（概率论与数理统计专业论文）关于l（γ）族分布及纪录值的若干讨论.pdf

摘要 本论文主要由两部分构成第一部分从几个方面讨论了( 7 ) 族分布的性质，另一部 分则是对连续c ( ，y ) 族分布及一类特殊g u m b e l 分布的纪录值的极限性质作了较深入的研 究由于e ( - r 族分布和纪录值在保险领域都有着十分重要的作用，因而这两个课题的研 究不仅具有极限理论方面研究的价值，同时还具有很强的应用背景 本文第一章里我们主要讨论了c ( 7 ) 族分布与其平衡分布的关系我们引入了函数 ”= 露p ( “) 如及矿f ( 。) = 铲- f ( u ) d u ，利用它给出了7 0 时两者之间的等价条件，即 趾m ) 一觑器= ，y 错f e c ( 7 ) 同时还通过一个反例证明了在1 = 0 时这一结论未必成立 在本文的第二章，我们研究的是c ( ，y ) 族与m 族的关系本章主要从两个方面讨论 j 7 两青之间的联系，一是给出了一个利用c ( ，y ) 族中的分布构造m 族分布的途径，二是 懈虽r 以往文献中关于m 族的性质的部分结论，由此给出了， n 时f 族卷积封闭性中的作用 本文的第三章主要讨沦的是连续c ( 7 ) 族分布纪录值的议限性状设 x ，托。，n 1 ) 匈独立同分布的服从某连续分布f 的随机变量序列，x ( 1j = x hx ( 2 1 ，x 呲为其 纪录随序列令毋( “) = f 。( 1 一e - u ) ，其中f 一1 是f 的反函数我们证明了当7 0 时对 ，i c f 7 ) 有，x ( “】是依概率相对稳定且属于正态吸引场的，同时还证明了其部分和 ? ；= 肖( ) 望圣( & ) 也是僖亍二正态吸引场的结论 在论文的最后一章里，我们则重点研究了一类特殊g u m b e l 分布纪录值之部分和 的搬限性质这类特殊的分布中有， 皿( u ) = l o g p u ，我们在这一章里证明了当参数p 为任 意正整数时的中心极限定理 a bstr ac t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w ot o p i c s ，o n ei s s o m ed i s c u s s i o n so nc l a s sc ( 7 ) ，t h eo t h e ri s t h e l i m i tb e h a v i o r so fr e c o r dv a l u e so ft h ec o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o n si nc ( 7 ) a n d as p e c i a lk i n do f g u m b e ld i s t r i b u t i o n b o t hc l a s sc ( ，y ) a n dr e c o r d sa r ev e r yi m p o r t a n ti ni n s u r a n c e ，s o t h e r e s e a r c h e so nt h e ma r eg r e a t l yv a l u e a b l ei nb o t ht h e o r e t i c a la n da p p l i e d f i e l d s - i nc h a p t e r1 ，w ew i l ld i s c u s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ed i s t r i b u t i o n so fc l a s sc ( 7 ) a n d t h e i re a u i l i b r i u md i s t r i b u t i o n sw eg i v et h ee q u i v a l e n tp r o p o s i t i o nb e t w e e n t h e mb yi n t r o d u c i n g s o m ef u n c t i o n s ，跏= 詹f ( u ) d ua n d 矿尸( z ) ：j f ( u ) d u ，a s f ( ，y ) 营熙器= ，y 静f e c ( 7 ) ，7 。 w ea l s og i v eac o u n t e r e x a m p l et op r o v et h a tt h i sp r o p o s i t i o nn o ta l w a y sh o l d sf o r7 2 o i l l c h a p t e r2 ，w ew i l ld i s c u s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc l a s sc ( 7 ) a n d c l a s smf r o mt w o a s p e c t s a tf i r s t w eg i v eo n ew a yt oc r e a t et h ed i s t r i b u t i o n so fc l a s sm t h e n w es t r e n g t h e n s o m er e s u l t so nc l a s sc ( 7 ) ，h e n c ew ef i n dt h ei m p o r t a n c eo fc l a s sc ( ，y ) w i t h ，y 0f o r t h e c o s p l l e s so fc o n v o l u t i o n so ft h ec l a s sm i n ( , h a p i e r3 ，w ew i l ld i s c u s st h e l i m i tb e h a v i o r so ft h er e c o r d so fc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o n si n c l a s sc ( 1 ) l e tf x ，x n ，n 1 b eas e q u e n c e o f i i dr v sw i t hac o m m o nc o n t i n u o u sdff ，a n d x 【1 ) = x l ，x f 引，x ( 3 1 、b et h ec o r r e s p o n d i n g r e c o r d ss e q u e n c e l e t 皿( u ) = f 一1 ( 1 e - u ) ， 1 州e 一ii st h ei l l v e l s ef u n c t i o no ff w ep r o v et h a tw h e n ，y 0 ，i ff c ( 7 ) ，t h e nx ( “) a r e t e l a t i 、e l ys t a b l ei nt n o t i a b i l i t ya n db e l o n gt ot h ed o m a i n o fa t t r a c t i o no fan o r m a ld i s t r i b u t i o n a tc j l it s a , n l et i m e ，w ea l s 。p r 。v et h a t2 l = 墨x ( 知) 皇釜雪( 乳) b e l 。n gt ot h ed o m a i n 。f dr a ( 1na1ii b l l-tttioo fn o r u l ads t rt i o n t o o i nc h a p t e r4 ，w ew i l ld i s c u s st h el i m i tb e h a v i o r so fs u m so fr e c o r d so fas p e c i a lk i n do f g u m h e ld i s t r i b u t i o n s w eh a v e 皿( “) = l o g p “i nt h e s ed i s t r i b u t i o n s w es o l v et h ec e n t r a ll i m i t t h e o r yo f 矗w h e np a r a m e t e rpi ss o m ep o s i t i v ei n t e g e r i l 致谢 在这里我首先要感谢我的导师苏淳教授和苏老师的相识始于三年前，当时正是在 他严谨细致的指导下，我才得以顺利完成自己的本科毕业论文之后三年研究生阶段的 学习生活，我更有幸在苏老师的直接指导下进行从专业课程的学习，背景知识的补充， 论文的选题与撰写以至于文章的打印格式等，各个方面苏老师都给予了我耐心的教授与 讲解他严谨的治学态度，对学生的循循善诱以及对待每一项工作的细心认真，都使我 受益匪浅，也成为我今后工作学习中最好的榜样 其次，我要感谢赵林城教授，缪柏其教授，韦来生教授和孔繁超教授，他们为我们 讲授各门专业课程，从而带领我们进入了概率论与数理统计这一广阔领域，并帮助我们 掌握了许多进行科研工作的工具与方法此外，在我的研究生阶段，还得到了来自系里 许多老师，包括臧红老师和夏红卫老师的不少有益的帮助和建议，在此一并向他们表示 我最诚挚的谢意 同时，我还要向唐启鹤博士，江涛博士，程业斌博士，王定成博士，童铁军硕士以及 胡治水博士，陈昱博士，楼剑雄硕士表示衷心的感谢，他们不仅是我学习中的师兄与同 窗，更是我生活中的良师益友，曾多次无私的给予我及时的帮助 最后，我要感谢我的父母家人和我的先生蔡鹏，感谢他们多年来从未间断地给予我 鼓励和关怀，这些永远是我前进路上最大的动力 第一章c ( - y ) 族分布及箕平衡分布 ( 1 ) 族分布在保险业中有道要应用，虽然早在2 0 世纪8 0 年代即已时它有所讨论( 例 如，参闭f i j ，并虽奁惩续弼凌在( 例如，参阗阁) ，缆是农对它的径质酶认恹方辩仍有 不少未辩领域。本论文鲍篾三黧特从几个方嚣进一步讨论它鲍性艨 l 。1 基奉定义 将黎受穗橇交纛懿分毒称鸯菲受分泰谖x 为菲受疆橇变量，将其分毒鞠滗分毒分 别记为f ( z ) 一p ( x z ) 鞠f ( ) = 1 一f ( 嚣) = p ( x ) 定义1 1 1 ( 1 称非负分布f ( ) 属于c ( - y ) 竣，如果对1 0 和任何# 0 ，有 甄帮一 ( 1 ) 并将分布族c f 0 ) 称为c 族 定义1 1 2 如聚非负随机变量并具有有限的非0 期望m 则称其分布，1 矗，此时 有： o 0 ，则对于非负分布f ( 。) ，如下三个断言相互等价： 1 0 f ( 7 ) ； 2 。熙器= ，y ； 3 0 疋c ( 7 ) 证；令 a ( x ) = f 。l o g ( x ) = f ( 1 0 9 t ) ，z 1 则有f ( z ) = g ( e z ) ，z 0 所以a ( x ) 是以( 1 ，。) 为支撑的分布函数，并且有 矿f ( 。) ：。存( e u ) 她：i r o 。号生出：万( 矿) ( 1 2 1 ) 矿f ( z ) = j 存( e u ) d u2 上。! 半出：= 万( 矿) ( 1 2 1 ) zj c o 对n 冗，记 酬n ) = 沁小，。) 邶，毗熙等川，v 。) ， 即以r v ( a ) 表示。阶正则变化函数的集合众所周知， h ( x ) r v ( a ) 幸= = 争 ( z ) = o o f ( z ) ， z x 0 ， 其中z o 0 2 ( o ) 是z _ 。对的慢变化函数 由定义l1 1 知： f ( 们舰帮= 觑铎蒜产e - 7 1 0 9 y = y - 7 舀一) 由( 121 ) 易知 舰器= 1 铮撬黟= 1 昔舰幕= 7 ； 而 只c ( ，y ) = 霄r y ( 一7 ) 再由k a r a m a t a 定理( 参阅( 6 】中定理1 5 8 和定理1 6 1 ) 知 舀酬刊甘舰豁叫 第一章c ( 1 ) 族分布及其平衡分布 3 即得l 。兮2 。，而由单调密度定理( 参阅【6 】中定理1 7 2 ) 可知 - r r v ( 一，y ) = - j a v ( 一- y ) ， 即得3 。净1 。，又显然有1 。+ 2 。等3 。定理1 2 1 证毕 社 注1 2 1 对于，r 0 ，定理1 2 1 中，命题1 。辛2 。是众所周知的，而若，y = 0 ，并 且f ( z ) 存在有限的期望，则亦有命题1 。= 2 。( 参阅【7 】f 8 ) ，这表明对期望有限的非负分 布f ( z ) 有f c 兮f 朋但是对于，y 0 时，定理1 2 1 中的三个命题相互等价 却未见之于文献对，y = 0 的情形，【7 和【8 】中多有讨论，其结论之一为2 。铮3 。，即 f m 兮f e c 现在我们给出反例，说明3 。务1 。 例1 2 1 设随机变量x 服从参数为0 妒) = p ( x 竹) = 禹， n 厂- ( 122 ) 首先证明f g 由于喜忍( 伽+ 1 ) 一矿) = 0 ( 3 ，所以对任何固定的口 0 ，都有 n ms u p 掣一i m s u p 筹铲= n 。m s u p ；矧= - 1 i n s ui m s u pm s u px - - - - - + ， “。+ 。j 可j 了2 2 1 。壹i i ；j ；2 “。+ 。声d 丽2 ； 1 因此fgc 即不满足1 。 我们来证明f 满足3 。，为此，只需证明f m 由( 1 2 2 ) 式容易看出，对任何固定 的n 0 ，都有 n 。1 1 1 + s 。u i ) 器= l i r as u p 苦蒜_ l i m s u p 高_ 0 时的c ( 7 ) 族的关 系本章中我们将从两个方面讨论它们之间的关系 2 1m 族的一种生成途径 众所周知，参数0 0 不难看出，如果随机变量x 的分布取( ) 为参数a 0 的指数分布，那么对任何p 1 随机变量y = x 9 的分布f y ( z ) 就是 矿l 一( z ) = p ( y z ) = p ( x p 。) = p ( x x 1 p ) = e x p 一 。1 p ) ， 。0 ， 即为参数r = 1 p 的w e i b u l l 分布我们知道，参数 0 的指数分布属于c ( ，y ) 族，其中 1 = a 下面的定理指出，对于7 0 时的c ( 7 ) 族分布，这一结论普遍成立： 定理2 1 1 如果非负随机变量x 的分布f x c ( 7 ) ，1 0 ，则对任何p 1 ，都有随 机变量y = x p 的分布f r ccm 证：由于f l ，( j 2 ) = p ( y 。) = p ( x 。1 p ) = f x ( z 1 p ) ，所以对任何o 0 ，有 l i m ( r p( z n ) 1 p ) = 0 ，故对任何 0 ，当。充分大，就有x 1 p e 0 的任意性即知舰每笼产= 1 ，所以f y c 由于此时圾( z ) 为轻尾分布，所以 e y 二= f x ” l ，都有随机变量 y = y p 的分布f 1 ，而若e x 9 1 ，使得随机变量 y = x p 的分布毋川”的必要条件事实上，例1 2 1 已经表明；当随机变量x 的分 布，y 是参数为0 0 时的l ( - y ) 族是轻尾 分布，而m 族分布是重尾分布所以定理2 1 1 的结论是有趣的在此我们顺便给出一 个关于m 族分布的结论，这一结论表明了m 族的一种封闭性 定理2 1 2 如果非负随机变量x 的分布取m ，则当对p 1 ，有e x p 0 时的c ( ，y ) 族的关系的另一个方面 8 】中彻底地解决j ，m 。族分布的卷积封闭性问题。即有： 定理a 如果如为轻尾分布或l i 。m _ + s o o u p 鲁黯 0 ，j = 1 ，2 ( 2 2 2 ) j z 8 中的两个定理是： 定理b 如果f 1 川，而b a 4 或。l _ + i r a o 。y l ( 。】一0 ，则有用 f 2 朋特别地，当咒 为轻尾分布或l i r a s u p 粼 0 ，则当如为区间( 0 ，a ) 上的均匀分布或参数为a 的 指数分布时，有f 1 m 第二章c ( 7 ) 族与m 族 6 显然定理b 很好地解决了m 族分布卷积封闭性的一个方面，但是定理c 作为其逆 向命题却显得过弱我们要来将定理c 的结论加强为： 定理2 2 1 如果f l + f 2 m ，而f 2 为任何具有有界支撑的非负分布，或满足条件 t i m i n r 器 。， 。渤 则郡有f 1 m 注2 2 1 由【8 中讨论知，当( 2 2 3 ) 成立时，f 2 必为轻尾分布，但是轻尾分布未必 都能满足该式 由定理b ，定理2 2 1 和定理1 1 1 易得如下推论： 推论2 2 1 如果f 2 满足条件( 2 2 3 ) ，特别地当f 2 c ( ，y ) ，7 0 时，有 f t f 2 朋错n m 显然推论2 2 1 给出了1 0 时的c ( ，y ) 族分布在朋卷积封闭性中的作用 为证明我们的结果，首先对f 1 + f 2 给出一些描述：记 r o 。， f = f i + f 2 矿( z ) = - f ( u ) d u ，瓦( z ) = 耳( u ) d u ，i = 1 ，2 j o，z 显然，对 l ，2 ) 的任何一种排列“j ) ，都有 f ( 。) = 巧( z ) + l 瓦扛一t ) d 乃( t ) ( 2 24 ) _ u 而由f 8 1 中的推导知： 矿( z ) = 瓦( z ) + 巧( 。) + 瓦( u ) 万( z u ) d u ( 2 25 ) 我们将通过适当选取 i ，j 来利用上述表达式 为证明定理2 21 及其推论，还需要如下引理( 参阅文f 8 】) ： 引理2 2 1 如果f m ，则对任何f 0 ，都有 觑甓茅_ l i ( 2 ze ) 概1 i 未r 剐 q 。o j j i me b 诈( z ) = o o ， ( 2 , 27 ) g - - f 其中( z ) 如( 11 2 ) 式所定义 推论2 2 1 之证：事实上，由定理1 1 1 知c ( ，y ) ( 7 0 ) 族分布满足条件( 2 2 3 ) ，故由 定理22 1 立得必要性 第二章c ( 7 ) 族与2 , 4 族 7 反之，当f 2 满足条件( 22 3 ) ，特别地，当f 2 c ( 7 ) ，7 0 时，存在t 0 ，使得 l i 。t z _ 2 ( z ) ：0 ；但是另一方面，由引理2 2 1 知，当f 1 朋时，却有熙e “y 1 ( z ) 5 o o ， 故有l i m 菩躲= 0 ，故由定理b 得充分性 孝 ， - 4 y 1l oj 定理2 2 1 之证：支撑有界情形显然，f = f l + f 2 m 表明 l i m 等罢：0 ( 22 8 ) 与 矿( z ) = 矿。( z ) + o 。- 2 ( z u ) d v a ( u ) + 矿( z ) ) ：= v 2 ( z ) + 冒( 叱 ( 22 - 9 ) 易见 百( z ) = 一v 1 ( o ) f 2 ( z ) + y l ( z t ) a f 2 ( t ) j n 由于如为支撑有界的非负分布，所以存在某个c 0 ，使得 f 2 ( z ) = 0 ，v 2 ( x ) = 0 ，v 。 c 于是当z c 时，f ( z ) = 后f 1 ( z t ) d f 2 ( t ) ，耳( z ) = 厝v i ( x t ) d f 2 ( t ) 从而( 2 2 6 ) 式就 是 撬警_ 1 i v f 0 ，( 2 2 1 0 ) 而( 2 , 2 8 1 式就是 一 舰幕= 舰耪鲁粼一o z 在( 2 21 0 ) 式中令l = c ，由( 2 2 1 1 ) 即得： 器篇端t ) d f 2 ( t = 糖群粼摧溉t ) d f 。( t矿l ( z )2 麝矿l ( 。+ c 一) j 孑矿l ( z t ) d 如( t ) 石矿1 ( 十c 一 ) = 鼯v 善黜t 器硼z 一+ 。，矗l ( z 一) d f 2 ( ) 日( g + c ) 所以f i m襻 定理2 2 1 之证：条件( 2 23 ) 成立的情形设分布f 2 满足条件( 2 2 3 ) 于是存在 c 0 使得 器 c ，v ， 其中c 0 可以取得充分小，使得1 一c v 2 ( o ) 0 从而由( 2 2 4 ) 式知 f ( z ) = f l ( z ) + f _ 2 ( z t ) a f d t ) f l ( z ) + c 耽( z t ) d f l ( t ) ，z = f l ( z ) 一c _ 2 一t ) 抒l ( t ) j 0 = ( 1 一c 矿2 ( o ) ) f l ( z ) + j 矿2 ( 。) + c 亨l ( t ) 事2 ( z t ) d t 【2 21 2 ) j n 第二章( 7 ) 族与m 族 于是由( 2 28 ) 式知 l i m z 叶。o 上式显然蕴涵 舰两器 ：i i 。型：。 2 + ”f ( x 1 l i 。_ = = _ = 。t 当垦l 。：o 。 一2 。o 。( 1 一c 一2 ( o ) ) f 1 ( 。) + c _ 2 ( 。) + j 孑f l ( t ) f 2 ( 。一t ) 出 。 即有l i r a 涨= 0 ，所以f l m 社 8 两 哪f挈慨坠厢篱巫m婪帆瓦而 第三章连续c ( ，y ) 族分布纪录值的极限性状 对于纪录值极限性状的研究，是概率论极限理论研究中的一个重要方面关于x ( “) 的极限性状的讨论，【9 】9 中已经有较为完善的结果，但是对于纪录值之和r = x ( ) t = l 的极限分布问题的研究则刚刚起步不久，其中的第一个研究成果 1 0 发表于1 9 9 8 年这 种研究中的困难之处在于极限分布强烈地依赖于分布f 的具体形式迄今为止，人们只 获得了为数不多的一些成果在本章中，我们给出的定理及其证明方法提供了研究连续 c ( 7 ) 族分布纪录值的极限性状的一种可行途径 3 1 基本概念 定义3 1 1 设( 敬，k 1 ) 为ii d 的随机变量序列，服从连续分布f ( z ) ，称冯为一 个纪录值当且仅当 z j m a x x 1 ，x 2 ，玛一1 ) ( 3 1 _ 1 ) 定义3 1 2 约定x ( 1 ) = x t ，并令第n 个纪录发生的时刻为k ，即 l 1 = 1 ，l 。= m i n ji 玛 x l 。一。) ，其中n 2 ， 记x 协) = x l 。，n 1 ，并称 x ( m ，k 1 ) 为 x k ，k 1 的纪录值序列 在本文中，称参数a = 1 的指数分布为标准指数分布，记作四( 1 ) ，并恒设 k ，n 1 ) 为i id 服从e ( 1 ) 的r v 序列，记晶= ，n 1 此外，恒设f ( z ) 为连续分布函数 令 m ( 。) = f 一1 ( 1 一e 一。) ，z 0 ， 其中 f 一1 白) 圭s u p x ：f ( 。) 可 ，0 ys 1 为f ( x ) 的反函数 为了陈述我们的结论，我们再引述一个定义n i n ： 定义3 1 3 设 磊，n ) 为随机变量序列，称磊依概率相对稳定，如果存在 o ，使得当札- 时，有每31 ；称z 。属于正态吸引场，如果存在数列a n 和b 。 0 ， 使得当n - 。时，有 p ( z , l k - a ”z ) 叶圣( z ) ，v 茁冗， ( 3 12 ) 其中垂( z ) 为标准正态n ( o ，1 ) 的分布函数 9 第三章连续( 1 ) 族分布纪录值的极限性状 3 2 主要结果 1 0 a r n o l d 和v i l l a s e n o r 在1 9 9 8 年给出了如下的结论： 引理3 2 1 在5 3 1 中的定义下，我们有 ( x 【，7 1 , ) = d 皿( 品) ，n ) ， 其中皇表示同分布 基于这一事实，我们有 nn 曼x ( 2 ) 皇e ( s k ) ， n ( 32 i ) 因此可以把对于兰量x ( ) 的极限分布的研究归结为研究量皿( 瓯) 的极限分布，而把 k = 1k = l 对x ( “) 的弱极限性状的研究归结为研究( ) 的弱极限性状 由定理l1 1 的证明过程，知f c ( 7 ) 争一g n v ( 一1 ) ，其中 a ( x ) = fo l o g ( x ) = f ( 1 0 9 。) ，z 1 ( 3 22 ) 众所周知，如果7 0 ，则对于召r v ( 一- r ) ，有( 例如，参阅 4 1 ) g 一1 ( 1 t 一1 ) = t ；工0 ) ，t 0 其中l ( z ) 是。_ o 。时的慢变化函数，所以 皿g ( z ) = c - 1 ( 1 一e 一。) = 工( e 2 ) e x p ；) ，z o 由关系式( 3 2 2 ) 易知 f 一1 ( 。) = l o g o g 一1 ( 。) ，0 z 1 从而由( 3 23 ) 式得 皿f ( z ) = l o g 。g 一1 ( 1 一e 一。) = l o g l ( e 。) + ：，z2 o 于是对任何n ，有 本节的结论是 x 垒1 0 9 工+ 鲁， nnn 矗圭x ( 砷兰l o g l ( e 8 “) + 乳 k = 1k = ik = 1 ( 32 3 ) ( 324 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 第三章连续c h ) 族分布纪录值的极限性状 定理3 2 1 设f c ( 1 ) 且连续，1 0 ， x ( ，n 厂) 为其纪录值序列，而( ，n 为其纪录值之和序列 则有： f 1 1x ( n ) 为依概率相对稳定的； f 2 1x 属于正态吸引场； ( 3 ) 属于正态吸引场 证：注意到晶= 量k 是z 。d 的标准指数分布随机变量的和，所以当n _ 。时，有 品t 。，a s b 。：皿f ( n ) ：l o g l ( e n ) + ! ， 则由( 3 2 5 ) 式和k o l m o g o r o v 强大数律立知x ( “) 为依概率相对稳定的 往证( 2 ) 和( 3 ) 众所周知，慢变化函数工( z ) 具有如下的典则表达式( 参阅【6 ) ： m 唧馁掣砒) 一 z 其中士恐g ( z ) = c 0 ，。1 + i m 。6 ( z ) = 0 由( 3 24 ) 式易得，对一切。冗，都有 利用( 3 27 ) 式可得 鬻= 漕， z s ， 丽百而瓦两5 i 万丽 瞄z 剐 l 0 9 1 l ( e s + 矿z , a ) 乩s 篙茅+ 厂一掣扎 ( 3 z 。) 由溉g ( 。) 。c 0 ，知 熙去b s 篙茅乩 而由。l + i m o 。j ( “) = o 知，对任何e 0 ，当“充分大后，有f j ( “) f e ，所以也就有 专心”订掣如卜去f 斯掣抛 0 ，岛十o o ，o s - ，所以 撬坚鬯亭盟= 桌- 4 黟 击b s 篱- o 一 n _ + 。o 、nn 、nu l 酽】 注意6 n “南n 3 胆，由上式和周知的事实“。j _ + i m 。o z n2 口号墨器 喜口女2 ，即得 撬m ( 删撬i n 3 2 撬i 1 备监型芸型坳- o ) n 一 ( 3 2 1 5 ) 下面考虑如( n ) 由于m p ( z ) 连续，所以2 ( z ) 连续，故由积分中值定理，知存在界于 矿与e s e 之间的随机变量鼠使得 仨掣d “刮( 瓯叫：而叫 器黠 第三章连续( 7 ) 族分布纪录值的极限性状 写 n 五( n ) = n 一3 2 6 k ( s k 一) l 3 于是为证b ( n ) 与0 ，只需证明( n ) 与0 首先，由岛to 。，n s 和0 骢6 ( 。) = 0 ，知 “_ 0 ，b 8 ，故有 1n 妄_ 0 ，n s ( 3 2 1 6 ) k = l 由于e ( y l 一1 ) = 0 ，e e 。( y l 。) o 。，t 1 ，所以根据 1 4 中定理2 6 1 ，知存在w i e n e r 过程 f w ( t ) ，0 茎t 。 ，使得 - 一n w 7 ( n ) 1 = o ( 1 0 9 n ) ，n s ，n 。，( 3 2 1 7 ) 而由w i e n e r 过程性质知 写 - - 去ns u p w ( s ) l 皇s 。u 。p 。l w ( s ) ( 3 2 1 8 ) nn 毛( n ) n 一3 7 2 1 6 k w ( k ) l + n 一3 2 6 k l s k k w ( k ) l ：= j l ( n ) + 屯( n ) ( 3 2 1 9 ) 女= 1 = l 由( 32 1 7 ) 式立知也( n ) _ 0 ，a 8 而由s l u t s k y 并结合( 3 2 1 6 ) 和( 3 2 1 8 ) 式可知 吲小) 0( 436 ) 矗一n n ( 1 0 9 ( n + 1 ) 一1 ) 2 = ( 如( n ) 一2 n l o g 岛+ 1 + n n ( 1 0 9 ( n + 1 ) 一1 ) 2 ) + ( ( n ) + 2 n l 0 9 5 k + 1 ) + ( 如( n ) 一2 n ) 兰 j o ( n ) + j 1 ( 礼) + 如( n ) ( 4 3 7 ) 塑1 亚_ o ，。 ；( 4 删 n o - r ) i o k 2 1 0 9 s n 瘫+ le - ( v k + 1 ) ：哚弃2 l o 蛳g s n + l 轧( 4 a 。) k = lr = l，7，on 、 、历l o g 礼 一 、6 葫芦云i 币fl o g n 口1 、77 其中z l n ( 0 ，4 ) ； 。，0 ( n )v - 元( 0 0 9 晶+ 1 1 ) 2 一( 1 0 9 ( n + 1 ) 一1 ) 2 ) l o g nl o g n = 燮型篙等坚一石0 0 9 l o k 一l o g ( n + 1 ) ) n 其中，由引理4 1 ，3 知 _logsn+l+log(n+1)-232 l o g n 同时由引理4 1 4 有v 质( 1 0 9 & + 1 一l o g ( n + 1 ) ) 3 n ( 0 ，1 ) ， 所以 摇4 邑一n ( 0 4 ) 、，丽1 0 9 n 。 ” 因此为证( 436 ) ，只需证明z i ，z 2 相互独立。这时即有勃( z 1 + z 2 ) 一n ( o ，1 ) 因为( 4 39 ) ，( 43 1 0 ) 成立，显然e j 0 ( n ) = 0 ，e 以( n ) = 0 ， 从而为证z l ，历相互独立，只需证明 g 州玩z 2 ) = 飘驯器，器) _ 0 ( 4 3 1 0 ) ( 4 3 1 1 ) 紫 第四章一类特殊g “m b e l 分布纪录值之部分和的极限性状 记眠。= 掣，从而e 。( 考，盟c i l o g n 、j = e 砜 所以为证( 43 1 1 ) ，只需证明 s u p e 联 o 。 而 e 孵= 土n 2 1 0 9 4 n e ( 耋( k e k ) ) 2 e ( 1 0 9 2 & + - 靠( n ) ) 又显然有 而 e ( ( 一e v k ) ) 2 = ” = l 1 7 ( 4 3 1 2 ) ( 43 1 3 ) ( 43 1 4 ) e ( 1 0 9 2 & + l 露( n ) ) = n 2 e o g s 。+ l ( 1 0 9 s n + 1 一1 ) 2 一( 1 0 9 ( n + 1 ) 一1 ) 2 ) 2 c n 2 e ( 1 0 9s + 1 一l o g ( n + 1 ) ) 6 + l 0 9 2 ( n + 1 ) e 0 0 9 靠+ 1 一l o g ( n + 1 ) ) 4 ) ，( 4 3 1 5 ) 因此，为证( 4 3 1 2 ) ，只需分别证明 e ( 1 0 9 晶+ l 一1 0 9 + 1 ) ) 6 - c l o g n 4 n ， ( 4 31 6 ) 和 e ( 1 0 9 晶+ 1 - l o g ( n + 1 ) ) 4 c l 。g n 2 n ( 4 3 1 7 ) 今 由g 不等式有 甘l ( n ) = e ( 1 0 9s + 1 一l o g ( n + 1 ) ) 6 j ( 晶+ l 2 ( n + 1 ) ) 凰( n ) = e ( 1 0 9 晶+ 1 一l o g ( n + 1 ) ) 6 f ( 靠+ l 2 ( n + 1 ) ) ( 4 3 1 8 ) ( 4 3 1 9 ) h l ( n ) sc e l 0 9 6 晶+ l ，( 最+ l22 ( n + 1 ) ) + c l 0 9 6 ( n + 1 ) p ( & + 122 ( n + 1 ) ) 兰c h l l ( n ) + c h t 2 ( n ) ，( 4 3 2 0 ) 又 nn p ( 晶22 n ) = p ( ( k e y k ) 2 n ) r l - 4 e ( ( k e y e ) 4 ， ( 4 3 2 1 ) = 1k = l 记，= e ( y e y ) j ，贝4 易知o l = 0 ，o r 2 0 0 ，o z 4 0 0 ， 所以 e ( k e y k ) 4 = r $ o l 4 + c ：口2 2 c n 2 ， ( 4 3 2 2 ) 第四章一类特殊g u m b e l 分布纪录值之部分和的极限性状 1 8 如s g 盟等等业= f 訾掣g 等掣g i l 0 9 4 n ( 4 3 2 3 ， 同时由晶r ( n ，1 ) ，有 帅) = 志忘) ( 1 0 9 6 x 矿e 吲。， 记g n ( z ) = ( 1 0 9 。) 6 扩e ，则有 9 ：( z ) = ( 6 + n l 。g z 一互1 z l 。g z ) x - l e - l 。9 5 z 所以对于足够大的r 。，当。2 ( n + 1 ) 时，有五( z ) 0 ， 所以 日- - ( n ) ! ：! 二! j ；i 铲e - ( - + 1 ) z ：+ ，e ；a z ：2n+l(n+1)n(log 2 ( n + 1 ) ) s e - 2 ( n + 1 ) r f n + 1 1 。2 n + ，1 ( n + 1 ) n ( 1 o 、g 2 ( n + 1 ) ) 6 ( 詈) “、2 7 r 竹 = ( 尹1 ( 1 + 扣。2 ( 1 0 9 2 ( n + 1 ) ) 6 瀛1 由于2 e ，且( 1 + i ) e ，所以对于充分大的n ，有 h i l ( n ) sc l 0 9 4 _ _ _ n n ， 综合( 4 3 2 3 ) 和( 4 3 2 7 ) ，即有 h i ( n ) c l 0 9 4 n 另一方面 ( 43 2 4 ) ( 4 3 2 5 ) ( 4 3 2 6 ) ( 4 3 2 7 ) ( 4 3 2 8 ) 如( n ) = e ( 1 0 9 晶十i l o g ( n + 1 ) ) 6 ( 又+ i 2 ( n + 1 ) ) s c l 0 9 4 ( n + 1 ) e o o g 晶+ 1 一l o g ( n + 1 ) ) 2 = c l 0 9 4 ( n + 1 ) v a t l o g s n + ls c l o g n f 4 32 9 ) t 综上，f 4 3 1 6 ) 得证， 类似的方法可以证得( 4 3 1 7 ) 这就证明了m = 2 时的中心极限定理 当m 3 ，注意到j 2 时 l ，( 几) 历靠吒。 墨! 型= 星生l 型 而l o g “一1n l o g “1 & + 1 墨叼一e l o g “1 s n + l 量启昭 譬而万卫 第四章一类特殊g u m b e l 分布纪录值之部分和的极限性状 其中 即有 m t ( n ) 1 9 1 0 矿一晶+ 1 ( ( 呀一e 昭) ) 一。 v 元l o g ”一1n e 瑁( 1 0 9 ”1 晶+ l e l o g “1 品+ 1 ) 。“” v 而l o g ”一1 n 兰c 玉m d n ) + c 象m 2 ( n ) ，( 43 3 0 ) l o g m 一晶+ l l o g ”一，“ 蚴) = 坚每喾警坐 舞耘硼一 j 2 的部分由m = 2 时的证明可类似证得 综上，定理得证带 l - 0 ，。， l o g j - 1 n - 。3 e 昭 堕l 。- 0 o 3 而l o g j 一1 n ( 43 3 1 ) ( 43 3 2 ) ( 4 3 3 3 ) 等 。眦一 参考文献 f 1 ；e m b r e c h t spa n dg o l d i ec m 。o nc 。n v o i u t i o nt 拙蠲s t o c h ，p r n e a p p l ，1 9 8 2 ，1 3 ：2 6 3 * 2 7 8 【2 r o g o z i nb a o nt h ec o n s t a n ti nt h ed e f i n i t i o no fs u b e x p o n e n t a id i s t r i b u t i o n s j 1 t h e o r yp r o b a b a p p l 。，2 0 0 0 ，4 4 ：4 0 9 4 1 3 鞘 4 】 圈 蹦 a s m u s s e ns ，r u i np r o b a b i l i t i e sf 鹕，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，2 0 0 0 e m b r e c h t sp ，k l i i p p e t b e r gca n dm i k o s c ht + m o d e l l i n ge x t r e m a ie v e n t sf o ri n s u r a n c ea n df i n a n c e 雕ls p r i n g e r ，b e r l i n ，1