（基础数学专业论文）单位上三角矩阵群的注记.pdf

”i _ o nt h eu n i t r i a n g u l a rg r o u po v e rt h ei n t e g r a lr i n g at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：w hz u o h u i s u p e r v i s o r ：p r o f l i uh e g u o h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 ， 论文作者签名：雾饬忽 签名日期：纠6 年厂月日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 日期：。， 日辊：伊h 6t | 这 参蛉 龙、乒侈参 季各：签名师签教者导作指 中文摘要 摘要 设r 是含l 交换环，t r l ( 礼，r ) 是r 上主对角线元素全是1 的所有上三角矩阵作 成的乘群它是幂零类为礼一1 的幂零群，并且它的上、下中心群列是重合的这 是幂零群的最基本的群例，它在幂零群理论里具有根本的重要性对整数环z 上 对角线元素全是1 的全体上三角矩阵组成的群t r l ( n ，z ) ，设( 1 i 歹n ) 是 给定的非零整数，记 g = 骶 k 1 2 0 q 2 忌1 n q l n 1 口巧z ， j 本文主要证明了g 是t r l ( n ，z ) 子群的充要条件是整除d 5 ，其中d 5 尹是所 有k i r 肆，( 1 i ， j 礼) 的最大公约数当g 成群时，它的上、下 中心群列重合的充要条件是= d ：r j ，( 2 r j 一t ) ，其中谚是所 有k i t 。k t 。1 2 k t r _ l j ( 1 i z l z 2 l r - 1 歹竹) 的最大公约数并 给出了当某些f = o 时，t r l ，z ) 子集成群的充要条件，上、下中心群列以及幂 零类的长度 关键词：单位上三角矩阵群；自同构；中心群列；幂零群；正规a b e l 子群 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e trb ea r i n gw i t hi d e n t i t y t h es e to f a l lm a t r i c e so v e rt h er i n grw i t ha l le n t r i e s b e l o wt h em a i nd i a g o n a lz e r o ，a n dw i t ht h ee n t r i e so nt h em a i nd i a g o n a la l lt h ei d e n t i t y f o r m sag r o u pu n d e rm a t r i xm u l t i p l i c a t i o n ，t r s ( n ，r ) i ti so b v i o u st h a tt h en i l p o t e n t c l a s so ft r l ( n ，r ) i sn 一1 ，a n dt h eu p p e ra n dl o w e rc e n t r a ls e r i e so fi tc o i n c i d e i ti s a l li m p o r t a n te x a m p l eo fn i l p o t e n tg r o u p i np a r t i c u l a r , l e tt r l ( n ，z ) b et h eg r o u po fa l l n n ( u p p e r ) u n i t r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rt h ei n t e g r a lr i n g l e tb ( 1 i j n ) b e g i v e nn o n z e r oi n t e g e r sa n d g = 1 k 1 2 0 f 1 2 01 0 0 1 q 格z ， j t h e ngi sas u b g r o u po ft r l ( 礼，z ) i fa n do n l yi f d i v i d e sd 5 ；，w h e r ed ：；d e n o t e s t h eg r e a t e s tc o m m o nd i v i s o ro fa l lk i r k ( 1 i r 歹n ) m o r e o v e r , w h e ngi sa s u b g r o u po ft r l ( n ，z ) ，b o t ht h eu p p e rc e n t r a ls e r i e sa n dt h el o w e rc e n t r a ls e r i e so ft h e g r o u pgc o i n c i d ei f a n do n l yi f = d ：r j ，( 2 r 歹一i ) w h e r ed ：d e n o t e st h e g r e a t e s t c o m m o nd i v i s o ro f a l l l l 硒1 1 2 k l j ( 1 i 1 1 1 2 ( t r l ( n ，z ) ) = 1 乍g = 知z ， 一j t 一1 ， 1 j 0 时，令 g ：价：c b 、i m o l 蚰艇z g 是n l ( 3 ，z ) 的一个无挠幂零子群，其上、下中心群列分别为 g g ， 1 ，g ( g 1 2 一 n 鼍：o 1 + ；0 0 0 口 o；o；0 0 1；o；0 o 其中 f ，1o 咖、 g ，： l 010 i 。1 1 引言与预备知识 d z ，e g = ( 主兰垂) 1 e z j 这时 g 曲= a c 。望zo zo z n ，g e g 竺zo z 显然这时g 的上、下中心群列是不一致的，这是幂零群里的一个基本例子 在本文里，我们要把上面的群例结合起来，推广到一般的情形为了叙述方 便，我们引入下面的记号 对于给定的非零整数( 1si 歹n ) ，记 g = g + = ( z ， q 嵇z ， 如z g 和9 是t 7 1 ( n ，z ) 的子集 越表示所有。k t 。l ：缸一l j ( 1 l 1 1 1 2 j 仇一1 歹n ) 的最大 公约数，并令n 越= d 磐+ 1 船( 1 m n l ，2 s + l t n ) 本文主要对子集g 的一些性质进行了研究，它们是前面群例的共同推广本 文的主体部分将按照如下方式展开： 第2 章：给出g 和g 成群的充分必要条件，接着在g 成群的情况下，我们计算 了群g 的上中心群列与下中心群列，并给出了上下中心群列一致的充分必要条件 同时给出了两个具体的例子接着我们把得到的结果推广到主理想整环上 第3 章：本部分在g 成群的情况下，我们确定了群g 的正规a b e l 子群的分类 第4 章：在g 成群的情况下，我们研究了群g 的一些标准自同构，给出了群g 在 群g 中的正规化子，同时给出了当n = 3 的时候，群g 的自同构群的具体结构 3 、liliiil， h 轨 q a；0 札 帆；l h 胁 、lli 铆蚴； 胁 n n 禽一譬风 一 一 一 心 以 也 陵； 匹 舭，o 妇譬 七 l 2 l 0 ；o h k ； k 化 触弩 湖北大学硕士学位论文 2 子集g 成群及其上下中心群列重合的充要条件 定理2 1 g 是t r x ( n ，z ) 的子群的充要条件是整除鹰，其中露是所 有k i ，( 1 i r 仃一i 一1 ， 1 r m 一1 ， 1 i n i 一2 ， 1 r m l ，1 i 1 ，1 i j 1 ，1 i m 一1 ，1 i m 一1 ，1 冬i m ， 又因为 1 i 仇，1 i m ，1 i m ，1 i j n ) z ， 1 i 歹n j 一i m 一1 g + 1 g 笺圣叟：叟兰o z t i - m + 。o oz r i - 。o o to o 一m - l ，。 n 一，n 由定理2 1 。我们可以得到下面的结论 8 2 子集g 成群及其上下中心群列重合的充要条件 定理2 2 设g 的意义如前述，当g 是n l ( 佗，z ) 的子群时，其上、下中心群列 重合的充要条件是= 露，( 2 r j - i ) ，其中喀是所有f 。k t 。1 2 一k z ，一。j ( 1 i z l 1 2 0 一l j 佗) 的最大公约数 证明 令群g 的上、下中心群列分别为 以及 由定理1 可得 g g = 且 一g = 1 = 臼g 臼g 已g s 白一2 g 厶一1 g = g 1 = gs 一1 g 一2 g 仇g 7 1 g = g l0 ： 0 0 ： ： 0 0 0 0 10 ： ： 0 0 ： ： 0 0 0 0 k xn i + 1 q 1n i + l 后1 n q l n 。 。 n n 0 1 以墨+ 。伪n 一州d 历n d 5 t ：屈n 0 1 显然6 g = 一g 当且仅当= 西，( 2 ，歹一t ) 例2 1 当n = 3 且g 成群时，我们有 g = ( | k 1 2 q 1 2k 1 3 ( 1 1 3 1 k 2 3 0 t 2 3 01 9 q 巧z ， 1 i 死一1 i z ，i 7 ， 1 i 歹31 j 砧z ， i r n ，+ n i 一1 歹扎 湖北大学硕士学位论文 此时群g 的上中心群列与下中心群列为 g = 7 1 g 7 2 g 7 3 g = 1 ，1 = ( o g 6 g 已g = g ， q 。3 z ) ，仇g = ( 三三d ? 3 ) ( 2 g e i g = z o z ，e , g 6 0 g = z ， 7 , g 7 2 g 型zo zo z n l 3 ，其中n 1 3 = 。d 1 3 ( 2 ) ，。l 1 3 ，7 2 g 7 3 g 竺z 例2 2 当n - - 4 且g 成群时，我们有 g = ( 量手1 2 等： 此时群g 的上中心群列与下中心群列为 其中 1 i 1 z ， j 1 = 白g c 1 g 已g 白g = g ，g = 7 1 g 7 2 g 7 3 g 7 4 g = 1 ， 6 g = 已g = ( 主 0 k 1 3 p 1 3 1 0 j 研4 n 1 4l 呈0 j 1 0 0 1 1 4 z 1 i 、liilj， 3 口，0 乳0 1 d 舯 洚 且 、_i、，j 瓦g “ 一 嘶。纠 、lilllli， m 丝 弘 q 口 口0 窘f 蛾 帔l n 励妇 o 0 1 0 0 l 0 0 l o 0 0 ，fj。一 、l17i、 瓦弭 “ 一 & q 、liliillj， 4 4 风院3 “o 1 触励 1 0 o 0 2 子集g 成群及其上下中心群列重合的充要条件 饱g = 扎 竹g = 故 d 譬如 0 z ， 1 z j 4 a 1 4 z 并且 e 3 g i 2 g 垡z o z o z ，2 g e i g 竺z o z ，臼g 白g 垒z ， 7 1 g 7 2 g 笺zo zoz o 1 3oz n l 4oz f l 2 ， 其中如= 删i k l 3 ，n 1 4 = 捌i k l 4 ，n 2 4 = 瑚k 2 4 ， 仇g 铂g 掣z o z o 。， 其中n 1 4 = 删i d ? 4 ) ， 7 3 g 7 4 g 皇z 无挠幂零群的上中心因子仍然是无挠的，但是其下中心因子并一定是无挠 的前面即给出了反例 定理2 1 和定理2 2 讨论的是所有均不为零的情况当某些b 为零时，情况 就复杂得多，下面我们给出两种特殊情形的相关结论首先假设当1 t j 扎时，= 0 对于任意给定的非零整数后1 。与n ( 1 s ，t n ) ，令 g 。= 1 2 a 1 2 01 00 00 0 0 k 1 3 a 1 3 0 0 0 0 克1n 一1 q 1n 一1 0 0 1 o 七1 n q l n 乜n o f 2 n k 一2n c 一2 n k 一1n c 一1n 1 q b z a t n z 1 s ，t n g 。是t r l ( n ，z ) 的子集于是有下面的结论 定理2 3 g 。是n l ( n ，z ) 的子群的充要条件是七l 竹整除d 禽，其中d 拱是所 、liiilllj， 口 口，0 乳鼽o 1 d d 乳o d o 0 0 1 1 0 湖北大学硕士学位论文 有k l r k ( 1 r 讥) 的最大公约数当g 。是n 1 ( 扎，z ) 的子群时，其上中心列为 其中 1 = 白g 。臼a 白g 。= g 。， a g = ( t l n ( k l n q ) io t z ) ， g g 6 g 笺冬叟圣：叟圣， a g 白g 竺z 2 ( n - 2 ) 同时它的下中心列为 其中 g 。= 7 1 g 。仇g 。7 3 g 。= 1 ， 7 2 g 。= ( t l n ( d 婴q ) iq z ) ， r i g 。饱g 。垡圣叟圣：叟当。z m 。，( m l n = d 辨k l n ) ， 7 2 g 蚀g 型z 2 ( n - 2 ) 证明必要性可以直接验证，下面证明充分性在g 。中任取两个元a 和b ，设 b = 1 k 1 2 0 q 2k l s o f l s 后1n 一1 c l ln 一1 k l n a l n 0100q 2 r i ；。； 0000 一2n a n 一2 竹 000 1 k 一1n 一1n 000 01 1 七1 2 尾2h 3 风3 七1 ”1 尻加1k l n 俄n 0100 k 侥住 i； ； 00 00 k 一2n 风一2n 000 1 k 一1n 风一1n 000 01 1 2 2 子集g 成群及其上下中心群列重合的充要条件 其中q u ，如均为整数，则 其中 a b = 1 k 1 2 7 1 2 01 00 0 0 00 k 1 3 7 1 3 0 0 0 0 七1n 一1 ，y 1n 一1 0 o 1 0 七1 n y l n 七2 n 蚀n 易一2 刀锄一2 刀 k 一1n 一1 n 1 7 1 n = 后l n 岛n + 七1 2 忌k a l 2 岛n + + h n q l n ， 饥t = k l i ( q l l + 角i ) ，( 2 i n 1 ) ，n = 如，n ( a j 一+ 岛，n ) ，( 2 歹n 一1 ) 因为七1 n 整除d 辨，所以尼1 n 整除饥n ，于是0 6 g g 。中任意元9 可写成g = 1 + j ，其中j 是 j = 0 k 1 2 c t l 2 00 00 00 00 k 1 3 ( t 1 3 0 0 o 0 k ln l o t ln 一1 0 0 0 0 七l n 口l n 恕h q 2 n k 一2 n q n 一2 n k ln a 行一1 行 0 且j 3 = 0 ，则9 1 = 1 一j + j 2 因为k l n 整除d 要，所以夕一1 是g 。中元， a 是t r l ( 扎，z ) 的子群 由 6 g 。，g 。】= 1 - 7 得a g 。= ( t l n ( k l n q ) iq z ) ，于是g 。6 g 是可 交换的，又因为已g 。e i g = c ( g 。i e l c 。) ，所以g 。= g 。，且白g 。6 g 。垡 圣叟圣：叟弓，c 1 g i ( ：o g 笺z 同时由m + l g = b , g ，g 】，可得 2 ( n - 2 ) 7 2 g 。= 0 l n ( d 辨a ) i 口z ) ，加g 。= 1 ， 7 1 g 。7 2 g 。竺冬叟垄：叟圣。z m 。， m l n = d 婴尼l n ) ，能g + 蚀g 笺z 2 ( n - 2 ) 定理2 4 设g + 的意义如前述，当g 。是n l ( n ，z ) 的子群时，其上、下中心群 列重合的充要条件是是h n = 龆，其中础是所有r ( 1 r n ) 的最大公约 - 1 3 湖北大学硕士学位论文 证明由定理2 3 可得，群g 的上中心列为 g 。= c o g a g 。已g 。= 1 ，其中臼g 。= ( t l n ( k l n 口) iq z ) ， 其下中心列为 g 。= 7 1 g 。7 2 g 。7 3 g = 1 ，其中7 2 g 。= ( t l n ( d 2 n ) c e ) iq z ) ， 显然a g = 仇g 当且仅当七1 住= d 兽，( 1 r 佗) 一般地记n 1 ( n ，r ) 是主理想整环r 上对角元全是l 的全体上三角矩阵组成的 群，( 1 i j n ) 是r 中给定的非零元，并令 召：m k 1 2 c e l 2 1 七l n a l n k 口2 n 一 ， 假设当1 i 歹 n 时，= 0 对于任意给定的非零元七h 与( 1 占， n ) ， 令 g 。= 1 k 1 2 a 1 2 0 1 00 00 00 k 1 3 c 1 3 o 0 0 0 七1n 一1 c l ln 一1 0 0 1 0 七1 n q l n n q 2 n k 一2n q n 一2 n k 一1n c 一1n 1 q h r q t ，i r 1 s ，t n _ 与瓦均为2 l ( 佗，r ) 的子集仿照前面的相关定理，我们可以得到下面的结论 定理2 1 召是n 1 ( n ，r ) 的子群的充要条件是整除趣；，其d p d ，1 2 ，是所 有k k ( 1 i r j n ) 的最大公约数 定理2 2 7 设虿的意义如前述，当召是t r l m ，r ) 的子群时，其上、下中心群列 重合的充要条件是= d ：r ) ，( 2 r j - i ) ，其中蟛是所有h 。k l 。l 。向，一。j ( 1 i f 1 z 2 z r 一1 歹n ) 的最大公约数 定理2 3 西是n 1 ( n ，r ) 的子群的充要条件是后1 n 整除d 簿，其中d 辨是所 有七1 ，七m ( 1 r 几) 的最大公约数 - 1 4 一 2子集g 成群及其上下中心群列重合的充要条件 定理2 4 7 设瓦的意义如前述，当硪是t r l ( 佗，r ) 的子群时，其上、下中心群 列重合的充要条件是是后l n = d 譬，其中d 拱是所有后1 ，n ( 1 r 几) 的最大公约 数 接着我们假设当o 歹一i m 时，= 0 ，其中m ，令 ( 佗，z ) = l0 0 01 0 00 1 00 0 00 0 h m + 1 ( 1 1 m + l 0 0 - 0 0 七1 n q l n k 2 n o l 2 n k 一，l 住一m n 0 1 q 巧z 歹一i m 1 i ，j n ( n ，z ) 是t r i ( n ，z ) 的子集，于是有下面的结论 定理2 5 ( 礼，z ) 是t r l ( n ，z ) 的子群的充要条件是整除，其中露是 所有非零砧( 1 i r j n ) 的最大公约数 该定理的证明过程类似于定理2 1 显然在( 仃，z ) 成群的前提下， ( n ，z ) 是幂零群，同时令 厶( n ，z ) = 00 0 七1 仇+ 1 q l m + l 00 00 ： ： ： 00 00 ： ： 。 00 00 0o 00 七l n q l n n c 也n k 嘲n q n m 竹 0 0 其中q t j z ，j 一i m ，1 ，j 几不难发现，使得嚣1 ( n ，z ) = o 成立的最小正 整数r ，即为( n ，z ) 的幂零类，通过计算可得r = 【等】，于是有下面的定理 定理2 6 群( 礼，z ) 的幂零类长为r = 等】 1 5 湖北大学硕士学位论文 3 群g 的( 极大) 正规a b e l 子群 g 7 称作群g 的导群，它是由群g 中的所有换位子生成的群g 的导群列中第 一个因子g g 在群论的研究中扮演着重要的角色，那是因为它是群g 的最大 的a b e l 商群对偶的，群g 的另一重要子群是正规a b e l 子群根据z o m 引理，我们 不难发现任意群g 均有极大正规a b e l 子群 引理3 1 1 1 9 】 如果a 是幂零群g 的极大正规a b e l 子群，那么a = c g ( a ) 证明见【1 9 通过引理3 1 我们不难发现，幂零群g 的极大正规a b e l 子群a 在一定程度上决 定着群g 的性质例如，在引理3 1 中，如果群a 时有限群，那么a u r a 也是有限的，又 因为a = c a c a ) ，所以g 似有限，于是群g 是有限群 设群g 的意义如前文所述，接下来我们将给出群g 的极大正规a b e l 子群的分 类令 坼= 1 + 乏二o 嵇ia q z ，t r ，r + 1 歹，1 i j n ) 其中1sr n 定义ek q a q e q 属于( t ，秒) 一块，如果t i j 口 i ， 引理3 2 令g 是群g 中的任意元素，则9 属于某正规a b e l 子群的充要条件 是夕和它在群g 中的所有共轭元可交换 证明 令a = ( 鲫z ，x g 一1 z 一1iz g ) ，则a 是群g 包含g 的正规a b e l 子群； 反之显然 根据z o m bi 理，可得下面结论 引理3 3 任取群g 中元素夕，则夕属于某极大正规a m 子群的充要条件是g 和 它在群g 中的所有共轭元可交换 引理3 4m ，其中1 r5n ，是群g 的极大正规a t 潮子群 证明直接用定义验证 通过下面的定理我们将给出群g 的( 极大) 正规a b e l 子群的分类 定理3 1 任取群g 的一个正规a b e l 子群，则子群只能是下面两种类型的 一种 类i 包含于7 2 g ； 类存在整数i 以及啦j 使得n 三互i + l ( m o d 饱g ) ，其中正i + l = 仇i + 1 ( i + 1 口) l 口刃 - 1 6 - 3 群g 的( 极大) 正规a b e l 子群 证明 如果子群不在饱g 中，那么我们可以找到一个元素，1 + k i j a i j e i j ， t j 满足至少有一个a 巧0 ，其中歹一i = 1 现假设i o 使得q t 。i o + l o 的最小的数令 g = 1 + k i j a i j e i j = 1 + a ， i j 则由引理3 2 可得g 和它在群g 中的所有共轭元可交换 于是 ( 1 + a ) ( 1 一k u , e u ) ( 1 + a ) ( 1 + e 删) = ( 1 一e 删) ( 1 + 4 ) ( 1 + e 伽) ( 1 + a ) 通过计算可得 a 2 e 删+ e 伽a 2 = 2 a e t , a ， 其中 a a = 岛t q 唧嘞e 位 j tu p 显然a 2 e 伽，e 伽a 2 和a e 删a 它们属于不同的块，要让a 2 e 删+ e 伽= 2 a e , , 删a ，则必 须三者都为零即 印e 伽= e 伽a 2 = a e 口a = 0 ， 于是 令u = i o ，q = 硒+ 1 ，则 嘞e 位= 0 j q = i o + 1 ) 与此同时 a 2 e 伽= a ( a e 删) = ( t a 以e 耵) ( u q u e 如) = k s t 忌t u o l s t o t t u e 删= 0 ， a ti v0 t u 口 且 e 删a 2 = ( e 删a ) a = 如t q 订t e 位= 0 ， v j j ) ，且歹是使得o 最小的整数 接下来我们只需证明z 不是中的元素即可如果z 是中的元素，那么我们 可以在群g 中找到某个元素使得 x - i ( 1 + t e 以) z = 1 + 砒e 伽， u v 即 ( 1 + e 村) z = z ( 1 + 鼬e 删) u v 通过计算不难发现等式两边( s ，s ) 位上的元不相等，于是得到矛盾 同时令u l ，u 2 ，t f l z ，f i g = e + e k , j g ，则 勺 d = n n 啦 i = 1 n n 地 i = 2 2 0 - 4 群g 的自同构 是可逆对角矩阵并且 妒：g - - - 1 , d - 1 9 d ， 是群g 的对角自同构，又因为仳 = 1 ，所以 妒( o 玎( q 巧) ) = t i j ( u i k i i a i j ) ( c ) 环自同构 设6 是环z 的自同构，对于群g 任一具有如下形式的自同构 矗：a 谚e 玎一6 ( q 巧) e 巧 i ji j 我们把它称作环自同构显然g = 1 群g 的自同构群比较复杂，在此我们只讨论一种特殊的情况，即当t , = 3 的情 形，我们给出了其自同构群的具体结构为了下文叙述的方便，将对符号做如下约 定 对于任意给定的整数a ，6 ，c ，令 g=1 0 x y l 2 莩 o l l 2 z o e l 3 z 吻z 当6 整除n c 时，g 是2 1 r 1 ( 3 ，z ) 的子群。且其上中心列为 g = c o g e 1 g 1 2 g = 1 ，其中e i g = ( t 1 3 ( b 口) iq z ) ， 定义4 1 当。时，对任一矩阵m = u l l u 1 2 ) g l c 2 ，z ，映射 p m ：g 一 g t 1 2 ( o ) 一t 趁2 ( o ) 瑙1 ( c ) t 2 3 ( c ) 卜- 一+ t 丧2 ( a ) t 蹇2 ( c ) t 1 3 ( b ) i - - - - + t 1 3 ( b ) 诱导出群g 的一个自同构我们称之为群g 的一般自同构并用日表示所有一般自 一2 l - 湖北大学硕士学位论文 同构的集合，则日掣g l ( 2 ，z ) 现在我们用 3 2 1 的技术给出群g 的自同构群的结构 令 k = 盯a u t ( g ) i 盯平凡的作用在g a g 上】， 则k 是a u t ( g ) 的一个正规子群 定理4 2 设g 的意义如上述， ( 1 ) 当a ，c 都等于零时，贝j j a u t ( g ) 竺z 2 ； ( 2 ) 兰i a ，c 中只有一个等于零时，贝l j a u t ( g ) 垡g l ( 2 ，z ) ； ( 3 ) 当a c , 0 时，妒为g 的任一自同构，那么存在一般自同构腑和k 中的元盯， 使得妒= p m a ，且a u t ( g ) 竺g l ( 2 ，z ) k ( zo zo z 2 ) 证明( 1 ) 当a = 0 ，且c = o 时，则g 竺z ，故a u t ( g ) 竺z 2 ； ( 2 ) 当a ，c 中只有一个等于零时，不妨设a = 0 ，c 0 ，则g 型zo z ， 故a u t ( g ) 竺g l ( 2 ，z ) ； ( 3 ) 当a c 0 时，则 g = 位1 2 ( o ) ，t 船( c ) ，t 1 3 ( b ) i t 1 2 ( a ) ，亡船( c ) 】= 亡：3 ( 6 ) ) ， 其中0 c = r b 取妒为g 的任一自同构，假设 妒：g 叫g t ；1 2 ( a ) 一亡岂2 ( o ) t 器1 ( c ) 瓷( 6 ) 场( c ) 一t 器2 ( 口) t 著( c ) 堪( 6 ) t 1 3 ( a ) ht 器3 ( b ) 其中t 锄，仇z ，v 3 = 士1 显然g 中任一元夕均有唯一的表示，则对于g 中任意两个元z 1 ，z 2 ，我们有 孔= 愿( 口) t ( c ) 氆( 6 ) ， 其中i = 1 ，2 y n ln q o ( z l z 2 ) = 妒( z 1 ) 妒( z 2 ) ，贝i j 妒( z l z 2 )= 妒( 亡铭( o ) t 级( c ) t 器( 6 ) t 铭( o ) 兔( c ) t 器( 6 ) ) = ( 。1 1 t 2 1 1 ( n ) 亡器1 ( c ) t 器( 6 ) ) m 1 ( 岂2 ( o ) t 著( c ) t 器( 6 ) ) m 2 ( t 器( 6 ) ) 仇3 ， 2 2 4 群g 的自同构 其中 其中 m l = a l + 6 2 ，n 22b l + 5 2 ，m = c 1 + c 2 一r a 2 b l ； 妒( z 1 ) 妒( z 2 )= 妒( 亡趁( n ) 臭( c ) t i j ( 6 ) ) 妒( t 饕( 口) t 兔( c ) t 畏( 6 ) ) = ( t 耗1c a ) t 2 3 1 ( c ) t 器( 6 ) 尸1 ( 墨2 ( o ) t 蹇2 ( c ) t 器( 6 ) ) ( t 1 3 ( 6 ) ) 们 n l2a l + a 2 ，n 2 = b l + b 2 ，n 32v 3 ( c l + c 2 ) + r a 2 b l ( u 1 2 t t 2 1 一u 1 1 u , 2 2 ) ； 并且 u 1 2 u 2 1 一u n u 2 22v 32 士1 即 m = 芝) 础亿z ， 于是我们有 尉妒( t 1 2 ( 口) ) = 1 2 ( 口) 亡1 1 ) 3 1 ( 6 ) ， 历毋妒( 2 3 ( c ) ) = t 2 a ( c ) t 瑟a ( c ) ，p m l 妒( t 1 3 ( b ) ) = t 招( 6 ) 令 口：g _ g t 1 2 ( a ) t 2 3 ( c ) t l a ( a ) t 1 2 ( a ) t 器( b ) t 2 z ( c ) t 器a ( b ) 瑞( 6 ) 其中仇z ，v 3 = 士1 显然盯k 并且仃一1 耐v ( t 1 2 ( o ) ) = t 1 2 ( a ) ，a - l p 砒a ( t 1 3 ( b ) ) = t 1 3 ( b ) ， o - l p i 4 1 v ( t 2 a ( c ) ) = 如3 ( c ) 则 口一1 p 君妒= i d a ， 故 肇5p m o - 又因为何是a u t ( g ) 的子群，k 是a u t ( g ) 的正规子群，并且日nk = 1 。于是我 湖北大学硕士学位论文 们可以得到 故 a u t ( g ) = h kk a u t ( g ) 竺g l ( 2 ，z ) ( z o z oz 2 ) 2 4 参考文献 参考文献 【1 】a d n e yj e a n dy e nt ，a u t o m o r p h i s m so fap - g r o u p 【j 】i l l i n o i sj m a t h ，1 9 6 5 ， 9 ：1 3 7 1 4 3 【2 】c u r r a nm j ，a u t o m o r p h i s m so fc e r t a i np - g r o u p s ( po d d ) 【j 】b u l l a u s t r a l m a t h s o c 1 9 8 8 ，3 8 ( 2 ) ，2 9 9 - 3 0 5 【3 】d i e u d o n n 6 j e a n ，o nt h ea u t o m o r p h i s m so ft h ec l a s s i c a lg r o u p s 【j 】m e r m a m e r m a t h s o e n o 2 ( 1 9 5 1 ) 【4 】g i b b sra u t o m o r p h i s m so fc e r t a i nu n i p o t e n tg r o u p s 【j 】j a l g e b r a , 1 9 7 0 ，1 4 ( 2 ) ： 2 0 3 2 0 8 【5 】g o d i n oc ，o u t e ra u t o m o r p h i s m so fc e r t a i np - g r o u p s 【j 】p r o c a m e r m a t h s o c ， 1 9 6 6 ，1 7 ( 4 ) ：9 2 2 - 9 2 9 【6 】g o r e n s t e i nd ，f i i l i t cg r o u p s 【】m 】n e wy o r k ：h a r p e ra n d r o w , 1 9 6 8 【7 】h u a l k ，w a nz h e x i a n ，c l a s s i c a lg r o u p s 【m 】s h a n g h a is c i e n c ea n dt e c h n o l o g yp r e s s ，1 9 6 3 【8 】h u a l k a n di r e i n e r ，a u t o m o r p h i s m so ft h eu n i m o d u l a rg r o u p 【j 】t r a m a m e r m a t h s o e 7 1 ( 1 9 5 1 ) 3 3 1 - 3 4 8 【9 】h u p p e r tb ，e n d f i c h eg r u p p e ni 【m 】( 中译本) ，b e r l i n h e i d e l b e r g - n e wy o r k ： s p r i n g e r , 1 9 6 7 【1 0 】k h u k h r oe i ，p - a u t o m o r p h i s m so ff i n i t ep - g r o u p 【m 】n e wy o r k ：c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 8 【1 1 】l e v c h u kvm ，s u b g r o u p so f t h eu n i t r i a n g u l a rg r o u p 阴i z v a k a d n a u ks s s r , s e r m a t ，3 8 ，n o 6 ，1 2 0 2 1 2 2 0 ( 1 9 7 4 ) 【1 2 m a c d o n a l di d ，t h et h e o r yo fg r o u p s 【m 】o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，1 9 6 8 【13 】m a g i n n i sj s ，o u t e ra u t o m o r p h i s m so fu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e s 【j 】j a l g e b r a , 1 9 9 3 ，1 6 1 ：2 6 7 - 2 7 0 【1 4 】m a n na ，s o m eq u e s t i o n sa b o u tp - g r o u p s 叨j a u s t r a l m a t h s o c s e r a ，1 9 9 9 ， 6 7 ( 3 ) ：3 5 6 - 3 7 9 2 5 湖北大学硕士学位论文 【1 5 】p a v l o vpp ，s y l o wp - s u b g r o u p so ft h ef u l ll i n e a rg r o u po v e rap r i m ef i e l do f c h a r a c t e r i s t i cp 【j 】i z v a k a d n a u ks s s r , 1 9 5 2 ，1 6 ( 5 ) ：4 3 7 4 5 8 【1 6 】p e t e c h u kvm ，a u t o m o r p h i s m so fm a t r i xg r o u p so v e rc o m m u m t i v et i n g s 【j 】 m a t h u s s rs b o m i k v 0 1 4 5 ( 19 8 3 ) n o 4 ：5 2 7 5 4 2 【1 7 】r e er ，t h ee x i s t e n c eo fo u t e ra u t o m o r p h i s m so fs o m eg r o u p s 【j 】p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 5 6 ，7 ( 6 ) ：9 6 2 - 9 6 4 【18 】r i c k a r tc e i s o m o r p h i cg r o u p so fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s 【j 】a m e r j m a t h 7 2 ( 1 9 5 0 ) 4 5 1 删 【1 9 】r o b i n s o nd j s ，ac o u r s ei nt h et h e o r yo fg r o u p s ( s e c o n de d i t i o n ) 【m 】n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 6 【2 0 】r o b i n s o ng r ，c o n j u g a c yc l a s s e so fu n i t r i a n g u l a rg r o u p sa s s o c i a t e dt of i n i t e d i m e n s i o n a la l g e b r a s 叨g r o u pt h e o r y i 1 9 9 8 ，3 ：2 7 1 2 7 4 【2 1 】r o s ej s ，ac o u l o ng r o u pt h e o r y 【m 】c a m b r i d g eu n i v e n i t ) ，p r e s s ，1 9 7 8 【2 2 】r o t m a nj j ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fg r o u p s 【m 】4 t he d n n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 5 【2 3 】s c h e n k m a ne ，t h ee x i s t e n c eo fo u t e ra u t o m o r p h i s