（应用数学专业论文）几类生物数学模型的动力学研究.pdf

影 。 j 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 霁箬姜萎：粕潮作者签名：研纫吣1 日 期：砷。可f ， i - 海交通大学海父迥大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密囹。 ( 请在以上方框内打“ ”) 指导老师 签名： 日期：砷，”1 l 锺妒能jo !上海交通大学博士学位论文答辩决议书 e 所在 姓名杨瑜 学号0 0 6 0 7 12 0 0 4应用数学 学科 答辩答辩 指导教师肖冬梅 2 0 0 9 0 5 2 1 上海交通大学数学系中会议室 日期 地点 论文题目几类生物数学模型的动力学研究 投票表决结果： ，f ，f - ( 同意票数实到委员数应到委员数)答辩结论：切磊过 口未通过 评语和决议： 评语和决议：杨瑜同学的博士学位论文主要研究了儿类生物数学模型的动力学行为。首先，作者讨 j 论了一类具有时滞和更一般的非线性发生率的s i r s 传染病模型，给出了该模型基本再生数的表达式，： 平衡点稳定性和该模型产生h o p f 分支的条件，推广了已有的相关结果。其次，作者研究了一类具有时 l 滞的h i v 一1 感染模型，得到了该模型是一致持续生存的充要条件和地方病平衡点是全局渐近稳定的充分 。 、 条件，完善了已有的相关结果然后，作者在经典的b a r b o u r 模型的基础上考虑了一个更一般的数学模 型，由于分析的困难。对三种特殊的情形得到了该模型的平衡点的稳定性和该模裂产生h o p f 分支的条 件最后，作者讨论了三类更一般和更符合实际的捕食一食饵模型，分析了模型平衡点的稳定性，得到 了模型产生h o p f 分支的条件并证明了周期解的存在性。 杨瑜同学的博士学位论文选题新颖，对相关研究结果的归纳总结正确、全面。全文论证严谨，语言 表达准确、文笔流畅，证明方法有较大的创新，所获结果新颖，很有意义。答辩委员经过讨论一致认为 杨瑜同学经过博士阶段的学习，已经掌握了扎实的微分方程与动力系统理论的专业基础知识具备了很 强的研究能力，在答辩过程中能很好地回答答辩委员会专家提出的问题。答辩委员会经过投票一致同意 通过杨瑜同学的博士学位论文答辩，并认为是篇优秀的博七学位论文，建议授予理学博士学位。 一j 莎由9 讧广月叫日 职务 姓名 职称单位 7 签名 主席朱德明教授 华东师范大学 柏 答 厶历刁 辩 委员阮炯教授复旦大学 委 委员孙继涛教授 同济大学 1 们纠差， 员 会 委员周盛凡教授 上海师范大学 i 瓦 成 员 委员张祥教授上海交通大学 卿 签 l 名 委员 委员 艺 秘二 弓徐恒敏 副教授上海交通人学 一 侔忱簇 p ， 。夕 l l 摘要 几类生物数学模型的动力学研究 摘要 本文考虑了生态学和医学中几个经典数学模型的改进和推广，利用 微分方程定性理论，分支理论和泛函微分方程理论，研究其动力学行为， 如系统的持续生存性，平衡点的稳定性，周期解的存在性和稳定性，并探 讨了系统中参数对其动力学行为的影响，为解释、预测和控制生态学和 医学中的一些现象提供相应的理论依据具体地，本文做了以下工作： 一、由于传染病传播途径和方式的复杂性，实际中很难准确描述接 触率和发生率以及处于疾病潜伏期的人群数量，在文献【1 1 2 】工作的基础 上，我们考虑具有更一般的非线性发生率的s i r s 传染病模型，并引进时 滞来刻画疾病潜伏期对此模型进行全参数定性分析，给出疾病传播的 关键参数基本再生数的表达式，发现基本再生数小于1 时，无病平衡点 是全局渐近稳定的，但基本再生数大于1 时，其动力学行为依赖于时滞 量和非线性发生率中一个参数，当这些参数取某些值时，唯一的有病平 衡点在相空间内部全局渐近稳定，而取另一些参数时，唯一的有病平衡 点不稳定，出现患病人数的周期震荡现象，并从理论上证明了h o p f 分支 的存在性，推广了文献( 1 1 2 】的工作 二、我们在文献f 5 7 】工作的基础上进一步研究了一类具有时滞的 h i v - 1 感染模型的一致持续生存性和地方病平衡点的全局渐近稳定性，并 给出了该模型是一致持续生存的充要条件和地方病平衡点是全局渐近稳 定的充分条件，进一步完善了文献【5 7 】中的结果 三、不同阶段的血吸虫的发育时间对血吸虫的传播是非常重要的我 们把终宿主群体和钉螺群体分成两类：易感染者和感染者同时把不同 阶段的血吸虫的发育时间引入到经典的b a r b o u r 模型中，考虑了一个更 一般的数学模型，即含有四个时滞的四维模型我们给出了该模型基本 t 上海交通大学博士学位论文 再生数的表达式，并利用模型的不变流形将其化为平面系统当系统不 含时滞时，我们给出了平衡点是全局渐近稳定的充分条件当基本再生 数大于1 时，我们发现其动力学行为依赖于时滞量，当时滞超过某个临 界值时，唯一的地方病平衡点由稳定变为不稳定，产生h o p f 分支 四、首先我们讨论了一类具有离散和分布时滞的捕食食饵模型，给 出了正平衡点的渐近稳定性和该模型产生h o p f 分支的条件然后，我们 在经典的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵模型的基础上将年龄结构引入到捕食 种群中且适合m c k e n d r i c k - f o e r s t e r 方程，从而使模型更符合实际将该模 型化为含时滞的系统，我们给出了该系统解的正不变性、有界性并得到 了其边界平衡点全局渐近稳定的充分条件我们发现当时滞逐渐增大到 某个临界值时该正平衡点将失去稳定性，产生h o p f 分支并给出了具体公 式来判断由h o p f 分支产生的周期解的稳定性和分支方向最后，我们讨 论了一类更符合实际且具有更一般功能反应函数的非自治捕食一食饵模 型，给出了该模型至少存在一个正周期解的充分条件 关键词：微分方程，时滞，一致持续生存，稳定性，周期解，h o p f 分支 l a b s t r a c t d y n a m i cs t u d i e so fs e v e r a l b i o m a t h e m a t i c sm o d e l s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h ei m p r o v e m e n ta n d e x t e n s i o no fs e v e r a lc l a s s i c a l m a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h ee c o l o g ya n dm e d i c i n e u s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b i f f u c a t i o nt h e o r ya n df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e o r y , w es t u d yt h e i rd y n a m i c a lb e h a v i o r s ，s u c ha st h ep e r s i s t e n c eo ft h es y s t e m ，t h e s t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u ma sw e l la st h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i c i n f l u e n c eo nt h ed y n a m i c a lb e h a v i o r si sa l s o e x p l o r e dh e r e i t ，t h e r e f o r e ，s e t su ps o m et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n sf o re x p l a i n i n g ， p r e d i c t i n ga n dc o n t r o l l i n gs o m ep h e n o m e n ai nb o t he c o l o g ya n d m e d i c i n e t ob e s p e c i f i c ，o u rr e s e a r c hi s a sf o l l o w s ： f i r s t ，b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h em o d eo ft r a n s m i s s i o n ，i ti s d i f f i c u l t t oa c c u r a t e l yd e s c r i b et h ea c t u a lc o n t a c tr a t e ，i n c i d e n c er a t ea n dt h en u m b e ro f p o p u l a t i o ni nd i s e a s e l a t e n tp e r i o d ，b a s e do nt h ew o r ko f 【11 2 ，w ec o n s i d e rac l a s s o fs i r se p i d e m i cm o d e lw i t hm o r eg e n e r a ln o n l i n e a ri n c i d e n c ea n d i n t r o d u c et i m e d e l a yt od e s c r i b et h ed i s e a s el a t e n tp e r i o d b yt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fw h o l e p a r a l e t e r s ，w eg i v et h ee x p r e s s i o no ft h eb a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e r o ft h em o d e l f o rt h es p r e a do ft h ed i s e a s e w h e nt h eb a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e ri sl e s st h a n 1 t h ed i s e a 8 ef r e ee q u i l i b r i u mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e b u tw h e n t h e b a s i cr e d r o d u c t i v en u m b e ri sg r e a t e rt h a n1 ，d y n a m i c a lb e h a v i o r sd e p e n do nt h e t i m ed e l a ya n do n ep a r a m e t e r so ft h en o n l i n e a ri n c i d e n c e w h e nt h e s ep a r a m e t e r s a r et a k e nc e r t a i nv a l u e s ，t h eu n i q u ee n d e m i ce q u i l i b r i u mi nt h ep h a s es p a c ei s g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e w h e nt h e ya r et a k e ns o m eo t h e rp a r a m e t e r s ，t h e u n i a u ee n d e m i ce q u i l i b r i u mi su n s t a b l ea n d t h ep e r i o d i c a lo s c i l l a t i o np h e n o m e n ao f p a t i e n t so c c u r a n dw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o n o u rw o r ke x t e n d i i i 1 上海交通大学博士学位论文 t h ew o r ko fl n 2 s e c o n d ，b a s e do nt h ew o r ko f 【5 7 】，w ef u r t h e rs t u d yt h eu n i f o r mp e r s i s t e n c e a n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ei n f e c t e de q u i l i b r i u mf o ra c l a s so fd e l a y e d h i v - 1i n f e c t i o nm o d e l a n dw eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r t h eu n i f o r mp e r s i s t e n c eo ft h em o d e la n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ei n f e c t e de q u i l i b r i u m ，w h i c hf u r t h e ri m p r o v e t h er e s u l t s o f 5 7 】 t h i r d ，t h ed e v e l o p m e n t a lt i m e so ft h ed i f f e r e n ts t a g e so fs c h i s t o s o m ai s v e r y i m p o r t a n tf o rs c h i s t o s o m et r a n s m i s s i o n ，w ed i v i d et h ed e f i n i t i v eh o s t sp o p u l a t i o n a n dt h ei n t e r m e d i a t es n a i l sp o p u l a t i o ni n t ot w od i s j o i n tc l a s s e s ：s u s c e p t i b l ea n d i n f e c t e d ，r e s p e c t i v e l y a n d w ei n c o r p o r a t ee f f e c t so ft h ed e v e l o p m e n t a lt i m e so f t h ed i f k r e n ts t a g e so fs c h i s t o s o m ai n t ot h ec l a s s i cb a r b o u rm o d e la n dc o n s i d e ra m o r eg e n e r a lm a t h e m a t i c a lm o d e l ，w h i c hi saf o u rd i m e n s i o n a lm o d e lc o n t a i n i n g f o u rt i m ed e l a y s w eg i v et h ee x p r e s s i o no ft h eb a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e ro ft h e m o d e l u s i n gt h ei n v a r i a n tm a n i f o l do ft h em o d e l ，w er e d u c ei t t oap l a n a rs y s t e m w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fe q u i l i b r i u m o ft h em o d e lw i t h o u tt i m ed e l a y s w h e nt h eb a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e ri sg r e a t e r t h a n1 w ef i n dt h a td y n a m i c a lb e h a v i o r sd e p e n do nt h et i m ed e l a y w h e nt h e t i m e d e l a yc r o s s e ss o m ec r i t i c a lv a l u e s ，t h es t a b i l i t yo ft h eu n i q u ee n d e m i ce q u i l i b r i u m c h a n g e sf r o ms t a b l et ou n s t a b l e ，a n dh o p f b i f u r c a t i o n so c c u r f o u r 陀f i r s td i s c u s sap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hd i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e d d e l a y s ，g i v ec o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m a n dt h eh o p fb i f u r c a t i o no c c u r r i n g n e x t ，b a s e do nt h ec l a s s i cl o t k a - v o l t e r r a p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，w ei n t r o d u c ea g e - s t r u c t u r e i n t ot h ep r e d a t o rs p e c i e ss a t i s f i e d t h em c k e n d r i c k - f o e r s t e re q u a t i o n ，w h i c hi sm o r et a l l yw i t ht h ea c t u a ls i t u a t i o n c h a n g et h em o d e li n t o ad e l a y e ds y s t e m w eg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e p o s i t i v ei n 、献i a n c ea n d b o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o na n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a - b i l i t yo ft h eb o u n d a r ye q u i l i b r i u m w ef i n d t h a tw h e nt h et i m ed e l a yg r a d u a l l y t v a b s t r a c t i n c r e j a s e st os o m ec r i t i c a lv a l u e s ，t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ml o s e si t ss t a b i l i t ya n d h o p f b i f u r c a t i o n so c c u r m o r e o v e r ，w eg i v et h ee x p l i c i tf o r m u l a st od e t e r m i n et h e s t a b i l i t ya n d t h ed i r e c t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n sb i f u r c a t i n gf r o mt h eh o p fb i f u r c a - t i o n s f i n a l l y , w ed i s c u s sac l a s so fm o r er e a l i s t i cn o n - a u t o n o m o u sp r e d a t o r p r e y m o d e lw i t hm o r eg e n e r a lf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no n t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h em o d e l k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t i m ed e l a y , u n i f o r mp e r s i s t e n c e ，s t a - b i l i t y ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，h o p fb i f u r c a t i o n v ， 目录 中文摘要 i 英文摘要i i i 第一章绪论 1 1 1 研究背景 1 1 2 本文的主要研究工作 3 1 3 预备知识 5 第二章具有时滞和非线性发生率的s i r s 传染病模型 1 1 2 1 引言 1 1 2 2 系统平衡点的存在性1 3 2 3 平衡点的稳定性和分支1 5 2 3 1 平衡点的局部稳定性1 5 2 3 2 平衡点的全局稳定性1 8 2 3 3 地方病平衡点的h o p f 分支2 3 第三章具有时滞的h i v - 1 感染模型 3 0 3 1 引言3 0 3 2 系统平衡点的稳定性3 1 3 3 主要结果3 2 第四章具有时滞的血吸虫病传播模型 4 0 4 1 引言4 0 4 2 模型的建立。4 1 4 3 模型的动力学行为4 3 4 3 1 系统( 4 3 5 ) 无时滞时的动力学行为4 6 4 3 2 感染的钉螺无潜伏期时系统( 4 3 5 ) 的动力学行为4 7 4 3 3 感染的宿主无潜伏期时系统( 4 3 5 ) 的动力学行为 5 3 v t ， 1 一 上海交通大学博士学位论文 第五章具有时滞的捕食食饵模型5 9 5 1 具有离散和分布时滞的捕食一食饵模型5 9 5 1 1 模型的建立，。5 9 5 1 2 局部稳定性和h o p f 分支6 0 5 1 3 数值模拟6 4 5 2 具有年龄结构的捕食食饵模型6 6 5 2 1 模型的建立6 6 5 2 2 平衡点的稳定性和h o p f 分支6 7 5 2 3h o p f 分支的分支方向和稳定性 7 5 5 2 4 数值模拟8 3 5 3 具有时滞和功能性反应函数的捕食一食饵模型8 4 5 3 1 模型的建立8 4 5 3 2 正周期解的存在性。8 7 参考文献 攻读博士学位期间发表和完成论文情况 致谢 v i i 9 3 1 0 6 1 0 7 - _ _ 一一 第一章绪论 本章简要介绍了本文研究问题的背景、本文的主要研究工作和一些 预备知识 1 1 研究背景 世界著名数学家、英国皇家学会院士、英国沃里克大学i a ns t e w a r t 教授曾经预测，2 1 世纪最令人兴奋、最有进展的科学领域之一，必将是 生物数学生物数学作为一门交叉学科正在快速的发展它利用丰富的 数学理论和方法来研究生物学问题，从而帮助生物学家解释各种生命现 象在研究的过程中人们逐步意识到在解决生命科学中的许许多多问题 时动力学的方法发挥着越来越重要的作用，它能让人们更加深入和全面 的把握事物的本质和发展规律 当前，传染病动力学已经发展成为生物数学的一个重要的研究分支 在历史上，传染病曾经夺取了数以亿计人的生命，它给人类带来了巨大 的灾难例如，1 3 4 6 1 7 2 2 年间欧洲三次大规模流行的一种使人们闻之 色变的黑死病( 又称淋巴腺鼠疫) 【1 0 】从古至今，人类一直在不断的同各 种传染病进行着不屈不挠的斗争通过人类自身的不懈努力一些曾经给 人类造成巨大灾难的传染病如天花、麻风病、麻疹、血吸虫病、百日咳、 破伤风等已经得到遏制或消灭但是，人类征服传染病的道路依然很曲 折很漫长以1 9 9 5 年为例，全世界死亡人数共5 2 0 0 万，其中1 7 0 0 万人丧 生于各种传染病；霍乱、痢疾等腹泻病每年导致3 0 0 万人死亡；急性呼吸 道感染每年造成4 0 0 万儿童死亡 1 0 4 1 在我国，由于各级政府和研究部门 的高度重视并采取了一系列有力的防治措施，传染病的防治取得了辉煌 的成绩但自改革开放以来，随着国际贸易和交往的发展、环境污染的加 剧、生态平衡的破坏、病原体和传播媒介抗药性的增强，原来己被控制和 灭绝的许多传染病再次抬头并有不断蔓延的趋势例如，血吸虫病疫情 1 o l 上海交通大学博士学位论文 在我国部分已控制地区严重回升，有进一步向城市蔓延的趋势【5 ，。引另 外，一些新出现的传染病不断的威胁着人类的生存和健康例如，艾滋病 在我国于1 9 8 5 年被首次发现，1 9 9 3 年以后h i v 感染率高速增长2 0 0 7 年， 国家卫生部、联合国艾滋病规划署和世界卫生组织联合公布了中国艾 滋病防治联合评估报告( 2 0 0 7 ) 报告显示，截至2 0 0 7 年底，中国现存艾 滋病病毒感染者和病人约7 0 万，其中艾滋病病人8 5 万，当年新发艾滋 病病毒感染者5 万，当年因艾滋病死亡2 万有关专家估计若无有效控 制措施，2 0 1 0 年我国艾滋病感染人数将达到1 0 0 0 万纵观人类历史，我们 清醒的意识到自然界和人类社会要不断稳步健康的向前发展，必须搞清 楚传染病的发病机理和传染规律，从而才能采取相应的措施来预防、控 制和消灭它而传染病动力学恰好在显示疾病的发展过程，揭示其流行 规律，预测其变化发展趋势，分析其流行的原因和关键因素，寻求对其预 防和控制的最优策略和制定防治决策方面为人们提供了理论基础和数量 依据 种群动力学是生物数学的另外一个非常重要的研究分支它对生态 环境的治理与开发、对濒临灭绝的动植物的保护以及对生态学理论的发 展等等都有着非常重要的指导作用种群动力学的研究起始于十八世纪 后期1 7 9 8 年，身为英国经济学家和人口统计学家的著名神父m a l t h u s 在 他出版的专著【7 3 】中，提出了人口按几何级数增长理论1 8 3 8 年，v e r h u h t 改进了m a l t h u s 模型，提出了著名的l o g i s t i c 模型嘲，克服了m a l t h u s 模型 的一些缺陷上面这两个著名的数学模型都没有涉及到年龄结构例如 对人类而言，随时获得人口发展过程中的年龄分布信息是十分重要的事 情它可以使有关部门能够更好的了解和掌握中小学人数，青壮年劳动力 和老龄化人口等状况，以便科学规划教育、就业和社会福利等，从而更好 的适应社会发展的实际需要最早考虑种群个体的年龄因素的连续模型 是s h a r p e 与l o t l m 在1 9 1 1 年和m c k e n d r i c k 在1 9 2 6 年提出的模型这就是 后来被人们称为经典的s h a r p e - l o t l m - m c k e n d r i c k 模型1 9 7 4 年，g u r t i n 与 m a c c a m y 研究了具有年龄结构的非线性模型，即著名的g u r t i n - m a c c a m y 2 第一章绪论 模型【4 1 】他们的工作将这方面的研究引入了一个新阶段【船，删 在许多的种群生态学模型中，为了研究和分析的方便人们往往假设 模型中的参数是不随时间的变化而变化的然而，在现实世界中的许多 自然因素，例如：生存空间、种群的生长发育以及交配与繁殖等等，都是 随时间的变化而变化的另外，我们在自然界中常常可以看到周期现象 例如，白天黑夜的日夜交替，天气的季节性变化以及人们对生物资源的 周期性投放和捕捞等等因此，考虑生态系统的周期干扰和生态参数的 周期性变化是重要和合理的 2 0 - 2 2 在现实世界中，我们经常用常微分方程来描述系统的变化趋势但是 有许多现象的变化趋势不仅依赖当前的状态，而且还依赖过去的状态因 此，用时滞微分方程来刻画系统的状态要比常微分方程更加符合实际情 况近几十年来，在自然科学和社会科学的许多学科的研究中已经提出 了大量的时滞微分方程模型来描述研究对象例如，文献【7 ，1 7 ，1 8 ，3 2 ，3 3 】 讨论了具有时滞的传染病模型；文献【3 5 ，3 9 ，5 1 ，9 1 ，9 5 ，1 0 5 】讨论了具有时 滞的神经网络模型；文献【3 0 ，3 1 ，5 6 ，6 6 ，6 7 ，7 5 ，1 0 7 - 1 1 1 ，1 2 4 ，1 2 8 】讨论了具 有时滞的捕食者一食饵模型 这是本文建立和研究几类具有时滞的传染病模型和捕食食饵模型 的动因 1 2 本文的主要研究工作 本文的主要研究工作具体阐述如下： 一、由于传染病传播途径和方式的复杂性，实际中很难准确描述接 触率和发生率以及处于疾病潜伏期的人群数量，在文献【1 1 2 】工作的基础 上，我们考虑更一般的非线性发生率 k is r 丙i 其中k ，a 是正数，h 1 ，并引进时滞丁来刻画疾病潜伏期我们得到了 模型基本再生数的表达式当丁= 0 时，模型的动力学行为比较简单 3 上海交通大学博士学位论文 通过定性分析，我们得到结论：当r o 1 时模型的无病平衡点是全局渐 近稳定的；当r o 1 时模型的地方病平衡点是全局渐近稳定的，其推广 了文献 1 1 2 】的结果当丁 0 和r o 1 时，通过构造适当的l i a p u n o v 泛 瓯我们证明了模型的无病平衡点是全局渐近稳定的；当丁 0 ，r o l 和 1 h 2 时，通过在模型的地方病平衡点处线性化模型和分析相应的特 征方程，我们得到模型的地方病平衡点是局部渐近稳定的；但是当丁 0 ， r o 1 和h 2 时，我们证明随着丁逐渐增加到某个临界值时模型的地 方病平衡点由稳定变为不稳定，产生h o p f 分支，并提供了一些数值模拟 来验证理论上所得到的结果 二、我们在文献 5 7 】工作的基础上进一步研究了一类具有时滞的 h i v - 1 感染模型但是文献【5 7 】中没有给出模型是一致持续生存的和地 方病平衡点是全局渐近稳定的结论通过运用无穷维系统的一致持续生 存理论和逐次迭代方法，我们给出了模型是一致持续生存的充要条件和 地方病平衡点是全局渐近稳定的充分条件，进一步完善了文献【5 7 1 中的 锄 结果，并提供了相应的数值模拟 三、不同阶段的血吸虫的发育时间对血吸虫的传播是非常重要的我 们把终宿主群体和钉螺群体分成两类：易感染者和感染者同时把不同 阶段的血吸虫的发育时间引入到经典的b a r b o u r 模型中，考虑了一个更 一般的数学模型，即含有四个时滞的四维模型首先，通过分析我们给出 了模型基本再生数的表达式其次，利用模型的不变流形将其化为平 面系统由于分析的困难，我们讨论了三种特殊的情形当系统不含时滞 时，通过定性分析，我们得到结论：当r o 1 时系统的地方病平衡点是全局渐近稳定的在感 染的宿主无潜伏期和感染的钉螺无潜伏期的两种情形下，通过分析系统 在地方病平衡点处相应的特征方程，我们得到基本再生数大于1 时，系 统的动力学行为依赖于时滞量，当时滞超过某个临界值时，唯一的地方 病平衡点由稳定变为不稳定，产生h o p f 分支数值模拟佐证了理论上所 得到的结果 4 第一章绪论 四、首先我们讨论了一类具有离散和分布时滞的捕食一食饵模型通 过在正平衡点处线性化模型和分析相应的特征方程，得到了正平衡点的 渐近稳定性和模型产生h o p f 分支的条件对于所得结果给予了数值验 证然后，我们在经典的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵模型的基础上将年龄 结构引入到捕食种群中且适合m c k e n d r i c k - f o e r s t e r 方程，从而使模型更符 合实际通过特征线方法将模型化为含时滞的系统首先我们研究了系 统解的正不变性、有界性并得到了系统的边界平衡点全局渐近稳定的充 分条件然后通过在系统唯一的正平衡点处线性化系统和分析相应的特 征方程，我们发现在一定条件下小时滞并不影响正平衡点的渐近稳定性， 当时滞逐渐增大到某个临界值时该正平衡点将失去稳定性，产生h o p f 分 支另外，利用规范型理论和中心流形定理，给出了具体公式来判断由 h o p f 分支产生的周期解的稳定性和分支方向对于所得结果给予了数值 验证最后，我们在文献 9 9 ，1 1 4 】工作的基础上讨论了一类更符合实际 且具有更一般功能反应函数的非自治捕食一食饵模型运用重合度理论， 我们得到了模型至少存在一个正周期解的充分条件 1 3 预备知识 本节我们给出一些相关的概念和结果，以便应用这些结果来讨论几 个具有实际应用背景的生物系统的动力学行为 定理1 3 1 触叫俾。让t h h u r w i t z 定理，考虑多项式方程 a n + a l a n 一1 + + a n - 1 a - 一a 。= 0 ，( 1 3 1 ) 所有根具有负实部的充要条件是 七= a la 3 a 5 a 2 k - 1 1 0 20 4 a 2 k 一2 0 a la 3 a 2 k 一3 ： 0 00 口知 5 0 ， j 上海交通大学博士学位论文 k = 1 ，2 ，佗其中j 死时，补充定义a j = 0 引理1 3 1 方程( 1 3 1 ) 所有根均有负实部的必要条件是 a j 0 ， j = 1 ，2 ，礼 定理1 3 2 p 研考虑指数多项式 p ( 入，e a 丁1 ，e - 入r m ) = 入n + p 7 入n 一1 + + p 罂1 入+ p 攀 + 囟i 1 a 竹一1 + + p 罂1 a + 毋e a n + 眵( m 入n 一1 + + 蠢：l 入+ + 西e a ， 其中死0 ，蟛( z = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，佗) 为常数当( 7 1 ，t 2 ，) 连 续变化时，指数多项式p ( 入，e h ，e a ) 的位于右半平面的零点的重 数之和只有在虚轴上存在根或者有根穿过虚轴时，才能发生变化 为了更好的描述我们的结论，下面我们给出时滞微分方程的一些定 义、符号和定理，详细请参考书 4 3 ，5 4 ，5 8 ，1 1 5 ，1 2 5 】 设1 r = ( 一。，+ o o ) ，融是实数域上的n 维欧氏空间，c ( o ，6 】，瞅) 表示 【o ，纠映射入时的连续函数所构成的b a n a e h 空间对于西c ( 【a ，h i , 黔) ， 其范数定义为= s u pl ( 口) | 对给定的r 0 ，我们记c = c ( 一r ，o 】，融) 如果a 0 ，盯酞，z c ( o - 一n 盯+ a 】，r ”) ，则对任一t p ，盯+ a 】，我们定 义x t ( p ) = x ( t4 - 口) ，口卜- n0 】因此，觑c 考虑自治时滞微分方程 圣( 亡) = f ( x t ) ，( 1 3 2 ) 其中厂：c _ r 是全连续的，且方程( 1 3 2 ) 的解对初值连续依赖，过( 0 ，) 的解记为z ( 西) 设v ：c r 为连续泛函，定义其沿着方程( 1 3 2 ) 解的导数为 少( ) = 取a z ) ( ) = 蓦去 y ( z ( 矽) ) 一y ( ) 】 f ； - 第一章绪论 定义1 3 1 对c 中的子集g ，泛函v ：c _ r 在g 的闭包吞上连续 且在g 上矿0 ，则称v 是方程( 1 3 2 ) 在g 上的李雅普诺夫泛函 令 s = g ：y ( 矽) = o ， m ：集合s 关于方程( 1 3 2 ) 的最大不变集 定理1 3 3 ( l i a p u n o v l a s a l l e 不变原理j 若y 是g 上的李雅普诺夫 泛函，且玩( ) 是方程( 1 3 2 ) 停留在g 中的有界解，则当亡_ + 。时， ( ) _ m 下给出时滞微分方程的局部h o p f 分支定理 考虑时滞微分方程 圣( t ) = f ( a ，娩) ，( 1 3 3 ) 其中f ( 口，砂) 关于o l ，是一阶