（基础数学专业论文）关于取值于局部凸空间向量测度的进一步研究.pdf

关于取值于局部凸空间向量测度的进一步研究 摘要 本文以j d i e s t e l 和j j u h l 的专著( v e c t o r m e a s u r e s 【1 】为基础，补充和完 善了文献【2 】的研究工作，将b o n a c h 空间中的关于向量测度的几个重要结果推 广到了局部凸分离空间文章讨论了局部凸分离空间中的c a r a t h e o d o r y h 口h 佗延拓定理；证明了p 一完备的局部凸空间x 的序列完备性关于向量测度空 间s o ( ，x ) 、( ，x ) 、阮o ( ，x ) 、b v c a ( e ，x ) 都具有“提升性质”；基于s t o n e 表 示定理，我们还证明了在b o n a c h 空间族的乘积空间x 上，s 口( 莎，x ) 和( 盯( 爹) ，x ) ，以 及b y 口( j r ，x ) 和如( 盯( 夕) ，x ) 都是拓扑同构的；文章的最后证明了关于b a n a c h 空间 族的乘积空间上的y d s i d a h e w i t t 分解定理和l e b e s g u e 分解定理 关键词：局部凸空间；向量测度；延拓定理；提升性质；分解定理 f u r t h e rs t u d yf o rv e c t o rm e a s u r ev a l u e di nl o c a l l yc o n v e x s p a c e a b s t r a c t t h i 8t h e s i sw a gb a s e do nt h em o n o g r a p h v e c t o rm e a s u r e s ) i t o fj d i e s t e la n d j j u h l ，c o m p l e m e n t i n ga n di m p r o v i n gs o m ew o r ki nt h el i t e r a t u r e 【2 】w ee x t e n d e ds e v - e r a li m p o r t a n tr e s u l t so fv e c t o rm e a s u r e sv a l u e di nb a n a c hs p a c e st os e p a r a t e dl o c a l l y c o n v e xs p a c e s t h ea r t i c l ed i s c u s s e dt h ec a r a t h e o d o r y - h a h ne x t e n s i o nt h e o r e mi ns e p - a r a t e dl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ；a n dp r o v e dt h a ts e q u e n t i a lc o m p l e t e n e s so fp - c o m p l e t e l o c a l l yc o n v e xs p a c exw h i c hh a st h e ”l i f t i n gp r o p e r t y o nt h ev e c t o rm e a s u r es p a c e s s a ( e ，x ) 、( ，x ) 、b v a ( z ，x ) 、b v c a ( ：，x ) i nv i e wo ft h es t o n er e p r e s e n t a t i o nt h e o - r e i n ，w ep r o v e dt h a ts 口( 矿，x ) a n d ( 盯( 莎) ，x ) ，幻o ( 罗，x ) a n db v c a ( a ( $ ) ，x ) a x eb o t h t o p o l o g i c a li s o m o r p h i ci nap r o d u c ts p a c eo fb a n a c hs p a c e s a tt h ea n do ft h ea r t i c l e ，w e g o tt h ey o s i d a - h e w i t td e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n dl e b e s g u ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mi na p r o d u c ts p a c eo fb a n a c hs p a c e s k e y w o r d sl o c a l l yc o n v e xs p a c e ；v e c t o rm e a s u r e s ；e x t e n s i o nt h e o r e m ；l i f t i n g p r o p e r t y ；d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m i i 原创性声明 本人声明：所牛交的学何论文是本人住导师的指导卜进行的研究f ：作及取得晌研究成 果。除本文已经注明引刚的内容外。论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼蓥直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同i ：作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：亟塑丞捅导狮签名：暾 日 期：建丝三：! 星e t贿：之乏21 ! ! 芝 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使硝学位论文的规定，即：内蒙古火学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属丁内蒙占人学。作者今后 使川涉及在学期间土要研究内容或研究成果，须征得内蒙占人学就读期间导师的同意：若 丁发表论文，版权单何必须署名为内蒙占人学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：叠塑红 指导教师签名： 日期： 内蒙古大学硕士学位论文 引言 测度理论从提出到现在已经有很长一段时间了1 9 6 5 年，p a u l r h a l m o s ( 3 ) 建立了完 善的数值测度理论1 9 7 0 年，d r l e w i s 在文献【4 】中给出取值于复数的函数关于集值函数 可积的定义及其相关性质1 9 7 7 年，j d i e s t e l 和j j u h l 在他们的名著( v e c t o rm e a s u r e s 1 1 中 建立了b a n a c h 空间上的向量测度理论 关于局部凸空间的向量测度理论的研究工作进展比较缓慢近十多年，国内、外部 分学者加强了这些方面的研究工作1 9 9 5 年，武立中、孙立民在文献 5 e o 讨论了局部凸 空间值向量测度有界变差的若干等价条件1 9 9 6 年，孙立民( 【6 】) 进一步提出局部凸空间 值向量测度的有界、有界变差、有界半变差、强可加、可数可加等基本概念，并讨论 了它们之间的关系2 0 0 4 年，c e s t u a r t 和p a b r a h a m 在文献【7 】中推广了n i k o d y m 有界性定 理和v i t a l i h a h n s a k s 定理2 0 0 5 年，陈敏、吕旭丹在文献【8 】中，引入取值于局部凸空 间的可测函数，并讨论了它的性质及其强可测与弱可测性，而且在一定的条件下将强可 测，弱可测统一为可测同年，陈敏、吕旭丹在文献f 9 】中，在特定条件下建立了b o c h n e r 积分 和p e t t i s 积分之间的联系 2 0 0 8 年，师姐乌仁其其格在她的硕士论文【2 】中， 以j d i e s t e l 和j j u h l 的专著 ( v e c t o r m e a s u r e s 为基础，将b a n a c h 空间值向量测度的若干重要结果推广到了 局部凸空间例如，b a r t l e d u n f o r d s c h w a r t z 定理、 局部凸算子空间的表示定 理、v i t a l i h a h n s a k s n i k o d y m 定理、c a r a t h e o d o r y h a h n k l u v a n e k 延拓 定理等除此之外，如何在局部凸空间中推广c a r a t h e o d o r y h a h n 延拓定理? 如何推 广y o s i d a h e w i t t 分解定理和l e b e s g u e 分解定理? 局部凸空间的序列完备性或者p 一完备 性对于几类向量测度空间是否具有“提升性质”? 这些新的问题需要我们进一步研究 本文在认真学习j d i e s t e l 的专著f 1 】和a w i l a n s k y 的专著( 【10 】) 的基础上，补充和完 善了乌仁其其格( f 2 】) 的工作，进一步研究了上述问题首先将文献【1 l 中关于b a n a c h 空 间的c a r a t h e o d o r y h a h n 延拓定理推广到局部凸空间中；其次我们得到：p 一完 备的局部凸空间x 的序列完备性关于向量测度空间s a ( z ，x ) ，( ，x ) ，b v a ( g ，x ) ， b v c a ( ，x ) 都具有“提升性质一；基于s t o n e 表示定理，我们得到：在b a n a c h 空间族的乘 积空闻上s n ( 芗，x ) 和p ( 夕) ，x ) ，b v a ( 莎，x ) 和6 t ，( 盯( 夕) ，x ) 都是拓扑同构的； 最后我们 在b a n a c h 空间族的乘积空间上得到了关于向量测度两个分解定理，艮o y o s i d a h e w i t t 分 解定理和l e b e s g u e 分解定理 1 预备知识 预备知识 考虑到测度的取值空间的不同，这一章的内容分了三个层次首先是取值于数域k 的 纯量测度，主要是参考了h a l m o s 的测度论这一节先介绍一些基本概念，例如：测度的 定义、纯有限可加，相互奇异等等，因为只是取值空间的不同，所以在第二、三节中不重复 介绍其次是取值于b o n a c h 空间的向量测度，主要是参考了d i e s t e l 的 v e c t o r m e a s u r e ，最 后是取值于局部凸分离空间的向量测度，主要参考了文献 2 | 1 1 关于纯量测度的基本概念和定理 设q 是某个取定的集，有时也称为基本空间以q 的某些子集为元素作成的集岁称为 是一个域，如果对任何e 1 ，e 2 岁都有历u 马箩，西易莎进一步，如果对任一集 列 r ) c 莎都有u 黯1 晶夕，就称域矿是一个仃一域，记为 设p 是定义在域庐上的纯量值函数，如果对互不相交集马，蜀c 箩满足，* ( e lue 2 ) = 卢( e 1 ) + p ( 而) ，则称p 为测度 定义1 1 1 【3 】设p 是域莎上有界的，有限可加的纯量测度，如果。罗上可数可加纯量测 度久o 满足o x ( e ) ( e ) ，e 岁则a = 0 ，我们就称卢是纯有限可加的 定义1 1 2 【3 1 称域岁上非负的纯量测度p l 和p 2 是相互奇异的，如果对任意的e o ，存 在a 穸，使得p 1 ( q a ) + p 2 ( a ) o ，存在a 。，使得 p l ( q 趣) + v 2 ( a , ) 因此对任意的n n ，存在a n ，使得 1 v l ( n a 珐) + 芦2 ( a 再) 去 令 风全u 芒。+ l a 七，e 全n 落1 玩 鼠，e ，则对任意的n n 1 m ( n 玩) m ( n a 岛) 壶，k 礼+ 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 因此 m ( n 取) = 0 注意到q 玩，n n 是递增的，且 u 器1 ( q 玩) = q n 甚1 玩= q e 故 v i ( n e ) = 2 i m n 。肛l ( q 玩) = 0 另一方面， p 2 ( 玩) 助( 如) ：妒( n ) ，ec n n e e 令妒2 = 妒一妒1 那么容易知道，妒1 是2 n 上定义的可数可加纯量测度，妒2 是有界的、纯有限可 加的纯量测度妒= 妒1 + 妒2 就是妒的y o s i d a h e w i t t 分解的具体形式 3 预备知识 1 2 取值于b a n a c h 空间向量测度的基本概念和定理 定理1 2 1 ( c a r a t h e o d o r y h a h n 延拓定理) 【1 l 设y 是b 口见口c 空间，是由子域罗生 成的盯一域如果f ：_ x 是有界变差可数可加向量测度，f i z 是向量测度f 在 域罗上的限制，则对于每个e y - 有i f i z l c e ) = l fj ( e ) ，i p l f i 是i f i z l 的到域上 的c a r a t h e o d o r y h a h n f 延拓 定理1 2 2 1 1 1 设x 是b a n a c h 空间，罗是集n 的子集所构成的域，则存在一个全不连通 的、紧的h a u s d o r l f 空间壳和一个从罗到壳的所有开闭集所构成的域夕上的布尔同构i ，如 果盯( 夕) 表示由夕所生成的口一域，则存在一个8 a ( y ，x ) 到c 0 ( 盯( 夕) ，x ) 上的等距同构b ，b 由 下述对应所决定： ( b f ) ( i e ) 垒f ( e ) ，f 8 a ( y ，x ) ，e 罗 此外，b 将b v a ( y ，x ) 映到幻( 盯( 夕) ，x ) 上，并且关于这两个空间上的变差范数b 仍是一个 等距同构 定理1 2 3 ( y o s i d a h e w i t t 分解定理) 【1 】设x 是b a n a c h 空间，罗是集q 的子集所构成的 域，f ：莎- x 是强可加向量测度，则箩上存在唯一的强可加x 值向量测度足和昂使得 ( 1 ) r 在罗上是可数可加的； ( 2 ) 对每个z + x 4 ，矿( f p ) 在岁上是纯有限可加的； ( 3 ) f = 疋+ 昂 此外，如果f 是有界变差的，则蜀和昂都是有界变差的而且对每个e 少有i f i ( e ) = i f 。i ( e ) + i f p l ( e ) ，且测度i 足i 和i 昂i 是相互奇异的 定理 1 2 4 ( l e b e s g u e 分解定理) 1 1 】 设x 是b a n a c h 空间，莎是集q 的子集所构成的 域，f ：莎_ x 是强可加向量测度，a 是非负有限可加测度，则。芗上存在唯一的强可 加x 值向量测度r 和只使得 ( 1 ) 足a ； ( 2 ) 对每俄+ x ，矿( 尼) 和a 是相互奇异的； ( 3 ) f = 疋- i - 只 此外，如果f 和a 都是可数可加的，则足和b 也是可数可加的；如果f 是有界变差 的，则r 和f s 都是有界变差的，而且对每个e 箩，有i f i ( e ) = l f 。i ( e ) + l 咒l ( e ) ，且l 蜀l 和入 是相互奇异的 4 内蒙古大学硕士学位论文 我的工作就是把上述b a n a c h 空间上的几个定理推广到z c s 空间上由于分解定理在向 量测度理论中有着重要的地位，所以推广工作是有必要的 1 3 取值于局部凸空间向量测度的基本概念和定理 设x 是实数域或复数域k 上的向量空间，p 是x 上一族半范数，满足n p 即- 1 ( o ) = 【o ) ， 其中p 1 ( o ) 全妇x ：p ( z ) = o ，这样的半范数族p 常称为分离的令盯p 是半范数族p 生 成的x 上的局部凸拓扑，则( x ，盯p ) 是局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，简记为z c s 空间，有时 也简称为局部凸空间今后每当提至o l c s 空间( x ，仃p ) 时，总意味着其拓扑是由x 上某一族分 离的半范数p 生成f c s 空间( x ，盯p ) 称为p 一完备的，如果对任意的p 只( x ，p ) 作为半范空 间是完备的例如，c o 空间不是弱序列完备的，但它是p 一完备的这里的p 是可以取为所有 坐标泛函的绝对值组成，此时盯p 就是c o 上的弱拓扑一般的说，f c s 空间( x ，口p ) 的序列完备 性与p 一完备性没有蕴涵性 我们用x 全( x ，盯p ) + 表示( x ，盯p ) 的拓扑对偶空间，并对每个p p 考虑x 的向 量子空间x + ) 全如x + ：s u 昂( z ) 1p ( z ) i + o o ) ，对任意的矿x + p ) 定 义忙+ 0 p = s u p 出) 1 妒( z ) i ，则”0 p 是x + ) 上的范数，并用b ( x ( p ) ) 表示x ( p ) 中的单位闭 球，实际上，伍( p ) ，i i 正是半范空间( x ，p ) 的拓扑对偶空间( x ，p ) 对任意胁p 和z x ，郁( z ) = s u p l l 2 。峪1 矽( z ) | 设芦是非空集合q 的子集作成的域，( x ，盯p ) 是z c s 空间，f ：穸_ x 是向量值函数，如 果对任意的目，场罗，e 1f 3 e 2 = 0 有f ( 日u e 2 ) = f ( e 1 ) + f ( 局) 则称f 是一个有限可加 的向量测度( 简称向量测度) 对任意p 只定勋一变差i 1 p ：莎_ 【0 ，+ 。】为 i f l p ( e ) = s u p ：p 【f ( a ) 1 五三n 其中i i 是将e 分成莎的有限个互不相交元的分划若对任意的p 只都有| f | p ( q ) o ，存在n o n 使 得 l i 一f i i p = s u p p ( f 伽( a ) 一f ( a ) ) k 时有 s u p p ( r ( 段) ) 主 于是， p ( f ( e k ) ) p ( f n 。( 最) ) + p ( r 。( e k ) 一f ( 取) ) k 时，对每一 个扎n 有 p ( r ( u 罂七e 0 ) e 令n o o ，有 p c f c u 罄七日) ) s 我们证明了对任意的p p ，p ( r 、一；o o 七晟) ) _ o ( 詹一o 。) ，这说明f ( u 墨七局) 一 0 故f 是可 数可加的 口 定理3 2 4 设( x ，a p ) 是序列完备且p 一完备的2 c s 空间，是由非空集合q 的子集作成 的口一域，则向量测度空间( 的口( ，x ) ，盯) 是序列完备的空间 证明设 r ) 是b v a ( e ，x ) 中的口一c a u c h y 列，因为b v a ( r , ，x ) cs n ( e ，x ) ，而且拓 扑盯强于口恳i 口( e ，x ) ，所以 r ) 是盯r c a u c h y 列据定理3 2 2 ，s a ( e ，x ) 是序列完备的， 故存在f s n ( ，x ) ，使得晶_ 矿rf 从而对任意的e ，有 f c e ) = 卯熙f c e ) 任取p p 以及q 上的可测分划i i ，由于 p ( 晶( a ) ) sl e v i p ( n ) ， a e l l 令扎_ 。，有 p ( f ( a ” 0 ，存在n n ，当n ，仇 n 时， 对任意的q 上的可测分划， p ( f n ( a ) 一( a ) ) i f 一f 仉l p ( q ) 0 ，存在6 o ，当脚( e ) 6 时 p i p ( e ) 】 o ，只要p p ( e 1 ，岛) 巧，就有 u p ( e 1 岛) 6 】7 向量测度空间之间的拓扑同构关系 和 同时成立从而 坳( 场毋) o ，i = h f ：莎( 坳) 一x 是一致连续的，存在g l o ，当a ，b 莎，p p ( a ，b ) 6 l 时，有 而且 则 p ( f ( a ) 一f ( b ) ) 吾 u 记6 = 鲁现设e 1 ，易盯( 莎) ，满足 昂( 局，场) 覆 根据注4 3 ，由f 延拓为户的正则性，存在耳，马岁，使得 序( 蜀，e 1 ) 正昂( 岛，e 2 ) 正 p f ( 耳) 一户( 墨) ) ；，p ( f ( f f 2 ) 一户( 局) ) 三 乃( 耳，e ) = 昂( e l ，垦) 昂( 日，历) + 昂( e l ，场) + f p ( e 2 ，马) o ，当局，f - a 仃( 岁) ，易( 髓，e 2 ) 如时，有 p ( 户( 研) 一f ( 最) ) o ，当e 岁，p p ( e ) 如时，有 p ( f ( e ) ) 丢 1 9 向量测度空间之间的拓扑同构关系 取j = m i n 6 2 ，如) ，则当e 盯( 莎) ，p ( e ) 6 时，由岁在仃( 穸) ( 昂) 中稠密，存在f 夕，使 得i y p ( e ，e ) 6 从而 脚( e 7 ) = p p ( e 7 ，g ) = 席( e 7 ，历) 昂( e 7 ，e ) + 易( e ，历) = 昂( e 7 ，e ) + f i p ( e ) 2 6 如 注意到z p ( e ，e ) 6 i w e l l p 一言 因为夕在盯( 夕) ( 席) 中稠密，所以存在 取) c 穸，使得 脚( 岛，i 取) = 席( 岛i 晶) 叶0 从而 b f ( e o ) _ pl i mf ( i 晶) ：pl i mf ( 既) n + o 。n 所以对上述e 0 ，存在n o n 使得 p ( f ( e n o ) 一b f ( e o ) ) p ( f ( e n o ) ) + p ( f ( e n o ) 一b f ( 扇) ) p ( b f ( 扇) ) i i b f l l p 一丢 0 f j j p = 一s u p p ( f ( 刀) ) p ( f ( e n 。) ) i i b fj i p 一 e 罗 由e 的任意性知，i i f i l p i i b f i i p 2 1 向量测度空间之间的拓扑同构关系 另一方面，设f s 口( 莎，x ) ，我们有 l i b f i i p = s u pp ( b f ( e ) ) e e a ( $ ) s u pp ( b f ( i e ) ) e 岁 = s u pp ( f ( e ) ) e 。笋 = 0 f 妇 故 i i f i i p = l i b f i i p 由f 对应b f 的对应关系是在上的，且保持对应的半范数不变另外，映射b 是线性的，从 而是拓扑同构映射 第三步：证明口：阮o ( 莎，x ) _ 阮( 盯( 夕) ，x ) 也是一个拓扑同构映射 据引理1 3 5 ，域上的有界变差向量测度必为强可加，故b v a ( $ ，x ) cs 口( 罗，x ) ，从而对上 述拓扑同构映射b ：5 口( 岁，x ) 一p ( 夕) ，x ) ，有 b ( b v a ( ( f ) ，x ) ) cb ( s 口( 罗，x ) ) = ( 盯( 莎) ，x ) 我们进一步证明任一有界变差向量测度f b v a ( $ ，x ) ，变换后的b f 为盯( 夕) 上的可 数可加有界变差向量测度，即b ( 如口( 罗，x ) ) c 幻p ( 夕) ，x ) 任给壳的关于盯( 夕) 的分划矗：五1 ，五，厶对任意的p p 由于。穸在盯( 夕) ( 扇) 中稠 密，所以对每个k ：1sk m ，存在集列 雒】c 矿使得 脚( 氲，i a 嚣) = 画( 氲i a 嚣) _ o ( n _ o o ) 我, f f j 可要求对每个n n ，有雒n 钟= 0 ( 1 k m ) ，从而 b f ( a k ) = p 击f ( i a 2 ) = p 桌f ( 雒) ，k = 1 ，2 ，mn o n + 故 溉p ( f ( 椰) ) = p ( b f ( a k ) ) 鸯= lk = l 所以对任意的s o ，存在n o n ，使得 p ( b f ( a k ) ) o ，存在集a 莎，使得 ( p 口) 。( q a ) + ( p 口) 口( a ) g 据d 的定义和s t o n e 表示定理4 。1 ，有 d ( 地) 。【 ( q a ) l + d ( ) q ( i a ) e 2 4 内蒙古大学硕士学位论文 由于 故 i ( 1 2 a ) = i ( q a ) = ( i 1 1 ) ( i a ) = ( t q v a ) d ( ) 。 ( i 1 2 i a ) 】+ d ( ) q ( i a ) o ，存在n o n 使得 i ic b f ) a ( a k ) l i 口 i ic f 。) 口( 雒ne ) i i a + e k = lk = l i ( r ) q i a ( e ) + e 这样 i ( b f ) 。i a ( i en 馥) = s u p i i ( b f ) 。( a ) i i 。 l i 五n i ( r ) 口i a ( e ) + 故 i ( b f ) q i 口( t ene 1 ) l ( r ) a i q ( e ) 这就证明了等式成立 由此得到， i e i q ( e ) + l 岛l a ( e ) = i ( f c ) o i q ( e ) + i ( 岛) q i q ( e ) = l ( b f ) 。l a ( 1 en 避) + i ( b f ) q i o ( i en 瑶) = i ( b f ) n l 口( i zo ( z tu 砭) ) = i ( b f ) a l a 0 e ) = i ( j e i f ) q i 夕i o ( i e ) = i ) 。l a ( 1 e ) = i ( f ) a i ( 司 = l e l 。( e ) ，e 罗 2 r 内蒙古大学硕士学位论文 其中第五个等号是根据定理2 2 得到的 故l r i 口和1 日i 。均为有界变差r i f i 口= i r l 口- i - l 玛l a 第七步：下面证明i 足i a 上l f q i a 因为爹在i 扫i ( b f ) 。l a 所诱导的伪度量空间盯( 夕) 中是稠密的，故存在集合列 磊) c 莎使 得当仃一o o 时， l ( b f ) 口l ( t 县；a 砭) 一0 于是 l 足i a ( 取) - - fi 蜀1 8 ( n r ) = i ( 最) 口j o ( r ) - ki ( f o 口i 口( q 晶) = i ( b f ) 口i a ( i rn 砚) + l ( b f ) 口i a ( i ( q 磊) n 瑶) = i ( j e i f ) 口i a ( i 风瑶) - i - i ( b f ) 口i a ( 瑶 玩) = i ( b f ) 口i n ( 互瑶) _ 0 从而l 疋i a 上1 日i 口 口 取值于局部凸空间的向量测度的l e b e s g u e 分解定理 六取值于局部凸空间的向量测度的l e b e s 夕让e 分解定理 定理6 1 ( l e b e s g u e 分勰定理) 设( x ，口p ) 是b a n a c h 空间族 ( 五，”l | 口) ，口r ) 的乘 积空间，p 是乘积型半范数族，箩是集q 的子集所构成的域，f ：莎_ x 是强可加向量 测度，入= k ：q n 是非负有限可加测度族，则矿上存在唯一的强可) j i x 值向量测 度r 和以使得 ( 1 ) 疋a ； ( 2 ) 对q f ，z ：嚣，z ：( e ) 。和a 。是相互奇异的； ( 3 ) f = r + e 此外，如果f 和入都是可数可加的，则e 和b 也是可数可加的；如果f 是有界变差 的，则疋和e 都是有界变差的，而且对每个e 岁，有 f l a ( e ) = | 疋l a ( e ) + i f i n ( e ) ， 且1 只l 。和a 是相互奇异的 证明在定理的证明过程中将使用类似上一章的符号我们也用七步完成定理的证 明 第一步：因为f ：箩一x 是强可加的，由推论1 3 1 4 ，存在非负实值有限可加测度族p = ：n f ) 使得f p 仍记 b ：s a ( 穸，x ) 一p ( 爹) ，x ) d ：6 0 ( 罗，k ) _ p ( 岁) ，k ) 如定理4 5 所描述的拓扑同构映射 对任意的q r ，根据定理1 1 5 ，将d 关于d k 作l e b s g u e 分解，就得到口( 夕) 上的两 个非负的，可数可如实值测度( d ) 。和( d 鼬) 。，使得d 鼬= ( d 鼬) 。+ ( d ) 。，( d p a ) 。 d a 口，( d p a ) 。上d k 据引理1 1 3 ，存在魂，礞盯( 夕) ，满足魂u 或= 矗，息n 露= g 使得 ( d a 口) ( e i ) = ( d 埝b ( 砭) = 0 这样对任意的意盯( 爹) ， ( d a a ) ( e ) = ( d 入口) ( en 砚) ( d 如) 。( e ) 一( d p a ) 。( 昱ne 刍) 第二步：现定义足= ( ( 足) 。) ，只= ( ( e ) 口) ：岁_ x 为 ( 疋k ( e ) = ( 召f b ( i en 觋) ( 只) a ( e ) = ( b e ) n e n e 墨) ， q r ，e 罗 3 0 内蒙古大学硕士学位论文 从而r 和只都是岁上有界向量测度此外， 足( e ) + e ( e ) = ( ( 足) o + ( e ) 口) ( e ) = ( ( b f ) 口( i en 砚) + ( b f ) a ( i en 瑶) ) = ( ( b f ) 口( i e ) ) = ( ( b f