（应用数学专业论文）分形hurst指数在彩虹期权定价中的应用.pdf

摘要 1 9 9 1 年r u b i n s t e i n 把。彩虹。这个标签引入期权当中，他强调基于多种资产 组合起来的期权就像五颜六色的彩虹一样，期权中的每一种标的资产可以用彩虹中 的一种颜色来表示，即彩虹期权不但是一种基于多种标的资产的期权，而且也被当 作是一种关联期权交割时期权交割价格依赖于这些资产的综合表现本文在讨论 股票对数价格的动力学行为时引入分形中h u m t 指数，并当h u r s t 指数取值于区间 ( ，1 ) 时推导出相应的彩虹期权的定价公式 关键词b l a c k s c h o l e s 公式；分形；h u r s t 指数；分式布朗运动；彩虹期权；欧式看 涨( 跌) 期权 中图分类号0 2 9 a b s t r a c t t h el a b e lr a i n b o ww a sc o i n e db yr u b i n s t e t i n ( 1 9 9 1 ) ，w h oe m p h a s i z e st h a tt h i s o p t i o nw a sb a s e do nac o m b i n a t i o no fv a r i o u s 阳a e t sl i k ear a i n b o wi sac o m b i n a t i o n o fv a r i o t t sc o l o r s m o r eg e n e r a l l y ，r a i n b o wo p t i o n s 虹em u l t i a s s e t o p t l o b s , a i s o r e f e r r e dt oa sc o r r e l a t i o no p t i o n s r a i n b o wc a nt a k er a t i o u so t h e rf o r m sb u tt h e c o m b i n i n gi d e ai st oh a v eap a y o f ft h a ti sd e p e n d i n go nt h e 够舱t 8s o r t e db yt h e i r p e r f o r m a n c ea tm a t u r i t y i nt h i sa r t i c l e ，w ei n t r o d u c eh u r s te x p o n e n t si n t ot h e d y n a m i c so fs t o c kl o g - p r i c e ，a n dd e d u c et h ec o r r e s p o n d i n gr a i n b o wo p t i o np r i c i n g f o r m u l a sw i t hh u r s te x p o n e n t sb e i n gi n ( ，1 ) k e y w o r d s ：b l a c k s c h o l e sf o r m u l a ；f r a c t a l ；h u r s te x p o n e n t ；f r a c t i o n mb r o w n i a nm o - t i o n ，r a i n b o wo p t i o n ，e u r o p e a nc a l l ( p n t ) o p t i o n c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：0 2 9 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他蔺志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 储签名：皇胜醐：丝碰 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，e p ：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阏和借阕：学校可以公布论文的生都或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 储鹚：雄乒导獬陋瞒产 前言 自从2 0 世纪7 0 年代b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式【l 】出现以来，因其是在期 权所含标的资产的价格行为假定为随机游走( 即假定服从布朗运动) 下推导出来 的，与现实中绝大部分人对价格行为过程设想基本一致，因此它就成为期权定价方 面的权威直至现今如果价格过程服从布朗运动，那么价格时间序列前后是相互独 立的，即不相关然而，现在已经有越来越多的历史数据表明价格时间序列之间是 非独立的即存在相关性例如， b e r g 和l y h a g e n ( 2 ，l o f 3 】h s i e ! t h 4 】，还 有h u a u g 和y 抽g i5 】，他们验证了一些价格收益率数据之间有短期或长期相关性 l o 和m a c k i n l a y 6 j ，e l t o n 和g m b e r 7 】，f r e n n b e r g 和h a a a s s o n 8 】，f a m a 和 f r e n c h 9 1 ，还有p o t e r b a 和s u m m e r 1 0 l ，他们则发现股票价格时间序列在短期内 是正相关的。而在长期内是负相关的， 我们设s ( t ) 表示股票对数价格，而且s ( t ) 是满足赫斯特指教为h ( 0 ，1 ) 的 自相似随机过程，即( s ( 耐) ，t 0 ) 和( 口月s ( t ) ，t 0 ) 有相同的有限维概率分布分 式布朗运动就是个自相似随机过程 从1 1 1 1 我们可以了解到许多事实表明对于股票价格收益率，商品价格或者各种 各样的交换利率等等，他们的赫斯特指数日属于区间( 0 ，1 ) e v e r t z e 和b e r k n e r 还有v o s s 用。重标级差分析。方法( r sa n a l y s i s ) 分 析了一些从1 9 8 6 年1 1 月3 日至1 9 9 2 年9 月7 日的股票价格收益数据，得出 了这些股票价格收益的赫斯特指数在0 4 5 至0 6 之间； p e t e r s 在研究1 8 8 8 年2 月2 日至1 9 9 1 年1 2 月3 1 日。d o wj o n e s i a d u s t r i a l s 。 股票收益数据1 9 7 2 年至1 9 9 0 年“y e n d o l l a r 。交换利率数据和1 9 8 9 年2 月至1 9 9 2 年1 2 月。s & p5 0 0a r ( 1 ) 。3 0 分钟收益数据的分布自相似性时发 现。d o wj o n e si n d u s t r i a l s 。股票收益数据的赫斯特指数区间( 0 ，1 ) 内变化， 。y e n d o l l a r ”交换利率数据的赫斯特指数等于o 6 4 ， 。s & p5 0 0a r ( 1 ) 3 0 分钟收益数据赫斯特指数在区间( o 4 4 ，0 5 6 ) 内变化 以上这些事实显然可以使我们考虑在赫斯特指数日属于区间( 0 ，1 ) 时的期权定价问 题当然日可能不等于i 1 。因为当h 是 时价格时问序列之间就是不相关的实际 1 上，在这领域已经建立了一个。分式布朗运动。模型来研究例如t a k a h a s h i 1 2 l ， c u t l a n d 1 3 1 和鹏n 【l4 j 他们研究了日( ，1 ) 的情形面对于日( o ，i 1 ) 这种情形 w a n g 1 l 】也研究了 在这篇文章里我们将在假定股票的对数价格遵从分式布朗运动且赫斯特指数 日( ，1 ) 的条件下研究具有两种标的资产的欧式彩虹期权定价问题。即两支标的 股票对数价格的动力学行为在满足 1 d & = 6 ( ) 出4 - r ；i ( t ) d b h , ，皿( 砉，1 ) “= 1 ，2 ) ，h l h 2 ； 的条件下对i t 6 公式进步推广并推导出欧式彩虹期权的定价公式这里彘( 毋和 呱( 力0 = 1 ，2 ) 是关于时间的确定性函数b s , = b h 。( t ，“，) “= 1 ，2 ) 是在概率空 间( q ，p ) 上的标准分式布朗运动 本文的内容叙述如下t 第一章基本概念 第二章欧式彩虹期权定价 第三章总结 附录 2 第一章基本概念 1 1 彩虹期权 因为彩虹期权是在期权的基础上开发出来的所以我们必须先了解期权期 权( o p t i o n s ) 是一种特定的选择权，其购买者在支付一定数量的权利金【o p t i o n p r e m i u m ) 后，即拥有了在未来一定时期( 有效期) 内以预先确定的价格购买或 出售一定数量资产而不必承担义务( 即不是非要执行不可) 的权利期权交易即是 这种权利的交易按期权交易的合约标的物可以把期权分为两个大类。即商品期权 ( c o m m o d i t yo p t i o n ) 和金融期权( f i n a n c i a lo p t i o n ) 现实中更为多见的是金融 期权商品期权的标的物包括石油、有色金属、钢铁等金融期权的标的物包括股 票、外汇、利率等在期权合约所规定的时间或期权合约所规定的某一特定的履约 日，期权购买者( 从而成为期权持有者) 既可以行使他所拥有的这一权利，也可以 放弃这一权利也就是说，期权合约赋予了他可以行使的权利，而未规定他所必须 履行的义务 期权有买权和卖权两种基本类型买权( c a l lo p t i o n ) 也称为看涨期权，其持有 者有权在某一确定的时间内以某一确定的价格购买标的资产；卖权( p u to p t i o n ) 也称为看跌期权，其持有者有权在某一确定的时间内以某一确定的价格出售标的资 产。 在这里。需要说明的是，从证券买卖头寸角度看，买权和卖权各自都可以买进 和卖出，因此，就有了4 种基本的期权头寸 多头买权( 1 0 n gc a l l ) 一持有( h o l d ) 或买进 x 时，期权的内在价值为s x 0 ；当s x 时。期权的内在价值为零用公式表示为- v = m a , x ( o ，s x ) 相应的，空头买权的内在价值为 v = m i n ( o ，x 一研 对于多头卖权来说，当s x 时，期权内在价值为零；当s 0 用公式表示为 v = m a x ( o ，x s ) 相应的，空头卖权的内在价值为- v = m i n ( o ，s x ) 根据期权合约持有者在有效期内行使权利自由度的大小期权可分为美式期权 和欧式期权美式期权可以在到期日之前任何一天行使权利，而欧式期权则只能在 到期日那天行使权利，既不能提前，也不能推迟目前国际上交易所中交易的期权 多数为美式期权 4 彩虹期权是一种期权的标的资产为两种甚至更多的多因素期权，这种期权的内 在价值依赖于所有的这些标的资产到期时的综合表现1 9 9 1 年r u b i n s t e i n 把。彩 虹。这个标签引入期权当中，他强调基于多种资产组合起来的期权就像五颜六色的 彩虹一样，期权中的每一种标的资产可以用彩虹中的一种颜色来表示，即彩虹期权 不但是一种基于多种标的资产的期权而且也被当作是一种关联期权彩虹虽然可 以可以呈现出各种颜色，但其关联的思想使得在交割时期权的价格与其标的资产当 时的表现有着密不可分的关系例如，以标的资产为两支的期权为例到期时多头 买权期权是否执行只与交割时标的资产中表现最好的那只资产有关，此时期权的内 在价值为- v = m a x ( 0 ，岛一x 1 ，岛一恐) 其它彩虹期权的内在价值可以依此类 推 1 2 分式布朗运动 对于一个给定的概率空间( q ，刁，其中n 是一样本空间，是一盯代 数，p 是一概率测度，我们定义一个随机过程 x ( ) ，t o ) 到实空间r 上的映 射x ：q 【0 ，o 。) 一r ，那么对任何u n ，t x ( u ，t ) 称为u 的样本轨道 含赫斯特指数日( h ( 0 ，1 ) ) 的标准分式布朗运动就是满足下列条件的随机过程 x ( ) ，t o ) ， ( a ) x ( t ) 依概率1 连续，x ( o ) = 0 依概率1 成立i ( b ) 对任意t 0 ，a t 0 ，增量x ( t + a t ) 一x ( t ) 一n ( 0 ，铲日) 即有p ( x ( t + a t ) 一x ( t ) 功= ( 2 丌) - 1 1 2 a t 一日j ：e x p ( 一u 2 2 a t 2 日) d t 显然当 h = i i 时。此随机过程就是标准布朗运动 那么在概率空间( q ，只研上的赫斯特指数为昱的标准分式布朗运动墨抒= b h ( t ) 就是是一个平稳增量连续高斯过程，且有下列性质 ( 1 ) 旦h ( 0 ) = 0 i ( 2 ) 对任意t 0 ，e b h ( t ) = 0 ； ( 3 ) 对任意8 ，t 0 。e b h ( s ) b h ( t ) 】= ；【t 2 日+ 8 2 日一f t s f 2 日】 设r ( n ) = e b h ( 1 ) ( b h ( n + 1 ) 一b 日( n ) ) 】，那么从f l5 】我们得到下列性质 ( i ) 如果h ( 0 ，j 1 ) 。那么墨o i r ( 删 ； ( i i ) 如果日= ，那么 母f = r m + 1 ) 一b e ( 哟) i s t m c o r r e l a t e di 5 ( i i i ) 如果日( ，1 ) ，那么：l r ( n ) l = o o 实际上当h ( 0 ， ) ，对任意的n 1 都有r ( n ) 0 ，即称为正相关，性质箍o f r ( n ) = o 。常被称为长 期相关性值得一提的是，如本文前言中所说的那样，分式布朗运动是一种自相似 性过程 由于分式布朗运动连半鞅都不是，所以关于它的随机积分就有其待殊性所以 至今关于标准分式布朗运动的随机积分已经有许多种定义，下面介绍一种在。均方 收敛。意义下的关于标准分式布朗运动b h = b h ( t ) 的随机积分 定义1 1 1 1 】已知概率空间( q ，f 印上的标准分式布朗运动b h = b n ( t ) 设，是 乘积空间【a ，b l n 上的实值函数。它满足以下条件t ( i ) ，是二阶随机函数。即e l i 2 j o o ； ( i i ) ，是b a ，6 j ，一可测的 如果，( t ) = ；l ：t - - 0 1 x 【“j 。) ( t ) 是一随机阶梯函数，我们定义 砧 m - 1 ( z ) d b h ( t ) = ， | b 日( k - ) 一b n ( t t ) 1 。4 i = 0 一般的，设a ：s = t o t l k = t 是区间【n ，6 】的一个划分，令f a l = m a x _ 。5 。一1l t 件l 一如i ， = ，( t ：) ，并且k ( ，u ) = 括r n - - 0 1 五【2 珀( t 件1 ) 一口日( 南) 】， 其中i t , ，“1 1 。如果当i i 一0 时。k ( ，u ) 在。均方”意义下收敛于一随机 变量l ( f ，u ) ，即e i k ( ，“，) 一i ( f ，u ) 1 2 0 ，那我们就定义- 一 f ( x ) d b n ( t ) = 1 ( f ，0 , 1 ) j d 我们用占( 研表示随机积分j ：f ( x ) d b h ( t ) 存在的所有函数，( 功的集合 定理i 【1 1 1 设，( t ，u ) 是定义在乘积空间【0 ，b lxq 上的实值函数，并且满足 ( c 1 ) 定义1 中的条件( i ) 和( i i ) 都满足； ( c 2 ) 对任意的u f 2 ，f ( t ，u ) 在区间【n ，6 】上绝对连续且f ：e i f t ( t ，u ) 】2 d t + o o 。其中，f 是，关于t 的偏导数； ( c 3 ) 随机过程，= ( f ( t ，u ) ) 吲。，q 和b 日= ( 旦日( t ) ) 蚓q b l 相互独立 6 那么e ( h ) 注意定理1 中，对任意的t 【a ，6 】，( ，“，) 和且日( ，u ) 都是，一可测的如 果y 是关于时间t 的确定性函数，那么条件( c 3 ) 自然成立此定理在下章中讨论 期权定价时要用到 1 3 新的i t 6 公式 本节我们将在股票对数价格遵从分式布朗运动的条件下推导出应用于彩虹期权 定价中的新的i t 6 公式 定理2 设a t ( t ，u ) 和b t ( t ，“，) 都是b 【d ，6 】，一可测的，且对几乎所有的u 和 6 l ( ，u ) 都有r l o ( ，“，) 1 2 d r + 啦( t ，u ) 满足定理1 中的条件( c 1 ) 一( c 3 ) 。 其相对应的h = 豇( 1 = 1 ，2 ) 令； ，t 广 却( t ) 一x l ( a ) = a l ( r ，u ) 6 阡+ b t ( r ，“，) d b 肌( r ) ( 1 3 1 ) j oj o 设映射f ：k ，6 jxr x r r ，且抽z ；和向t ( p ，口= 0 ，1 ，仃) 都连续， 这里抽= 伊+ 9 f 蹦阮；，铆；l = z ! 疣令y = ，( t ，卫1 ( t ) ，勋( t ) ) ，设 v n 玩v ( n 一1 ) 且h 1 1 - 1 2 1 ，那么对于任意给定的t 1 , 2 ，我们有下列 等式依概率成立 ，( t ) 一y ( 8 ) = ( 疗( r z l ( f ) ，2 ( r ) ) + 0 1 ( 丁) 厶。( r ，1 ( 订，。2 ( r ) ) + o d 7 - ) l 2 ( r ，z l ( 7 ) ，z 2 ( r ) ) ) d r + 。l i r a 一。去c ；瓴一如角( t ) 忍6 ；( 盏) 醒1 ( q x ( b h l ( t i + 1 ) 一b m ( t i ) ) 9 ( b 胁( o + 1 ) 一口胁( t i ) y 呻 = ( ( r ，z 1 ( 订，现( f ) ) + m ( 砷丘，( lz 1 ( 7 - ) ，勋( r ) ) + 口2 ( r ) 厶。( n 石1 ( r ) ，z 2 ( r ) ) ) d r + 川l i r a 一。寺c ，白矿( 如，卫- ( ) m ( 彘) ) 6 f ( 岛) 醒呻( ) m + = o j = 1 。p 日i + 占；日2 s l ( b 乩( t 仆1 ) 一日凰( ) ) p ( b 胁( t 计1 ) 一b 如( 如) ) 一 其中i s ，t 】l 吼6 1 7 证明见附录 由泰勒公式和定理2 ，进一步我们可以得到； 推论1 ( i t 6 公式) 在定理2 相同的条件下进步有- r ( t + t ) 一y ( t ) = ( d t ，x l ( t ) ，x = c t ) ) + a l ( t ) 厶。( t ，王1 ( t ) ，卫2 ( t ) ) + 啦( t ) 厶( t ，x k t ) ，z 2 ( t ) ) ) a t n 一1 ， + 击c 知喇一，( t ，z t ( t ) ，轨( t ) ) 研( t ) 匾一( t ) 卢1 硝。+ j ；嘞5 i x ( b x o + a t ) 一z 垴。( t ) ) ( b 如o + a t ) 一b 胁( d ) ，- ，+ o ( i z l t l ) 进步把定理2 一般化，我们可以得到一 定理3 设a t ( t ，西和b t ( t ，都是嚣k6 】x 芦一可测的，且对几乎所有的l , d 和 b t ( t ，u ) 都有r i a ( t ，u ) 1 2 d r + ，铆( t ，u ) 满足定理1 中的条件( c 1 ) 一( c 3 ) t 其相对应的h = 凰( f = 1 ，后) 我们令 i , tf t 茹( 母一互( 8 ) = f 口( t d r + fb l ( r , w ) d b n 。( ) j a j 口 设映射f ：陋，6 j g 兰：兰g 一兄，且自，孝磅和幻t 砰一砰t ( p - ，p 2 ，肌2 0 ，1 ，住) 都连续，其中幻- 矛毋= a p l + ”+ “，钟疗a 蠼，向t 乎z t2 6 抽t 。p 巩令y ( t ) = f ( t ，z l ( t ) ，z 2 ( t ) ，一，z i ( t ) ) ，设l n h 1 1 ( 行一1 ) 且h 1s 凰风 0 9 第二章欧式彩虹期权定价 2 1 基本假设 本章我们考虑标的物是由两只股票( 股票i ，股票i i ) 构成的欧式彩虹期权 在讨论欧式彩虹期权定价问题前我们需要作以下假设t ( a 1 ) 市场无交易费用，且对市场内任意的有价证券都存在某个投资组合来对冲 它的风险即形成无风险投资组合i ( a 2 ) 无风险债券价格d ( t ) 满足 d d ( t ) = r ( t ) d ( t ) d t ，( 2 1 1 ) 其中r ( f ) 是关于时间t 的确定性函数，代表无风险利率； ( a 3 ) 股票i 和股票i i 的对数价格行为s 满足 1 d s = 6 ( t ) d t + 研( t ) d 日饥，皿( ；，1 ) “= 1 ，2 ) ，h 1 月j ；( 2 1 2 ) 其中饵( t ) 和c r | i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 是关于时间t 的确定性函数，且满足定理2 中的条件； ( a 4 ) 令c ( t ，毋，岛) 、p ( t ，蜀，岛) 分别代表标的物为股票i 和股票i i 的欧式买 权和欧式卖权在t 时刻的价格，并且此欧式买权和欧式卖权到期日是t 、两只股票 分别具有执行价格是x 1 和x 2 进一步我们可以设c ( t ，s 1 ，岛) 和p ( t ，s i ，岛) 满足 边值条件 g 田，s 手) = m a x ( e 印一x l ，e 霉一x 2 ，o ) ，g ( t ，一o 。，一o 。) = 0 l i r a 掣；1 ( ，2 ) ( 2 1 3 ) 最一+ 矿 7 p 舒，霹) = m a x ( x 1 一，托一毋，o ) ，p ( t ，一，一o o ) ：m a x ( x 1 ，x 2 ) e 一7 弘f ) 鼠l 。i m + 。半= l “= 1 ，2 ) ( 2 1 4 ) 1 0 2 2h ( ，1 ) 时欧式彩虹期权定价 本节我们将在上节的假设条件下讨论如( 2 1 2 ) 所示且凰( j 1 ，1 ) ( i = 1 ，2 ) 条件 下的欧式买权c ( t ，s l ，岛) 定价由推论1 。我们有t a e 乳= e 1 ( t ) e 最a t + 目1 ( t ) e s a b , + o ( a 0 ， ( 2 2 1 ) a e s , = i 2 ( t ) e 函a t + 伽( t ) e 如a b 砌+ o ( a t ) ( 2 2 2 ) g ( t 岛，) = ( - 0 瓦6 + e l ( t ) 否o 瓯c + 白( t ) 篆) t + ( 署邮慨，+ 署删咄) + 0 ( 卸( 2 删 从上节假设( a 1 ) 条件中我们得知对市场内任意的有价证券都存在某个投资组 合来对冲它的风险，量扶上面三个等式可以看出z x e s , 。a e s , 和z l c ( t ，岛，岛) 都 受同样的。噪声。a b m 和a b s 2 控制，那么我们可以像在b l a c k s c h o l e s 模型下 一样来处理我们可以假设无风险证券d ( 亡) 能被只涉及到股票i 股票i i 和标的 物是此两只股票的欧式买权的。自融资“投资组合复制，也可以说当标的物是股票 i ，股票i i 的欧式买权的份额为一份时。自融资7 投资组合策略如下。 n d ( t ) = g ( ，毋，岛) + l + 2 e , q 2( 2 2 4 ) 即有 n a d ( t ) ；a c ( t ，s i ，岛) + n i a e 吼+ n 2 a e 岛+ o ( a t ) ， ( 2 2 5 ) 其中n = n ( t ) 和挑= 越( t ) ( i - l ，2 ) 表示无风险证券d ( t ) 、股票i 和股票i i 在 时刻t 时各自的份额 现在我们开始着手推导相应的欧式彩虹期权定价公式根据式( 2 1 1 ) 、( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 我们得到- r ( t ) ( c ( t m ss 2 ) + l e 3 1 + 2 e 昂) a t = ( 署“讣l “咖蜀) 毋。十( 簧榔) + 2 邮矽) + ( ( 署瑚) 署倒 静+ 眦毋+ 删咖岛) a t + o ( 雠渊 ( 2 2 6 ) 式两边依次同时除以( t ) 胃- v 回l o g a t i ， ( t ) 胁、厩丌岳i 硒和 a t ，且令出一+ o ，那么由命题l 我们依次得到 “d 署+ 酬咖甄- o 邮) 篆十酬咖虬。， ( 2 2 7 ) 小姆溉跏舻+ 舻) = ( 篆础) 筹倒t ) 为 + 1 ( 1 ( t ) e 鼠+ j l v 2 ( 2 ( t ) ( 2 , 2 8 ) 解( 2 2 7 ) 式口j 得， v i = - - 0 胛- - 瓦le - 8 1 镌一爰一 ( 2 2 9 ) 将( 2 2 9 ) 代入( 2 2 8 ) 式，我们得到标的物为股票i 和股票i t 的欧式买权价格 g ( t ，最，岛) 的偏微分方程- 啡腓辆) = 箸例( 兹+ 静 ( 2 2 1 0 ) 在边值条件( 2 1 3 ) 下解( 2 2 1 0 ) 式可得到欧式彩虹期权买权价格为 c ( t ，s i ，岛) = 哪( 0 ，一一x l e 一州盯“，e 岛一咒e 一删r 一) ， ( 2 2 1 1 ) 其中 f ( t ) = 击，2 州d r 2 3 小结 由本章前两节的讨论，我们可以作出如下说明 i 由欧式买权和欧式卖权之间的平价关系可以得到与( 2 2 i o ) 相对应的微分方程 啡) p ( 蛐。1 s 2 ) = 箬州t ) 两o p + 丽o p ) ( 互1 矾，仍 1 ) i i 如果c ( t ，蜀，岛，巩) 1 ) 是标的资产为股票1 股票2 、股票女的欧 式彩虹期权买权在t 时刻的价格，且在到期日t 各自具有执行价格x 1 ，扎 更进一步假定c ( t ，s 1 ，岛，) 似1 ) 满足如下边值条件 g 并，砑，& ) ：m a x ( e 卵一x l ，一恐，e 印一虬，o ) ， 1 2 c 0 ，一o o ，一，一) = 0 。i 罂，盟掣 型：1 ( t ：1 2 ，懈 ( 2 3 1 2 ) 鼠_+e以 、 那么我们能够得到如下偏微分方程， m 顾娜愚矧= 鲁州吼两8 c + 篆+ 件丽0 c ) ( 2 3 1 3 ) 在边值条件( 2 3 1 2 ) 式下，通过解方程( 2 3 1 3 ) ，我们可以得到具有更多标的资产的 欧式彩虹期权的买权价格为 c ( t ，& ，岛，) = m a x ( e s z x 1 e 一雄) 口一“，一配e 一( ) 口一o ，e 巩一x k e 一( ) 口一o ，o x 2 3 1 4 ) 其中 = 去，t 竹肌 i i i 由( 2 2 1 1 ) 式我们可以看出具有边值条件( 2 1 3 ) 的欧式彩虹期权的价格 与股票i 和股票i i 到期时两者所表现最大价值有关，而不是单独只与某只股票有 关 我们只是在边值条件( 2 1 3 ) 和( 2 3 1 2 ) 下分别得到了偏微分方程的解析 解这样的边值条件是相对简单的，换句话说，如果边值条件变得复杂的话，方程 的求解将变得困难起来，甚至很可能得不到解析解 v 如果i h i ( n 1 ) ( 佗3 ) ， 时甚至在边值条件非常简单的情况下， 推倒出来的偏微分方程将变得十分复杂。此 要获得解析解也是相当困难的 第三章总结 通过前面几章的讨论我们得知，我们在假定股票遵从分式布朗运动的前提下，当 赫斯特指数h ( ；，1 ) 时推导了欧式彩虹期权定价的公式，并在边值条件( 2 1 3 ) 下得出了比b l a c k - s c h o l e s 模型下更简单的解析解，在上节的小结中我们还给出了 此类欧式彩虹期权定价更普通的版本同时，我们也可以看到。 i 在b l a e k - - s c h o l e s 模型下，当赫斯特指数- 1 ( ；，1 ) 时，。d e l t a 中性。策略就是 有价证券风险完美的对冲策略在彩虹期权定价中，当赫斯特指数- i ( ，1 ) 时， 此策略同样也还是一个完美的对冲策略 i i 在b l a c k - s c h o l e s 模型下，股票价格的波动率和无风险利率不能直接得知而在 我们的模型中，当皿( i 1 ，1 ) 时我们只需要估计平均无风险利率e ( t ) 即可 1 1 1 相比需要利用历史波动率的期权定价公式而盲，当赫斯特指数风( ，1 ) 时 推导出来的彩虹期权定价公式更简单明了 i v 由( 2 2 1 1 ) 和( 2 3 1 4 ) 两式可显而易见，此种模型下推导出来的期权价格 与历史波动率和隐含波动率都无关 v 和【1 1 j 一样，我们可以轻易得知本文中的模型是非套利的 1 4 附录 定理2 的证明 证明设：8 = t o t 1 0 ，当l a i j 且t “1 ) 时，满足l b 凰( t 1 ) 一( t ) 1 且l i 一0 ，我们也可得到 m 缶- t 万ic 7 白矿( 冉( 如) m ( 岛) ) 6 ( 岛) 嵋( 如) ( 口日，- ) 一鼬( 如) ) 9 ( b 胁( 赴+ 1 ) 一b h 2 ( t i ) ) j p 0 忪l 一0 ( a 1 1 ) 因此，由( a 1 0 ) 和( a 1 1 ) 可知定理2 得证 2 1 参考文献 【i 】b l a c kf ，s c h o l e sm t h ep r y i n go fo p t i o na n dc o r p o r a t eu b b n i t 豳【j 】jp o l i t i c a l e c o n o m y ，1 9 7 3 ，8 h 6 3 7 - 5 9 【2 lb e r ge ，l y h a g e nj s h o r ta n dl o n g - r u nd e p e n d e n c ei ns w e d i s hs t o c k 喊u r n s j a p p l f i n a n c i a le c o n o m i e s ，1 9 9 8 ，8 ：4 3 5 - 4 3 【3 】3 l oaw ，l o n g - t e r mm e m o r yi ns t o c km a r k e tp r i c e s ，e c o n o m e t r i c & 1 9 9 1 ，5 9 ：1 2 7 9 - 3 1 3 1 4 】h s i e t hda c h 8 a n dn o n l i n e a rd y n a m i c s ：a p p l i c a t i o n st of i n a n c i mm a r k e t i j j f i n a n c e ，1 9 9 1 ，4 6 ：1 8 3 9 - 7 7 例h u a n gb ，y a n gcw t h ef r a e t a lg t r n c t u r ei m u l t i n a t i o n a ls t o c kr e t u r n s i 娜。a p p l e c o n o m i c sl e t t ，1 9 9 5 ，2 ：6 7 1 f 6 ll oaw ，m a c k i n l a ya c s t o c km a r k e tp r i c e sd od o tf o l l o wr a n d o mm 池：e v i d e n c e f r o mas i m p l es p e c i f i c a t i o nt e s t j r e vf i n a n c i a ls t u d ，1 9 8 8 ，1 ：4 1 6 6 f 7 l e l t o nej ，g r u b e rmj m o d e r np o r t f o l i ot h e o r ya n di n v e s t m e n ta n a l y s i s m n e w y o r k ：w i l e y , 1 9 9 5 【8 j 8 f r e n n b e r gp ，h a n s s o nb t e s t i n gt h er a n d o mw a l kh y p o t h e s i so ns w e d i s h s t o c kp r i c e s ： 1 9 1 9 1 9 0 0 j 1 jb a n k i n gf i n a n c e ，1 9 9 3 ，1 7 ：1 7 5 - 9 1 【9 1 9 f a m ae ，l 舟e n c hk p e r m a n e n ta n dt e m p o r a r yc o m p o n e n t so fs t o c kp r i c e s j jp o l i t - i c a le c o n o m y , 1 9 8 8 ，9 6 ：2 4 5 - 7 3 。 【1 0 】p o t e r b aj ，s u m m e rl m e a nr e v e r s i o ni ns t o c kr e t u r n s ：e v i d e n c ea n di m p l i c a t i o n s j jf i n a n c i a ie c o n o m i c s ，1 9 8 8 ，2 2 ：2 7 - 6 0 【1 1 1w a n gx t ，q i u 似y ，p e nf y o p t i o np r y i n go ff r a c t i o n a lv e