第二宇宙速度的3种推导方法.pdf

第 1 8卷 第 2朔 2 0 0 0年 5 月 贵州 师范大学学报( 自然科学 版) J o u r n a l o f G u i z h o u N o z ma l Un i v e r sA t y( N a t u r a l S c i e n c e ) Vo 【1 8 N o 2 M a y， 299 0 文章 编号 ： 1 O 0 4 5 5 7 O ( 2 o 0 0 ) O 2 一帅7 9 一O 3 7 1 一 f 第 二 宇 宙 速 度 的 3 种 推 导 方 法 周 瑞 雪 ( 贵州师 范大学 物理 与电子科学 系， 贵州 贵 阳 5 5 0 0 0 1 ) P P ； 摘要 ： 分别从牛顿第 二定律 、 机械能守恒定 律、 有心力作用下 的质点运 动规 律 出发 ， 论述 了第 二宇 宙速度 的基本 Thr e e de d u c t i v e wa y s of t he s e c o nd c o s mi c v e l o c i t y ZH0U Ru i - x u e 众所周知 ， 人造 地球卫星 ， 人造行星和恒星际 宇宙飞船是探索宇宙奥密的三个 阶梯。要登上这 些阶梯 ， 关健在 于获得对应的宇宙速度。在均匀重 力场中， 一般抛射体将沿抛物线 回到地面； 而当抛 射体的速度达到第一宇宙速度 时， 将成为一颗 人造地球卫星； 当抛射体速度继续增大至第二宇宙 速度 v2 时 ， 将会摆脱地球的引力而成为太 阳系内 的一颗人造行星； 当抛射速度增大到第三宇宙速度 ，物体就能摆脱太阳的引力 ， 到其它恒星世界去 旅行 。本文探讨第二宇宙速度的 3种推导方法。 1 用牛顿第二定律 F= a推导 设抛射体质量为 m 由地面沿竖直方向飞 出 某一时刻位于离地球中心 r处 ， 如图 1所示。 图 1 抛 射体 离地心 r时 的直线坐标 图示 1 1 明确研究对象将抛射体看作质点 ， 它和地 球组成一个 质点 系。抛 射体的质量为 m， 地球质 收稿 日期 ： 2 0 0 0 一O 1 一o 4 量 为 M ， 地 球 半径 为 R。 1 2 选定坐标将地球作 为我们 的惯性参照 系， 竖直向上为坐标正方向如图 1 。 1 3 分析质点受力情况此时抛射体只受地球引力 F = G 孥 r 。 1 4由牛顿第二定律 出发 F = Fr ： 一 G M m 加速度 ： d v ( V的方 向向上) 综上两式 d v=一G ( 1 ) 由于 F是随 r的变化而变 ， 将上式 变换一下 ， 利 用 ： d v = 磬 = 磬 改 写 式 得 挚： 一 G M 口 d ： 一 G M d r ( 2 ) n r r r 现设抛射体在地面 附近发射时 的速度 为 v o ， 此 时 r =R。 到达 r处的速度为 ， 将式两 边线积分 C = 一 a r 一2 v 一 1 5 = 一 G M ( 击 一 ) 1 5 求第二 字宙速度根据 第二 宇 宙速 度的定 义 维普资讯 贵州师范 大学学 报( 自然科学版 ) 第 l 8卷 当质点 m 刚好能脱离地球引力的作用时， 此时质点 的动能必须至少够消耗， 即寺m io r R， 意味 着质点 m 发射过程的末位置处 r可视为无限远 所 以将 r c c =0代人上式有 = 1 1 2 (k m s ) 2 用机械能守恒定律推导 机械能守恒是指质点 系的动能与势能的总和 不变 。 2 1 建立引力势能撬念设 m 距 M 为无穷远处 时为引力势能零点 ， 当 距 M 为 r时质点的引力 势 能为 EP ， EP =一G Mm r 。 2 2 确定参I f i l 系和研究对象选择原点在地心 ， 坐 标轴指向恒星的惯性系为参照系 ， 将质量为 m 可进 出地球引力范围的质点和地球视作质点系( 图 2 ) 。 国 2 抛射体 离地 心 r时的直线坐标 圈 2 3 机械能守恒的条件 当 m 离开地球直到脱离地球引力的过程 中， 不考虑其它星球的影响也不考虑空气阻力 ， 这时只 有质点与地球之间的引力 ， 属保守 内力 ， 而无外力 和内非保守力做功。符合机械能守恒条件。 2 4 质点系始末状态的机械能当 m 以 0 速度 抛出时， 其动能为E k = 音m 5 引力势能为 一 G ：一G ( ： Mm为地球质量， 质点远离地球克服引力做功 ， 动能逐渐减少而 势能逐渐 增加， 摆脱地球 引力时达到无穷远 r c c ， 此时引力势能从负值增加到最大值 ， 印 E ；0 ， 而动能则需大于或至少等于零 ， O ， 即 E ：O 。 2 5 求 第二 宇 宙速 度 列方程 E k 地+E +EM =E 地+E +E 却 + m 一 G = + 0 + 0解 出： 。 一_ 2f 2f 2f 2f 2f 2f 2f 2f 2f R , = =1 1 2 ( k m ) 3 用 有心 力 作用 下 的质 点运 动 规律 出发推导 3 1 选定坐标质点从地球上发射 出去的过程 中 只受到地球引力 的作用 ， 即受 到的是 有心力 ， 而有 心力 F的方 向与，共线 ， 如图 3 ， 因此我们可采用 平面极坐标系来研究它。 圈 3 抛 射体离地心 r时平 面撮 坐标 图示 3 2考察质点在有心力作用下的运动规律 取力心为极坐标的极点 质点在 P点的速度为： = = 枷 质点的运动微分方程为 ： m( 一 ) =F r =F( r ) ( 1 ) m( +2 神) =F o =0 ( 2 ) ( 其 中 r - ) = n 而 = 警 + 2 = 即 d 却 方 程 (2 ) 可 改 写 成 m 岳 盟 = o( 质 量 m 是常数 ) 对上式积分得 r 自 =h( h为常数) ( 3 ) 在有心力作用下 ， 质点运动 的基本方程为 ： m( 一 ) =F( r ) ( 4 ) r 0=h ( 5 ) 上两式中 用 r的倒数 “来替 r ， 两式变为 m( 一 ) =F( r ) ( 6 ) 自=h u ( 7 ) 其 中 = d r = 鬈 = 韭 = 一 = d “ 丽 五d r ( 一d d u ，3 d d ( 、 一h韭 d 8h h) 自 = 五 d ， d 、 一一 ) 将 及自代人( 6 ) 式( 7 ) 式 中 得到 ( 一 ( 8 ) ( “=1 r， 若为引力时 F为负 ； 斥 力时， F为 维普资讯 第 2期 周瑚雪 ： 第 二字宙速度 的 3种推 导方法 正 ) 此 即所求 的质点在有心力作用下运动的轨道 微分方程 。但仅 由质点的轨道微分方程 ， 我们还不 能看出其轨道形状是什么? 3 3 考察行星在地球 引力作用下运行的轨道形状 设行星质量为 m， 地球质量为 M 则行星和地 球之间的作用力为 F：一 ：一 ：一 ( - K2 ： 广 ( 8 ) 式可写为 h “ ( 十“ ) =K “ ( 9 ) 解此方程得 r= = h 2 k 2 将此解 与在极坐标系 中的标 准圆锥 曲线方程 r = _ j比较 ， 知轨道是原点在焦点上的圆锥 曲线 力 心位 于焦点上 ， 且 0 k =P， A h。 k 。= A P= ， 是偏心率 ， P是正焦弦长的一半 ， 而行 星在地球引力作用下运行 的轨道形状是一椭圆 如 图 4 ， C B=n为半长轴， C F=c为焦距。 y 一 B F c F 、 P 图 4 行 星在 地球引力作用 下运 行的轨道形状 3 4 考察行 星的总 能量 E 与轨道半长轴 n的关 系 行星的总能量 E 等于它 的动能 与势能之 和 ， 动能为： = m ( z 十 r z 自 z ) = m ( 十 ； ) 势能为 ： E ： 一_GM m = 一_ K 2 _ m( K =G M) 将 r 自 = 代 入 B得 ： E k = 1 m ( + g ) 总能量 E： ( ； 十 h 2 ) 一K2 m ， 如图 4 在 B 点 口 =0 r =口 一c =口一a e =口 ( 1 一口 ) 0 詈 为 偏 心 率 由曲线方程标准式 r _ _ 得 n( 1一 ) 面P 口 ( 卜 ) 将 、 r 、 P=h K P=n( 1 一e ) 代入 E 中 得 ： 一 K m mK 口 ( 1 一 ) K m 一 _ i 二 一 ： 巫 鲁 ： 一 K 2 m ( K ： G M )1 2 口( 一g ) 2 n 此 即行星 的 总能量 。 3 5 应用机械能守恒定律 当质点从地球 上发射 时 ， 发射 时的动能 E = m 5 彻势能 E 一 丁G Mm一 一 E 与 E 之和应等于发射 星体 的总能量 E 即 E 日 p 一 一鲁 当达到第 二宇宙速 度 时， 发射 体脱 离地球 引 力 ， 这时 星体轨道半长轴可视为 n 一 ， 则有 ： 1 ，K m 6 一 刮 ： ： 1 1 2 ( k in s ) 。 综上所述 ， 方法一是当学生对引力势能概念还 未建立起来时 ， 应用大家很熟悉 的牛顿第二定律 通过一些数学变换求得； 第二种方法是在建立 了引 力势能概念后 ， 利用机械能守恒定律 ， 通过 找出开 始发射状态和末状态 的机械能而得 出结论 。第三 种方法采用极坐标 系来研究 了行星的