（计算数学专业论文）非线性反常次扩散方程和分数阶rayleighstokes问题的adomian分解法.pdf

摘要 近些年来，人们逐渐发现分数阶导数在许多科学领域中，特别 在工程、物理、金融、水文等领域发挥了越来越重要的作用，而且 在模拟物理现象时分数阶微分方程是一个很有用的数学工具近年 来，本文所讨论的非线性反常次扩散方程( n a - s u b d e ) 和带有分数 阶导数模型的加热一般第二级流体的r a y l e i g h s t o k e s 问题( r s p - h g s g f ) 受到越来越多的关注，但是有效的求解非线性反常次扩散方程的方 法仍然处于初期阶段，而且r s p - h g s g f 里速度场和温度场的精确解的 实际值很难计算出来 本文用a d o m i a n 分解方法分别考虑了非线性反常次扩散方程和 带有分数阶导数模型的加热一般第二级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题 a d o m i a n 分解方法能够很好的处理非线性项，并且不用离散方程就能 提供高精度的近似解，而且增加分解序列新的项就能使总体误差变 的很小，因此通过a d o m i a n 分解方法可以很有效的得到非线性反常 次扩散方程的近似解。对于本文所讨论的第二类方程：含有分数阶导 数模型的加热一般第二级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题( r s p - h g s g f ) ，通 过a d o m i a n 分解方法可以很有效的得到r s p - h g s g f 的速度场和温度场 的近似解在每一部分都给出了数值例子来证实所提出的数值方法 的有效性从本文的讨论中可以看出本文中所提出的数值方法也适 用于求解其他类型的分数阶微分方程 关键词：分数阶导数，分数阶积分，a d o m i a n 分解方法 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f r a c t i o n a lc a l c u l a t i o np l a y sam o r ea n dm o r ei m p o r t a n t r o l ei nv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c e ，e s p e c i a l l yi ne n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，f i n a n c e ，a n d h y d r o l o g y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf r a c t i o n a lo r d e rh a v er e c e n t l yp r o v e dt o b ev a l u a b l et o o l st om o d e l i n go fm a n y p h y s i c a lp h e n o m e n a r e c e n t l y , t h en o n - l i n e a ra n o m a l o u ss u b d i f f u s i o ne q u a t i o n ( n a o s u b d e ) a n dt h er a y l e i g h - s t o k e s p r o b l e mf o rah e a t e dg e n e r a l i z e ds e c o n dg r a d ef l u i d ( r s p - h g s g f ) h a v eb e e n t r e a t e db ym a n ya u t h o r s h o w e v e r ，e f f e c t i v em e t h o d sf o rt h en o n - l i n e a ra n o m - a l o u ss u b d i f f u s i o ne q u a t i o n ( n a - s u b e ) a r es t i l li nt h e i ri n f a n c y f u r t h e r m o r e t h er e a l i t yv a l u eo fe x a c ts o l u t i o n so ft h ev e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r ef i e l d so f r s p - h g s g fa r ed i f f i c u l tt oc o m p u t e i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h en o n - l i n e a ra n o m a l o u ss u b d i f f u s i o ne q u a - t i o na n dt h er a y l e i g h s t o k e sp r o b l e mf o rah e a t e dg e n e r a l i z e ds e c o n dg r a d e f l u i db yu s i n ga d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d t h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o dc a np e f f e c t l yd e a lw i t hn o n l i n e a rt e r m ，a n dp r o v i d eh i g h l ya c c u r a t e n u m e r i c a ls o l u t i o nw i t h o u td i s c r e t i z a t i o nf o rt h ep r o b l e m t h eo v e r a l le r r o r s c a l lb er e d u c e dt oam u c hs m a l l e re x t e n tb ya d d i n gn e wt e r m so ft h ed e c o m - p o s i t i o ns e r i e s w ec a no b t a i na p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h en o n - l i n e a ra n o m - a l o u ss u b d i f f u s i o ne q u a t i o nb yu s i n ga d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d f o r t h er a y l e i g h - s t o k e sp r o b l e mf o rah e a t e dg e n e r a l i z e ds e c o n dg r a d e f l u i d ( r s p - h g s g f ) ，w ec a no b t a i na p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h ev e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r e f i e l d so fr s t - h g s g fb yu s i n ga d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d n u m e r i c a le x - m n p l e sa r ep r e s e n t e di ne a c hc h a p t e r ，w h i c hv e r i f yt h ee f f i c i e n c yo ft h ea b o v e n u m e r i c a lm e t h o d t h et e c h n i q u e sc a na l s ob ea p p l i e dt od e a lw i t ho t h e rt y p e s o ff r a c t i o n a lo r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，f r a c t i o n a li n t e g r a l ，a d o m i a nd e c o m - p o s i t i o nm e t h o d m 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明入( 签名) ：物荡 扫。答年；只1 5b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ) 作者签名：亲兹扬 日期：2 0 谚年乡月修日 导师签名：日期：年月日 序言 近几十年来，人们逐渐发现分数阶导数在许多科学领域中发挥了越来越 重要的作用，特别在工程，物理，金融，水文等领域 1 ，2 ，3 ，4 】近年来已经证 明了分数阶的微分方程对于模拟许多物理现象是一个很有用的数学工具与 整数阶模型相比，分数阶模型在某些领域能与实际现象更吻合 2 , 5 ，6 】 1 9 2 6 年r i c h a r d s o n 关于湍流扩散的论文发表后，反常扩散被世人所关 注在许多复杂的系统里，扩散过程不再呈现高斯分布，相应的f i c k 第二定 律也不能描述相关的传输行为次扩散运动在一些复杂的系统里是特别重要 的，比如在反常碎片形几何上的传输、多孔渗水的系统、在聚合的系统里动力 学的激发等问题 7 】分数阶核方程已经证明在描述反常慢扩散( 次扩散) 过 程中非常有效次扩散运动由如下形式 o 矿 ( z 2 ( t ) ) 一斋等b ，t _ ， 工l 上广y j 的平均平方位移的渐进长时间性态来表示这里0 1 o t ( 1 ) it2 丽i 【a r 瓦广j ，2u ， j 其中7 ( 0 7 0 o ，y 1 ，( 2 ) u ( x ，0 ) = p ( z ) ，( 3 ) 用a d o m i a n 分解方法解n a s u b e 和r s p - h g s g f 3 其中尼，是扩散系数，f ( x ，t ，珏( z ，t ) ) 是一个连续函数，d ；1 是1 一，y 阶的 r i e m m a n - l i o u v i l l e 时间分数阶导数 同样地，n a v i e r - s t o k e s 问题很难得到精确解，特别当我们考虑到黏弹性 流体的本质关系时就更难得到精确解了然而，由于黏弹性流体在许多领域特 别是在生物流变学，地球物理，化学制品和石油工业【2 6 】等领域的需要，黏弹 性流体受到越来越多人的关注因为很难建立一个简单的模型来描述黏弹性 流体的所有性质，所以黏弹性流体不能象牛顿流体那样简单的表示因此，人 们提出了本质方程的许多模型近年来，分数阶模型很好的描述了黏弹性流 体黏弹性流体的分数阶导数模型的出发点是用r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶算 子代替经典微分方程里的整数阶时间导数这个一般性允许我们精确的定义 非整数阶积分和导数b a g l e y 2 7 ，f r i e d r i c h 2 8 】和，i h n 【2 9 】相继在许多流变学 问题中引进分数阶计算分数阶导数在描述黏弹性流体的运动是可行的 平板的s t o k e s 第一类问题和边缘的r a y l e i g h s t o k e s 问题受到人们越来 越多的关注【3 0 ，3 l ，3 2 】在一个充满黏稠的不可压缩流体的半空间里，一个无 限的平板在静止状态下突然以常速度开始运动，这个不稳定流体问题讨论了 流体运动的涡旋状的扩散通过变量变换的相似性，s t o k e s 得到牛顿流体的 精确解但是对于一个第二级流体，严格相似的解不存在【3 3 】并且第二级 流体的运动方程比n a v i e r - s t o k e s 方程高阶，所以一般情形下除了边界条件还 额外需要其他条件r a j a g o p a l 首先研究了这个问题，并且得到了一些精确 解( 3 4 】一 3 9 1 ) 然而，当内部摩擦不可忽略时，一个流体的温度分布的决定就显得非常 重要b a n d e l l i 3 4 1 研究了取决于一些单向流体的一个第二级流体的热的对流 问题近年来， f e t e c a u 4 0 1 延拓了r a y l e i g h - s t o k e s 问题到一个加热第二级 流体s h e n 等人 4 1 】研究了带有分数阶导数模型的加热一般第二级流体的 r a y l e i g h - s t o k e s 问题通过傅立叶正弦变换和分数阶拉普拉斯变换得到了速 度场和温度场的精确解，但是精确解的实际值却非常难计算出来所以本文 的第二个目的是用a d o m i a n 分解方法解带有分数阶导数模型的加热一般第二 级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题( r s p - h g s g f ) 用a d o m i a n 分解方法解n a s u b e 和r s p - h g s g 4 本文分别考虑t 二i l e 线性反常次扩散方程和带有分数阶导数模型的加热一 般第二级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题为了便于读者阅读，本文先给出了有 关的预备知识列出了r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数和分数阶积分的定义和 性质第二章，考虑非线性反常次扩散方程，a d o m i a n 分解方法能够很好的 处理非线性项，并且不用离散方程就能提供高精度的近似解，而且增加分解序 列新的项就能使总体误差变的很小，所以通过a d o m i a n 分解方法可以很有效 的得到非线性反常次扩散方程的近似解数值例子也证实了数值方法的有效 性第三章，考虑有分数阶导数模型的加热一般第二级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题( r s p - h g s g f ) 通过a d o m i a n 分解方法可以很有效的得到速度场和温度 场的近似解最后，也给出了数值例子来说明方法的有效性从本文的讨论 中可以看出本文中所提出的数值方法也适用于求解其他类型的分数阶微分方 程 第一章预备知识 这一章给出r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数和分数阶积分的定义和性质 【1 ，4 2 】，这些定义和性质在本文后面的讨论中将会用到 定义1 1 ；( r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义的分数阶导数) 【1 】| f 剐南j = ：鹋 ，o - 1 ，则 1 3 ：3 f ( t 、= 3 。l 岭。 2 j g z , 口f ( t ) = 3 3 譬 峨。 3 毋t 7 = 卷转1 ， 4 研t 1 = 耥扩a ( 1 3 ) 性质1 2 ：对于常数c 有 曰c = 焉舵。 ( 1 4 ) 性质1 3 ；如果，l i o ，6 】和0 m 一1 q o ，o 7 1 ，( 2 1 ) u ( z ，0 ) = p ( z ) ，( 2 2 ) 其中是扩散系数，f ( x ，t ，u ( x ，t ) ) 是一个连续函数，d ；1 是1 一，y 阶的 r i e m m a n l i o u v i l l e 时间分数阶导数 非线性反常次扩散方程的数值方法非常有限，在这一章里应用a d o m i a n 分解方法来解n a s u b d e 4 4 ，4 5 】 2 1a d o m i a n 分解方法的分析 n a - s u b d e ( 2 1 ) 的算子形式为： d ；u ( x ，t ) = 珥一7 【d ：u 扛，t ) + f ( x ，t ，u ( x ，t ) ) 】，t 0 ，0 ，y l ，( 2 3 ) 其中由定义1 1 定义的时间分数阶微分算子和空间分数阶微分算子分别表示 为：o , 1 = 爰，珑= 器 用算子珥的逆算子以作用在方程( 2 3 ) 的两边，从而得到： u ( x ，t ) = 让( z ，0 + ) + 以c 嘻一1 【 0 d 星“( z ，t ) + f ( x ，t ，u ( x ，t ) ) 】( 2 4 ) 假设 u ( x ，t ) = 乱竹( z ，t ) ， ( 2 5 ) n = 0 f ( x ，t ，乱( z ，t ) ) = 玩， ( 2 6 ) n = 0 其中让。( z ，t ) 可以用递归方法来求解，玩是由u o ，乱1 ，牡n 决定的a d o m i a n 多项式分解序列的收敛性已经得到证明【4 6 ，4 7 】 将( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入( 2 4 ) 的两边得到： 接下来引进递归关系： ( 2 7 ) u o ( x ，t ) = u ( z ，o + ) ， ( 2 8 ) u n + l ( z ，t ) = 刀d ；1 碰2 缸。( z ，t ) + 既】，佗0 ( 2 9 ) 为了确定a d o m i a n 多项式，引进一个参数a ，则由( 2 6 ) 有： o 。 o o 他，t ，让n ( z ，t ) ) = 取”， ( 2 1 0 ) n = o n = o 于是 玩= 去【杀他 三0 0 姒州胪小= o 因此，从( 2 8 ) ( 2 9 ) 和( 2 1 1 ) 可以导出下面的递归关系： u o ( x ，t ) = p ( z ) ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 帅归刀妒印孙2 + 五1 【而d m 薹咄列脚_ 0 】舵。 ( 2 1 3 ) 最后通过截断序列来逼近解仳( z ，t ) ： 叫( z ，t ) 1 ，i mw n ( x ，t ) j v _ 一1 = u n ( z ，t ) ， n = 0 = 让0 ，t ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 在大多数情况下能得到在闭区域里的精确解，而且a d o m i a n 分解序列 一般收敛非常快速a d o m i a n 分解方法不用离散方程就能提供高精度的近似 解，而且增加分解序列新的项就能使总体误差变的很小 2 2数值例子 j 玩 脚 + 幻 z n u 脚 磋k 7 一 d 毋 + + ozu = 幻 z n u 脚 一一 旦叁垡2 堡! 塑坌堡壅鲨堡垒坠：塾堕塑墨墅：壁逆 9 _ _ - _ - - - _ _ - - - - 。_ - _ _ - i - _ _ _ - _ _ - _ _ - - _ _ _ - _ 。- - _ _ - _ 。_ _ - _ _ - _ - _ 。_ _ - 。- _ _ 。_ 。_ - _ 。_ - ，_ 。- _ 。_ _ 。 _ - 。_ _ _ 。_ _ 。_ 。1 一一一 例2 1 ：考虑下面非线性反常次扩散初值问题： o u ( x ，t ) 疣 u ( x ，0 ) d t l _ 1 1 可0 2 u ( x , t ) + m ，州z ，蛳t 。， p ( x ) = 0 ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中0 ，y 1 , f ( x ，t ，u p ，t ) ) = u 2 ( z ，t ) + ( o 5 r ( 3 + ，y ) 护一t 2 + 1 ) 矿一t 4 + 2 7 e 缸 这个方程的精确解为( z ，t ) = t 2 + 1 t e z ，可以直接将它代入方程进行验证 应用a d o m i a n 分解方法，由性质1 1 1 3 有： u ( x ，t ) = u ( x ，0 + ) + 刀d ；一7 陋埕u ( x ，t ) + u 2 ( z ，t ) + ( o 5 r ( 3 + 一y ) 铲一t 2 + 1 ) e 一t 4 + 2 t e 知】， ( 2 1 8 ) 接下来引进递归关系： 蜘扛，t ) = u ( z ，o + ) ， + 1 ( z ，t ) = 以d ；一7 【谚让。( z ，t ) + 风】，佗0 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 由( 2 1 1 ) ，表示非线性项f ( x ，t ，牡( z ，z ) ) = u 2 ( z ，t ) + ( o 5 r ( 3 + 7 ) 亡2 一 t 2 + 1 ) 矿一t 4 + 2 1 e 红的a d o m i a n 多项式点k 的前几项定义为： b 0 2 b 1 2 岛= 玩= 蜀= u 3 + ( o 5 r ( 3 + 7 ) t 2 一t 2 + 1 ) e z t 4 + 2 7 e 缸， 2 u o u l ， u ；+ 2 u o u 2 ， 2 u l u 2 + 2 u o u 3 ， 让；+ 2 u l u 3 + 2 u o u 4 ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 当1 = 0 9 时，应用m a t h e m a t i c a 软件，由( 2 1 9 ) - ( 2 2 5 ) 和初始条件 叁垡婴塑坌堡壅鲨堡坐：塾丝塑墨垒堑鲢 1 0 ( 2 1 7 ) 有： u o ( x ，t ) = 0 ， u l ( x ，t ) = t 2 g e 2 0 2 9 7 0 8 3 t3 。$ e x o 1 7 9 2 9 1 t 6 7 e 知 u 2 ( x ，t ) = 0 2 9 7 0 8 3 t 3 8 e 霉一0 0 7 3 0 6 6 4 t 4 7 e 2 x 一0 1 1 4 8 8 7 t 7 6 e 2 z u z ( z ，亡) = 0 0 7 3 0 6 6 4 t 4 7 e 2 0 0 1 5 3 7 3 7 t 5 6 矿+ 0 1 7 9 2 9 1 t 6 7 e 2 z o 1 0 0 5 8 t s 5 e 2 王 + 0 0 0 5 7 5 0 4 6 t 9 4 e 红一0 0 4 3 0 1 6 4 t 10 5 e 3 z 一0 0 2 5 6 0 6 6 t u 4 e 缸 + 0 0 0 9 8 3 4 1 7 t 1 2 3 e 钯+ 0 0 0 2 9 2 3 7 2 t 1 4 3 e 3 x + 0 0 0 3 5 4 7 3 5 t 1 5 2 e 缸 ： 然后继续下去用这种关系，分解序列剩余部分就都可以得到于是解的 序列形式为； u ( z ，t )u o ( x ，t ) + u l ( x ，t ) + u 2 ( x ，t ) + u 3 ( z ，t ) + t 2 g e z 一0 0 1 5 3 7 3 7 t 5 6 e 2 0 1 1 4 8 8 7 t r 6 e 2 z 一0 1 0 0 5 8 t s 5 e 2 x + 0 0 0 5 7 5 0 4 6 t 9 4 e 2 王一0 0 4 3 0 1 6 4 t l o 5 e 缸一0 0 2 5 6 0 6 6 t u 4 e 3 z + 0 0 0 9 8 3 4 1 7 t 1 2 3 e 3 x + 0 0 0 2 9 2 3 7 2 t 1 4 3 e 3 x + 0 0 0 3 5 4 7 3 5 t 1 5 2 e 4 z + ( 2 2 6 ) 图2 1 显示了当，y = 0 9 时在t = 0 5 时刻，由a d o m i a n 分解方法得到 的近似解以及非线性反常次扩散方程的精确解从图2 1 可以看到近似解与 精确解非常吻合 图2 1 ：当1 = 0 9 时在t = 0 5 时刻比较近似解和精确解 例2 2 ：考虑时间分数阶f i s h e r 方程模型： o u ( x ，) 砒= 研1 掣州州，u ( 删孔 u ( x ，0 ) = p ( z ) = x 3 一z 2 + 4 ， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中0 7 0 ， ( 2 3 7 ) u ( x ，0 ) = p ( x ) = z 2 一z 3 - 4 - 2 ，( 2 3 8 ) 其中0 ，y 1 , f ( x ，t ，u ( x ，t ) ) 是立方多项式f ( x ，t ，钍( z ，t ) ) = u ( z ，t ) ( 1 一 u ( x ，t ) ) ( ( z ，t ) 一口) ，0 口 0 3 2 1速度场的近似解 方程( 3 1 0 ) 的算子形式为： ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) d l u ( x ，t ) = ( 4 - q d 9 ) d ：u ( x ，亡) ，z o ，0 ，0 p 1 ， ( 3 1 4 ) 其中时间分数阶和空间分数阶微分算子分别是由定义( 1 1 ) 所定义的，表示 为：d 乒= 笳，磁= 品 应用d 的逆算子以到( 3 1 4 ) 式可以得到： 乱( z ，t ) = u ( x ，0 + ) + 矗 ( u + q d f ) 谚乱( z ，t ) 】( 3 1 5 ) 类似的假设： u ( x ，) = 乱n ( z ，) ， n = o ( 3 1 6 ) 其中u n ( z ，t ) ，礼0 可以用递归方法来求解 将( 3 1 6 ) 代入( 3 1 5 ) 的两边得 0 0 ( z ，t ) = u ( x ，0 + ) + 以【( t ，+ q d 9 ) 珑( u n ( z ，吼 ( 3 1 7 ) n = o n = o 接下来引进递归关系： u o ( x ，t ) = u ( x ，o + ) ， + l ( z ，t ) = 以【( + a d p ) d ：牡n ( z ，t ) 】，礼0 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 最后通过截断序列来逼近解“( z ，) ： 一1 w n ( x ，亡) = 让n ( z ，) ， ( 3 2 0 ) n = o 艘w n ( x ，t ) = 珏( z ，t ) ( 3 2 1 ) 在大多数情况下能得到在闭区域里的精确解，而且a d o m i a n 分解序列 一般收敛非常快速a d o m i a n 分解方法不用离散方程就能提供高精度的近似 解，而且增加分解序列新的项就能使总体误差变的很小 3 2 2温度场的近似解 方程( 3 1 1 ) 等同于牛顿流体和经典第二级流体的能量方程然而，由于 速度分布u ( x ，t ) 不同，所以由方程( 3 1 1 ) 得到的温度场不同于牛顿流体和经 典第二级流体得到的温度场 方程( 3 1 1 ) 的算子形式为： 。，t ) = 历k 。2 p ( z ，t ) + 争珑让( 删2 ， 应用d 的逆算子毋到( 3 2 2 ) 式可以得到： 口( z ，) = 口( z ，。+ ) + 以l 。历k 。鲰，t ) 】+ 璀 磁让( z ，t ) 】2 】 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 类似的假设： o ( x ，t ) = 靠( z ，t ) ， ( 3 2 4 ) 其中( z ，亡) ，几0 可以用递归方法来得到解 将( 3 2 4 ) 代入( 3 2 3 ) 的两边得 嘶，t ) 叫邶+ ) + 刀【专职p ( 删】枷姆u t ) 】2 】( 3 2 5 ) 接下来引进递归关系： o o ( z ，亡) = 臼( z ，o + ) + 矗 罟【谚u ( z ，t ) 】2 】 ( 3 2 6 ) 用a d o m i a n 分解方法解n a s u b e 和r s p - - h g s g f 2 0 如+ 1 ( z ，亡) = 以 刍d ： ，t ) 】，n o 最后通过截断序列来逼近解口( z ，t ) ： 一1 w n ( x ，t ) = 8 n ( x ，) ， l i 。m w n ( x ，t ) = e ( x ，t ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 3 3用a d o m i a n 分解方法解带有分数阶导数模型的 加热一般第二级流体的r a y l e i g h - s t o k e s 问题 现在考虑一个一般第二级流体静止时位于矩形边缘( z 0 ，一 0 ，( 3 3 4 ) 一 用a d o m i a n 分解方法解n a s u b e 和r s p - h 舀_ g i21- a, 。- _ 一 v _ _ - _ _ _ _ - - _ - ，- - - - _ - 一 o ( z ，名，0 ) = 0 ， z 0 ，z 0 ( 3 3 5 ) 3 3 1速度场的近似解 方程( 3 3 2 ) 的算子形式为t o l u ( = ，z ，t ) = + o 讲) ( 磋+ 谚) u ( z ，z ，t ) ， ( 3 3 6 ) 其中z 0 ，z 0 ，亡0 ，0 p 1 应用研的逆算子刀到( 3 3 6 ) 式可以得到： u ( x ，z ，t ) = u ( x ，z ，o + ) + 刀【( + q d # ) ( 珑+ d 2 z ) u ( x ，z ，t ) 】( 3 3 7 ) 类似的假设。 让( z ，2 ，t ) = u 。( z ，z ，t ) ， ( 3 3 8 ) n = o 其中u 。( z ，z ，t ) ，佗0 可以用递归方法来求解 将( 3 3 8 ) 代入( 3 3 7 ) 的两边得 o o u n ( x , z , 芒) = u ( x 7z70 + ) + 露 + q d 尹) ( d ：+ d ；) ( u n o ，名，t ) ) 】( 3 3 9 ) n - - - - o n = o 接下来引进递推关系： u o ( x ，z ，t ) = u ( z ，z ，o + ) ， ( 3 4 0 ) u n + l ( x ，z ，t ) = 刀【 + q d 9 ) ( 珑+ d ；) 也n 0 ，z ，t ) 】，n 0 ( 3 4 1 ) 最后通过截断序列来逼近解缸( z ，z ，t ) ： w r ( x ，z ，t ) 1 ，i mw n ( z ，名，t ) n _ ?。 3 3 2温度场的近似解 一1 札n ( 即，) ， n = o 乱( z ，z ，) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) 用a d o m i a n 分解方法解n a s u b e 和r s p _ h g s g f 2 2 vw 方程( 3 3 3 ) 的算子形式为： d l o ( 叩= 亳( 珑+ d ；) 咐而卅兰m ，z ，班 ( 3 4 4 ) 应用研的逆算子以到( 3 4 4 ) 式可以得到： 口( z ，名，t ) = p ( z ，z ，0 + ) + 以 历kl 2 + d ；) p ( z ，z ，t ) 】+ 刀嗟，( z ，z ，亡) 】( 3 4 5 ) 类似的假设： 口( 耶，t ) = o n ( x ，z ，t ) ， ( 3 4 6 ) 其中以( z ，名，t ) ，礼0 可以用递归方法来求解