（理论物理专业论文）基于active+control方法的统一混沌系统的同步研究.pdf

附：学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研宄所取得的成果除文中已经注明引用的内客外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阏和借阏；本人授杈贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在 论文作者签名： 期：2 1 q 尚二曼 摘要 对混沌现象的研究是非线性科学中的重要课题之一，混沌指确定性系统产 生的类随机运动，看似毫无规则却又有一定规律。而混沌同步指两系统运动轨线 最终趋于同一值( 完全同步) 因混沌对初值的敏感性特征，其产生的信号具有 宽频、伪随机等特性，所以混沌同步在其它领域，尤其是在保密通信中的应用 前景，引起人们的广泛关注。 本文主要是真对陈关荣、吕金虎等人提出的一类单参数，连续变化系统一 一统一混沌系统的混沌同步问题进行研究。随着参数的变化，统一混沌系统包 含l o r e n z 混沌系统、l n 混沌系统、c h e n s 混沌系统三种结构，为人们考查研 究混沌及其同步控制提供了新的模型和思路。本文对前人提出的统一混沌系统 目前常的同步方法进行总结，如统一混沌系统耦合同步，反馈同步等，该种方 法虽能实现，但是其推导极其复杂，难以在物理上实现。我们把a c t i v ec o n t r o l 控制方法应用到统一混沌系统同步研究中，a c t i v ec o n t r o l 同步方法主要特点 是该方法简单实际，控制函数在物理容易实现，具有较强的应用价值。理论分 析结果表明，在一定的参数条件下，统一混沌系统可以实现同步，同时在计算 机上运用四阶龙格库塔方法进行计算机模拟，模拟结果表明，对于同构情况， 理论结果与仿真实验一致。 本文创新之处：一、将a c t i v ec o n t r o l 方法由低阶混沌同步扩展到高阶混沌 同步。二、首次把该方法应用到统一混沌系统的同步研究中，并理论分析和数 值模拟相结合，得到了理论结果和仿真结果。 通过本文分析，对混沌同步控制有了更深的了解。该方法具有一般性，且 算法简单，不需要计算李亚谱诺夫指数或构造李亚谱函数。在物理上容易实现， 提高了实际应用的可能。 关键词：混沌，混沌同步，统一混沌系统，a c t i v ec o n t r o l ，龙格库塔 a b s t r a c t 1 h es t u d yo nc h a o sp h e n o m e n o ni so n eo ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t si n n o n l i n e a rs c i e n c e t h ec h a o sm e a n st h a tt h ed e t e r m i n a c ys y s t e mp r o d u c e s s i m i l a xt os t o c h a s t i cm o t i o n ，a n di ts e e m st h a tt h e r ea r en o tr u l e sa t a l lb u th a v ec e r t a i nl a w s c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nm e a n st h a tt h em o t i o n t r a j e c t o r i e so ft w os y s t e m s1 i n ep r o n et ot h es a 鹏v a l u ef i n a l l y ( c o m p l e t e l ys y n c h r o n i z a t i o n ) c h a o sh a st h es e n s i t i v e n e s s c h a r a c t e r i s t i cf o ri n i t i a lv a l u e ，a n di t ss i g n a l sh a v e 、p s e u d o - r a n d o m c h a r a c t e r i s t i c ，e t c s 0t h ea p p li c a t i o n so fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni n o t h e rf i e l d s ，e s p e c i a l l yi ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，c a u s ep e o p l e s e x t e n s i v ec o n c e r n t h ec h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m so ft h ec o n t i n u o u s l yc h a n g i n g s y s t e m - - - u n i f i e dc h a o t i cs y s t e ma r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r ，i n c o n n e c t i o nw i t ho n ep a r a m e t e r ，w h i c ha r ep r o p o s e db yc h e ng u a n r o n g ，l u j i n h u ，e t c w i t ht h ep a r a m e t e rc h a n g i n g ，u n i f i e dc h a o t i cs y s t e mi n c l u d e s l o r e n zs y s t e m 、l us y s t e m 、c h e n ss y s t e mt h r e ek i n d so fs t r u c t u r e ，o f f e r i n g t h en e wm o d e la n dt h i n k i n gf o rp e o p l et os t u d yc h a o sa n di t ss y n c h r o n i z a t i o n c o n t r 0 1 t h i st e x ts u m m a r i z e sc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d so fu n i f i e d c h a o t i cs y s t e mw h i c ha r ec o m m o n l yu s e da tp r e s e n t ，s u c ha su n i f i e d c h a o t i cs y s t e mc o u p l e ds y n c h r o n i z a t i o n ，f e e d b a c ks y n c h r o n i z a t i o n ，e t c a l t h o u g ht h e s em e t h o d sc a nb er e a l i z e d ，t h ed e r i v a t i o n sa r ee x t r e m e l y c o m p l i c a t e d ，a n di ti sd i f f i c u l tt or e a l i z ei np h y s i c s w ea p p l yt h e a c t i v ec o n t r o l m e t h o d si nu n i f i e dc h a o t i cs y s t e ms t u d y t h em a i n c h a r a c t e r i s t i c so fa c t i v ec o n t r o ls y n c h r o n i z a t i o nm e t h o da r es i m p l ea n d a c t u a l ，a n dt h a tt h ed o m i n a t i n gf u n c t i o na r er e a l i z e de a s i l yi np h y s i c s ， h a v i n gs t r o n g e ra p p li c a t i o nv a l u e t h ea n a l y s i sr e s u l t so ft h et h e o r y i n d i c a t et h a tu n i f i e dc h a o t i cs y s t e mc a nr e a l i z es y n c h r o n i z a t i o nu n d e r c e r t a i np a r a m e t e rc o n d i t i o n ，s i m u l a t i n gb yf o u r t ho r d e rr a n g e k u t t a m e t h o do nc o m p u t e ra tt h es a m et i m e t h es i m u l a t i o nr e s u l ti n d i c a t e st h a t 2 t h et h e o r yr e s u l tk e e p st h es a m ew i t hi m i t a t i n ge x p e r i m e n tf o r i s o m o r p h i s mc o n d i t i o n t h ei n n o v a t i o no ft h i st e x t ：f i r s t 。e x p a n d i n ga c t i v ec o n t r o lm e t h o d f r o m1 0 w e ro r d e rc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nt oh i g h e ro r d e rc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n s e c o n d ，t h i sm e t h o da r ea p p l l e di ns y n c h r o n i z a t i o n s t u d yo fu n i f i e dc h a o t i cs y s t e m a n dt h et h e o r ya n a l y z e sa r ec o m b i n e d w i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，r e c e i v i n gt h et h e o r yr e s u l ta n de m u l a t i o n r e s u l t t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h i st e x t ，w eh a v ead e e p e ru n d e r s t a n d i n g f o rc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nc o n t r 0 1 t h i sm e t h o di sg e n e r a l ，a n d t h e a l g o r i t h mi ss i m p l e i ti sn o tn e c e s s a r yt oc a l c u l a t el y a p u n o ve x p o n e n t o rl y a p u n o vf u n c t i o n t h i sm e t h o di sr e a l i z e de a s i l yi np h y s i c s ， i m p r o v i n gt h ep o s s i b i li t yo fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：c h a o s ：c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ：u n i f i e dc h a o t i cs y s t e m r a n g e k u t t am e t h o d 3 i 1 本课题研究背景 第一章绪论 混沌的发现被认为是2 0 世纪的三大成就( 相对论、量子力学、混沌) 之一， 以往人们遇到问题时，总是化为线性问题来进行解决。随着人类认识、改造和利 用自然能力的不断提高，以及实际应用的需要，人们面临大量非线性问题的处理。 非线性科学是近4 0 年来在各门以非线性为特征子学科研究基础上逐渐形成的，旨 在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律。由于混沌的本质是由简单 的确定性系统产生的非常复杂的非线性运动该运动具有内禀随机性混沌同步 指两个混沌系统轨道，随着时间的发展，两轨道最终趋向一致，步调一致，并且 这种同步是长期稳定的。所以自从混沌现象被发现以来，混沌理论的研究和在各 领域的实际应用研究吸引了人们越来越多的目光( 王光瑞等、2 0 0 1 ；方锦清，1 9 9 6 a , 1 9 9 6 b ，1 9 9 6 c ，1 9 9 8 ，2 0 0 2 ) 。混沌的本质特性就是对初值的敏感性，所以两个孤立 的混沌系统，由于初值不可能精确到完全一样，所以即使它们的结构，参数完全 相同，也不可能达到同步。但是我们可以将其区分为驱动响应耦合系统中的两个 部分，其中一个作为自由演化的子系统，通过在系统问进行适当的耦合分解和控 制，使响应系统渐进的趋于驱动系统，从而实现混沌系统间的同步。p c c o r a 和 c a r r o l l ( m p c c o r a 1 9 9 0 ) 1 在1 9 9 0 年从理论上证明了混沌系统同步的可能，并于同年 在实验室里实现了同步，这是混沌同步研究的一个里程碑。经科研工作者们的努 力，混沌同步理论研究的深度和广度都有了很大提高，混沌同步的研究也由最初 。完全同步”发展到发、收系统问存在一定函数关系的广义同步。同步方法也早 己超越了最初的驱动响应同步方案，如主动被动同步、反馈同步，自适应同步、 神经网络同步法等。至今，混沌同步方案的研究仍是混沌研究的前沿之一。 1 2 本课题研究历史现状及存在的问题 1 9 9 0 年，美国海军实验室p e c o r a 和c a r r o l 首次提出混沌同步方案，并同年利 用电子线路实验实现两混沌系统的同步，从此拉开了混沌同步研究的序幕。到目 4 前为止，人们已经提出了多种混沌同步方案，如早期的驱动响应同步、主动被动 同步、耦合同步、反馈同步法等，到近几年的自适应同步法、脉冲同步法、基于 状态观测器同步法等。目前人们又把现代控制理论引到混沌同步研究当中，提出 了一些新的同步方案。随着混沌同步研究的不断加深，人们又把目光从低维混沌 系统同步转向高维混沌同步，虽然难度加大很多，但是其应用价值比低维混沌更 高。近期对于四阶蔡氏电路研究的文章比较多。 最近文献( 吴晓锋，2 0 0 3 ) 使用变量替代方法对l u r 系统的同步问题进行了研 究特别是对c h u a 电路的同步问题进行了分析，对不同状态变量的驱动下，结合 系统参数的取值范围，就c h u a 电路是否可以达到主从同步等问题进行了比较深 入、详细的分析，给出了相应的结论 在自适应控制方法的应用也有较快进展，文献( 戴旭初等，1 9 9 8 ) 使用最速 下降法( s p e e dg r a d i e n tm e t h o d ) 实现了同步和参数估计。文献( 张学义，2 0 0 1 ) 构造了自适应线性反馈控制器实现同步并对参数估计问题进行了系统的讨论。 近年来不少文献用b a c k s t e p p i n g 方法对严格反馈系统和广义严格反馈系统 进行了研究。该类文献一般结合自适应控制方法和b a c k s t e p p i n g 方法对不确定系 统或主从系统参数不一致的情况，甚至是完全不同的两个混沌系统的同步问题进 行研究。也有文献使用b a c k s t e p p i n g 方法仅用单个主系统状态变量实现了同步以 及使b a c k s t e p p i n g 方法实现了不确定混沌系统的指数收敛同步。 文献( y a n gt ，2 0 0 2 ) 使用滑动模控制方法进行同步研究和安全通信的应用研 究。文献( p g v a i d y a ，2 0 0 3 ) 对滑动模的优化选取进行了讨论。多数文章对参数 的不匹配情况以及参数的估计进行了探索，也有文献对噪声的影响进行了分析。 文献( 胡跃明，2 0 0 3 ) 使用脉冲控制方法进行了混沌同步研究，得到了同步的脉冲 型充分条件，并讨论了同步方案在通信安全方面的应用。 其它有一些文献利用神经网络、模糊控制方法、反控制、0 p e n - p 1 u p _ c l o s e d 控制方法、不变流形方法，扩展卡尔曼滤波方法( e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ) 方法 等进行了混沌同步研究。 文献( b a r b o tt ，2 0 0 4 ) 讨论了条件l y a p u n o v 指数与混沌同步能够实现之间的 关系。文献( g r e b o g i 等，2 0 0 5 ) 提出了“t i m e - - s c a l es y n c h r o n i z a t i o n ”的概念， 统一了完全同步、相同步、滞后同步、广义同步等概念。文献2 6 从能观、可测的 角度对混沌系统的同步进行了较深入的研究，结合滑动模和观测器理论，对有限 时间内，仅有一个状态变量已知的同步问题进行了研究。 对混沌同步研究虽然已经取得了较大成果，但是同时面临的问题也越来越 多，有待于人们进一步研究。目前存在的问题有以下几种： ( 1 ) 虽然对混沌控制与同步提出了很多方案，但是很多方案只是基于 直觉和经验，缺少严格的数学证明，都是针对于个别或一类系统。 或者是理论推导很严密，但是算法的实现过于复杂，带来的就是 难以在物理上实现而无法应用。 ( 2 ) 同步方法缺少一般性。目前混沌同步方法，大多是针对某一特定 或是一类混沌系统进行研究，当用于其它系统时就失效。方法适 用性小，缺少普适性。 ( 3 ) 对于高维混沌系统同步研究不够，当前的混沌同步研究主要是对 于只有一个正的李亚谱诺夫指数的低维混沌系统，虽然超维混沌 系统比低维混沌系统更不稳定，更难以控制或同步，但同时在保 密通信中采用超混沌系统的保密性更好。 ( 4 ) 目前混沌系统的研究大多是建立在具有相同结构的混沌系统，具 有精确的数学模型，而对于异结构混沌系统同步研究不够成熟， 有些时候参数的变化会引起结构的不同，尤其是在混沌通信中， 参数的变化不能使同步失效。 i 3 本课题研究目的和意义 对于上述前两个问题，本文主要针对吕金虎、陈关荣等新提出的统一混沌系 统的同步进行研究。该混沌系统是一个单参数连续变化的系统，随着参数的变化， 该系统包含三种混沌结构。因此统一混沌系统对保密通信来说具有重要的意义。 基于线性稳定性理论，我们将a c t i v ec o n t r o l 控制方法扩展运用到统一混沌系统 同步这种高阶混沌中，理论分析实现该系统的混沌同步，并且数值模拟得到自同 步很好的同步图像。该方法的应用范围较大，为研究混沌同步普适性方案具有一 定的指导意义。 6 本文从线性稳定性理论出发，将a c t i v ec o n t r o l 方法扩展到高阶混沌同步 中，该种方法应用范围比较广泛，具有一定的普适性。其次该种方法简单，不需 要大量计算，在实际物理中容易实现。将该方法实现的统一混沌系统同步应用到 混沌通信中，不仅可以大量简化电路设计，而且提高了通信的保密性。所以a c t i v e c o n t r o l 混沌同步方法对保密通信中的应用具有重要意义。 1 4 本文主要内容和结构 混沌同步研究虽然取得了许多成果，但是某些同步理论仍旧有很大的不足， 并且目前的同步方法绝大多数仍处于实验阶段，本文主要研究统一混沌系统的同 步问题。各章节安捧如下 第一章，绪论阐述了混沌同步研究的背景，历史现状及目前混沌同步研究存在 的问题提出本文研究的目的和意义。 第二章，介绍了混沌的基本理论知识，包括混沌的发展、混沌的特征、通向混 沌的道路以及李亚谱诺夫指数和李亚谱诺夫函数。 第三章，首先阐述了混沌的定义，其次介绍了研究混沌系统同步的常用方法， 包括驱动响应同步、主动被动同步、反馈同步、自适应用同步、耦合 同步和其它同步方法。分析了各种同步方法的优点与不足，最后阐述 混沌同步在保密通信中的应用。 第四章，利用非线性方程的线性近似化方法以及线性方程的稳定性理论，分析 推导出的a c t i v ec o n t r o l 同步方法，从原来只适用于低阶混沌系统扩 展到适用于高阶的混沌系统同步，应用范围比较广，具有一定的普适 性。 第五章，研究了统一混沌系统的同步。首先阐述了统一混沌系统的反馈同步和 耦合同步两种方案，在此基础上提出a c t i v ec o n t r o l 同步方法，分别 对该系统的异构与自构同步进行了理论分析推导，最后对这两种情况 进行计算机模拟，给出模拟结果，并对结果进行讨论。 第六章，对全文进行总结，探讨存在的问题，并对将来工作给出计划。 第二章混沌的基本理论 2 1 混沌科学的发展 2 0 世纪7 0 年代以来，非线性科学得到了飞速的发展。一般认为非线性现象分 为混沌、孤立子、分形三大类，混沌作为非线性科学之一，被称为继相对论、量 子力学之后的第三次革命。混沌研究的热潮起源于7 0 世纪，但是对混沌的研究可 追述到1 9 世纪。 1 9 0 3 年，法国数学家h p o i n c a r e 在科学与方法中提出了p o i n c a r e 猜想。 他发现三体问题，如太阳、月亮、地球三者的相对运动无法求出精确解，他把动 力学与拓扑学两大领域结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随 机的。他在书中写到“我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的 显著结果可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了 极大的差别：前者的微小误差促成了后者巨大误差，于是预言不可能了”表明了 确定性系统中具有随机性。这实际上是一种保守系统中的混沌。他因此成为世界 上最先了解存在混沌可能性的人。 1 9 6 3 年，l o r e n z 在大气科学杂志上发表了“决定性的非周期流( l o r e n ze n 1 9 6 3 ) ”一文，讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，指出在气候不能精确 重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不 可预见性之间的联系。他还认为一串事件可能有一个临界点，在此点上，小的变 化可以放大到大的变化。混沌的意思就是此点无处不在。这些研究清楚描述了“对 初值敏感性”的基本特征，这就是著名蝴蝶效应。l o r e n z 给出了一个三变量自治 系统，即著名的l o r e n z 方程。这是一个耗散系统，在一个确定的系统却能导出一 个混沌解的第一例，揭开了对混沌现象现研究的序幕。下图为l o r e n z 吸引子图像。 图1l o r e n z 混沌吸引子图 与此同时，由柯尔莫哥洛夫( n k o l m o g o r w ) 提出，并被阿诺尔德 ( v i a m o l d ) 和莫塞尔( j m o s e ) 分别严格证明的k a m 定理所揭示，可积的 h a m i l t o n 系统对微扰几乎是稳定的。k a m 定理讨论的是保守系统( 吴晓锋，2 0 0 3 ) ， 而l o r e n z 系统讨论的是耗散系统。它们分别从不同的角度说明两种不同类型的动 态系统，在长期的演化过程中是怎么出现混沌态的。从此，对混沌理论的研究便 进入了一个新的时期。 1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家j y o r k e 发表了“周期3 意味着混 沌”的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。自此c h a o s ( l itl ，1 9 7 5 ) 一词正式使用，这篇文章第一次将混沌一词概括到了现代意义上的科学词汇 1 9 7 6 年。美国生物学家r m m a y 发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模 型”一文，它向人们表明，简单的确定论数学模型也可以产生看似随机的行为 工。i = 肛。q 一) ，这就是著名的l o g i s t i c 模型( 也叫虫口模型) 这个看似很简 单的模型，当参数在一定的范围内变化时，却具有极为复杂动力学行为，其中 包含了分岔和混沌现象。分岔图像如下： u 图2 虫口模型分岔图 1 9 7 8 年和1 9 7 9 年费根包姆( m j f e i g e n b a u m ) 等发现了倍周期分岔现象中的 普适性和普适常数( 关新平等。2 0 0 3 ：陈式刚，1 9 9 2 ) ，把混沌学研究从定性分析推 进到定量计算阶段。从而为混沌科学打下了坚实的理论基础。从上面的分岔图可 以看出，当0 l 时，系统只有一个稳定点x = 0 ，物种最后将走向灭亡。当 9 ” 1 0 可 以作为系统混沌的一个判据。 同样对于高维的动力学系统，可以用类似的方法进行定义李亚谱诺夫指数， 此时的李亚谱诺夫指数表示的是相空间中轨道的收缩和扩张，当李亚谱诺夫指 数大于零时，运动轨道收缩，运动稳定，对初值不敏感。当李亚谱诺夫指数小 于零时，运动轨道扩张，按指数形式迅速分离，对初值敏感。这里不再作详细 地介绍。 2 5 李亚谱诺夫函数( 张学义等。2 0 0 1 ；范正平，2 0 0 1 ；都柏林，1 9 83 ) 我们研究两个混沌系统的同步问题，通常用的方法就是转化为两个系统的 误差系统，在零点的稳定性问题。构造一个函数，考虑该函数在零点的稳定性， 这就是李亚谱诺夫第二函数法。具有下列性质的函数称为李亚谱诺夫函数 矿( o ) = 0 矿g ) 是工的单值函数 矿g ) 在定义域上连续可微 如果矿g ) 在定义域上满足： 当工0 时，y g ) 0 则该函数是定正的： 当j 0 时，矿g ) o 时，就说明两个系统不能同步。当李亚谱 诺夫指数 0 ，存在万( f 。s ) 0 ，当“范数” 0 x o 一甲( f 。川 占( f 。，f ) 4 2 4 均有 眵( f ，t o ，x 。) 一甲删 2 9 a - l ( o a 1 ) 时，两系统 达到同步由于最大l y a p u n o v 指数反映系统对初值的平均敏感程度，因此最大 l y a p u n o v 指数越大，负反馈控制参数k 也相应越大。 和线性反馈相适，给定非线性反馈控制量的响应系统为： 童l = ( 2 5 a + l o ) l x i ) + “l 多l = ( 2 8 3 5 a ) x l + ( 2 9 a 1 ) y l - - x j 毛+ 1 1 2 5 2 2 毛= x l y l 一( 8 + a ) z l 3 其中“。= p z 渺一j ，) + ( q + y ) ( 无一z ) ，如= 一2 9 a ( y ，一y ) 时，当满足以下关系式 f 3 8 1 0 a 一2 互；i ；：t i 乏p 3 8 1 0 口+ 2 互j 。；而 1 q 2 ；( 2 s 彳+ 。) ( 8 + 一) 一；( 8 + 彳x 3 8 - 1 0 a - ：) 5 2 3 5 3 耦合同步法 耦合同步法与反馈同步法在结构上具有很大的相似性。最大的区别就是驱动 和响应系统是双向耦合的，驱动系统的行为对响应系统存在影响，响应系统的行 为同样影响驱动系统。文献 1 2 _ 1 4 都采用线性耦合方法实现了统一系统的同步， 但是对耦合系数选择的依据却不同。线性耦合的两个统一系统如下： i i - = ( 2 5 a + 1 0 ) 0 , i x i ) + d l b 2 一j 1 ) 夕i = ( 2 8 3 5 a ) x i + ( 2 9 a 一1 ) y l 一 z i + d 2 d 2 一y i ) 5 3 1 旧= xn y l 一( 8 + a ) z l 3 + 以扛2 - - z 1 ) i 童2 = ( 2 5 a + 1 0 ) 0 2 一j 2 ) + d l b 2 一) 岛= ( 2 8 3 5 a ) x 2 + ( 2 9 a 1 ) 儿一x 2 2 2 + 以d 2 - y 1 ) 5 3 2 【j 2 = x 2 y 2 一( 8 + a ) z 2 3 + d 3 ( z 2 一毛) 针对系统5 3 1 y f f l 5 3 2 ，文献( t a nc 等，2 0 0 4 ) 是基于l y a p u n o v 稳定性理论和线 性矩阵不等式，再利用m a t l a b 中l m i 工具箱计算出线性矩阵不等式的最优解， 得到了统一系统渐进同步的稳定判据l 1 等根据r o u t h - h u r w i t z 判据以及严格 的数学理论推导。得到了两个线性耦合混沌系统同步的充分条件但是文献( t s hi n b r o t 等，1 9 9 3 ) 的线性耦合方法在求取同步充分条件时的数学推导过程比较 复杂：闵富红等基于线性时变连续系统的稳定性理论。没有太多烦琐的数学理 论推导，就能够得到使得两个初始值截然不同的统一系统实现同步的充分条件， 使用特别简单。而且耦合系数的选择范围更宽广。将这种方法应用于统一系统同 步实验中，并且不断地改变参数a 的值，都取得了令人满意的结果，从而证实 了该方法的有效性与可行性。 5 4 统一混沌系统的a c t i v e - c o n t r o l 同步 5 a 1 a c t i v e - c o n t r o l 同步的基本思路( s u nfy , 2 0 0 6 ) 1 对于误差系统，若存在一个矩阵4 ，满足o ( f ) = a e ( t ) 并且a 的所有特征值实 部皆为负数，即p ( f ) 有形如p “的解，a 为爿的实部数值，则表明误差系统在原 点是渐近稳定的，即两混沌系统达到同步故而系统的同步问题就转变为选择合 适的激活控制函数u 使a 的特征值实部皆为负数即研究驱动系统和响应系统的 误差系统，先假定误差系统满足上述条件( 两个系统达到混沌同步) ，当赋予一 特定本征值时，可得到响应系统的激活控制函数u 【，就是想要得到的控制函 数，可以使两混沌系统达到同步。 统一混沌系统是一个复杂的混沌系统，下面我们运用a c t i v e - c o n t r o l 同步方 法来研究统一混沌混系统。 5 4 2 统一混沌系统的结构与特点 统一混沌系统是陈关荣、吕金虎等人提出的一个新的混沌系统，该系统是 一个单参数、全局性、连续时间的混沌系统。统一混沌系统连接了l o r e n z 系统 和c h c n 系统，其数学模型如下： 孟= ( 2 5 口+ 1 0 ) ( y x ) p = ( 2 8 - 3 5 a ) x - x z + ( 2 9 a - 1 ) y 5 4 2 1 j = x y - ( 8 + a ) z 3 其中口为系统参数，取值范围为a 0 , 1 1 ，在此范围内统一系统都处于混沌 状态，当口e o ，0 8 ) 时，统一混沌系统属于广义l o r e i l z 系统，当a e ( 0 8 ，l 】时， 统一混沌系统属于广义c h e r t 系统，当口= 0 8 时，统一混沌系统属于l u 混沌系统 1 3 1 1 。参数a 由0 到1 逐渐变化，统一混沌系统也随之由广义l o r e n z 系统逐渐变 化为广义c h e n 系统。下图为参数取不同值时统一混沌系统吸引子。这一性质为 混沌的同步与控制研究提供了一个新模型，尤其是在保密通信等领域的研究有 重要的实际意义。 曩i 0 暑蹦系绕 ( c ) _ 1 5 1 0c 鱼蜘系统 图5 统一混沌吸引子图象 5 4 3 统一混沌系统自构同步分析 f 童- - ( 2 5 a + l o ) ( y , 一而) + q ( ，) 夕= ( 2 8 3 5 a ) 而一x i z l + ( 2 9 a - 1 ) y j + “2 ( f ) 5 4 3 1 卜。r = x l y j 一( 8 + a ) z l 3 + u 3 ( f ) 其中， 2 ，u 3 为系统同步控制函数。为求出控制函数，将两系统作差，并定 义响应系统式5 4 3 i 和驱动系统式5 4 2 1 之间的状态误差为q m x l j ， h = 一( 2 5 a + l o ) e i + ( 2 5 a + l o ) y , 一( 2 5 a + l o ) y + u , ( t ) 岛= ( 2 8 3 5 a ) x 1 一( 2 8 3 5 a ) x 一而毛+ x z + ( 2 9 a - a ) e 2 + “2 0 ) 5 4 3 2 【岛= x l y i x y 一( 8 + 口) 岛3 + 嵋( f y i “。( f ) = k ( f ) 一( 2 5 a + 1 0 ) y t + ( 2 5 a + l o ) y “2 ( f ) = v 2