称为正 定函数。 定义( 工) = 缈( 0 x 1 1 ) ，当假设矽( x ) 可以由f o u r i e r 积分( x ) = ie 打t ( t ) d t 表示时，可用 斧 下面定理判断函数伊( 忪i i ) 是否可以用来构造d 元的正定函数( x ) 。 定理3 1 1 ( b o c t m e r ) 数( z ) = 伊( 0 x i i ) 是正定函数的充分必要条件是其f o u r i e r 变换r ( f ) 几乎处处大于零。 g a u s s 函数及逆m u l t i q u a d r i c 函数在任意维空间都是正定函数。m u l t i - q u a d r i c 函数 及薄板样条函数不是正定函数，但是它们的广义f o u r i e r 变换还是大于零，只是在零点 有一个极点。如果极点为y 阶的，当满足条件乃x 歹= o ，( 1al - 0 ，称这类函数为，阶的条件正 3 , k， 定函数。 定理3 2 2 8 1 ：对于条件正定函数， 修改插值表达式夕( x ) ：窆乃伊( 一x ji i ) 为 j = l 夕( 力= 乃伊( i l x 一_ i i ) + ，并满足条件： 2 ll a l s r 1 夕( ) = 乃妒( j i 讫一_ 0 ) + 2 乃= o ，v l a l 有相同 的分布规律。公式表示为e o v z ( x + 办) ，z ( 瑚= e i z ( x + h ) z ( x ) 】一m 2 = c ( 办) ，v x ，v h 。 然而由于这种假设条件太强，在实际应用中很难满足。为了给已知采样数据找到适 用的变差函数，人们放宽了假设条件，提出本征假设： 稠油热采中温度场数据插值方法比较及可视化 1 在整个研究区域内，有e z ( x + h ) 一z ( x ) _ 0 ，v h 。 2 在整个研究区域内，区域化变量增量的方差函数对任意x 和h 存在且平稳，即 v a r z ( x + h ) 一z ( x ) 】= e l z ( x + 协一z ( 曲】2 一 皿z + 办) 卜研z ( 功】) 2 ( 3 8 ) = 2 r ( x ，厅) ，v x ，v h 在z ( x ) 满足二阶平稳性假设条件或本征假设时，r ( x ，h ) 可对应简化为： r ( x ，办) = - 妻e z ( z + 办) 一z ( x ) 】2 ( 3 9 ) 当变差函数仅与空间中两点相对位置有关，而与空间位置无关时，r ( x ，h ) 可简写为