（概率论与数理统计专业论文）一类矩型估计量的渐近收敛性.pdf

独创性声明 学位论文题目：二耋矩型值让量鳆蝗筮蝰 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特j ；, j ；h n 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 通讯地址： 导师签名：勘乍吁 签字日期：二产中! 目) 日 电话： 邮编： 日 月向去祉年蜥 一 签 毕 一 者 者 一 作：作： 文期文位论日论单位字位作 学签学工 摘要 设( j 0 ，n 1 为独立同分布随机变量序列，公共分布函数为f ( x ) x ( 1 ，。) x ( 2 。) x ( 。，。) 为x l ，恐，的顺序统计量若存在 a n 0 ，k r 1 r 和非退化分布函数q ( z ) ，使得当n o o 时 p ( 半剑= p ( a n x + h ) 一q ( 司 则称g ( z ) 为广义极值分布函数此时称分布函数f ( x ) 属于吸引场 g ，( 。) ，1 称为极值指数，记为f d ( q ) 当分布函数未知时对极值 指数1 的估计构成了极值理论的重要组成部分本文在矩型估计量的 基础上提出了一类新的矩型估计量 = ( 5 一批譬) 。1 其中 一 一1 1 - 螂。i 釜1 0 9 五n - , , n ) - l o g x ( n - k n ) = 且 女：( n ) 一o 。，塑一0 本文的第一部分讨论了其强弱相合性，并在一定条件下证明了它的 渐近正态性，第二部分在二阶正规变换条件下讨论了估计量的展开及分 布的渐近正态展开，最后通过随机模拟对新的估计量和矩型估计量进行 了模拟比较分析 关键词：矩型估计量；正规变换函数；强弱相合性；渐近正态性；顺 序统计量 a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fak i n do fm o m e n t t y p ee x t r e m ev a l u ei n d e xe s t i m a t o r m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c ss p e c i a l i t y ；p r o b a b i l i t y t u t o r ，p r o f p e n gz u o x i a n g a u t h o rl w a n gs h u f i a n g a b s t r a c t l e t x ，1 isn b ea ni n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s w i t hc o i i u n o nd i s t r i b u t i o nf ( z ) ，a n dx 1 ns 。矗，nb et h ea s s o c i a t e d o r d e rs t a t i s t i c so fx l ，x 2 ，五1 i ti sw e l lk n o w nt h a ti ft h e r ee x i s tc o n s t a n t s 0 ，k 月，s u c h t h a t p f 茎! ! ：型二生 a n ) = f “( n 。z + b n ) _ + g 1 ( z )( 札一o 。) g 1 ( z ) i sc a l l e de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o nw i t he x t r e m ev a l u ei n d e x y ，a n d f ( x ) i ss a i dt ob ei nt h ed o m a i n so fa t t r a c t i o n so fq ( z ) ，d e n o t e dn sf d ( g 1 ) e s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r7h a sb e c o m ea l li m p o r t a n tp a r t i ne x t r e m e v a l u et h e o r ya sf ( x ) i su n k n o w n i nt h i sp a p e r ，an e wk i n do fm o m e n t - t y p e e s t i m a t o ri sp r o p o s e d ，d e n o t e da s = ( 5 舭警) “ w h e r e 峭k i 1 l 。g x ( 怖) 一l o g x ( n - k , n ) ，j = 1 ，2 七：七( n ) 一o o ，型一0 t h ea r r a n g e m e n to ft h i st h e s i si s ：i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，a s y m p t o t i c p r o p e r t i e ss u c h 够w e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no f h a v eb e e nc o n s i d e r e du n d e rs o m ew e a k l yc o n d i t i o n s t h ee x p a n s i o n so f 饥a n d i t sd i s t r i b u t i o na r ed i s c u s s e di nt h es e c o n dp a r tu n d e rs e c o n dr e g u l a rv a r i a t i o n c o n d i t i o n s l a s t l ys o m ec o m p a r i s o no f a n dm o m e n tt y p ee x t r e m ev a l u ei n d e x e s t i m a t o rp r o v i d e db yd e k k e ma n dd eh a a na r eg i v e nb ym o n t ec a r l os i m u l a t i o n k e y w o r d s ：m o m e n te s t i m a t o r ；r e g u l a rv a r y i n gf u n c t i o n ；w e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c y ；a s y m p t o t i cn o r m a l i t y ；o r d e rs t a t i s t i c s 2 第一章引言和预备知识 1 1 前言 设 x 。，n l 为独立同分布随机变量序列，公共分布函数为f ( x ) 置- ，。) s 五2 。) x ( 。，。) 为x 1 ，恐，的顺序统计量若存在a n 0 ，k r ， 使得当竹一o o 时，有 p ( a ( n , , 一, ) - - o ns z ) = f n ( n 。z + k ) g ( z ) z r ( 1 1 ) 对某非退化的分布函数g 成立，那么g 必是下列三种分布律型之一 ( i ) 饥( 。) = e x p o , x ( 0 以上三种分布律型分别对应g ，( z ) 在7 0 ，y 1 是实数，k l 0 时，h i l l ( 1 9 7 5 ) 提出了h i l l 型估计 量； 铲= i 扎n ) 一 n 吨n ) ) ( 1 4 ) ( 1 0 9 x l o gx ( 其中 t ：( n ) o o ，丛生。0m 。o 。) h i l l ( 1 9 7 5 ) 证明了h i l l 估计的弱相合性，h a l l ( 1 9 8 2 ) 证明了h i l l 估计的渐近正 态性，彭亮，祁永成( 1 9 9 7 ) 在二阶正规变化条件下。证明了h i l l 型估计量的渐 近分布只能是正态的，并且给出了渐近正态的充要条件f r a g aa l v e s ( 2 0 0 1 ) 提出了一种位置不变的h i l l 型估计量为 ：= 瓦1k 缶o - i - ，g ( k o 1 l o g 蓑x ( n - i , n ) - - 裳x ( a - k 幻。) i ( 1 s ) ，。) ：。瓦缶1 饰制_ 础。i ( 1 5 ) 5 k o o ，七o - o o ，i k o ，i k o o - - o o )n尤 f r a g aa l v c s ( 2 0 0 1 ) 证明了该估计量的弱相合性，给出了其渐近展式，并对的 彭作祥( 1 9 9 8 ) 提出了1 0 ，毋l ，。) se ( 2 ，。) 且。) 为其顺序统计量 2 设y l ，k ，k 独立同分布于以( f ) = l 一口，y21 的序列，y 1 。 k 。曼k 。为m ，k ，一，k 的顺序统计量 3 记“兰”、“o ”“厶”、“竺；”分别表示”同分布”、”依分 布收敛”，”依概率收敛”几乎处处收敛” 4 记u = ( i 与) ，则 x h i s 。= d c ，( k ) ) i o ，k ( 。) 0 使得对任意的z 0 有 ( i ) 当7 0 时， 南 哿刁 一獬o o o )( 1 1 4 ) 7 ( i i ) 当7 0 ，k r ， 和某1 r 使得( 1 1 ) 成立，对极值指数的估计d e k k e r s ，e i n m a h l ，d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 提出了著名的矩型估计量( 1 7 ) ，本文在矩型估计量的基础上给出了一类新的矩 型估计量， = ( 抄) 5 小筹) 一 仁- ， 本章将讨论了其强弱相合性并在一定条件下证明了它的渐近正态性 2 2 估计量的相合性及渐近正态性 首先给出几个引理： 引理2 2 1 假定c ，( t ) = 【由 一( ) = i n f z ：t = 南t ) ， e 为服从指 数分布的独立随机变量序列，且l ，。) e ( 2 ，。) s 且。) 为其顺序同计量。其叮 ( x l ，拖一，矗) 兰( u ( e 晶) ，( e 岛) ，u ( e 晶) ) 证明：参见文献| 4 1 引理2 2 2 假定“u 成立且矿= s u p ( x ：f ( x ) 0 ，则存在正的函数 o ( ) 使得， l i m l o g u ( t x ) - l o g u ( t ) ：j l o g x ，7 o t 一可丽矿。1 华，7 0 成立且对任意的 0 ，存在t o ，使得对t t o ，z 1 有下面 结论成立 120 时， ( 1 - - e ) 竿一s l o g u 耵( t x ) - l o g u ( t ) ( 1 刊等( 2 2 ) 1 0 时， ，一c t + e ，+ 言 吕篙：篇 0 时，士一1 u ( t ) l i ( b 1 ) b l 为正的函数 ( i i ) 1 = 0 时，存在正的函数b 2 ，b 3 ，( b t ( t ) 一a ( t ) u ( t ) ，t 一) 使得 恕型坠掣笋型堕= 士t ( 1 0 9 x ) 2 t o o 如l tjz ( 俐) 1 0 时，k ( n ) = o ( n 9 1 n ) ) ，g ( t ) = t x - 钾 u ( t ) b x ( t ) 2 ( ) 7 = 0 时，k ( n ) = o ( n g m ) ) ，g ( t ) = t 磋( ) 嵋( t ) ( 们) 1 0 时 当1s0 时 咱，一mn(2) 刊7 ，) 三( ( ：) ，8 1 1 8 1 州7 净纛7 。 砷净尚”刎小。 f ( t ) = a ( 1 1 一f ( e x p t ) ) l u ( 1 l f ( e x pt ) ) 巨 ( 1 一，y ) 一2 ( 1 2 7 ) ， 4 ( 1 7 ) 一2 ( 1 2 ，y ) 一1 ( 1 3 ，y ) 一1 ， 4 ( 5 1 1 3 , ) ( i 一1 ) 一2 ( 1 2 7 ) 一2 ( 1 3 1 ) ( 1 一钾) 1 0 而 ”忑磁瓦 一昭 白 俪 舯 ， ，o l 4 2 = i l = 1 1 l 2 s s s ，-，、k 证明：参见文献( 3 1 定理3 1 引理2 2 4 如果引理2 2 3 的条件满足，且当1 = 0 时有， k ( n ) = o ( n g i - ( n ) ) ，g l ( ) = ，( ) 肛( f ) ) 2 则v r f f 两 一a y 。m 一1 依分布收敛于均值为0 ，方差为 f1 + 1 2 ，7 0 1 ( 卜7 ) 2 ( 1 2 7 ) 4 8 高+ 甓耥) ，7 0 ，0 1 ，1 0 ，由引理2 2 2 ，对充分大的n 有 丛： 。( k 。吨。) ) u ( y c 。咄。) ) 7 南警1 l o g ( 毪批砘n ) ) - l o g u ( y ( 枞n ，) ) 一 n ( k 。一i ，。) ) u ( k 。一k ，。) ) 1 ) 的独立随机变 量序列埒，埒的第( n 一，) 个次序统计量，由引理2 2 5 对任意的0 e 6 2 ( 1 + 扪 熙唧丽高而 撬耐丽高而 。+ ( 1 + 。) 上- f 未- 1 硝叫肇掣一。 因此 熙磊高= n s r = 2 时，类似于r = 1 的情形对任意的0 6 2 ( t + 5 ) 有 su。丽南 0 时。n ( f ) 一7 u ( ) ，且7 = 0 时，器一0 ( t 一矿) ，因此 l i m o 1 m ：2 ，1 l 2 ：7 。s - ( i i ) 7 0 ，由引理2 2 2 ，对充分大的n 有 丽薄 南喜1 叫慧) n s 而丽百五面研 丽缶1 1 【l 叫索翥j m 8 由于瞄。，为公共分布函数为i x 1 一什5 ( o z 1 ) 的独立随机变量序列 球1 。 ，蛾1 1 的第o + 1 ) 个次序统计量，由引理2 2 5 ，对任意的 0 时，不妨取a ( t ) = ：7 一u ( t ) ， 因此 且 1 z m ( 2 ) 由文献 3 】茗舟jl i mm ( 1 呈7 ，。l i m 。等m 赢( 1 f 2 = p 丽a ( y ( n - k , n ) ) ( i + 丝2 ) ； “l r ( 4 一，n ) j 7 + j 熹圳。7 狐q ，) 佩 一7 i = 俪 ( ；蟛) ) l 虬1 ) 以丽 一警) 一警 = j 骗+ ( 孚)4 ”4 。南g 一警r - 一警 三( j + ；) q - 2 p 由引理2 2 2 ，结论成立 第三章估计量分布的渐近展开 第二章中已经讨论了强弱相合性并在一定条件下证明了其渐近正态性，本章 将给出估计量的分布的渐近展开式，这种展开式可作为衡量估计量优良性的一种 途径，利用他们对极值理论相关问题可作出更为精确的推断 3 1 估计量分布的渐近展开 下面给出基本引理，首先做如下记号，记 焉= 譬l o g k 一1 q ：= ；k - o i l 0 9 2 k 一2 p n = i 1 ；k - - o i ( i f ) + 者 q 。= 。k ：- o i ( 1 一甲) 2 一丌辐 f ；1 2 + 1 + 1 ， 。 ，y o ； 矿“卜1 ( 1 刊z ( 1 2 堋一8 高+ 踹】，7 o ； 南6 ( ) + 踹 ，y = o ； 牿端6 ( t ) 一而靠葡l 。g 帮，7 0 时，u ( t ) 满足化4 ，则； = 1 + 阻抛一。焉 + 杀舞一布舞卜 一；+ 唧( 一) + 0 p ( 6 ( n n i ，1 = 0 时，u ( t ) 满足以l e ) ，则： 饥= ( 卅+ 譬) + 端+ 南咖脚一；圳( 6 ( 叭) ) 1 8 汁 扣 铣 也 + + 危 ，_l-iij-_l-l ( i i o 1 0 的情形，由( 1 1 4 ) 有 l o g 哿刮o g z + 6 了x p - 1 ( 1 + 0 ( 1 ) ) l o gx ( 。吨。) ) 仙s 糕恤 + r 蔓! 土型、9 一 、k h 】 p a c k 。一一。，c - + 。t c - ， ) 兰；孙b 帆斟+ 竿悱如肌，) 所以 磁1 皇7 + 7 焉+ 吉6 ( ；) + 。( 6 ( ；) ) m 导 掣p 1 h 以圳 2 p i 2 1l o gl 。一，。) ! ：i ：! 二! ：；! 1 6 ( 1 1 。一t 。) ) + 。，( 6 ( 1 。一t ，。) ) ) 2 冉倒+ 柳尚6 ( 抄d ( 6 ( 劬 盟叭 u 可 曙 + + 一 竺如 叫 坠址 以一叭 昏 昭 ，、 = 1 一七 1 一七 学 一驴 坠吣 叭一 卜 ，if-f、ll c i l 一七 = c i l 一后 l 一七 d 1 1 ； = ( 抄) 5 兰卜缸+ 7 尚s c ；，+ ? 似州 = 1 - + 1o + 两1 而2 - pa ( 抄d p ( 6 ( 耕 ( 聊) 2 7 + 1 焉+ 南a c 抄枷c 坷 f + 柳2 磁+ 毛6 ( ；) + 唧( 6 ( ；) ) + 7 2 ( 焉) 2 蟛一( 螂) 2 兰2 1 2 + 1 2 识均尚6 ( 抄d p ( 6 ( 劬 一( 7 2 + 铆2 碟+ 主毛6 ( ；) + o p ( 6 ( ：) ) + ，( 碟) 2 ) = n 1 2 q ：- 2 y 2 磷伯尚6 ( 抄哪( - - , , f 2 ( 搿 孵一2 ( 哦1 ) 2 = d 2 7 2 + 1 2 识 所以 + 。7 研2 - p 。( 抄哪 一。3 2 + 2 7 2 焉+ 鲁6 ( ；) + 0 p ( 嘞“( 搿) = 7 2 识一钾2 焉+ 百弩舞6 ( ；) + ( 6 ( ；) ) - 2 7 2 ( 职) 2 = ( 抄) 5 + 兰1 ( - + 譬+ 两1 尚。( 抄( 纠 1 2 q o 一4 1 2 职+ i 雩 b 、n 。) + o p ( 6 ( ；) ) 一2 7 2 ( 焉) 2 2 - f 24 - 2 1 2 q ：一钾2 焉+ n 一。l b n ， l + 。p ( 6 ( ；) ) 一2 7 2 ( 焉) 2 = 1 + 睁独一z 叫+ 者寺一布舞k ， 一( 3 碟q ：一i 1 ( 联) 2 5 ( 焉) 2 ) + 0 p ( 6 ( ；) ) = 1 + 隆抛一z 小 尚一布并k ， 一i 3 + o p ( k 一1 ) + d p ( 6 ( ；) ) 即 ( i i ) 7 = 0 的情形，由( 1 1 6 ) 有 恕南 警擀卜晰= 等恕丽1 百而而厂，u 叫一厂 1 0 似刎一i o g ) = 器 1 0 9 外等即) ( 1 + d ( 1 ) ) ) 础= ( 1 0 9 x ( n - - $ , n ) 一l o g x ( 皇：o o g v c y ( n - i , n ) ) 一l o gu ( y ( 椭) ) = 萎( b 烈呵y ( n - i , n ) - t o gu ( y c 一硝 ：；蒌( 捌) ( b 。弱y ( n - d , n ) + 学怕m m 州，) 所以 珊，兰制摧l o g y ( k - l , k ) + ；篓竽悱枷以州) ) = 揣 磁南蝴似叭，) ) 刈( 测) 2 ：* 丽y ( n - i , n ) + 学心枞川m 圳) 2 ：( 剿) 2 ：芸 鬟融，；产s 糍哔椭川) 皇( 畿高) 2 i 1 k - it 幽州 + ( 蒜黜) 2 i 1 薹k - 1z - 酶埘照! 心n - k , n ) ) + o p ( b ( 劫， = ( 器) 2 q o + z + 矧州咖川) ) ( 删) 2 兰( 器) 2 焉南脚+ d p 【咖，) 2 ：( 器) 2 z 磲( 硝+ 南晰川圳蝴，) ) 磺叫2 望( 器) 2q o 掣蜘m + 0 p ( m ) ) 一( 耥) 2 z 碟( e b 2 + 南跏脚圳a c 删) = ( 端) 2 1 + 弘卿z ( 尚一击) 坳。 一( 瑚2 + ( 6 ( n ) ) ) 群一2 f 础1 。 皇( 瓿严碑一4 碟+ ( 捌一南) 坳心一( 焉) 2 + o p ( 6 ( 叭) ) ) 所以 ：( 圳+ 篆辫 兰( 耥) 碱0 + 器晰脚圳w ，) ) q ! 一竺【型二鱼也塑二婴! 型! 型； + 币2 而q , o 矗2 五p 2 习2 禹f 习一b ( n k ) 一( 焉) 2 + o ，( b ( n k ) ) )。( 1 十一+ ( 器一南) 一( 焉) 2 + ) ) ) 一( 删+ 譬) + 嬲十南咻+ 丽a ( n l k ) q i ： + ( 3 焉q ：一1 - 。o - 25 ( 殿) 2 ) 卯( 叭) ) = ( 叫+ 譬) + 揣+ 南蜥川一i 3 十d p ( 一( 6 ( 叭) ) r 矗 肚 吖 m m 腿 w m 联 一一一 哦丁盟。 删一一删一一 即 ( i i i ) 7 0 时 当1 0 时 e a l ( 1 ) = ( 1 + 2 ) 一2 e ( a l ( 1 ) ) 2 = i ( 1 + 2 ) 2 6 ( ，y + 2 ) + 8 e ( a 1 ( 1 ) ) 3 = 等( 7 + 2 ) 3 4 5 ( 7 + 2 ) 2 + 7 2 ( 7 + 2 ) 一4 8 e a l ( 1 ) = 2 e ( 1 一r 1 ) + 与争e ( 1 一 e ( a 1 ( 1 ) ) 2 = 4 e ( 1 一r 1 ) 2 + 2 与字e e ( a l n ) ) 3 = 8 e ( 1 一r 1 ) 3 + 6 与争e 其中r 1 = 甲经计算整理得证 j r l ) 2 ( 1 一 ( 1 2 6 尺一 e 尘计 + 。 鼢m 一 ，以 刳旧 ，6 十 + 尸r r r 3 2 数据模拟 本文给出了一种新的矩型估计量，下面对该估计量与d e k k e r s 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 的矩型估计量进行模拟比较分析随机模拟p a r e t o ( 1 ) 分布，正态分布和【0 ，1 】上 的均值分布样本容量为1 0 0 0 ，试验次数为1 0 0 0 由模拟结果知( 见表一和图 1 一图3 ) ，当所给分布为p a r e t o 分布和( 0 ，1 ) 上均匀分布时。本文提出的极值指 数的矩形估计量在估计值和最小均方误差意义下均优于d e k k e r s 和d eh a a n 提 出的矩形估计量，但对标准正态分布。d e k k e r s 和d eh a a n 的矩形估计量优于 新的矩形估计量也正是由于在所有的文献中，尚未能寻找到最优的极值指数估 计量，显示出此领域研究的魅力 表一t 均方误差意义下新的矩型估计量的模拟比较分析 1，y m s e ( ) o 9 5 7 9 “0 0 1 4 2 “ p a r e t o ( 1 ) 1 o ，9 6 9 0 m m m 0 0 2 0 9 ”。，“ 一0 0 6 6 1 钟0 8 5 6 2 删埘 n o r l t l a lo 一0 1 1 2 8 一 0 8 0 1 3 ”9 ” 1 0 2 4 9 傩埘o 0 1 8 3 他 u n i f o r m1 一1 0 2 4 7 m 。m 。“0 0 2 3 6 m “ 图l ：p a t e t o ( 1 ) 分布的n e w m o m e n t 估计与矩型估计的模拟分析 注：1 ；l , p a r e u ) ( 1 j 分布( f 1 fj = 1 一旷1 ) ，y 1 样本容量为1 0 0 ( ，实验次致为l i h n j 注t = o ，样本容量为l o ，实验次数为1 0 0 0 洼： ；o ，样本容量为“j c 】fj 实验次效为z ( x ) o 0 k 参考文献 【l 】h i l lbm as i m p l eg e n e r a la p p r o a c ht oi n f e r e n c ea b o u tt h et a i lo fad i s t r i b u t i o n 【j 1 a n ns t a t i s t ，1 9 7 5 ，3 ：1 1 6 3 - 1 1 7 4 1 9 9 8 f 2 1 2p e n gz u o x i a n g c o n v e r g e n c ef o rak i n do fh i l le s t i m a t o r j j o u r n a lo fs o u t h w e s t n o r m a lu n i v e r s i t y , 1 9 9 8 ，2 3 ：1 3 3 - 1 3 7 【3 1 d e k k e malm ，e i n m a h ljhj ，d eh a a nl am o m e n te s t i m a t o rf o rt h ei n d e xo fa l l e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n j a n ns t a t i s t ，1 9 8 9 ，1 7 ：1 8 3 3 - 1 8 5 5 【4 】p a nj i a z h u a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fe x t r e m ev a l u ee s t i m a t i o ni d l b e i j i n g ：p h d t h e s i s ，p r o b a b i l i t ys t a t i s t i c sd e p a r t m e n t ，p e k i n gu n i v e r s i t y , 1 9 9 5 ， 【5 】a f e r r e i r a ，ld eh a a na n dl p e n g ( 2 0 0 3 ) o no p t i m i s i n gt h ee s t i m a t i o no fh i 【g h q u a n t i l e so fap r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s t a t i s t i c s 3 7 ( 5 ) ，4 0 3 - 4 3 4 【6 1 j o nd a n i e l s s o n ，l a u r e n sd eh a a n ，l i a n gp e n ga n dc a p s e rg d ev r i e s ( 2 0 0 1 ) u s i n g ab o o t s t r a pm e t h o dt oc h 0 0 s et h es a m p l ef r a c t i o ni nt a l li n d e xe s t i m a t i o n j o u r n a l o fm u l t i v a r i a t ca n a l y s i s7 6 2 2 6 2 4 8 【7 】d a v i sr a n dr e s n i c ks1 嘶le s t i m a t e sm o t i v a t e db ye x t r e m ev a l u et h e o r y j a n n s t a t i s t 1 9 8 4 1 2 ：1 4 6 7 - 1 4 8 7 8 】d eh a a nl ，s t a t m f i l l e ru g e n e r a l i z e dr e g u l a rv a r i a t i o no fs e c o n do r d e r a u s t r a lm a t h s o c ，1 9 9 6 6 1 ：3 8 1 3 9 5 9 1 j o h ns e g e r s g e n e r a l i z e dp i c k a n d se s t i m a t o r sf o rt h ee x t r e m ev a l u ei n d e x j s t a t i s t p l a n n i n f c r e u c e ，2 0 0 5 ，2 ：3 8 1 3 9 6 【1 0 d eh a a nl e x t r e mv a l u es t a t i s t i c s i n ：g a l a m b e s s ，e ta l ，e d s ，e x t r e m ev a l u et h e o r y a n da p p l i c a t i o nn e t h e r l a n d s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 4 9 3 - 1 2 2 ， f 1 1 】p i c k a n d sj ，s t a t i s t i c a li n f e r e n c eu s i n ge x t r e m eo r d e rs t a t i c t i e s j a n ns t a t i s t ， 1 9 7 5 3 ：1 1 9 _ 1 3 1 【1 2 lq iyc ，c h e n gs h ，c o n v e r g e n c eo fp i c k a n d s - t y p ee s t i m a t o r j c h i n e s es c i e n c e b u l l e t i n ，1 9 9 2 ，3 7 ：1 4 0 9 - 1 4 1 3 f 1 3 1d eh a a nla n dr e s n i c ksi as i m p l ea s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h ei n d e xo fas t a b l e d i s t r i b u t i o n j r o y s t a t i s t s o c s e r b 1 9 8 0 4 2 ：8 3 - 8 7 【1 4 1 d e k k e r sa l m ，d eh a a nl o nt h ee s t i m a t i o no ft h ee x t r e m e - v a l u ei n d e xa n d l a r g eq u a n t i l ee s t i m a t i o n j a n ns t a t i s t 1 9 8 9 1 7 ：1 7 9 5 - 1 8 3 2 【1 5 1 h a l l po ns o m es i m p l ee s t i m a t e so fa ne x p o n e n to fr e g u l a rv a r i a t i o n j r o y s t a t i s t s o c s e t b 1 9 8 2 4 2 ：3 7 _ 4 2 【1 6 1h a u pa n dw b l s ha h a d a p t i v e e s t i m a t e o f p a r a m e t e r s o f r e g u l a r v a r i a t i o n j a n n s t a t i s t ，1 9 8 5 ，1 3 ：3 3 1 3 4 1 1 7 】m a s o ndm l a w so fl a r g en u m b e r sf o rs n n l so