（理论物理专业论文）带边界条件经典场正则量子化研究.pdf

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j a c k i wm e t h o df o rc o n s t x a i n e d s y s t e mw e r e i n t r o d u c l f i r s t l y w e 锄m i y s c dc a n o n i 隰l q u a n t i z a t i o no fc o m p l e xs c a l 铷 f i e l dw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n sb yd i r a cm e t h o d 1d e v o t e dm a i np a r tt ot h e s t i l d yo ff a d e e v - j a c k i wm e t h o di nc a n o n i c a lq u a n t i z a t i o no f c l a s s i c a lf i e l dw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s m a k i n gv a r i a t i o nf o rt h ea c t i o no fc o m p l e xs c a l a rf i e l d , w eg e tt h em o t i o ne q u a t i o na n db o u n d a r y c o n d i t i o n s d e f i n i n gt h ef o u r i e rm o d e s 勰s y m p l e c t i ev a f i a b l e s ，w ec a nw r i t eo u ti a 毋训l g 妇nf u n c t i o nb yt h e s y m p l e v z t i ef o r m a n dt h ec o 蚴u t a t o r sc 柚b eg e tc o n v i e n e n f l y t h ec a s i m i re n e r g yo fc o m p l e xs c a l a rf i e l d h a sb e e n a n a l y s e d m a k i n gv a r i a t i o nf o rt h ea c t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，w eg e tt h em o t i o ne q u a t i o na n db o u n d a r y c o n d i t i o n s d e f i n i n gt h ef o u r i e rm o d e sa ss y m p l e c t i cv a r i a b l e s ，w ec a nw r i t eo u tl a g r a n g i s nf u n c t i o nb yt h e s y m p l e c t i cf o r m a n dt h ec o m m u t a t o r sc a nb eo b t a i n e d m a k i n gv a r i a t i o nf o rt h ea c t i o no fs p i nf i e l d ，w eg e tt h em o t i o ne q u a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n s d e f i n i n gt h ef o u r i e rm o d e sa ss y m p l e c t i cv a r i a b l e s , w ec a l lw r i t eo u tl a g r a n g i a nf u n c t i o nb yt h es y m p l e c t i c f o r m a n dt h ec o m m u t a t o r sc a l lb eo b t a i n e d t h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo ff i e l dw i t i lb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v eb e e ns t u d i e d 。w ec a l c u l a t e dt h es c a t t e r i n g m a t r e s so fm o i l e rs c a t t e r i n ga n dc o m p t o ns c a t t e r i n ga n db a h h a m as c a t t e r i n g k e y w o r d ：c a n o n i c a lq u a n t i z a t i o n ，c o n s t r a i n t ，b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，f o u r i e rm o d e s 2 第一章前言 通常的量子场论只研究无限体积的经典场量子化的问题，没有考虑时空约束但是实际的场总是 、， 有一定的体积限制，即具有特定的边界条件边界条件会引起很多奇特的量子特性。比如在材料科学 里面，经典的固体理论是把材料看做由金属离子形成一个周期性的点阵，而电子就在这个点阵的周期 性势中运动，波函数取的是周期性边界条件，此时整块材料的性质是一样的，没有局部差异，表面和 内部也没有什么不同，如果我们需要分析材料内部小尺度结构比如缺陷和杂质，或者材料的表面活性 时，一般的说，如果研究纳米尺度的材料性质时，就必须考虑波函数的具体的边界条件。再比如在o e d 中，通常的q 班i 研究的是没有时空束缚的过程，亦即没有边界。没有外场，也没有任何空间压缩。但 是很多有趣的物理过程涉及到有边界限制的光子和电子，以原子白发辐射为饲，这个过程是由于电磁 场真空振荡中的原子中束缚电子耦合的结果，电子处在自由空间。然而在腔中，真空电磁场的模会发 生改变，其直接结果是自发辐射的速率改变并与位置有关( s h a r o c h e ，e t c , 1 9 9 3 ；p w m i l o n n , e t c ，1 9 7 3 ， m r p h i l p o t t 1 9 7 3 ) 【3 3 ，t , 2 6 1 。 原子- 腔相互作用对原子自发辐射的影响只是很多q e d 边界效应中的一个，早在1 9 4 8 1 z 间，c a s i m i r 和p o l d e r ( h b g c a s i m i r , 1 9 4 8 ) 【“j 就研究了极化原子与金属壁问的相互作用随后c a s i m i r 研究了两 个无穷大金属超导平面间电磁场( h b g c a s i m i r , 1 9 4 8 ) i t 2 ，发现两个仃的金属平面相互吸引， 这种吸引来源于两平面间真空电磁场正常模的重新分布。近来人们又发现，如果一个平面口一0 0 而另 外一个s _ ，两平面尖表现出一定的排斥力( o k e n n e t h ，e t c ，2 0 0 2 ) i 2 s 实验上，两金属表面的c 缸i m j r 效应首先是s p 帅a a y 【m j s p a m a a y , 1 9 5 8 “i 观察到的，后来由l a l r c l ( s k l a m e r e a u x ，1 9 9 7 ) 1 3 4 1 以及 m o h i d e e n 希l r o y ( u m i d e e n , 1 9 9 8 ) 【3 7 】得剑1 # 常精确的结果。近米j a 疵和s c a r d i c c h i o 通过几何光学的方 法也观察到了q l 血l i r ：牧应( r l j a f f e ，2 0 0 4 ) 1 3 2 1 。c a s i m i r 力在空间科学研究中非常重要。 q e d 另一个有趣的现象是s h 锄h o r s t 效应( k s c h a r h o r s t , 1 9 9 0 ；g b a r t o n ，1 9 9 0 ) t 9 , 1 0 ，它是在类c 豳i i n i r 平面中，量子化的电磁场真空能量密度改变，导致光速移动。 有边界条件的经典场的量子化，实质就是如何处理边界条件。通常而吉，这些边界条什是场变颦 和他们的正则动量或者是它们的空间导数的代数方程，在一些特殊情况下，还有可能包含场变鼙和正 则动量的时间导数，这时必须要对标准的经典p o i s s o n 括号进行修改，使修改后的p o i s s o n 括号在空间内 部和标准的p o i s s o n 括号一致，在边界上能够和边界条件相容，这样才能自洽地做止则量子化。边界条 3 件用d i 珊语言【m m 嗽1 4 l 冽说就是相空间中的约束，然而，这种约束和传统的由奇异拉氏量而引起 的d i r a c 约束不同，也不同于遗常意义e f a d e e v - j a k i w 方法中的约柬，传统的d i r a c 约束源于拉格朗日量 的奇异性质，f a d e e v - j a k i w 方法中的约束则来源于奇异的辛2 形式，它们都是在整个空间上都有效的约 束，而边界条件只存在边界上。因此，由于存在边界条件人们不能自洽地进行正则量子化。文献 呻瞄嘣蝴栅l 2 0 0 1 冽中作者将边界条件作为d i a r c 初级约束，用d i a r c 方法分析了两个t o y 模型。然而文 献( 。w i m 9 2 0 0 3 ；c a q m l & m m 。喁h - 棚) f 聊捌作者发现对一些模型如果将边界条件当作初级 d i r a c 约束，会出现一些问题。问题之一是用d i m c 蔓f 法计算得到的第二类约束的链是无穷长的，问题之 二是总h a m i l t o n i a n 中第二类约束前的拉氏乘子被确定而d i r a c 的程序却没有截至。这些都是和最初的 d i r a c 所提供的方法相矛盾的；其次由于边界条件只在边界上成立，d i r a c6 函数或6 函数的导数被引 入，最后为了得到有限结果，就必须对6 函数进行正规化，然而，不同的正规化之间的等价性还需要 证明。 文献( 砜1 ”) 1 4 l 提出先解满足场方程和边界条件经典解再进行量子花程序的处理边界条件 的方法，而文献( 。”“o 2 ”8 1 “删”f ”朋在此基础上发展了用f a d e e v - j a c k i w 理论( l d f a d e e v , e t c 。1 9 8 8 ) 1 2 l 】处理有边界的场的正则量子化方法，并用来分析开弦的非对易性。这种方法在处理约束系统时，与 d i r a c 方法相比的优点是不需区分第一类约束和第二类约束，也没有强等和弱等，而是直接由边界条件 得到的波矢空间( 傅立叶模) 的约束代入到拉格朗日量密度中，得到用约后的变量表示的新的拉格朗 日量密度，由辛矩阵的逆求出所有傅立叶模的对易关系可以很容易的获得原始场变量的对易关系，这 样得到的对易关系与基本对易关系是相恰的。 本文中我们主要主要研究了质量复标量场、电磁场和旋量场在存在边界情况下的正则量子化，将 f a d c c v - l a c k i w 方法推广到带边界的具有规范对称性的电磁场情形。发现可以在经典场的解空间中做量 子化。首先是将边界条件作为约束来处理的，这样就可以利用f a d e e v - j a c k i w 方法进行下面的量子化过 程。找到方程的经典解后，通过重新定义新的力学变量，可以便经典解空间中的动力学变量是与时间 相关的傅立叶模，将拉格朗日量用新变量表表示后可求出辛矩阵，并进而获得各正则变量间的对易关 系，正则量子化可以自洽的进行。在对这些自由场量子化之后，我们给出边界条件引起的零点能的改 变，以便说明边界的量子场的影响。我们还讨论了旋量场和电磁场的相互作用，由于相互作朋场方程 不可解，我们使朋了微扰的方法，分析了二阶微扰情形的散射矩阵，我们发现，由于边界的影响，散 射矩阵被改变了量子跃迁在加上边界的方向上被限制在一些特定的离敞模式上，这样，由丁边界条 件，粒子的散射截面、跃迁几率和粒子寿命都与边界条件有很大关系。 4 第二章约束系统的d i r a c 量子化方法 我们知道对一个力学系统，既可以在位形空同进行描述( 拉格明1 3 体制) ，也可以在相空同描述( 哈 密体制) ，在系统的拉格朗日量非奇异的，两种方法是完全等效的。然而当拉格朗日量奇异的时候，从 位形空间通过勒让德变换到相空间时，正则变量问通常存在着约束。d i 强c ( 队“o 峨1 9 6 l 冽和& 唱m m ( j l a n d e r s o n , 1 9 5 1 ；e g 【_ b e r g m a n n , e t c 。1 9 5 5 ) 3 0 】关于奇异拉格朗日量系统的正则形式研究奠定了约束 系统的动力学及量子化的基础。s h a n m u g a d h a s a n 分析了奇异性对拉格朗日量方程的影响，并给出了相 应的h a i l t o n i a n 形式( s s h a n m u g a h a s a n ，1 9 5 5 ；s s h a n m u g a h a s a n , 1 9 7 3 ) 【甄蚓，k a m i m u r a 建立了l a g r a n g e 约束h a m i l t o n i a n 约束问的关系( k k m i m m ，1 9 8 2 ) ( 1 ”，而s a d a r s h a n 和m u k u n d a 则从现代数学的观点， 详细讨论括号的结构m u k u n d a ，e l c , 1 9 6 8 ；e s u d a r s h a n ，e t c ，1 9 7 4 ) l ”, t i 。近年来，文献 ( m m s h e i k j a b b a t i , 2 0 0 1 ；a h a n s o n ，e t c , 1 9 7 6 ；k s u n d e r m e y e r , 1 9 8 2 ；d m g i t m a n ，1 9 9 0 ；m d e h g h a n i , 2 0 0 5 ) i ”j 6 茹】作者们将边界条件作为d i r a c 约束。利用d k a c 方法对有边界的场进行量子化。这里先简述一 下约束系统的d i r a c 量子化方法。 一、有限自由度约束系统的d i r a e 基本理论 设有限个自由度系统由l a g r a n g e 函数( q ，矿) 描述，这里的三国，矿) 不显含时间。通常系统的 量子化是通过相空间的正则变量国，p ；) 来实现的。利用勒让德变换，可将l a g r a n g e 描述过渡到 h a m i l t o n i a n 描述，这里定义广义坐标q 的正则共轭动量 p ，。骂。 2 ( 1 ) p 可。 u 正则哈密顿量 h 。- p 。圣一( q ，圣) 。 2 ( 2 ) 式中口由2 ( 2 ) 式中解出作为g 和见的函数，重复指标代表求和，定义h e s s 矩阵： 即品。 z d e t i h i - 0 时，根据隐函数存在定理，2 ( 1 ) 式即可解出所有亏和a 的函数。h e s s 矩阵1 f 退化的 时候，l a g r a n g e 量称为正规l a g r a n g e 量 系统的e u l a r - l a g t a n g e 方程为 詈卫d t ( 争- o 均、a 圣 2 ( 4 ) 式又可写为 驰洲一詈一品弘 2 ( 4 ) 2 ( 5 ) _ 当d e t l h # i - o 时，s 矩阵是退化的。设陋# j 的秩为常数r ( r 厅) ，由2 ( 5 ) 可解出r 个亩， 口7 - f 7 ( 口1 ，q nq 1 o o ，口。，蚕。“，辱8 ) ，一1 2 ，r 2 ( 6 ) 这r 个二阶微分方程组中，含n r 个任意独立的函数，鼋“1 ，矿当给定了q 1 ( f ) ，口。( f ) 和 圣1 ( f ) 。奄。o ) 的初值后，系统动力学的解不能完全确定下来。任意函数的不同选取，给出不同的解。 这与正规l a g r a n g e 量描述的系统是完全不同的h e s s 矩阵退化的l a g r a n g e 称为奇异l a g r a n g e 量。对 于奇异的l a g r a n g e 量系统，由e u l e r - l a g r a n g e 方程不能解出所有的牙，同时过渡到i - i a m i l t o n i a n 描述 时，不能由2 ( 1 ) 式解出所有的矿。 下面讨论奇异l a g r a n g e 量系统的正则表述形式，设h e s s 矩阵的秩序为r ，那么，从2 ( 1 ) 式可 解出r 个圣。作为矿，p 。和剩下的口9 的函数 圣4 一f 。( g ，p 。，圣9 ) ，( y ，口- 1 ，2 ，。尺；p r + 1 ，厅) 。 2 ( 7 ) 将2 ( 7 ) 代入2 ( 1 ) 中得 p ，一g ；( 碍，圣4 ，圣9 ) - g 。幻，f 9 ( 口，p 。，香9 ) ，圣9 】一g ，( 口，p 。，圣9 ) 2 ( 8 ) 上式表明，不是所有的正则变量间互相独立的，他们间存在一定的约束关系，即 p ，一g p q ，p 。) ，p 一1 ，n r 或者 秽( p ，q ) - p p - g p ( 口，p 。) ，p - 1 , ，h r 2 ( 1 0 ) 这样的约束关系总的有n r 个，他们来源于正则动量的定义，b e r g m a n n 把它称为初级约束。值得注 意的是，在得到初级约束的时候，并没有利_ 【i j 系统的运动方程。由奇异的l a g r a n g e 量描述的系统，在 相空间必然存在约束，这样的系统称为约束h a m i l t o n 系统。由丁止则变鼙问存在上述的对易关系，按 照2 ( 2 ) 定义哈密顿量是不唯一确定的，它可以加上约束贮( p ，g ) 任意线性组合，这样得到另一个哈 密顿量 6 日- h 。+ “。九。 2 ( 1 1 ) 其中系数c 。可以是g 和p 的任意函数日和日几乎完全一样 现在看看约束系统的正则方程，对2 ( 2 ) 两边做变分得 田叫甑一争矾 2 ( 1 2 ) 这个方程对口和p 满足约束条件2 ( 1 0 ) 的任意变分都成立，由于受2 ( 1 0 ) 的限制，q 和p 不能独立 的进行变分但是对于q 和p 的任意变分，只要他们维持这些关系，上述方程总是成立的。因此可导 出 雷。i a h + u m 警 2 ( 1 3 ) 印i印i 和 办- 一虿o h 帆等 2 ， 其中“。是未知系数。我们由此得到了哈密顿运动方程，它们描述变量口和p 如何随时间而变化，但是 这些方程含有未知的系数h 。而任意由q 和p 表示的函数9 0 ，p ) 随时间的变化关系是 雪音n 詈虞咄以m 脓 2 ( 1 5 ) 如定义日r h 。+ 妒丸，称为总哈密顿量，则上面式子简写成 雪- 【g ，珥】。 2 ( 1 6 ) 由于约束条件2 ( 1 0 ) 的限制，正则h a m i l t o n i a n 量仅确定在整个相空间f 中的一个子空间l 中，系统 的运动也是限制在r ，中，为了去掉此种限制，利用弱等的概念，可以将2 ( 1 3 ) 、2 ( 1 4 ) 扩充到整个 相空间f 中去。 对于含有约束的系统，运动始终被限制在子空间r ，中，约束随时间演化是稳定的，也就是簖对 时间的微商为零，即 把t w 0 ，h t 、。w 0 ，hc + 对：。争：一0 。 2 ( 1 7 ) 这是一个关于p 、q 和a 的代数方程，这方程包含几种情况：( 1 ) 得剑平凡的等式；( 2 ) 得剑两端不 自恰结果，这会导致原有的l a g r a n g e 餐使得e u l e r - l a g r a n g e 方程不白恰；( 3 ) 可以解出某些拉格朗日 乘子肿；2 ( 1 7 ) 给出新的约束方程。前面两种情况对于确定系统的运动状况没有意义。对后两种情 况，先看两约束将的泊松括号组成的行列式，若这样的行列式不等于零，即 d e t i 钟，露 | - 0 2 ( 1 8 ) 代入2 ( 1 7 ) 式中即可确定出拉氏乘子。那么总哈密顿量是确定的，也就是说由正则方程描述的运动是 确定的。 日，一h 。一贮 戎o ，刃 - 1 霹，日。 但是如果d e t i 钟，劈 1 - 0 ，则 贮，簖) 一0 是奇异的，假设矩阵的秩七，贝l j ：f f n r k 个拉格朗日 乘子没确定，此时产生新的约束，对于有限自由度系统，可以利用约束的自恰性逐级求出新约束，这 样由约束的自恰求出的所有约束统称为次级约束由于次级约束的限制系统被限制在一个维数比0 更低的相空间上运动。在求出所有的约束后，按照d i t a c 的处理方法，如果r 是q 和p 的任意力学函 数，当r 与所有的约束间的泊松括号间都弱等于零的时候，称为第一类力学量，其他不满足这个条件 的称为第二类。两个第一类力学量的泊松括号也是第一类。同时又是第一类量的约束则叫做第一类约 束，即满足 饥，九 一0 2 ( 1 9 ) 否则叫第二类约束。按照d i m c 的说法，初级约束和次级约束没有本质区别，应同等对待；但是第一类 约束和第二类约束是有区别的，因为由第二二类约束可以确定系统的哈密顿量及运动，而受第一类约束 限制的系统是不确定的。d i r a c 有个著名的猜想，即所有的第一类约柬对应规范变换的生成元，这个猜 想一直没有证明，但也没找到一个真实的物理系统违反这个猜想。 在d i r a c 量子化方法中，力学量间泊松括号是用d i r a c 括号表示的。下面介绍一下d i r a c 括号，现 在将所有的约束分为第一类a 。和第二类吼，则总哈密顿量写成 h f h 。+ 刀a 。+ 矿以 2 ( 2 0 ) 对于任意不显含时间的力学量f ( p ，口) 随时间的变化关系为 户i f ，h r 卜 ，h 。 + 刀 f ，a 。 + 矿 ，吼 2 ( 2 1 ) 将约束的自恰性条件用于第一类约求和第一二类约束，可确定出第二类约束前的拉格朗日量，具体就是 吼一 吼，h ， + ” 吼，吃 一0 2 ( 2 2 ) 于是得 8 代入2 ( 2 1 ) 就得 一- 吃，吼 - 1 他，日。 2 ( 2 3 ) 户- f ，h r - f ，h 。 + r 俨，a 卜 吼，吃 1 & ，h 。 f ，以 2 ( 2 4 ) 现定义任意两个正则变量的函数，和g 的d i r a c 括号如下 俨，g k 一俨，回一 f ，吼，慨，吃 。1 他，g 。 则任意正则变量的函数，随时间的变化关系可用d i r a c 括号简写成 户- f ，h 。) d 二、利用d i r a c 理论对有边界的场量子化 2 ( 2 5 ) 2 ( 2 6 ) 利用d i r a c 理论对有边界的场进行量子化，其基本思想就是将边界条件做为第二类约束加到哈密 顿量量上得到总的哈密顿量，场的运动正则方程由总哈密顿量决定。由于边界条件只在边界上成立， 为了扩展到所有有效空间上去，使用了6 0 ) ，然而这样一来虽然拉格朗日乘子是确定的，但导致一个 无穷的约束链，在最后为了得到有限结果，还需要进行正规化处理。 为了说明这种方法的具体思想，下面介绍对有边界条件的标量场进行进行量子化。在不失一般性 的情况下，取场变量是妒o ，f ) 是1 + 1 维的时空函数，x e o ，口1 ，此时场的作用量为 针对毋做变分得 s - - j 1a _ t 2 协【( a ，庐) 2 一( a ，) 2 一三2 】 2 ( 2 7 ) 4 t 2t 2 口 船。f d x f d t ( o ；o a 一肌妒) 却+ p p ，驴) 却话+ 严( a ，庐) 却埒。 2 ( 2 8 ) 0 g l 0 如果上面的三项同时为零，则总变分为零。由第一项得到标鼙场的场方程即k - g 方程 ( a ，2 一a ；+ 册) 妒一0 。 第三项对应初始条件，而第二项则给出d i r i c h l e t 边界 却1 4 0 和n e u m a n n 边界 a ，妒仨- 0 2 ( 3 0 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 2 ) 下面我们分析一下n e u m a n n 边界情形的量子化过程。对于d i r i c h l e t 边界可按照相同的程序进行。将边 界条件做初级d i r a c 约束 9 则总哈密顿量为 口棚- a ，妒i o - 0 2 ( 3 3 ) h f - h + 九8 鹌 这里的a 就是拉格朗日乘子，而 日- 三一2 + p ，们2 ， zc 科， n - a 。妒 2 ( 3 5 ) 由于这里的约束是由边界产生的而不是由于拉格朗日的奇异性7 1 起的。所以2 ( 3 5 ) 所揭示的广义速度 和共轭动量的变换关系是在所有点( 包括边界点) 始终保持的，而且是可逆的。边界条件相当于把系 统约束在比无约束时的相空间r 维数低的子空间r ，运动，因此约束条件应该是稳定的，即 扫o - 一扣，月i 一d ，h i o 一0 2 ( 3 6 ) 于是得到次级约束一( ”，但是这样的约束只存在于边界上。要与整个d i r a c 理论相恰，就需要把边界扩 展到整个区域内，这就是 0 。一p ) a ，雄 2 ( 3 7 ) 再由次级约束的稳定性要求有 扫1 - 口o ，h r 一 口”，日 + ；q o ”，口o 2 ( 3 8 ) 根据2 ( 3 7 ) 式就可计算2 ( 3 8 ) 式中的第二项 a 口”，疗佃 - a f a ( x ) a ( x ) a ，a ；妒) 蚍 - 一x f a o ) 6 0 ) a ，a ，a ( x z ) l 触 2 ( 3 9 ) 这个式子的含义是不明确的，不过它比起第一项来说为无穷大，所以约束条件相恰的唯一选择是 a - 02 ( 4 0 ) 并且让 妒m ，日一0 2 ( 4 1 ) 2 ( 4 1 ) 表明拉格朗日乘子是可以确定的，边界条件形成的约柬属于第二类约束，但因为等丁| 零，约求 并没结束，逐级利用约束的自恰性可得到一系列的约求条件，形成一个约束链 驴k 翟k i o , 呲n - 0 ，, 2 , 4 , ” z ， ( 柚一 口庸，口o 2 ( 4 3 ) i o , n ，m - o 2 4 c | 黼一 o , n ，埘一1 3 2 ( 4 4 ) 沪。弦o w ：“a ：，6 0 - x ) 口l v d x ，埘- 0 , 2 ，4 ，露一1 ，3 似m s h e i k h - j a b b a r i , e t c ，2 0 0 1 ) 纠的讨论，有两种正规化方法，一种是离散化处理，一种就是将6 ) 看 6 ( x - x ，) l ，i 。m 。l - 牟石e 七砒2 2 ( 4 5 ) 户g ) 6 0 砷：+ 1 a 6 一z ，) 如出一如- 1 - ( r e + n _ 2 ) 日。- ( o ) 下- 1 ( 一矿f 一扣2 + 甩) ! ! 、万 4 。【矧 一杀( 砂“譬鹄掣一肌峨 zc 艚， 伽0 ) ，妒0 ) k 一嘶o ) ，口4 c 2 o ”，妒o ) 一0 ( d ，0 ，) d - o ) ，8 扣蛾p ，n ( x 3 - 0 侈 ) ，n ( x ) 。- 6 0 一石) 一协o ) ，口( “娥p ，n ( x s - 6 ( x 一工，) 一知 弘0 2 ( 4 9 ) 在上面的由d i r a c 括号式中还含有正规化参数f ，所揭示的对易关系与无边界时的情形也是不同的 下面讨论利用约束条件约化后的相空间。现将场变量展开成傅立叶级数 妒- 了知口 ) 鲫j b + 堆) s i n h 础 n o ) - 了三小c ( k ) c o s h + d ) s j l l h 】放 将上面的约束链代入到2 ( 5 0 ) 、2 ( 5 1 ) 中，则得到 小一1 ) 1 k “ b ( k ) a k _ 0 小一1 ) 4 k “a ( k ) d k l0 能够使得上面两式成立的充要条件是6 ( 七) 一0 和d ( 七) 等于零，于是 一去p 似) c o s 鳅 n o ) 一击于o ) s 揪 再利用x - a 时的约柬链，得 小一1 ) ”k z + a a ( k ) s i n k a d k _ 0 小一1 ) 4 k “( k ) s i n k a d k j 0 2 ( 5 0 ) 2 ( 5 1 ) 2 ( 5 2 ) 2 ( 5 3 ) 2 ( 5 4 ) 2 ( 5 5 ) 2 ( 5 6 ) 2 ( 5 7 ) 由此可知七。竺。这样我们通过上述方法将场变量展开成傅立叶级数，然后利用无穷的约束链，对 a 标量场的相空间进行约化，正则变量的傅立叶展开式中只包含了余弦部分，而波矢量只能取一些离的 值。下面把连续傅立叶展开式中的连续积分改写成离散求和就是 ；糜击炳等s 争 2 ( 5 8 ) 其中魄一 - 魔尽m 等+ c + s 芋，。 由共轭动量的定义还可得口 ) - c + ) ，由基本对易关系可得 2 ( 5 9 ) ) ，c 西) 卜历6 。 2 ( 6 0 ) 由上面我们可以看出。利用d i r s c 方法处理有边界的场进行量子化，其基本思想和程序就是将边界条件 作为第二类约束加到原始的哈密顿量上得到总哈密顿量，场运动的正则方程就用总哈密顿量代替原来 的哈密顿量，基本泊松括号变换成d i r a c 括号由于边界条件只存在于边界上。为了使其与d i r a c 理论 相容，采用的技术就是运用6 ( d 函数的性质将边界条件扩展到整个区间。这样处理的代价是计算约束间 的泊松括号时得到的所有非零矩阵元无穷大，为了使其变得有限，需要使用正规化手段。把边界条件 作为d i r a c 方法处理的另外一个特征是约束前的拉格朗日乘子被确定，约柬却并没终止，而是形成一个 无穷的约束链。我们已经看到，当把约束链加到场变量按通常方法傅立叶展开式，则对相空间进行约 化，得到约化相空间。 第三章约束系统的f a d e e v - j a c k i w 方法 一，辛矩阵正规时的f a d e e v - j a c k l w 方法 约束系统的d i r a c 量子化方法不仅要计算出场的所有正则变量的泊松括号，还要计算所有约束问 泊松括号，通常这是一件很繁杂的工作。由于初级d i r a c 约束是由于共轭动量定义产生的，所以可以想 见，在相空间存在的约束，位形空间不一定有。 f a d e “- j a c k i w 量子化方法最初起源于一阶拉格朗日量系统的研究。在二维自对偶场的特殊情况下， f l o r e a n i 和j a c k i w 提出了一种定义在位形空间中f a d e e v - j a c k i w 括号( f l o 1 i n i ，e t c , 1 9 8 7 ) 【”，他们用这种 括号进行正则量子化。随后，f a d e e v 和j a c k i w 系统阐述了这样做的理由，较完整地论述了这种方法 ( l d f a d e e v ，e t c 。19 8 8 ) 州，c o s t a 和g i r o t t i ( m e v c o s t a ，e t c ，1 9 8 8 ) 1 “， 以及 g o v a e r t s ( j g o v a e r t s ，1 9 9 0 ) 1 1 分别证明了辛矩阵非奇异时f a d e e v - j a c l d w 方法和d i r a c 方法的等价性，后 来g o v a e r t s 把这种方法推广到了含有g r a s s m a n n 数的系统。不过所有这些工作处理的都是在相空间有 约束而在位形空闻不存在约束的情况，b a r c e l o 和w o t z a s e k 在1 9 9 2 年提出在f a d e e v - j a c k i w 方法中也存 在约束的处理方法( j b a r c e l o s - n e t o ，1 9 9 2 ；j b a r c e l o s - n e t o ，1 9 9 2 ；h m o n t a n i ，e t c ，1 9 9 3 ) 1 1 4 舻1 ，文献【1 5 】”1 提出运用f a d e e v - j a c k i w 方法处理场边界条件的方法。下面介绍一下约束系统拉朗日体制下的 f a d e e v - j a c k i w 量子化方法。 首先考虑一阶拉格朗日量系统 l - p 圣一日( p ，碍) ， i 一1 ，2 ，。j l 3 ( 1 ) 其中为系统的格朗日量，h ( p ，口) 是系统的哈密顿量，引入一个有2 n 个分量的相空间坐标，或称为 辛变量 亭一q ，i 一1 , 2 ，n 言一p ；， i 一托+ 1 2 n 3 ( 2 ) 在忽略一个全微分项掣后，用辛变量表示肋为 l d t 一五1 i f ；d i h 嬉i w t 3 ( 3 ) 其中群为2 n 2 n 阶的辛矩阵 1 4 叫 s 通常将3 ( 3 ) 式中的第一项4 。一i 1 亭劈d 亭7 称为正则1 形式，而把，。一妇。- j 1 ，口o d 争 d 亭7 称 为辛2 形式 我们知道正则变量国4 ，a ) 间的基本泊松括号是 幻4 ，口 - 0 ， g ，p ， - 6 ；， p j ，口 一- & ，t p ，p 7 ) 一0 。 3 ( 5 用辛变量表示上面的关系则为 t 亭，亭，。【三：】。c ，矿，4 。c s ， 上式表明辛变量或者相空间的正则变量间的泊松括号可以由辛矩阵的逆得到。 上面分析中4 0 是的线性函数，辛矩阵为常数矩阵，当前面的条件不满足的时候，辛矩阵可能不 是常数矩阵，对于一般一阶拉氏量写为 l d t - 4 ( 亭) d 亭一y ( 亭) d f 。 3 ( 7 ) 将其代入e u l e r - l a g r a n g e 方程 詈一丢c 静一。 。 则有 錾章一墼手j 一业q 。o 3 ( 9 ) a t a g i 。a 1 如果令 厶竺一粤。 3 ( 1 0 ) 口。万一虿。 得体系的运动方程为 矗亭一警。 s ， 当辛2 形式厂。妇。i 1 厶d 亭 d 亭菲奇异的时候，辛矩阵，；可逆，3 ( 1 1 ) 等同于 j 弘牙磐 定义辛变量亭问的广义泊松括号为 3 ( 1 2 ) 信，亭) 一行1 3 ( 1 3 ) 相应任意两个由辛变量表示的物理量f 售) 和g 售) 阃广义泊松括号则定义成 f ，g i 参，鲋可o f 一万o f 凡- - 1 可0 g 3 ( 1 4 ) 则任意辛燹量的运动万程为 弘融“半皑嘲卜 3 ( i 5 ) 这是在拉氏体制下得到的辛变量运动方程，下面我们可以说明当我们用新变量描述一个体系时，哈密 顿体制和拉氏体制的运动方程是一样的。因为与相应的正则动量p 。为 胪誊一艄， ，) 于是可写出辛变量袁示的哈密顿量来 爿( 亭) 一p ；亭一l ( 亭，手) - v ( o 。 3 ( 1 7 ) 因此方程3 ( 1 5 ) 又可以换成 芋。* 亭i ，日( 亭) ) 3 ( 1 8 ) 有了上面舶关系，那么任一力学量f 售) 随时间的变化关系可以表示为 哟。篡乎亭t 。兰笋矿( 觇雠) ，矿( 孙一骶) ，h ( 孙 3 ( 1 9 ) d 肯。暑 上面讨论的是有限自由度的f a d e e v - j a c k i w 理论，而3 ( 1 4 ) 中的广义泊松括号换成广义的量子括号， 即 f ( 亭) ，6 ( 亭) - 妄【户( 亭) ，e ( 亭) 1 。 3 ( 2 0 ) z ，l 实现量子化。 二、辛矩阵奇异时的f a d e e v - j a c k i w 方法 1 6 当辛矩阵奇异时，辛变量存在有一定的约束关系。体系的辛结构被破坏，我们不能象3 ( 1 1 ) 那样定义广义泊松括号从而进行后续的量子化过程。这时与d i r a c 量子化方法类似，引进约束约化相空 间 设矩阵巧奇异且秩为r 那么群具有胁一万一r 个零模矢量凹，使得 o p ) ，- o 口- 1 ，m 3 ( 2 2 ) 将体系的运动方程3 ( 9 ) 两边同时左乘零模( y 三o ) 7 ，得 q p 一 ) 7 万o v ( o ) - p ) 。矿o v ( o ) 一。a k ，小3 ? q 就是f a d e w - j a c k 衙方法中的第零级约束。由于这是通过e u l e r - h 乒卸g e 求出的，所以属于l a g r a n g e 约束。将约束q 妒乘上l a g r a n g e 乘子，再加到一阶拉氏量的正则1 形式部分，从而对原来奇异的辛2 形式产生变形，以期得到非奇异的辛2 形式，如果得到的辛矩阵成为可逆，就可以按前面类似方法定 义广义的泊松括号。一般可按下面程序进行 dl 4 f 侈蟮o + ，7 三o q ? 一矿1 ( 亭) 。 3 ( 2 4 ) 这里y o ( 亭) 一y 皓。) 1 日- o ，即y 1 ( 亭。) 是y o 售。) 令约束q 等于零而得到的上面已 经表明，约束中包含了辛势部分如果对l a g r a n