（应用数学专业论文）认股权证定价问题研究.pdf

i i i i x l l l i i iijif illiif lli ii i111i l i i i i l l yy 17 9 8 0 3 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：黼 劫玷年歹月哆日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：玲剜 湖3 年j - 旯) 弓e l 南开大学 硕士研究生毕业( 学位) 论文 姓名： 年级： 专业： 研究方向： 论文题目： 完成日期： 导v i l i - 路璐 2 0 0 5 级 应用数学 金融数学与金融工程学 认股权证定价问题研究 2 0 0 8 皋4p 李静副教授 南开大学数学科学学院 2 0 0 8 年4 月 摘要 摘要 权证作为重要的金融衍生产品近年来在我国发展迅速。2 0 0 4 年8 月，宝钢认 购权证上市交易，开启了中国权证市场的新一页。认股权证具有价格发现和规避 风险等功能，但同时认股权证本身也具有巨大的风险，因此对待认股权证应持理 性的态度，进行科学的分析，确定其合理的定价。基于上述原因，本文对认股权 证定价问题进行研究。 b l a c k s c h o l e s 模型建立在有效市场理论基础上，认为股价服从几何布朗运动。 由于实证结果显示股票收益的分布有尖峰厚尾的特征，所以产生了随机波动率模 型。随机模型认为股价的波动率不仅是随机变化的，而且股价和波动率的变化是 连续的和渐进的。1 9 8 7 年美国股市的黑色星期一表明股票价格和波动率会有大幅 度跳跃，因此跳扩散模型诞生了。本文从b s 模型引入定价问题的讨论，应用有稀 释效应的b s 模型、随机波动率模型和跳扩散模型，对我国不同行业的权证进行 了定价实证分析。结果发现牛市时利用跳扩散模型定价效果较好，熊市时跳扩散 模型没有明显的优良性，历史波动率的计算方法对不同行业的权证定价效果影响 不同。实证研究表明权证市场确实存在恶意炒作、监管不到位，投资者非理性投 资的现象，导致权证实际价格脱离理论价格。 针对在定价研究过程中发现的问题，本文最后指出应继续推动权证产品的丰 富和相关市场机制的引入，加强监管力度，引导投资者理性投资。 关键字：认股权证波动率权证定价b s 模型g a r c h 模型 a b s t r a c t a b s t r a c t w a r r a n ti so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i n a n c i a ld e r i v a t i v e si nf i n a n c i a lm a r k e to f c h i n a i na u g u s t2 0 0 4 ，t h ef i r s tc a l lw a r r a n tb g j t b11w a si s s u e d ，a n do p e n e dan e w e r ao fc h i n e s ew a r r a n tm a r k e t a l t h o u g hw a r r a n ti so n ee f f e c t i v ef i n a n c i a li n s t r u m e n t i np r i c i n ga n dh e d g i n g ，t h eh i g hi m p l e dr i s ks h o w st h ei n v e s t o r st h a tt ob ec a u t i o u s a n dr a t i o n a li sp r o b a b l yaw i s ec h o i c e i nt h i sp a p e r o u t c o m e so fw a r r a n t p r i c i n gu n d e r d i f f e r e n tm o d e l sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d b a s e do nt h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r y , b l a c k - s c h o l e so p t i o n p r i c i n gm o d e li n d i c a t e d t h a ts t o c kp r i c ei ss u b m i t t e dt og e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n i n19 8 7 ，t h es t o c km a r - k c to fa m e r i c ae x p e r i e n c e do n eb l a c km o n d a y , w h i c hi n d i c a t e dt h a tt h e r ee x i t sl a r g e j u m p si ns t o c kp r i c ev o l a t i l i t y r e s e a r c h e r so u t l i n e ds o m eo ft h ef u r t h e rr e s u l to fb - so p t i o np r i c i n gm o d e l ，w h e r ed i l u t e dp r i c i n gm o d e l ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e la n d j u m pd i f f u s i o nm o d e la r ei n t r o d u c e d t h i sp a p e rs h o w e dt h er e s u l t so ft h r e ew a r r a n t s o fd i f f e r e n ti n d u s t r i e su n d e rd i f f e r e n tp r i c i n gm o d e l sa b o v e a c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i s ， j u m pd i f f u s i o nm o d e li st h eb e s ti nb u l lm a r k e t ，w h i l en os p e c i a lm o d e li so p t i m u mi n b e a rm a r k e t i ti sl i k e l yt h a tw a r r a n tw i l lf u n c t i o nw e l lw h e nt h ef i n a n c i a lm a r k e ta n di n v e s t o r s i nc h i n aa r em o r em a t u r ei nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：w a r r a n t sv o l a t i l i t yb sm o d e lg a r c hm o d e l 目录 目录 第一章引言 1 1 1 研究背景与研究目的1 1 2 创新点和文章结构3 第二章权证概述和b l a c k s c h o l e s 模型5 2 1 权证概述5 2 2b l a c k s c h o l e s 模型6 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型1 0 3 1 稀释效应修正的b l a c k s c h o l e s 模型l o 3 2 随机波动率模型1 2 3 3 跳扩散模型1 6 第四章g a r c h 模型一随机波动率模型的一种特殊形式2 1 4 1g a r c h 过程的期权定价模型产生的背景和重要的实证研究2 1 4 2 波动率在g a r c h ( 1 ，1 ) 模型下的权证定价模型2 2 第五章实证分析2 4 5 1 数据资料2 4 5 2 实证研究应用的定价模型和研究目的2 7 5 3 实证结果及模型的有效性分析3 0 第六章结论3 9 参考文献4 1 致 射4 6 个人简历在学期间发表的学术论文与研究成果4 7 1 1 1 第一章引言 1 1 1 研究背景 第一章引言 1 1 研究背景与研究目的 权证是基础性的金融衍生产品，是所有权益类衍生品种里风险较小而需求又 很大的金融品种。2 0 0 5 年8 月2 2 日，作为解决股权分置改革的创新性工具，宝钢认 购权证开始上市交易，揭开了中国证券市场恭迎权证投资盛事的序幕。金融衍生 品市场作为一个新兴市场，在价格发现、风险规避和增加投资组合等方面发挥着 越来越重要的作用，对国际金融市场产生了深刻的影响，发展速度也远远超过基 础产品市场。在我权证在中国证券市场的再度出现，受到了投资者的青睐，交易 量不断上涨，权证日交易金额曾一度超过沪深股票交易金额。但同时，权证市场 的运行也呈现出高换手率、高溢价率、高隐含波动率的特征。近一年来权证的暴 涨暴跌也充斥在整个市场，给投资者带来了不小的压力。因此，市场参与人士普 遍认为权证市场投机炒作特征明显，多数权证实际价格脱离理论价格。 随着人们认识的不断加深，期权定价模型逐渐得到了发展和完善。1 9 0 0 年法 国学者b a c h e l i e 【3 l 发现市场中商品价格服从随机游动，提出了最早的权证定价模 型；1 9 6 3 年m a n d e l b r o t 【6 】证明了波动率不是常数，有聚类性；1 9 6 4 年o s b o r n e1 3 5 1 发 现股票市场的收益率呈厚尾分布；1 9 6 4 年f a m a 1 5 】提出有效市场假说；建立在这 样的市场理论背景下，1 9 7 3 年b l a c k - s c h o l e s 模型诞生，提出价格波动服从几何布 郎运动。随后，许多学者实证研究也表明，资产收益并非标准正态分布，而是具 有厚尾和尖峰特征，所以需要对b l a c k s c h o l e s 模型作出必要的改进。主要有：第 一，假设波动率依赖价格型随机扩散过程，即资产的价格服从连续随机过程，而 波动率是资产价格的函数；第二，假设波动率是随机的过程，得到随机波动率模 型，即假设资产收益的波动率过程服从某种连续随机过程。1 9 8 7 年美国股市的黑 色星期一使人们认识到，股票价格的变化规律除了连续地、渐进地变化外，还会 因为某种特殊的政治、社会、经济、政策改变、或心理的因素发生剧烈地跳跃，所 以引入了跳扩散过程【4 6 】。 现代期权定价理论的基石是著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，该理论用随 机微分方程来刻画可交易金融资产( 如股票) 的市场波动规律，并根据这一规 律，运用数量方法，确定该标的资产的衍生证券( 如股票期权) 的当前价值，推 导出基于不付红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，并成功 地求解了方程，即给期权定价1 2 5 。对b l a c k - s c h o l e s 模型扩展是从放松假设条件开 始的，在1 9 7 6 年s c h o l e s 3 4 1 研究了税金对b l a c k s c h o l e s 模型解析解的影响；l e l a n d 侧在1 9 8 5 年研究了有交易成本的b l a c k s c h o l e s 模型；t h o r p e 【4 2 j 在1 9 7 3 年考虑了存 在卖空限制条件下，b l a c k s c h o l e s 定价公式的变化。 b l a c k s c h o l e s 模型的改进，通常向五个方面推广： 第一，假设存在价格依赖型波动率扩散过程，即资产的价格服从随机过程， 而波动率是资产价格的函数。如c o x 和r o s s 2 3 l 论文所述，该模型的优点是没有引 进新的随机源，所以期权定价处理相对容易，但缺点是对克服波动率微笑现象与 偏斜效应效果不好，j t l b e c k e r 【3 8 】，r u b i n s t e i n 3 7 1 第二，假设波动率是随机的过程，得到随机波动率模型，即假设资产收益的 波动率过程服从某种随机过程，如h u l l 和w h i t e 【2 6 】。这类模型的优点是削弱了隐 含波动率的微笑现象和偏斜效应，使期权的定价与市场价格更趋一致：但存在的 缺点是波动率的随机过程与资产价格的布郎运动不完全相关，即波动率有独立的 随机源，从而导致市场的不完备性，增加了期权定价的困难。 第三，对于资产收益随机过程引入随机跳过程，如m e r t o n 跳扩散模型【3 3 】等。 第四，提出组合模型，即假设资产收益服从跳扩散过程，同时波动率服从随 机波动过程；或假设资产收益和波动率分别服从互不相关的跳扩散过程；或假设 资产收益和波动率分别服从有相关关系的跳扩散过程。 第五，提出g a r c h 模型。提出的求解方法如g a r c h ( i ，1 ) ，c h u 和f r e u n d 【1 0 1 给 出g a r c h 模型逼近。由于g a r c h 法获得的波动率产生的数据比假设波动率为常 数产生的数据有更厚的尾部，与股票价格的实际分布相一致，所以通常采用该模 型进行期权定价。g a r c h 模型实质上是离散化的随机波动率模型。 1 1 2 研究目的 股票市场的出现使得资源配置效率大大提高，而衍生产品使得资源配置发生 了质的飞跃。因此，研究金融衍生产品的定价对于进一步发挥我国证券市场的资 源配置功能至关重要。尽管根据市场的不同特征提出了很多不同的权证定价模型 2 第一章引言 和定价方法，b l a c k - s c h o l e s 模型依然是金融市场广泛应用的权证定价模型。权证 定价模型和方法系统是一个发展和开发的系统，随着学者对市场特征认识的不断 深入，数学方法和其它科学方法的掌握，会有更好更准确刻画资产价格动态过程， 并对权证作出准确定价的模型和方法问世。 本文将权证的定价作为研究对象，是基于以下几个目的： ( 1 ) 对权证的定价机制进行研究，深入了解权证价格的决定因素和波动规 律。 ( 2 ) 对权证市场的权证进行定价分析，对比分析不同模型的定价效果和标的 股票市场价格变化的关系。 ( 3 ) 通过对权证交易数据的详细实证研究，论证期权定价理论是否适应我国 资本市场的实际需要，以及如何提高模型的定价效果。 1 2 创新点和文章结构 1 2 1 本文的主要创新点 本文从国内学者的研究中吸取了经验，跟踪近一年多来中国权证市场的发展， 在以下三方面取得了创新： 1 对西方权证定价公式在我国股市发生大伏波动时的适用性进行了检验。 2 对定价方法进行了比较，得出了不同模型的定价效果和标的股票市场价 格变化存在关系的结论。 3 发现我国权证市场存在严重的投机和非理性问题，并提出相应的政策建 议。 1 2 2 本文的结构安排 本文分为六章。第一章是引言部分，对本文的研究背景、目的、方法、相关文 献回顾以及本文的主要创新点进行了介绍。第二章第一节对认股权证基础性、概 念性的简单介绍，包括了认股权证的涵义、决定认股权证价格的基本因素以及权 证发展历史和现状三节内容。第二节主要介绍了b l a c k s c h o l e s ( b s ) 定价模型。 第三章根据中国权证市场的一些特点，对b s 模型进行的一系列扩展，包括具有 稀释效应的b s 模型、随机波动率模型和跳扩散模型。第四章主要介绍了特殊的 随机波动率模型- - g a r c h 模型。第五章是本文的实证分析部分，利用b s 模型、 三蔓 具有稀释效应的 详细的定价研究 模型定价效果较 法对不同行业的 意炒作、监管不到位，权证实际价格脱离理论价格的情形。 4 第二章权证概述和b l a c k s c h o l e s 模型 第二章权证概述$ 1 ：l b l a c k s c h o l 2 1 权证概述 2 1 1 权证的涵义 权证是发行人与持有者之间的一种契约，其发行人可以是上市公司，也可以 是持有大量上市公司股票的第三者，如其非流通股股东、券商、投行等金融机构。 权证允许持有人在约定的时间( 行权时间) ，可以用约定的价格( 行权价格) 购买 或卖出权证所对应的资产，这些资产可以是个股，也可以是一篮子股票、指数、商 品或其他衍生产品。从我国股市的情况，权证所对应的资产将主要是上市公司股 票。认股权证是指由特定发行人发行的，约定持有人在规定期间内或特定到期日， 有权按约定价格向发行人购买或出售标的证券，或以现金结算等方式收取结算差 价的有价证券。认股权证的本质是一种权利证书，它赋予持有人一种权利，在指 定时间内( 即行权期) 行权，用指定的价格( 即行权价) 购买或者卖出特定量的相 关资产( 或者获得差价) 。持有人获得的是一个权利而不是责任，持有人可自主选 择是否行使权利【4 5 1 。 2 1 2 权证的分类 1 按权利行使方向分为认购权证和认沽权证。含购买权的认股权证是认购 权证，又称为看涨权证( c a l lw a r r a n t s ) ，其权利的实质是一个看涨期权；含出售权 的认股权证是认沽权证，又称为看跌权证( p u tw a r r a n t s ) ，其权利的实质是一个看 跌期权。 2 按发行主体不同可分为股本权证和备兑权证。股本权证是上市公司发行 的，目的为公司筹资，当认股证持有人行使认股权时，上市公司( 即认股证发行 人) 会发行新股以履行认股证合约列明的责任，发行的新股会摊薄上市公司每股 股值，这种形式的认股证称为股本权证，投资这类认股证，投资者需面对发行该 权证的上市信贷风险；备兑权证是由持有该相关资产的第三者发行，并非由相关 企业本身发行，一般都是国际性投资银行机构发行，发行商拥有相关资产或有权 5 第二章权证概述和b l a c k s c h o l e s 模型 拥有该资产，备兑认股证可以是认购或认沽，并且投资者同时面对发行商的信贷 风险。 3 按执行时间进行划分，又可划分为：1 ) 欧式认股权证：只能在到期日行 使；2 ) 美式认股权证：可在到期日或以前任何时间行使。 4 按行使价格与标的证券市场价格的关系分为价内权证、价平权证、和价外 权证。标的资产市价高( 低) 于履约价格与行权费用之和的认购( 沽) 权证，为价内 权证；标的资产市价低( 高) 于履约价格与行权费用之和的认购( 沽) 权证，为价 外权证；标的资产市价等于履约价格与行权费用之和的认购( 沽) 权证，为价平 权证【4 5 】。 2 1 3 权证和股票期权的区别 股票期权是指企业给予持有者一种在特定的时间内以事先确定的价格购买 一定数量本企业股票的权利。认股权证与股票期权之间并不存在本质性的区别。 例如认股权证有稀释效应，公司为激励管理层而发放的股票期权也可以有稀释效 应。股票认股权证本质上就是一种股票期权【4 5 】。 2 2b l a c k s c h o l e s 模型 现代期权定价理论的基石是著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，该理论用随 机微分方程来刻画可交易金融资产( 如股票) 的市场波动规律，并根据这一规律， 运用数量方法，确定该标的资产的衍生证券( 如股票期权) 的当前价值，推导出 基于不付红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，并成功地求 解了方程，即给期权定价1 2 5 。 2 2 1b l a c k s c h o l e s 模型假设条件 有效市场假说：假设金融资产价格是随机游走的，市场对有关资产价格的任 何新信息反映迅速，历史上所有有关股票价格的信息已反映在现在的股价上，将 来股票的价格只与现在的股价有关，而与过去的价格无关，即股价运动过程服从 马尔可夫链。 b l a c k s c h o l e s 模型假设的市场条件： ( 1 ) 股票价格服从如下随机过程： d s t = 恤s t d t + o s t a w t 6 2 2 2 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式 ( 一) i t 6 s 引理【2 】 定义所： 可料过程，且 r q _ r + ，满足v f ( w ，t ) h ( 0 t t ) ，t ) 是 e 】t o f 0 t e f ( 叩) 2 认o o i t 6 s 引理：设，是r 上的二阶连续可微函数，甏h ，若x t 满足下列随 机微分方程( i t 5 过程) ： d x , = p ( 五，t ) d t + 盯( x t ，t ) d w t 其中肛( z ，t ) ，a ( x ，t ) r 皿， w d t 0 是空间( q ，ep ) 下的标准布朗运动， 则 够( x t ，t ) 否o f ( x , d 五+ 筹( x 班+ 三是( 五盯。霹出 ( - 两o f # ( x t , t ，吲o y 聊，+ 丢是以叫刮o f 酬m 7 ( 2 2 1 ) 第二章权证概述和b l a c k s c h o l e s 模型 ( 二) b l a c k s c h o l e s m e r t o n 随机微分方程【2 5 】 设欧式看涨期权的标的股票价格 & ) t 0 服从几何布朗运动 d s2 i z s d t 上a s d w 其中 比) t 0 是空间( q ，只p ) 下的标准布朗运动，p 和仃是常数。设f = f ( & ，t ) 是t 时刻该期权的价格，则由i t 6 s 引理得： 归= ( 筹庐+ 瓦o f + 互1 面0 2 f 盯2 s 2 ) 班+ 丽o f 盯s d w c 2 2 2 ， 构造投资组合i i ：卖出一份看涨期权，买入丽o f 份股票。 l - i = - - f + 丽o f s ( 2 2 3 ) 则 d = 一d f + 丽o f d sd j = ( 一箸一丢等内2 卜 ( 2 2 4 ) 因为上述公式中没有d w ，所以在d t 时间内i i 是无风险过程，因此有：d i i ：r i i d t 综合以上几式得： ( 箬+ 三筹内2 卜r ( f - 筹乎 仁2 脚 所以 等朋筹+ 秘2 等一 ( 2 2 6 ) ( 三) b s 期权定价公式 设欧式期权期限为t ，执行价格为k ，标的股票在时间t 的价值为& ，不定 权益c r = ( s r k ) + ，若& 满足几何布朗运动，即 d s t = 恤s t d t + o s t d w , 8 第二章权证概述和b l a c k s c h o l e s 模型 其中p ，盯是常数，则该期权在时间t 的价值 = s t 圣( d 1 ) 一k e 一( 丁一2 ) 西( 如) 其中圣是标准正态分布函数， d = l n ( s t k ) 瓦+ ( r 矛+ i a 2 2 ) 一( t - t ) d 2 ：l n ( s t k ) + ( r ：- ：a ：2 。2 ) ( t - t ) 口、7 t t 9 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 b l a c k s c h o l e s 模型的严格假设，使它过分理想化，而与现实世界相脱离，也 使它的应用范围受到限制，因此需要对b l a c k s c h o l e s 模型根据现实条件进行扩 展。对b l a c k s c h o l e s 模型扩展是从放松假设条件开始的，在1 9 7 6 年s c h o l e s 研究 了税金对b l a c k s c h o l e s 模型解析解的影响；l e l a n d 在1 9 8 5 年研究了有交易成 本的b l a c k - s c h o l e s 模型；t h o r p e 4 2 】在1 9 7 3 年考虑了存在卖空限制条件下，b l a c k - s c h o l e s 定价公式的变化。1 9 7 3 年m e r t o n 【3 3 】对b l a c k - s c h o l e s 模型进行了下述推广： 第一，假定股票支付连续的股利，且支付率为常数，从而修改了b l a c k s c h o l e s 模 型不支付股利的假设；第二，假定利率服从随机过程，修改了b l a c k - s c h o l e s 模型 常数利率假设；第三，假定股票价格运动过程服从跳扩散过程，即股票价格服从 几何布郎运动加上间断性的跳跃，跳跃服从p o i s s o n 过程，目的是反映股票价格的 突发的和巨大的波动，修改了b l a c k s c h o l e s 模型股票价格服从连续的几何布郎运 动的假设；第四，跳跃是非系统风险，因此没有风险溢价。 下面主要研究了有稀释效应的b s 模型、随机波动率模型和跳扩散模型。 3 1 稀释效应修正的b l a c k s c h o l e s 模型 ( 一) 发行认股权证的稀释效应 认股权证执行时，公司需要发行新股票，从而在各个方面对公司产生了影响， 这种因发行新股票而产生影响称之为稀释效应。如前所述认沽权证不存在稀释效 应，认购权证也不一定都有稀释效应，只有股本权证因为一旦执行需要有新股发 行上市，有新的股东产生，公司的股份增加，所以才有稀释效应。下面从几个方面 分析稀释效应对公司的影响： 1 对资本结构的影响 如果认股权证的期限为t ，发行份数为m ，每份可以购买的股数( 行权比例) 为7 ，执行价格为k 。假定时刻t 行权前公司的股票价格为s ，股票份数为， 债务权益为b ，则股本权益与债务权益的比例为酬b 。认股权证执行后的股本 1 0 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 权益增值为n s - i - m , k ，股本权益与债务权益的比例为( n s + m t k ) b ，认股 权证的执行使公司的资本结构发生了变化，公司的资本权益增加，公司的稳定性增 加；而公司的财务杠杆减小，财务风险减小。 2 对公司每股收益的影响 假定公司执行认股权证前税后利润为p ，每股收益为e = p n 。认股权证执 行后，当年每股收益率为e 7 = 尸( + m 7 ) ，显然小于认股权证执行前每股收益 率。权证执行一年或更久后，由于新资本投资项目在建设期导致利润实现的滞后， 很多情况下每股收益率很可能会小于认股权证执行前每股收益率。以后随着投资 项目的正常运作每股收益率会有所改变。 3 对公司股票价格的影响 假设公司在时刻t 行权前公司净资产为婚，则执行认股权证后公司净资产 为+ m 7 k ，设股票的新价格为，按不变的行业市净率 c ，+ m t k o2 可耳面f ( 二) 被稀释效应修正后的b l a c k - s c h o l e s 模型【2 5 】 假设公司在时刻t 之前只发行股票和认股权证，认股权证价格f ，期限为t ， 发行份数为m ，每份可以购买的股数( 行权比例) 为，y ，执行价格为k 。时刻t 行权前公司的股票价格为s ，股票份数为，若时刻t 行权前公司净资产为婚， 则坼= s + m f ，执行认股权证后公司净资产为许+ m = s + m f + m r k ， 设行权后股票的新价格为9 ，则 s | = v r + m t kn s + mf + m 1 k n + m 1n 七m 7 ( 3 1 1 ) ( 7 ( 等篇笋一k ) ，。) - 惫( s + 丙m f 咄。) ( 3 1 2 ) 应用b l a c k s c h o l e s 模型可以得到认股权证的定价公式： e = 志( ( + 万m f ) 酬_ g e - r ( t - t ) 圣c 如) ) 粥， 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 其中圣是标准正态分布函数， 坐堂雩等型型 加坐i n 堂驾等型型 3 2 随机波动率模型 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 3 2 1 随机波动率模型产生的背景 b l a c k - s c h o l e s 模型对标的资产价格的运动过程的描述与现实存在大的差异， 第一，实际的标的资产的对数分布比对数分布的峰度要尖的多，尾部也厚的多， 与对数正态分布不同，即存在隐含波动率微笑现象。o s b o r n e 3 5 】发现股票市场的 收益率呈厚尾分布。f a r n a 1 5 】发现收益率分布是左偏的，即在左边的尾部比右边 的尾部有更多的观察值，且存在收益分布的尖峰特征。第二，波动率存在的聚类 现象。这种现象的行为金融学解释是：第一，一些信息的出现不是以平滑连续的 方式，而是偶尔的以成堆的方式出现；第二，对连续出现的信息，人们的反映是 非线性的，即人们对趋势形成之前出现的信息常常会忽略掉，只有当信息超过临 界水平，才对信息以累计的方式作出反映。显然与有效市场理论的线性方式对信 息作出反映不同。所以以有效市场理论为理论基础的b l a c k - s c h o l e s 已不能准确刻 画资产收益的运动过程，需要对b l a c k - s c h o l e s 模型作出改进。 3 2 2h u l l & w h i t e 模型 h u l l & w h i t e 模型是波动率口和资产价格s 的随机信息源互不相关的随机波 动率模型【2 6 1 。 设权证价格为f ( s 盯2 ，t ) ，期限为丁，股票价格为s ，波动率为盯，v = 0 2 ， 且s 和y 分别满足下列随机微分方程： d s = ( s 盯，t ) s d t + a ( t ) s d w l d v = p ( 口，t ) v + ( 盯，t ) v d w 2 其中m ，是概率空间( q ，f ，尸) 下的相互独立的标准布朗运动 1 2 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 因为胍 s c h o l e s m e r t o n 随机微分方程的推导过程可得： 等+ 三i 矿s 2 丽0 2 f - _ i - 2 v 2 丽0 2 fi r f = 一r s 丽o f 一( p 一收) 盯2 万o f ( 3 2 3 ) 其中r 是无风险利率，k 是随机波动v 的市场风险价格。假定随机波动率相关 的风险不在均衡中起作用，则即k = 0 ，则上述随机微分方程可简化为： 箸+ 三l 仃2 s 2 丽a 2 f j l - 2 v 2 豢l r f = 一r s 丽o f 一矿丽o f ( 3 2 4 ) 引理：在风险中性环境下，若股票价格s 和波动率仃分别满足下列随机微分 方程 d s = r s d t + a s d w l ( 3 2 5 ) d a 2 = p 盯2 + f 盯2 d 乞 ( 3 2 6 ) 其中啊，是概率空间( q ，只p ) 下的相互独立的标准布朗运动，p 和与s 独立，r 是无风险利率。设 1，t 矿= 亭u 2 ( t ) d t ( 3 2 7 2 ) ，u 则 i n 器iv 服从正态分布，均值为r t 一字，方差为订。 在风险中性环境下，t 时刻期权价格必是t 时刻期权价格以无风险利率r 的 折现值，即 尸( & ，露，亡) - e - r ( t - t ) f ( 岛，露，t ) p ( 昂l & ，砰) d 岛 ( 3 2 8 ) 其中p ( 曲i & ，砰) = 给定时刻t 股票价格& 和波动率砰时岛的条件分布密度， e 【舅l & 】= & e 7 ( r 一) 。 设 矿= 去t 抽 ( 3 2 9 ) 在矿下的条件分布密度为夕( 岛j - ) ，矿在砰下的条件分布密度为h ( vj 砰) ， 则 p ( 曲i 盯；) = 9 ( 曲iv ) h ( vi 砰) d ( 3 2 1 0 ) 1 3 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 所以 设 则 f ( & ，砖= e 吖( 卜t ，( 曲) 夕( s t v ) 咿i 砰) d s r d v = r e 一，( t 一”f ( s ) 9 ( s t i v ) d 九( w i 盯y ) a v c ( 矿) = e - r ( t - off ( s t ) 夕( 曲i 矿) d 岛 f ( s t ，砖，亡) = f c ( v ) ( 矿i 盯；) 疗 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 由于 i n 器i 矿) 服从正态分布，方差为订，且s 和y 不相关，所以由b l a c k s c h o l e s 期权定价公式得： c ( v ) = s t 西( d 1 ) 一k e r ( t 一2 ) 圣( 如)( 3 2 1 4 ) 其中圣是标准正态分布函数， d 1 ：l n ( s k ) + 产( ：r + v 2 ) ( t 一- t ) ( 3 2 1 5 ) 、v ( t t ) d 2 ：l n ( s t k ) 1 + ( r - v 2 ) ( t 一- t ) ( 3 2 1 6 ) v v ( t t ) 虽然计算上式的解析解几乎不可能，但是当p = 0 ，是常数时，我们可以得 到矿的各阶矩b o y l ea n de m a n u e l ( 1 9 8 5 ) ： e ( y ) e ( _ 2 ) e ( _ 3 ) e 3 f 2 t 一9 e e 2 r + 6 f 2 丁+ 8 3 6 t 3 1 4 ( 3 2 1 7 ) 如汀 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证 根据t a y l o r 展式： 聃，仃s = 印= 1 扩0 a c _ c 抄矿一融矿) 刃+ 叫- - 2 1 舻0 2 c i 矿唧，+ 丢雾卜印， ( 3 2 1 8 ) 得： fcs盯2，=cc盯2，+互1一sxt-t西(d1)(dzd2-1)墨兰掣一盯4 + 1s 、凡圣7 ( d 1 ) 【( d l d 2 3 ) ( d l d 2 1 ) 一( 田+ 镌) 】 6 8 a 5 川l 坚坠坐篙竽型i + ， ( 3 2 1 9 ) 其中k = 荨2 ( t 一亡) ，且当f 2 ( t t ) 充分小时，上式快速收敛到o 。 h u l l 和w h i t e 将该方程给出的价格与b s 公式( 令b s 公式中的波动率等于矿 的平均值) 所给出的价格相比较，得出的结论是：b l a c k s c h o l e s 公式高估了处于 平价或接近平价状态的期权的价格，且低估了处于深度实值状态或处于深度虚值 状态的期权的价格。这与很多实证得到的股价分布是尖峰后尾相一致。 3 2 3 其他随机波动率模型和随机波动模型的评价 重要的随机波动率模型还有：w i g g i n s 模型 4 3 1 、s c o t t 3 1 】和s t e i n & s t e i n 模型 3 9 1 、h e s t o n 模型1 4 0 1 、c o x i n g e r s o l l r o s s 模型。 随机波动率模型可以很好地解释一些金融现象，但由于波动率是不可交易资 产，随机信息源多于风险资产的数量，与完备市场完全相反，所以随机波动率模 型是不完备的，不能得出与投资者风险态度无关的衍生证券的定价，因此也可引 入投资者的效用函数或风险态度等概念。根据衍生证定价的基本理论，市场不完 备等价于标的资产的等价鞅测度不是唯一的。 1 5 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 3 3 跳扩散模型 3 3 1 跳扩散模型产生的原因和背景 1 9 8 7 年美国股市的“黑色星期一 使人们发现，股票价格的变化规律除了连 续地、渐进地变化外，还会因为某种特殊的政治、社会、经济、或心理的因素发生 剧烈地跳跃，认为股票价格的变化过程只服从随机过程已不能反映股价变化的全 部过程，所以引入跳扩散过程。 实证研究中发现的股票收益分布的不对称尖峰特征，即左偏加两个厚尾；内 含波动率微笑，即内含波动率曲线是敲定价格的凸函数等也表明b l a c k s c h o l e s 模 型及其扩展都已不能刻画这一现象，而且除了标准欧式期权，其他的新型期权都 很难得到解析解。 实证检验也证明双随机扩散模型，即在资产收益服从随机运动，波动率服从 与收益随机源相关的随机运动过程的假设下建立的模型，在对权证定价时会产生 无法消除的系统性定价偏差，为了消除定价模型的系统偏差，有学者提出有随机 过程加跳过程来描述资产的价格过程。跳扩散模型的研究进程是依以下脉络前进 的：首先有股价服从对称跳扩散模型提出，然后有股价服从不对称跳扩散模型提 出，后来又有股价和波动率都服从对称跳扩散模型提出 4 6 1 。下面是关于这些模型 的讨论。 3 3 2m e r t 仰跳扩散模型 定义：若五满足随机微分方程 d x t = p ( x t ，o a t + 盯( 咒，t ) d w , + t ，( 五，t ) d q t 其中p ( z ，t ) ，口( z ，t ) r r + ，j 是跳跃幅度( 即对于足够小h 0 ，x 在时刻t 和时刻t + h 之间发生跳跃，且五+ _ l = 五+ j ( 五，t ) ) ， m ) t o 是空间( q ，f p ) 下的标准布朗运动， q ) t o 是密度为入的p o i s s o n 过程，且w 和q 相互独立。则 称( 托) t o 服从跳扩散过程 1 9 1 。 1 6 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定价模型 设，是兄上的二阶连续可微函数，如果j = 0 ，则e h i t 6 s 引理知f ( x t ，亡) 满足下列随机微分方程： 缈= ( 袅觚+ 筹( 刖+ 三筹以酬卜面o f 慨d m ( 3 3 - 1 ) 方程两端取数学期望得： e 酬= ( 否o f z ( 五+ 瓦o f ( 五+ 三豢盯2 ( 五) 出 ( 3 3 2 ) 若j 0 ，则跳跃信息对j = 0 时d f 的数学期望产生的增量为： a e j f ( x + z 亡) 一f ( x ，亡) 班( 3 3 3 ) 其中e j 表示已知跳跃幅度j ( k ，亡) 时的条件数学期望。所以j 0 时 e d 4 = 旧o f ( 剐) 十o 优f ( x t , ，- 10 2 f 矿( 剐) + 旭彬( x + 删叫刖 ) 出 ( 3 3 4 ) m e r t o n 假设股票价格服从一个几何布郎运动再加上一个价格的跳跃过程，这 个跳跃过程服从p o i s s o n 分布【3 3 】。定义p 为股票的预期收益率，盯为几何布郎运动 的波动率，入为单位时间内跳跃发生的频率，为平均跳跃幅度占股票价格上升 幅度的比率。由于跳跃带来的平均增长率为a ，由几何布郎运动带来的预期收益 增长率为肛一入y 。股票的价格服从如下跳扩散过程： d s = ( p a u ) s d t + a s d w4 - s d q ( 3 3 5 ) 其中是概率空间( q ，ep ) 下的标准布朗运动，q 是密度为入的p o i s s o n 过程， 且w 和q 相互独立。 此时q 可以表示为： ( t ) q ( o = ( 巧一1 ) j = t 其中m ，k ，是独立同分布的随机变量，n ( t ) 是计数过程。若记是第n 次跳 跃发生的时刻，则 0 n 7 2 1 7 第三章b l a c k s c h o l e s 模型的扩展与认股权证定 且 0 ，t 】发生跳跃的次数 n ( t ) = s u p n