第七届全国大学生数学竞赛预赛试题解答.pdf

姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业: 密封线答题时不要超过此线 第七届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准 (数学类, 2015年10月) 考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分 一、 (本题 15 分) 设 L1和L2是空间中两异面直线.设在标准直角坐标系下直 线L1过坐标为a的点，以单位向量v为直线方向；直线L2过坐标为b的点，以单位向 量w为直线方向. 1) 证明：存在唯一点P L1和Q L2使得两点连线PQ 同时垂直于 L1和L2. 2)求P点和Q点坐标(用a,b,v,w表示). 解解解：1）过直线L2上一点和线性无关向量 v 和w 做平面，则直线L2落在平 面上，且直线L1平行于平面 。过L1做平面 垂直于平面 ，记两平面交线为L 1。 设两直线L 1和L2的交点为Q, 过Q做平面 的法线，交直线L1为P, 则 PQ 同时垂直 于L1和L2。.(4分) 设X = P + sv L1和Y = Q + tw L2也使得XY 同时垂直于L1和L2，则有 XY = PQ sv + tw垂直于 v 和w ，故有 s + (v w)t = 0 和 s(v w) + t = 0 。由于(v w)2 0. 求证 lim n n(ann) 存在. 证证证明明明 a2= a1+ 1 a1 2. 若 an n, 则 an+1 (n + 1) = an+ n an n 1 = (1 1 an)(an n) 0, 故 an n,n 2, 且an n单调递减. .(5分) 令 bn= n(an n), 则 bn+1= (n + 1)(an+1 n 1) = (n + 1)(an+ n an n 1) = (an n)(n + 1)(1 1 an) = (1 + 1 n)(1 1 an)bn = (1+ ann nan 1 nan)bn = (1+Rn)bn, 其中 Rn= ann nan 1 nan. 从而 bn = b2 Qn1 k=2(1+Rk). .(10分) 考察Rn. |Rn| 6 |ann nan | + 1 nan 6 1+|a22| n2 ,n 2. 结果由lim Qn1 k=2(1 + Rk)存在知lim n(an n) 存在. .(15分) 第 4 页（共 7 页） 姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业: 密封线答题时不要超过此线 五、 (本题 15 分)设 f(x) 是 0,+) 上有界连续函数, h(x) 是 0,+) 上连续 函数, 且 R + 0 |h(t)|dt = a 0. 这说明 eaxg(x) 是递增函数。.10分 由 (1), 可得 A = g(x) + a Z x x1 eatg(t)eatdt 6 g(x) + aeaxg(x) Z x x1 eatdt = g(x) + eaxg(x)ea(x1) eax = eag(x). 由此，可得 g(x) Aea. . 15分 由 g(x) 的定义知，g(x) 的下确界为零，因此 A = 0. 再根据 (1) 可知 g(x) 恒等于 零，即 f(x) 为常数。.20分 第 7 页（共 7 页） 2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案年第七届预赛（非数学类）参考答案 一、每小题 6 分，共计 30 分。 (1) 极限 222 2 sinsin sin2 lim 12 n nn n nnnn += + L 。 解：由于 11 sin 1 sin 1 nn ii i i n i nn n n = + + 1 1 sin, n i i nn = 而 1 1 limsin 1 n n i i nn = + = 0 1 12 limsinsin (1) n n i ni xdx nnn = = + ， 1 1 limsin n n i i nn = = 1 1 limsin n n i i nn = = 0 12 sin xdx = 。 所以所求极限是 2 . （2）设函数( , )zz x y=由方程(,)0 zz F xy yx +=所决定，其中( , )F u v具有连续偏导 数，且0 uv xFyF+。则 zz xyzxy xy += 。 （本小题结果要求不显含 F 及其 偏导数） 解：方程对 x 求导，得到 2 11 10 uv zzz FF yxxxx += 即 2 () vu uv zy zFx F x xxFyF = + 。 同样，方程对 y 求导，得到 2 () uv uv zx zFy F y yxFyF = + 。 于是 ()() uvuv uv zzz xFyFxy xFyF xyzxy xyxFyF + += + （3）曲面 22 1zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面与曲面 22 zxy=+所围区域的体积为 2 。 解：曲面 22 1zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面：2(1)2(1)(3)0 xyz+=， 即221zxy=。联立 22 221 zxy zxy =+ = ， 得到所围区域的投影 D 为： 22 (1)(1)1xy+。 所求体积 2222 (221)()1(1)(1) DD Vxyxydxdyxydxdy=+=+ 令 1cos 1sin xrt yrt = + = ， 21 2 00 (1) 2 Vdtrrdr = 。 （4）函数 3, 5,0) ( ) 0,0,5) x f x x = 在( 5,5的傅立叶级数在 x=0 收敛的值 3/2 。 解：由傅里叶收敛定理，易知 f(0)=3/2. （5）设区间(0,)+上的函数( )u x定义为 2 0 ( ) xt u xedt + =，则( )u x的初等函数表达式为 2 x 。 解解 由于 2222 2() 00 0,0 ( ) xtxsx st st uxedtedsedsdt + + = , 故有 222/2 22 000 0 ( )() 444 xxx uxdededxe xxx =+ + = = = 。 所以( ) 2 u x x =。 二、 （12 分）设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。 解：显然，O(0,0,0)为 M 的顶点，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)在 M 上。由 A,B,C 三点决定的平 面1xyz+=与球面 222 1xyz+=的交线 L 是 M 的准线。4 分 设P(x,y,z)是M上的点， (u,v,w)是M的母线OP与L的交点， 则OP的方程为 1xyz uvwt =， 即 u=xt,v=yt,w=zt。8 分 代入准线方程，得 2222 ()1 ()1 xyz t xyzt += += 。 消除 t，得到圆锥面 M 的方程0 xyyzzx+=。12 分 三、 （12 分）设 ( )f x在( , )a b内二次可导，且存在常数, ，使得对于( , )xa b ( )( )( )fxf xfx=+， 则( )f x在( , )a b内无穷次可导。 证明 1. 若0=。 对于( , )xa b ，有 ( )( )fxf x=， 2 ( )( )( ),fxfxf x=L ( )( ) ( ) nn fxf x=。 从而( )f x在( , )a b内无穷次可导。 4 分 2. 若0。对于( , )xa b ，有 11 ( )( ) ( )( )( ), fxf x fxA fxB f x =+ （1） 其中 11 1/,/AB =。 6 分 因为（1）右端可导，从而 11 ( )( )( )fxA fxB fx=+。 8 分 设 ( )(1)(2) 11 ( )( )( ),1 nnn fxA fxB fx n =+，则 (1)( )(1) 11 ( )( )( ) nnn fxA fxB fx + =+。 故( )f x任意阶可导。 12 分 四、 （14 分）求幂级数 = + + 0n 3 ) 1( )!1( 2 n x n n 的收敛域与和函数 解：因 0 )2)(2( 2) 1( 3 3 1 limlim = + + = + nn n a a n n n n 。 固收敛半径+=R，收敛域为),(+。4 分 由 )!1( 1 ! 1 )!2( 1 )!1( 1 )!1( 1 )!1( ) 1() 1( )!1( 2 3 + + = + + + + + + + = + + nnnnn n n nnn n n )2( n 及幂级数 n n x n ) 1( )!2( 1 2 = ， n n x n ) 1( ! 1 0 = 和 n n x n ) 1( )!1( 1 0 + = 的收敛域皆为),(+得 n n n n n n n x n x n x n x n n ) 1( )!1( 1 ) 1( ! 1 ) 1( )!2( 1 ) 1( )!1( 2 0020n 3 + + = + + = = = = 。 7 分 用)( 1 xS，)( 2 xS和)( 3 xS分别表示上式右端三个幂级数的和函数。依据 x e的展开式得到 = = 0 122 1 ,) 1() 1( ! 1 ) 1()( n xn exx n xxS 1 2 )( = x exS 再由 1) 1( ! 1 ) 1( )!1( 1 )() 1( 1 1 1 0 3 = + = = + = xn n n n ex n x n xSx 得到，当1x时) 1( 1 1 )( 1 3 = x e x xS。10 分 又1) 1 ( 3 =S。12 分 综合以上讨论，最终得到所给幂级数的和函数 =)(xS? 1) 1( 1 1 )22( 112 + xe x exx xx ， 2 1=x 14 分 五、 （16 分）设函数f在0,1上连续，且 11 00 ( )0,( )1f x dxxf x dx= 。试证： （1） 0 0,1x使 0 ()4f x （2） 1 0,1x使 1 ( )4f x= 证明： （1）若0,1x ，( )4f x ，则 111 000 111 1() ( )( )41 222 xf x dxxf x dxxdx= 4 分 因此 1 0 1 ( )1 2 xf x dx= 。而 1 0 1 41 2 xdx= ， 故 1 0 1 (4( )0 2 xf xdx= ， 8 分 所以对于任意的0,1x，( )4,f x =由连续性知( )4f x 或( )4f x 。 这就与条件 1 0 ( )0f x dx = 矛盾。 故 0 0,1,4xf x 0 使 （ ) 10 分 （2）先证 2 0,1x，使4f x 2 （ )。若不然，对任何0,1x，4f x （ )成立。则， ( )4f x 恒成立，或者( )4f x 恒成立，与 1 0 ( )0f x dx = 矛盾。再由( )f x的连续性及 （1）的结果，利用介值定理 1 0,1x使4f x= 1 （ )。 16 分 六、 （16 分）设( , )f x y在 22 1xy+上有连续的二阶偏导数， 222 2 xxxyyy fffM+。若 (0 0)0f=，(0,0)(0,0)0 xy ff=，证明 22 1 ( , ) 4 xy M f x y dxdy + 。 证明： 在点(0,0)展开( , )f x y得 2 222 22 22 11 ( , )(,)=2(,) 22 f x yxyfxyxxyyfxy xyxx yy =+ ， 其中(0,1)。 -6 分 记 222 22 ( , , ),(