（应用数学专业论文）双重分形多孔介质渗流性能的研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 多孔介质广泛存在于自然界、工程材料、生物体及地下结构中， 所以多孔介质渗流问题得到了人们的广泛关注。由于多孔介质微结构 的复杂性，多孔介质渗流问题的理论分析往往需要在连续介质方法的 基础上进行。本文介绍了分形理论的一些基本概念，综述了多孔介质 的孔隙分布分形特征与孔隙迂曲分形特征的双重分形特征。 首先，基于双重分形多孔介质统计自相似性以及d a r c y 定律和 h a g e n p o i s e u l l e 方程，推导了双重分形多孔介质的孔隙率和渗透率 的公式。分析了孔隙分布分形维数d 和孔隙迂曲分形维数所对孔隙率 和渗透率k 的影响，得到了孔隙率随分形维数d 和分形维数b 的增 大而增加；渗透率随分形维数d 的增大而增大，随分形维数研的增大 而减小。 其次，将孔隙率和渗透率应用于分析双重分形多孔介质的稳定渗 流研究中，基于多孔介质统计自相似性、h a g e n p o i s e u l l e 方程和 d a r c y 定律建立了稳定渗流的压力模型。利用微分方程的知识对其求 解分析，得到稳定渗流的压力随孔隙迂曲分形维数研的增大而增加。 最后，将孔隙率和渗透率应用于分析双重分形多孔介质的不稳定 渗流研究中，建立了无限大双重多孔介质的不稳定渗流的压力模型。 以微分方程和贝塞尔函数为基础进行求解分析，得到无限大不稳定渗 流的压力随孔隙分布分形维数d 和孔隙迂曲分形维数n 的增大而增 加。然后给出了采用分形理论和方法有可能解决的其他尚未解决的有 关多孔介质渗流性能的若干课题和方向。 关键词：多孔介质，双重分形，孔隙率，渗透率，渗流 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t p o r o u sm e d i aw i d e l ye x i s ti nn a t u r e ，e n g i n e e r i n gm a t e r i a l s ，o r g a n s ， o i la n dw a t e rr e s e r v o i r se t c d u et ot h ec o m p l e x i t yo fp o r o u sm e d i a ，t h e t r a d i t i o n a la n a l y t i c a lt h e o r ya b o u tt h es e e p a g ei np o r o u sm e d i ai sb a s e d o nt h ec o n t i n u u mh y p o t h e s i s i nt h i st h e s i s i ti sr e v i e w e dt h a tt h ef r a c t a l d i m e n s i o no ft h ep o r e sd i s t r i b u t i o n ( d ) a n dt h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h e p o r e st o r t u o s i t y ( d t ) o fp o r o u sm e d i a f i r s t l y , b a s eo nt h ef a c tt h a tp o r o u sm e d i ac a nb ea p p r o x i m a t e da s s t a t i s t i c a l l ys e l f - s i m i l a rf r a c t a lm e d i a ，a n da c c o r d i n gt oh a g e n - p o i s e u l l e e q u a t i o na n dd a r c y sl a w , t h ep o r o s i t ya n dp e r m e a b i l i t yo fp o r o u sm e d i a c o n s i s t i n g o ft h ed u a lf r a c t a ld i m e n s i o n sa r ed e r i v e d 1 1 1 ep o r o s i t y i n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s e so ft h ed u a lf r a c t a ld i m e n s i o n sda n dd t t h e p e r m e a b i l i t yi n c r e a s e sw i t ht h ef r a c t a ld i m e n s i o nd ，b u ti td e c r e a s e sw i t h t h ef r a c t a ld i m e n s i o nd t s e c o n d l y , t h ep o r o s i t ya n dp e r m e a b i l i t ya r ea d o p t e dt os t u d yt h e s t a b l es e e p a g ef l o wo ft h ep o r o u sm e d i at h a th a sd u a lf r a c t a ld i m e n s i o n s af r a c t a ls t a b l es e e p a g ep r e s s u r em o d e li so b t a i n e d u s i n gt h ek n o w l e d g e o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h es t a b l es e e p a g ef l o wp r e s s u r ei n c r e a s e sw i t h t h ef r a c t a ld i m e n s i o nd t f i n a l l y , t h ep o r o s i t ya n dp e r m e a b i l i t y a r e a d o p t e dt os t u d yt h e u n s t a b l e s e e p a g ef l o wo ft h ep o r o u sm e d i at h a th a s d u a lf r a c t a l d i m e n s i o n s af r a c t a lu n s t a b l es e e p a g ep r e s s u r em o d e li so b t a i n e dw h i c h a c c o u n t sf o rt h ei n f i n i t yr a d i u s u s i n gt h ek n o w l e d g eo fb e s s e lf u n c t i o n a n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ep r e s s u r ei n c r e a s e sw i t ht h ed u a lf r a c t a l d i m e n s i o n sda n dd t 。s o m ep o s s i b l ef u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n sa r e s u g g e s t e dr e g a r d i n gt h es e e p a g ec a p a b i l i t yo fp o r o u sm e d i ab yu s i n g f r a c t a lg e o m e t r ya n dm e t h o d k e yw o r d s ：p o r o u sm e d i a ，d u a l - f r a c t a l ，p o r o s i t y , p e r m e a b i l i t y , s e e p a g ef l o w 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 日期：尘壁年止月丑e t 日期：趟年旦月立e t 中南大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的研究背景及意义 多孔介质( 又称多孔材料) 是指内部含有许多微d ：l 洞的固体体系。一般 来说，在这种体系中，孔洞相互之间都具有一定程度的连通性。 多孔介质的结构特征可概括如下： ( 1 ) 多孔介质是带有许多微d ：l 洞的固体： ( 2 ) 孔洞之间互相连通或是部分连通； ( 3 ) 孔洞的形状多种多样，非常复杂； ( 4 ) 孔洞中的流体在一定条件下可以流动。 日常生活、工农业生产以及自然环境中存在着大量多孔介质的实例【l 】，比 如纺织品、皮革、纸张等常见的日用品，砖、混凝土、石狄岩、砂岩以及木材 等建筑材料，生物体的皮肤、肺、骨骼甚至毛发都是多孔性的；自然环境中各 种土壤、含水层、储油层等地质构造也是多孔性的。多孔介质构成了地球生物 圈的物质基础，其渗流输运性能广泛存在于自然界和人类的生产、生活中，对 人类社会发展具有重要的影响。 在实际工程设计和理论计算时，为求解连续性方程、动量方程和能量方程， 常把多孔介质看作为连续介质，忽略了多孔介质的微结构。即便有相同的孔隙 率，由于各种多孔介质的微结构不同，也会造成物性参数的很大差异。所以， 对于多孔介质的渗流输运性能的研究，不仅有其应用价值，而且有着重要的理 论价值。正因为如此，长期以来国内外许多研究者对于多孔介质渗透性能的研 究投入了大量的资金和精力1 2 - 2 4 1 。由于多孔介质的结构非常复杂，例如孔隙的 界面和大小各异，迄今尚未有有效的方法将其精确地表示。所以几十年以来人 们主要用实验直接测量和数值模拟计算来近似确定多孔介质的孔隙率、渗透 率，然而，上面的方法有其不足，例如所得结果往往综合成经验关系式! 但这 些经验关系式常包含有一个或多个没有明确物理意义的常数。而实验测量常常 是既花时间，又花经费。所以，研究开发理论模型就成为具有挑战性的课题。 多孔介质的渗流力学理论能够为能源的开发利用、相关环境问题的解决等 提供更为科学的理论依据。多孔介质分形渗流模型及其数值模拟是多孔介质渗 流理论研究的重要内容。对于无序现象的描述具有独特的优势，因此应运用分 形理论能够更为真实的描述孔隙分布以及孔隙迂曲度的方法对多孔介质的孔 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 隙微结构进行分析，从而建立更好的孔隙率、渗透率和渗流模型。本文主要是 利用分形理论研究双重分形多孔介质的微结构，并尝试用分形模型来阐述双重 分形多孔介质的孔隙率、渗透率以及渗流的规律。 本文把具有孔隙分布分形维数d 与孔隙迂曲分形维数的珥的多孔介质叫 做双重分形多孔介质。 1 2 国内外的研究现状 多孔介质优越的力学性能，促使人们对他的孔隙结构以及影响因素进行了 多方面的研究，并得到了很到重要的、具有启发性的结论。 1 2 1 多孔介质的渗透性能的研究方法 多孔介质渗透性能的研究已有半个多世纪的历史，但大部分都放在实验研究 和数值模拟研究方面。由于多孔介质的结构十分复杂，具有随机性、无序性，这 就使渗透性能的分析研究进展十分缓慢。目前对于多孔介质的渗透性能的研究主 要有实验测量、数值模拟以及解析分析等研究方法： 实验直接测量：该方法简单易行。通常将结果表达成含有几个经验常数的经 验关系式或以图表的方式给出。其缺点是这些经验常数缺少具体的物理意义，并 且这些常数往往因人而异，缺乏统一性。 数值模拟的方法：数值模拟通常是假定一个理想的多孔介质进行结构模拟， 如举行排列或叉排排列。然后采用适当的方法如有限元法、有限差分法加以计算。 用数值模拟方法获得的结果，其缺点是该结果只能适合于该种多孔介质，而不适 应其他的多孔介质。而且其结果只能以曲线、图表或经验公式为特定的多孔介质 给出，无法将其结果与多孔介质的微结构、孔隙率等参数联系起来。 解析分析的方法：用理论解析的方法去建立多孔介质的渗透性的数学模型， 其目的就是建立能把多孑l 介质的微结构和孔隙率等参数有机的联系起来，而不出 现经验常数的解析解数学模型。所以用理论解析的方法建立输运性质的数学模型 是“多孔介质输运性质 这一领域最具有吸引力和挑战性的课题。 对于一些理想结构( 如圆形毛细管、矩形孔道) 的多孔介质渗透率，文献 2 5 - 2 6 】 给出了一些分析解的渗透率。但这些渗透率的分析解不适用于随机的、无序结构 的多孔介质。而实际应用中，理想结构的多孔介质很少见到。对于随机、无序结 构的多孔介质，在试图用解析或半解析方法求解其输运性质方面，目前已取得了 不小的进展。 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 2 多孔介质的渗透性能分形研究进展 多孔介质中孔隙的大小和分布是随机的、杂乱无章的，运用理想模型来解孔 隙率、渗透率会和实际情况有很大的差异。自从分形理论诞生以来，人们开始将 分形理论用于研究多孔介质的输运问题中。 大量的报道 2 7 - 2 9 】说明多孔介质的微结构、孔隙大小分布具体有分形特征。 多孔介质的渗透性能可以通过分形理论与方法来获得其解析解。但是，目前绝大 多数研究工作还处于初级阶段，仅仅是给出分形维数或在双对数坐标上给出一条 直线，然后根据该直线的斜率得出分形维数，也就是说只停留在做描述性的工作。 为把分形理论和应用研究推向前进，不少研究者做了努力，取得了一些进展。 k a t z 等1 3 0 】把分形理论用来分析多孔介质内部的几何结构，研究表明：多孔 介质孔隙空间和孔隙界面都具有分形特征，并具有相同的分形维数，可以用分形 维数来预测多孔介质的孔隙度。 a d l e r 和t h o v e r t l 3 t - 3 2 1 对确定性的分形多孔介质谢尔宾斯基地毯( s i e p i n s k c a r p e t ) 的导热率做了数值计算。但其中有两个经验常数。此外，分形维数并没 有作为参数出现在其中。 a d l e r 3 3 - 3 5 1 早期对分形物体上的输运问题采用了集合逾渗( p e r c o l a t i o n ) 模型作了数值模拟研究，但所得结果并未与分形维数联系起来，也未与实验对比， 只联系了集合迭代次数。 陈永平和施明恒m l 等人推导出土壤多孔介质渗透率的分形模型，该模型共 有四个经验常数。但其结果没有提供理论模型预测与实验测量结果的对比，因而 该模型的有效性尚需进一步验证。后来他们改进了分形维数的测量，获得了分形 维数d ，经验常数由四个变成为两个。 p i t c h u m a n i 等 3 7 1 提出了一个流动多孔纤维织物的渗透率的分析解分形模 型。该模型没有实验常数，也是该领域罩第一个试图用分形理论和方法解析地描 述多孔介质渗透率的分形模型。该研究根据盒子法计算出孔隙分布分形维数和孔 隙迂曲分形维数，结合d a r c y 公式推导出渗透率的表达式。 马新仿、张士诚1 3 8 i 等建立了岩石中毛管压力曲线和孔隙大小分布的分形几 何模型，在此基础上计算了孔隙结构的分形维数。 y u l 根据分形基本理论建立双重多孔介质的渗透率分形模型，并说明了模 型成立的条件。 孔祥言 4 0 1 从多孔介质结构的细观特性出发，根据分形的基本性质推导出双 重分形多孔介质的渗流速度公式、孔隙率公式和渗透率公式，并建立起双重分形 渗流的扩散方程。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 作为一种新兴的理论和研究方法，分形理论为描述物体内部结构的复杂程度 和空间分布提供了一种全新而行之有效的手段。随着研究的不断深入，分形几何 在多孔介质输运性能的研究中将日趋成熟。 1 3 本文研究的主要内容 本文所研究的双重分形多孔介质是指：通过截面的孔隙直径五从最大直径 丸戤到最小直径九。是连续分布的，不同直径孔隙分布函数曲线n ( 2 ) 五可以认 为是光滑的。 本文从双重分形多孔介质的细观特性出发，根据分形的基本性质，引用孔 隙分布分形维数和孔隙迂曲分形维数以及流体力学的关系式，导出了双重分形多 孔介质的孔隙率、渗透率的计算公式。利用得到的孔隙率、渗透率公式建立了双 重分形渗流数学模型，并进行求解。 本文不但详细分析了多孔介质孔隙分布分形维数d 、孔隙迂曲分形维数珥 对多孔介质孔隙率、渗透率的影响。而且还分析了他们对双重分形稳定渗流分别 在平面平行流、平面径向流、球心向心流的压力的影响；对无限大双重分形多孔 介质弹性不稳定渗流问题进行了研究。这不仅丰富了现有的研究成果，而且具有 良好的应用价值和前景。 4 中南大学硕士学位论文第二章多孔介质双重分形特征的分析 第二章多孔介质双重分形特征的分析 多孔介质的特性，既不同于其他固体，又与简单的导管有别，其原因就在于 它复杂的孔隙结构。实际上，多孔介质所有的宏观性质都在不同程度上受孔隙结 构的影响。随着对各种多孔介质孔隙结构复杂性的深入广泛研究，人们发现一些 多孔介质的孔隙结构在大尺度空间上具有统计相似性，因而使一些多孔介质的孔 隙结构在分形概念框架内得到了很好的描述。 2 1 分形理论概述 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发展壮大于2 0 世纪8 0 年代后。分形理论是非线性科学中一个活跃的数学分支，其研究对象是自然界和 非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体 4 1 , 4 2 。它揭示了有序与无序的 统一、确定性与随机性的统一，被认为是继相对论、量子力学之后，2 0 世纪人类 认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命1 4 3 , 4 4 。分形理 论在上世纪7 0 年代中期m a n d e l b o r t 仓j 立以来，在许多领域得到了广泛的应用。 2 1 1 分形的定义 何谓分形呢? 事实上，到目前为止分形还没有严格的数学定义，只能给出描 述性的定义。粗略地说，分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的 集合对象所包含的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征 长度) ，但具有一定意义下的自相似性的结构的总称1 4 9 。按照统计的观点，分 形在通常的几何变换下具有不变性，即它的每一部分经平移、旋转、缩放变换后 与其它的任意部分相似。 分形的定义是什么，人们在不同的时期从不同的角度提出了不同的定义。分 形( f r a c t a l ) 的概念，最初是由美国i b m 公司的数学家b e n o i t b m a n d e l b r o t 弓i 入 的，意为破碎的，不规则的1 4 3 1 。曾经有人尝试给出分形的严格的数学意义，但 是所提出的定义都不够全面和精确。后来英国数学家k f a l c o n e r 在其所著分形 几何的数学基础及应用中认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义 同样的方法给出，不存在确切简明的定义，但可以列出生命的特性。按这种观点， 称集合f 是分形，是指它具有下面典型的性质【4 3 。4 8 】： ( 1 ) f 具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节； 5 中南大学硕士学位论文第二章多孔介质双重分形特征的分析 ( 2 ) f 是不规整的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述： ( 3 ) f 通常有自相似形式，这种自相似可以是近似的或统计意义下的； ( 4 ) 一般的，f 的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数情形下，f 以非常简单的方法确定，可以由迭代过程产生。 为了让大家对分形的自相似性及构造过程有个直观的了解，下面给出经典分 形k o c h 曲线的构造过程( 如图2 - 1 所示) ，并简单说明其构造原理。k o c h 曲线， 是h e l g ev o nk o c h 于1 9 0 4 年构造的1 4 7 1 。其构造步骤为：首先，将一单位线段 三等分，并截去中间的1 3 部分，代之以边长为1 3 的6 0 。角；然后，再对每一条 1 3 长的线段重复上述过程，直至无穷，所得曲线即为k o c h 曲线。k o c h 曲线是 包含于有界区域内的无限长曲线，它是数学领域中处处连续、处处不可微曲线的 典型代表。 6 中南大学硕士学位论文 第二章多孔介质双重分形特征的分析 2 1 2 分形的基本特性 图2 - 1k o c h 曲线的构造过程 按照分形几何的观点理解，一个具有分形特征的复杂对象虽然是杂乱无章 的，但它具有两个基本特征，自相似性( s e l f - s i m i l a r i t y ) 和标度不变性 ( s c a l e i n d e p e n d e n t ) 。 ( 1 ) 自相似性 自相似是非线性复杂系统的一个重要特征1 5 0 - 5 1 1 。自相似是指某些结构或过 程的特征。从不同的空间尺寸或时间尺寸来看都是相似的，或者某系统或结构 的局域结构与整体相似。另外整体与整体之间、部分与部分之间会存在自相似 性。一般情况下，自相似有复杂的表现形式，而不是局部放大一定的倍数后简 单地与整体完全重合。但是表征自相似系统或结构的定量性质( 如分形维数) ， 并不会因放大或缩小等操作而变化，所改变的仅仅是外部表现形式。自相似不 是相同或简单的重复，它通常只与非线性系统的动力学有关。 ( 2 ) 标度不变性 非线性系统的另一个重要特征是标度不变性。所谓标度就是尺度，是一种 量测的单位。标度不变性是指在分形体上任选一局部区域对它进行放大，这时 放大的图形显示出原图形的特征( 如形态。复杂程度、不规则性等) 。除严格的 数学模型( 如k o c h 曲线) ，实际上的分形体的标度不变性只是在一定的范围内。 自相似和标度不变性是分形的两个重要特征。具有自相似的结构一定会满 足标度不变性。大到宇宙天体、星云分布，小到准晶态、微裂缝，均具有这种 规律。 2 1 3 盒维数 在分形几何学理论中，分形维数( 简称：分维) 可用来标志一个分形集的复 杂程度，它不是通常欧式维数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵【5 2 。5 3 1 。 7 中南大学硕士学位论文第二章多孔介质双重分形特征的分析 分形维数的重要性在与他们能够用数据定义，并且能够通过实验手段近似地计 算，它已突破一般拓扑集的整数维的界限，引进了分数维。具有分形特征的复杂 系统，复杂程度可以用非整数唯一分数维来描述。分形维数度量了填充空间的能 力，是描述对象的最基本特征f 5 4 1 。 盒维数法又称计盒维数【5 5 】( b o x c o u n t i n gm e t h o d0 1 b o xd i m e n s i o n ) 是应用 最广泛的维数的计算方法之一，由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易一 些，所以他的应用比较广泛。下面给出他的定义【4 8 i ： 设f 是r ”上任一非空的有界子集，记n ( f ，万) 表示最大直径为万，且能覆盖 ，的集合的最小数，则f 的上下盒维定义为 d i m 肛硒l i m 哿 弘t ， 一d i m 8 f ：l i - - m i n n ( ，f ，, 8 ) ( 2 2 ) 8 - 0 i n ( 坛) 如果上下维相等，则f 的盒维定义为 击m 烛哿 ( 2 - 3 ) 定义中的上下极限定义 l 洲i m ( 万) 2 烛s u p f ( 8 ) ：o 万 ，) ( 2 4 ) 一l i m 厂( 万) = 婴婴i n f f ( 8 ) ：0 万 r ) ( 2 5 ) 8 - 0 d u 存在盒维的几种等价定义，有时候用起来很方便。所谓等价定义，实际是对 n ( f ，艿) 不同的取法，通常可取下列五种之一： ( 1 )覆盖f 的半径为万的最小闭球数； ( 2 ) 覆盖，的边长为万的最小立方块数； ( 3 ) 相交于f 的万一网络块数； ( 4 ) 覆盖f 的直径至多为万的最小集合数： ( 5 ) 球心在f 半径为万的相互不交球的最大数。 这个清单还可以进一步扩大，实际上可以采用一种对每一个特殊最合适应用 的定义。 盒维数法的基本步骤是：首先把平面或者空间划分为边长为，的单元，然后 统计平面上( 或者空间罩) 至少包含被考察的物理量的一个点的正方形的盒子数 n ( r ) ；逐步改变正方形网格的边长，统计相应的n ( r ) ；若n ( r ) 与，满足如下幂律 关系： 8 中南大学硕士学位论文第二章多孔介质双重分形特征的分析 n ( r ) = c r 。d ( 2 - 6 ) 在双对数坐标系中采用最小二乘法对统计数据作回归分析， l g n ( r ) = l g c - d l g r 其回归直线的斜率d 即为盒维数值 2 2 多孑l 介质子l 隙结构的双重分形维数的计算 ( 2 - 7 ) 2 0 世纪8 0 年代初期，分形的概念开始被研究者们用来研究多孔介质内的各 种传递现象 3 3 , 3 9 。为了证明实际的多孔介质具有分形结构特征，研究者们实验测 定了多孔介质的各种分形维数。比如说颗粒直径( 经典的筛选法或沉降法) 、土 壤聚合体大小1 5 6 - 5 8 ，孔隙大小的测量一般用吸附法 5 9 - 6 1 j 或压汞法1 6 2 , 6 3 1 。 根据分形理论，存在于d 维欧氏空间中的一个多孔分形体的面积、体积或者 质量等物理量m ( l ) 与物体线度有如下自相似标度关系1 6 2 - 6 4 1 m ( l ) o c ( 2 8 ) 式中d 为该分形体的分形维数。m ( 三) 可以是一个物体的质量、体积、面积或曲 线的长度。 2 2 1 多孔介质的子l 隙分布分形维数 分形体的孔隙数目与孔隙直径大小分布服从如下的关系1 6 4 1 n ( l 五) = a a , 。d( 2 - 9 ) 式中旯为孔隙直径，d 为孔隙分布的分形维数，( 旯) 为孔隙直径大于兄的孔隙 数目，a 为不含d 的比例系数。 2 2 2 多孔介质的孔隙迂曲分形维数 孔隙通道的轴线形成弯曲的复杂曲线，具有分形特征，称之为孔隙迂曲分形 维数，它是孔隙通道弯曲度的衡量。图2 2 给出了直的孔隙通道与弯曲的孔隙通 道。因为孔隙通道的弯曲特性，就有了厶( 五) 厶。如果孔隙通道是直的，则 厶( 允) = 厶，孔隙的直径越小，贝i j ：f l 隙通道的长度就越长。w h e a t c r a f t 和t y l e r t 钳l 提出了在非均匀介质流动中的一种曲度关系，p i t c h u m a n i 3 7 , 6 7 和y u 6 8 1 提出了毛 细管长度和毛细管直径之间的指数关系 厶( 五) = 上力卜佴 9 ( 2 1 0 ) 中南大学硕士学位论文 第二章多孔介质双重分形特征的分析 式中上，( 丑) 为直径为2 的孔隙通道的长度，研为孔隙迂曲度分形维数，厶为孔 隙通道的外观长度。珥= 1 意味着该孔隙通道为直的，珥= 2 意味着该孔隙通道 是如此的弯曲以至它填满整个平面。 23 本章小结 圉2 - 2 直的孔隙通道与弯曲的孔隙通道比较 本章介绍了与分形相关的数学知识以及多孔介质的孔隙结构的双重分形 特征，为后面的讨论提供了理论基础，本章主要内容包括： ( i ) 分形理论的概述，简单的介绍了分形的定义、分形的基本特征、盒 维数。着重介绍了盒维数的定义，以及盒维数法的基本步骤。 ( 2 ) 多孔介质孔隙结构的双重分形特征，简单的介绍了多孔介质孔隙分 布分形维数与多孔介质孔隙迂曲分形维数的计算方法。 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 第三章双重分形多孔介质渗透的研究 在一定程度上，所有多孔介质的宏观参数都受孔隙结构的影响。孔隙结构参 数是指那些完全由多孔介质的孔隙结构决定的不依赖其他任何参数的参数，宏观 结构参数表示具有许多孔隙的岩芯平均特性。其中孔隙率和渗透率是孔隙结构宏 观参数最重要的两个方面。 3 1 双重分形多孔介质的孑l 隙率 孔隙率西( 也称为空隙度) 是指多孔介质孔隙( 空隙) 体积所占多孔介质总 体积的百分数，或者说多孔样品中孔隙或空洞占它的总体积的份额取决于多孔介 质的类型。孔隙度的变化可以从接近o 到几乎等于1 的范围内。例如，某些类型 的火成岩有很低的孔隙度，而纤维质过滤器和绝缘材料则都是高孔隙性的性质。 孔隙空间的类型：其中一类是它在多孔介质内形成连续相的孔隙，称之为“连 通的”或“有效的 孔隙，而另一类是分散在多孔介质中“孤立的”或“不连通 的”孔隙。 实验方法：c o l l i n s ( 1 9 6 1 年) 和s c h e i d e g g e r ( 1 9 7 4 年) 对测定孔隙度的各种实 验方法进行全面的讨论，他们把这些方法分为下列几类： ( 1 ) 直接法：此法是先测出多孑l 试样的外表体积，然后设法销毁所有的空 孔，再测出仅是固体的体积。 ( 2 ) 光学法：只要孔隙结构是“随机的”，则样品的孔隙度等于“面孔率”。 面孔率可在样品磨光的薄片上测得。无论如何，总会有些非常小的孔隙和较大的 孔隙同时存在，用这种测量方法很难确保所有小孔隙都能计入，这就是为什么用 光学法测得的孔隙度明显不同于其他方法所得结果的理由之一( d u l l i e n f 7 0 1 和 m e h t a ，1 9 7 1 1 9 7 2 年) 。 ( 3 ) 渗吸法：在真空下将多孔试样浸入润湿液中，并保持足够长的时间，润 湿液就会浸润入所有的孔隙空间。在渗吸前后分别对试样称重，由这两个重量和 液体的密度，就可计算试样的孔隙体积。当样品完全为润湿液所饱和后，在同一 润湿液中进行体积驱替测量，可得出样品的外表体积值，根据试样的孔隙体积和 外表体积可直接计算孔隙度。 ( 4 ) 压汞法：将样品浸入水银中可测得该试样的外表体积，因为大多数材 料不会被汞润湿，所以汞液不会渗入到孔隙中去。 中南大学硕士学位论文 第三章双重分形多孔介质渗透的研究 ( 5 ) 气体膨胀法：此法测量的也是有效孔隙度。试样的外表体积要用其他 方法另外测量。将试样密封在已知容积的容器中，处于已知的气体压力下，该容 器要与一个已知容器的抽空容器相连接。打开两容器的连通阀，则气体会向抽空 的容器膨胀而使气体压力下降。样品的有效孔隙体积可根据理想气体定律计算： 巧= 一圪一圪 p 2i ( p 2 一a ) 】 式中是样品的总体积；圪是装试样的容器容积；圪是抽空容器的容积；a 是 开始时的压力：p 2 是最终的压力。 ( 7 ) 密度法：密度法的依据时同时测量试样的表现密度和试样中固体的密 度。因为孔隙介质的质量完全指望于其固体基质。我们可得下式： m = 反圪= p b 其中m 是试样的质量；成是试样中固体的密度；p b 是试样的表现密度。 3 1 1 双重分形多孑l 介质孑l 隙率的计算 d = 一孚厶( 五) 州( 3 - 3 ) 2 e 了：r 2e 彳。1 + 。) 下z a 2 厶c 允m 2 t a d z 学e 矿肌d r 以 。3 q = 志印它一珥( 1 - t 3 - d - d r ) 卜叫 整体体积为： 1 2 中南大学硕士学位论文 第三章双重分形多孔介质渗透的研究 圪= 4 厶 式中4 为多孔介质的单位横截面积。 由( 3 - 2 ) 式、( 3 - 4 ) ( 3 5 ) 式得孔隙率 ( 3 5 ) = 鲁= 砾等丽瓒吗( 1 - r 3 o - 。r ) ( 3 6 ) n烛，：n鼬dj印一世珥(1_z3-d-dr)4a 肌聃3 ? ：喇o ( 3 - ，d - d r ) 。一。 ( 3 - 7 ) ：丝印一，h l ! 4 以” f 这就是双重分形多孔介质的孔隙率公式。 3 1 2 多孔介质分形维数对孑l 隙率的影响分析 双重分形多孔介质孔隙分布分形维数d 、孔隙迂曲分形维数d 7 是反映多孔 介质结构特性的参数。假设多孔介质的最小孔隙直径与最大孔隙直径比r = 1 0 。2 ， 多孔介质孔隙通道的外观长度厶= 1 0 m ，常数a = 1 ，多孔介质横街面积 4 = l m 2 。以下的公式中都取相同的值。分析双重分形多孔介质的分形维数d 、 d 7 对多孔介质孔隙率的影响。 图3 1 孔隙率与孔隙分布分形维数的关系曲线 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 双重分形多孔介质孔隙迂曲分形维数珥为定值，多孔介质最大孔隙直径 k 分别取0 0 0 0 1 、0 0 1 、1 时，由( 3 - 6 ) 式给出孔隙率与孔隙分布分形维数的 关系曲线，如图3 - 1 所示。由图可见，孔隙率随多孔介质孔隙分布分形维数的增 加而呈递增的趋势；多孔介质最大孔隙直径越大增加的速度反而越慢。设 岛= 3 - 珥时。当d d o 时，多孔介质最大孔隙直径k 越大孔隙率反而越小。当d 寸d o 时， 由( 3 6 ) 式得 l i m ：a d oh - 珥一1lll三(3-8) 图3 2 孔隙率与孔隙迂曲分形维数的关系曲线 双重分形多孔介质孔隙分布分形维数d 为定值时，多孔介质最大孔隙直径 九瓠分别取0 0 0 0 1 、0 0 1 、1 时，由( 3 6 ) 式给出孔隙率与孔隙迂曲分形维数 的关系曲线，如图3 2 所示。由图可见，孔隙率随多孔介质孔隙迂曲分形维数 的增加而呈递增的趋势，多孔介质最大孔隙直径越大增加的速度就越慢；设 o t o = 3 - d 时。当d t 时，多孔介质最大孔隙直径气。越大孔隙率反而越小。当岛一 时，由( 3 - 6 ) 式得 l i m 矽：丝咖一1l i l 三( 3 9 ) 1 4 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 2 1 6 基 ， 一 0 5 2 孔隙迂曲分形维数 1 1 孔隙分布分形维数 图3 3 孔隙率与孔隙双重分形维数的关系曲面 由( 3 - 6 ) 式给出双重分形多孔介质孔隙率与孔隙双重分形维数的关系曲面 图，如图3 3 所示。由图可见，随着孔隙双重分形维数d 、d ，的增大双重分形 多孔介质孔隙率呈增大的趋势。本文所得的孔隙率不仅考虑了d + 岛3 时分 形维数d 、d ，对孔隙率的影响关系，也描述了d + 珥= 3 时的情况。 3 2 双重分形多孔介质的渗透率 渗透率是用于考虑牛顿流体的渗透作用影响的多孔介质导流能力的术语，若 以基本意义使用，“渗透率”应用的范围太小。因为相同的多孔介质的渗透率值 会因流过的流体性质和渗透机理的不同而不同。分离出度量多孔介质对导流能力 的影响和流体及流动机理无关的参数是较有用和较科学的。对于一定的均质流体 来说，所测得的多孔介质渗透率称为绝对渗透率，用k 表示。对同一多孔介质， k 的大小与流体性质无关，仅取决于多孔介质的孔隙结构，对不同孔隙结构的 多孔介质，k 值是不同的。 渗透率的测量( 渗透率仪) ：对于各向同性介质的渗透率通常是用线性的， 更多的是以圆柱形“岩芯”试样进行测量，实验可以是水平或垂直方向流过试样。 在任何场合下都必须注意防止流体绕过试样。 液体或气体两者都可用于测量渗透率，但是液体有时会改变孔隙结构，因而 中南大学硕士学位论文 第三章双重分形多孔介质渗透的研究 改变其渗透率，这是由于某些颗粒会重新排列，孔隙中某些物质( 例如粘土) 会 膨胀，以及各种化学反应等，在研制“渗透率仪的过程中有许多别出心裁的设 计( 见b e a r ，1 9 7 2 年，b a r r e r ，1 9 6 7 年) 。 在多孔介质的渗流问题中，d a r e y 定律起着核心作用，下面对d a r e y 定律进 行介绍。 3 2 1 达西渗透定律简介 渗透率的实用单位是“达西，在压差为1 大气压，对通过边长为1 厘米的 立方体，粘度为1 厘泊的流体，产生l 立方厘米秒流量的多孔介质，它就具有 1 达西的渗透率。即： t 达西= 是裂鬻簇卷 1 达西等于0 9 8 7 平方微米。对于非常“致密”的材料，则用毫达西作为单 位( 1 毫达西等于0 0 0 1 达西) 。 法国水文工程师亨利达西( h e n r id a r c y ) 在解决城市供水问题时，曾用未 胶结砂做水流渗滤实验，他经过大量的试验研究于1 8 5 6 年总结出渗透能量损失 与渗流速度之间的相互关系即达西定律。 图3 4 达两渗透实验装置图 达西实验的装置如图3 - 4 所示。装置中的是横截面积为彳的直立圆筒，其 上端开口，在圆筒侧壁装有两支相距为，的侧压管。筒底以上一定距离处装一滤 1 6 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 板，滤板上填放颗粒均匀的砂土。水由上端注入圆筒，多余的水从溢水管溢 出，使筒内的水位维持一个恒定值。渗透过砂层的水从短水管流入量杯中， 并以此来计算渗流量q 。设出时间内流入量杯的水体体积为a v ，则渗流量为 q = f 。同时读取断面卜1 和段面2 - 2 处的侧压管水头值啊，鸭，7 ，为两 断面之间的水头损失。 达西分析了大量实验资料，发现土中渗透的渗流量q 与圆筒断面积彳及水头 损失a h 成正比，与断面间距，成反比，即 p ：k a 丝：剧f z ( 3 一1 0 ) 或 ，：粤：k f ( 3 - 1 1 ) 以 式中汪a h 1 ，称为水力梯度，也称水力坡降；k 为渗透系数，其值等于水力梯 度为1 时水的渗透速度，c m s 对低速、单相、稳定流，达西定律可由下式来描述： q ：k a o a ，p ( 3 1 2 ) 1 o 式中q 一在压差卸下，体积流量，c m 3 s ； 厶一沿流动方向的岩心长度差，c m ； 以一岩芯径向截面积，硎2 ； 卸一多孔介质两端的压力差，a r m ； 一流体粘度，c p ； k 一绝对渗透率，d ( 法定计量单位为, a m 2 ) 。 若写成微分形式，考虑到速度方向和压力梯度方向相反， ( 3 1 1 ) 式应有如下形式 k 咖 v = 一一l - 弘d l a 或 则( 3 1 0 ) 式和 ( 3 - 1 3 ) q ：一k 鱼鱼( 3 - 1 4 ) ud l o 其中k 为多孔介质的渗透率。 达西定律是渗透的基本定律。d a r c y 定律可用来确定渗透率k 。 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 3 2 2 双重分形多孔介质渗透率的计算 由( 2 - 9 ) 式可得双重分形多孔介质的总的孔隙数目为 f = 4 碟 ( 3 - 1 5 ) 比较( 3 2 ) 式与( 3 1 4 ) 式，得到 等= d 锰d - ( i + d ) d 五= 朋) d 旯 ( 3 - 1 6 ) 式中厂( 力) = d 铝。五。1 + d ，对其积分得 rd 铭。允“们d a , = l 一( 等) 。( 3 - 1 7 ) n以眦 在实际情况中，多孔介质的最大孔隙直径远远大于最小孔隙直径，于是 ( 等) d = f d 1( 3 1 8 ) o 一 强 舡 彩 堪 距 * ， t 堪 d 图3 - 5 分形维数d 与f d 的关系曲线图 根据d 与f d 的关系，可得到分形维数d 与t d 的关系曲线图，如图3 - 5 所示。 由图可以看出当r 1 0 - 2 时，f d 是无限接近于0 的。则( 3 - 1 7 ) 可写成 亡。砧d 一- ( i + d ) 伽1 一石i n ) 。= 1 ( 3 - 1 9 ) 厂( 兄矽名= rf (a)da=1(3-20) 扣o i “ 1 8 中南大学硕士学位论文第三章双重分形多孔介质渗透的研究 厂( 五) = d 心元1 件圳满足归一化条件，厂( 旯) 可称为多孔介质孔隙分布的概率密度 函数。因此，一个对象是否具有分形特征的另一个判据，是看它时候满足( 3 1 8 ) 式。这与文献【i 得到的结论是相同的。 对于直径为五，长度为厶( 旯) 的毛细管，其渗流流量g ( 五) 满足修正的 h a g e n p o i s e u l l e 方程1 2 6 4 1 4 2 i 私) _ _ 去南吾 ( 3 2 1 ) 式中为流体的黏性系数，卸式压力差。根据( 2 一1 0 ) 式，( 3 1 ) 式，则通过 单位横截面4 的总流量q 为 q = 一e 舭= 篙鲁百岛与珥( 学一学加) = 惫鲁赤石脚栏气1 - r 3 + 珥- d ) ( 3 - 2 2 ) = 告鲁赤石珥学1 1 - - f d g 3 + d r - 2 d 】 由于1 研 2 和1 d 0 又由于f 0 , v - - o 知 r 一2 ”b 科q l 2 一瓦丁一 s 一2f ( 1 1 ，1 那么 一2 焉v v-ipi k - 2 1 西- ，【_ 1j s li l v l ( 5 1 5 ) ( 5 - 1 6 ) ( 5 1 7 ) ( 5 1 8 ) ( 5 - 1 9 ) ( 5 - 2 0 ) ( 5 - 2 1 ) 对( 5 - 2 1 ) 可以解析地求得实空间的拉氏反演，其表达式为 椭卜茄呙即v ，筹， 洚2 2 ， 其中不完全g a m m a 函数定义为 r ( 6 ，x ) = r e - , , u b - j 幽 由此得 3 2 f 5 2 3 ) 中南大学硕士学位论文 第五章无限人双重分形多孔介质不稳定渗流的压力模型 p 垆风一茄高帆静 不完全g a m m a 函数可表示为 酏x ) = 聃一争, f f i o 丛i ! ( b 坚+ i ) 利用( 5 2 1