（应用数学专业论文）关于概率度量空间中非线性问题的研究.pdf

ab s t r a ct ab s t r a c t i n p r o b a b i l i s t i c m e t r i c s p a c e s , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o e l e m e n t s i s m e a s u r e d b y a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a n d a n o r d i n a r y m e t r i c s p a c e c a n b e v i e w e d a s a s p e c i a l c a s e o f a p r o b a b i l i s ti c m e t r i c s p a ce. c o n s e q u e n t l y , t h e r e s e a r c h o f n o n l i n e a r o p e r a t o r s i n p m- s p a c e s i s o f g r e a t s i g n i fi c a n ce . i n t h i s t h e s i s , s o m e p r o b l e m s f o r s e v e r a l k i n d s o f n o n l i n e a r o p e r a t o r s i n p m - s p a c e s a r e s t u d i e d . i t i s d i v i d e d i n t o t h e f o ll o w i n g f o u r f时i on s . i n c h a p t e r o n e , t h e b a c k g ro u n d s a n d c u r r e n t s i t u a ti o n o f o p e r a t o r t h e o r y i n p m - 即 a r e i n t r o d u c e d a n d t h e p r e l i m i n a r i e s o f p m - s p a c e s a r e g i v e n . 如c h a p t e r t w o , t h e e x i s t e n ce a n d u n i q u e n e s s t h e o r e m s f o r a c l a s s o f s e t - v a l u e d a n d s i n g l e - v a l u e d n o n l i n e a r o p e r a t o r e q u a ti o n s s e q u e n ce w i t h( 叭刃 - t y p e p ro b a b i li s t i c co n t r a c t o r s e q u e n c e a n d 伸 ， 句- t y p e p r o b a b i l i s ti c c o n t r a c t o r c o u p l e s e q u e n ce i n m e n g e r p n - s p a c e s a r e p r e s e n t e d a n d p ro v e d . u t i l i z i n g t h e s e t h e o r e m s , s o m e f ix e d p o i n t t h e o r e m s a r e o b t a i n e d . 玩c h a p t e r t h r e e , t h e co n c e p t s o f com p a t i b l e m a p p i n g s a n d w e a k l y c o m p a t i b l e m a p p in g s 恤m u l ti - v a l u e d c a s e i n m e n g e r p m- s p a c e s a r e i n t r o d u c e d . b a s e d o n t h i s , s o m e fi x e d p o i n t t h e o r e m s a n d coi n c i d e n ce p o i n t t h e o r e m s u n d e r h y b r i d con t r a ct i o n s 如m e n g e r p m - s p a c e s a r e e s ta b l is h e d . a l s o , a com m o n f i x e d p o i n t t h e o r e m f o r w e a k l y c o m p a ti b l e m a p p i n g s i n s i n g l e - v a l u e d c a s e i s p ro v e d . f i n a ll y , s o m e a p p l i c a ti o n s i n o r d i n a ry m e t r i c s p a ces o r f u z z y m e t r i c s p a c e s a r e g i v e n . i n c h a p t e r f o u r , t h e t o p o l o g i c a l d e g r e e o f i - s e t - c o n t r a c t i v e o p e r a t o r s i n p n - s p a ce s a r e n e w l y d e f i n e d , a n d s o m e fi x e d p o i n t t h e o r e m s a r e o b t a i n e d . m e a n w h i l e , u s i n g t h e con ce p t a n d p r o p e rt i e s o f a c c r e t i v e o p e r a t o r s 加p n - s p a c e s , t h e e x i s t e n ce o f t h e s o l u ti o n o f i - s e t - c o n t r a c t i v e p e r t u r b a ti o n e q u a t i o n s w i t h a c c r e t i v e o p e r a t o r s a r e d i s c u s s e d . key. 。 川. 二 p ro b a b i l i s t i c con t r a c t o r ; h y b r i d con t r a c t i o n ; co m p a t i b l e m a p p i n g ; w e a k l y co m p a ti b l e m a p p i n g ; s e m i - c l o s e d i - s e t - c o n t r a ct i v e o p e r a t o r , t o p o l o g i c a l 山g r e e 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了 文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他 人已 经 发 表 或 撰写 过 的 研 究 成果 ， 也 不 包含 为 获 得 南昌大李 或 其 他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的 任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 手 写 )误 照 考 签 字 日 期 : 7- 007年 6 月 对日 学位论文版权使用授权书 本学 位论 文 作 者 完 全了 解南昌大李 有关 保留 、 使用 学 位 论 文的 规 定， 有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和 借 阅。 本 人 授 权南昌大李 可以 将学 位 论 文的 全部 或 部 分内 容编 入 有 关 数 据 库 进行检索，可以 采用影印、 缩印或扫描等复 制手段保存、 汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书 ) 学 位 论 文 作 者 签 名 手 乳吴 豺 导师签名 ( 手写卿详 签 字 日 期 :问 年 6 月 畜日 签字日期: 妙 年 了月 可日 学 位 论 文 储毕 业 后 去 向 : 该 博 工 作 单 位 : 洲 沁 大 车电 话 : 通 讯 地 址 :浙 崎洲斗 洲 沐 路 码环a ( p m - 3 ) 凡 .) 凡 ， ， 第 i 章 引论 ( p m -4 ) 对 任 意的 x ,y , z e x， t , ,t 2 e r ， 若f , (t , ) - 1 , 凡 1 0 2 ) - 1 ， 则 有 : 凡 i (t , + t 2 ) - 1 ， 定 义1 .2 .3 1 91 设是 (mq) 的 非空 子 集 ， 则 d , ( t) s u p in f f . - y ( s ) ,t e r.a y e w 称为a的概率直径. 仍当s u p d , , ( t ) - 1 时， 称a为概率有界集: ( 11)当 0 0 ) , ( 1 . 2 . 1 ) 所 导出 的 拓 扑t 的h a u s d o rff 空 间 ， 其 中u , ( e ,.l ) - x e e : f , ( e ) 1 - .1 . 按 照 这 一 拓 扑 可以 在 ( x , if ; e ) 中 引 入 以 下 概 念: 定 义1 .2 .6 1q 设 以t , a ) 是 具 有 连 续t - 范 数 的m e n g e r p m空间 ， 认 是 x中的任意一点 列. 第1 章 引论 ( 1 ) 称( x ? - 收 敛 于x , e x， 如 果 对v e 0 , a 0 存 在 正 整 数n - n ( e , a ) , 当 。 a n 时 ， 都 有f . 二 ( e ) 1 一 a . ( i i )称x . 为 x 中的 c a u c h y列， 如果对v e o , a 0 存在正整数 n 一 n ( e , a ) ， 当 。 ， n 二 n 时 ， 都 有 凡 + ( e ) 1 一 a . ( i i i ) m e n g e r p m空 间 (x ,t , a 琳为 是 完 备 的， 如 果 对x 中 的 每 一c a u c h y 列 都收 敛于x中 的某一点. 定 义1 .2 .7 1 1 m e n g e r 概 率 线 性 赋 范 空间 ( 简 称为m -p n空 间 ) 是 一 三 元 组 mt , a ) ， 其中x是 一 实 线 性 空间 ， f 是x 到。的映 象( 记 分 布 函 数f (x ) 为f , , 又f (t ) 表 示凡 在t e r 的 值 ) ， 并 且 假定凡 ，z e x 满 足 下 面 的 条 件 : ( p n - 1 ) f ( 0 ) 一 0 . ( p n - 2 ) f (t ) - h ( t) , v i e r ， 当 且 仅当 x 0 : ( p n - 3 ) 对 任 一实 数。 0 , f _ (t ) - f ( tn a l) o ( p n 4 ) 对 任 意 的x , y e x， t t a e r ， 若f , ( tj - 1 , f , (t2 ) - 1 , 则 有 : f, ( t, + t 2 ) 一 1 ; ( p n -5 ) 对任 意的x , y e x ， 及一切的t l , t 2 e r ， 有下式 成立: f ., ( 1 + 1 2 ) - a ( f . (1 ,) , f , 0 2 ) ) 定 义1 .2 矛 19 以if ; e ) 称 为 是 一 个n .a . m e a g e r p n 一 空间 ， 如 果 久t , e ) 是 一 个 m e n g e r p n 一 空间， 且满足下面的条 件: f . y (m ax tn t 2 ) ) = d ( f ( t1 ) ,f ( t2 ) , v x . y e x , v tt : 二 0 . 定 义 1 .2 .9 ( i ) (3 1 1 称函 数o : r - + r 满 足条 件( 4p ) , 如 果0 (t ) 是严 格 增的 ， 且 v t 0 , 多 “ ， ， 其 中 “ ， 表 示 (t) 的 ” 次 迭 代 易 见 若 函 数 满 足 条 件 (,p ) ， 则 v t ， 0 , 浊o (t ) - 0 , 0 (0 ) - 0 , 且 td ( t ) # - ( t ) 0 , g p (r ) v -1( t ) 一 ” q (t ) t, n e z . 定 义1 . 2 . 1 01 3 1 1 t 一 范 数 称 为 是h -型的 ， 如 果函 数 族 e (t ) ) :在t= 1 处 等 度 连续 ， 其 中y (t ) s (t ,t ) , s ( t ) a (t , n - ( t ) ) ,t c- 0 ,1 ,m- 3 ,a ， 一 第2 章 p n . 空间 中的概率收收 缩问 题 第2 章 p n - 空间中的概率收缩问题 方 锦暄 在【3 1 中 引 进了 (0 , 刃一 型 概率 收 缩的 概 念， 并 在 较一 般的m o n g e r p n 空 间 中 讨 论 了 具 有 此 类收 缩的 非 线 性 ( 单 值 ) 算 子 方 程 解 的 存 在 性 与 唯 一 性问 题， 3 2 】 和 3 3 】 中 在 不 同 条 件 下 将3 1 中 结果 推广 到 集 值 算 子 方 程的 情 形， 张 石生 在 3 4 中 又 引 入了 概 率 收 缩 序 列 的 概 念 .2 .1 节 通 过 定 义沙， 刃一型 概 率 收 缩序 列的 概 念，来建立具此类收 缩序列的非线性集 值及单值算子方程序列解的存在性与唯 一性定 理，并 在此基础上得到几个不动点定理. 1 9 9 1 年 ， 文 献 【3 6 1 1进了 概 率 收 缩 偶的 概念 ， 并 研 究了m o n g e r p n . 空 间 中 具 概率 收 缩的 非 线 性 算 子 方 程 解的 存 在性 与 唯 一 性 问 题. 此 后 ， 文 献 3 n 引 进了 ( .v i a ) 一 型 概 率 收 缩 偶 的 概 念. 最 近 ， 文 献 【3 8 和文 献 【 3 9 分 别 定 义了 概率 。 一收 缩偶及概率t一 收缩偶， 并建立了m o n g e r p n . 空间中f u zz y 映象的 非线性方程解 的 存 在 性 及 其 迭 代收 敛. 2 .2 节 通 过 定 义 集 值 情 形 下的 伸 ，匀一 型 概 率 收 缩 偶 序 列， 建立了 具此类收缩的 算子方程解的 存在性 及迭代收 敛定 理. 应用此定理， 得到了 映象对序列的 不动点 定理， 并研究了f u zz y 映象的非线性方程序列的解. 2 . 1 p n - 空间中一类算子方程序列的解及其应用问题 以 下 记 r . ( 一， + 0 0 ) , r - 0 , + - ) . z 表 示正 整 数 集 ， l ( y , 刀 表 示 从y 到x 的 所有线性算子全体. 本章总假定 是连续卜 范数. 设 mt , a ) 是 一 个m o n g e r p n 一 空间 ， 满足 条 件s u p a (t , t) - 1 . 0 二 是x 的 非空 口 司 刁 t - 闭 概率有界子集族， 对任意给定的a , b e 0 x ， 定义分 布函 数如下: f a .s (t ) . 瞥 ( 瞥 瞥f , -, ( s ) , 瞥 瞥f -b (s ) ) , 凡(t ) 一 s u p s u p 凡 ( s ), s , t c- r . ， 心川 已 弓 引 理2 .1 .1设 ( y , t , a ) 是一 个m o n g e r p n - 空 间 ， 满 足 条 件s u p a (t , t) - 1 , 0 司心 则对任意a , b e s e 有 ( i ) 凡( 0 ) 0 ; ( i i ) f a ( t ) = t v t 0 当且仅当b e a; f , (t， 一 凡 (fat-l v a e r ; ( iv ) 若 b e b ， 则 f , ( t ) 二 f .,. (t ) v t e r ; ( v ) f a - ( t, + t z ) = d ( f(t , 1 f a ( t z ) ). we x , h t t z 二 0 ( * 别 地 ， 若x是n .a . 第2 章 p n 一 空间中的概率收收 缩问 题 m e n g e r p n - 空 间 ， 有f e ，二 (-f tn t 2 ) ) 二 a ( f . (t , i f a ( t 2 ) , v - e x , v t t 2 a 0 ) (v i) f a ( t, + t 2 ) 二 a ( f . (t . i f a a ( t 2 ) ), d t i, t 2 二 0 ; (v ii) f .i, . e (t ) - f a a (t ) , v x e x. 定 义2 .1 .1设 ( ? c , 砚 ) 与( 1 ; i ; a ) 为 两 个m e n g e r p n - 空 间 ， 满 足 条 件 su p a ( t, t ) - 1 , ,r ,和 二 2 分 别为 m砚 ) 与 ( y , 4 ; a ) 的 ( e , ) ) - 邻 域 系 导出 的 拓扑 ， 集 值 算 子 p : d (p ) c x q y 漪 别 地 ， 单 值 算 子p : d (p ) c x -y 琳为 是s - 连 续的 ， 如 果 v x c d (p ), x . 二 x o e d (p ), 有 浊 f r(=.).pc, )(t) 一 ; v t o . 特 别 地 ， 勺 p ( x . ) p ( x o ) ) . 注2 . 1 . 1 由 引 理2 .1 .1 (v ix 单 值算 子 时 ， 由 m e n g e r 三 角 不 等 式 ) 知 ， 若p 是 s - 连 续 的 . 则 v (x . ) c d ( p ) , 二 x o e d (p ) ， 有 ( t) jj m f r (, ) (t ) a f 2( , )( t ) ,v t o ; ( ii) f n , ,) ( t + o ) x 悠f r (=. )( t ) , v t 0 . 且 当 ， 是 f p( , ) (t ) 的 连 续 点 时 ， 有 浊f , (, ) (t ) 一 f , , ) (t ) . 事 实 上 ， 对 于 集 值 算 子p ， 由 引 理2 .1 .1 ( v i)可 知v t o , e e ( 0 , t) ， 有 凡0 (t ) “ a ( f p (,.) ( t 一 ), f p (, )r c, ) ( f ) 由 x . 二 x o , p 是 二 涟 续 的 ， 据 定 义 知 浊 f pt=.).c )( ) 一 ; 则 由 的 连 续 性 知 l im f , t, . )( t ) “ f , (, ) ( t 一 ，) 令: ，。 ， 由 分 布函 数 的 左 连 续 性知6 m 瓜, )( t) = f , t, ,) (t ) . 另 一 方 面 ， 不 妨 设 五f , (, . ) (t ) 一 “ 0 , 则 存 在 子 列 . , 卜 使 得 浊f , (, , ) ( t ) 一 “ 于 是 ， v e e ( o , a ) ， 存 在 自 然 数 k , ， 使 得 当 k z k 。 时 ， f , (, ,. ) (t ) “ 一 从 而 f , (,. )( t + ) s ( f , (=. , )( t ) .f , (, , n . ) ( c ) : a ( a 一 f r ( , x r c , 动 令 k ”00 ， 得 :f , ( ) ( t + e ) x a 一 。 再 由 : 的 任 意 性 可 知f , (, ,) ( t + o ) a l 兜 f , (, ,) ( t) . 对于单值算子， 类似可证结论成立. 定 义2 .1 .2设 江 ， 砚 ) 与 ( y ; f ; a ) 为 两 个m e n g e r p n 空 间 ， 其 中e 是h 一 型t - 范 数 ， 0 、 是y 的 非 空 s z 闭 概 率 有 界 子 集 族， 君 : d c x，q ,. ,i e z 是 集 值 算 子 漪别 地， 只: d c x -y , i e z 是 单 值算 子 ) ，r ; : x ，以 y , x ), i c- z - ， u e y 是 一 给 定 点 称 r , ,z 。 为 p , ,f e . 关于。 的(0 1 刃一 型 概 率收 缩 序列 ， 如 果 存 在 满 第z 章 p n - 空间中的概率收收缩问 题 足条 件仲) 的函 数0 : r - + r + , 使 得对任意x e d , y e 妙( =- y : x + 几 ( 习 y c- d ) , i , j e z + 及t a 0 有 f p (= + r,(= )r).r,(= )+ r (4 (t ) ) a 帆(t)， 叽(x 、 (t)，凡c= h r -. (t ) ) (2 .1 .1 ) 漪别 地 ， f p, (=+ r , (+ )r )- p, (= )-r ( o (t ) “ a ( f , ( t ) a (f p, (. (t ) ,凡。 卜 ， ， ( t ) ) ( 2 .1 .2 ) ) 注2 .1 .2 若y是n a m e n g e r p n . 空间 ， 且 (t , t ) 二 ， ， v t e 0 ,1 ， 则 (2 . 1 . 1 ) , ( 2 . 1 . 2 ) 分 别等价于: f r,(= + r,(= )y a ,(= )+ r (o ( t ) 帆(t ) , 凡(_ )-. ( t ) ( 2 .1 .1 ) , 漪别 地 ， 凡 (=+ r,(= )r n p, (=) -r ( o (t ) ) “ a (f , ( t) , 凡(= ) , (t ) ) ( 2 . 1 .2 ) 定 理2 .1 .1 设 休t , ) 是 一、 一 完 备 的m e n g e r p n . 空 间 ， 仪t , a )是一m e n g e r p一空间 ， 其中 是h - 型t一 范 数 . 又 设 君: dc x，o y ,i e z + 是s - 连 续 的 集 值 算 子 ， d 为t , 一 闭 集 ， r , : x -l (y ,x ) ,i e z + 满 足 下 列 条 件: ( i) x + r , ( x ) y e d , 对 任 意x e d ,y e y , i e z ; ( u ) r , ) 。为 p , 二关 于。 的 ( ip , 4 ) 一 型 概 率收 缩 序 列 ， 即 r i ) 。满足 ( 2 . 1 . 1 ) 式; 闷 3 m ， 0 , 使 得 对 任 意 : e d , y e y , 有 f r ,(= ), ( t ) 二 f , 妥 ， ， z 0 ; 一 对 1 ( iv ) 对 任 意a , b e s 2 、 及a e a , 3 b e b , 使得f , 一 (t ) 二 f a x (t ) , v t 二 0 . 则非线性集值算子方程序列 u e p , ( x ) ( 2 . 1 .3 ) 在d中有解. 证 明 仍u 二0 的 情 形 . 这 时 ， (2 .1 .1 ) 式可 写 为 如 下 形 式 : 凡(,. f,(s b , (+h 7 ( f ( ! ) 帆(t ), a (f p, (. ) ( t ), 凡(_ ).i ( t ) ) ( 2 .1 .4 ) 对任意x , e d ， 取y , e p , (x , ) ， 且令x 2 - x i + r 2 (x 1 x - y ) ) 由 (t ) 知x 2 e d . 在 (2 . 1 .4 ) 中 取i= 2 , j = 1 ， 并 用x ， 和 (- y ) 分 别 取 代x 和y由0 e p ,( x , ) - y , ， 有 凡c a r ,( r ( (t 一 f p, c r, ( ,x - 1j (+r , ( 4 ( t ) ) 氏( 1 ) , a (f , (, )( t ) ,f r (, r , ( t) ) ) . a 2 讯w ) 又 因 为 0 e p , (x i) 一 y i ， 由 条 件 (iv) ， 勿 z - p( v ) l 3 y 2 2 ( x 2 ) ， 使 得凡 wt ” 二 f p2(x2 v i(xj)-7 1 (0) ) 所 以f , (# ( t) ) 二 a (f , (t ) ) - 再 令 x 3 - x 2 + r l (x 2 x - y 2 ) ， 同 理 a 3 - py 3 e 3 (x 3 使 得 凡伊(t ) z , ( 4 (t ) ) . ， - 1 ,2 , 的 公 共连 续点 时 )，因 为凡 是z - 连 续的 ， 由 注2 . 1 . 1 有 浊f n (=. ,( t ) 一 瓜 . (r ) ,v t 。( 2 .1 .9 ) 由 引 理2 . 1 . 1 ( v ) 及 ( 2 .1 .9 ) 式 易 知 f , (, .)( t ) 一 li m f n (=. r r . (t ) - li m f p c r r. 一 、 ( t ) ( 2 .1 .1 0 ) 事 实 上 ， 一 方 面 ， 由 引 理2 .1 . 1 ( v ) , v t o , e e ( o ,t ) , 有 凡(x. ，一 、 (t ) “ a ( f , ,(= .) (t 一 ). f , , ( e ) ) . 由 y . 二 。 ， ( 2 . 1 .9 ) 式 及 的 连 续 性 ， 据 注 2 .1 .1 有 第2章 p n - 空间中的概率收收缩问题 li m f n c r 7 , ( t ) 2 l im f , ( ) (t 一 ) 2 lim f p. (; )( t 一 ) f r (= )( t 一 ). 令e 一0 ， 由 分布函 数的 左连续 性知: 粤f n c=. r , (t ) a f n (, ) (t ) . 又 因 为f 4 (,.) (t + e ) 二 ( f 4 (, )- , (t ) , f , . ( e ) ) ， 所 以f n w )(t + o ) - l im f n c+, r 7. ( t ) - 由 的 任 意 性 及 f 4 (; )( ) 在 处 连 续 ， 有 f h (. )( t ) 一 h(= ) (t + o ) 2 黑f . (, )- , (t ) . 于 是 气 (i )( t ) - 想f n r. , r 7 . ( t ) 同 理 可 证 瓜 ( _ )( t ) 一 短f ,. (, )-, 一 、 ( t) . 因 为 y . . e p . ( x . * ) 即b e p ., ( . . d - y . . (， 由 引 理2 . 1 . 1 ( ii) , ( v i) 及 (v i i) 可 得 : f n (x. )- 7. 一、( t t e ) 2 d ( f p.x ls.,r 7. . ( e ) f n f+. l -7 .- 7 p .,h . .ir f. ( t 一 ” - d ( 儿 凡(; )- y .: .p . )( t ) ) - 凡、 、二+w )( t 人 由 。 的 任 意 性 ， 得 : f 4 (- . )-y . 一、( t + o ) 2 f1(; ., xn (; r 7. ( t ) ( 2 .1 .1 1 ) 在(2 . 1 .4 ) 中 取i= n + 2 , j = k , 并 用x 。 和 ( -y . ) 取 代x 和y f . f、 a n f r 7. ( 4 ( t ) 2 4 ( f 7 . ( t d ( f n f )( t f n ( r . ( t ) ) ( 2 .1 .1 2 ) 在 ( 2 .1 .2 2 ) 两 端 令 。 ， 二 ， 由 ( 2 .1 .9 ) 式 、 ( 2 .1 .1 0 ) 及 y . 二 8 ， 并 由 注 2 .1 .1 ( ii 声 f r fi )( o ( t ) + 3 e ) x lim f g (.,. )( o ( t ) + 2 s ) 一 e x l im f n r ; ) ( q ( t ) + 2 e ) 一 e 2 ! i t f , (, 、 一 、 ( o ( t ) + e ) 一 2 lint f 4 (s. ) -7. -7 .a ( 0 0 ) + e ) 一 x tfttt f , r、 二 ; r y . ( 0 ( t ) ) 一 “ 粤气。 、 脚 、 卜 、 ( 六 ) 一 二 2 ( f r rs , ( t ) ) 一 注 意 0 ( t ) 是 f r w ) o 的 连 续 点 ， 由 的 任 意 性 知 瓜 0 4 0 ( 0 ) 一 凡 (= )( o ( t ) + 0 ) 2 d 2 ( 瓜 ， ，( ) 归 纳 可 得 :气 ， ，( 尹 ( ) “ 矛 ( 气 二 )w- 2( t ) ) z . . 2 a r 瓜 (. , )( t ) ), m e z . 因 为 a 是 h - 型 的 ，所 以 v a q 3 6 e ( q 1 人使 得 当 s 6 时 ， 有 a k ( s ) 1 一 入 v k e z . 而 瞥f p (= ( t ) 一 所 以 3 t, 0 , 使 得 气 ; ,( to ) 6 . 由 分 布 函 数 的 左 连 续 性 ， 3 0 6 . 从 而 t ( f e c= ,( t2 ) ) 1 一 a , v k e z 于 是 气 (- ) ( 0 (t 2 ) 1 一 a . 令 m ， ， ， 得 气 (,.) ( 0 + 0 ) 2 !1 - a . 由 a. 的 任 意 性 可 知 凡 (_ ) ( 0 + 0 ) - 1 . 所 以瓜 (, ) (t ) - 1, v t 0 . 由 引理2 . 1 . 1 ( i i ) 知 v k e z , 0 e p , ( x ) . 第2章 p n 一 空间中的概率收收缩问压 ( ii ) u pt 9 . 这时 令q ( x ) - p ,( x ) - u ,x e d , i e z ， 则d ( q , ) - d ,i c- z ， 且p , i e z 满 足 条 件 ( 2 .1 .1 ) 等 价于qi e z 满 足 条 件 (2 . 1 .4 ) , 则由 ( n 所证 可 知 非 线 性 算子 方 程 序 列b e q ,( x ), i e z 在d 中 有 解 . 对于单 值算子方程序列 a - p , ( x ) , i e z ( 2 . 1 . 1 3 ) 有如下结果: 定 理2 .1 .2 设 伏 t , ) 是 一、 一 完 备 的m e a g e r p n 一 空 间 ， 仪t , e ) 是 一m e a g e r p n - 空 间 ， 其中 是h - 型 t- 范 数 ， 又 设君 : d ( p ) c x -y , i e z 是s -连 续的 单 值 算 子 ， d 为t i - 闭 集 ， 几: x - l ( y , x ) ,i e z 满 足 下 列 条 件 : ( i) x + r ,( x ) y e d , 对 任惫 x e d , y e y ,i e z ; ( u ) r , 。为 p , 二关 于“ 的(41 , d ) 一 型 概 率收 缩 序列 ， 即 r , 二满足 ( 2 .1 .2 ) 式; 间 * q 使 得 对 任 意 二 。 d , y 以有 礼. ( t ) 二 习引, d t 二 。 ， 从 1 则 方 程 序 列 ( 2 .1 .1 3 疮 d 中 有 解x ; 且y x , e d , 下 列 迭 代 序列 x . , - x . + r , ( x) ( - ( p( x , ) - u ) ) ( 2 . 1 . 1 4 ) s , -收 敛 于a . 特 别 地 ， 若 3 n . e z ， 使 得 几(x ) 为 从y到x的 满 射 ， 则x 是 ( 2 .1 .1 3 ) 在d中 的 唯 一 解. 证明由 定理2 . 1 . 1 的 证明， 不失一般性， 可设u=0 . 这时 ( 2 . 1 . 2 ) 写为如下 形式: f p 二 。 !+ )r )- p,l s r r ( p ( t ) ) x d ( f , ( t 1 , d ( f p, , )( t ), f p,二 ， ， ( )( 2 .1 .1 5 ) 由 条件( i ) ) k ( 2 . 1 . 1 4 ) 式知x , e d , n - 1 , 2 - 由 ( 2 . 1 . 1 4 ) 式有: f , . (j. )( o ( t ) ) - f p l; . . . l; ， 一。 “ ， ， 。 、 一 。 ,) ( 0 ( t ) ) 二 e ( 乓 , , , ( t l d ( 凡 (., )( t ), 凡 、 卜 ， 、 ，( t )“ d ， ( 凡(, ,( i ) 由 归 纳 法 有 ，f , 、 ，( 扩 ( t ) at d =( 乓 “ ，( ， 一，( t ) 二 二 二 d r ( f ,s(i r( t ) ). ( 2 .1 . 1 6 ) 仿照定 理2 .1 .1 (1 ) 后半段 证明 ， 易 得气 (. .) ( t) - 1 , v t 0 .从 而有 v k e z , 0 . 凡( x ) . 设 、 o e z ， 使 得t , . ( x ) 为 从y 到x 的 满 射 . 现 证x .的 唯 一 性 假 若z . 也 是 ( 2 .1 .1 2 ) ie d 中 的 解 ， 由 i , . ( x ) 的 满 射 性 ， 3 y e y ， 使得 x - x - 几( x )y . v j e z ， 在 ( 2 .1 .1 5 ) 中 取 i n o ， 由 气 ( x ) - p ( x ) - 0 有 : f , ( o ( t ) ) - 气(- ) -p ,(, )-r ( o ( t ) ) . 气。 二(f+ )r r p,l : r r ( 0 t ) x d ( f , ( t 人 a( f p != )( t ) ,f p , , r ( t ) ) ) 一 2 ( f , ( , ) 第 2 章 p n- 空间中的概率收收缩问题 归 纳 可 得 :f , w( t ) ) 二 a 2 r f , ( # , - 1( t ) z 二 d r ( f ,( t ) ) . 仿 定 理2 .1 .1 ( 1) 中 的 证 明 可 知 凡 ( t ) - 1, v t a 所 以y - 0 , 即x - x i. 注2 .1 3 口 叼 中 的 定 理 要 求n .a .m e n g e r p n . 空 间 的 条 件， 定 理2 .1 .1 适 用 范 围 更 广 ， 此 外 ， 定 理2 . 1 .1 的 收 缩 条 件也 有 所不 同 ， 故 也 可 视 为 3 2 1 , 3 3 1 的 改 进 和 推 广 . 相 应 地 ， 对 于 单 值 算 子 方 程的 解 ， 定 理 2 .1 .2 可 视 为 【 3 1 1 . 3 4 】 中 相 应定 理的推广. 作为定理2 . 1 . 1 和定理2 . 1 .2 的应用， 我们来证明 几个算子序列的不动点 定理. 定 理2 . 1 . 3 设伏 t , a ) 是一二 一 完备的m e n g e r p n . 空间 ， 其中 是h 一 型t 一 范数. 若 算子 序列t , : x一q a ,i e z s - 连 续 且 满 足下 列 条 件: 对 任 意x , y e x , i, j e z , 及t x 0 有 凡.r ), ( 0 t r ) 2 可气( t ) . d ( f r - tj, r t ) , f _t , ( t ) ) ( 2 . 1 . 1 7 ) 其中.0 : r -r 满足条件仲) ， 并且对任意a , b e 乌 及a e a3 6 e b , 使得 f , ( t ) a f , .e ( t ) , v t 二 0 则 集 值 算 子 序 列 ( t i) r=, 在x 中 有 公 共 不 动 点 ， 即 3 x * e x ， 使 得 x * e t ,( x * i i e z * 证明令p ,( x ) m x - t ,x ,x c- x , ! (=- z * ， 且r i( x ) m l x ,x e x ,i e =- z * . 这里i : 表 示x 上的 恒 等算 子 . 由 ( 2 .1 .1 乃 式 及 引 理2 .1 .1 帅疮 f e (= . , ),p,r = ; s ( f ( t ) f =. ， 一 ; 二 + r x =. ,- r,r = ,( r t ) ) - f t r= . , a r r= ,( ( t ) ) a a ( f , ( t ) , d ( f - r, r= ( t ), f = . , - r,r = ( t ) ) ) a ( f , ( t j a ( 凡( ( 0 ,凡w + ( 0) 所以 p ,枯。 满 足 ( 2 .1 .4 ) 式 由 定 理2 .1 .1 知 3 x e x ， 使 得b e p , ( x ) , i e z ， 即 x e t , ( x ) , i e z . 定 理2 .1 .4 设 以t , a ) 是 一 s - 完 备 的m e n g e r p n 一 空 间