（应用数学专业论文）回望期权定价模型的研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来预定的时间买入或者出售一定数 量的标的资产的选择权。近年来，期权做为种防范风险或投机的有效手段得到了迅猛 发展。由于期权价格是期权合约中唯一随市场供求而改变的量，它的高低直接影响到买 卖双方的盈亏状况，所以期权价格问题是期权交易的核心问题。b 1 a c k _ s c h 0 1 e s 模型的 问世，使期权定价理论有了突破性进展。近年来在标准期权的基础上，人们运用期权理 论和分析方法，设计出各种具有不同特征的变异期权品种。回望期权就是其中一种，它 是一种路径依赖期权，期权到期日的收益依赖于整个期权有效期内标的资产所经历价格 的最大值或最小值。由于其路径依赖特征，使得回望期权的定价模型与标准期权的定价 模型相比呈现出比较大的差异，其定价问题远比欧式期权定价复杂。 本文是在前人的基础上对条件的进一步拓宽。在第三章第一节中，在b l a d 【- s c h o l 铬 模型基础上改变了其中两个假设条件：股票价格变动遵循c e y 变化；第二，建设有交易 成本，且交易成本与股票波动相关，在此基础上推出c e v 下有交易费用的回望齐全的定 价模型，利用了二叉树方法得出其数值解。在第三章第二节中，本节假设波动率、红利 率和无风险利率均为时间的已知函数且有交易成本，推出了有交易费的时间依赖的回望 期权的定价模型并利用等价秧得到了定价公式。第三章第三节中，建立c e v 下r 、都是 服从时间t 的函数的有交易成本的回望期权定价模型。主要结果如下 1 服从c e v 过程的有交易费的回望期权的定价模型及利用二叉树求出其数值解。 2 ， 盯都是时间t 的函数的有交易成本的回望期权定价模型，利用等价鞅法求出其 解析解，及其看跌与看涨期权的多头与空头的评价公式。 3 建立c e v 下厂仃都是服从时间t 的函数的有交易成本的回望期权定价模型。 关键词：回望期权；有交易成本；曰肠砖一s 跏d 切公式；等价鞅；时间依赖 北方工业大学硕士学位论文 a b 咖a c t m 咧0 n i sa 幽i i g b tt h a tm ch o 锄b u y 凹础q i 姗衄a n d 删够o f m l d e d y i i l g 勰s e t sa 伍【e dt i l n ei n l e 如t u r j ea f i e r 耻b 吨t h ec o s to fo p 6 0 墙i n 阳c e n ty e 嬲， 0 p s 笛龇胡m e 吐：l o dt 0a 棚r i s k0 r 删撕o nl l a v e 印i dd e v d o p m i 眦m 缸 哪岖o nc 0 i n l 眦o l m o np d c ei sau i l i q l 圯v 耐a b l ew 1 1 i e hc i i l a i l g 鹤、析t 1 1t h es 叩p l y 锄dd 锄锄di n t h e 倒k 呜t l 把。砸0 n 皿c i n gi s 圮i s 册i nt h e 缸a d eo fo p 怕几h1 9 7 3f b l a c k 锄d m s d 的l 器，m cs d h o ki nc b i c a 9 0i 坷v e f s 姆蒯b la c 】k s c h 0 1 铬q 岖0 n 蹦c i n gm o d e l ， b 1 a c ! k l 鹤m k ) d dm a l 潞g r e a tp g r e s so ft h e1 1 e 骶缸ho no p 6 0 np d c i n 孚i t l 托嗍l t y c a 玛m eb 础o f m es t a n 捌删。屿1 1 s i n g 叩d 岫锄d 蝴s 础地0 d s 聊l e d 商孕m cv 耐蚴o f o p 6 s 而md i 触c h 戤蛾萌蚯铝l d 0 k b a c k0 p o i s eo f 位 0 l 栅，i ti sa 徉吡h i e 肼舶d i m t0 i 岫0 l 栅) i d d - 蛐a t u 衄d t 翟d st h e 1 d 珂慨嬲s e t s 懿p 丽喇m e 脚咖0 rm i | 咖硼c e s i nm c 蛐6 m e 飙0 f m e 嗍o f 倒础t l l e r e 函s t s 删s h e s 锄确础b a d k 删0 mp r i c 吨m o d e l 锄ds t 卸姗。硼0 i l s ht h i sp 叩l e rw ep 删e c 觥0 nm eb a s i so f c o n d i d o 璐t 0f i n t b 盱b a 溉mc 1 1 印t e r 皿 c 曲ni ，w ec i h a n g e 怕，o 部跚m p 6 0 1 姆o fb 1 葩k - s c h o l 鹤m o d d 弱卯珈p t i c 幡：t l l e 缸瓯t 1 1 es t 0 c k p d c en 1 j c t u 撕。璐伽o w sc b v 弘o 鼹；t h e 咖也b l l i l d i n ga 心m c 6 0 nc o s t s ，锄d 位m 鞠洳 c o s t s 嘲a t i 自d 谢t l ls t 0 c k s 妇l l c = t i 觚。璐0 n 恤b a s i s ，w e1 踟n c h 。d 蹦c i l l go f1 0 0 kb a c k q m o 鹏谢t l l 的i 瑚甜0 nc o s t s 硼d e f ( 、e v 胛) c e s s 锄du s o dab i n a 巧慨珊氏h o dt 0o b t a i nt h e 蚴e r i c a l 鲥l n i 阻m 蛳3 ，s e c t i o n2 ，w e 胛m d e s 硼c i l l gm o d e l 锄dp d c i l l g 缅m l l l 勰勋 l o ( ) kb a c i k 郇时s 讹t 】唧删o nc 0 s t sw h e nt h ep d c eo f l d 胡姐i 唱a s s e tf b u 伽帽t h em o d e l 、枷ht i l 球l q 婶n d e n tp 乏瞄m e 觚锄dw el l s e dm 盯t i r 冯出m 删t 0 鲥p d c i r 培南m m b a 1 a p t 盯 o fm e 也i i r dq i l a r 呱w eb 曲呷m cp d c i n gm o d e lw i 血1 瑚韶甜0 nc o s t su n d e r t j m 争 d ie p l 髓d 锄tp 觚仰鼬懿a n ds t o c k s 妇u c t l l 暑i t j 加s 南u o w sc e v 1 km i nc 0 璐e q u i s 嬲 如n 侧s ： 1 蹦c 堍0 f b o kb a c ko 砸o n sw i 血t r 锄鞠c 6 0 nc o s t su i l d e fc e v 趾dl l s e da 岫 屯r m e h o dt 0o b t a i nt l l en u m 鲥c a ls o h l d o n 2 蹦c i n g0 fl 0 0 kb a c k0 1 p t i o n sw i 也t r 锄翰甜c o s t si 舶d e rt i m 争d e p e n d e n t p 孤锄喊哪1 1 s 。dm a r d n g a l em e l ：b o dt 0 酎p r ：i c i ：n g 如训a 3 m e 硼衄m o d dw i d lt 瑚s a c t i o nc 0 s t si m 妇t i m 咖d 锄tp 锄础t 懿砌d s i 烈血sf l u c h l a 矗( m s 南玎o 、sc e v k e y w o r d s ：l o ( kb a c ：k0 l m o n ；缸锄圈l c i i o nc o s t s ； d 晖唰1 d 衄t 1 7 雒球；c e 岱 - 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 量友王些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刮讳签字日期：2 0 3 睁5 月彳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 壁友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权j 匕友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王刹伟 导师签名：匀彼龛移 签字日期：2 i 喇踔歹月“日釜泞日期：挥厂为z 扫 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 作为本文的开篇部分，本章主要介绍了课题“期权定价模型的背景、期权定价发 展的历史、研究动态，然后介绍了本文研究的主要问题 1 1 选题背景 在现代金融理论和实践中，各种衍生证券的定价是很重要的问题截止到1 9 9 8 年低， 全球各种衍生证券的交易总合已超过3 万亿美元期权是一种非常特殊的衍生工具，是 在未来时间的选择权，是一种或有要求权。在金融市场及商品市场中有很多形式的金融 衍生工具，但远期和约( f o r w a r dc o n t r a c t ) ，期货( f u t u r e s ) ，期权( o p t i o n s ) 是三种 最基本的金融衍生工具。自1 9 7 3 年春季，期权在芝加哥期权交易所首次进行交易以来， 期权市场的发展十分迅猛。1 9 9 8 年初，仅股票期权的交易市值已达1 4 8 0 亿美元。 由于期权价格是期权合约中唯一随市场供求而改变的变量，它的高低直接影响到买 卖双方的盈亏状况，所以期权定价问题是期权交易中心的核心问题。1 9 7 3 年美国芝加哥 大学者f b l a c k 与m s c h 0 1 e s 提出了b 1 a c i r s c h o l e s 期权定价模型。1 9 7 3 年m e t r o n 考虑了 股票存在连续支付股利的期权定价问题，给出了修正后的b _ s 模型，称为b s m 模型，从 而使该模型的实用性大大增强。b l a c k 、s c h 0 1 e s 、m e t r o n 的定价理论是现代金融学最 杰出的成就之一，该理论为金融学的研究开辟了新天地。三十多年来，金融学的发展几 乎都在b _ s 模型或b - s - m 模型的基础上进行的。 目前，在西方金融市场蓬勃发展的资产证券化业务中，期权发挥着特殊显著的作 用。期权由于其损益状态图的非线性和具有特殊性能的时间价值，通过组合可以构造出 具有许多奇异的收益，风险特异的新型金融产品。而且，在各种金融交易和企业的财政 活动中，还存在许多隐蔽的期权。在所有这些方面，期权的定价理论都提供了重要的理 论基础。它的应用，现在已经进一步延伸到实物资产决策上去。因此，上年度诺贝尔经 济奖授予在期权定价理论方面做出杰出贡献的学者，正体现了经济学界对期权定价理论 巨大意义的充分肯定。 中国在经济发展和改革开放的过程中，金融市场逐渐发育并于世界接轨。各种新型 金融产品的出现和新型金融交易的引入，是势不可避免的，因此，开展期权定价理论的 研究是非常必要的。 北方工业大学硕士学位论文 1 2 期权的概念 期权定价大致经历如下发展过程：b - s 模式之前的“非完全”模式；b - s 的“完全 的 一般均衡模式；b - s 之后发展的新模式。 1 2 1 瞒之前的模型 对期权价格进行的研究可追溯至法国数学家巴契列亚( l 0 u i sb a c h e l i e r ) 在1 9 0 0 年的有关投机理论的研究。在该文章里，他假设股票价格按无漂移的算术布朗运动( 又 称绝对布朗运动) 变化，得出了在到期日时的股票期权价格的期望值公式。尽管按照他 的假设将导致股票价格可能为负的结论，然而该文章的重要意义在于首次引入随机过程 描述股票价格运动，而且为布朗运动的研究奠定了数学基础。在接下来的半个多世纪， 期权定价的进展主要是在应用计量经济模型方面。这方面的典型成果是卡索夫( 1 ( a s s o u f ) 的工作，他利用下述公式估计看涨期权价格d c = x ( 妻) ，+ - 彤一， ， 。sy o 5 - 北方工业大学硕士学位论文 圭黜2 即窘+ 谜嘉一勉= o 州嘁2c 坶2 掰 j u ， 新型期权的定价模型 “新型之意是指这一类期权不同于标准期权，它的结构很奇特”，有的期权上加期 权，有的则在到期日、协定价格、买入卖出等方面含特殊规定。新型期权的许多品种都 是由金融机构应市场的特殊要求设计而成的，并逐渐延伸为有助于管理特定风险的金融 工具。新型期权通常在场外市场交易，其收益规律远较标准期权复杂，其定价求解也更 为复杂，一般没有解析解。常见的新型期权有打包期权，复合期权，任选期权，障碍期 权，两值期权，回望期权，亚式期权等。 新型股票期权通常分为以下几类： ( 一) 路径依赖型期权。这类期权的收益不仅取决于标的资产在到期日的价格，还 取决于标的资产价格的变化路径，主要包括障碍期权、回望期权等。如有红利的回望期 权的定价模型： 假设：原生资产存在红利，其余假设与b l a c k - s c h 0 1 e s 模型相同，利用偏微分方 程理论，得到有红利的回望期权的定价公式： 詈+ 譬s 2 等+ 心等一，y o ，o s m p 瓦 a t 2a s 2 8 s 。 v ( 二) 合同条款变化型期权。这类期权因为标准期权合同条款的某些特征发生变化 而产生的新型期权，主要包括两值期权、任选期权等种类。 如有红利的两值期权的定价模型： 假设： 原生资产支付红利，红利率是q ( t ) ，其余假设与b l a c k _ s c h 0 1 e s 模型相同， 利用套利原理、肠公式连续交易保值策略，其定价公式 曼 匕( s ，f ；，g ) ：s ( s ，f ；，g ) ：& 叫) ( 堕竺尘二名掣) ( 三) 多因素型期权。这类期权的收益取决于两个或多个标的资产的价格变化，其典型 代表有彩虹期权和篮子期权。 1 3 本文主要研究内容 1 3 1 服从c e ，过程的有交易费的回望期权的定价模型 首先在b - s 模型的基础上做以下假设： - 6 - 北方工业大学硕士学位论文 1 不存在无风险的套利机会，无风险利率r 为常数； 2 证券市场是一个弱性有效市场，允许买空卖空衍生证券； 3 证券可无限细分，且交易证券是连续的； 4 欧式期权； 5 股票价格满足豳= 船出+ 盯s 2 出； 6 假设买卖w 单位价格为s 的标的资产，交易费用为七1w | s ：。 得c e v 下有交易费用的回望期权的定价模型为： 心豢+ 詈+ b 盯2 + 、丢肋卜豢= ，y瓠御i 2v 磁j 铅2 ( o s m ，o 冬f r ) ， 矿( s ，m ，丁) = m s ， 筹l s 酬- o c e v 。f 有交易费用的回望期权模型的数值解： 利用替换法； 边界条件满足：m a ) 【( o ，呜一晶) ， 当条件满足时利用公式( 1 5 ) 转化为s e ，结合二叉树的求解公式： q = e 础0 喇+ ( 1 一p 切“) 。 1 3 2r 、仃都是时间t 的函数的有交易成本的回望期权定价模型： 模型的基本假设： 1 组合每隔4 时间进行一次保值。这里4 不是无穷小量：标的资产价格符合随机微 分方程 孕：“o 如+ 仃o ) 硼) u f 上式的离散形式为： 岱= o 妇+ 盯( f ) 肿万 其中w ( f ) 为标的资产的期望回报率，仃( f ) 为标的波动率，挑( f ) 为标准b r o 帆 7 北方工业大学硕士学位论文 运动，e 【d 协( f ) ) = o ，v 缸【咖( f ) ) = 出，是服从正态分布的随机变量； 2 无风险利率为，( f ) ； 3 标的资产连续支付红利率，红利率为g ( f ) ； 收益均为无风险禾蟀。随时可以按无风险利率，( f ) 贷入或贷出资产； 5 假设交易w 膻价格为s 的股票时。交易费用与交易股票的价值成正比，即交易 费用为后i 叫s ，其中后是常数。 令 扩( f ) = 争c r 2 ( f ) 一丢争仃( f ) ，因为本文讨论的是仅在期权的有效期内发 生一次股票头寸变化的，因此厅( f ) 仅是依赖仃( f ) 的变化量。 詈+ 三孑2 2 崇_ + ( 厂帅o 詈一，缈= o y ( s ，z ) 2 【喂蛩s e ) p ( t ) ：e f ( u ) 血e q b 磐s “) l f t 】一e f “) 血e q 【s ( t ) l f t 】 矾删e 怕岫f | 学协嘲栅归 掣胆卜州一”别 c ( r ) = g r 似俨阶 一似俨k 酬巧 小鲫声叫f 笋协嘲心艄砂l _ 8 - 北方工业大学硕士学位论文 刊卜州一”刮 舔= ( f ) 黜+ 仃( f ) s i 瓶 万s = “( f ) 办+ 仃 ) s 2 研 其中w ( f ) 为标的资产的期望回报率，仃( f ) 为标的波动率，d 协( f ) 为标准b r o 帆运动， e ( 咖( f ) ) = 0 ，v a r ( 挑( f ) ) = 出是服从正态分布的随机变量； 2 无风险利率为，( f ) ； 3 标的资产连续支付红利率，红利率为g ( f ) ； 4 不存在无风险套利机会，所有投资者都处于一个风险中性的环境中，所有证券收益 5 假设交易w 股价格为s 的股票时。交易费用与交易股票的价值成正比，即交易费用 为七lw i s ，其中七是常数。 令争矛( f ) = 盯2 ( f ) 一丢_ 砉鼢( f ) ，因为本文讨论的是仅在期权的有效期内发生 一次股票头寸变化的，因此厅( f ) 仅是依赖仃( f ) 的变化量。 警+ 扫r ) s 詈豢+ ( 廿蝴詈- ，( f ) y ( s ，丁) 2 【罂警s e ) 9 北方工业大学硕士学位论文 2b la c k - s c h o le s 期权定价的模型 2 1b i 孔k - s c h o i e s 期权定价模型 早在1 9 0 0 年，法国数学家b a c h e l i e rl 就在他的博士论文中把股票价格的变化描述 为布朗运动，由此诞生了连续时间的随机数学与连续时间的期权定价经济学，1 9 7 3 年， 美国金融学家b l a c k 和s c h o l e s 首次提出了b 1 a c k - s c h o l e s 期权定价的模型 1 ，它是欧式 期权定价最有效的手段之一，在期权定价方面取得了突破性的进展。其后，m e r t o n ， c 0 x ，r o s s 和i n g e r s 0 1 l 又对其进行了深入的研究与改进，并将其推广到股票期权，股指 期权，汇率期权等众多衍生品的定价之中，1 9 9 9 年只只酬卅研究了股票价格服从 c e v 过程的有交易费的亚市期权和障碍期权的定价模型，以上定价模型都假设股票价格 都服从某种分布，然后综合运用有效市场的理论，无套利原理，i t o 原理，最终得到了 基于股价的任意一种衍生品价格的偏微分方程，然后利用热传导方程、偏微分数值解法 或等价鞅得出其解。 由于回望期权的价格与标的资产的价格变化路径有关，所以其定价要比欧式期权的 定价复杂的多，但是回望期权与欧式期权有着直接或间接的联系，它是标准期权的延伸 和派生，所以首先应溯根求源，在充分理解欧式期权定价的基础上，逐渐凸现回望期权 的定价原理。因此详细分析期权定价模型是必要的，为导出b - s 模型我们首先对市场作 了如下的假设： 1 原生资产价格演化遵循几何b r o 帆运动 盟：出+ 仃d 形 置 。 ( 2 1 ) 这里 期望回报率( e x p e c t e dr e t u r nr a t e ) ( 常数) ， 仃波动率( v o l a t i l i t y ) ( 常数) ， 矗w ( f ) 标准b r o w n 运动( s t a n d a r db r o w n 哟t i o n ) ， e ( 咖( f ) ) = o ，v a r ( 咖( f ) ) = 出 2 无风险利率r 是常数， 3 原生资产不支付利息， 4 不支付交易费用和税收， 5 不存在套利机会。 1 0 北方工业大学硕士学位论文 得出不付股利欧式股票看涨期权价格c ( c a l lo p t i o n ) 应满足如下微分方程，- ( 为无风 险利率) ： d 矿= c 警+ 筇著+ 三盯2 s 2 窘+ 盯s 等，忽、8 t 8 s28 s 。 a s 。 现利用对冲技巧，给出口一s 期权定价的数学模型。 构造投资组合：此证券组合的持有者卖出一份衍生证券， 义此投资组合的价值为，根据定义： 兀= y 一笛 这里是股票的份额，选取适当的使得在( f ，f + 出) 时段内， 微小的时间段出后，证券组合的价值变化为： d 兀= d y 一躺 买入数量为的股票，定 n 是无风险的。因此经过 = ( 詈+ 筇等+ 三仃2 s 2 豢卜+ 甜詈忽一黜+ 盯勉， = ( 詈+ 筇等+ 丢仃2 s 2 豢一舡s 卜+ ( 盯s 蔷一仃s ) 忽 根据无套利思想，该证券组合的瞬时收益率一定与其短期无风险利率收益率相等。 所以有d = 棚出，于是 d n = ，兀出 = ，( y 一丛) 班 = ( 警+ 筇等+ 丢仃2 s 2 窘卜+ 盯s 等记一 黜+ 仃姚，i 御粥2 罄2j锵 ” 由于( 2 2 ) 式左端是无风险的，因此上式右端随机项d z 的系数必定为o ， ：竺 a s 将( 2 3 ) 代入并消去出化简得到 竺+ 心里+ 三仃z s ：婴一：o 百+ 心西+ 五仃s 万一，y 2o 魂8s2a s 2 ( 2 2 ) 即选取 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 这就是著名的b 1 a c k - s c h 0 1 e s 方程，他描述了期权价格变化遵从的规律，在现代金 融理论中占重要位置。此公式诞生后，金融学家、经济学家、数学家以及计算机专家紧 接着进行了大量的研究，得出了多种推导b l a c k - s c h 0 1 e s 公式的方法，比如从偏微分方 程的角度，通过逐步代换，化为热传导方程的p o i s s i o n 公式进行求解，从博弈的思想考 北方工业大学硕士学位论文 虑，利用概率知识中f e y n 腿n l ( a c 公式求解，以及二项式定价模型，d o n s k e r 定解， g i r s a n o v 定解求解、等价鞅等等。 我们可以得到b 1 a c k s c h 0 1 e s 公式： c ( 品，o ) = 跏( 面) 一k 矿，( n ( 畋) 盔：一咖和厉 盔= 铲咖和厉 ( 工) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数，即 ( 工) 2 去芦d 彩 权与看跌期权之间的平价关系p + s = c + 一r ( ) 来求得 p ( ，o ) = & 一，( ) ( 一畋) 一跚( 一盔) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 也可以由看涨期 ( 2 7 ) 口一s 模型在欧式期权定价方面取得了重大突破，它推导出了基于红利支付股票的 任何衍生证券的价格必须满足的微分方程，并运用该方程结合数学理论推导出了以上的 欧式看涨看跌的定价公式。在随后的研究中。人们逐渐放松了曰一s 模型的假设条件， 将其中单一因素放松后而得到的支付红利情况下的欧式期权的定价公式如下： c ( s ，r ) = 和胁( 盂) 一缸一胁7 ( 五) ( 2 8 ) 其中 h 量+ 扯) - g + 掣卜 小勺丽一，鞘一厅雨眨9 ， 这里g ( f ) 表示红利率，( _ ) 表示无风险利率，证明及推导过程祥见 4 1 。 推论2 1 在建立b s 模型的前提条件下，若支付红利率，则曰一s 欧式看跌期权的定价 公式为5 - 1 2 - 北方工业大学硕士学位论文 p ( s ，f ) = 舶”打( 一面) + 怕枷( 一乏) ( 2 1 0 ) 其中五，破定义见( 2 9 ) 定理2 2 设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日z 的欧式看涨与看跌期 权的定价，其中无风险利率，= ，( f ) ，红利率g ( f ) ，波动率为盯( f ) ，则在支付红利情况 下欧式期权看涨一看跌评价公式为 c ( 叫+ 缸一肌抄= p ( 叫+ & 和沙 ( 2 1 1 ) 注： ( 1 ) 定理2 垤0 定理2 2 的具体证明参见文献 1 ( 2 ) 该模型中仅有股价s 与时间两个独立变量，但当描述某些新型期权，比如回望期权 等时就必须考虑标的变量移动路径对其价格的影响； ( 3 ) 在曰一s 模型方程( 2 4 ) 中无风险利率r ，这表明通过一对冲技巧，召一s 方程把 人引入一个风险中性世界，利用所谓的风险中性定价方法进行定价。它的定价理论不依 赖于每个投资人的偏好以及对未来风险资产的期望值。求解曰一s 方程所得到的期权定 价是风险中性定价。 2 2b i k s c h o i e s 期权定价的模型的推广 自从1 9 7 3 年，b s 模型诞生以来，学术界不少学者对该模型作出了更深入的研 究，极大地推动了期权定价理论的发展，如在波动率仃，红利率g 和无风险利率，均为 时间f 的函数的条件下且有交易成本的情形下得到了欧式期权的定价公式。 有交易成本的欧式期权的定价公式，设波动率波动率盯，红利率g 和无风险利率，- 均 为时间f 的函数，交易成本的欧式期权的定价模型如下： 1 有交易成本的口一s 欧式期权多头的定价方程为： 詈+ 圭p + 2 肋居p 豢+ ( r 一g ( f 舻嚣r ( 杪= 。 吣一= 鹳篙i 旺 2 有交易成本的b s 欧式期权空头的定价方程为： _ 1 3 一 北方工业大学硕士学位论文 f 警+ 三p 一2 肋后户豢小叫f ) ) s 等叫杪= 。 卜栌瞄黼磊 眨 其中形为交易成本比例，比如交易一份股票，则交易成本为臃，4 为微小时间段。 其对应的定价公式以定理的形式给出如下： 定理2 3 设股票价格为s ，执行价格为e ，在波动率盯( f ) ，红利率g ( f ) ，无风险 利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看涨期权多头 的定价公式为： c ( = 舶( 盔) 一一加( 畋) ， ( 2 1 4 ) 盔= 吐= 磊一腼 啪) 可2 + 2 哪) 括 ( 2 1 5 ) 推论2 3 设股票价格为s ，执行价格为e ，在波动率仃( f ) ，红利率g ( f ) ，无风险 利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看跌期权多头 的定价公式为： p ( s ，f ) ：尬一r ，( p p ( 一畋) 一& 一r g ( 巾9 ( 一盔) ( 2 1 6 ) 其中盔，吃及露o ) 的定义与( 2 1 5 ) 式相同。 定理2 4 设股票价格为s ，执行价格为e ，在波动率盯( f ) ，红利率g ( f ) ，无风险 利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看涨期权空头 的定价公式为： c ( s ，r ) = & 舶( 蟊) 一一j i r 枷( 五) ， ( 2 1 7 ) 其中 1 4 北方工业大学硕士学位论文 吐= 畋= 而一j f r ( v ) 咖 州( f ) + 2 肋( f ) 抟 ( 2 1 8 ) 推论2 4 设股票价格为s ，执行价格为e ，在波动率仃( f ) ，红利率g ( f ) ，无风险 利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看涨期权空头 的定价公式为： p ( s ，r ) = 恐一r ，( 咖( 一乏) 一& 一r 口( 恤( 一五) ( 2 1 9 ) 其中磊，乏及以( f ) 的定义与( 2 1 8 ) 式相同。 以上定理2 3 中正( f ) 表示欧式期权多头的期望波动率；定理2 4 中( f ) 表示欧式 期权空头的期望波动率。 定理2 5 设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日z 的有交易成本 的欧式看涨期权多头和欧式看跌期权多头的定价，则看涨期权与看跌期权的平价公式 为： c ( s ，f ) + 一r r ( 枷：p ( s ，f ) + 一r 一( 油 定理2 6 ，设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日z 的有交易成本 的欧式看涨期权空头和欧式看跌期权空头的定价则看涨期权与看跌期权的平价公式为： c ( 叫+ 一f r ，( 一：p ( 叫+ & 一r 覃( 归 注：定理2 3 到定理2 6 的证明可 4 4 】。从上面两个定理可以看出无论是欧式期权多头 还是欧式期权空头。它们的平价公式完全一样。 2 3 强路径依赖型期权的b s 模型 回望期权的价格依赖于一个路径变量，它属于路径依赖期权，其中召一s 模型均可 以用统一的数学恩想导出。 - 1 5 北方工业大学硕士学位论文 本节给出强路径依赖期权的统一的曰一s 模型，考虑强路径依赖的特征，构造出包 含路径因子( 记为j ) ，股价s 和时间f 三因子在内的模型结构。 首先，路径因子，与标的资产的价格s 和时间f 有关，可描述为： j = e 厂( s ( f ) ，f ) j f ，( 2 2 0 ) 这里厂( s ( f ) ，f ) 是任意路径函数，可表示为： 邢( 州= 鲁， ( 2 2 ，) 设抢路径依赖统一期权价格为矿( s ，j ，f ) 。根据肋定理，y ( s ，f ) 遵循如下随机过 程： d y = ( 詈+ 筇等+ 丢矿s 2 豢+ 厂( 黜) 筹卜+ 仃s 等忽 。2 忽) 构造资产组合： = y 一心 经过微小时间段以后，的变化量为 d 矿= ( 詈+ 筇詈+ 丢盯2 s 2 窘+ 厂( 印) 詈卜+ 盯s 等忽一( 黜+ 仃勉) ( 2 2 3 ) 选择适当的，可消去式( 2 2 3 ) 中的随机项，令= 詈，利用无套利原理，有 d 兀= d y 一兀据= ，兀出 进而可得， 詈+ 厂( 即) 筹+ 心著+ 三仃2 s 2 窘一厂矿- - 。2 纠， 这样我们就得到了个包含路径因子在内的强路径依赖期权统一的口一s 定价模型。 本文的主要研究对象为强路径依赖期权，依赖于价格的最大( 最小) 值回望期 权，对于这类期权它们的定价除了与时间f 以及当时的标的资产价格逆有关外，还依赖 于一个路径变量，它是到时间f 时刻为止价格历程的最大值。对于不同的路径依赖特 征。方程( 2 2 4 ) 中的依赖函数厂( s ，f ) 的具体形式也不一样。因此根据具体类型的期权 - 1 6 - 北方工业大学硕士学位论文 依赖特征。再结合其相应终值条件和所带有的一些边界条件，就可以通过求解方程得到 其定价公式。 - 1 7 - 北方工业大学硕士学位论文 3c e ，下有交易费用的回望期权的定价模型 在这一章的第节通过对服从c e v 的回望期权定价模型和相关的有交易费用的期权定 价模型的研究，推导出c e v 下有交易费用的回望期权定价模型；利用通过变量转换和二 叉树方法求解，最总给出c e v 下有交易费用的回望期权的近似解。第二节中假定标的资 产模型中的参数为时间的函数( 即无风险利率为，“) 标的资产的期望回报率为“( f ) ，标 的波动率为仃( f ) 以及红利率为g ( f ) ，利用风险中性定价以及随机微分的性质，结合有 交易费用的欧式期权的定价模型，得出了有交易费用的时间依赖型回望期权的定价模 型，通过等价鞅进行求解，得出具体的有交易费用的时间依赖型回望期权的定价公式。 3 1 回望期权的涵义及其定价模型 近年来，国际金融市场除了人们熟悉的欧式、美式期权外，还涌现了大量的有标准 期权变化、组合、派生出的新品种变异期权。近年来发展的回望期权就是其中的一 种，回望期权是一种新型期权，该期权持有者在期权到期日可以观察期权有效期内标的 资产价格的演化过程，选择最高( 低) 的标的资产价格作为执行价格出售( 购买) 资 产。因此，在期权到期日f = 丁的收益为m a 】【s ( f ) 一e ( 回望看涨期权) 或 o g s z e i 血s ( f ) 。因此亦称它为“买进按低价，卖出按高价期权或标准回望期权。 o s s r 3 1 1c e v 的涵义 c e v 是c c 嘎l s t a n te l a s t i c 时o fv 撕锄o e 的缩写，意思是波动率为常数，由c o x 和r o 豁 口 最早提出的问。其股票价格满足：勰= 心巩+ 仃s 2 出，其中0 口2 。其经济含义是： 所有公司都存在与经营业绩无关的固定成本。当股票价格下降时，可以设想公司经营业 绩下降，且固定成本具有增加波动率的效果；当股票价格上升时，相反的情况发生了， 固定成本具有减少波动率的效果。当口= 1 时，股票价格的波动率与股票价格成反比， 这是c e v 模型的简化情况；当口= 2 时，即满足标准期权标的股票的随机微分方程。 3 1 2c e v 下回望期权的定价模型 为建立这种模型，首先在丑一s 模型的基础上做以下假设( 1 ) 不存在无风险的套利机 会，无风险利率，为常数；( 2 ) 证券市场是一个弱性有效市场，允许买空卖空衍生证券；( 3 ) 证券可无限细分，且交易证券是连续的；( 4 ) 欧式期权；( 5 ) 股票价格满足 - 1 8 - 北方工业大学硕士学位论文 ! 钌= 心级+ 仃s ：出，0 口2 ，其中s 为股票价格，仃为股票价格波动的标准方差， 出为布朗运动；( 6 ) 不存在交易费用。 设回望期权的价格是由y ( s ， 厶，f ) 构造一个投资组合： n = 矿( s ，鸠，f ) 一丛， 其中鸠= ( 量r ，织= 1 刀( 鸠) ”1 d s 。 令m = l i n l 鸠，则m = 1 i m 鸭= l i i i 以。 毛s f g 由肪引理可知，c 哪回望期权y ( s ，鸠，f ) 满足如下随机过程 d 矿= 詈豳+ 詈西+ 詈警出+ 三警( 凼) 2 + 。触)8 s硫a 】觑28 s i 、 。、 根据二次变差原理( 龙) 2 出，又因为搬= 您出+ 仃旷出代入， 原式= 等( 融+ 毒龙 + 詈出+ 薏警出+ 圭豢( 础+ 蠢龙) 2 ：心篓出+ 娶仃s 詈出+ 娑出+ 三黑旦二出+ ! 娶( ，：s z 出：+ 盯z s 口出： 勰船办 刀) ”1 眠 2 帮” + 2 r s a s 2d t d 曲 = 旧+ 嚣出+ 1 以( 坂) 驴1劣等出畦豢扪口卜詈仃毋( 出) 2 勰2 i勰 、7 n = y ( s ， l ，f ) 一丛 d 兀= d 矿( s ，鸭，f ) 一酗s = ，兀出= ，( y 一s ) 班 署+ 署+ 丢南盖+ 三豢拥4 一，润出+ ( 尝郴詈一盯矗卜州妁西+ 百+ i 丽瓦+ i 万矿酽吖盐渺+ 【素叮铲可舻j 拼嫩) 有风险中懦= 等 可得如下偏微分方程： 一1 9 北方工业大学硕士学位论文 心等+ 警+ 丢，寿等+ 三豢西口= ，矿 锵国刀i mr 。1 钌2 锵2 注意孙髓删，1 i i l l 犄_ 0 拈m 时：筹一。一犄胂) 因此，上式一心等+ 詈+ 圭豢口s 口= ( o s m q ( 3 5 ) ( 3 6 ) 由以上s 与x 的关系可知，石越大，s 越大。根据图1 得出x 到达，点的最大值： x ，= k 材吖，再利用s 与x 公式( 6 ) ，求出s ，又因为s 的最大值： 肘( 气，f ) = m 强( s ( ) ，s ( 乞) s “) ) ，其中o f o k = 。 因此，对于服从c e v 的有交易费用的看涨回望期权，其边界条件满足： m a x ( o ，呜一e ) ，结合二叉树的求解公式：q = 矿山( p 嗡+ ( 1 一p ) q “) ，我们可以 得出服从c e v 的有交易费用的回望期权。 3 1 5 实例分析 服从c e v 的有交易费用的回望看涨期权 假设这种期权不支付股票红利且为欧式，其中股票价格为s o 分别为9 0 ，1 0 0 ，1 1 0 ， 期权有效期为一年，即t = 1 ，无风险利率为，- = o 1 ，波动系数盯= 0 2 给出了取不同时间步 长址= 时，得到的计算结果如下表： 2 4 口一0 一 卟了 北方工业大学硕士学位论文 时间步长1 0 0时间步长n _ - 2 0 0 股票初始价格执行价格 口= 1 口= 2口= l 口= 2 s 0 = 9 0 1 0 01 4 1 0 31 4 0 0 11 4 0 2 61 4 0 1 8 驴9 5 1 0 01 3 2 3 l 1 3 0 1 6 1 3 7 5 31 3 。5 8 2 s f l o o 1 0 01 2 9 4 71 2 4 1 51 2 1 0 41 2 2 1 5 3 2 有交易费的时间依赖型回望期权的定价研究 本节采用了等价鞅测度法与一般概率方法，给出了由交易费用的时间依赖型回望期 权的定价公式。 3 2 1 定价模型 1 组合每隔衍时间进行一次保值。这里衍不是无穷小量：标的资产价格符合随机微分 方程 口 嘏= ( f ) & 出+ 仃( f ) s 2 国 ( 1 ) 式( 1 ) 的离散形式为： 口 一 万s = “( f ) s 协+ 仃0 ) s 2 研 其中w ( f ) 为标的资产的期望回报率，仃( f ) 为标的波动率，咖( f ) 为标准b r o 帅运动， 层( 咖( f ) ) = o ，v a r ( 咖( f ) ) = 出是服从正态分布的随机变量；组合每隔& 时间进行一 次保值。这里研不是无穷小量：标的资产价格符合随机微分方程 2 无风险利率为，( f ) ； 3 标的资产连续支付红利率，红利率为g ( f ) ； 4 不存在无风险套利机会，所有投资者都处于一个风险中性的环境中，所有证券收益 均为无风险利率。随时可以按无风险利率，( f ) 贷入或贷出资产； 5 假设交易w 股价格为s 的股票时。交易费用与交易股票的价值成正比，即交易费用 为七lw i s ，其中后是常数。 建立投资组舭 - 2 5 北方工业大学硕士学位论文 根据n = y 一丛，选取，便得上式征国是尢风险阴，即擅j ，= ，l f j 儿t 钟。田丁赞 支付连续红利和交易费用，故由筋定理可得： a ，= 一舔一g o ) 丛痨一舾l 叫 = ( 詈+ 圭仃2 0 坶2 豢+ 詈警出一g o 凇户+ ( 著一) 帮一髂m 。 ( 2 ， 舯詈2 崭 又因为是回望期权，故： 肛删，犄一o 时：署一。一浠训印一， 由无